第36讲合情推理与演绎推理

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合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理一、基础知识1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．↓演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．二、常用结论(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．考点一归纳推理考法(一) 与数字有关的推理[典例] 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，3 38＝ 338，4 415＝ 4415，5 524＝ 5524，…，则按照以上规律，若99n＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝( ) A ．25 B ．48 C ．63 D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝ 5524，…，可得若99n ＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80. [答案] D考法(二) 与式子有关的推理[典例] 已知f (x )＝xe x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.[解析] 因为导数分母都是e x，分子为(－1)n(x －n )，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x.[答案] (－1)n (x －n )e x考法(三) 与图形有关的推理[典例] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2 019＝________.[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2 019＝32 018－12.[答案] 32 018－12[题组训练]1．(2019·兰州实战性测试)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 22．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．则n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3. 答案：3×2n －3考点二类比推理[典例] 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3[解析] 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋ 14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23. [答案] A[题组训练]1．给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”．其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．类比以上结论：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 3，________，________，T 12T 9成等比数列．解析：等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 3＝b 1b 2b 3，T 6＝b 1b 2…b 6，T 9＝b 1b 2…b 9，T 12＝b 1b 2…b 12，所以T 6T 3＝b 4b 5b 6，T 9T 6＝b 7b 8b 9，T 12T 9＝b 10b 11b 12，所以T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9的公比为q 9，因此T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9成等比数列．答案：T 6T 3 T 9T 6考点三演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) [解题技法] 演绎推理问题求解策略(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[题组训练]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．考点四逻辑推理问题[典例](2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇[解析]假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B 镇，而不去B镇的前提是不去A镇．故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C.[答案] C[解题技法] 逻辑推理问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：(1)根据条件直接进行推理判断；(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．[题组训练]1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是()A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B．甲与丁相邻C．戊与己相邻D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻解析：选D由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B、C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D.图(1)图(2)图(3)[课时跟踪检测]1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是()①2 020能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 020是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选C根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被2整除．小前提：2 020是偶数．结论：2 020能被2整除．所以正确的排列顺序是②③①.故选C.2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析：选C 由题意可知，两数的和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为该列算式的第24项．故选C.4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.5．若等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，则一定有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( )A ．T 2n －1＝(2n －1)＋b nB ．T 2n －1＝(2n －1)b nC ．T 2n －1＝(2n －1)b nD ．T 2n －1＝b 2n －1n解析：选D 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ， a 2＋a 2n －2＝2a n, …，故有S 2n －1＝(2n －1)a n ，在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2·b 2n －2＝b 2n ，…，故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n.6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为( )A ．f (n )＝2n －1B ．f (n )＝2n 2C ．f (n )＝2n 2－2nD ．f (n )＝2n 2－2n ＋1解析：选D 因为f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23，25，…，按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2＜2 019＜64×(64＋1)2＝2 080，因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，所以第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，第3个数为3 974，故选D.8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为1,2,3，…，则第n 行最左侧的数为n ；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5，…，则第n 个等式左侧的数的个数为2n －1，而第n 个等式右侧为(2n －1)2，所以第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________.解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W 满足W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.答案：3πr 410．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N *)，其中λ>0，{a n }的通项公式是________________．解析：a 1＝2，a 2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22， a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23， a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.由此猜想出数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n . 答案：a n ＝(n －1)λn ＋2n11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．解析：类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)，所以FB ―→＝(c ，b )，AB ―→＝(－a ，b )．易知FB ―→⊥AB ―→，所以FB ―→·AB ―→＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0，又e ＞1，所以e ＝5＋12. 答案：5＋1212．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中，OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h＝V O BCDV A BCD .同理有OF DF ＝V O -ABC V D -ABC ，OG BG ＝V O-ACD V B -ACD ，OH CH ＝V O-ABDV C -ABD .∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝V O -BCD ＋V O -ABC ＋V O -ACD ＋V O -ABDV A -BCD ＝V A -BCD V A -BCD＝1.。

