概率论第十四章概率论初步重要知识点
概率论知识点总结.ppt
************************ 典 型 问 题 ************************** 典型问题一: 事件的概率( 利用概率定义和运算法则计算 )
利用古典概型与加法定理计算
利用全概公式和贝叶斯公式计算 利用条件概率与乘法公式计算
典型问题一: 事件的概率( 利用随机变量的概率分布计算 )
概率论知识要点
随机 事件
概念 样本点、样本空间、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件 运算及关系 运算性质
概率 定义、 性质 条件概率
乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、 独立、 独立重复试验
随机变量
定义 、性质、离散型/连续型、 n维 分布函数/分布律 概率密度 边缘分布、条件分布、 独立性
随机变量函数的分布
机 变
分布函数
量 及
性质
分
布
3)左连续
函
数 X落在区间内概率
定义
离
散
性质
型
与 连
与分布函数的关系
续
型
随
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
机 变
X落在区间内概率
量
分布律
分布函数
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边 边缘分布函数
缘
分
定义
布
条件分布函数
条
件
定义
分
布
P{ X = xi | Y = yj } P{ Y = yj | X = xi }
独
立
定义
性
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r.v.的函数 的分布
所求概率
已知分布
已知分布律
已知分布密度
典型问题一: 事件的概率( 概率的近似计算 )
典型问题二: 随机变量及其函数的分布
概率论基础知识汇总
P( A) 1 P( A)
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
条件概率 Conditional Probability
定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 ,
且Ｐ（Ｂ）＞０， 则称
P( A B) P( AB) P(B)
全概率公式
设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且 Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ， 有
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
A1 P( A1) P(B | A1)
A2 P( A2 ) P(B | A2 )
A3 P( A3) P(B | A3)
为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．
乘法法则
P( AB) P( A)P(B A) P(B)P(A B)
推广
P(B A) P( AB) P( A)
P( A B) P( AB) P(B)
P( ABC) P( A)P(B A) P(C | AB)
P( A1 A2 An ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 ( A1A2 )) P( An ( A1 A2 An1))
P(A B) P(AB) P(B)
P(AB) P(B | A)
P(AB) P(AB) / P(A)
P(A)
事件的独立性 判别
事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是
P( AB) P( A)P(B)
证明 由乘法公式 P( AB) P( A)P(B | A) 和 独立性定义P(B | A) P(B)可得
实际问题中，事件的独立性可根据问题的实 际意义来判断
概率论通识讲义
概率论通识讲义概率论是现代科学的重要分支之一，它研究的是随机事件的规律性和概率分布，是科学研究、决策分析、风险管理等领域不可或缺的工具。
本文旨在为读者提供概率论的基础知识，包括概率的定义、性质、概率分布、随机变量等内容。
一、概率的定义和性质概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的实数表示。
概率的定义有三种形式：古典概型、几何概型和统计概型。
其中，古典概型适用于事件的样本空间有限的情况，几何概型适用于事件的样本空间为几何形状的情况，统计概型适用于事件的样本空间无限的情况。
概率具有以下几个性质：1. 非负性：对于任何事件A，其概率P(A)必须大于等于0。
2. 规范性：对于样本空间Ω中的所有事件A，它们的概率之和等于1，即P(Ω)=1。
3. 可列可加性：对于任意的可列个事件A1、A2、…，它们的并集的概率等于它们概率之和，即P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
4. 互斥事件的加法规则：对于互斥事件A和B，它们的并集的概率等于它们概率之和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
二、概率分布概率分布是用来描述随机变量的概率分布规律的函数。
随机变量是指取值不确定的变量，可以是离散的或连续的。
离散型随机变量取有限或可数个值，其概率分布函数称为概率质量函数。
连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布函数称为概率密度函数。
离散型随机变量的概率质量函数可以用下列公式表示：P(X=x) = f(x)，其中x为随机变量的取值，f(x)为概率质量函数。
连续型随机变量的概率密度函数可以用下列公式表示：P(a≤X≤b) = ∫ab f(x)dx，其中a和b为随机变量的取值范围，f(x)为概率密度函数。
三、随机变量随机变量是指取值不确定的变量，可以是离散的或连续的。
随机变量的期望、方差和协方差是概率论中重要的概念。
其中，期望是随机变量的平均值，方差是随机变量偏离其期望的平方的平均值，协方差是两个随机变量之间的相关性度量。
概率论与数理统计各章重点知识整理.pptx
件的概率相等,即 P(e1)=P(e2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.
2.计算公式 P(A)=k / n 其中 k 是 A 中包含的基本事件数, n 是 S 中包含的基本事件总数.
