完全数
完全数研究课程收获或感悟
完全数研究课程收获或感悟摘要：1.完全数研究的定义与意义2.课程的主要内容与收获3.个人感悟与体会4.对未来学习和工作的影响正文：【完全数研究的定义与意义】完全数研究，是数论中的一个重要分支，主要研究如何将一个正整数表示为若干个整数的和，这些整数可以是任意整数，包括正整数、负整数和零。
完全数研究的意义不仅在于它自身的理论价值，还在于它与其他数学领域的联系，如组合数学、图论、离散数学等。
【课程的主要内容与收获】在这门课程中，我们主要学习了完全数的定义、性质以及求解方法。
我们了解到，完全数可以分为四类：第一类是所有完全数都是偶数；第二类是所有完全数都包含3 的倍数；第三类是所有完全数都包含4 的倍数；第四类是所有完全数都包含5 的倍数。
此外，我们还学习了如何使用图论、组合数学等方法求解完全数问题。
通过这门课程的学习，我们收获颇丰，不仅掌握了完全数的基本理论，还提高了解决实际问题的能力。
【个人感悟与体会】我个人认为，完全数研究这门课程对我的数学素养和逻辑思维能力有很大的提升。
在学习过程中，我逐渐体会到数学的美妙与神奇，尤其是在解决实际问题时，通过运用所学知识，找到问题的关键所在，这种感觉让我非常兴奋。
此外，通过这门课程的学习，我也认识到数学知识的广泛性与深入性，激发了我继续学习数学的兴趣。
【对未来学习和工作的影响】这门课程的学习对我未来的学习和工作有着重要的影响。
一方面，通过学习完全数研究，我对数学有了更深入的理解，为以后学习更高级的数学课程打下了坚实的基础。
另一方面，这门课程也培养了我的逻辑思维和解决问题的能力，对我未来的工作有着积极的推动作用。
求完全数的数学公式
求完全数的数学公式嘿，咱今天来聊聊求完全数的数学公式！完全数，这名字听起来是不是有点神秘？其实呀，它在数学的世界里可有着独特的魅力。
先给您说说啥是完全数。
完全数就是所有真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身的数。
比如说 6 就是一个完全数，因为 6 的真因子是 1、2、3，而 1 + 2 + 3 恰好等于 6 。
那求完全数的公式是啥呢？这可没那么简单，不过咱们可以一步步来理解。
要找到求完全数的公式，得先从数的因数说起。
您看，一个数的因数就像是它的小伙伴，有的小伙伴能和它组成完美的组合，有的就不行。
比如说 8 ，它的因数有 1、2、4、8 ，但 1 + 2 + 4 可并不等于 8 ，所以 8 就不是完全数。
我记得有一次给学生们讲完全数的时候，有个小家伙特别较真儿。
他一直在那算呀算，还说：“老师，这完全数怎么这么难找啊！”我笑着告诉他：“别着急，数学的奥秘得慢慢探索。
”后来经过大家一起努力，终于找到了几个小的完全数，那场面，别提多有成就感了！咱们回到求完全数的公式上来。
古希腊的数学家欧几里得发现了一个有趣的规律，如果 2^(p - 1)×(2^p - 1) 是一个质数，那么 2^(p -1)×(2^p - 1) 就是一个完全数。
这里的 p 是一个质数。
您可能会觉得有点晕乎，没关系，咱举个例子。
比如说当p = 2 时，2^(2 - 1)×(2^2 - 1) = 2×3 = 6 ，6 就是个完全数。
但要注意哦，这个公式也不是万能的，它只是能帮我们找到一部分完全数。
数学的世界就是这样，充满了未知和挑战，一个公式可能解决一部分问题，但还有更多的奥秘等着我们去发现。
在探索完全数的过程中，您会发现数学就像一个巨大的宝藏库，每一个角落都可能藏着惊喜。
有时候，可能会觉得有点难，有点绕，但只要坚持下去，就会发现其中的乐趣。
总之，求完全数的公式虽然有点复杂，但只要我们有耐心，有兴趣，就能在数学的海洋里畅游，发现更多的奇妙之处。
完全数计算公式范文
完全数计算公式范文完全数也被称为完美数，是一种特殊的自然数，它等于除自身外所有真因数之和。
在数学中，完全数是一种古老且有趣的研究对象，人们一直在尝试找到完全数的规律和计算方法。
首先，我们来了解一下完全数的定义。
一个自然数如果等于除自身外的所有真因数之和，那么这个数就是完全数。
例如，6是一个完全数，因为它的真因数是1、2，而1+2=3、同样地，28也是一个完全数，因为它的真因数是1、2、4、7和14，而1+2+4+7+14=28为了计算完全数，我们需要找到一个高效的方法来列举所有可能的真因数。
首先，我们可以观察到，只有自然数的前一半范围内的数才可能是它的真因数，因为超过一半的数不可能整除这个自然数。
例如，对于数6来说，它的真因数只有1和2，4和7已经超过了一半的范围。
因此，我们可以确定计算完全数的范围为[2, n/2]，其中n是待验证的自然数。
然后，我们可以编写一个循环来迭代这个范围内的所有数，判断它们是否是n的真因数。
