材料力学第七章_3_+应变能密度和强度理论
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《材料力学》课件7-5空间应力状态下的应变能密度
02
应变能密度
应变能密度的定义
1
应变能密度是描述材料在应力状态下所储存的能 量的密度，其单位为J/m³。
2
它表示单位体积内的应变能，是材料力学中一个 重要的概念，用于分析材料的稳定性和强度。
3
应变能密度是应变能和体积的比值，反映了材料 在受力过程中抵抗变形的能力。
应变能密度的影响因素
材料的弹性模量
《材料力学》课件7-5空间应 力状态下的应变能密度
目
CONTENCT
录
• 空间应力状态 • 应变能密度 • 空间应力状态下的应变能密度 • 应变能密度在材料力学中的应用 • 结论与展望
01
空间应力状态
空间应力状态的定义
空间应力状态是指在三维空间中，各点的应力和应变状态随时间 和空间位置的变化而变化的状态。
弹性模量是材料在受力时抵抗变形的能力，弹性模 量越大，相同应力下材料的应变能密度越小。
应变状态
应变状态对应变能密度有显著影响，空间应力状态 下，不同方向的应变对应的应变能密度不同。
应力状态
应力状态对应变能密度有较大影响，例如，在复杂 应力状态下，剪切应力和弯曲应力对应的应变能密 度较高。
应变能密度的计算方法
应变能密度与材料性能的关系
应变能密度与材料的弹性模量、泊松比、屈服强度等力学性能参数密切相关。通过分析应 变能密度，可以深入了解材料的力学响应和破坏机理。
空间应力状态下应变能密度的计算方法
计算空间应力状态下应变能密度的方法主要包括基于弹性理论的解析方法和有限元分析方 法。这些方法能够考虑应力状态的空间变化，提供更准确的应变能密度值。
它描述了物体在受力作用下的应力分布和应力变化情况，是材料 力学中研究物体变形和破坏的重要基础。
材料力学第20讲 Chapter7-4第七章 强度理论
33
低碳钢圆截面试件，实验表明： 在单向拉伸时会发生显著的屈服现象。
若在圆试件中部切出一个环形槽（如 图a所示）。 试 验表明：直到拉断都看不到显著的 屈服现象和塑性变形，而是在最弱部 位发生脆断。其断口平齐，与铸铁拉 伸断口相似（b）。 这是因为在最弱截面处，材料处于三向拉伸应力状态，斜截面 上的剪应力较小，不可能出现屈服现象，只可能发生脆断。
只要微元内的最大拉应力 1 达到了单向拉伸
的强度极限 b ，就发生断裂破坏。
脆性断裂的判据（或极限条件） 1 u
强度条件 1
19
《评价》
二向时：当 1 2 0 该理论与实验基本一致
三向时：当 1230同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 误差较大
理论与实验基本符合 比第三理论更接近实际
29
二、相当应力（强度准则的统一形式）
r [ ] r —相当应力(equivalent stress)
r1 1
r21(23)
r3 13
r 4 1 2 [1 22 2 3 2 3 1 2 ]
[]1n{b,0.2,s}
30
强度理论应用于许用拉应力和许用切应力间的换算
m
在平均应力作用下，单元体的形
m
状不变, 仅发生是体积改变
m
7
按迭加原理（应力）
1
m
1-m
m
2
3
m
2-m 3-m
交互项
体积改变能密度
v v
1 2
3
v i
v i
i 1
3 2
mm
形状改变能密度 (畸变比能)
v d
1 2
低碳钢圆截面试件，实验表明： 在单向拉伸时会发生显著的屈服现象。
若在圆试件中部切出一个环形槽（如 图a所示）。 试 验表明：直到拉断都看不到显著的 屈服现象和塑性变形，而是在最弱部 位发生脆断。其断口平齐，与铸铁拉 伸断口相似（b）。 这是因为在最弱截面处，材料处于三向拉伸应力状态，斜截面 上的剪应力较小，不可能出现屈服现象，只可能发生脆断。
只要微元内的最大拉应力 1 达到了单向拉伸
的强度极限 b ，就发生断裂破坏。
脆性断裂的判据（或极限条件） 1 u
强度条件 1
19
《评价》
二向时：当 1 2 0 该理论与实验基本一致
三向时：当 1230同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 误差较大
理论与实验基本符合 比第三理论更接近实际
29
二、相当应力（强度准则的统一形式）
r [ ] r —相当应力(equivalent stress)
r1 1
r21(23)
r3 13
r 4 1 2 [1 22 2 3 2 3 1 2 ]
[]1n{b,0.2,s}
30
强度理论应用于许用拉应力和许用切应力间的换算
m
在平均应力作用下，单元体的形
m
状不变, 仅发生是体积改变
m
7
按迭加原理（应力）
1
m
1-m
m
2
3
m
2-m 3-m
交互项
体积改变能密度
v v
1 2
3
v i
v i
i 1
3 2
mm
形状改变能密度 (畸变比能)
v d
1 2
材料力学第七章_3_ 应变能密度和强度理论概要
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
[例9－8]证明弹性模量E 、泊松比µ 、切变弹性模量G 之间 的关系为 G E 。
2(1 )
证明： 纯剪应力状态应变能密度为
3
v1
1
2
1 2
2G
1 , 2 0, 3
1
用主应力计算比能
v2
1 2E
[
2 1
2 2
2 3
2 (1 2
2 3
1
3
k
1
3
2
OC
B
3
1
2
1 3
河南理工大学土木工程学院
A
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
各向同性材料的广义胡克定律：
εx
1 E
σx
μ
σy
σz
εy
1 E
σy
μσz
σx
εz
1 E
σz
μ
σx σy
xy
xy
G
,
yz
yz
G
,
zx
zx
G
上述一组方程为用应力表示应变，若用应变表示应力，
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
二、常用四个强度理论
● 第一强度理论（最大拉应力理论） 该理论不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂
破坏的主要原因是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最 大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便 发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为
一、强度理论的概念
1. 什么是强度理论 强度理论是关于材料破坏原因的学说。
材料力学教材第七章(孙国钧)上交版
τ
τ
图 7－8
d3 ≥
16T 16 × (1.5 × 103 N ⋅ m) = = 0.1273 × 10−3 m3 ， π [τ ] π (60 × 106 Pa)
即要求 d ≥ 50.3mm ，取 d=51mm。对于空心圆轴，要求其外径满足
16T 16 × (1.5 × 103 N ⋅ m) = = 0.2156 × 10−3 m3 ， 4 4 6 π (1 − α )[τ ] π (1 − 0.8 )(60 × 10 Pa) 即要求 d o ≥ 59.97mm 。取do=60mm，di=48mm。 空心轴与实心轴的材料用量比即空心轴的截面积Ah和实心轴的截面积AS之比 Ah (d o 2 − di 2 ) (602 − 482 )mm 2 = = = 0.498 As d2 512 mm 2 do3 ≥
（7－8）
（7－9）
很明显，圆轴扭转时的最大切应力发生在横截面的圆周上。上式中令 r=R 得到 M R τ max = x （7－10） Ip 最大切应力也可表示为 M τ max = x Wp 式中 （7－11）
（7－12） R 称为抗扭截面系数。它是截面的几何参数。Wp越大，则τmax越小，表示圆轴能承受的扭矩 也越大。这个参数表示截面的抗扭能力。对于直径为D的实心圆截面，其极惯性矩
Δx Δx T
T (b) 180° η T A
o T B
A (a)
B
C T (c) η
B o
C
图 7－1
T
能形成连续的圆轴。所以可以断定，圆轴扭转变形后所有的横截面都保持为平面，并且垂 直于轴线。 我们还可以对扭转时截面所在平面内的变形作进一步的推断。由于圆轴的轴对称性， 每一半径在变形后的形状应该是一样的。 如图 7－2a所示， 假定B端面上的半径oa变形后成 为曲线oa′，那么所有的半径都应该有相同的形状。将AB段圆轴绕 oη 轴旋转 180°，A端面
材料力学各章重点内容总结
材料力学各章重点内容总结第一章 绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。
二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。
三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。
第二章 轴向拉压一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。
二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。
三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N FAσ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα=注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。
五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],maxmax N F Aσσ=≤六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],maxmax N F Aσσ=≤一定要有结论 2.设计截面[],maxN F A σ≥3.确定许可荷载[],maxN F A σ≤七、线应变ll ε∆=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F ll EA∆=注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。
八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。
会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。
九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l llδ-︒=⨯︒及断面收缩率1100A A Aϕ-︒=⨯︒，工程上把5δ︒≥︒的材料称为塑性材料。
十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
材料力学课件第7章 应力、应变分析及强度理论
第7章 应力、应变
分析及强度理论
1
太原科技大学应用科学学院
第7章 应力、应变分析及强度理论
7.1 应力状态的概念 7.2 应力状态的实例 7.3 二向应力状态分析——解析法 7.4 二向应力状态分析——图解法 7.5 三向应力状态 7.7 广义胡克定律 7.8 复杂应力状态下的应变能密度 7.9 强度理论概述 7.10 四种常用强度理论
xy
a
dA
yx
y
t
F 0
t
dA xy (dAcos ) cos x (dAcos ) sin yx (dAsin ) sin y (dAsin ) cos 0
15
目录
太原科技大学应用科学学院
7.3 二向应力状态分析——解析法
例题2 分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说 明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。 低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态
x
x y
x
2
x
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
45
45
0
2 x y 2 sin 2