P(A)=0 .
(2)有限可加性 对于 n 个两两互不相容的事件 A1,A2,…,An , P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)
(3)若 A B, 则 P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .
(4)对于任一事件 A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .
y
fX
hyhy
0
y
其它
其中h(y)是 g(x)的反函数 , = min (g (-),g ()) = max (g (-),g ()) .
如果 f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 = min (g (a),g (b)) = max (g (a),g (b)) .
第三章 二维随机变量及其概率分布
n PB
PA
i
B
i
.
i 1
六.事件的独立性
2
学海无 涯
1.两个事件 A,B,满足 P(AB) = P(A) P(B)时,称 A,B 为相互独立的事件.
(1)两个事件 A,B 相互独立 P(B)= P (B|A) .
(2)若 A 与 B,A 与 B , A与 B, , A 与 B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.
概率论的基础知识
6s
计算上下规格限： USL=70+3=73 LSL =70-3=67 (1-Φ(2))+(1-Φ(2))=2-2Φ(2)
查标准正态分布函数表的Φ(2)=0.9772
随机变量及其分布
常用连续分布—均匀分布
6s
均匀分布在两端点a,b之间有一个恒定的概率密度函数，即在（a，b）上概率密度函数是一个常数，见
3 X 2 = 6 条旅游路线。
加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法 ，则完成这件事共有n1+n2种方法。 例如：从A城到B城有三类交通工具，汽车，火车和飞机。汽车有5个班次，火车有3个班次 ，飞机有2个班次，那么从A城到B城共有5+3+2=10个班次供旅游选择。 可以推广到多个步骤和途径事件。
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随机变量及其分布
随机变量分布
6s
随机变量及其分布
随机变量均值和方差的运算性质
6s
随机变量及其分布
常用离散分布—二项分布
1）重复进行 n 次试验；
6s
2） n 次试验间相互独立；
3）每次试验仅有两个可能结果； 4）成功的概率为p，失败的概率为1-p； 在上述四个度函数为：
为使候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10 ，到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站， 则
：
随机变量及其分布
常用连续分布—指数分布
6s
e x , x 0 p( x) x0 0 ,
随机变量及其分布
常用连续分布—指数分布
6s
随机变量及其分布
常用连续分布—指数分布
概率初步知识点
概率初步知识点归纳1,概率的有关概念1.概率的定义：某种事务在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事务发生的可能性的大小的量叫做概率.2,事务类型：①必定事务：有些事情我们事先确定它确定发生，这些事情称为必定事务.。
不可能事务：有些事情我们事先确定它确定不会发生，这些事情称为不可能事务.③不确定事务：很多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事务.必定事务，不可能事务都是在事先能确定它们会发生，或事先能确定它们不会发生的事务，因此它们也可以称为确定性事务.不确定事务都是事先我们不能确定它们会不会发生，我们把这类事务称为随机事务。
练习：1 .足球竞赛前，裁判通常要掷一枚硬币来确定竞赛双方的场地及首先发球者，其主要缘由是（）•A.让竞赛更富有情趣B.让竞赛更具有神奇色调C.体现竞赛的公允性D.让竞赛更有挑战性2 .小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面对上，则他第10次掷硬币时，出现正面对上的概率是（）.A.0B.IC.0.5D.不能确定3 .关于频率及概率的关系，下列说法正确的是（）.A.频率等于概率B.当试验次数很多时，频率会稳定在概率旁边C.当试验次数很多时，概率会稳定在频率旁边D.试验得到的频率及概率不可能相等4 .下列说法正确的是（）.A.一颗质地匀称的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次确定抛掷出5点B.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票确定会中奖C.天气预报说明天下雨的概率是50%.所以明天将有一半时间在下雨D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等5 .下列说法正确的是（）.A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B. “从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上全部的学生都完成了作业C. 一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%,所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球（每次取后放同，并搅匀）D.抛一枚硬币，出现正面对上的概率为50%,所以投掷硬币两次，则一次出现正面，一次出现反面6 .在一个不透亮的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个,红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（）.7 .在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力气类.其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50m,IOOm,50m×2来回跑三项，力气类有原地掷实心球，立定跳远，引体向上（男）或仰卧起坐（女）三项.市中考领导小组要从速度类和力气类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50mX2来同跑，引体向上（男）或仰卧起坐（女）两项的概率是（）.8 .元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小，重量完全一样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的.假如随意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，则一次过关的概率为（）.9 .下面4个说法中，正确的个数为（）.（1）“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是确定会取出一只红球，因为概率已经很大（2）袋中有红，黄，白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”（3）小李说，这次考试我得90分以上的概率是200%（4）“从盒中取出一只红球的概率是0"，这句话是说取出一只红球的可能性很小A.3B.2C.1D.010 .下列说法正确的是（）.A.可能性很小的事务在一次试验中确定不会发生B.可能性很小的事务在一次试验中确定发生C.可能性很小的事务在一次试验中有可能发生D.不可能事务在一次试验中也可能发生3,（重点）概率的计算1,概率的计算方式：概率的计算有理论计算和试验计算两种方式，依据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.2,如何求具有上述特点的随机事务的概率呢？假如一次试验中共有n种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事m务A包含的结果有m种，则事务A发生的概率P（A）=〃。
概率论与数理统计14讲
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它们的平均抗拉强度指标都是126, 但是, 使 用钢筋时, 一般要求抗拉强度指标不低于一 个指定数值(如115). 那么, 第二批钢筋的抗拉 强度指标与平均值偏差较大, 即取值较分散, 不合格的多, 可以认为第二批比第一批质量 差.
