理论力学第11章习题答案

四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字.
11.8 如图所示，重物 M 系于弹簧上，弹簧的另一端则固定在置于铅垂平面内的 圆环的最高点 A 上。重物不受摩擦地沿圆环滑下，圆环的半径为 20 cm ，重物的 质量为 5 kg ，如重物在初位置时 AM 20 cm ，且弹簧具有原长，重物的初速度 等于零，弹簧的重量略去不计，欲使重物在最低处时对圆环的压力等于零，弹簧 刚性系数应为多大？
11.5 计算图示各系统的动能 (1)如图(a)所示，质量为 m 、长为 l 的均质圆盘在自身平面内作平面运动，已知圆 盘上 A 、 B 两点的速度方向， B 点的速度为 vB ， 45 ； (2)如图(b)所示，质量为 m1 的均质杆 OA 、一端铰接在质量为 m2 的均质圆盘中心， 另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为 v ； (3)如图(c)所示质量为 m 的均质细圆环半径为 R ，其上固结一个质量也为 m 的质 点 A ，细圆环在水平面上纯滚动，图示瞬时角速度为 。
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泳
F ) 2
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解： 滚阻力偶： M N (mg 轮转动角度：
x R
将力 F 向 C 简化， F 对 C 主矩： M C Fr
F sin 60 x M C M
3 FR x F x 总功： Fx (mg ) 2 2 R 2 R Fx F x (1 3 ) (mg ) 2 2 R
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解：
1 l 2 (2m)l 2 2m ( ) 2 ml 2 12 3 3 滑块 A 的速度： vA l cos sin 滑块 B 的速度： vB l 1 2 1 2 1 2 5 2 2 系统动能： J D mvA mvB ml 2 2 2 6 l 重力功： (sin 0 sin ) 2mg l (sin 0 sin ) mg 2mgl(sin 0 sin ) 2 1 弹性力功： k[l 2 (1 cos 0 ) 2 l 2 (1 cos ) 2 ] 2 根据动能定理： 5 2 2 1 ml 0 2mgl(sin 0 sin ) k[l 2 (1 cos 0 ) 2 l 2 (1 cos ) 2 ] ( 1 ) 6 2 当 0 60 、 0 时，
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(1)
(2)
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11.9 滑轮重 FW ，半径为 R ，对轮轴 O 的回转半径为 ，一绳绕在滑轮上，绳的 另一端系一重为 FP 的物体 A 。滑轮上作用有一不变转矩 M ，使系统由静止而运 动。不计绳的质量，求重物上升距离为 s 时的速度和加速度。
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V
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解： 设物体 A 的速度为 V (向上)，滑轮的角速度为 ，存在运动学关系 V R 1 FP 2 物体 A 动能： TA V 2 g 定滑轮动能： TO
1 1 FW 2 V 2 FW 2V 2 J O 2 2 2 2 g R 2 gR 2
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CD
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解：
1 2 2 5.4422 J EA 动能： mEAlEA 6 CD 的速度瞬心位于 F 点，在 AE 方向上。
vB 14 rad s 0.3 3
由几何关系， CD 质心到 F 的距离为
3 3 m ，所以 CD 杆动能： 20
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1 1 3 3 2 2 [ mCDlCD mCD ( ) ] 7.5 J 2 12 20
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初位置
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末位置
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解： M 的初位置和末位置分别如图
末位置受力图
重力作功： mg 1.5mgr 1 1 2 1 弹性力做功： k (02 2 kS kr2 S) 2 2 2 根据动能定理： 1 2 1 mv 1.5mgr kr2 2 2 再根据末位置的受力图，有： v2 kr mg m r (1)、(2)联立求解： kr 2mg 2mg 490 N m 即： k r
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11.7 均质杆 CD 和 EA 分别重 50 N 和 80 N ， 铰接于点 B 。 若杆 EA 以 2 rad s 绕 A 转动，试计算图示位置两杆的动能。
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解： 1 1 3 1 (1) ml 2 2 ；(2) ( J C me2 ) 2 ；(3) mv2 (4) ml 2 2 sin 2 6 2 4 6
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11.3 重量为 FW 的鼓轮沿水平面做纯滚动，如图示，拉力 F 与水平面成 30 。轮 子与水平面之间的静摩擦系数为 f ，滚阻系数为 δ ，求轮心 C 移动距离为 x 的过 程中力的功。其中 R 2r 。
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11.10 图 示 冲 床 冲 压 工 件 时 冲 头 受 的 平 均 工 作 阻 力 F 52kN ， 工 作 行 程 s 10 mm 。飞轮的转动惯量 J 40 kg m2 ，转速 n 415 r min 。假定冲压工件 所需的全部能量都由飞轮供给，计算冲压结束后飞轮的转速。
11.11 如图所示，均质杆 AB 长为 l ，质量为 2m ，两端分别与质量均为 m 的滑块 铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为 k ，且当 0 时，弹簧为原长。若 机构在 60 时无初速开始运动，试求当杆 AB 处于水平位置时的角速度和角加 速度。
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解：
3 3 两车轮动能为： 2 m1v 2 m1v 2 4 2 上面一段履带平动，下面一段静止；上面一段动能为 1 πR 1 m (2v) 2 mv2 2 4ππ 2 左右两段履带可视为纯滚动圆环，动能为 1 πR 2πR v2 1 [ mR2 mR2 ] 2 mv2 2 4ππ 4ππ R 2 总动能： 3 m1v 2 mv2 2
(1)
将(1)式对时间求导，有 dV 2 g ( M FP R) R d s a dt FP R 2 FW 2 dt
魏

2 g ( M FP R) R 1 FP R 2 FW 2 2 s
2 g ( M FP R) Rs g ( M FP R) R FP R 2 FW 2 FP R 2 FW 2
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11.1 用跨过滑轮的绳子牵引质量为 2 kg 的滑块 A 沿倾角为 30 的光滑槽运动。设 绳子拉力 F 20 N 。计算滑块由位置 A 至位置 B 时，重力与拉力 F 所作的总功。
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解： 绳子走过的距离： 6 2 6 sin 60 6 2 4 3 m 重心上升的高度： 0.5(6 6 tan 60 ) 0.5(6 2 3) m 总功： [20 (6 2 4 3 ) 0.5(6 2 3)] 2 9.8 6.29 J
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解： 根据动能定理 1 2 J (2 12 ) Fs 2 2πn1 60 60 2πn1 2 2 Fs n2 ( ) 412.13 r min 2π 60 J
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11.6 图示坦克的履带质量为 m ，两个车轮的质量为 m1 ，车轮可视为均质圆盘， 半径为 R 。两车轮轴间的距离为 πR 。设坦克前进速度为 v ，计算此质点系的动 能。
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11.2 质量为 3 kg 的质点以 5 m s 的速度沿水平直线向左运动。今对其施以水平向 右的常力， 此力的作用经 30 s 而停止， 这时质点的速度水平向右， 大小为 55 m s 。 求此力的大小及其所做的功。 解： 55 (5) 加速度大小为： a m s2 2 m s2 30 力 F 大小： F ma 6 N 1 位移： s 5t at 2 5t t 2 750 m 2 功： W Fs 4500 J