高中数学平面方程式范本例题

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全国2018-2019高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程练习新人教B版

2.3.2 圆的一般方程1曲线x2+y2+2x-2y=0关于()A.直线x=2对称B.直线y=-x对称C.点(-2,2)中心对称D.点(-2,0)中心对称(x+)2+(y-)2=4.圆心(-)在直线y=-x上,故圆关于直线y=-x对称.故选B.2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值是()A.-1B.2C.-1或2D.1可得a=-1或a=2(舍).3过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-xy=kx,因为圆心(-2,0)到直线kx-y=0的距离等于圆的半径1,所以=1,解得k=±.又因为切点在第三象限,所以k=-舍去.所以所求直线的方程为y=x.4点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1(x1,y1),其与点P连线的中点为(x,y),则代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.5圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()A.36B.18C.6D.52+y2-4x-4y-10=0⇒(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为3.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为=5,由数形结合思想可得:该圆上的点到已知直线的距离的最小值为2,最大值为8,故所求距离之差为6.6已知A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点,则这四点()A.共线B.不共面C.共圆D.不共圆A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有解得所以经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,将点D(4,3)的坐标代入上述方程有42+32-2×4+2×3-23=0,所以点D在此圆上,故A,B,C,D四点共圆.7已知A(-2,0),B (0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最大值为()A.3-B.4-C.D.3+ABC的面积最大,即要求点C到AB的距离最大,亦即求圆上的点到直线AB距离的最大值,应为圆心到直线AB的距离d与半径r之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d为,即C到AB的距离的最大值为+1,故△ABC的面积的最大值为×|AB|×=3+.8设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是.AB与点P和圆心所确定的直线垂直,由点斜式可得.4=09圆x2+y2-2x-K2+2K-2=0的面积的最小值是.(x-1)2+y2=K2-2K+3,因此其半径为,圆的面积S=π()2=(K2-2K+3)π=[(K-1)2+2]π,故当K=1时,圆的面积最小,最小值为2π.π10判断下列方程表示什么图形.(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x-2y-3=0;(3)x2+y2+2ax+2by=0.因为x2+y2=0,所以x=0,且y=0.即方程表示一个点(0,0).(2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,即方程表示圆心为(1,1),半径为的圆.(3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2,当a=b=0时,方程表示一个点(0,0);当a2+b2≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为的圆.11已知过点M(-1,1)的直线l被圆C:x2+y2-2x+2y-14=0所截得的弦长为4,求直线l的方程.C的坐标为(1,-1),半径为4,因为直线l被圆C所截得的弦长为4,所以圆心C到直线l的距离为2.(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,此时点C到l的距离为2,可求得弦长为4,符合题意.(2)若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,因为圆心C到直线l的距离为2,所以=2,所以k2+2k+1=k2+1,所以k=0,所以直线l的方程为y=1.综上(1)(2)可得:直线l的方程为x=-1或y=1.★12某圆拱桥的示意图如图,该圆拱的跨度AB是16 m,拱高OP是4 m,在建造时,每隔2 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,设出圆的一般方程,代入点的坐标即可求出.AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-8,0),(8,0),(0,4),设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵点A,B,P在所求的圆上,则代入坐标得解得∴圆拱所在的圆的方程为x2+y2+12y-64=0.将点P2的横坐标x=2代入圆的方程,解得y1=-6-4(舍)或y2=-6+4.答:支柱A2P2的长为(4-6) m.。

空间中平面及直线的方程(3)

5-3 空间中平面与直线的方程
1.平面的方程
设一平面通过已知点
P( x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C) , 求该平面的方程.
任取点 P(x, y, z) , 则有
P0P n
故
P0P n 0
z
P
n
P0
o
x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,
称 n 为平面的法向量.
平面的点法式方程（1）可以化成
Ax By Cz D 0
其中D Ax 0 By0 Cz0 是常数，x, y, z的系数A，B，C依次是法向量向量的三个坐标分向量.
例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
C1C2 | A22 B22
C
2 2
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:
cos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
两平面垂直的条件
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直
P1P2 P1P3
设 P x,是y,平z面上任一点, 显然
P1P2 P1P3 0,
垂直于
P1P
P1P2 P1P3
P1P P1P2 P1P3 0.
此混合积的坐标形式为:
x x1 x2 x1 x3 x1