如果是，我们就将它们累加到一个变量sum中。
下面是一个Python代码示例：```def is_perfect_number(n):sum = 1 # 自身必定是其真因数，所以初始sum为1for i in range(2, n//2 + 1):if n % i == 0:sum += ireturn sum == ndef calculate_perfect_numbers(limit):perfect_numbers = []for num in range(2, limit+1):if is_perfect_number(num):perfect_numbers.append(num)return perfect_numbersperfect_numbers = calculate_perfect_numbers(limit)print(perfect_numbers)```在上面的代码中，我们首先定义了一个函数`is_perfect_number`，它用于判断一个数是否是完全数。
第七节 费马数、梅森数、完全数
机动
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定义1.18 当自然数 等于它的某些真约数之和，则称 为 当自然数n等于它的某些真约数之和 则称n为 等于它的某些真约数之和， 定义 半完全数。 的真约数有2, 半完全数。如12的真约数有 3, 4, 6，而12=2+4+6，故 的真约数有 ， ， 12是半完全数 是半完全数. 是半完全数
内容小结
1. 费马数及其性质； 2. 梅森数及其性质； 3. 完全数及其性质
作业
P111 1； 5(1),(3); 7 ；
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
二、梅森数
定义1.12 当p是质数时，形状是 p=2p-1的数叫梅森 是质数时， 定义 是质数时 形状是M 的数叫梅森 数。 到目前为止已经找到了37个梅森质数 个梅森质数. 注：到目前为止已经找到了 个梅森质数 求证： 为质数时， 性质 求证：当m ≠ n，m, n为质数时，(Mm, Mn)=1. ， 为质数时
定义1.14 k, n∈ N+, 若σ(n)=kn, 则称 为k倍完全数 用 则称n为 倍完全数 倍完全数, 定义 ∈ pk表示k倍完全数 表示 倍完全数. 倍完全数 如：n=2178540 =22×32×5× 72×13 ×19, σ(n)=4n, × 所以2178540是p4数。 所以 是 定义1.15 k, n∈ N+, 若对于一切 对于一切k<n都有 σ (n) > σ (k ) , 定义 ∈ 都有 n k 则称n为过剩数 为过剩数. 就是过剩数. 则称 为过剩数 如4就是过剩数 就是过剩数 定义1.16 k, n∈ N+, 若对所有的 ≤n都是 的某些不同 若对所有的 所有的k≤ 都是 都是n的某些不同 定义 ∈ 真约数之和，称n为实用数， 如：6就是实用数。 真约数之和， 为实用数， 就是实用数。 为实用数 就是实用数 定义1.17 当n= σ(n)-n-1时，称n为几乎完全数。 为几乎完全数。 定义 时 为几数。 定义1.13 当a∈ N+，若σ(a)=2a, 则称 为完全数。 ∈ 定义 定理1.7.1 正整数 是偶完全数的充分必要条件是 正整数a是偶完全数的充分必要条件是 定理 a=2n(2n+1-1)(n≥1), 且 2n+1-1是质数。 是质数。 ≥ 是质数
美丽的完全数
美丽的完全数
在遥远的古希腊，曾经出现过一个著名的数学学派，叫毕达哥拉斯学派。
他们在研究数字的时候，发现了一些珍贵的数字。
这些数字有着奇特的性质：它们的小于其本身的所有因数之和等于其自身，这样的数叫完全数。
例如：第一个完全数是6，它有因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6，恰好等于本身。
第二个完全数是28，它有因数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28，也恰好等于本身。
接下去的第三个完全数是496，第四个是8128。
除了完全数外，毕达哥拉斯学派的成员还将自然数分为三类。
完全数、不足数和富裕数。
有些自然数比除了其本身外的所有因数之和要大，如4，这个数的真因数是1、2，其和是3。
他们把这样的数叫亏数（或不足数）。
而另有一些自然数比除了其本身外的所有因数之和要小，如12。
这个数的真因数有1、2、3、4、6，其和是16.他们称这样的数为盈数（或富裕数）。
完全数读后感
完全数读后感看了完全数，深感数学的奥妙伟大。