2023年高考政治一轮复习(部编版) 第36课第2课时掌握演绎推理的方法

√A.一般到个别个别到一般一般到一般或个别到个别
B.个别到一般一般到个别个别到个别 C.个别到一般一般到个别一般到一般 D.一般到个别个别到一般一般到个别
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核心考点二
考点精讲夯实必备知识
1.性质判断换质位推理
(1)性质判断换质推理
性质判断换质推理，又叫换质法。它是通过改变已知性质判断的含义
变式1 按照个纳推
④类比推理 ⑤或然推理
A.①②③
B.②③④
√C.①③④
D.①②⑤
②⑤是按照前提与结论之间是否有必然联系的角度来划分的，不符合题意，排除。
考向二演绎推理必须具备的条件典例2 玛雅遗址挖掘出一些珠宝作坊，这些作坊位于从遗址中心向外辐射的马路上，且离中心有一定的距离。由于贵族仅居住在中心地区，考古学家因此得出结论：这些作坊制作的珠宝不是供给贵族的，而是供给一些中等阶级的，他们一定已足够富有，可以购买珠宝。对在这些作坊工作的手工艺人，考古学家在论断时做的假设是 A.他们住在作坊附近
易错矫正规避认知误区
易错点对演绎推理、归纳推理、类比推理中个别与一般的关系认识错误
提醒在哲学认识论中，人们依据对个别与一般的关系的认识，将推理分为：演绎推理，即从一般到个别；归纳推理，即从个别到一般；类比推理，即从一般到一般或从个别到个别。
训练根据推理的思维进程，演绎推理是从________的推理，归纳推理是从________的推理，类比推理是从________的推理。
变式2 “凡是自然数都是实数，凡是负数都不是自然数，所以，凡是负数都不是实数。”对以上推理说法正确的是 A.正确，因为推理结构正确 B.正确，因为具备演绎推理的两个条件 C.错误，因为这个推理结构找不出“反例”

合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理知识点一：推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。

其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。

1.归纳推理（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

（2）一般模式：部分整体，个体一般（3）一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；③检验猜想.（4）归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.2.类比推理（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.（2）一般模式：特殊特殊（3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.（4）一般步骤：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）；③检验猜想.（5）类比推理的结论可真可假类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。

（江苏专用）高考数学总复习第六篇数列、推理与证明《第36讲　合情推理与演绎推理》课件理苏教版

难点突破13——高考中归纳推理与类比推理问题的求解策略
从近两年新课标高考试题可以看出高考对归纳推理与类比推理的考查主要以填空题的形式出现，难度为中等，常常以不等式、立体几何、解析几何、函数、数列等为载体来考查归纳推理与类比推理．
一、归纳推理【示例】 (2011·陕西)观察下列等式
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 照此规律，第五个等式应为________．
4．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝
1 3
x是指数
函数(小前提)，所以函数y＝13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于________错误导致结论错．解析 “指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是
错误的，因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错
误的．
答案大前提错
解析三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比
为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二
维图形中12类比为三维图形中的13，得V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋
S4)r. 答案
V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r
(1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果； (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．
2－x－1 2－x＋1
＝
1－2x 1＋2x
＝－
22xx－＋11＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)在R上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈R，并且x1＞x2， f(x1)－f(x2)＝22xx11－＋11－22xx22－＋11

合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理一、知识讲解推理：由一个或几个事实（或假设）得出一个判断的思维方式前提为真，结论可能为真的推理称为合情推理.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).特征：从特殊现象到一般现象归纳推理的一般步骤：已知条件观察归纳大胆猜想检验猜想（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). 归纳推理和类比推理的过程：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想检验猜想（3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．说明：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论可表示为：大前提：M 是P小前提：S 是M结论：S 是P二、典型例题例根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有个点.例根据给出的数塔猜测123456×9+7等于1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111……例证明函数f (x )=-x 2+2x 在(-∞,1]上是增函数.三：小结思考设(),(),22x x x xa a a a f x g x --+-== 其中 0,1a a >≠且（1）5=2+3，请你推测(5)f 能否用(2),2(3),(3)f g f g （）,来表示；（2）如果（1）中获得一个结论，请你推测能否将其推广.。