平面及其方程

3 = =1 3
2. 平面方程的几种特殊情形 (1) 过原点的平面方程由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为: Ax + By + Cz = 0
(2) 平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = {A, B, C}与x 轴上的单位向量 i ={1, 0, 0}垂直, 所以 n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0 于是: 平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0. 特别: D = 0时, 平面过坐标轴.
法向量 n1 = {A1, B1, C1}
θ
n1
Π2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
法向量 n2 = {A2, B2, C2}
θ
Π2 Π1
平面Π 1 与Π 2 的夹角θ 应是 ( n1 , n 2 ) 和( − n1 , n 2 ) = π − ( n1 , n 2 ) 两者中的锐角 ,
M1 n
M3 M2
= − 3 4 − 6 = 14i + 9j − k − 2 3 −1 所以, 所求平面的方程为: 14(x − 2) + 9(y + 3) − (z − 4) = 0
即: 14x + 9y − z − 15 = 0
二、平面的一般方程 1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C} 证: A, B, C不能全为0, 不妨设A ≠ 0, 则方程可以化为 −D A x −( ) + B( y −0) +C ( z −0) = 0 A 它表示过定点 M 0 ( − D , 0 , 0 ) , 且法向量为 A n = {A, B, C}的平面. 注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2)

空间解析几何第二章 2-1 平面的方程

补例
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和 3x 2 y 12z 5 0的平面方程. 解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12}
取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
1 1 1 1 1 t 1 ,
6 6t t 6t
6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6x y 6z 6.
或 6x y 6z 6.
z
a bc
11
V
1,

32
abc
1,
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c ,
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
类似地可讨论B = 0，C = 0情形
z
z
o
o
y
y
x
x
（2）A = B = 0
D 0, D 0,
平面平行于xoy 坐标面；与z轴垂直
有z 0,即xoy面.
z
z
o
o
y
y
x
x
类似地可讨论A = C = 0， B = C = 0情形
z
z
o
o
y
y
x
x
其他的特殊平面方程
(1)过原点的平面方程是 A x + B y + C z = 0

高中数学平面方程式

y0 cz0 d1 0，即 ax0 by0 cz0 d1，
所以点 P 到平面 E2的距离为
ax0 by0 cz0 d2 d1 d2 d1 d2 。
a2 b2 c2
a2 b2 c2 a2 b2 c2
7 p.83
设平面 E 通过点 P 1 ,2 ,3，且平面 E 与平面 3x 2 y z 5 0
平行，试求平面 E 的方程式。
平面 3x 2 y z 5 0 的一个法矢量为3 ,2 ,1
因为平面 E 与平面 3x 2 y z 5 0 平行所以它们的法矢量亦平行
平面方程式
平面方程式两平面的夹角点到平面的距离两平行平面的距离
平面方程式 p.72~p.78
平面的法矢量：坐标空间中，如果一个以非零矢量 n 为方向矢量的直线 L 与平面 E 垂直，则称 n 是平面 E 的一个法矢量。此时也称 n 与平面 E 垂直，记为 n E。如上图所示。平面方程式：
(2) 设平面 PQR 与平面 CDHG 的夹角为，
试求 cos 。
又两平面夹角 = 或 180 故 cos = cos 或 cos = cos 180 = cos
即 cos = 2 或 2
77
6 , 2 , 3 0 , 6 , 0
=2
(6)2 (2)2 (3)2 02 62 02 7
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的
长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4，令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则：
= =3
12 22 22
9

高等数学课件D75平面方程

定义
截距式方程是利用平面与坐标轴的截距来确定平面的方程，表示为 x/a + y/b + z/c = 1。
求解步骤
1) 根据已知条件求出平面与坐标轴的截距a、b、c；2) 将截距代入截距式得到平面方程。
适用范围
适用于已知平面与坐标轴的截距的情况。
法线式求解平面方程
定义
法线式方程是利用平面上一点到原点的距离和该平面的法向量来确定平面的方程，表示为ρ = d * n（其中ρ为原点到平面的距离，d为常数，n为法向量）。
点是否在平面上判断问题
给定点的坐标和平面方程，可以判断点是否在平面上。
典型例题分析与解答
例题1
已知平面方程和点坐标，求点到平面的距离。
01
例题2
已知两个平行平面方程，求两平面间距离。
03
例题3
联立平面方程和直线方程，求平面与直线的交点坐标。
05
02
分析与解答
首先根据点到直线距离公式，将已知条件代入公式进行计算，得出点到平面的距离。
平面束的性质
平面束中的任意两个平面都互相平行，且都通过同一个定点。
平面束的表示方法
可以通过一个参数方程来表示平面束中的所有平面。
平面束在几何问题中应用
解决平行平面问题
利用平面束的概念，可以方便地解决与平行平面相关的问题，如判断两平面是否平行、求两平行平面间的距离等。
解决垂直平面问题
平面束也可以用于解决与垂直平面相关的问题，如判断两平面是否垂直、求ห้องสมุดไป่ตู้到垂直平面的距离等。
Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C不同时为零。
3
平面方程的几种特殊形式