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可见在实际问题中, 仅靠期望值(或平均值) 不能完善地说明随机变量的分布特征, 还必 须研究期离散程度. 通常人们关心的是随机 变量X对期望值E(X)的离散程度.
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(2) 随机变量与常量之和的方差就等于这个 随机变量的方差本身
证 D(X+c)=E[X+cE(X+c)]2=E[X+cEXc)]2 =E(XEX)2=D(X)
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(3) 常量与随机变量乘积的方差, 等于这常 量的平方与随机变量方差的乘积.
证 D(cX)=E[cXE(cX)]2=E{c[XE(X)]}2 =E{c2[XE(X)]2}=c2DX
)2]
2 2
1
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D( X
*)
E(X
*2 )
[E(X
* )]2
E
X
2
1
2
E[( X
)2]
2 2
1
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即对于任何方差不为零的随机变量 X,
X * X 的数学期望为 0, 方差为 1, X*称
为 X 的标准化变量.
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例6 设随机变量X服从几何分布, 概率函数 P{X=k}=p(1p)k1, k=1,2,…
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例 计算本节开始所举甲乙两炮射击中D(X1), 及D(X2)
X1 80 85 90 95 100 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 X2 85 87.5 90 92.5 95 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
概率论各章节复习口诀集锦
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今日，小编带来的干货是考研数学概率论各章节复习口诀，熟记这些口诀能避免在做题当中犯细小的错误，并且有助于在复习过程中对知识点的记忆和巩固，希望同学们能牢记
第一章随机事件
互斥对立加减功，条件独立乘除清；
全概逆概百分比，二项分布是核心；
必然事件随便用，选择先试不可能。
第二、三章一维、二维随机变量
1）离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵
2）连续必分段，草图仔细看，积分是关键，密度微分算
3）离散先列表，连续后求导；分布要分段，积分画图算
第五、六章数理统计、参数估计
正态方和卡方出，卡方相除变F，
若想得到t分布，一正n卡再相除。
样本总体相互换，矩法估计很方便；
似然函数分开算，对数求导得零蛋；
区间估计有点难，样本函数选在前；
分位维数惹人嫌，导出置信U方甜。
第七章假设检验
检验均值用U-T，分位对称别大意；
方差检验有卡方，左窄右宽不稀奇；
不论卡方或U-T，维数减一要牢记；
代入比较临界值，拒绝必在否定域！。
概率论与数理统计各章重点知识整理
概率论与数理统计各章重点知识整理第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P ∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立. 2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立. 3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1)(3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度.2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f . (3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dy y f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛),}{},{jji j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====,}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n pn p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i iX X n S 12211 样本标准差S 样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X ~t(n)自由度为n 的t 分布.(2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w (3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α. (3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求. 2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间μ σ2已知 nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知 nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。
概率论基础知识
A Ω
B
补充点
补充点 事件的并、交和互不相容事件可推广到n 个事件间的关系. 现就互不相容事件叙述如下：在一次事件 中，如果n个事件 A1 , A2 ,..., An 两两互不相 容，则称 A1 , A2 ,..., An是互不相容的事件组. 如果互不相容的事件组 A1 , A2 ,..., An 满足 A A ... A 或记作 A ， 则称事件组 A1 , A2 ,..., An 为一个划分.
四、 事件的关系与运算
1.包含关系和相等关系: 若事件A发生必然导致事件B发生, 则称事 件B包含事件A,记作AB。 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等
B Ω
A
2．事件的并 由属于A或者属于B的所有样本点组成的集合， 称为A与B的并（或者和），记作 A B 或者 A+B.显然事件表示“事件A与B事件至少有 一个发生”这一事件.
