第36讲 合情推理与演绎推理
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图 6-36-1
课堂考点探究
探究点一 类比推理
(2)已知点 A(x1，x21)，B(x2，x22)是函数 y＝x2 的图像 上任意不同的两点，依据图像可知，线段 AB 总是 位于 A，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论 x21＋2 x22>x1＋2 x22成立．运用类比思想方法可知，若 点 A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数 y＝sin x(x∈(0， π))的图像上任意不同的两点，则类似地有结论 ________________________成立．
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ___归__纳___、___类__比___，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理
课前双基巩固
知识梳理
2.演绎推理
定义
从__一__般__性__的__原__理___出发，推出_某__个__特__殊__情__况__下的结论，我 们把这种推理称为演绎推理
[解析] 观察得出规律，左边为连续自然数 平方的倒数和，右边为项数的 2 倍减 1 的 差除以项数，即 1＋212＋312＋412＋512＋…＋ n12<2n－ n 1(n∈N*，n≥2)，所以第五个不等 式为 1＋212＋312＋412＋512＋612<161.
课前双基巩固
对点演练
题组二 常错题 ◆ 索引：演绎推理的两个易错点：(1)推理形式；(2)大(小)前提错误．
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
1．[教材改编] 数列 2，5，11，20，x，47，… 中的 x 等于________ .
[答案] 32
[解析] 由 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 得 x－20＝12，因此 x＝32.
课前双基巩固
对点演练
2．[教材改编] 对于三段论“所有的金属都导 电，汞是金属，所以汞能够导电”，其中的小前 提是________．
[答案] 1 和 3
[解析] 由题意可知丙不拿 2 和 3. 若丙拿 1 和 2，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 3，满足题意； 若丙拿 1 和 3，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 2，不满足题意． 故甲的卡片上的数字是 1 和 3.
课前双基巩固
对点演练
8．[2015·陕西卷] 观察下列等式 1－12＝12 1－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 …… 据此规律，第 n 个等式可为____________．
sin (2)
x1＋sin 2
x2＜sin
x1＋x2 2
[解析] (1)类比可知OAAA11＋OBBB11＋OCCC11＋DODD11＝1.用体积法证明：在四面体 ABCD 中，OAAA11＋ OBBB11＋OCCC11＋ODDD11＝VOBCD＋VOACVDA＋BCVDOABD＋VOABC＝VVAABBCCDD＝1.
[答案] A
[解析] 由甲没去过 B 城市，乙没去过 C 城市， 而三人去过同一城市，可知三人去过城市 A，又 由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多， 故乙只去过 A 城市．
课前双基巩固
对点演练
7．[2016·全国卷Ⅱ] 有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一 张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡 片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后 说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”， 丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则 甲的卡片上的数字是________．
(2)依据函数 y＝sin x(x∈(0，π))的图像可知，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图
像的下方，所以类比函数 y＝x2 的结论，若点 A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数 y＝sin
x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点，则有结论sin
x1＋sin 2
x2<sinx1＋2 x2成立.
课堂考点探究
变式题 (1) 已知数列{an}为等差数列，若 am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则 am ＋n＝nbn－ －mma.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn＞0，n∈N*)，若 bm＝ c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到 bm＋n＝________．
叫作类比推理(简称类比)
由__特__殊____到___特__殊___的推理
一般 步骤
共性
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质； (1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的 (2)用一类事物的性质去推测另一类事物
一般性命题(猜想)
的性质，得出一个明确的命题(猜想)
真题在线
2．[2015·陕西卷] 观察下列等式 1－12＝12 1－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 …… 据此规律，第 n 个等式可为____________．
[答案] 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－ 21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n
[答案] A
[解析] 由甲没去过 B 城市，乙没去过 C 城市，而三人去过同一城市，可知三人 去过城市 A，又由甲最多去过两个城市， 且去过的城市比乙多，故乙只去过 A 城 市．
真题在线 ■ [2016－2015] 其他省份类似高考真题
1．[2016·山东卷] 观察下列等式： sinπ3 －2＋sin2π3 －2＝43×1×2； sinπ5 －2＋sin2π5 －2＋sin35π－2＋sin45π－2＝43×2×3； sinπ7 －2＋sin 27π－2＋sin3π7 －2＋…＋sin6π7 －2＝43×3×4； sinπ9 －2＋sin2π9 －2＋sin39π－2＋…＋sin89π－2＝43×4×5； …… 照此规律，
[答案] 大前提错误
[解析] 因为大前提错误，所以尽管 推理的形式正确，但结论仍然是错误 的．
课前双基巩固
对点演练
题组二 常考题
6．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位 同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市．乙说：我没去过 C 城市．丙说：我 们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．
课堂考点探究
[总结反思] (1)类比推理是由特殊到特殊的推理，根据所给命题的特点，可以从以下几个方面考虑 类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构． (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数 列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． (3)类比推理的一般步骤：首先找出两类事物之间的相似性或一致性，再用一类事物的 性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
[答案] [解析]
43n(n＋1) 第一个等式中，
1＝3－2 来自百度文库，
2＝
3＋2 1；第二个等式中，2＝5－2 1，3＝5＋2 1；
第三个等式中，3＝7－2 1，4＝7＋2 1.由此
可推得第 n 个等式等于43×2n＋21－1×
2n＋21＋1＝43n(n＋1)．
sin2nπ＋1－2＋sin22nπ＋1－2＋sin23nπ＋1－2＋…＋sin22nn＋π1－2＝________．
第36讲 PART 06
合情推理与演绎推理
考试说明
1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比，体会合情推理在数学发现中 的作用． 2．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异，掌握演绎推理 的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．
教学参考
考情分析
考点 类比推理 归纳推理
[答案] 1 和 3
[解析] 由题意可知丙不拿 2 和 3. 若丙拿 1 和 2，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 3，满足题意； 若丙拿 1 和 3，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 2，不满足题意． 故甲的卡片上的数字是 1 和 3.
