新人教版九年级数学《正多边形和圆》同步练习
九年级数学上册 第二十四章 圆24.3正多边形和同步练习(新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级
24.3《正多边形和圆》 1．正五边形共有________条对称轴，正六边形共有________条对称轴. 提示：正 n 边形的对称轴与它的边数相同.答案：5 6°的正多边形的边数是___________.提示：因为正n 边形的中心角为n ︒360，所以45°=n︒360，所以 n=8. 答案：8 3.若正 n 边形的一个外角是一个内角的23时，此时该正n 边形有_________条对称轴.提示：因为正n 边形的外角为n ︒360，一个内角为()nn ︒⋅-1802， 所以由题意得n ︒360=32·()n n ︒⋅-1802 ，解这个方程得 n=5. 答案：54.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比（）A. 扩大了一倍B. 扩大了两倍C. 扩大了四倍D.没有变化提示：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比没有变化.答案： D5.正三角形的高，外接圆半径、边心距之比为（）A. 3∶2∶1∶3∶2 C. 4∶2∶1 D. 6∶4∶3提示：如右图，设正三角形的边长为 a ，则高AD =23a ， OA =33a ，OC =63a ， 所以AD ∶OA ∶OC =3∶2∶1.答案： A6.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是() A.62 C. 63提示：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A.答案： A7. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是（）A.S 3＞S 4＞S 6B.S 6＞S 4＞S 3C .S 6＞S 3＞S 4 D .S 4＞S 6＞S 3提示：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大.答案：B 8.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（）A.63B.43C.332 D.33提示：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5，则边长为33. 答案： D ⊙O 和⊙O 上的一点A （如图24-3-2）.（1）作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；（2）在（1）题的作图中，如果点E 在上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的边.图24-3-2提示：求作⊙O 的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙ODE 是⊙O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE 所对圆心角等于360°÷12=30（1）作法：①作直径AC ；②作直径BD ⊥AC ；③依次连接A 、B 、C 、D 四点.四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形.①分别以A 、C 为圆心，OA 的长为半径作弧，交⊙O 于E 、H 、F 、G ；②顺次连接A 、E 、F 、C 、G 、H 各点;六边形AEFC GH 为⊙O 的内接正六边形.（2）证明：连接OE 、DE .∵∠AOD =4360︒=90°，∠AOE =6360︒=60°， ∴∠DOE =∠AOD -∠AOE =30°.∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边.综合·应用·创新10．某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.提示：由正多边形的内角和与外角公式可求.解：设此正多边形的边数为n ，则各内角为()n n ︒⋅-1802，外角为n ︒360，依题意得()n n ︒⋅-1802-n ︒360=100°.解得n=9.11．如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，这个大圆片的半径最小应为多少？图24-3-3提示：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连接O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O 1O 2O 3，设大圆的圆心为O ，则点O 是正△O 1O 2O 3的中心，求出这个正△O 1O 2O 3的半径，再加上⊙O 1的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连接O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O 1O 2O 3，则正△O 1O 2O 3的半径为334 cm ，所以大圆的半径为334 +2=3634+ (cm).12．如图24-3-4，两相交圆的公共弦AB ，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图24-3-4提示：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R 3与R 6的平方比即可.解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为R 3，正六边形外接圆⊙O 2的半径为 R 6，由题意得 R 3=33AB ，R 6=AB ，∴R 3∶R 6=3∶3.∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积=1∶3. 回顾·热身·展望13．（某某某某模拟）如图24-3-5，△ABC 是等边三角形，⊙O 过点B 、C ，且与BA 、CA 的延长线分别交于点D 、E .弦DF ∥AC ， EF 的延长线交 BC 的延长线于点G .（1）求证：△BEF 是等边三角形；（2）若 BA =4，CG =2，求 BF 的长.图24-3-5（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BCA =∠BAC =60°.