完全数

完全数

河北省平乡县大刘庄小学李明亮

如果一个自然数的所有因数（不包括它自身）之和等于它本身，那么这个自然数就叫做完全数。如，6的因数有1、2、3、6，1+2+3=6，所以6是完全数；28的因数有1、2、4、7、14、28,1+2+4+7+14=28，所以28是完全数。

一般认为，公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯是完全数的最早研究者，但他只发现了6和28两个完全数。直到公元一世纪，第三个完全数496、第四个完全数8128才被发现；第五个完全数33550336是于公元十五世纪找到的。

古希腊数学家欧几里得给出了完全数的通项公式：2n-1(2n-1)。

通项公式中的n和2n-1都是素数（质数）。2n-1型的素数称为梅森素数，这是以十七世纪的法国数学家马兰·梅森的名字命名的。梅森素数有无限多个，但是，并不是所有2n-1型的数都是素数，到现在为止，人们只找到了50个梅森素数——3、7、31、127、……已经发现的最大梅森素数有两千多万位。这样，也就只找到了50个完全数。

是否存在上述通项公式以外的完全数呢？这是一个没有解决的问题。

完全数有如下的性质：

1. 完全数的所有因数的倒数之和等于

2.如，

1+2+3=6，1/1+1/2+1/3+1/6=2；

1+2+4+7+14=28，1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；

1+2+4+8+16+31+62+124+248=496，

1/1+1/2+1/4+1/8+/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

设完全数W的因数有1、a1、a2、a3、……a k-1、a k、W。

求证：1/1+1/a1+1/a2+1/a3+……+1/a k-1+1/a k+1/W=2.

证明：∵1、a1、a2、a3、……a k-1、a k、W是完全数W的因数，

∴1+a1+a2+a3+……+a k-1+a k=W，

1·W=a1·a k=a2·a k-1=……=W，

∵1/1+1/a1+1/a2+1/a3+……+1/a k-1+1/a k+1/W

=1+a k/a1a k+a k-1/a2a k-1+……+a2/a k-1a2+a1/a k a1+1/W

=1+a k/W+a k-1/W+……+a2/W+a1/W+1/W

=1+(a k+a k-1+……+a2+a1+1)/W

=1+W/W

=1+1

=2

2. 已经发现的完全数都是三角形数，即都能写成从1开始的连续自然数之和。如，

6=1+2=3；

28=1+2+3+ (7)

496=1+2+3+ (31)

8128=1+2+3+……+127

3. 已经发现的完全数的个位数字都是6或8.

4. 已经发现的完全数（6除外），都可以表示成连续奇立方数之和。如，

28=13+33；

496=13+33+53+73；

8128=13+33+53+ (153)

33550336=13+33+53+……+1273

5. 已经发现的完全数都等于2的一些连续正整数幂之和。如，

6=21+22；

28=22+23+24；

496=24+25+26+27+28；

8128=26+27+28+ (212)

33550336=212+213+214+……+224

6. 已经发现的完全数（6除外）都是9的倍数加1。即，把完全数（6除外）的各位数字相加，若其和不是一位数，就再把和的各位数字相加，直到加成一位数，结果都是1。如，

28——2+8=10,1+0=1；

496——4+9+6=19,1+9=10，1+0=1；

8128——8+1+2+8=19,1+9=10，1+0=1.