合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理1.合情推理2.演绎推理(1)定义：根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.概念方法微思考1.合情推理所得结论一定是正确的吗？提示合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确.2.合情推理对我们学习数学有什么帮助？提示合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.3.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N＋).(×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(×)题组二教材改编2.已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A.a n＝3n－1B.a n＝4n－3C.a n＝n2D.a n＝3n－1答案 C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.3.在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________________.答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，b29＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋).题组三易错自纠4.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确答案 C解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误.5.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 则正确的结论是________.(填序号) 答案 ①④解析显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交. 6.观察下列关系式：1＋x ＝1＋x ；()1＋x 2≥1＋2x ，()1＋x 3≥1＋3x ，……，由此规律，得到的第n 个关系式为________. 答案 (1＋x )n ≥1＋nx解析左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n 个关系式为(1＋x )n ≥1＋nx (n ∈N ＋).题型一归纳推理命题点1 与数式有关的的推理例1 (1)(2018·郑州模拟)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是( )A.18B.17C.16D.15 答案 B解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号 “”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.(2)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0182<________. 答案4 0352 018解析由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2 018，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a 2 017＝3＋(2 017－1)×2＝4 035.命题点2 与图形变化有关的推理例2 (2018·马鞍山模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构.也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n ＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为( )A.81B.121C.364D.1 093 答案 C解析由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n ＝1时，a 1＝1； n ＝2时，a 2＝3＋1＝4； n ＝3时，a 3＝3×4＋1＝13； n ＝4时，a 4＝3×13＋1＝40； n ＝5时，a 5＝3×40＋1＝121； n ＝6时，a 6＝3×121＋1＝364，故选C.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.跟踪训练1 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A.21B.34C.52D.55答案 D解析由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.题型二类比推理例3(1)已知{a n}为等差数列，a1 010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝5×2 019.若{b n}为等比数列，b1 010＝5，则{b n}类似的结论是()A.b1＋b2＋b3＋…＋b2 019＝5×2 019B.b1b2b3…b2 019＝5×2 019C.b1＋b2＋b3＋…＋b2 019＝52 019D.b1b2b3…b2 019＝52 019答案 D解析在等差数列{a n}中，令S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019，则S＝a2 019＋a2 018＋a2 017＋…＋a1，∴2S＝(a1＋a2 019)＋(a2＋a2 018)＋(a3＋a2 017)＋…＋(a2 019＋a1)＝2 019(a1＋a2 019)＝2 019×2a1 010＝10×2 019，∴S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝5×2 019.在等比数列{b n}中，令T＝b1b2b3…b2 019，则T＝b2 019b2 018b2 017 (1)∴T2＝(b1b2 019)(b2b2 018)(b3b2 017)…(b2 019b1)＝(b21 010)2 019，∴T＝b1b2b3…b2 019＝(b1 010)2 019＝52 019.(2)祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体.(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在xOy 坐标系中，设抛物线C 的方程为y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，将曲线C 围绕y 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4 答案 B解析构造如图所示的直三棱柱，高设为x ，底面两个直边长为2,1，若底面积相等得到：2x ＝π×12，x ＝π2.下面说明截面面积相等，设截面距底面为t ，矩形截面长为a ，圆形截面半径为r ，由左图得到，a 2＝1－t1，∴a ＝2(1－t )，∴截面面积为2(1－t )×π2＝(1－t )π，由右图得到，t ＝1－r 2(坐标系中易得)， ∴r 2＝1－t ，∴截面面积为(1－t )π， ∴二者截面面积相等， ∴体积相等.∴抛物体的体积为V 三棱柱＝Sh ＝12×2×1×π2＝π2.故选B.思维升华类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等.跟踪训练2 在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间中，则三棱锥中的类似结论为____________________.答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.题型三演绎推理例4 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋).证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略.跟踪训练3 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行.某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( ) A.今天是周六B.今天是周四C.A 车周三限行D.C 车周五限行答案 B解析因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四.故选B.1.“对数函数是非奇非偶函数，f (x )＝log 2|x |是对数函数，因此f (x )＝log 2|x |是非奇非偶函数”，以上推理( ) A.结论正确 B.大前提错误 C.小前提错误 D.推理形式错误答案 C解析本命题的小前提是f (x )＝log 2|x |是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f (x )＝log 2|x |不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的才是对数函数.故选C. 2.(2018·重庆模拟)中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为.1～9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则2log 643的运算结果可用算筹表示为( )答案 D解析根据题意，2log 643＝36＝729，用算筹记数表示为，故选D.3.下列推理是归纳推理的是( )A.M ，N 为定点，动点P 满足||PM |－|PN ||＝2a <|MN |(a >0)，则动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线B.