概率论第十四章概率论初步重要知识点

第十四章 概率论初步

第一节 事件与概率

一、随机事件和样本空间

在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180o。另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。

对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行；

（2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果; （3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。

随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。 例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数

解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =

其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。 例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {}

i i 取出球的号码为=

则}1021{、、、Λ=Ω

称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。

如在例2中， A={}

取出球的标号为奇数

因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即

φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。

我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：

（1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包

含事件A ,记为B A ?

由例2，{}

5球的标号为=B ，则A B ?

（2）等价 如果B A ?同时A B ?，则称事件A 与事件B 等价,记为A=B 。

由例2, 若}97531

{、、、、C 球的标号为=， 则A=C (3) 交事件 "事件A 与事件B 同时发生",这样的事件称为事件A 与事件B 的交(或

积),记作 B A I (或AB)

}5{球的标号为=C B I

将交事件推广到有限个或可列个事件的情形,称i n

i A 1

=I 为n 个事件n 、A 、

、A A Λ21的交事件,表示n 个事件同时发生；称i i A ∞

=1

I 为可列个事件ΛΛ、、A 、

、A A 21的交事件，表示可列个事件同时发生。

（4）并事件 "事件A 与事件B 至少有一个发生",这样的一个事件称作事件A 与B

的并，记作 B A Y

记 }3{≤=球的标号D , 则 }975321

{、、、、、D A 球的标号为=Y 同样将并事件推广到有限个或可列个事件的情形，称i n

i A 1=Y 为n 个事件

n 、A 、、A A Λ21 的并事件；称i i A ∞

=1

Y 为可列个事件ΛΛ、、A 、

、A A 21的并事件。 （5）差事件 "事件A 发生而B 不发生",这样的事件称为事件A 与B 的差,记作B A - 。

}9731

{、、、B A 球的标号为=- （6）互不相容事件 如果事件A 与B 不能同时发生,也即AB 是一个不可能事件，称

A 与

B 为互不相容事件，记为 φ=B A I

记}4{球的标号为=E , 则A 与E 为互不相容事件

(7) 逆事件又称对立事件 设事件A 与B ，如果φ=Ω=B ，A B A I Y , 则称B 为A 的逆事件或对立事件,或称A 与B 互逆，B 也记为A 。 例3、设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，则

事件"A 发生，B 、C 都不发生"可表为 C B A

"A 、B 都发生，C 不发生"可表为 C AB

"A 、B 、C 中至少有一个发生"可表为 C B A Y Y

"A 、B 、C 中不多于一个事件发生"可表为 C B A C B A C B A C B A Y Y Y "A 、B 、C 中至少有两个事件发生"可表为ABC BC A C B A C AB Y Y Y 事件运算满足如下规则：

（1）交换律 A B B A Y Y = ， A B B A I I =

（2）结合律 )()(C B A C B A Y Y Y Y = ， )()(C B A C B A I I I I = （3）分配律 )()()(C A B A C B A Y I Y I Y = ， )()()(C A B A C B A Y Y I Y I =

（4）De Morgan 定理（对偶原则）B A B A I Y = ，B A B A Y I =

推广到有限个和可列个的情形 i n

i i n

i A A 1

1

===I Y ， i n

i i n

i A A 1

1

===Y I

i i i i A A ∞

=∞

==1

1

I Y ， i i i i A A ∞

=∞

==1

1

Y I

事件是Ω的某些子集,如果把"是事件"的这些子集归在一起，则得到一个类，记作F ，称作事件域，即 },:{是事件A A A F Ω?=

二、随机事件的概率

定义1 随机事件A 发生可能性大小的度量（数值），称为A 发生的概率,

记作)(A p 。

概率具有下述性质： （1） 非负性：任给F A ∈，10≤≤p ； （2） 规范性：1)(=Ωp ；

（3）

可列可加性：任给F A i ∈，Λ、、i 21=且任意事件两两互不相容，有

)()(1

1

∑∞

=∞

==

i i

i i A p A p Y

由此可得到以下结论：

（1）0)(=φp ，即不可能事件的概率为0；

（2）有限可加性，若事件n 、A 、

、A A Λ21两两互不相容， 则 )()(1

1∑===

n

i i

i n

i A p A p Y ；

（3）事件A 、B ，如果B A ?，则有)()()(A p B p A B p -=-，)()(B p A p ≤； （4）对任意事件A ，有 10≤≤p ； （5）对任意事件A ，有)(1)(A p A p -=