B
事件 A B 时，上式就不成立了.
A Ω
B
而有 P( A B) P( A) P( B) P( A B)
该公式称为概率的加法公式
加法公式可推广到有限个事件至少有一个 发生的情形，如三个事件 A, B, C 的并的加 法公式为：
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
当n=3时
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
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二、全概率公式与贝叶斯(Bayes )公式
1.全概率公式 设 H1 , H 2 ,...H n 是联系于一随机试验的完备 事件组.任一事件 A( A ) 可表示成 A A ( H1 H 2 ... H n ) A
概率论知识点
概率论知识点概率论是数学的一个分支，它研究随机现象和不确定情况下的数学模型和分析方法。
在概率论中，我们通过数学方法来描述和分析事件发生的可能性。
下面是概率论中的一些重要知识点：1. 概率的基本定义：在概率论中，我们使用概率来描述事件发生的可能性。
概率的基本定义是：对于一个随机试验E，其可能的结果为S，事件A是S的一个子集，事件A发生的概率等于A中所有可能结果的概率之和。
2. 事件的性质：在概率论中，我们研究事件的性质和运算。
事件的运算包括并、交、差和补等。
并是指两个事件同时发生的情况，交是指两个事件都发生的情况，差是指一个事件发生而另一个事件不发生的情况，补是指一个事件不发生的情况。
3. 条件概率：条件概率是指在已知某事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，其中A和B分别为两个事件。
条件概率的计算方法是：P(A|B) = P(A∩B) /P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
4. 独立性：在概率论中，如果两个事件A和B的发生与对方无关，即事件B的发生对事件A的发生没有影响，我们称事件A和事件B是独立的。
当事件A和事件B是独立的时候，我们有P(A∩B) = P(A) * P(B)。
5. 随机变量：在概率论中，随机变量是一个函数，它把一个随机试验的结果映射到一个实数。
随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量的取值是有限个或可数个，连续型随机变量的取值是整个实数区间。
6. 概率分布函数：概率分布函数是描述随机变量概率分布的函数。
对于离散型随机变量X，概率分布函数是一个累积函数，它定义为P(X ≤ x)。
对于连续型随机变量X，概率分布函数是一个密度函数，它定义为f(x) = dF(x) / dx，其中F(x)是X的累积分布函数。
7. 期望值和方差：在概率论中，期望值是随机变量的平均值，方差是随机变量的离散程度的度量。
概率论第十四章概率论初步重要知识点
概率论第⼗四章概率论初步重要知识点第⼗四章概率论初步第⼀节事件与概率⼀、随机事件和样本空间在研究⾃然界和⼈类社会时，⼈们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。
⼀类是在⼀定条件下必然会发⽣的现象，称这类现象为确定性现象。
例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三⾓形的内⾓和⼀定为180o。
另⼀类现象是在⼀定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。
例如掷⼀枚质地均匀的硬币时，它可能出现正⾯向上，也可能出现反⾯向上等。
对于随机现象的⼀次观察，可以看作是⼀次试验，如果某种试验满⾜以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进⾏；（2）每次试验的结果可能不⽌⼀个，并且能事先确定试验的所有可能的结果; （3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。
随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通常⽤字母Ω表⽰。
样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常⽤ω表⽰。
例1、⼀次掷两颗骰⼦,观察每颗的点数解：Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =其中()j i ,表⽰第⼀颗掷出i 点,第⼆颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。
例2、⼀个盒⼦中有⼗个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取⼀球, 解：令 {}i i 取出球的号码为=则}1021{、、、Λ=Ω称样本空间Ω的某⼀⼦集为⼀个随机事件，简称事件，通常⽤⼤写英⽂字母A 、B 、C ……表⽰。