∵DF ∥AC ，∴∠D =∠BAC =60°,∠BEF =∠D =60°.又∵∠BFE =∠BCA =60°，∴△BEF 是等边三角形.（2）∵∠ABC =∠EBF =60°,∴∠FB G=∠ABE .又 ∠BF G=∠BAE =120°，∴△BF G ∽△BAE .∴BE BG BA BF =B G BE .又B G=BC +C G=AB =C G=6，BE =BF ， ∴BF 2=AB ·B G=24，可得BF =26（舍去负值）.14．（某某某某模拟） 如图24 -3-6①、②、③、○n 、…、M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边AB 、BC 上的点，且BM =，连接OM 、ON .图24-3-6（1）求图24-3-6①中∠MON 的度数；（2）图24-3-6②中∠MON 的度数是_________，图24-3-6③中∠MON 的度数是___________；（3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系（直接写出答案）.（1）解法一：连接OB 、OC .∵正△ABC 内接于⊙O ，∴∠OB M=∠O =30°， ∠BOC =120°.又∵B M=，OB =OC ，∴△OB M ≌△O .∴∠BO M=∠O .∴∠M O N=∠BOC =120°.解法二：连接OA 、OB .∵正△ABC 内接于⊙O ，∴AB =AC ，∠OA M=∠OB N=30°，∠AOB =120°.又∵B M=，∴A M=B N.又∵OA =OB ，∴△AO M ≌△BO N.∴∠AO N=∠AOB=120°.（2）90°72°（3）∠M O N=n360.15.(某某某某模拟) 将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图24-3-7），其他条件不变.探究：线段MD、MF的关系，并加以证明.图24-3-7证法一：延长D M到N，使MN=M D，连接FD、F N、E N，延长E N与DC延长线交于点H.∵M A=M E，∠1=∠2，M D=MN，∴△A M D≌△E MN.∴∠3=∠4，AD=N E.又∵正方形ABCD、C G EF，∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，∠CFE=∠ADC=∠FE G=∠FC G=90°,∴DC=N E,∵∠3=∠4，∴AD∥E H.∴∠H=∠ADC=90°,∵∠G=90°，∠5=∠6，∴∠7=∠8,∵∠7＋∠DCF=∠8＋∠FE N=90°，∴∠DCF=∠FE N.∵FC=FE，∴△DCF≌△N EF.∴FD=F N，∠DFC=∠N FE.∵∠CFE=90°，∴F M⊥M D，M F=M D.证法二：如右图，过点E作AD的平行线分别交D M、DC的延长线于N、H，连接DF、F N.∴∠ADC=∠H，∠3=∠4.∵A M=M E，∠1=∠2，∴△A M D≌△E MN.∴D M=NM，AD=E N.∵正方形ABCD、C G EF，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FC G=∠CFE=90°.∴∠H=90°，∠5=∠N EF，DC=N E.∴∠DCF＋∠7=∠5＋∠7=90°.∴∠DCF=∠5=∠N EF.∵FC=FE，∴△DCF≌△N EF.∴FD=F N，∠DFC=∠N FE.∵∠CFE=90°，∴∠DF N=90°.∴F M⊥M D，M F=M D.。
人教版九年级上册数学 24.3正多边形和圆 同步练习
24.3 正多边形和圆 同步练习一.单选题 1．如图；四边形ABCD 的四个顶点均在半圆O 上，若50A ∠=︒，则C ∠=（ ）A ．130°B ．120°C ．125°D ．110°2．O 的半径为2，则它的内接正六边形的边长为( )A ．2B ．22C ．3D ．233．如图，正方形的边长为 a ，以各边为直径在正方形内作半圆，则圆中阴影部分的面积为（ ）A ．πa 2－a 2B ．12πa 2－a 2C ．12πa 2－12a 2D ．2πa 2－a 24．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径为1，若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，那么圆O 的面积估计值是（ ）A ．3B ．23C ．πD ．2π5．如图，⊙O 是正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的外接圆．则正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的周长之比为（ ）A ．22∶ 3B ．2∶1C ．2∶3D ．1∶36．如图，已知点C ，D 是以AB 为直径的半圆上的两个点，且AC BD =，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．//CD AB B ．AC BD = C ．ABC CBD ∠=∠ D ．180ABD ACD ∠+∠=︒7．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED＝°，∠ECD＝°，⊙B的半径为R，则的长度是（）A． B． C． D．二.填空题9．圆的一条弦将圆分成弧长之比为1：5的两条弧，则这条弦所对圆周角的度数是．10．正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于度．AB ，则O的半径为．11．如图，正六边形ABCDEF内接于O，若3cm12．如图，正六边形ABCDEF的中心点为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为2cm，则顶点E的坐标为．13．如图，在正五边形ABCDE中，AC为对角线，以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，连结EF，则∠1的度数为．三.解答题14．如图正六边形ABCDEF．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出一个与正六边形的边长相等的菱形；（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．15．如图所示，已知⊙O的周长等于6 cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．