完全数，一些特殊的自然数。
它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。
如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”。
第一个完全数是6，第二个完全数是28，第三个完全数是496，后面的完全数还有8128、33550336等等。
根据数学家的推算，完全数存在奇数，不过这个数会很大，并且要求会很苛刻。
完全数也有一些性质：比如1.每个都是调和数，即它们的每个因子的倒数之和都是2，因此完全数一定是调和数；2.完全数都是以6或8结尾等等吧。
尽管我们现在还看不到完全数的实际用处，但它反映了自然数的某些基本规律。
探究自然规律，揭开科学上的未知之谜，正是科学追求的目标。
在漫长的数学发展史中，最重要的莫过于无数为此奋斗一生的数学家，因为有了他们的辛酸血泪，有了他们的严谨态度和锲而不舍的探索精神，才为数学打下了坚实的基础，从而给平面解析几何、微积分、无穷集合论等等的数学分支创造了诞生的机会。
然而数学的发展史曲折的、艰辛的，数学家的研究里程更是如此。
他们花尽一生的心思换来的创新思维和超时代理论，大多数在他们的有生之年都得不到世人的认同。
希帕苏斯向毕达哥拉斯学派的其他成员发表他对不可公度性的发现时，惊恐不已的成员将他抛进了大海；伽罗瓦提出的强有力的群论多次提交给科学院，最终得到的却是“完全无法理解”的评论；创造惊人的无穷集合论的康托尔最后带着诸多遗憾和无限的苦闷离开了人世；最怀才不遇的便是中学数学家阿贝尔，他经过无数努力最终证明了千古谜题——五次或以上的代数方程没有一般的求根公式，却遭到了一系列的冷遇，就连“数学王子”高斯看到论文的题目只说了一句“太可怕了，竟然写出这种东西来！”便连其正文都没看就把论文扔到了书堆里，尽管当时柏林大学已经认识到他的才华并任命他为数学教授，但阿贝尔早已在病魔侵袭的凄凉中与世长辞了。
数学的发展史也就是科学发展的历史。
初中完全数的教案
初中完全数的教案教学目标：1. 让学生了解完全数的概念，理解完全数的特点。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的团队合作意识和交流表达能力。
教学重点：1. 完全数的概念及特点。
2. 运用完全数解决实际问题。
教学难点：1. 完全数的概念的理解。
2. 运用完全数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备完全数的定义及例子。
2. 学生准备笔记本和笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过数列的形式引导学生发现完全数的特点。
2. 学生观察数列，发现完全数的特点。
二、新课讲解（15分钟）1. 教师给出完全数的定义，解释完全数的概念。
2. 教师通过举例说明完全数的特点。
3. 学生跟随教师一起探讨完全数的特点，理解完全数的概念。
三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出练习题，学生独立完成。
2. 学生互相交流解题思路，教师进行讲解和指导。
四、实际问题解决（15分钟）1. 教师提出一个实际问题，学生分组讨论如何运用完全数解决。
2. 各组学生给出解题方案，教师进行评价和讲解。
五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生总结完全数的特点及运用方法。
2. 学生分享学习收获和感受。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置作业，要求学生巩固完全数的概念和运用方法。
教学反思：本节课通过数列的形式引导学生发现完全数的特点，通过举例和练习让学生理解完全数的概念。
在实际问题解决环节，学生分组讨论，培养了团队合作意识和交流表达能力。
整体教学过程顺利，学生对完全数的概念有了较好的理解，能够运用完全数解决实际问题。
但在课堂练习环节，部分学生对完全数的特点掌握不够熟练，需要在课后加强练习和复习。
在今后的教学中，要注意引导学生多角度思考问题，提高学生的解题能力。
1000以内完全数（完美数）获取实现---基于python
1000以内完全数（完美数）获取实现---基于python"""题⽬：如果⼀个数恰好等于它的因⼦之和，则称该数为“完全数” 。
各个⼩于它的约数（真约数,列出某数的约数，去掉该数本⾝，剩下的就是它的真约数）的和等于它本⾝的⾃然数叫做完全数（Perfect number），⼜称完美数或完备数。
