规划计算题整理

第二章设施选址

10.—家银行准备在某县的农村地区投放一批ATM自动取款机, 以方便农村的用户取款。该农村地区的村落座落情况和相对距离如图

所示。为了能确保任一村的人都可以在20分钟之内到达自动取款机

取款，银行需要多少台自动取款机它们的位置又在哪里

图村落座落情况和相对距离

要点：1.明确N, M, "I ,丨「含义;

2. j.:.分析正确后，• i可参照“直接写出，无需再看网络图；

3. 熟悉最少点覆盖启发式算法的步骤，考虑是否有容量约束。解：【集合覆盖模型】

区域中需求点集合N={1,2,3,4,5,6,7};

ATM取款机设施候选点集合M={1,2,3,4,5,6,7};

由网络图确定候选设施点j可覆盖的需求点集合」和可覆盖需求点i的设施节

点的集合；，见表。

候选点服务范围

因为.i | ={2,3,4,6,7},|「，|=5为最大，故首先’=4。因无容量约束，指派2,3,4,6,7

归村落4服务。

此时N={1,5}, M={1,2,3,5,6,7};则更新候选点服务范围，见表。

更新后的候选点服务范围

因为A(2)={1,5}=N,恰好满足条件。则亍=2。

综上所述，银行需要2台自动取款机，分别至于村落号为2和4的位置，2号为

I, 5村落服务，4号为2,3,4,6,7村落服务。

II.—个临时帮助服务中心计划在一个大城市的郊外开设一个新的办

公室。在经过一定的精简之后，该公司有5个大的合作伙伴。在一个以km为单位的笛卡尔坐标系中，它们的坐标分别为：(4，4)，(4，11)，(7，2)，(11, 11)，(14, 7)。它们的服务需求量的权重分别为：wl=3，w2=2，w3=2，w4=4，w5=1。对于该服务中心来说，主要的日常费用是他们员工完成任务过程中的运输费用。因此，用城市距离进行考虑，要求新的办公室到各个合作伙伴之间运输的运输费用最小。

1)请确定一个新办公室的地址，用笛卡尔坐标来表达相应结果。2) 如果由于该地区的人口稀少，城市还没有达到一定的规模，可以用欧几米德距离进行计算，新办公室又得在哪里投建请比较两次结果，分析它们之间的关系。

要点：1•补充交叉中值模型知识点

”对卜卜即|+卜卅卜亦卜咄 0-D

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工述原理可以推r 到多个需求u H ■的情形.洽定啼沪的坐标佝 小)訂七』2)、…“(鬲丿并八 确定设褲的坐标仗」)，便该点至所有给定点的怠折线鹿咼握耳吕标画数为*

门工力-二片-站工卩」川

3)

r-l

?-1

求箏左法対下.将丑.习、■■"-亏进行排序.找出中间值.当“为奇数甘，则最忧的卫就等 于该中间值-岂”为儒拔时\记两个中冋直为可和无由’则最兄的X 为可艺兀二却+L ・洌如.迳定 竹，3). (14,

5). (A 9)三个肖“悟X 燮标排序后為乩7. 14t 则最代的工坐标为丁・如果造定 (23? 4X (6? 2). (lb ilh (4, 25)也个点，将K 坐标排亭后为仏6、1K 23,则阮施最优盯 斗坐标^6

君恚条蘇査師物淀量葩不同，假设空求点汀勺物拭虽为吧，则目标函数为屮

“乳刃网* -xj I 丫％仪-丹|

3〕

i-l

i-1

如果粤为整数，则可以认为超标点(可・旳)处有嗎址需求，将H 縣磁的选址问題转换礒 三：們蕊迷的进址问愛然肆用前面的方法菠得设施的最优的坐标宜.如果嗎为小数，可耳 睚其处冬为整数形式*例如假段珥等于03我们可以取嗎=3,然后将目标函数编小1/10,这 样就可以延毎前而的方法求聚"

|

关键句：将n 点需求的选址问题转化为点需求的选址问题。

3.重心法：初始化+迭代公式+Excel/C编程/matlab编程迭代+迭代终止条件解：（1）设新办公室的地址的坐标为（x,y）,给题目已知的5个点编号1~5。

由于笛卡尔距离d；i=l兀-岸］1+1 v^yi l。

则目标函数为时总运输距离H最短。

H- S-^jWidj = *xi I + i|y-yi|

Xi Wi Sws yi Wj Swi|

43343

4251125

727227 11411114M1 141127112

工冋il：为偶数，即石均在第六个、第七个点之间可得x = 7, ” 丘|7J11C U -8U

（2）设初始点为（•.■）有题意得，阿基米德距离为

目标函数H（运输总费用）=r ,

利用不动点算法，取一个初始的迭代点（曲|感'）=（8,7），此时H0 =

令曲卜卩命（対-d + （网-yi）2

匸，丄

由EXCEL迭代得，结果如图

ABC

费用结果保留四位小数得最优解为x=,y=,此时费用最小为H=

(3)比较两次结果可知欧基米德中的费用小于笛卡尔距离，因直线距离是v直角距离，因此用欧基米德距离更为精确。直角距离比较适合于城区范围内的选址，欧基米德距离比较适合于远距离的选址。

1

2

3

4

5

6

7

3

9

10

11

3 ?.S5125

5 7.53526

7. 58244

7.

592226 ?,

S02562

7. 610985

7, 617394

7. 62215

7. 62565

y

7

?.368S95

7.46S075

7. 534487

7. 560037

7. 575053

7. 567033

7, 594859

7. 600525

7. 604652

dl

5

4.968013

5.000684

5. 032541

5. 057465

5. 076082

5. 089793

5. 099858

5.107225

5.112617

d2

5. 656854

5.149425

5. 020133

d3

5.09902

5. 40S25

5. 517205

d4

5

4. 939533

4. 399005

d5 H

6 62. 51175

6. 359449 62,13698

6. 43313 62.10903

4. 984341

4・

973674

4. 970097

4. 96866

4.96795

4. 967534

4. 967266

5. 56505

5. 591488

5. S08516

5. S20342

5, 628821

5. 634^76

5. 639465

4. 367186

L 842135

4. 323484

4. 309755

4, 799688

4. 792317

4. 786922

5.439779

6.432201

6. 423321

6. 415923

6, 410266

6.40606

氐402963

62.10493

62.10346

62-10273

S2.10234

62,10213

62.10202

62-10196