x y 2 2
28
2
x y 2 xy 2
太原科技大学应用科学学院
2
7.4 二向应力状态分析——图解法
x y 2 观察方程 2
2
x y 2 xy 2
1 2 3
该单元体称为主应力单元体。
8
太原科技大学应用科学学院
7.1 应力状态的概念
分析及强度理论
1
太原科技大学应用科学学院
第7章 应力、应变分析及强度理论
7.1 应力状态的概念 7.2 应力状态的实例 7.3 二向应力状态分析——解析法 7.4 二向应力状态分析——图解法 7.5 三向应力状态 7.7 广义胡克定律 7.8 复杂应力状态下的应变能密度 7.9 强度理论概述 7.10 四种常用强度理论
xy
a
dA
yx
y
t
F 0
t
dA xy (dAcos ) cos x (dAcos ) sin yx (dAsin ) sin y (dAsin ) cos 0
15
目录
太原科技大学应用科学学院
7.3 二向应力状态分析——解析法
例题2 分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说 明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。 低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态
x
x y
x
2
x
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
45
45
0
2 x y 2 sin 2
x y 2 2
28
2
x y 2 xy 2
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2
7.4 二向应力状态分析——图解法
x y 2 观察方程 2
2
x y 2 xy 2
1 2 3
该单元体称为主应力单元体。
8
太原科技大学应用科学学院
7.1 应力状态的概念
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
应变能和应变能密度
1
+
σ
2
+
σ
3
)
形状改变σ1－σm σ3－σm
主应力相同
主应变相同
单元体形状不改变
主应力之和不为零
单元体体积改变
主应力之和为零
单元体体积不改变 但单元体形状改变
σ2
σm
σ2－σm
σ3
σ1 ＝
体积改变
σm
σm ＋ 形状改变σ1－σm σ3－σm
体积改变能密度：
vV
=
3
⋅
1 2
σ
mε
m
=
3 2
σ
m
⋅
1
=
FN2l 2EA
应变能
Vε
=
1 2
FN Δl
=
FN2l 2EA
适用于 拉压杆
杆件应变能与杆件体积之比 —— 应变能密度
vε
=
Vε V
= 1 σε
2
适用于 单向应力状态
应变能 —— 是杆件参数，与杆件变形有关。
应变能密度 —— 与杆件无关，只与应力状态有关。
二、三向应力状态的应变能密度
vε
=
1 2
位移：ε2 d y 位移：ε3 d zσ3dxFra bibliotekσ1dz
dW
=
1 2
σ
1
d
yd
z ⋅ε1 d
x+
1 2
σ
2
d
zd
x⋅ε2
d
y
+
1 2
σ
3
d
x
d
y
⋅
ε
3
d
z
= dVε
材料力学应力和应变分析强度理论1
解：破坏时沿45º线断开
Me AD BC Me
最大切应力 T 16T
Wp d 3
取单元体如图
问题的提出
铸铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
目录
7—1 应力状态的概念
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
目录
7—1 应力状态的概念
横力弯曲
FN Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应
力各不相同 应力状态的概念
e xy x
f
30°
30
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
n
40604060cos(60)(50)sin(60)
2
2
58.3MPa
300
x
y
2
sin2xycos2
4060sin(60 )(50)cos(60) 18.3MPa
2
(2) 求主应力和主单元体
x = -40MPa
大小
y =60 MPa
m m ian x x 2y(x 2y)2x 2 8 6 .7 0 M .7 0 MP xP ==-3-a 05°a 0MPa
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
1 2
( x
y ) sin
2
xy
cos 2
目录
7-2 二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则
y yx
x
xy
x
y
α x
a
Me AD BC Me
最大切应力 T 16T
Wp d 3
取单元体如图
问题的提出
铸铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
目录
7—1 应力状态的概念
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
目录
7—1 应力状态的概念
横力弯曲
FN Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应
力各不相同 应力状态的概念
e xy x
f
30°
30
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
n
40604060cos(60)(50)sin(60)
2
2
58.3MPa
300
x
y
2
sin2xycos2
4060sin(60 )(50)cos(60) 18.3MPa
2
(2) 求主应力和主单元体
x = -40MPa
大小
y =60 MPa
m m ian x x 2y(x 2y)2x 2 8 6 .7 0 M .7 0 MP xP ==-3-a 05°a 0MPa
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