平面及其方程习题解析

6.3一、单选题1、平面330x y z +--=的截距式方程为（）.A 3(1)0x y z +--= B133x z y +-= C 33x y z +-= D 13y x z +-=答案： B解析：根据截距式方程的标准形式，可将平面的一般式方程330x y z +--=，化为133x z y +-=.2、过三点1(0,1,0)M -, 2(1,0,1)M , 3(1,1,1)M -的平面的一般式方程为（）.A 32(1)0x y z -+-=B 3220x y z --+=C 3220x y z ---=D 1232x z y --= 答案： C解析：方法一直接求平面的一般方程 .设平面的一般方程为0Ax By Cz D +++= ①，将已知的三个点123,,M M M 坐标分别代入方程①中, 即有方程组000B D A C D A B C D -+=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩, 运用中学学过的消元法解方程组, 用D来表示,,A B C , 可得3212B DA D C D ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩ , 因此, 所求平面的一般方程为 310,22D x D y D z D -⋅+⋅+⋅+=方程两边同时除以2D -化简得3220x y z ---=.方法二先求平面的点法式方程, 再化为一般方程 .将三个点任意连成两个向量, 不妨作1213,,M M M M则有1213(1,1,1),(1,2,1),M M M M ==-从1213,M M M M的坐标可以看出这两个向量并不平行, 可以通过这两个向量求出平面方程的法向量1213111121i j kn M M M M =⨯=-11111132.211112i j k i j k =+=-++--- 再从123,,M M M 中任取一点, 不妨就取1(0,1,0)M -, 根据点法式, 可得所求的平面方程(3)(0)2(1)1(0)0,x y z -⋅-+⋅++⋅-=化为平面的一般方程即3220x y z ---=. （大家还可以想想其他方法.）（做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。

高数平面方程

任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
②
A x0 + B y0 + C z0 + D = 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是平面的一般法向量为 n = ( A, B, C)的平面, 此方程称为平面的一般方程. 方程
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2x − y − z = 0
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例5. 设
是平面
外一点,求 P 到平面的距离d . 0 解:设平面法向量为 n = ( A, B, C) , 在平面上取一点
P (x1, y1, z1) ,则P0 到平面的距离为 1 PP ⋅ n 1 0 r PP = d = Prj n 1 0 n A(x0 − x1) + B( y0 − y1) + C(z0 − z1) = P A2 + B2 + C2 1
A(x −1) + B( y −1) + C(z −1) = 0
− A + 0 ⋅ B − 2C = 0, 即 A+ B + C = 0 , 故
(C ≠ 0)
n⊥ M1M2
n ⊥ Π 的法向量
因此有 − 2C(x −1) + C( y −1) + C(z −1) = 0 约去C , 得即
− 2(x −1) + ( y −1) + (z −1) = 0
第五节平面及其方程
一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角
第八章八
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一、平面的点法式方程设一平面通过已知点 M0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向

65平面及其方程

(2) 1 // 2
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
2019年5月13日星期一
10
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例4 一平面通过两点 M1( 1, 1, 1 )和 M 2 ( 0, 1, 1 ), 且
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .（课本例6）
任取点M (x, y, z) , 则有
M0M n
故
M0M n 0
z
M
o x
n
M0
y
①
称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面的法向量.
2019年5月13日星期一
2
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例1 求过三点
的平面的方程. (自学课本例2）
解: 取该平面的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
解: 设所求平面的法向量为
则所求平面
方程为 A(x 1) B( y 1) C(z 1) 0
n M1M 2
A 0 B 2C 0, 即
n 的法向量 A B C 0 , 故
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0 (C 0)
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
2019年5月13日星期一
6
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特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量

