函数奇偶性及单调性的综合应用专题

函数奇偶性与单调性的综合应用 专题

【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；.

2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质；

3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性.

教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质.

【复习旧识】

1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？

2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？

3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？

【新课讲解】

一、常考题型

1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小；

2.当题目中出现“2

121)()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性；

3.证明或判断某一函数的单调性；

4.证明或判断某一函数的奇偶性；

5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）；

6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围.

二、常用解题方法

1.画简图（草图），利用数形结合；

2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化；

3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论.

三、误区

1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关；

2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；

3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”；

4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异；

5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制.

四、函数单调性证明的步骤：

（1） 根据题意在区间上设；

（2） 比较大小；

（3） 下结论 .

函数奇偶性证明的步骤：

（1）考察函数的定义域； （2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系；

（3）下结论.

【典型例题】

例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)31(log 2f ，b ＝)2

1(log 3f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞

C ．b a c ＞＞

D ．a b c ＞＞

【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质.

【解析】因为log

2 3

3 2

3 3＝1， 所以log 3 2

3<2. 因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，

所以f (log 3 2)

因为f (x )是偶函数，所以

a ＝)31(log 2f ＝f (－log 2 3)＝f (log 2 3)，

b ＝)21(log 3f ＝f (－log 3 2)＝f (l og 3 2)，

c ＝)2( f ＝f (2)．所以b a c ＞＞.

【答案】C

例2 （2014•一模）已知f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m ，n ∈[﹣1，1]，m+n ≠0时有＞0．

（1）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；

（2）解不等式：f （x+）＜f （）；

（3）若f （x ）≤t 2﹣2at+1对所有x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，数t 的取值围．

【考点】函数的奇偶性；函数单调性的判断与证明；函数的最值与恒成立问题．

【解析】解：（1）任取﹣1≤x 1＜x 2≤1，则

f （x 1）﹣f （x 2）=f （x 1）+f （﹣x 2）= ∵﹣1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1+（﹣x 2）≠0，

由已知＞0，又x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在[﹣1，1]上为增函数；

（2）∵f（x）在[﹣1，1]上为增函数，

故有

（3）由（1）可知：f（x）在[﹣1，1]上是增函数，

且f（1）=1，故对x∈[﹣l，1]，恒有f（x）≤1．

所以要使f（x）≤t2﹣2at+1，对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

即要t2﹣2at+1≥1成立，故t2﹣2at≥0成立．

即g（a）=t2﹣2at对a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，

只需g（a）在[﹣1，1]上的最小值大于等于零．

故g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，

解得：t≤﹣2或t=0或t≥2．

【点评】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．

【课堂练习】

一、选择题

1.函数y ＝2－|x |的单调递增区间是( )

A ．(－∞，＋∞)

B ．(－∞，0]

C ．[0，＋∞)

D ．(0，＋∞)

2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，如果f (lg x )>f (1)，那么x 的取值围是( )

A ．(110，1)

B ．(0，110

)∪(1，＋∞) C ．(110

，10) D ．(0,1)∪(10，＋∞) 3.下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是( )

A ．y ＝3x ＋1

B ．f (x )＝

x 1 C ．y ＝1－x

1D ．f (x )＝x 3 4.如图是偶函数y ＝f (x )的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是

( )