1 2
( x
y ) sin
2
xy
cos 2
目录
7-2 二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则
y yx
x
xy
x
y
α x
a
理工类专业课复习资料-材料力学基本概念和公式
第一章 绪论第一节 材料力学的任务1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。
2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。
3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。
第二节 材料力学的基本假设1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。
2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。
木材是各向异性材料。
第三节 内力1、内力：构件内部各部分之间因受力后变形而引起的相互作用力。
2、截面法：用假想的截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。
3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。
4、内力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩T ；弯矩M第四节 应力1、一点的应力： 一点处内力的集（中程）度。
全应力0limA Fp A∆→∆=∆；正应力σ；切应力τ；p =2、应力单位：Pa （1Pa=1N/m 2，1MPa=1×106 Pa ，1GPa=1×109 Pa ）第五节 变形与应变1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。
除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。
2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。
3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。
4、小变形条件：材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。
对构件进行受力分析时可忽略其变形。
5、线应变：ll ∆=ε。
线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。
6、切应变：tan γγ≈。
切应变为无量纲量，切应变单位为rad 。
第六节 杆件变形的基本形式1、材料力学的研究对象：等截面直杆。
材料力学第七章课件
(Analysis of stress-state and strain-state)
根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行
分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料 在单向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态 下的强度条件. 基本观点 构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何
(Analysis of stress-state and strain-state)
最大正应力
最大线应变
引起破坏 的某一共同 因素
最大切应力
形状改变 比能
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、四个强度理论 (Four failure criteria)
§7-9 复杂应力状态的应变能密度
一、应变能密度的定义（2.9节）
物体在单位体积内所积蓄的应变能
二、应变能密度的计算公 式
1、单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为
1 σ2 E 2 vε σε ε 2 2E 2
如应力和应变的关系是线性的，应变能和外力做功在数值上相等. 但它应该只决定于外力和变形的最终数值。而与加力的次序无关。 如用不同的加力次序可得到不同的应变能，那么按照一个存储能 量多的次序加力，而按照一个存储能量少的次序解除外力，完成
4、通常情况下，描述一点的应力状态需要九个应 力分量，如下图所示，考虑到切应力互等定理，
都分别相等。这样，原来的九个应力分量中独立 的就只有六个。这种普遍情可看作三组单向应力 和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，线应 变只与正应力有关，而与切应力无关。切应变只 与切应力有关，而与正应力无关。这样我们就可 以利用上面几个公式求出各应力分量各自对应的 应变。然后再进行叠加。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第七章 应力和应变分析 强度理论
不相同，此即应力的点的概念。
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
强度理论Word
§10.5 强度理论一、 强度理论的概念强度理论是研究材料在复杂应力条件下强度失效的原因和失效条件的理论。
在前面的章节中，分别介绍了杆件在基本变形时的强度条件，如杆件在轴向拉、压时处于单向应力状态，其强度条件为[]max max N A σσ=≤式中许用应力[σ]是通过拉伸实验得出材料的极限应力再除以安全系数获得的。
圆轴扭转时，材料处于纯剪应力状态状态，其强度条件为[]max max t T W ττ=≤式中许用应力[τ]也是直接通过实验得出材料的极限应力再除以安全系数获得的。
梁横力弯曲时基于最大正应力作用点和基于最大切应力作用点的强度条件也是直接通过实验建立的。
但是，由于工程构件或元件所处的应力状态是多种多样的。