由a 1＝2，a n ＝3n －1求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列{a n }的前n 项和S n 的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇答案 B解析A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求.B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求.C选项由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求.D选项用的是演绎推理，不符合要求.故选B.4.观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102.根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于()A.192B.202C.212D.222答案 C解析因为13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次为(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选C.5.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为()A.丙酉年B.戊申年C.己申年D.己酉年答案 D解析天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10＝8，则2029的天干为己，80÷12＝6余8，则2029的地支为酉，故选D.6.甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级.老师说：“你们四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我现在给甲看乙、丙的成绩等级，给乙看丙的成绩等级，给丙看丁的成绩等级”.看后甲对大家说：“我知道我的成绩等级了”.根据以上信息，则()A.甲、乙的成绩等级相同B.丁可以知道四人的成绩等级C.乙、丙的成绩等级相同D.乙可以知道四人的成绩等级答案 D解析由题意，四个人所知的只有自己看到的，以及甲最后所说的话，甲知道自己的等级，则甲已经知道四个人等级，其甲、乙的成绩等级不一定是相同的，所以A 是不对的，乙、丙的成绩等级不一定是相同的，所以C 是不正确的，丁没有看任何人的成绩等级，所以丁不可能知道四人的成绩等级，所以B 是不对的，只有乙可能知道四人的成绩等级，所以D 是正确的.7.(2019·上饶模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________. 答案 3πr 4解析二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.8.已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；…照此规律，当n ∈N ＋，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn ≥______.答案na 1a 2…a n解析根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n (n ∈N ＋，n ≥2).9.已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 019(x )的表达式为________.答案 f 2 019(x )＝x1＋2 019x解析 f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，…，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))＝x 1＋(n ＋1)x，归纳可得f 2 019(x )＝x 1＋2 019x. 10.如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c 2＝a 2＋b 2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，截面面积为S ，类比平面的结论有________.答案 S 2＝S 21＋S 22＋S 23解析三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S 2＝S 21＋S 22＋S 23.11.(2019·郑州调研)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 223＝223，338＝338，4415＝4415， 5524＝5524，……，则按照以上规律，若88n ＝ 88n 具有 “穿墙术”，则n ＝________. 答案 63解析 ∵223＝2222－1＝223， 338＝3332－1＝338， 4415＝4442－1＝4415， 5524＝5552－1＝5524， ∴按照以上规律88n ＝88n ，可得n ＝82－1＝63. 12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 018这2 017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________.答案 336解析因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项a n ＝6n ＋1，设6n ＋1≤2 018，所以6n ≤2 017，所以n ≤33616. 所以此数列的项数为336.13.(2018·黄山模拟)为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为a 1a 2a 3，传输信息为h 1a 1a 2a 3h 2，其中h 1＝a 1⊕a 2，h 2＝h 1⊕a 3，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是( )A.01100B.11010C.10110D.11000答案 D解析 A 选项原信息为110，则h 1＝a 1⊕a 2＝1⊕1＝0，h 2＝h 1⊕a 3＝0⊕0＝0，所以传输信息为01100，A 选项正确；B 选项原信息为101，则h 1＝a 1⊕a 2＝1⊕0＝1，h 2＝h 1⊕a 3＝1⊕1＝0，所以传输信息为11010，B 选项正确；C 选项原信息为011，则h 1＝a 1⊕a 2＝0⊕1＝1，h 2＝h 1⊕a 3＝1⊕1＝0，所以传输信息为10110，C 选项正确；D 选项原信息为100，则h 1＝a 1⊕a 2＝1⊕0＝1，h 2＝h 1⊕a 3＝1⊕0＝1，所以传输信息为11001，D 选项错误；故选D.14.一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第3步结束时该质点所在位置的坐标为(0,1)，第4步结束时质点所在位置的坐标为(－1,1)，那么第2 018步结束时该质点所在位置的坐标为________.答案 (16，－22)解析当运动：1＋1＋2＋2步时，坐标为(－1，－1)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步时，坐标为(－2，－2)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步时，坐标为(－3，－3)；……当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n (n 为偶数)步时，坐标为⎝⎛⎭⎫－n 2，－n 2. 而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n ≤2 018，即n (n ＋1)≤2 018(n ∈N ＋)，解得n ≤44.当n ＝44时，该点的坐标为(－22，－22)，共走了1 980步，此时还需向右走38步，故最终坐标为(16，－22).15.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A.6B.7C.8D.9答案 C解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N ＋)层的点数为6(n －1).设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N ＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n ＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层.16.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC ＝DB ＝14AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个命题：①数列{S n }不是等比数列；②数列{S n }是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2 019；④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019.其中真命题的序号是________.(请写出所有真命题的序号)答案 ①②④解析由题意，得图1中的线段为a ，S 1＝a ，图2中的正六边形的边长为a 2， S 2＝S 1＋a 2×4＝S 1＋2a ，图3中的最小正六边形的边长为a 4， S 3＝S 2＋a 4×4＝S 2＋a ，图4中的最小正六边形的边长为a 8， S 4＝S 3＋a 8×4＝S 3＋a 2，由此类推，S n －S n －1＝a 2n －3(n ≥2)，即{S n }为递增数列，且不是等比数列，即①，②正确；因为S n ＝S 1＋(S 2－S 1)＋(S 3－S 2)＋…＋(S n －S n －1)＝a ＋2a ＋a ＋a 2＋…＋a 2n －3＝a ＋2a ⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12＝a ＋4a ⎝⎛⎭⎫1－12n －1<5a (n ≥2，n ∈N ＋)，又S 1＝a <5a ，所以存在最大的正数a ＝2 0195，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019，即④正确，③错误.。