（6）对于任意事件A 、B ，有 )()()()(B A p B p A p B A p I Y -+= ， )()()(B p A p B A p +≤Y 该公式也可推广到有限个事件，较复杂在此省略。

三、古典概率

对于一个随机试验，如何寻求随机事件A 的概率)(A p 呢？

先讨论一类较为简单的随机试验，它具有两类共性：

（1） 试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间的元素（基本事件）为有

限个，}{21n 、、

、ωωωΛ=Ω，在一次试验中有且仅有其中的一个基本事件发生；

（2） 试验中每个事件i ω)21(、n 、、i Λ=发生的可能性相等，

即)()()(21n p p p ωωω===Λ。

具有上述两个特点的试验模型称为古典概型。

如果古典概型中的所有基本事件的个数是n ，事件A 包含的基本事件的个数是k ，则事件A 的概率为 )(A p =

n

k

例4、盒内有5个双喜牌，3个双环牌乒乓球，从中任取2个，问两个都是双喜

牌的概率？

解：试验可能出现的结果共有282

8=C 种，

其中取得两个为双喜牌所包含的基本事件数为102

5=C 种

357.028

10

≈=

p 例5 、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有2只成双的概率是

多少？ 解：设A 为"4只鞋子中至少有两只成双"的事件，A 为"4只鞋子中没有成双"的事件，基本事件总数为4

10C 。

A 所包含基本事件数（先从5双中任取4双，再从抽出的4双中每双抽出1只）

共有4

5

4

2C ?种， 218

2)(4

10

454=?=C C A p 所以 21

13

2181)(1)(=

-

=-=A p A p 例6 、（分房问题） 设有n 个人，每人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住)(N n ≤，求下列事件的概率 （1）指定的n 个房间各有一个人住； （2）恰好有n 个房间，其中各住一个人。

解：因为每人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有n

N 种，它们是等

可能的。

指定的n 个房间各有一个人住，其可能总数为n 个人的全排列!n ，n

N n p !

1=

； n 个房间可以在N 个房间中任意选取，有n

N C 种选法，

)!

(!

!2n n N N N n C p n

n n N -=?= 。 例7、 某班级有n 个人（365≤n ），问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？ 解：A 为事件"n 个人至少有两个人的生日相同"，A 为事件"n 个人的生日全不相

同" )!

(!)(n N N N A p n -=

， )!(!

1)(1)(n N N N A p A p n --=-=，)365(=N

四、条件概率

1、条件概率

前面讨论了一些简单的概率，实际上存在很多复杂的概率问题，比如求在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，也记为求)|(B A p 。

例8、 某班共有60名学生，其中有10名视力减退，而这10名学生中有6名轻度近视，4名高度近视，现在班上任点一名学生，问：（1）点到的学生恰为高度近视的概率；（2）已知点到的一名学生视力减退，该生是高度近视的概率。 解：设为A"点到的学生高度近视"事件，为B"点到的学生势力减退"事件

（1） 15

1604)(==

A p (2) 5

2

104)|(==B A p

又 AB 为事件"点到的学生既是视力减退又是高度近视"

616010)(==

B p ，15

1604)(==AB p ， )()

(60

1060452)|(B p AB p B A p ===

定义 设A 、B 为事件，且0)(>B p ，称)

()

()|(B p AB p B A p = 为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率。 条件概率具有概率的三个基本性质：

（1）非负性 对任意的F A ∈，0)|(≥B A p ；

（2）规范性 1)|(=ΩB p ；

（3）可列可加性 对任意的一列两两互不相容的事件i A （Λ、、i 21=）

，有 )|()|(1

1B A

p B A p i i

i i ∑∞

=∞

==

Y

例9、 一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个也是女孩的概率为多大？（假定一个小孩是男还是女是等可能的） 解： Ω={（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）}