16．如图，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.求证：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD.17．如图所示，正方形ABCD 中，BD 为对角线，点E 为BD 上一点，过E 作EF AE ⊥，交DC 于F ，求证：AE FE =.18．如图1.将圆心角相等的但半径不等的两个扇形AOB 用与COD 叠合在一起，弧AB 、BC 、弧CD 、DA 合成了一个曲边梯形，若弧CD 、弧AB 的长为1l ，2l ，BC AD h ==.（1）试说明；曲边梯形的面积()1212S l l h =+ （2）某班兴趣小组进行了一次纸杯制作与探究活动.如图2所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为6cm ，杯底直径为4cm ，杯壁母线为6cm ，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图不允许有拼接.请你求侧面展开图中弧BC 所在的圆的半径长度；（3）若用一张矩形纸片，按图3的方式剪裁（2）中纸杯的侧面，求这个矩形纸片的长与宽.。
24.3+正多边形和圆同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上学期
24.3 正多边形和圆同步练习2024-2025学年九年级上学期数学人教版基础题夯实知识点1正多边形的有关概念1.下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正七边形2.下列说法：①矩形是正多边形；②菱形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各边相等的圆内接多边形是正多边形.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.33.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是( )A.9B.10C.11D.12知识点2 正多边形的有关计算4.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD 的度数为 .5.⊙O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则⊙O的半径是 .6.如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD 相交于点E,则线段 BE 的长为 .7.半径为 R 的圆内接正十二边形的面积为( )A.R 24B.12R2 C.3R² D.6R²8.分别求半径为R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积.(直接写出结果)边长边心距周长面积圆内接正三角形圆内接正方形圆内接正六边形中档题运用̂上,Q是DF̂的中点,则∠CPQ的度数为 .9.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P在AB10.如图,点P₁∼P₁是⊙O 的八等分点.若△P₁P₁P₁,四边形P₁P₁P₁P₁的周长分别为a,b,比较a,b的大小 .11.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 .12.如图,⊙O 的半径为R,六边形 ABCDEF 是圆内接正六边形,四边形 EFGH 是正方形.(1)求∠OGF 的度数;(2)求正六边形与正方形的面积比.综合题探究13.如图1，正五边形ABCDE 内接于⊙O，阅读以下作图过程，并解答下列问题，作法如图2.步骤如下:①作直径AF;②以F 为圆心,FO 为半径作圆弧,与⊙O 交于点 M,N;③连接AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度数;(2)△AMN 是正三角形吗? 请说明理由；(3)从点 A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值.。
【新】人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆同步练习 含答案
第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (2)1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．(3)(2006年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．BC ．1:2:3D ． 3:2:14． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在»AD 上，则∠BEC= ． 6．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．7．（2006年威海市）如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则ABB A 11的值为（ ） A ．21 B ．22 C ．41 D ．42 8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。
新人教版九年级上册24.3正多边形和圆同步练习(有答案)
正多边形和圆一．选择题1．若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．62．一个正六边形的半径为R，边心距为r，那么R与r的关系是（）A．r=R B．r=R C．r=R D．r=R 3．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，O间的距离不可能是（）A．0B．0.8C．2.5D．3.4 4．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4C．1：：2D．1：2：35．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．2二．填空题6．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为．7．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰好是同圆内接一个正n边形的一边，则n等于．