高中数学必修4三角函数常考题型正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像

【知识梳理】

1．正切函数的性质

函数 y ＝tan x

定义域 ⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎭

⎬⎫

x ≠k π＋π2，k ∈Z

函数 y ＝tan x 值域 (－∞，＋∞)

周期 T ＝π 奇偶性 奇函数

单调性

在每个开区间⎝

⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π

2(k ∈Z )上都是增函数 2．(1)正切函数的图像：

(2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征：

正切曲线是被相互平行的直线x ＝π

2

＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．

【常考题型】

题型一、正切函数的定义域、值域问题

【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

4；(2)y ＝3－tan x .

[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π

2(k ∈Z )得，

x ≠k π＋π

4

，k ∈Z ，

所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π

4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.

结合y ＝tan x 的图像可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π

2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2

3，

所以函数y ＝

3－tan x 的定义域为

⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎭⎬⎫

k π－π2

【类题通法】

求正切函数定义域的方法及求值域的注意点

求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π

2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解

形如tan x >a 的不等式的步骤：

【对点训练】 求函数y ＝

1

1＋tan x

的定义域．

解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π

2，k ∈Z .

因此，函数y ＝

1

1＋tan x 的定义域为

⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎭

⎬⎫

x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .

题型二、正切函数的单调性及应用

【例2】 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫

12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π

5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4

2(k ∈Z )得，

2k π－π2

2

，k ∈Z ，

所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝

⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π

2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π

2

，

而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π

2上单调递增， 所以tan π4－tan 2π

5，

即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 【类题通法】

1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ

2

，求得x 的范围即可．

(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．

2．运用正切函数单调性比较大小的方法

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 【对点训练】

1．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．

解：因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．

又因为π2<2<π，所以－π

2<2－π<0.

因为π2<3<π，所以－π

2<3－π<0.

显然－π2<2－π<3－π<1<π2，

又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π

2内是增函数， 所以tan(2－π)

2．求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π

4－2x 的单调区间． 解：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π

2＋k π得，

－π8＋k 2π

2

π(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为

⎝⎛⎭⎫－π8＋k 2

π，3π8＋k 2π(k ∈Z )．

题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题

【例3】 (1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2

. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪

⎪

x ≠k π＋π

2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．