高中数学平面几何例题-19页文档资料

必修2一、平面几何（一）直线1、直线的斜率与倾斜角 (1)斜率①两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -=≠-②斜率的范围：k R ∈(2)直线的倾斜角范围：)0,180⎡⎣o o（3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠o注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；（2）特别地，倾斜角为0o的直线斜率为0；倾斜角为90o的直线斜率不存在。

2、直线方程(1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：1112122121(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：1x ya b+=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线（5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0）（6）特殊直线方程①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx =在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法（1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+①平行：12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠） ②重合：12k k =且12b b = ③相交：12k k ≠特别地，垂直：121k k =-（2）11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++= ①平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠（验证） ②重合：1221A B A B =且1221A C A C = ③相交：1221A B A B ≠特别地，垂直：12120A A B B +=（3）与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为：0Ax By m ++=与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：0Bx Ay n -+= 4、其他公式（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x y B x y，则AB =（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 中点的坐标为1212(,)22x x y y ++ （3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心坐标公式为：123123(,)33x x x y y y ++++ （4）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式：d =（5）两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠间的距离：d =（用此公式前要将两直线中,x y 的系数统一）（6）点A 关于点P 的对称点B 的求法：点P 为,A B 中点（7）点A 关于直线l 的对称点B 的求法：利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上，列出方程组，求出点B 的坐标。

平面方程式

A(x0,y0,z0)
P(x, y, z)
(a,b, c) (x x0, y y0, z z0 ) 0
∴ a(x x0) b( y y0) c(z z0 ) 0
課本頁次：70
平面方程式(點法式)
通過點 A(x0,y0,z0)且以非零向量 n (a,b,c)為法向量之平面 E 的方程式為
∵D(1,1,k)是E上的一點﹐
1 1 k 1 k 1 k 2
3 6 4
4 2
課本頁次：74
乙、兩平面的夾角
設 E1與E2為空間中相交的兩相異平面﹐其交線為L﹐ 如圖所示﹒ 在L上任取一點P﹐並分別在E1與E2上作
直線L1與L2垂直 L於 P點﹐則L1與L2的交角與
4 2t 2 t
2 tc t 2, c 1
課本頁次：72
練2 右圖是一個平行六面體﹐A(–2,1,1)是一個頂點﹐
且六面體的上下兩個面分別位在 E1 : 2x y cz d 與 E2 : 4x 2 y 2z 3 兩平面上﹐求 c與 d的值﹒ 解： t 2, c 1 ∵A(–2,1,1) 在 E1 : 2x y cz d 上
課本頁次：71
例2 求通過點A(3,2,1) 且和平面E1：x – 2y + 3z = – 4
平行之平面 E2的方程式﹒ 解： ∵E1 // E2 E1 的法向量 n (1, 2,3)
也是E2的一個法向量
故可設E2的方程式為 x 2y 3z d
將A(3,2,1)代入﹐得
n
E1
d 3 2 2 31 2
夾角
解：設為平面E1的法向量 n1 (1, 2, 1) 與

1、求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程(精)

1、求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程（1）通过点)1,1,3(1M 和)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面；（3）已知四点A （5，1，3），B （1，6，2），C （5，0，4），D （4，0，6），求通过直线AB 且平行直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与△ABC 所在平面垂直的平面 2、求下列平面的一般方程（1）过点M （3，2，-4）且在X 轴和Y 轴上截距分另为-2和-3的平面（2）已知两点M 1（3，-1，2），M 2（4，-2，-1），通过M 1且垂直于M 1M 2的平面（3）过点M 1（3，-5，1）和M 2（4，1，2）且垂直于平面x-8y+3z-1=0的平面 3、将下列平面的一般方程化为法式方程 (1)x-2y+5z-3=0(2) x+2=04、求自坐标原点向平面2x+3y+6z-35=0所引垂线的长和批向平面的单位法矢量的方向余弦5、已知三角形顶点为A(0,-7,0),B(2,-1,1),C(2,2,2),求平面于△ABC 所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程6、求在X 轴上且到平面12x-16y+15z+1=0和2x+2y-z-1=0距离相等的点7、已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(-2,11,-5),C(1,-1,4),计算从顶点S 向底面ABC所引的高8、求中心在C3，-5，-2）且与平面2x-y-3z+11=0相切的球面方程。