8．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM=．9．两个正三角形内接于一个半径为R的⊙O，设它的公共面积为S，则2S与的大小关系是．10．对于平面图形A，若存在一个或一个以上的圆，使图形A上任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖，图1中的三角形被一个圆所覆盖，图2中的四边形被两个圆所覆盖，若长宽分别为2cm与1cm的矩形被两个半径均为r的圆覆盖，则r的最小值为cm．三．解答题（共5小题）11．已知边长为1的正七边形ABCDEFG中，对角线AD，BG的长分别为a，b（a≠b），求证：（a+b）2（a﹣b）=ab2．12．如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）13．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：（1）如图，作直径AD；（2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；（3）联结AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．14．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．15．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BM=C N，证明△ABM≌△BCN，并求出∠BQM的度数．（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：正多边形正方形正五边形正六边形…正n边形∠BQM的度数…参考答案一．选择题1．B．2．A．3．D．4．D．5．C．二．填空题6．2a2．7．十二．8．48°．9．2S≥r2．10．cm．三．解答题11．证明：连结BD、EG、BE、DG，则BD=EG=GB=b，DG=BE=DA=a，DE=AB=AG=1，在四边形ABDG中，由托勒密协定理，得AD•BG=AB•DG+BD•AG，即ab=a+b①，同理在四边形BDEG中，得BE•DG=DE•BG+BD•GE，即a2=b+b2，∴b=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）②，①×②，得ab2=（a+b）2（a﹣b）．12．解：连AC，则AC为直径，即AC=20，∵正方形ABCD中，AB=BC，∠B=90°，∴在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，2AB2=202，∴AB2=200，==（25π﹣50）米2．13．解：两位同学的方法正确．连BO、CO，∵BC垂直平分OD，∴直角△OEB中．cos∠BOE==，∠BOE=60°，由垂径定理得∠COE=∠BOE=60°，由于AD为直径，∴∠AOB=∠AOC=120°，∴AB=BC=CA，即△ABC为等边三角形．14．解：（1）（Ⅰ）连接BD，∵AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，∵CE⊥AB，AC=BC，∴AD是过A、B、C三点的圆的直径，∵OA=OB=OD，∴O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10﹣x，则有：，解得：，（8分）则ON=，∴直径为．15．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=60°；（2）正方形ABCD中，由（1）得，△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=90°，同理正五边形ABCDE中，∠BQM=108°，正六边形ABCDEF中，∠BQM=120°，正n边形ABCD…中，∠BQM=，故答案为：90°；108°；120°；．。
人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步测试题及答案
人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步测试题及答案1.若正多边形的一个外角为72︒，则这个正多边形的中心角的度数是( )A.18︒B.36︒C.72︒D.108︒2.如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,点M在AF上( )A.60︒B.45︒ C.30︒ D.15︒3.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为( )A.4B.5C.6D.74.如图，正五边形ABCDE内接于O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，⊥DG PC垂足为G，则∠PDG等于( )A.72°B.54°C.36°D.64°5.如图，正六边形ABCDEF内接于，正六边形的周长是12，则的半径是( )A.3B.2C.22D.236.如图是半径为4的O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是( )O OA.23B.3C.2D.37.如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为( )A.32 πB.332 πC.332 2π3D.33 π8.如图,正三角形ABC 和正六边形ADBECF 都内接于,O 连接,OC 则∠+∠=ACO ABE ( )A.90︒B.100︒C.110︒D.120︒9.如图，正五边形ABCDE 内接于O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则∠=CPD ________°.10.如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的周长等于6π，则正六边形的边长为______.11.早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为_________________.12.如图，圆内接正六边形ABCDEF的半径为2，则该正六边形的面积是_________________.13.有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的面积.