真题在线
2．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三 位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市 时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去 过 B 城市．乙说：我没去过 C 城市．丙说： 我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．
[思路点拨] 第(1)小题先由平面上线段 之间的关系，类比到空间图形中线段之 间的关系，再由利用面积证明类比到利 用体积证明；第(2)小题先找出两个函数 图像一致的性质，再由已知函数 y＝x2 的性质推测函数 y＝sin x(x∈(0，π)) 的性质．
课堂考点探究
[答案] (1)OAAA11＋OBBB11＋OCCC11＋ODDD11＝1
演绎推理
考查方向 类比新结论
归纳得出一般 性的结论
应用“三段论” 进行推理
考例
考查热度 ★☆☆
★☆☆
2014·新课标全国卷Ⅰ14, 2016· 全国卷Ⅱ16
★★☆
真题在线
■ [2016－2011]课标全国真题再现
1．[2016·全国卷Ⅱ] 有三张卡片，分 别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙， 丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的 卡片后说：“我与乙的卡片上相同的 数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和 不是 5”，则甲的卡片上的数字是 ________．
[答案] 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝ n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n
[解析] 根据给出的等式的规律归纳即 得．
课堂考点探究
探究点一 类比推理
例 1 (1)[2016·湛江一模] 如图 6-36-1 所示，已知 O 是△ABC 内任意一点，连接 AO，BO， CO 并延长交对边于 A1，B1，C1，则OAAA11＋OBBB11＋OCCC11＝1，类比猜想：点 O 是空间四面体 A-BCD 内任意一点，连接 AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面 BCD ，ACD ，ABD ， ABC 于 A1，B1，C1，D1，则有____________________ .
特点
演绎推理是由__一__般__到__特__殊______的推理
“三段论” 模式：“三段 的结构 论”是演绎推 理的一般模式 “三段论”
的表示
②大前提——已知的_一__般__原__理_； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对_特__殊__情__况_做出的判断
①大前提——M是P； ②小前提——S是M； ③结论——_S__是__P___
[答案] 汞是金属
[解析] 按照三段论的模式，知“小 前提”为“汞是金属”．
课前双基巩固
对点演练
3．[教材改编] 观察下列不等式：1＋212<32， 1＋212＋312<53，1＋212＋312＋412<74，….按此规 律，第五个不等式为 ________________________． [答案] 1＋212＋312＋412＋512＋612<161
4．命题“有些有理数是无限循环小数， 整数是有理数，所以整数是无限循环小 数”是假命题，推理错误的原因是 ________________．
[答案] 使用了“三段论”，但推理形式错 误
[解析] 大前提与小前提之间没有包含关系， 虽然使用了“三段论”，但推理形式错误．
课前双基巩固
对点演练
5．“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段 论推理，但其结论是错误的，错误的原因是 ________________．
(2)在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与相邻两边所成的角分别为 α，β，则有 cos2α＋cos2 β＝1.类比到空间中的一个真命题是：在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中，对角线 AC1 与相
邻三个面所成的角分别为 α，β，γ，则有__________________．
[解析] 根据给出的等式的规律归纳 即得．
课前双基巩固
知识梳理
1．合情推理
归纳推理
定义
根据一类事物的_部__分__对__象_具有某种性质，推 出这类事物的所有对象都具有这种性质的推
理，叫作归纳推理(简称归纳)
特点
由_特__殊___到_一__般___的推理
类比推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或 一致)性，推测其中一类事物具有与另一 类事物__类__似__(_或__相__同__)的__性__质___的推理，
课堂考点探究
探究点一 类比推理
(2)已知点 A(x1，x21)，B(x2，x22)是函数 y＝x2 的图像 上任意不同的两点，依据图像可知，线段 AB 总是 位于 A，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论 x21＋2 x22>x1＋2 x22成立．运用类比思想方法可知，若 点 A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数 y＝sin x(x∈(0， π))的图像上任意不同的两点，则类似地有结论 ________________________成立．
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ___归__纳___、___类__比___，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理
课前双基巩固
知识梳理
2.演绎推理
定义
从__一__般__性__的__原__理___出发，推出_某__个__特__殊__情__况__下的结论，我 们把这种推理称为演绎推理
[解析] 观察得出规律，左边为连续自然数 平方的倒数和，右边为项数的 2 倍减 1 的 差除以项数，即 1＋212＋312＋412＋512＋…＋ n12<2n－ n 1(n∈N*，n≥2)，所以第五个不等 式为 1＋212＋312＋412＋512＋612<161.