例如：第⼀个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本⾝6外，其余3个数相加，1+2+3=6。
第⼆个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本⾝28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28那么问题来了：如何⽤python去求出下⼀个（⼤于28的）完全数？（求出1000以内所有的完全数）"""#⽅法⼀# coding:utf-8a=range(1,1001)b=range(1,1001)result=[]for i in a:tmp=[]for k in b:if k<i:if not i%k:tmp.append(k)else:continueelse:breakcount=0for m in tmp:count=count+mif count==i:result.append(i)else:continueprint result上⾯的⽅法中，求tmp这个list中元素的和时，我们也可以通过sum函数实现，具体如下：#⽅法⼆# coding:utf-8a=range(1,1001)b=range(1,1001)result=[]for i in a:tmp=[]for k in b:if k<i:if not i%k:tmp.append(k)else:continueelse:breakcount=sum(tmp)if count==i:result.append(i)else:continueprint result#⽅法三#⽅法三是直接通过遍历出list a中的元素后，⽣成⼀个⼩于次元素的list，然后取余#对于range(1,0)我的解释是：range的理解应该是range是先⽤我们指定的条件⽣成⼀个列表，然后⽤for循环取出来（此句出⾃python核⼼编程第⼋章），range(1,0),start=1,stop=0,step=1,这样的条件⽣成的#的列表实际是上空的，即为Falsea=range(1,1001)perfect=[]for i in a:tmp=[]for k in range(1,i):if not i%k:tmp.append(k)count=sum(tmp)if count==i:perfect.append(i)print perfect#⽅法四（史上最简单的⽅式了）for i in range(1,1000): s=0 for k in range(1,i): if i%k==0: s=s+k if i==s: print i。
完全数教学设计
完全数教学设计主题：完全数年级：中学数学-高中目标：学生可以理解完全数的定义，识别完全数，掌握寻找完全数的方法，探究与完全数相关的数学问题。
教学内容：1. 什么是完全数？- 完全数的定义是：一个数的因子（除了本身）之和等于它本身。
- 例如，6是一个完全数，因为6的因子是1,2和3，且1+2+3=6。
2. 如何找到完全数？- 推荐几种产生完全数的方法：- 通过数学公式：2^(n-1)（2^n-1），其中n是质数。
- 通过试除法：从1到该数的一半遍历，将该数能够整除的数相加，如果等于该数本身，则该数就是完全数。
- 介绍并比较这两种方法。
3. 完全数的一些性质和特点。
- 完全数只有几个，其中最小的两个是6和28。
- 完全数与素数的联系：完全数都是偶数，且2^(p-1)(2^p - 1)形式的完全数的p必须是质数。
- 完全数的组成：每个完全数都可以表示为一些素数的乘积。
4. 完全数与其他数学领域的联系。
- 完全数与三角形数、多边形数之间有什么关系？- 完全数与欧几里得算法、完全图之间有什么联系？教学活动：1. 若要使用Venn图或表格，线上或线下完成练习2中的方法比较。
2. 要求学生使用百度或库搜网等搜索引擎进行研究性学习，然后自由报告以上界面构成的活动。
3. 基于寻找完全数的方法，现场制作“完全数地图”/“完全数跳棋”等类型的游戏。
4. 在小组中展示完全数与其他数学领域的连接，并将研究结果展示给全班同学。
教学评估：1. 研究性学习：学生在课堂上展示所发现的完全数的性质和特点，并在白板上进行比较和总结。
2. 游戏设计：学生参与了寻找完全数的方法设计类比，制作了各种类型的游戏，并向全班同学展示了他们的工作。
3. 模拟面试：设计让学生相互面试，并为相应的角色提供问题，以便演示每个学生的知识。
4. 课程的跟进：找学生解决难点；响应他们的问题和反馈，以便更好地进行下一个主题的学习。
五年级下册数学课件-完全数 (共19张PPT) 人教版
数学宝库中的一颗璀璨明珠
哇！ 好漂亮啊！
我们一起去 看看吧!