如在例2中， A={}取出球的标号为奇数因为Ω是所有基本事件所组成，因⽽在任⼀次试验中，必然要出现Ω中的某⼀些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发⽣，⼜⽤Ω来代表⼀个必然事件。
相应地，空集φ可以看作是Ω的⼦集，在任意⼀次试验中，不可能有φω∈，即φ永远不可能发⽣，所以φ是不可能事件。
我们可⽤集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：（1）包含如果在⼀次试验中，事件A 发⽣必然导致事件B 发⽣，则称事件B 包含事件A ,记为B A ?由例2，{}5球的标号为=B ，则A B ?（2）等价如果B A ?同时A B ?，则称事件A 与事件B 等价,记为A=B 。
八年级上数学14章知识点
八年级上数学14章知识点八年级上数学的第14章主要介绍了概率论。
在我们的日常生活和学习中，概率论扮演着重要的角色，它帮助我们更好地理解和分析各种事件的发生概率。
下面是该章节的主要知识点：一、事件发生的概率事件发生的概率是指某一事件在所有可能事件中的发生比例。
事件发生的概率P(A)计算方式为：P(A) = 某一事件A的发生次数 / 所有可能事件的总次数二、互不相容事件的概率互不相容事件指两个或多个事件中，同时只能发生一个事件的情况。
如掷一枚硬币，事件A为正面朝上，事件B为反面朝上，两个事件互不相容。
若两个事件互不相容，则它们的概率和为1，即P(A) + P(B) = 1。
三、独立事件的概率独立事件指两个或多个事件中，任意一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
如掷两枚硬币，事件A为第一枚硬币正面朝上，事件B为第二枚硬币正面朝上，两个事件独立。
若事件A 和事件B是独立事件，则它们的概率积等于总体事件的概率，即P(A且B) = P(A) × P(B)。
四、条件概率条件概率是指在一个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
如从一组卡片中随机选取一张，A表示这张卡片是红色的，B表示这张卡片是A或B。
若已知事件A发生，则B的概率为条件概率P(B|A)，计算公式为：P(B|A) = P(A且B) / P(A)五、全概率公式全概率公式用于求解复杂问题中的概率。
如在A、B、C三个事件中，已知它们的概率分别为P(A)、P(B)和P(C)，且这三个事件互不相容，某个事件D只可能与A、B、C中的一个事件发生，若已知D与它可能发生的事件概率分别为P(D|A)、P(D|B)和P(D|C)，则D的概率为：P(D) = P(A) × P(D|A) + P(B) × P(D|B) + P(C) × P(D|C)六、贝叶斯公式贝叶斯公式用于求解逆条件概率。
如从A、B、C三个箱子中各装有若干个球，其中A箱子红球多，B箱子蓝球多，C箱子两种颜色的球相等，每个箱子的概率为P(A)、P(B)和P(C)，从一个箱子中随机抽出一个球，得到了红球，求这个红球来自A箱子的概率P(A|红球)。
概率论基础知识
对立事件概率 “至少一个的”对立事件是该事件没有发生 “至少一个”的计算过程 设A为至少一个事件发生 求事件A没有发生的概率 至少一个事件发生的概率=1-事件没有发生的概率
条件概率 一个事件的条件概率是指通过其他时间发生的额外信息所得概率 假设事件A发生了，计算事件B发生的概率 A和B同时发生的概率/A发生的概率
概率论基础知识
概率
概率的基本概念 基本定义 事件是一个过程的结果或结果的任意集合 对立事件：事件未发生的所有结果组成 简单事件时不能进一步拆分的结果或事件 一个过程的样本空间由所有可能得简单事件组成 计算事件概率的三种方法 相对频数法 事件概率=事件发生的次数/重复该过程的次数 经典计算法 如果一个过程由N个等可能性的不同简单事件，且事件A有S种不同的发生 方式 事件概率=事件A可能发生的次数/不同简单事件的个数 主观估计法 根据相关情况估计事件发生的概率
贝叶斯定理 贝叶斯定理的重要性和实用性在于可以利用连续事件，由此可以通过后续事件中 的新信息修正初始事件的概率 先验概率：在未获得额外信息情况下的初始概率 后验概率：在获得额外信息情况下的修正概率
计数法则
乘法计数法则 对于一个事件序列，第一个事件可以有n1种发生方式，第二个事件可以有n2种 发生方式，第三个时间可以有n3种发生方式，以此类推，事件结果总数为 n1*n2*n3
阶乘法则 有n种不同的方式可以从所有元素中选出第一个元素，有n-1种不同的方式可以 从n-1个元素中选出第二个元素，以此类推 阶乘法则：n个不同元素的排列方式总数n！等于所有小于或等于该数的正整数 乘积
排列法则(元素相异) 从n个元素中无放回地任取r个元素排成一列，并考虑他们之间的先后次序，其排 列数为n!/(n-r)!