A={已知有一个是女孩}={（男，女）、（女，男）、（女，女）} B={另一个也是女孩}={（女，女）}

31

4

341

)()()|(===A p AB p A B p

2、乘法定理

定理（乘法定理）设任意事件A 、B ，且0)(>B p ，则有 )()|()(B p B A p AB p ?=

例10、 有编号为1、2、3、4、5的五张卡片，第一次任取一张，且不放回，第二次在剩下的四张中人取一张，试求：（1）第一次取到奇数号卡片的概率；（2）第二次取到奇数号卡片的概率；（3）两次都取到奇数号卡片的概率。

解：设A 为事件"第一次取到奇数号卡片"，B 为事件"第二次取到奇数号卡片"

(1) 5

3

)(1513==C C A p

(2) B A AB B Y = 且φ=B A AB I ，

5

352435342)()|()()|()()()(=?+?=

+=+=A p A B p A p A B p B A p AB p B p （3） 10

34253)|()()(=?==A B p B p AB p 3、全概率公式

定理（全概率公式）设n 、B 、

、B B Λ21是一列互不相容的事件，且有

Ω==i n

i B 1

Y ，0)(>i B p )21

(、n 、、i Λ= 则对任一事件A 有)|()()(1

i

n

i i

B A p B p A p ∑==

证明：)]([)]([)()(1

1

i n

i i n i AB p B A p A p A p ====Ω=Y Y I I

=

)|()()(1

1

i

n

i i

n i i

B A p B p AB p ∑∑===

例 11、 某保险公司从保险的角度认为，人可分为两类，第一类是容易发生意

外的人，另一类是比较谨慎的人，据该公司统计，易发生意外的人在固定的一年内的某个时刻出一次事故的概率为0、4，而较谨慎的人的概率为0、2，若假定第一类人占30%，则一个新保险客户在他购买保险单后一年内可能发生一次意外事故的概率是多少？

解：设A 为事件"新保险客户在一年期间出现一次意外"，

1B 为事件"新客户属第一类"， 2B 为事件"新客户属于第二类"，所以 26.07.02.03.04.0)()|()()|()(2211=?+?=+=B p B A p B p B A p A p 4、贝叶斯(Bayes)公式

定理 若设n 、B 、

、B B Λ21是一列互不相容的事件，且 Ω==i n

i B 1

Y ，0)(>i B p )21

(、n 、、i Λ= 则对任一事件A ， 有 ∑==

n

j j

j

i i i B A p B p B A p B p A B p 1

)

|()()

|()()|()21(、n 、、i Λ=

例12、在上例中，如果一位新保险客户在他购买保险后一年内出了一次事故，

问此客户是第一类人的概率是多少？ 解：13

6

26.04.03.0)()|()()|()()|()|(2211111=?=+=

B p B A p B p B A p B p B A p A B p

五、事件的独立性

定义 对任意的两个事件A 、B ，若)()()(B p A p AB p ?=成立，则称事件A 、

B 是相互独立的，简称为独立的。

定义 对于事件A 、B 、C ，如果 )()()(B p A p AB p ?= )()()(C p A p AC p ?= )()()(C p B p BC p ?= )()()()(C p B p A p ABC p ??=

则称事件A 、B 、C 相互独立。

例13、 设甲、乙、丙三射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别是0、9，0、88，0、8，求在一次射击中，目标被击中的概率。

解：设 321、A 、A A 分别为事件"甲、乙、丙独立击中目标"，B 为事件"目标被

击中"，321、A 、A A 相互独立，则321A 、A 、A 相互独立。 321A A A B Y Y =

)(1)(1)()(321321321A A A p A A A p A A A p B p -=-==Y Y Y Y =9976.02.012.01.01)()()(1321=??-=-A p A p A p 六、贝努里概型