数学宝库中的一颗璀 璨的明珠—完全数（也叫 完美数）
完全数？数还有 “完全”和“不
完全” ？
入口1: 什么是完全数？
入口2: 有不完全数吗？
欢迎来到“完全数的世界”！
入口3: 完全数有多少？
入口4: 完全数的特性？
一 什么是完全数？
神秘的完全数
完美数这颗数学宝库中的璀璨明 珠正以其独特魅力，吸引着更多的有 志者去探寻和研究。
神秘的完全数
人无完人，但数有完美数，它就 在那里静静等着我们去发现，你能发 现下一个完美数吗？
未来已来，让我 们一起努力！
谢谢观看！
主题：《完全数》 教材：人教版教材 年段：五年级下册
亏数：“4”这个数，它的因数有1， 2，4。而1+2<4，像这样的自然数叫做亏数；
所以，完全数就是既不盈余，也不亏 欠的自然数。
三 完全数知多少？
28也是完全数。
入口3: 完全数有多少？
1+2+4+7+14=28
公元6世纪的毕达哥拉斯是最早研 研究完全数的人，他已经知道6和28就是完 全数。在中国文化里有：六谷、六畜、六 国、六常、二十八星宿等，6和28在中国历 史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它们 是完全数。可见，中国发现完全数比西方 还早呢。
请输入6的因数！
咦， 还要输入密码？
入口1: 什么是完全数？
6的因数有： 1 ，2 ，3 ，6。
完全数（Perfect number）， 又称完美数或完备数，是一些特殊 的自然数。它所有的真因数（小于 它本身的因数）的和，恰好等于它 本身。这样的数称为“完全数”。
完全数
完全数完全数(Perfect number)，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。
它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数)，恰好等于它本身。
如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。
如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。
各个小于它的约数(真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数)的和等于它本身的自然数叫做完全数(Perfect number)，又称完美数或完备数。
例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。
第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。
第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。
后面的完全数还有8128、33550336等等。
1.所有的完全数都是三角形数例如:6=1+2+328=1+2+3+...+6+7496=1+2+3+...+30+318128=1+2+3…+126+1272.所有的完全数的倒数都是调和数例如:1/1+1/2+1/3+1/6=21/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=21/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=23.可以表示成连续奇立方数之和除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。
例如:28=1³+3^3496=1^3+3^3+5^3+7^38128=1^3+3^3+5^3+……+15^333550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^34.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和不但如此，而且它们的数量为连续质数。
完全数计算公式范文
完全数计算公式范文完全数是指一个数恰好等于它的因子之和。
举例来说，6的因子为1、2、3，而1+2+3=6，因此6是一个完全数。
完全数是数论中的经典问题之一，自古以来就受到人们的广泛关注和研究。
为了计算完全数，我们可以采用暴力的方法。
具体操作如下：1.首先，我们需要确定待计算的完全数的范围。
假设我们要计算1到N之间的所有完全数。
2.对于每一个数x，我们需要找到它的所有因子。
通常情况下，一个数的因子是从1到该数本身的所有整数，并且这些因子中不能包含大于x/2的数。
3.对于每一个数x，我们需要计算它的因子之和。