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对点演练
题组二 常错题 ◆ 索引：演绎推理的两个易错点：(1)推理形式；(2)大(小)前提错误．
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对点演练
题组一 常识题
1．[教材改编] 数列 2，5，11，20，x，47，… 中的 x 等于________ .
[答案] 32
[解析] 由 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 得 x－20＝12，因此 x＝32.
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对点演练
2．[教材改编] 对于三段论“所有的金属都导 电，汞是金属，所以汞能够导电”，其中的小前 提是________．
[答案] 1 和 3
[解析] 由题意可知丙不拿 2 和 3. 若丙拿 1 和 2，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 3，满足题意； 若丙拿 1 和 3，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 2，不满足题意． 故甲的卡片上的数字是 1 和 3.
课前双基巩固
对点演练
8．[2015·陕西卷] 观察下列等式 1－12＝12 1－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 …… 据此规律，第 n 个等式可为____________．
sin (2)
x1＋sin 2
x2＜sin
x1＋x2 2
[解析] (1)类比可知OAAA11＋OBBB11＋OCCC11＋DODD11＝1.用体积法证明：在四面体 ABCD 中，OAAA11＋ OBBB11＋OCCC11＋ODDD11＝VOBCD＋VOACVDA＋BCVDOABD＋VOABC＝VVAABBCCDD＝1.
[答案] A
[解析] 由甲没去过 B 城市，乙没去过 C 城市， 而三人去过同一城市，可知三人去过城市 A，又 由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多， 故乙只去过 A 城市．
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7．[2016·全国卷Ⅱ] 有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一 张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡 片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后 说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”， 丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则 甲的卡片上的数字是________．
(2)依据函数 y＝sin x(x∈(0，π))的图像可知，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图
像的下方，所以类比函数 y＝x2 的结论，若点 A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数 y＝sin
x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点，则有结论sin
x1＋sin 2
x2<sinx1＋2 x2成立.
课堂考点探究
变式题 (1) 已知数列{an}为等差数列，若 am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则 am ＋n＝nbn－ －mma.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn＞0，n∈N*)，若 bm＝ c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到 bm＋n＝________．
叫作类比推理(简称类比)
由__特__殊____到___特__殊___的推理
一般 步骤
共性
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质； (1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的 (2)用一类事物的性质去推测另一类事物
一般性命题(猜想)
的性质，得出一个明确的命题(猜想)
真题在线
2．[2015·陕西卷] 观察下列等式 1－12＝12 1－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 …… 据此规律，第 n 个等式可为____________．
[答案] 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－ 21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n
[答案] A
[解析] 由甲没去过 B 城市，乙没去过 C 城市，而三人去过同一城市，可知三人 去过城市 A，又由甲最多去过两个城市， 且去过的城市比乙多，故乙只去过 A 城 市．
真题在线 ■ [2016－2015] 其他省份类似高考真题
1．[2016·山东卷] 观察下列等式： sinπ3 －2＋sin2π3 －2＝43×1×2； sinπ5 －2＋sin2π5 －2＋sin35π－2＋sin45π－2＝43×2×3； sinπ7 －2＋sin 27π－2＋sin3π7 －2＋…＋sin6π7 －2＝43×3×4； sinπ9 －2＋sin2π9 －2＋sin39π－2＋…＋sin89π－2＝43×4×5； …… 照此规律，
[答案] 大前提错误
[解析] 因为大前提错误，所以尽管 推理的形式正确，但结论仍然是错误 的．
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对点演练
题组二 常考题
6．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位 同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市．乙说：我没去过 C 城市．丙说：我 们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．
课堂考点探究
[总结反思] (1)类比推理是由特殊到特殊的推理，根据所给命题的特点，可以从以下几个方面考虑 类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构． (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数 列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． (3)类比推理的一般步骤：首先找出两类事物之间的相似性或一致性，再用一类事物的 性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
[答案] [解析]
43n(n＋1) 第一个等式中，
1＝3－2 来自百度文库，
2＝
3＋2 1；第二个等式中，2＝5－2 1，3＝5＋2 1；
第三个等式中，3＝7－2 1，4＝7＋2 1.由此
可推得第 n 个等式等于43×2n＋21－1×
2n＋21＋1＝43n(n＋1)．
sin2nπ＋1－2＋sin22nπ＋1－2＋sin23nπ＋1－2＋…＋sin22nn＋π1－2＝________．
第36讲 PART 06
合情推理与演绎推理
考试说明
1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比，体会合情推理在数学发现中 的作用． 2．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异，掌握演绎推理 的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．
教学参考
考情分析
考点 类比推理 归纳推理
[答案] 1 和 3
[解析] 由题意可知丙不拿 2 和 3. 若丙拿 1 和 2，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 3，满足题意； 若丙拿 1 和 3，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 2，不满足题意． 故甲的卡片上的数字是 1 和 3.