9、求与9x-y+2z-14=0和9x-y+2z+6=0平面距离相等的点的轨迹10、判别点M(2,-1,1)和N(1,2,-3)在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是分别在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？（1）0323:1=-+-z y x π与042:2=+--z y x π（2）0152:1=-+-z y x π与01623:2=-+-z y x π11、分别在下列条件下确定l,m,n 的值使lx+y-3z+1=0与7x-2y-z=0表示二平行平面 12、求下列两平行平面19x-4y+8z+21=0和19x-4y+8z+42=0间的距离 13、求两平面2x-3y+6z-12=0和x+2y+2z-7=0所成的角14、求过Z 轴且与平面0752=--+z y x 成 60角的平面15、求下列各直线的方程（1）通过点),,(0000z y x M 且平行于两相交平面0:1=+++i i i i D z C y B x A π)2,1(=i 的直线（2）通过点M （1,0,-2）且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线 16、求下列各平面的方程：（1）（1）通过点P （2，0，1），且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面（2）（2）通过直线113312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=--+=-+-052032z y x z y x 平行的平面（3）（3）通过直线223221-=-+=-z y x 且与平面3x+2y-z-5=0垂直的平面（4）（4）通过直线⎩⎨⎧=-+-=+-+014209385z y x z y x 向三坐标面引的三个射影平面17、化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦（1）⎩⎨⎧=---=+-+0323012z y x z y x18、判别直线⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与平面010743=-+-z y x 的相关位置19、确定l,m 的值使直线13241zy x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行20、求与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且与其中之一相切于点M(5,-1,-1)的球面 21、判别直线131833-=--=-z y x 与462733-=+=-+z y x 的相互位置，如果是相交的或平行的两直线它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离22、给定两异面直线01123-==-z y x 与10211zy x =-=+试求它们的公垂线的方程23、求直线⎩⎨⎧=-+=--0220243z y x z y x 与⎩⎨⎧=+-=--+0230264z y z y x 间的角24、求通过点P （1，0，-2）而与平面0123=-+-z y x 平行且与直线12341zy x =--=-相交的直线方程25、求与直线1371821-=-=+z y x 平行且和下列给定两直线相交的直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=tz t y t x 5332与⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=t z t y t x 74105 26、求点P （2，3，-1）到直线⎩⎨⎧=++-=++-017223032z y x z y x 的距离27、求平面束0)42()53(=+--+-+z y x y x λ中在x,y 两轴上截距相等的平面 28、求与平面0432=-+-z y x 平行，且满足下列条件之一的平面：（1）通过点(1,-2,3) (2)在y 轴上截距离等于-3 (3)与原点距离等于129、设一平面与平面023=++z y x 平行，且与三坐标平面围成的四面体体积为6，求这平面的方程。

