组合数学第二章习题
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解：...
33. 试证
1 1 Fn 1 1 0 Fn
解：...
n
Fn . Fn 1
1.证明等式
n n n n 2n . 0 1 2 n n
解：...
2
2
2
2
2
2.求 (1 x x )
4
8 100
中 x 20 项的系数.
解：...
3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各3个，问从中取出10个球，试问 有多少种不同的取法？ 解：...
4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中 AB至少出现一次的排列数目。
解：...
5.求n位四进制数中2和3必须出现偶次的 数目。
解：...
6.试求由a,b,c三个文字组成的n位符号串 中不出现aa图像的符号串的数目。
解：...
7.证明序列
C (n, n), C (n 1, n), C (n 2, n),
（b）证明 Fn Fm 的充要条件是 n m 。
（c）证明
Fm Fn Fm n 2 Fm n 6 Fm n 10 Fm n 1 当n是奇数， Fm n 2 当n是偶数。 m n 2. （d）证明( Fm , Fn ) F( m , n ) , (m, n) 为m,n
1 2 (l 1) 当l是奇数， 4 l (l 2) 当l是偶数。 4 （b）设 f n 记边长不超过2n的三角形 的个数，而 g n记边长不超过2n+1的三角 形的个数，求 f n 和 g n 的表达式。
解：...
27. 设
n 1 n k n k n 0, an ,bn k 0 2k k 0 2k 1 n
i2
注意 F1 F2 1 是相同的Fibonacci数。 解：...
12. 设空间的n个平面两两相交，每3个 平面有且仅有一个公共点，任意4个平面 都不共点。这样的n个平面把空间分割成 多少个不重叠的域？
解：...
13. 相邻位不同为0的n位2进制数中一共 出现了多少个0？
解：...
14. 在Hanoi塔问题中，在柱A上从上到 下套着n个圆盘，其编号依次从1到n。现 要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转 移到柱B和柱C上。转移规则仍然是每次 移动一个，始终保持上面的比下面的小。 一共要移动多少次？ 解：...
30. 设S2 (n, k ) 是第二类Stirling数。证明
n S 2 (n 1, m) S 2 (k , m 1). k m 1 k
n
解：...
31. 求下图中从A点出发到n点的路径数。
1 3
n
A 2 4
解：...
32. n位0,1符号串，求从左向右只在最 后两位才出现0，0的符号串的数目。
一和原矩形相似的矩形序列。 解：...
16. 设一矩形 ABCD ,其中
A D
B1
B
C
C1
17. 平面上有两两相交，无三线共点的n 条直线，试求这n条直线把平面分成多少 个域？ 解：...
18. 在一圆周上取n个点，过一对顶点可 作一弦，不存在三弦共点的现象，求弦 把圆分割成几部分？ 解：...
1 . n 1 (1 x)
的母函数为
Leabharlann Baidu解：...
8.证明
C (n, n) C (n 1, n) C (n m, n) C (n m 1, n 1)
解：...
1 1 1 9.利用 2 2 2 ， 1 2 3 6 改善 §4(2) 的 pn估计式。
100
解：...
23. 求
Sn Sn
解：...
k 0 n
k (k 1),
n
Sn
k 0
k (k 2),
n
k 0
k (k 1)(k 2).
24. 在一个平面上画一个圆，然后一条 一条地画n条与圆相交的直线。当r是大 于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直 线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r 条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如 果无3条直线在圆内共点，这n条直线把 圆分割成多少个不重叠的部分？
15. 一书框中有m格，每格各放n册同类 的书，不同格放的书类型不同。现取出 整理后重新放回，但不打乱相同类。试 问无一本放在原来位置的方案数应多少？
解：...
1 AB : AD (1 5) 作 C1B1 使得 2 AB1C1D 是一正方形。试证矩形 B1C1CD 和 ABCD 相似。试证继续这过程可得
19. 求n位二进制数相邻两位不出现11的 数的个数。
解：...
20. 从n个文字中取k个文字作允许重复 的排列，但不允许一个文字连续出现三 次，求这样的排列的数目。 解：...
21. 求 1 2 3 n 的和。
4 4 4 4
解：...
22. 求矩阵 3
1 . 0 2
2
解：...
10. 8台计算机分给3个单位，第1单位 的分配量不超过3台，第2单位的分配量 不超过4台，第3个单位不超过5台，问 共有几种分配方案？
解：...
11. 证明正整数n都可以唯一地表示成不 同的且不相邻的Fibonacci数之和。即
n ai Fi , ai ai 1 0, ai 0,1
解：...
25. 用 an 记具有整数边长周长为n的三 角形的个数。 （a）证明
当n是偶数， an 3 , n2 an n (1) 2 ,当n是奇数 an 3 4 （b）求序列 an 的普通形母函数。
解：...
26. （a）证明边长为整数、最大边长为 l的三角形的个数是
（a）证明 an 1 an bn 1 , bn 1 an bn . （b）求序列an 与bn 的母函数。
（c）用Fibonacci数来表示 an 与 bn 。
解：...
28. 设 F1 F2 1, F1 Fn 1 Fn 2 （a）证明
Fn Fk Fn k 1 Fk 1Fn k , n k 1
的最大公约数。 解：...
29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不 相邻的数，设此选取的方案为 f (n, k ) 。 （a）求 f (n, k ) 的递推关系。
（b）用归纳法求 f (n, k ) 。 （c）若设1与n算是相邻的数，并设在此 假定下从1到n的自然数中选取k个不同且 k) 不相邻的k个数的方案数为 g (n,，利用 求 f (n, k ) 。g (n, k ) 解：...