2019版高考数学(理)课件：第36讲合情推理与演绎推理

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( × ) (2) 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合
适．( × )
(3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )
【例 1】
a1＋a2＋…＋an (1)若数列 an 是等差数列，则数列 bn bn＝也为等差数 n

列．类比这一性质可知，若正项数列 cn 是等比数列，且 dn 也是等比数列，则 dn 的表达式应为( D ) c1＋c2＋…＋cn A．dn＝ n
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1．合情推理 (1)归纳推理全部对象 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的____________ 都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理．部分到__________ 整体、由__________ 个别一般 ②特点：是由__________ 到__________ 的推理． (2)类比推理
一
类比推理
(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键． (2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运
算类比、圆锥曲线间的类比等．
第六章不等式、推理与证明

高中数学《合情推理与演绎推理》ppt课件8PPT课件

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13
1，3，5，7，…，由此你猜想出第 n 个数是__2_n__1__.
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
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统计初步中的用样本估计总体通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验，进而对整体做出推断.
成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体形势的变化，由部分推知全体.
的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
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圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
于弦.
圆心连线垂直于截面圆.
与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长.
与球心距离相等的两截面圆面积相等;与球心距离不等的两截面圆面积不等,距球心较近的截面圆面积较大.
到第三天，天还没亮，诸葛亮便派人将鲁肃请来说：“请您和我一同去取箭。” 然后，把20条快船用长绳连起来，一直往江北驶去。当时，长江上雾云很大，对面看不见人。鲁肃心里不明白，问诸葛亮怎么回事。诸葛亮只是笑，并不回答。
不久，船靠近曹操的水寨。诸葛亮命令将船头朝东船尾向西，一字摆开。又叫士兵一起敲鼓呐喊。曹操听了报告，说：“雾天作战，恐怕有埋伏。先让水陆军的弓箭手向他们射箭，雾散后再进军。”于是，箭像雨点一样射向那20条船。箭头准确地落在草捆上，排得密密麻麻。过了一会儿，诸葛亮命令船头掉过来，再由西向东排开，于是，另一面又被射满了箭。等到太阳要升起来时，雾也快散了。诸葛亮命令军士开船，并一起大喊：“谢谢丞相的箭！”船到了南岸，周瑜已经派了500名军士在江边等着搬箭，卸完后共有十二三万枝箭。鲁肃见了周瑜，把诸葛亮借箭的事说了一遍。周瑜叹气说：“诸葛亮真是神机妙算，我实在不如他啊！”