高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程练习(含解析)新人教B版必修2

2．3．2 圆的一般方程圆的一般方程1．若圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋10y ＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，5)， 3 B ．(1，－5)， 3 C ．(－1，5)，3 D ．(1，－5)，3 答案 B解析解法一(化为标准方程)：(x －1)2＋(y ＋5)2＝3；解法二(利用一般方程)：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2，－D 2＝1，－E 2＝－5，r ＝3．2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋54a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a<1B ．a>1C ．－2<a<23 D ．－2<a<0答案 A解析当a 2＋4a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＋a －1>0时表示圆的方程，故－a ＋1>0，解得a<1．求圆的一般方程A ．x 2＋y 2＋8x ＋6y ＝0 B ．x 2＋y 2－8x －6y ＝0 C ．x 2＋y 2＋8x －6y ＝0 D ．x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0答案 D解析设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0，于是所求圆的一般方程是x2＋y 2－8x ＋6y ＝0．4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案 D解析设圆心为(a ，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3a ＋4|32＋42＝3a ＋45＝r ＝2，解得a ＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C 的方程为：(x －2)2＋y 2＝4，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，所以D 正确．轨迹问题包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π 答案 B解析设点P 的坐标为(x ，y)，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故面积为π×22＝4π．6．已知等腰三角形ABC 的顶点为A(3，20)，一底角顶点为B(3，5)，求另一底角顶点C 的轨迹方程．解设另一底角顶点为C(x ，y)，则由等腰三角形的性质可知|AC|＝|AB|，即－2＋－2＝－2＋－202，整理得(x －3)2＋(y －20)2＝225．当x ＝3时，A ，B ，C 三点共线，不符合题意，故舍去．综上可知，另一底角顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x≠3)．一、选择题1．方程x 2＋y 2－2x ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＜2 C ．m≤12 D ．m≤1答案 A解析由圆的一般式方程可知(－2)2－4m ＞0，∴m＜1． 2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0 D ．－2或0答案 C解析将圆的一般方程化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以圆心(1，2)到直线的距离d ＝|1－2＋a|2＝22，解得a ＝0或a ＝2．3．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析设圆上任一点为Q(x 0，y 0)，PQ 中点为M(x ，y)，根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为Q(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A ．4．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2答案 C解析已知圆的圆心为(1，0)，半径等于2，圆心关于直线2x －y ＋3＝0对称的点为(－3，2)，此点即为对称圆的圆心，两圆的半径相等，故选C ．5．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0 D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0 答案 B解析设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0．二、填空题6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，则圆心坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．答案 (－1，－3) x ＋3y ＝0解析将圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9，故圆心为C(－1，－3)．因为k CO ＝3，所以所求直线的斜率为k ＝－33，直线的方程为y ＝－33x ，即x ＋3y ＝0． 7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．答案－10解析由题意知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D2＋E 2－4F>0的条件．8．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于________．答案－3解析设A(0，y 1)，B(0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m>0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，而∠ACB＝90°，知C(2，－1)，AC⊥BC，即得k AC ·k BC ＝－1，即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4代入上面的结果得m －2＋1＝－4，∴m＝－3，符合m<1的条件．三、解答题9．试判断A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)四点是否在同一个圆上．解解法一：线段AB ，BC 的斜率分别是k AB ＝1，k BC ＝－1，得k AB ≠k BC ，则A ，B ，C 三点不共线，设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．因为A ，B ，C 三点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＋2E ＋F ＋5＝0，E ＋F ＋1＝0，7D －6E ＋F ＋85＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝4，F ＝－5，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋4y －5＝0，将点D的坐标(4，3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D 在圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．解法二：因为k AB ·k BC ＝2－11－0×1＋60－7＝－1，所以AB⊥BC，所以AC 是过A ，B ，C 三点的圆的直径，|AC|＝－2＋＋2＝10，线段AC 的中点M 即为圆心M(4，－2)．因为|DM|＝－2＋＋2＝5＝12|AC|，所以点D 在圆M 上，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．10．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 中点为M(x ，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标(2x －2，2y)．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y)2＝4．故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1． (2)设PQ 的中点为N(x ，y)．在Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0．。

高数辅导之专题十七：空间平面的方程

专题十七基础知识（1）平面的点法式方程：通过点),,(0000z y x M ，法向量为),,(C B A n =→的平面方程为 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A（2）平面的一般式方程0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不全为零）其中000Cz By Ax D ---=（),,(C B A n =→为该平面的法向量）对于一般式方程，当0=D 时，该平面经过原点；当C B A ,,中有一个为零时，该平面垂直于某坐标平面；当C B A ,,中有俩个为零时，该平面垂直于某坐标轴；xy 平面、yz 平面、zx 平面的方程分别为0=z 、0=x 、0=y 。

（3）平面的截距式方程：在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为a 、b 、c （0≠abc ）的平面方程为 1=++cz b y a x （4）两平面的夹角：平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的夹角θ的余弦为222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ（5）点到平面的距离公式：点),,(000z y x 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离为222000||C B A D Cz By Ax d +++++=（6）平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 垂直的充要条件是0212121=++C C B B A A平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 平行的充要条件是212121C C B B A A == （7）两点的中垂面：空间中两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 的中垂面方程为0)(2)(2)(2222122212221121212=-+-+-+-+-+-z z y y x x z z z y y y x x x 推导依据： 222222212121)()()()()()(z z y y x x z z y y x x -+-+-=-+-+-注：平面中两点),(111y x M 和),(222y x M 的中垂线方程为0)(2)(2222122211212=-+-+-+-y y x x y y y x x x推导依据： 22222121)()()()(y y x x y y x x -+-=-+-总结：空间中的平面和平面中的直线在很多点上是相似的，可以相互参照记忆。