一般地说，如果试验只有两个可能的结果：A 及A ，并且 p A p =)(，

q p A p =-=1)(（其中10<

成了一个试验，这个试验称作n 重贝努里试验，简称为贝努里试验或贝努里概型。 在n 重贝努里试验中，若事件A 在一次试验中发生的概率为 p ，在n 重贝努里试验中，事件A 恰好发生 k 次的概率记为)(k p n ，则

p q q p C k p k

n k k n n -==-1,)(

例14、甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0、8和0、7，每人投篮3次，试求：（1）两人进球数相等的概率；（2）甲比乙进球数多的概率。 解：令 A 为事件“甲投篮命中”，B 为事件“乙投篮命中” 则

8.0)(=A p ， 2.0)(=A p ； 7.0)(=B p ， 3.0)(=B p

211

321133003300313.07.02.08.03.07.02.08.0?????+?????=C C C C p +

3330333122312233.07.02.08.03.07.02.08.0?????+?????C C C C

=

2

11303331223033323.07.02.08.03.07.02.08.0?????+?????=C C C C p +

21131223300303333.07.02.08.03.07.02.08.0?????+?????C C C C + 30032113300312233.07.02.08.03.07.02.08.0?????+?????C C C C

=

例15、 某大学的校乒乓球队与系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力较系队强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0、6，现校系双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人。三种方案中均以比赛得胜人数多的一方为胜利，问：对系队来说，哪种方案有利？

解：设系队得胜人数为ξ，则上述三种方案中，系队的胜的概率为 （1） 352.0)6.0()4.0()2(33

23

≈=

≥-=∑k k k k C

p ξ

（2） 317.0)6.0()4.0()3(55

35

≈=

≥-=∑k k k k C

p ξ

（3） 290.0)6.0()4.0()4(77

4

7≈=

≥-=∑k k k k C p ξ 对系队来说，第一种方案有利。

第二节 随机变量及其数字特征

一、随机变量

在随机现象中，有一部分问题与数值直接发生关系，例如投掷殺子出现的点数为

X ，为一个可能取值为1、2、3、4、5、6的变量。即使与数值无关的随机现象，也

常常能联系数值来描述，例如抛一枚硬币，正面向上记为1，反面向上记为0，这样就可以将随机事件的结果直接和数值相联系。

随机事件的结果可以用一个数X 来表示，这个X 随着结果不同而变化，称X 为随机变量。

根据随机变量可能取得的值，将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。 如果随机变量可能取得的数值为有限个或无穷个孤立的数值，则称为离散型随机变量；如果随机变量可取某一（有限或无限）区间的任何数值，则称为连续型随机变量。

对一个随机变量X ，不仅要了解它取哪些值，而且要了解取各个值的概率，即它的取值规律，通常把X 取值的规律称为X 的分布。 （一） 离散型随机变量的概率分布

定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为Λ21、x x （有限个或可列个），则称

)()(i i x X p x p == Λ、、i 21= 为随机变量X 的概率分布。 显然 )(i x p 满足以下关系： 0)(≥i x p Λ、、i 21=

1)(1

=∑∞

=i i

x p

离散型随机变量X 的概率分布常用以下形式表示

ΛΛΛ

Λ

)()()()(212

1n i n

x p x p x p x p x x x X

例1、投掷殺子，出现的点数X ，全部取值可列成下表：

6

16

16

16

16

16

1)

(654321x p X

例2、设射手每次射击击中目标的概率为p （10<

直到击中目标为止，则射击次数ξ的概率分布为

p p k p k 1)1()(--==ξ， Λ、、、k 321=

用分布列表示为

Λ

ΛΛ

Λ

p p p p p p p k p k k 12)1()1()1()(321----=ξξ

以下介绍四种常用的离散型随机变量及其概率分布

（1） 两点分布 设随机变量ξ只取两个可能值0和1，它的概率分布为 k

k

p p k p --==1)