概率初步知识点总结
概率初步知识点总结概率是研究随机现象规律的数学分支，它在我们的日常生活和许多领域中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起系统地梳理一下概率初步的重要知识点。
一、随机事件在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件。
比如掷骰子，掷出的点数就是一个随机事件。
随机事件分为必然事件、不可能事件和随机事件。
必然事件指在一定条件下必然会发生的事件，比如太阳从东方升起。
不可能事件指在一定条件下必然不会发生的事件，比如月亮从西方升起。
而随机事件则是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，比如明天会下雨。
二、概率的定义概率是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。
对于一个随机事件 A，我们把它发生的可能性大小记作 P(A)。
概率的取值范围在 0 到1 之间。
如果 P(A) ＝ 0，则事件 A 是不可能事件；如果 P(A) ＝ 1，则事件 A 是必然事件；如果 0 ＜ P(A) ＜ 1，则事件 A 是随机事件。
例如，掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 05。
三、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。
它具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
在古典概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件数／基本事件总数。
比如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机摸出一个球是红球的概率，基本事件总数是 8（5 个红球＋ 3 个白球），事件“摸出红球”包含的基本事件数是 5，所以摸出红球的概率是 5/8。
四、几何概型几何概型是另一种常见的概率模型，它与长度、面积或体积等几何度量有关。
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，这样的概率模型称为几何概型。
例如，在一个时间段内等待公共汽车，等待时间不超过 5 分钟的概率，可以通过计算时间段长度的比例来得出。
五、互斥事件与对立事件互斥事件指两个事件不能同时发生。
概率论主要内容
3、= + 的分布
1）离散情形
= +的可能取值zk=xi+yj (k=1，2，…)，因此 也是离散型随机变量, 其分布律为
P{ zk } P{ zk }
P{ xi , y j }
ij
pij
ij
k 1,2,
（求和是对一切使xi+yj=zk的i、 j 来作）
2）连续情形
p (z)
三、多维随机变量及其分布
1、重点
二维随机变量的分布 有关概率的计算和随机变量的独立性
2、难点
随机变量函数的分布
3、主要内容
二
推广
维
定义
随
机
联合分 布函数
变
量
定性
义质
随机变量 的相互独立性
联合分布律 联合概率密度 条件分布
边缘分布
两个随机变量的函数的分布
1、二维随机变量及其分布函数
1)二维随机变量的分布函数
p ( x) p( x, y)dy
p ( y) p(x, y)dx.
1
p( x, y)
2 1 2 1 r 2
1
e
xp
2(1
r
2
)
(x
1 )2
2 1
2r
(x
1 )( y 1 2
2 )
(y
2 )2
2 2
3、随机变量的独立性
pij pi• p• j .对一切i, j.
p( x, y) p ( x) p ( y), 对任意的x, y.
3、主要内容
方
二 维
数学期望
差
随
机
变 量 的 数
离 散 型
概率论重点总结
概率论重点总结概率论是数学的一个分支，研究随机试验的可能结果和概率规律。
在学习概率论过程中，我们会遇到许多重要的概念和定理。
本文将对概率论的重点内容进行总结，帮助读者更好地理解和掌握概率论的核心知识。
一、概率的基本概念1. 随机试验：指具有多个可能结果的试验。
2. 样本空间：代表随机试验所有可能结果的集合，记作S。
3. 事件：样本空间中的一个子集，表示随机试验的某个可能结果或者一类可能结果的集合。
4. 事件的概率：事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示，其中A为事件。
二、概率的性质和计算方法1. 事件的互斥：若两个事件A和B不可能同时发生，则称事件A和事件B互斥。
概率计算公式为：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
2. 事件的独立：若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A和事件B独立。
概率计算公式为：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 事件的全概率公式：若对于事件B的一个划分{B₁,B₂,...,Bₙ}，则有P(A) = ΣP(A|Bᵢ) × P(Bᵢ)，其中P(A|Bᵢ)表示在事件Bᵢ发生的条件下，事件A发生的概率。
4. 贝叶斯定理：若对于事件B的一个划分{B₁,B₂,...,Bₙ}，且P(Bᵢ) > 0，则有P(Bᵢ|A) = [P(A|Bᵢ) × P(Bᵢ)] / Σ[P(A|Bₙ) × P(Bₙ)]，其中P(Bᵢ|A)表示在事件A发生的条件下，事件Bᵢ发生的概率。
三、随机变量及其分布1. 随机变量：将样本空间S中的每个元素与实数对应起来的函数X，记作X(ω)，其中ω属于S。
2. 离散型随机变量：其取值为有限或无限可数个的随机变量。
概率质量函数P(X = x)用来描述离散型随机变量X的取值概率分布。
3. 连续型随机变量：其取值为一个区间内的随机变量。
概率密度函数f(x)用来描述连续型随机变量X的取值概率分布。
4. 期望与方差：离散型随机变量X的期望值E(X) = Σ[xP(X = x)]，方差Var(X) = E[(X - E(X))²]；连续型随机变量X的期望值E(X) =∫[xf(x)dx]，方差Var(X) = E[(X - E(X))²]。
2019年概率初步知识点总结
2019年概率初步知识点总结各位热爱数学的初中同学们要注意啦，初中数学知识点大餐的份量可是非常丰盛的哦。
下面是帮大家整理的概率初步知识点总结，希望大家喜欢。