33. 试证
1 1 Fn 1 1 0 Fn
解：...
n
Fn . Fn 1
1.证明等式
n n n n 2n . 0 1 2 n n
解：...
2
2
2
2
2
2.求 (1 x x )
4
8 100
中 x 20 项的系数.
解：...
3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各3个，问从中取出10个球，试问 有多少种不同的取法？ 解：...
4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中 AB至少出现一次的排列数目。
解：...
5.求n位四进制数中2和3必须出现偶次的 数目。
解：...
6.试求由a,b,c三个文字组成的n位符号串 中不出现aa图像的符号串的数目。
解：...
7.证明序列
C (n, n), C (n 1, n), C (n 2, n),
（b）证明 Fn Fm 的充要条件是 n m 。
（c）证明
Fm Fn Fm n 2 Fm n 6 Fm n 10 Fm n 1 当n是奇数， Fm n 2 当n是偶数。 m n 2. （d）证明( Fm , Fn ) F( m , n ) , (m, n) 为m,n
1 2 (l 1) 当l是奇数， 4 l (l 2) 当l是偶数。 4 （b）设 f n 记边长不超过2n的三角形 的个数，而 g n记边长不超过2n+1的三角 形的个数，求 f n 和 g n 的表达式。
解：...
27. 设
n 1 n k n k n 0, an ,bn k 0 2k k 0 2k 1 n
i2
注意 F1 F2 1 是相同的Fibonacci数。 解：...
12. 设空间的n个平面两两相交，每3个 平面有且仅有一个公共点，任意4个平面 都不共点。这样的n个平面把空间分割成 多少个不重叠的域？
解：...
13. 相邻位不同为0的n位2进制数中一共 出现了多少个0？
解：...
14. 在Hanoi塔问题中，在柱A上从上到 下套着n个圆盘，其编号依次从1到n。现 要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转 移到柱B和柱C上。转移规则仍然是每次 移动一个，始终保持上面的比下面的小。 一共要移动多少次？ 解：...
30. 设S2 (n, k ) 是第二类Stirling数。证明
n S 2 (n 1, m) S 2 (k , m 1). k m 1 k
n
解：...
31. 求下图中从A点出发到n点的路径数。
1 3
n
A 2 4
解：...
32. n位0,1符号串，求从左向右只在最 后两位才出现0，0的符号串的数目。
一和原矩形相似的矩形序列。 解：...
16. 设一矩形 ABCD ,其中
A D
B1
B
C
C1
17. 平面上有两两相交，无三线共点的n 条直线，试求这n条直线把平面分成多少 个域？ 解：...
18. 在一圆周上取n个点，过一对顶点可 作一弦，不存在三弦共点的现象，求弦 把圆分割成几部分？ 解：...
1 . n 1 (1 x)
的母函数为
Leabharlann Baidu解：...
8.证明
C (n, n) C (n 1, n) C (n m, n) C (n m 1, n 1)
解：...
1 1 1 9.利用 2 2 2 ， 1 2 3 6 改善 §4(2) 的 pn估计式。
100
解：...
23. 求
Sn Sn
解：...
k 0 n
k (k 1),
n
Sn
k 0
k (k 2),
n
k 0
k (k 1)(k 2).
24. 在一个平面上画一个圆，然后一条 一条地画n条与圆相交的直线。当r是大 于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直 线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r 条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如 果无3条直线在圆内共点，这n条直线把 圆分割成多少个不重叠的部分？
15. 一书框中有m格，每格各放n册同类 的书，不同格放的书类型不同。现取出 整理后重新放回，但不打乱相同类。试 问无一本放在原来位置的方案数应多少？
解：...
1 AB : AD (1 5) 作 C1B1 使得 2 AB1C1D 是一正方形。试证矩形 B1C1CD 和 ABCD 相似。试证继续这过程可得
19. 求n位二进制数相邻两位不出现11的 数的个数。
解：...
20. 从n个文字中取k个文字作允许重复 的排列，但不允许一个文字连续出现三 次，求这样的排列的数目。 解：...
21. 求 1 2 3 n 的和。
4 4 4 4
解：...
22. 求矩阵 3
1 . 0 2
2
解：...
10. 8台计算机分给3个单位，第1单位 的分配量不超过3台，第2单位的分配量 不超过4台，第3个单位不超过5台，问 共有几种分配方案？
解：...
11. 证明正整数n都可以唯一地表示成不 同的且不相邻的Fibonacci数之和。即
n ai Fi , ai ai 1 0, ai 0,1
解：...
25. 用 an 记具有整数边长周长为n的三 角形的个数。 （a）证明
当n是偶数， an 3 , n2 an n (1) 2 ,当n是奇数 an 3 4 （b）求序列 an 的普通形母函数。
解：...
26. （a）证明边长为整数、最大边长为 l的三角形的个数是
（a）证明 an 1 an bn 1 , bn 1 an bn . （b）求序列an 与bn 的母函数。
（c）用Fibonacci数来表示 an 与 bn 。
解：...
28. 设 F1 F2 1, F1 Fn 1 Fn 2 （a）证明
Fn Fk Fn k 1 Fk 1Fn k , n k 1
的最大公约数。 解：...
29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不 相邻的数，设此选取的方案为 f (n, k ) 。 （a）求 f (n, k ) 的递推关系。
（b）用归纳法求 f (n, k ) 。 （c）若设1与n算是相邻的数，并设在此 假定下从1到n的自然数中选取k个不同且 k) 不相邻的k个数的方案数为 g (n,，利用 求 f (n, k ) 。g (n, k ) 解：...