1()(ξ， 10、k = （10<

则称ξ服从两点分布。

相应的分布列为

p

p k p -=1)(1

0ξξ

如果一个随机试验只有两种结果，即它的样本空间只有两个元素，

},{21ωω=Ω，那么可在Ω上定义一个服从两点分布的随机变量

2

1

10{

)(ωωωωωξξ====当当 来描述这个随机试验的结果。

（2） 二项分布 假定在n 重贝努里试验中，每次试验事件A 发生的概率为

p ，不

发生的概率为p q -=1，用ξ表示n 重贝努里试验中事件A 发生的次数，显然ξ是一个随机变量，

k

n k k n q p C k p -==)(ξ， 、n 、、k Λ21=

将n 重贝努里试验中事件A 发生k 次的概率称为二项分布，记为),;(p n k b 。 当1=n 时的二项分布就是两点分布。

例3、设某棒球手击球得分的概率是0、1，那么他击球5次，得分少于3的概率是多少？

解：)2()1()0()3(5555=+=+==

=9914.09.01.09.01.09.01.03

22541155005=??+??+??C C C

（3） 普阿松（poisson ）分布 在二项分布中，当n 很大，p 很小时，二项分布可

用普阿松（poisson ）分布去逼近。

λλξ-=

=e k k p k

n !

)(， )(np =λ

其中k 是试验n 次，事件A 发生的次数。

例4、某电话交换台有300个用户，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于

0、01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率。 解：设在一小时内使用电话的用户数为ξ，则ξ服从二项分布，

29644

30099.001.0)4(??==C p ξ

由于300=n ，01.0=p ，有301.0300=?==np λ

故有 168.0!

43)4(3

4≈≈=-e p ξ （4） 几何分布 设在可列重贝努里试验中，事件A 发生的概率为

p ，记A 首次

出现时的试验次数为ξ，它的可能取值为Λ、、、321,则其概率分布

p q k p k 1)(-==ξ,Λ、、、k 321=称为几何分布,记为);(p k g 。

（二）、连续型随机变量及其概率密度

定义 设随机变量X ，如果存在非负可积函数)(x f ，)(+∞<<-∞x ，使得对任意

实数b a ≤， 有 ?=

≤≤b

a

dx x f b X a p )()( ，则称X 为为连续型随机变量，称

)(x f 为X 的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。

概率密度有下列性质： 性质1 0)(≥x f

性质2

?+∞

∞

-=1)(dx x f

连续型随机变量在任一点处的概率都是0。

0)(lim )(lim )(0

==?+≤≤==??+→?→?+

+x

a a

x x dx x f x a X a p a X p

?=≤≤=<≤=≤<=<

a

dx x f b X a p b X a p b X a p b X a p )()()()()(

例5、设随机变量X 的概率密度为 x

Ae x f -=)(，)(+∞<<-∞x

求：（1）系数A ； （2） )10(<<ξp

解：（1）由于

?+∞

∞

-=1)(dx x f ，则

A dx e A dx Ae

x x

2210

===

??+∞-+∞

∞

--， 所以 2

1

=

A （2） 2

121)10(1

1

0---==<

（三）、分布函数及随机变量函数的分布

定义 设ξ是一个随机变量，x 为任意实数 ， 则称函数)()(x p x F ≤=ξ，

)(+∞<<-∞x 为ξ的分布函数。

例6、某人投篮命中的概率为6.0，求一次投篮时命中次数的分布律和分布函数。 解：设一次投篮命中次数为ξ，显然ξ为随机变量，它的可能取值为0和1，

0=ξ表示命中0次，即未投中；

1=ξ表示命中1次。易知，ξ的分布律为

6

.04.01

0p ξ

（1） 当0

（2） 当10<≤x 时，)0()(==≤ξξx 4.0)0()()(===≤=ξξp x p x F

（3） 当1≥x 时，)1()0()(===≤ξξξY x ，且)1()0(==ξξ与互不相容，

所以

16.04.0)1()0()()(=+==+==≤=ξξξp p x p x F

因此，ξ的分布函数为 ??

?