在复杂应力状态下，判断材料失效仅仅通过实验和这些简单应力状态下建立的强度条件是远远不够的。
人们在长期的生产实践中，综合分析材料强度的失效现象，提出了各种不同的假说。
各种假说尽管各有差异，但它们都认为：材料之所以按某种方式失效(屈服或断裂)，是由于应力、应变或应变能密度等诸因素中的某一因素引起的。
按照这种假说，无论单向或复杂应力状态，造成失效的原因是相同的。
所以可将简单应力状态的实验结果，与复杂应力状态的下材料的破坏联系起来，从而建立了强度理论。
二、 材料破坏的两种基本形式综合分析材料破坏现象，可以认为构件由于强度不足将引起两种破坏形式：（1）脆性断裂：材料破坏前无明显的塑性变形，断裂面粗糙，且多发生在最大正应力作用面上，如铸铁受拉和受扭时的破坏，均属于脆性断裂。
（2）塑性屈服（流动）：材料破坏前发生较大的塑性变形，破坏面较光滑，且多发生在最大剪应力作用面上，如低碳钢受拉和受扭时的破坏便属于这类破坏。
三、 工程中常用的几个强度理论1．最大拉应力理论(第一强度理论)该理论认为最大拉应力是引起断裂破坏的主要原因。
即认为不论材料处于简单应力状态还是复杂应力状态，引起材料破坏的原因是它的最大拉应力σ1达到某一极限值，材料就发生断裂。
材料力学第七章知识点总结
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
材料力学——应力分析
,则α1
405(τx0) 405(τx0)
7-2 二向应力状态分析--解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MP，a txy 30MPa, y 40MP,a 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y t xy
x
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
t
ty(xdsAin)co sy(dsAin)sin0
y
Ft 0
td Atx(ydc Ao )sco sx(dc Ao )ssin ty(xdsAin)siny(dsAin)co s0
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
{ 利用三角函数公式
co2 s 1(1co2s)
2
sin 21(1co2s)
d d (x y)si2 n2 txc y o 2 s
设α＝α0 时，上式值为零，即
t (xy )s2 i0 n 2xc y 2 o 0 s 0
2 (x σ 2 σ y) si0n τ x 2 c yα o0s 2 2α α 0 τ 0
即α＝α0 时，切应力为零 目录
2
2 s ic n o s si2 n
并注意到 t yx t xy 化简得
t 1
1
2 (xy) 2 (xy)c2 o s xs y 2 in
t1 2(xy)si2 ntxy co 2s
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
t 1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs y 2 in
（2）主平面的位置
tg2α0
2τ xy σx σy
第七章：应力状态、强度理论
s
2 2
s
2 3
2 s1s 2
s 3s 2
s1s 3 )
1 t 2 0 (t )2 2 0 0 t (t ))
2E
s1
1 t 2
E
G
E
21
)
§7–6 强度理论及其相当应力
强度理论：是关于“材料发生强度破坏或失效”的假设
材料的破坏形式： ⑴ 脆性断裂 如铸铁在拉伸和扭转时的突然断裂 ⑵ 塑性屈服 如低碳钢在拉伸和扭转时明显的塑性变形
sx
t 绕研究对象顺时针转为正；
y
txy
逆时针为正。
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
Fn 0
n s dA (t xydAcos )sin (s xdAcos ) cos t (t yxdAsin ) cos (s ydAsin )sin 0
容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×10-6，若已知容器平均 直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25
试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式； 2.计算容器所受的内压力。
s1 sm
p p
p
x
l
图a
D
y
xp
AO
B
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程
第七章 应力状态和强度理论
§7–1 概述 §7–2 平面应力状态的应力分析.主应力 §7–3 空间应力状态的概念
§7–4 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）
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材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
§7-9 空间应力状态的应变能密度
一、应变能密度的定义 物体在单位体积内所积蓄的应变能。
二、应变能密度的计算公式 1、单向应力状态下，物体内积蓄的应变能密度为
1 vε σε 2
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
另一方面，剪切的强度条件是： 所以 [ ] = 0.5
[σ ] τ 2
τ [τ ]
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材料力学 按第四强度理论得强度条件为：
第 7章 应力和应变分析·强度理论
1 [( τ 0)2 (0 τ )2 ( τ τ )2 ] 3τ [σ ] 2
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
材 料力学
第7章 应力状态和强度理论
2014年6月26日