九年级数学下册《合情推理和演绎推理》课件新人教版

由部分到整体,个由特殊到特殊的由一般到特殊的推理别到一般的推理推理推理
在前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演联系绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的
归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
简而言之,归纳推理是由部分到整体、
由个别到一般的推理。
例如：磨擦双手能产生热，敲击石头能产生热，锤击铁块能产生热，磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；所以，物质运动能产生热。
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
“归纳和演绎正如分析和综合一样，是必然相互联系的，不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去。 “数学的创造过程是与其他知识的创造一样的，在证明一个定理之前，你先得猜想这个定理的内容，在你完全作出详细的证明之前，你得猜想证明的思路，你要先把观察到的结果加以综合然后加以类比，你得一次又一次地尝试，数学家的创造性成果是论证推理（演绎推理），即证明，但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的”
在探索自然规律时，首先要确定一个目标，或者提出一个要解决的问题，然后通过日常的实践、分析和合情推理，总结出一个预期的解决方案或猜想，最后还需对此猜想作出严格的证明，证明的过程中则需要按演绎推理的规则进行，证明完前一步，下一步又该如何演绎仍需依靠合情

高中数学选修2《合情推理与演绎推理》课件

【推理】
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程. 合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方向的作用; 演绎推理则具有证明结论, 整理和建构知识体系的作用.
合情推理又分归纳推理与类比推理.
问题1. 观察以下几个一元二次方程的根与常数项, 你有什么发现? 5x2+2x+3=0, 5x2+2x-3=0, x2+x+1=0, x2+x-1=0, 2x2-3x+4=0, 2x2-3x-4=0. 问题2. 观察下面几个偶数的分解, 你有什么发现? 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11. 方程 5x2+2x+3=0, x2+x+1=0, 2x2-3x+4=0 无实根; 方程 5x2+2x-3=0, x2+x-1=0, 2x2-3x-4=0 有二不等实根. 由问题 1 猜测: 一元二次方程中, 常数项为正时, 方程无实根; 常数项为负时, 方程有两不等实根.
归纳推理可以发现新事实, 获得新结论.
【课时小结】
2. 归纳推理的基本思路
(1) 在部分对象中寻找相同点. 如问题 1, 2. (2) 在部分对象中分析运行结果的相同点. 如例1, 例4. (3) 在部分对象中寻找相关关系. 如练习第2题.
习题 2.1 A组第 1、2、3 题.
习题 2.1 A 组 2an 1. 在数列{an}中, a1=1, an+1 = (nN*), 试 2 + an 猜想这个数列的通项公式. 解: a1=1. 2a1 21 2 = = . a2 = 2 + a1 2 + 1 3 2 2 2a2 1 3 = . = a3 = ∴猜想: 2 2 2 + a2 2 + 3 an = 2 . n+1 1 2 2a3 2 2 = . = a4 = 2 + a3 2 + 1 5 2 2 2 1 2 2 观察前 4 项: a1 = 1 = , a2 = , a3 = = , a4 = . 2 3 2 4 5