真题在线
2．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三 位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市 时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去 过 B 城市．乙说：我没去过 C 城市．丙说： 我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．
[思路点拨] 第(1)小题先由平面上线段 之间的关系，类比到空间图形中线段之 间的关系，再由利用面积证明类比到利 用体积证明；第(2)小题先找出两个函数 图像一致的性质，再由已知函数 y＝x2 的性质推测函数 y＝sin x(x∈(0，π)) 的性质．
课堂考点探究
[答案] (1)OAAA11＋OBBB11＋OCCC11＋ODDD11＝1
演绎推理
考查方向 类比新结论
归纳得出一般 性的结论
应用“三段论” 进行推理
考例
考查热度 ★☆☆
★☆☆
2014·新课标全国卷Ⅰ14, 2016· 全国卷Ⅱ16
★★☆
真题在线
■ [2016－2011]课标全国真题再现
1．[2016·全国卷Ⅱ] 有三张卡片，分 别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙， 丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的 卡片后说：“我与乙的卡片上相同的 数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和 不是 5”，则甲的卡片上的数字是 ________．
[答案] 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝ n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n
[解析] 根据给出的等式的规律归纳即 得．
课堂考点探究
探究点一 类比推理
例 1 (1)[2016·湛江一模] 如图 6-36-1 所示，已知 O 是△ABC 内任意一点，连接 AO，BO， CO 并延长交对边于 A1，B1，C1，则OAAA11＋OBBB11＋OCCC11＝1，类比猜想：点 O 是空间四面体 A-BCD 内任意一点，连接 AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面 BCD ，ACD ，ABD ， ABC 于 A1，B1，C1，D1，则有____________________ .
特点
演绎推理是由__一__般__到__特__殊______的推理
“三段论” 模式：“三段 的结构 论”是演绎推 理的一般模式 “三段论”
的表示
②大前提——已知的_一__般__原__理_； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对_特__殊__情__况_做出的判断
①大前提——M是P； ②小前提——S是M； ③结论——_S__是__P___
[答案] 汞是金属
[解析] 按照三段论的模式，知“小 前提”为“汞是金属”．
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对点演练
3．[教材改编] 观察下列不等式：1＋212<32， 1＋212＋312<53，1＋212＋312＋412<74，….按此规 律，第五个不等式为 ________________________． [答案] 1＋212＋312＋412＋512＋612<161
4．命题“有些有理数是无限循环小数， 整数是有理数，所以整数是无限循环小 数”是假命题，推理错误的原因是 ________________．
[答案] 使用了“三段论”，但推理形式错 误
[解析] 大前提与小前提之间没有包含关系， 虽然使用了“三段论”，但推理形式错误．
课前双基巩固
对点演练
5．“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段 论推理，但其结论是错误的，错误的原因是 ________________．
(2)在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与相邻两边所成的角分别为 α，β，则有 cos2α＋cos2 β＝1.类比到空间中的一个真命题是：在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中，对角线 AC1 与相
邻三个面所成的角分别为 α，β，γ，则有__________________．
[解析] 根据给出的等式的规律归纳 即得．
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知识梳理
1．合情推理
归纳推理
定义
根据一类事物的_部__分__对__象_具有某种性质，推 出这类事物的所有对象都具有这种性质的推
理，叫作归纳推理(简称归纳)
特点
由_特__殊___到_一__般___的推理
类比推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或 一致)性，推测其中一类事物具有与另一 类事物__类__似__(_或__相__同__)的__性__质___的推理，