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
材料力学实验（拉、压、扭）：5月11日（本周日）
地点：1号实验楼一楼
安全12-1、12-3：上午9:00-12:00
安全12-2、12-4：下午3:00-6:00
σ1 σ 3 τ xy
σ2 0
0
即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变. 河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
目 录
§7-1 应力状态概述
§7-2 平面应力状态分析· 主应力
§7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变间的关系
§7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 §7-7 强度理论的应用
体积应变为：
V V V a1 (1 ε1 ) a2 (1 ε2 ) a3 (1 ε3 ) a1a2a3 a1a2a3 a1a2a3 (1 ε1 ε2 ε3 ) a1a2a3 a1a2a3 ε1 ε2 ε3
1 ε1 σ1 μσ 2 σ 3 E 1 ε2 σ 2 μσ 3 σ1 E 1 ε3 σ 3 μσ1 σ 2 E
第 7章 应力和应变分析·强度理论
一般情况下：脆性材料通常发生脆性断裂破坏，应
采用第一和第二理论； 塑性材料通常发生塑性屈服破坏，应
采用第三和第四理论。
特殊情况下：三向受拉时，不论是脆性材料还是塑
性材料，用第一和第二理论；
三向压缩时，不论是脆性材料还是塑 性材料，用第三和第四理论。
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强度条件为：
1
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
● 第二强度理论（最大伸长线应变理论） 该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起 的：复杂应力状态下，当最大拉应变1达到单向拉伸时发生 脆性断裂破坏的极限应变时，材料发生脆性断裂破坏，即断 裂条件为
许用应力可由实验测出。
max
在复杂应力状态下，不可能测出每一种应力状态下的极
限应力，因此提出了材料在不同应力状态下产生某种形式破 坏的共同原因的各种假设，这些假设称为强度理论。强度理 论的核心是认为复杂应力状态下的某一因素达到简单拉伸的 试验破坏时的同一因素，材料也将失效。
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强度条件为：
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
章 应力和应变分析·强度理论
三、强度理论的应用
1. 强度理论的统一形式：
r
r 称为相当应力
第一相当应力 r1 1
形状改变能密度为：
1 2 2 2 vd [( σ1 σ 2 ) (σ 2 σ 3 ) (σ 3 σ1 ) ] 6E
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
[例9－8]证明弹性模量E 、泊松比µ 、切变弹性模量G 之间 E 的关系为 G 。 2(1 )
1 2 (σ1 σ 2 σ 3 ) E
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材料力学 令
第 7章 应力和应变分析·强度理论
1 m ( 1 2 3 ) 3
K E 3(1 2 )
m
K
m称为平均正应力，K 称为体积弹性模量。上式称为体
积胡克定律。 纯剪切应力状态下的体积应变
1 vd [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 6E
单向拉伸至屈服时， 1 s ， 2 3 0 代入上式得到单向拉伸至屈服时的形状改变能密度为 河南理工大学土木工程学院
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
1 σ1 μσ2 σ3 E 1 ε2 σ 2 μσ 3 σ1 E 1 ε3 σ 3 μσ1 σ 2 E
vε vV vd
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
式中，体积改变能密度为：
1 2 2 vV ( 1 2 3 ) 6E
1
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y
第 7章 应力和应变分析·强度理论
应力圆的作法：
y
x
x
x
x
D
o
最大和最小切应力的表达式：
y
B C D′ A
max 1 2 2 min
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x
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2
1
第 7章 应力和应变分析·强度理论 2
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
v1 v2
1 2 1 2 2G E
E G 2(1 )
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
§11-5 强度理论
一、强度理论的概念
1. 什么是强度理论
强度理论是关于材料破坏原因的学说。
1 ε x σ x μσ y σ z E 1 ε y σ y μσ z σ x E 1 εz σ μ σ σ z x y E
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
二、各向同性材料的体积应变
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
[]为材料在单向拉伸时的许用拉应力. 材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为[ ].