2020高考数学总复习合情推理与演绎推理PPT课件

[例 3] 已知函数 f(x)＝ax＋bx，其中 a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，试确定 f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．
[自主解答] 法一：设 0<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xa1＋bx1－xa2＋bx2＝(x2－x1)·x1ax2－b. 当 0<x1<x2≤ ab时， ∵a>0，b>0，∴x2－x1>0,0<x1x2<ab，x1ax2>b， ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，
答案：237
3．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……，若依此
规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前 120 个○和● 中，●的个数是________．
解析：进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●| ○○○○○●|○○○○○○●|……，则前 n 组两种圈的总数是 f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝nn2＋3，易知 f(14)＝ 119，f(15)＝135，故 n＝14.
答案：14
考点二类比推理
[例 2] 如图所示，面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的
边长记为 ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距
离记为 hi(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则 1×h1＋2×h2＋
3×h3＋4×h4＝2kS.类比以上性质，体积为 V 的三
解析：法一：设数列{an}的公差为 d1，则 d1＝ann－－mam＝nb－－ma .
所以 am＋n＝am＋nd1＝a＋n·nb－－ma ＝bnn－－mam. 类比推导方法可知：设数列{bn}的公比为 q，由 bn＝bmqn－m，

2022版高考一轮数学文科：第36讲-合情推理与演绎推理ppt课件

[答案] 1 和 3
[解析] 由题意可知丙不拿 2 和 3. 若丙拿 1 和 2，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 3，满足题意；若丙拿 1 和 3，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是 1 和 3.
真题在线
2．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市．乙说：我没去过 C 城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．
[答案] 汞是金属
[解析] 按照三段论的模式，知“小前提”为“汞是金属”．
课前双基巩固
对点演练
3．[教材改编] 观察下列不等式：1＋212<32， 1＋212＋312<53，1＋212＋312＋412<74，….按此规律，第五个不等式为 ________________________．
[答案] 1＋212＋312＋412＋512＋612<161
[解析] 观察得出规律，左边为连续自然数平方的倒数和，右边为项数的 2 倍减 1 的差除以项数，即 1＋212＋312＋412＋512＋…＋ n12<2n－ n 1(n∈N*，n≥2)，所以第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612<161.
教学参考
考情分析考点
类比推理归纳推理
演绎推理
考查方向类比新结论
归纳得出一般性的结论
应用“三段论” 进行推理
考例
考查热度 ★☆☆
★☆☆
2014·新课标全国卷Ⅰ14, 2016·全国卷Ⅱ16
★★☆
真题在线
■ [2016－2011]课标全国真题再现