一、可能性：1.必然事件：有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件;2.不可能事件：有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件;3.确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的;4.不确定事件：有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。
5.一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。
.二、概率：1.概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事件的概率。
2.必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件)=0;如果A为不确定事件，那么03.一步试验事件发生的概率的计算公式是P=k/n，n为该事件所有等可能出现的结果数，k为事件包含的结果数。
两步试验事件发生的概率的发生的概率的计算方法有两种，一种是列表法，另一种是画树状图，利用这两种方法计算两步实验时，应用树状图或列表将简单的两步试验所有可能的情况表示出来，从而计算随机事件的概率。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
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第十四章 概率论初步第一节 事件与概率一、随机事件和样本空间在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。
一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。
例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180º。
另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。
例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。
对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行；（2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果;（3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。
样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。
例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。
例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {}i i 取出球的号码为=则}1021{、、、Λ=Ω称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。
如在例2中， A={}取出球的标号为奇数因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。
相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。
我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：（1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A ,记为B A ⊂由例2，{}5球的标号为=B ，则A B ⊂（2）等价 如果B A ⊂同时A B ⊂，则称事件A 与事件B 等价,记为A=B 。
由例2, 若}97531{、、、、C 球的标号为=， 则A=C (3) 交事件 "事件A 与事件B 同时发生",这样的事件称为事件A 与事件B 的交(或积),记作 B A I (或AB)}5{球的标号为=C B I将交事件推广到有限个或可列个事件的情形,称i ni A 1=I 为n 个事件n 、A 、、A A Λ21的交事件,表示n 个事件同时发生；称i i A ∞=1I 为可列个事件ΛΛ、、A 、、A A 21的交事件，表示可列个事件同时发生。
（4）并事件 "事件A 与事件B 至少有一个发生",这样的一个事件称作事件A 与B的并，记作 B A Y记 }3{≤=球的标号D , 则 }975321{、、、、、D A 球的标号为=Y 同样将并事件推广到有限个或可列个事件的情形，称i ni A 1=Y 为n 个事件n 、A 、、A A Λ21 的并事件；称i i A ∞=1Y 为可列个事件ΛΛ、、A 、、A A 21的并事件。
（5）差事件 "事件A 发生而B 不发生",这样的事件称为事件A 与B 的差,记作B A - 。
}9731{、、、B A 球的标号为=- （6）互不相容事件 如果事件A 与B 不能同时发生,也即AB 是一个不可能事件，称A 与B 为互不相容事件，记为 φ=B A I记}4{球的标号为=E , 则A 与E 为互不相容事件(7) 逆事件又称对立事件 设事件A 与B ，如果φ=Ω=B ，A B A I Y , 则称B 为A 的逆事件或对立事件,或称A 与B 互逆，B 也记为A 。
例3、设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，则事件"A 发生，B 、C 都不发生"可表为 C B A"A 、B 都发生，C 不发生"可表为 C AB"A 、B 、C 中至少有一个发生"可表为 C B A Y Y"A 、B 、C 中不多于一个事件发生"可表为 C B A C B A C B A C B A Y Y Y"A 、B 、C 中至少有两个事件发生"可表为ABC BC A C B A C AB Y Y Y事件运算满足如下规则：（1）交换律 A B B A Y Y = ， A B B A I I =（2）结合律 )()(C B A C B A Y Y Y Y = ， )()(C B A C B A I I I I =（3）分配律 )()()(C A B A C B A Y I Y I Y = ，)()()(C A B A C B A Y Y I Y I =（4）De Morgan 定理（对偶原则）B A B A I Y = ，B A B A Y I =推广到有限个和可列个的情形 i n i i n i A A 11===I Y ， i ni i n i A A 11===Y Ii i i i A A ∞=∞==11I Y ， i i i i A A ∞=∞==11Y I事件是Ω的某些子集,如果把"是事件"的这些子集归在一起，则得到一个类，记作F ，称作事件域，即 },:{是事件A A A F Ω⊂=二、随机事件的概率定义1 随机事件A 发生可能性大小的度量（数值），称为A 发生的概率,记作)(A p 。