[σ ] τ 3
[ ] [ ] 0.577[ ] 0.6[ ] 3
按第三强度理论得到： 按第四强度理论得到： [ ] = 0.5 [ ] ≈ 0.6
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2
cos 2 x sin 2
x y
2
sin 2 x cos 2
主应力的解析表达式：
y
2
y x x
max x y x y 2 x min 2 2
2 x 2 0 tan ( ) x y
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为 a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3 变形后单元体的体积为 V'=a1(1+· a2(1+2 · a3(1+3
a2
2
1
a3
3
a1
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
材料力学 推知纯剪切应力状态下的 .
第 7章 应力和应变分析·强度理论
例题9 根据强度理论 , 对于塑性材料，可由单轴拉伸时的
纯剪切应力状态下:
1 = , 2 = 0 , 3 = –
按第三强度理论得强度条件为：
σ1 σ 3 τ ( τ ) 2τ [σ ]
max
强度条件为：
1 3
2
S
2
1 3
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
● 第四强度理论（形状改变能密度理论） 该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变能密度 引起的：复杂应力状态下，当形状改变能密度vd 达到单向 拉伸时发生塑性屈服破坏的形状改变能密度vd，材料发生塑 性屈服破坏。 相关理论分析可得三向应力状态下的形状改变能密度为
3
2
1
k
3
1
3
O
C
B
A
2
1
3 2 1
3
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
各向同性材料的广义胡克定律：
yz zx xy xy , yz , zx G G G
上述一组方程为用应力表示应变，若用应变表示应力，
该如何改写？
1 2 vd s 3E
按照形状改变能密度理论，屈服判据为
1 1 2 2 2 2 vd [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] s 6E 3E
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] s 2
2、三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为
1 vε (σ1ε1 σ 2 ε2 σ 3 ε3 ) 2
将广义胡克定律代
ε1
入上式, 经整理得
1 2 2 vε 12 2 3 2 σ1σ 2 σ 2σ 3 σ 3σ1 2E
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
§7-9 空间应力状态的应变能密度
一、应变能密度的定义 物体在单位体积内所积蓄的应变能。
二、应变能密度的计算公式 1、单向应力状态下，物体内积蓄的应变能密度为
1 vε σε 2
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
另一方面，剪切的强度条件是： 所以 [ ] = 0.5
[σ ] τ 2
τ [τ ]
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材料力学 按第四强度理论得强度条件为：
第 7章 应力和应变分析·强度理论
1 [( τ 0)2 (0 τ )2 ( τ τ )2 ] 3τ [σ ] 2
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
材 料力学
第7章 应力状态和强度理论
2014年6月26日
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
材料力学实验（拉、压、扭）：5月11日（本周日）
地点：1号实验楼一楼
安全12-1、12-3：上午9:00-12:00
安全12-2、12-4：下午3:00-6:00
σ1 σ 3 τ xy
σ2 0
0
即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变. 河南理工大学土木工程学院
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
目 录
§7-1 应力状态概述
§7-2 平面应力状态分析· 主应力
§7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变间的关系
§7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 §7-7 强度理论的应用
体积应变为：
V V V a1 (1 ε1 ) a2 (1 ε2 ) a3 (1 ε3 ) a1a2a3 a1a2a3 a1a2a3 (1 ε1 ε2 ε3 ) a1a2a3 a1a2a3 ε1 ε2 ε3
1 ε1 σ1 μσ 2 σ 3 E 1 ε2 σ 2 μσ 3 σ1 E 1 ε3 σ 3 μσ1 σ 2 E
第 7章 应力和应变分析·强度理论
一般情况下：脆性材料通常发生脆性断裂破坏，应
采用第一和第二理论； 塑性材料通常发生塑性屈服破坏，应
采用第三和第四理论。
特殊情况下：三向受拉时，不论是脆性材料还是塑
性材料，用第一和第二理论；
三向压缩时，不论是脆性材料还是塑 性材料，用第三和第四理论。
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强度条件为：
1
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
● 第二强度理论（最大伸长线应变理论） 该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起 的：复杂应力状态下，当最大拉应变1达到单向拉伸时发生 脆性断裂破坏的极限应变时，材料发生脆性断裂破坏，即断 裂条件为
许用应力可由实验测出。
max
在复杂应力状态下，不可能测出每一种应力状态下的极
限应力，因此提出了材料在不同应力状态下产生某种形式破 坏的共同原因的各种假设，这些假设称为强度理论。强度理 论的核心是认为复杂应力状态下的某一因素达到简单拉伸的 试验破坏时的同一因素，材料也将失效。
