预测模型的特点分析

预测模型的特点分析

摘要:随着人类文明的进步和科学技术的发展,对疾病传播、经济增长、人口增长等各方面的预测显得尤为重要。现在针对各领域发展的特点,各个实际问题已经被抽象成为许多成熟的数学预测模型。本文就时间序列、微分方程模型、灰色系统模型、BP神经网络等预测模型的特点及建模步骤做了简单的归纳分析。

关键词:预测模型时间序列微分方程灰色系统BP神经网络

数学,作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历史长河中,一般是和人们生活的实际需要密切相关。作为用数学方法解决实际问题的第一步,数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德几何,17世纪发现的牛顿万有引力定律,都是科学发展史上数学建模的成功范例。进入20世纪以来,随着数学以空前的广度与深度向一切领域的渗透,数学建模越来越受到人们的重视,然而人们对未来的预测在数学建模中独树一帜,也满足了人们“未卜先知”的渴望,同时为世界带来了巨大的发展。

1 时间序列模型

(1)特点:时间序列是按照时间顺序排列的一系列观测值,展示了研究对象在一定时期内的发展变化过程,可以从中分析寻找出其变化特征、趋势和发展规律。这一系列观测值有先后顺序,且相互之间是

不独立的,要用专门的时间序列分析方法来处理。时间序列预测主要有确定型和随机型两类方法。前者在时间序列有某种典型变化趋势时适用。

(2)建模基本步骤。

①用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据。

②根据动态数据作相关图,进行相关分析,求自相关函数。相关图能显示出变化的趋势和周期,并能发现跳点和拐点。跳点是指与其他数据不一致的观测值。如果跳点是正确的观测值,在建模时应考虑进去,如果是反常现象,则应把跳点调整到期望值。拐点则是指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点。如果存在拐点,则在建模时必须用不同的模型去分段拟合该时间序列。

③辨识合适的随机模型,进行曲线拟合,即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。对于简单的时间序列,可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。对于平稳时间序列,可用通用ARMA模型(自回归滑动平均模型)及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型或组合-ARMA模型等来进行拟合。当观测值多于50个时一般都采用ARMA模型。对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间序列进行差分运算,化为平稳时间序列,再用适当模型去拟合这个差分序列。

2 微分方程模型

(1)特点:导数和微分反映的是变化率问题,用于描述某些随时间或空间而演变的变化规律,主要通过导数和微分来描述对象的变化规律。根据发展过程中变化率之间的关系确定函数,微分方程模型是一种动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段。微分方程的建模对象是:改变、变化、增加、减少、速度、运动等确定性连续问题,其基本手段是微元法。

(2)建模基本步骤。

①寻找改变量。变化率(微商)=单位增加量或单位减少量。

②根据建模目的和问题分析作出简化假设,对问题中的特征进行数学刻画。

③按照内在规律或用类比的思想,借用微元法建立微分方程。确定微分方程的定解条件(初边值条件),求解或讨论方程(数值解或定性理论)。

3 灰色系统模型

(1)特点:灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界,实现对系统运行行为和演化规律的正确把握

和描述。对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制,是一种十分简便的新理论,具有十分宽广的应用领域。

(2)基本建模步骤。

①将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理称为生成。常用的灰色系统生成方式有:累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等。

②通过观察生成的数据序列建立白化微分方程,并设定合适的背景值。通过低阶微分方程或矩阵方程的解法,求解该白化方程,通常得到递推公式。

③按照生成数据的逆顺序还原数据。

④检验建立后的模型,检验方法有相对误差大小检验法、关联度检验法、后验差检验法。模型通过检验后才能使用。

4 BP神经网络模

(1)特点:BP(Back Propagation)网络是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络,是目前应用最广泛的神经网络模型之一。BP网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系,而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程。它的学习规则是使用最速下降法,通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值,使网络的误差平方和最小。BP神经

网络模型拓扑结构包括输入层(input)、隐层(hide layer)和输出层(output layer)。

(2)基本建模步骤。

①首先要明确建立的这个模型的内部逻辑关系。

②确定隐层数,神经元的个数,画出简要模型图。

③确定采用什么样的神经网络来建立模型。

④通过测试数据来训练模型。

⑤根据测试训练得到的数据和实际数据进行比对,估算出误差。从而修改隐层中的权值和阀值。

5 各模型的分析

本文描述的各预测模型各有特点,各有适用范围。如时间序列分析主要针对与时间有关的数据序列,同时可利用数理统计的知识用概率分布的方法处理问题。关于变化率或增量的实际问题往往是与微分方程有关,当然解微分方程也值得探讨,如用级数法求解、数值分析法求解。另外,针对于数据量较小且表面看来无关的数据序列一般用灰色系统法求解,该模型的关键是数据生成的方法,数据生成的方法可以是单一的累加生成或均值生成等也可以是几个的综合。而神经网络是

针对海量数据通过训练函数让其自学习最终得到预测数据的一种方法。

参考文献

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[3] 姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社,1993.

[4] 赵静,但琦.数学建模与数学实验(第3版)[M].高等教育出版社,2003,6.