概率具有下述性质：（1）非负性：任给F A ∈，10≤≤p ； （2）规范性：1)(=Ωp ； （3） 可列可加性：任给F A i ∈，Λ、、i 21=且任意事件两两互不相容，有)()(11∑∞=∞==i ii i A p A p Y 由此可得到以下结论：（1）0)(=φp ，即不可能事件的概率为0；（2）有限可加性，若事件n 、A 、、A A Λ21两两互不相容， 则 )()(11∑===ni ii n i A p A p Y ； （3）事件A 、B ，如果B A ⊂，则有)()()(A p B p A B p -=-，)()(B p A p ≤；（4）对任意事件A ，有 10≤≤p ；（5）对任意事件A ，有)(1)(A p A p -=（6）对于任意事件A 、B ，有 )()()()(B A p B p A p B A p I Y -+= ， )()()(B p A p B A p +≤Y该公式也可推广到有限个事件，较复杂在此省略。
三、古典概率对于一个随机试验，如何寻求随机事件A 的概率)(A p 呢？先讨论一类较为简单的随机试验，它具有两类共性：（1） 试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间的元素（基本事件）为有限个，}{21n 、、、ωωωΛ=Ω，在一次试验中有且仅有其中的一个基本事件发生；（2） 试验中每个事件i ω)21(、n 、、i Λ=发生的可能性相等，即)()()(21n p p p ωωω===Λ。
具有上述两个特点的试验模型称为古典概型。
如果古典概型中的所有基本事件的个数是n ，事件A 包含的基本事件的个数是k ，则事件A 的概率为 )(A p = nk例4、盒内有5个双喜牌，3个双环牌乒乓球，从中任取2个，问两个都是双喜牌的概率？解：试验可能出现的结果共有2828=C 种，其中取得两个为双喜牌所包含的基本事件数为1025=C 种357.02810≈=p 例5 、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有2只成双的概率是多少？解：设A 为"4只鞋子中至少有两只成双"的事件，A 为"4只鞋子中没有成双"的事件，基本事件总数为410C 。
A 所包含基本事件数（先从5双中任取4双，再从抽出的4双中每双抽出1只）共有4542C ⨯种， 2182)(410454=⨯=C C A p 所以 21132181)(1)(=-=-=A p A p 例6 、（分房问题） 设有n 个人，每人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住)(N n ≤，求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有一个人住；（2）恰好有n 个房间，其中各住一个人。
解：因为每人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有n N 种，它们是等可能的。
指定的n 个房间各有一个人住，其可能总数为n 个人的全排列!n ，nN n p !1= ； n 个房间可以在N 个房间中任意选取，有n N C 种选法，)!(!!2n n N N N n C p n n n N -=⋅= 。
例7、 某班级有n 个人（365≤n ），问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？解：A 为事件"n 个人至少有两个人的生日相同"，A 为事件"n 个人的生日全不相同")!(!)(n N N N A p n -=， )!(!1)(1)(n N N N A p A p n --=-=，)365(=N 四、条件概率1、条件概率前面讨论了一些简单的概率，实际上存在很多复杂的概率问题，比如求在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，也记为求)|(B A p 。
例8、 某班共有60名学生，其中有10名视力减退，而这10名学生中有6名轻度近视，4名高度近视，现在班上任点一名学生，问：（1）点到的学生恰为高度近视的概率；（2）已知点到的一名学生视力减退，该生是高度近视的概率。
解：设为A"点到的学生高度近视"事件，为B"点到的学生势力减退"事件（1） 151604)(==A p (2) 52104)|(==B A p 又 AB 为事件"点到的学生既是视力减退又是高度近视"616010)(==B p ，151604)(==AB p ， )()(601060452)|(B p AB p B A p === 定义 设A 、B 为事件，且0)(>B p ，称)()()|(B p AB p B A p =为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率。
条件概率具有概率的三个基本性质：（1）非负性 对任意的F A ∈，0)|(≥B A p ；（2）规范性 1)|(=ΩB p ；（3）可列可加性 对任意的一列两两互不相容的事件i A （Λ、、i 21=），有 )|()|(11B A p B A p i i i i ∑∞=∞==Y例9、 一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个也是女孩的概率为多大？（假定一个小孩是男还是女是等可能的）解： Ω={（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）}A={已知有一个是女孩}={（男，女）、（女，男）、（女，女）}B={另一个也是女孩}={（女，女）}314341)()()|(===A p AB p A B p 2、乘法定理定理（乘法定理）设任意事件A 、B ，且0)(>B p ，则有)()|()(B p B A p AB p ⋅=例10、 有编号为1、2、3、4、5的五张卡片，第一次任取一张，且不放回，第二次在剩下的四张中人取一张，试求：（1）第一次取到奇数号卡片的概率；（2）第二次取到奇数号卡片的概率；（3）两次都取到奇数号卡片的概率。