这可以通过一个循环遍历x的所有因子，并将它们累加起来的方式实现。
4.接下来，我们需要判断因子之和是否等于x本身。
如果相等，则x是一个完全数，如果不相等，则x不是一个完全数。
5.最后，我们将所有的完全数打印输出。
下面是一个示例的Python代码实现：```pythondef find_perfect_numbers(N):perfect_numbers = []for x in range(1, N+1):factors = []for i in range(1, x//2+1):if x % i == 0:factors.append(i)factor_sum = sum(factors)if factor_sum == x:perfect_numbers.append(x)return perfect_numbersN = int(input("请输入计算范围N："))perfect_numbers = find_perfect_numbers(N)print("找到的完全数有：")for number in perfect_numbers:print(number, end=" ")```这段代码首先定义了一个函数find_perfect_numbers，它接受一个参数N，表示计算范围的上限。
完全数公式推理
第一步：我们把完全数写成连续自然数之和：有任意完全数N = 2^(n-1)×(2^n-1)；我们计算连续自然数相加，当从1加到这个完全数N的梅森尼数2^n-1时，我们用求和公式来计算这个连续自然数相加之和：首数是1尾数是2^n-1项数是2^n-1代入求和公式：Q=[1+(2^n-1)]/2 ×(2^n-1) =2^(n-1) ×(2^n-1)请注意，连续自然数相加从1加到2^n-1 ，其和的表达式与特性系数为n的完全数N的表达式完全相同。
也就是说，完全数可以写成连续自然数相加，其连续自然数的最后一个数正是这个完全数的梅森尼数2^n-1。
证毕。
第二步：我们把无穷连续自然数分组。
P为任意奇数。
每一组的首数是（P^2 +1）/2 - P (2)每一组的尾数是（P^2 -1）/2 + P (3)用此公式计算每一组内连续自然数之和Q：Q =（首数+尾数）/2 ×项数= [（P^2+1）/2 - P + （P^2-1）/2 + P ]/2×{[（P^2-1）/2 + P ]- [（P^2+1）/2 - P ] + 1}= P^2/2 × 2P = P^3此结果表示：按此规则将连续自然数分组后每一组内连续自然数之和为该奇数P的3次方。
举例：P 首数尾数所占区间区间内全部自然数之和1 0 1 0 ～1 1=1^33 2 7 2 ～7 27=3^35 8 17 8 ～17 125=5^37 18 31 18 ～31 343=7^39 32 49 32 ～49 729=9^317 128 161 128～161 4913＝17^3第三步：在连续奇数的分组的公式中计算任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差Δ。
Δ=[( P^2+1)/2 – P] – {[(P-2)^2-1]/2 + (P-2)}= P^2/2 + 1/2 – P –(P^2/2 – 4P/2 + 4/2 – 1/2 + P – 2)= P^2/2 + 1/2 – P –P^2/2 + 2P –2 + 1/2 - P + 2= 1本计算结果表明，任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差等于1，也就是说这两个数组既不重叠，也无间隔。
完全数
《完全数》数学离不开数，数有时候很简单，有时候有很神秘，今天我们就来分享一种神奇的数——《完全数》古时候，自然数6是一个备受宠爱的数。
有人认为，6是属于美神维纳斯，它象征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美，是因为上帝创造它时花了6天时间……自然数6为什么备受人们青睐呢？原来，6是一个非常"完善"的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系。
6的因数共有4个：l、2、3、6，除了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数，数学家们发现：把6的所有真因数都加起来，正好等于6这个自然数本身！数学上，具有这种性质的自然数叫做完全数。
例如，28也是一个完全数，它的真因数有1、2、4、7、14，而1＋2＋4＋7＋14正好等于28。
在自然数里，完全数非常稀少，用沧海一粟来形容也不算太夸张。
