线性代数历年真题(87-15)

(7.88)（本题满分6分）
1 0 0 1 0 0 5 已知 AP BP, 其中 B 0 0 0 , P 2 1 0 , 求 A, A . 0 0 1 2 1 1
( 已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y 0 相似. 0 0 1 0 1 x
4 x1 x2 2 x3 2
6 x1 x2 4 x3 2 3
有解, 并求出解的一般形式. (12.89)、（本题满分8分） 假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值, 证明
1 1 为 A 的特征值. A (2) 为 A 的伴随矩阵 A* 的特征值.
2 2 f y12 2 y2 5 y3 , 求参数 a 及所用的正交变换矩阵.
(28.93)、（本题满分6分） 设 A 是 n m 矩阵 , B 是 m n 矩阵, 其中 n m, I 是 n 阶单位矩阵, 若 AB I, 证明 B 的列向量组线性无关.
1 1 (29.94)已知 α [1, 2,3], β [1, , ], 设 A αβ, 其中 α 是 α 的转置, 则 2 3
A n =_____________.
(B) α1 α 2 , α 2 α 3 , α 3 α 4 , α 4 α1
(D) α1 α 2 , α 2 α 3 , α 3 α 4 , α 4 α1
x1 x2 0 x2 x4 0
,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为 k1 (0,1,1, 0) k2 ( 1, 2, 2,1). (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ )是否有非零公共解?若有, 则求出所有的非零公共解. 若没有, 则 说明理由. (32.94)、（本题满分6分）
(10.89)设 A 是 n 阶矩阵, 且 A 的行列式 A 0, 则 A 中 (A)必有一列元素全为0 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (11.89)、（本题满分6分） 问 为何值时, 线性方程组 (B)必有两列元素对应成比例 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合
x1 x3
有唯一解, 无解, 有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
(5.88)设4阶矩阵 A [α, γ 2 , γ 3 , γ 4 ], B [β, γ 2 , γ 3 , γ 4 ], 其中 α, β, γ 2 , γ 3 , γ 4 均为4维列向量, 且已知行列式 A 4, B 1, 则行列式 A B = _____________. (6.88) n 维向量组 α1 , α 2 ,
, α s (3 s n) 线性无关的充要条件是(
, k s , 使 k1α1 k2α 2
ksα s 0
)
(A)存在一组不全为零的数 k1 , k2 , (B) α1 , α 2 , (C) α1 , α 2 , (D) α1 , α 2 ,
, α s 中任意两个向量均线性无关 , α s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 , α s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示
(A) t 6 时 P 的秩必为1 (C) t 6 时 P 的秩必为1 (27.93)、（本题满分8分）
)
(B) t 6 时 P 的秩必为2 (D) t 6 时 P 的秩必为2
2 2 2 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 3x2 3x3 2ax2 x3 (a 0) 通过正交变换化成标准形
0 1 4 0
0 0,则 B 1 7
a11 a12 (34.95)设 A a21 a22 a31 a32
则必有 (A) AP1P2 = B (C) P1P2 A = B
a13 a11 a12 a23 , B a21 a22 a33 a31 a32
(23.92)、（本题满分7分）
0 1 1 (D) 4 2 2 0 1 1
设向量组 α1 , α 2 , α 3 线性相关, 向量组 α 2 , α 3 , α 4 线性无关, 问: (1) α1 能否由 α 2 , α 3 线性表出?证明你的结论. (2) α 4 能否由 α1 , α 2 , α 3 线性表出?证明你的结论.
(1)将 β 用 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 线性表出. (2)求 A nβ(n 为自然数). (25.93)设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零, 且 A 的秩为 n 1, 则线性方程组 AX 0 的通解为_____________.
1 2 3 (26.93)已知 Q 2 4 t , P 为三阶非零矩阵, 且满足 PQ 0, 则( 3 6 9
历年考研真题概率论部分
——万学教育 海文考研 安徽教研室 (1.87数一) 已知三维向量空间的基底为 α1 (1,1,0), α2 (1,0,1), α3 (0,1,1), 则向量
β (2, 0, 0) 在此基底下的坐标是_____________.