??≥<≤<=11104.000

)(x x x x F

随机变量ξ的分布具有下列性质：

（1）、单调性 若21x x <，则)()(21x F x F ≤；

（2）、有界性 1)(0≤≤x F ，且有1)(lim ,0)(lim ==+∞

→-∞

→x F x F x x ；

（3）、)(x F 是右连续的。

例7、已知随机变量ξ的分布函数为 ?????????≥<≤<≤<=21

2143

104

1

00)(x x x x x F ，

求 )21(≤

ξp ， )2321(≤<ξp ， )21

41(≤≤ξp 解：)21(≤ξp =41

)21(=F

)2321(≤<ξp =214143)21()23(=-=-F F )2141(≤≤ξp =

04

1

410)41()21(0)2141()41(=-+=-+=≤<+=F F p p ξξ

例8、 若随机变量X 的概率密度为 2

221)(x e

x f -

=

π

，求X 的线性函数

μσ+=X Y 的概率密度（其中σμ、均为常数，且0>σ）

解：随机变量Y 的分布函数为

dx e

y X p y X p y Y p y F x y Y 2

221)()()()(-

-∞

-?

=

-<

=<+=<=σ

μ

π

σ

μ

μσ

密度函数为 2

22)(21)(σμσ

π--

=

x e

Y f

下面介绍几种常见的连续型随机变量及其分布 1、 均匀分布

如果随机变量ξ的概率密度是 ???

??≤≤-=其它

1)(b x a a

b x f ，则称ξ服从],[b a 上

的均匀分布

ξ相应的分布函数为????

?≥<≤--<=b

x b x a a b a

x a x x F 1

)( 例9、 一位乘客到某公共汽车站等候汽车，如果他完全不知道汽车通过该站的时间，

则他的侯车时间X 是一个随机变量，假设说汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，则乘客在0到10分钟乘上汽车的可能性相同。

因此，随机变量X 服从均匀分布，密度函数为?????≤≤=其它0

10

0101)(x x f 。

他等候时间不超过5分钟的概率是 5.0101

)50(5

==

≤≤?dx x p 他等候时间超过7分钟的概率是 103101)107(10

7

==≤≤?dx x p 2、 正态分布

如果连续型随机变量X 的密度函数是

2

22)(21)(σμσ

π--

=

x e

x f )(+∞<<-∞x （*）

则称X 服从正态分布，记作 ),(~2

σμN X ，其中σμ、均为常数，且0>σ。

正态分布是数理统计中最重要的一种分布，它具有以下性态：

（1）、分布曲线在x 轴的上方，以μ=x 为对称轴，且当μ=x 是，)(x f 有最大值； （2）、σμ、

为正态分布两参数，μ确定分布的位置,σ确定分布的形状, σ愈大,图

像愈扁平;

(3)、在σμσμ+=-=x x 与之间，图形上凸，而其它部分下凹，曲线向两侧延伸，永不和x 轴相交； （4）、x 的取值范围是整个x 轴。

在（*）式中，若1,0==σμ，则称X 服从标准正态分布，记为)1,0(~X

其密度函数为

2

2

21)(x e

x -

=

π

?，分布函数为 ?∞

-=

Φx

dt t x )()(?

对于（*）式， 令σ

μ

-=

x u ，

则有 2

221)(u e

u f -

=

π

， 称U 服从标准正态分布， 记为)1,0(~N U

对于一般的正态分布),(2

σμN 都可以通过变量代换转化为标准正态分布)1,0(N 。 利用标准正态分布表可以作相应的运算。

事件)(b X a ≤≤的概率为)()()()(a b dt t b X a p b

a

Φ-Φ==

≤≤??

由于标准正态分布的密度函数是偶函数，故有)(1)(x x Φ-=-Φ 例10、设)9,3(~N ξ，求：

（1）)52(<<ξp ；（2）)0(>ξp ；（3）}63{>-ξp 解：（1）)52(<<ξp =3779.0)3

1

()32()33533332(

=-Φ-Φ=-<-<-ξp

（2）)0(>ξp =8413.0)1(1)3

3

03

3

(

=-Φ-=->

-ξp （3）)3()9()63()63(}63{-<>=-<->-=>-ξξξξξY Y 0456.0)2()2(1)3()9(}63{=-Φ-Φ-=-<+>=>-ξξξp p p 例11、测得某市120名13岁男孩身高服从正态),6.5,1.143(2