有人统计过，直到1952年，在2000多年的时间，已被发现的完全数总共才有12个。
并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了。
公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。
公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了一个计算完全数的公式：如果n是一个质数，也是一个质数，那么，由公式的出来的就是一个完全数。
例如：n=2时，=3都是质数，那么，=6,6就是一个完全数。
当n=3时，=7，都是质数，那么，=28,28就是一个完全数。
当n=5时，=31，都是质数，那么，=496,28就是一个完全数。
尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨。
直到20世纪中叶，随着电子计算机的问世，寻找完全数的工作才取得了较大的进展。
1952年，数学家凭借计算机的高速运算，一下子发现了5个完全数，它们分别对应于欧几里得公式中n＝521、607、1279、2203和2281时的答案。
以后数学家们又陆续发。
当n=3217、4253、4423、9689、9941、11213和19937时，到1975年，人们在无穷无尽的自然数里，总共找出了24个完全数。
梅森素数和完全数的关系
梅森素数和完全数的关系梅森素数和完全数的关系梅森素数是指素数形如2的n次方减一的数，其中n也必须是一个素数。
例如，3、7、31等均为梅森素数。
完全数是指其所有因子（除了自己）之和等于它本身的数。
例如，6、28等均为完全数。
这两种数在数学中各自具有独特的特性，是否存在它们之间的联系呢？1. 梅森素数和完全数的定义首先，我们需要了解梅森素数和完全数的定义。
梅森素数是指形如2的n次方减一的素数，其中n也必须是一个素数。
例如，当n=2时，2的2次方减一等于3，3为梅森素数。
当n=3时，2的3次方减一等于7，7为梅森素数。
完全数是指其所有因子（除了自己）之和等于它本身的数。
例如，当数值等于6时，它的因子有1、2、3，1+2+3=6，因此6为完全数。
2. 梅森素数和完全数的关系梅森素数和完全数之间的关系是这样的：每个偶完全数都可以表示为2的p-1次方（2的p-1次方为梅森素数）乘以2的p-2次方（其中p为质数），反之，每个偶梅森素数都可以表示为2的p-1次方乘以恰当的偶完全数。
3. 实例解析例如，我们以6、28、496、8128等几个完全数为例，将它们写成2的p-1次方与2的p-2次方形式。
① 6=2的1次方×2的2次方，其中p=2，2的2次方减一等于3，即6=2的2次方减一×3。
由此可知，6可以表示成梅森素数3乘以2的1次方，符合关系中的规律。
② 28=2的3次方×2的2次方，其中p=3，2的3次方减一等于7，即28=2的2次方乘以7。
由此可知，28可以表示成梅森素数7乘以2的2次方，又符合关系中的规律。
③ 496=2的5次方×2的3次方，其中p=5，2的5次方减一等于31，即496=2的3次方乘以31。
由此可知，496可以表示成梅森素数31乘以2的3次方，符合关系中的规律。
类似地，我们可以通过2的p-1次方和2的p-2次方的形式，将完全数与梅森素数联系起来。
4. 结论总的来说，梅森素数与完全数之间是存在联系的。
正整数的例子
正整数的例子以正整数的例子为题，我们来看一下关于正整数的一些有趣事实和性质。
1. 完全数：完全数是指一个正整数，它的所有真因子（即除了自身以外的因子）之和等于它本身。
例如，6是一个完全数，它的真因子有1、2、3，而1+2+3=6。
2. 质数：质数是指只能被1和自身整除的正整数。
例如，2、3、5、7都是质数，而4、6、8都不是质数。
3. 合数：合数是指除了1和自身之外还有其他因子的正整数。
例如，4、6、8都是合数，而2、3、5、7都不是合数。
4. 亲和数：亲和数是指两个正整数，每个数的所有真因子之和等于另一个数本身，并且两个数不相等。
例如，220和284是一对亲和数，因为220的真因子有1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，它们之和等于284；而284的真因子有1、2、4、71、142，它们之和等于220。
5. 完美数：完美数是指一个正整数，它的所有真因子之和等于它本身。
完美数是一种特殊的完全数。
目前已知的完美数有6、28、496、8128等。
6. 勾股数：勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，即a² + b² =c²。