2020年高考理科数学复习第36讲合情推理与演绎推理

第36讲合情推理与演绎推理1．合情推理 (1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理．②特点：是由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__的推理． (2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理．②特点：是由__特殊__到__特殊__的推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情况__.③结论——根据一般原理，对__特殊情况__做出的判断．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(×)(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)解析(1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．(2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适．(3)正确．因为大前提错误，所以结论错误．(4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(B)A．28B．32C．33D．27解析由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.则x－20＝12，因此x＝32.4．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是(B)A．0B．1C．2D．3解析只有③正确．5．观察下列不等式：1＋122＜3 2，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74， …按此规律，第五个不等式为__1＋122＋132＋142＋152＋162<116__.解析观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.一类比推理(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．【例1】 (1)若数列{}a n 是等差数列，则数列{}b n ⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}c n 是等比数列，且{}d n 也是等比数列，则d n 的表达式应为( D )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝nc n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A －CD －B ，且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是__AE EB ＝S △ACDS △BCD__.解析 (1)若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d2n＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2， ∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D ．(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD.二归纳推理归纳推理中几种问题的处理技巧(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【例2】观察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …依此规律，第n 个等式可为__12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2__.解析第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__28__个小正方形．解析第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6，因此a n ＝1＋2＋3＋…＋(n ＋1)．故a 6＝1＋2＋3＋…＋7＝7(1＋7)2＝28，即第6个图中有28个小正方形．【例4】 (2016·山东卷)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； … 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__43n (n ＋1)__.解析通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．三演绎推理演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．【例5】数列{}a n 的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n·S n (n ∈N *)，证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ， ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)1．(2018·安徽淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( B )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 014解析根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a ∈N *，则第二层的三个数为a ＋7，a ＋8，a ＋9，第三层的五个数a ＋14，a ＋15，a ＋16，a ＋17，a ＋18，这9个数之和为a ＋3a ＋24＋5a ＋80＝9a ＋104.由9a ＋104＝2 012，得a ＝212，是自然数，故选B ．2．(2018·江西临川一中模拟)已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋32＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝__16n (n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N *)__(其中n ∈N *)．解析根据题意可归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，故填16n (n ＋1)(2n ＋1)．3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为__6n ＋2__.…解析由题意知，图②的火柴棒比①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n 条小鱼需要(2＋6n )根．4．(2018·北京海淀模拟)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 018)f (2 017)＝__2_018__.解析利用三段论．因为f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，(大前提)令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2，(小前提)所以f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2 018)f (2 017)＝2.(结论)所以原式＝＝2 018.易错点类比不当错因分析：从平面类比到空间时，缺乏对对应特点的分析，无法得到正确结论．【例1】在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解析如图(1)所示，由射影定理知AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2， ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC 2. 四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD 于E ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明如下：如图(2)，连接BE 交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD ．而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.【跟踪训练1】在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地：在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有等式__b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)__成立．解析在等差数列{a n}中，由a10＝0，得：a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n＝a n＋1＋a19－n ＝2a10＝0，∴S19＝a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0(n<19)，即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－a n＋1，∴a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a17－n(n<17)．在等比数列{b n}中，b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)课时达标第36讲[解密考纲]高考中，归纳推理和类比推理主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现．一、选择题1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(B)A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析对于A项，小前提与结论互换，错误；对于B项，符合演绎推理过程且结论正确；对于C项和D项，均为大前提错误，故选B．2．请仔细观察1,1,2,3,5，()，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是(A)A．8B．9C．10D．11解析观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A ．3．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z } ，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 013∈[3]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中正确结论的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析因为2013＝402×5＋3，所以2013∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a －b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C ．4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3, (cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( D )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，从而g (x )是奇函数．∴g (－x )＝－g (x )．5．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列运算： a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；….若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2 018时，“企盼数”k 为( C )A ．22 017 ＋2B ．22 017C ．22 018－2D ．22 017－4解析 a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg (k ＋2)lg 2＝2 018，lg(k ＋2)＝lg 22 018，故k ＝22 018－2.6．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲，乙，丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( B )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D 错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C 错误，故选B ．二、填空题7．(2018·河南开封联考)如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a 2<∫a ＋1a x 2d x <(a ＋1)2.运用类比推理，若对∀n ∈N *，1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <A <1n ＋1n ＋1＋…＋12n －1恒成立，则实数A ＝__ln2__.解析令1n ＋1<A 1<1n ，1n ＋2<A 2<1n ＋1，…，12n <A n <12n －1，依据类比推理可得A 1＝∫n＋1n1x d x ＝ln(n ＋1)－ln n ，A 2＝⎠⎛n ＋1n ＋21x d x ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)，…，A n ＝⎠⎛2n －12n1xd x ＝ln(2n )－ln(2n －1)，所以A ＝A 1＋A 2＋…＋A n ＝ln(n ＋1)－ln n ＋ln(n ＋2)－ln(n ＋1)＋…＋ln(2n )－ln(2n －1)＝ln(2n )－ln n ＝ln 2.8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝49…照此规律，第n 个等式为__n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2__.解析观察这些等式，第一个等式左边是1个数，从1开始；第二个等式左边是3个数相加，从2开始；第三个等式左边是5个数相加，从3开始；……；第n 个等式左边是2n －1个数相加，从n 开始．等式的右边为左边2n －1个数的中间数的平方，故第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.9．设等差数列{a n }的前n 项和为 S n ，则 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则__T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12__成等比数列．解析利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．三、解答题10．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解析 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3) ＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33. 由此猜想f (x )＋f (1－x )＝33. 证明：f (x )＋f (1－x )＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x3＋3·3x＝13x ＋3＋3x 3(3＋3x )＝3＋3x3(3＋3x )＝33. 11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n .解析 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12. 综上所述，S n ＝⎩⎨⎧ 52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何—个三次函数都有“拐点”；任何—个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心； (2)计算f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017. 解析 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f ⎝⎛⎭⎫12＝13×⎝⎛⎭⎫123－12×⎝⎛⎭⎫122＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝2，f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 017＝2， f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 017＝2，…，f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝12×2×2 016＝2 016.。

第36讲 合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理

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