3 0 1 (2.87)设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB = A 2B, 其中 A 1 1 0 , 求矩阵 B. 0 1 4
(3.87)设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式 | A | a 0, 而 (A) a (C) a n 1 (4.87)（本题满分8分） 问 a, b 为何值时, 现线性方程组 (B)
A* 是 A的伴随矩阵，则
| A* |等于
1 a
(D) a n
x1 x2 x3 x4 0 x2 2 x3 2 x4 1 x2 (a 3) x3 2 x4 b 3 x1 2 x2 x3 ax4 1
1 0 (22.92)要使 ξ1 0 , ξ 2 1 都是线性方程组 2 1
(A) 2 1 2
AX 0 的解, 只要系数矩阵 A 为(
)
(B)
2 0 1 0 1 1
1 0 2 (C) 0 1 1
且矩阵 A 满足关系式
1 3 4 2 1 3 0 2 1 0 0 2
A(E C1B)C E
其中 E 为四阶单位矩阵 , C1 表示 C 的逆矩阵 , C 表示 C 的转置矩阵. 将上述关系式化简并求矩阵 A. (16.90)（本题满分8分）
2 2 求一个正交变换化二次型 f x12 4 x2 4 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 成标准型.
* 设 A 为 n 阶非零方阵 , A 是 A 的伴随矩阵 , A 是 A 的转置矩阵, 当
A* A 时, 证明
A 0.
1 3 1 (33.95)设三阶方阵 A, B 满足关系式 A BA 6 A BA, 且 A 0 0
=_____________.
(30.94)已知向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关, 则向量组 (A) α1 α 2 , α 2 α 3 , α 3 α 4 , α 4 α1 线性无关 线性无关 (C) α1 α 2 , α 2 α 3 , α 3 α 4 , α 4 α1 线性无关 线性无关 (31.94)、（本题满分8分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为
a13 0 1 0 1 0 0 a23 , P1 1 0 0 , P2 0 1 0 , a33 0 0 1 1 0 1
(B) AP2 P1 = B (D) P2 P1A = B
(35.95)、（本题满分7分）
β1 β 2 2 β β2 (C) k1α1 k2 (β1 β 2 ) 1 2
β1 β 2 2 β β2 (D) k1α1 k2 (β1 β 2 ) 1 2
(B) k1α1 k2 (α1 α 2 )
(15.90)、（本题满分6分） 设四阶矩阵
1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 B ,C 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
a1b1 a b 2 1 (21.92)设 A anb1
a1b2 a2b1 anb2
a1bn a2bn , 其中 a 0, b 0, (i 1, 2, i i anbn
, n). 则矩阵 A 的秩
r ( A) =_____________.
0 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 1, 2 3 1, 对应于 1 的特征向量为 ξ1 1 , 求 A. 1
5 2 (17.91)设4阶方阵 A 0 0
(A) ACB E (C) BAC E (19.91)（本题满分8分）
2 0 1 0
0 0 , 则 A 的逆阵 A 1 =_____________. 0 1 2 0 1 1
) (B) CBA E (D) BCA E
(1)求 x 与 y. (2)求一个满足
P 1AP B
的可逆阵 P.
3 0 0 1 0 0 (9.89)设矩阵 A 1 4 0 , I 0 1 0 , 则矩阵 ( A 2I ) 1 =_____________. 0 0 3 0 0 1
(24.92)、（本题满分7分） 设3阶矩阵 A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 3, 对应的特征向量依次为
1 1 1 1 ξ1 1 , ξ 2 2 , ξ 3 3 , 又向量 β 2 . 1 4 9 3
(1) a 、 b 为何值时 , β 不能表示成 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的线性组合? (2) a 、 b 为何值时 , β 有 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的唯一的线性表示式?写出该表示式.