例如，3、4、5就是一组勾股数，因为3² + 4² = 5²。
7. 平方数：平方数是指某个正整数的平方。
例如，1、4、9、16、25都是平方数。
8. 素数：素数是指只有1和它本身两个因子的正整数。
例如，2、3、5、7、11都是素数。
9. 十进制和二进制：正整数可以用十进制和二进制表示。
十进制是我们常用的表示方式，而二进制是计算机中常用的表示方式。
例如，十进制的数123可以用二进制表示为1111011。
10. 十进制和十六进制：正整数也可以用十进制和十六进制表示。
十六进制是一种常用的表示方式，尤其在计算机科学中经常使用。
十六进制由0-9和A-F表示，其中A表示10，B表示11，依此类推。
例如，十进制的数123可以用十六进制表示为7B。
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完全数
河北省平乡县大刘庄小学李明亮
如果一个自然数的所有因数（不包括它自身）之和等于它本身，那么这个自然数就叫做完全数。
如，6的因数有1、2、3、6，1+2+3=6，所以6是完全数；28的因数有1、2、4、7、14、28,1+2+4+7+14=28，所以28是完全数。
一般认为，公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯是完全数的最早研究者，但他只发现了6和28两个完全数。
直到公元一世纪，第三个完全数496、第四个完全数8128才被发现；第五个完全数33550336是于公元十五世纪找到的。
古希腊数学家欧几里得给出了完全数的通项公式：2n-1(2n-1)。
通项公式中的n和2n-1都是素数（质数）。
2n-1型的素数称为梅森素数，这是以十七世纪的法国数学家马兰·梅森的名字命名的。
梅森素数有无限多个，但是，并不是所有2n-1型的数都是素数，到现在为止，人们只找到了50个梅森素数——3、7、31、127、……已经发现的最大梅森素数有两千多万位。
这样，也就只找到了50个完全数。
是否存在上述通项公式以外的完全数呢？这是一个没有解决的问题。
完全数有如下的性质：
1. 完全数的所有因数的倒数之和等于
2.如，
1+2+3=6，1/1+1/2+1/3+1/6=2；
1+2+4+7+14=28，1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496，
1/1+1/2+1/4+1/8+/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2
设完全数W的因数有1、a1、a2、a3、……a k-1、a k、W。
求证：1/1+1/a1+1/a2+1/a3+……+1/a k-1+1/a k+1/W=2.
证明：∵1、a1、a2、a3、……a k-1、a k、W是完全数W的因数，
∴1+a1+a2+a3+……+a k-1+a k=W，
1·W=a1·a k=a2·a k-1=……=W，
∵1/1+1/a1+1/a2+1/a3+……+1/a k-1+1/a k+1/W
=1+a k/a1a k+a k-1/a2a k-1+……+a2/a k-1a2+a1/a k a1+1/W
=1+a k/W+a k-1/W+……+a2/W+a1/W+1/W
=1+(a k+a k-1+……+a2+a1+1)/W
=1+W/W
=1+1
=2
2. 已经发现的完全数都是三角形数，即都能写成从1开始的连续自然数之和。
如，
6=1+2=3；
28=1+2+3+ (7)
496=1+2+3+ (31)
8128=1+2+3+……+127
3. 已经发现的完全数的个位数字都是6或8.
4. 已经发现的完全数（6除外），都可以表示成连续奇立方数之和。
如，
28=13+33；
496=13+33+53+73；
8128=13+33+53+ (153)
33550336=13+33+53+……+1273
5. 已经发现的完全数都等于2的一些连续正整数幂之和。
如，
6=21+22；
28=22+23+24；
496=24+25+26+27+28；
8128=26+27+28+ (212)
33550336=212+213+214+……+224
6. 已经发现的完全数（6除外）都是9的倍数加1。
即，把完全数（6除外）的各位数字相加，若其和不是一位数，就再把和的各位数字相加，直到加成一位数，结果都是1。
如，
28——2+8=10,1+0=1；
496——4+9+6=19,1+9=10，1+0=1；
8128——8+1+2+8=19,1+9=10，1+0=1.。