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强度条件为：
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
章 应力和应变分析·强度理论
三、强度理论的应用
1. 强度理论的统一形式：
r
r 称为相当应力
第一相当应力 r1 1
形状改变能密度为：
1 2 2 2 vd [( σ1 σ 2 ) (σ 2 σ 3 ) (σ 3 σ1 ) ] 6E
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
[例9－8]证明弹性模量E 、泊松比µ 、切变弹性模量G 之间 E 的关系为 G 。 2(1 )
1 2 (σ1 σ 2 σ 3 ) E
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材料力学 令
第 7章 应力和应变分析·强度理论
1 m ( 1 2 3 ) 3
K E 3(1 2 )
m
K
m称为平均正应力，K 称为体积弹性模量。上式称为体
积胡克定律。 纯剪切应力状态下的体积应变
1 vd [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 6E
单向拉伸至屈服时， 1 s ， 2 3 0 代入上式得到单向拉伸至屈服时的形状改变能密度为 河南理工大学土木工程学院
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
1 σ1 μσ2 σ3 E 1 ε2 σ 2 μσ 3 σ1 E 1 ε3 σ 3 μσ1 σ 2 E
vε vV vd
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式中，体积改变能密度为：
1 2 2 vV ( 1 2 3 ) 6E
1
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y
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应力圆的作法：
y
x
x
x
x
D
o
最大和最小切应力的表达式：
y
B C D′ A
max 1 2 2 min
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x
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2
1
第 7章 应力和应变分析·强度理论 2
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v1 v2
1 2 1 2 2G E
E G 2(1 )
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§11-5 强度理论
一、强度理论的概念
1. 什么是强度理论
强度理论是关于材料破坏原因的学说。
1 ε x σ x μσ y σ z E 1 ε y σ y μσ z σ x E 1 εz σ μ σ σ z x y E
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二、各向同性材料的体积应变
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
[]为材料在单向拉伸时的许用拉应力. 材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为[ ].
[σ ] τ 3
[ ] [ ] 0.577[ ] 0.6[ ] 3
按第三强度理论得到： 按第四强度理论得到： [ ] = 0.5 [ ] ≈ 0.6
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2
cos 2 x sin 2
x y
2
sin 2 x cos 2
主应力的解析表达式：
y
2
y x x
max x y x y 2 x min 2 2
2 x 2 0 tan ( ) x y
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为 a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3 变形后单元体的体积为 V'=a1(1+· a2(1+2 · a3(1+3
a2
2
1
a3
3
a1
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材料力学 推知纯剪切应力状态下的 .
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例题9 根据强度理论 , 对于塑性材料，可由单轴拉伸时的
纯剪切应力状态下:
1 = , 2 = 0 , 3 = –
按第三强度理论得强度条件为：
σ1 σ 3 τ ( τ ) 2τ [σ ]
max
强度条件为：
1 3
2
S
2
1 3
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
● 第四强度理论（形状改变能密度理论） 该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变能密度 引起的：复杂应力状态下，当形状改变能密度vd 达到单向 拉伸时发生塑性屈服破坏的形状改变能密度vd，材料发生塑 性屈服破坏。 相关理论分析可得三向应力状态下的形状改变能密度为
3
2
1
k
3
1
3
O
C
B
A
2
1
3 2 1
3
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各向同性材料的广义胡克定律：
yz zx xy xy , yz , zx G G G
上述一组方程为用应力表示应变，若用应变表示应力，
该如何改写？
1 2 vd s 3E
按照形状改变能密度理论，屈服判据为
1 1 2 2 2 2 vd [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] s 6E 3E
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] s 2
2、三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为
1 vε (σ1ε1 σ 2 ε2 σ 3 ε3 ) 2
将广义胡克定律代
ε1
入上式, 经整理得
1 2 2 vε 12 2 3 2 σ1σ 2 σ 2σ 3 σ 3σ1 2E