《角的平分线的性质》同步练习(1)及答案

角的平分线的性质

知识点1：角平分线的性质

1．如图11.3-1所示,在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=20cm ，DB=17cm ，则D 点到AB 的距离是_________．

2．如图11.3-2所示，点D 在AC 上，∠BAD=∠DBC ，△BDC 的内部到

∠BAD 两边距离相等的点有_______个，△BDC 内部到∠BAD 的两边、∠DBC 两边等距离的点有_____个．

图11.3-1 图11.3-2 图11.3-3

3.如图11.3-3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD=2，则点D 到AB 的距离是 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．如图11.3-4，已知AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）

A ．BD+ED=BC

B ．DE 平分∠ADB

C ．A

D 平分∠EDC D ．ED+AC ＞AD

图11.3-4 图11.3-5

5．如图11.3-5，Q 是△OAB 的角平分线OP 上的一点，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，FQ ⊥OQ 交OA 于F ，则下列结论正确的是 （ ）

A ．PA=P

B B ．PC=PD

C ．PC=QE

D ．QE=QF

6．如图11.3-6，AP 平分∠BAC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，点O 是 AP 上任一点（除A 、P 外）．求证：OF=OE ．

B

D

A

E

A

D

C

B

A

C

B

D

A

B

C

D

E

A

O B P

C

D F

E

Q

证明：∵AP 平分∠BAC ，∴OF=OE ． 以上证明过程是否正确？若不正确，请改正．

7.如图11.3-7，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，D 到AB 的距离为12， BD ∶DC=5∶3．试求BC 的长．

知识点2：角平分线的性质与判定的综合应用

8．如图11.3-8，DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，BD=DC ，∠BAC=80°，则∠BAD =_______，∠CAD=____．

9．如图11.3-9，已知点C 是∠AOB 的平分线上一点，点P 、P ′分别在边OA 、OB 上，若要得到OP=OP ′，需要添加以下条件中某一个即可，请你写出所有可能结果的序号：______________．

①∠OCP=∠OCP ′；②∠OPC=∠OP C′；③PC=PC ′；④PP ′⊥OC ．

图11.3-8 图11.3-9

10．如图11.3-10，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别E 、F 、G ，且PF=PG=PE ，则∠BPD=________．

11.如图11.3-11，已知DB ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DB=DC ，∠BAC= 40°，∠ADG=130°，则∠DGF=________．

B

A

E

C

P

O

F

图13.3-6

A

C

D

图13.3-7

A

B

C

D

A B

O

P C

图11.3-10 图11.3-11

12．与相交的两直线距离相等的点是在 （ ）

A ．一条射线上

B ．一条直线上

C ．两条互相垂直的直线上

D ．以上都不对

13．下列结论中，错误的是 （ ）

A ．到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上

B ．一条直线上有一点到已知角的两边距离相等，这条直线平分已知角

C ．到角的两边距离相等的点，与角顶点的连线平分这个角

D ．角内有两点各自到角的两边的距离相等,经过这两点的直线平分这个角

14．如图11.3-12，已知BD 平分∠ABC ，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，M 、N 为垂足．求证：PM=PN ．

15．如图11.3-13，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ． （1）如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 的中点； （2）如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．

A

B

C

D P

F E G

F

B D

A

C

G A

B

D

P

M

N C

图13.3-12

A

B

E 图13.3-13

参考答案

1．3cm[点拨：由角平分线性质，得DE=DC=BC-DB=20-17=3（cm ）] 2．无数；1

3．B （点拨：点D 到AB 的距离等于DC ） 4．C

5．B （点拨：只有PC 、PD 都是角平分线上的点到角两边的距离）

6．不正确.AP 平分∠BAC ，PF ⊥AB ，PE ⊥AC ，∴PF=PE ，接着证△APE ≌△APF ，得AE=AF ，再证△AOF ≌△AOE 即可．

7．由题意，得DC=12，BC=DC=×12=32．

8．40°；40°（点拨：由BD=DC ，DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，得DA 平分∠BAC ，所以∠BAD=∠CAD=∠BAC=40°）

9．①②④（点拨：SSA 不能判定两个三角形全等）

10．90°（点拨：由PE=PF 得∠PBD=∠ABD ，由PF=PG 得∠PDB=∠BDC.由AB//CD ，得∠ABD+∠BDC=180°，∴∠PBD+∠PDB=×180°=90°，∠BPD=90°）

11．150°（点拨：由

DB=DC

得∠GAD=∠BAD=

∠BAC=20°，

∠DGF=∠GAD+∠ADG=130+20°=150°）

12．C （点拨：相交的两直线有两对对顶角） 13．B

14．先证△ABD ≌△CBD ，得∠ADB=∠CDB ，由PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，得PM=PN ．

15．（1）如右图，过点E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．由角平分线性质得ED=EF ，EF=EC ，∴ED=EC ，即点E 是DC 的中点 ；（2）过点E 作EF ⊥AB ，F 为垂

足．由角平分线性质得ED=EF ，又ED=EC ，∴EF=EC ，由角平分线的得和是BE 平分∠ABC ．

A D

B

C

F

E