N （1.143=x 厘米，

6.5=s 厘米）

，试求： （1） 身高在137~148厘米的学生数；

（2） 身高在150厘米以上学生数；

（3） 以均数为中心，概率为95%的分布区间。 解：（1）6727.0)6

.51

.1431486.51.1436.51.143137(

)148137(=-<-<-=<

816727.0120)148137()148137(≈?=<

（2）1093.0)6

.51.1431506.51.143(

)150(=->-=>x p x p

131093.0120)150()150(≈?=>?=>x p N n x

（4） 由题意025.02

95

.01)()(21=-=

>=

x

x u -=

us x x += 查表得96.1,96.121=-=u u 所以 1.1326.596.11.14311=?-=+=s u x x 1.1546.596.11.14322=?+=+=s u x x

以均数为中心，概率为95%的分布区间为（132、1，154、1）。 二、数学期望(平均数)

（1） 离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X 的概率分布

n

k n p p p x X p x x x X Λ

Λ

21

2

1)

(= 称

∑=n

k k k

p x

1

为随机变量X 的数学期望，

简称期望或均值，记为)(X E

当X 的可能取值k x 为可列个时，k k p x X p ==)(，Λ、、k 21=， 如果级数

∑∞

=1

k k k

p x

绝对收敛，则称它为X 的数学期望或均值，记为)(X E =∑∞

=1

k k k p x 。

对于离散型随机变量X 的函数)(X f Y =的数学期望若存在， 则∑=

k

k k

p x

f X f E )())((，Λ、、k 21=，

例1、贝努里分布 p p q p p ==-=10,1 ∑===

1

k k

p kp

E ξ

例2、二项分布 k

n k k n k q p C p -=，Λ、、k 21=、n

np q p np q p

C np q

p C

k kp E n k

n k n

k k n k

n k n

k k

n

n k k

=+==?==

---=---==∑∑∑111

110

)(ξ 例3、普阿松分布 λλ-=

e k p k

k !

，Λ、、k 21=，

λλλλλξλλλ

λ

=?=-=?==

-

∞

=---∞

=∞

=∑∑∑e e k e

e

k k kp E k k k k

k k

1

1

1

)!1(!

（2） 连续型随机变量的数学期望

定义 设X 是具有密度函数)(x f 的连续型随机变量，如果积分

?+∞

∞

-dx x xf )(绝对收

敛，则把它称为X 的数学期望或均值，记为)(X E ，即)(X E =

?+∞

∞

-dx x xf )(

例1、均匀分布],[b a U ， 2

1)(a

b dx a b x dx x xf E b

a

+=-?

==??+∞

∞

-ξ 例2、正态分布),(2

σμN ，

=

ξE )()(2121)(2

2)(2

2

2σ

μ

μσπ

σ

πσμ-=

+=

?

=

-

+∞

∞

---

+∞

∞

-+∞

∞

-???x u du e

u dx e

x dx x xf u x 令

=

μπ

μ=?+∞

∞

--

du e

u 2

22

（3）、数学期望的性质：

性质1、C EC =，这里C 是常数； 性质2、若b a ≤≤ξ，则b E a ≤≤ξ；

性质3（期望的线性性）、C E C C C E i n

i i i

n

i i +=+∑∑==ξξ

1

1

)(

。

（二） 方差

数学期望的概念反映了随机变量取值的集中趋势（平均水平），对于随机变量，仅了解这一特征是不够的，还需要了解它对于期望的偏离程度即离散趋势，为此，我们引入方差的概念来反映它的离散程度。

定义 若2

)(?ξE E -存在，则称它为随机变量ξ的方差，记为ξD ，称ξD 为根方

差或标准差。

由于ξE 是一个常数，根据数学期望的性质，有

22222222)()()(2])()(2[)(ξξξξξξξξξξξE E E E E E E E E E -=+-=+-=-

所以2

2

2

)()(ξξξξξE E E E D -=-= 例3、贝努里分布 p p q p p ==-=10,1 p E =2

ξ

pq p p E E D =-=-=2

2

2

)(ξξξ 例4、二项分布 npq p n E +=222

ξ

npq np npq p n D =-+=2

2

2

)(ξ 例5、普阿松分布 λλξ

+=22

E λξ=D

例6、均匀分布],[b a U 3222

a a

b b E ++=ξ 12

)(2

a b D -=ξ

例7、 正态分布),(2

σμN