（结果保留根号）14.如图，O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于O.（1）求圆心O 到AF 的距离.（2）求正六边形ABCDEF 的面积.参考答案及解析1.答案：C 解析：正多边形的一个外角为72︒∴正多边形的边数为360725︒÷︒=∴这个正多边形的中心角的度数是360572︒÷=︒故选：C.2.答案：C解析:连接OC ,OD多边形ABCDEF 是正六边形60∴∠=︒COD1302∴∠=∠=︒CMD COD故选:C.3.答案：C解析：内接正n 边形的边长与⊙O 的半径相等∴正n 边形的中心角为60︒360606︒÷︒=∴n 的值为6故选：C.4.答案：B解析：正五边形ABCDE 内接于O∠CPD 与所对的弧相同1362∴∠=∠=︒CPD COD故选：B.5.答案：B解析：如图，连结OA ，OBABCDEF 为正六边形1360606∴∠=︒⨯︒=AOB∴AOB △是等边三角形正六边形的周长是1211226∴=⨯=AB2∴===AO BO AB故选B.6.答案：A解析：如图，做⊥OM AB 于点M360725COD ︒∴∠==︒COD ∠180903654PDG ∠=︒-︒-︒=∴︒正六边形ABCDEF 外接半径为4的O4∴==OA OB 360606︒∠==︒AOB 1302∴∠=∠=∠=︒AOM BOM AOB122∴===AM BM OA2223∴=-=OM OA AM ∴圆心O 到边AB 的距离为23故选：A.7.答案：D解析：连接OB 、OC六边形ABCDEF 为正六边形360606︒∴∠==︒BOC 。
【新】人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆同步测试及答案
正多边形和圆1．正六边形的边心距与边长之比为( B ) A.3∶3 B.3∶2 C ．1∶2 D.2∶2【解析】 如图：设正六边形的边长是a ，则半径长也是a ；经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则AC ＝12AB ＝12a ， ∴OC ＝OA 2－AC 2＝32a ， ∴正六边形的边心距与边长之比为：32a ∶a ＝3∶2. 3－1，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是( D ) 图24－3－1A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC ︵＝BC ︵D ．∠BAC ＝30°【解析】 因为OA ＝AB ＝OB ，所以△OAB 是等边三角形，又OC ⊥AB ，所以∠AOC ＝∠BOC ＝30°，所以∠BAC ＝15°，D 不正确．3．如图24－3－2，点O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O (使该角的顶点落在点O 处)，把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是( B )图24－3－2A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 360÷30＝12；360÷60＝6；360÷90＝4；360÷120＝3；360÷180＝2.因此n 的所有可能的值共五种情况．4．如图24－3－3，要拧开一个边长为a ＝6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为( C )图24－3－3 A ．6 2 mm B ．12 mmC ．6 3 mmD ．4 3 mm5．已知正六边形的边心距为3，则它的周长是( B )A ．6B ．12C ．6 3D ．12 3【解析】 正六边形的边长等于半径，设半径为R ，则⎝⎛⎭⎫12R 2＋(3)2＝R 2，∴R ＝2，它的周长是6R＝6×2＝12，故选B.6．若正六边形的边长为4 cm ，那么正六边形的中心角是__60__度，半径是__4__cm ，边心距是__23__cm ，它的每一个内角是__120°__．7．[2012·巴中]已知一个圆的半径为5 cm ，则它的内接正六边形的边长为__5__cm.8．已知一个正n 边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n ＝__8__．【解析】 由360n ＝180（n －2）n ×13，得n ＝8. 9．已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，如图24－3－4所示．图24－3－4(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题所作的图中，如果点E 在AB ︵上，试证明EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．【解析】 (1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)计算EB 所对的圆心角的度数．解：(1)如图所示，在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC 和BD ，连接AB ，BC ，CD ，DA ，得⊙O 的内接正方形ABCD ；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O 中作出正六边形AEFCGH . (2)如图，连接OE .∵AE 是正六边形的一边，∴∠AOE ＝360°6＝60°.∵AB 是正方形的一边，∴∠AOB ＝360°4＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠AOE ＝90°－60°＝30°.设EB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则360°n＝30°，∴n ＝12， ∴EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．10．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：(1)作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交OA 于点M ，如图1；(2)以M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交CA 于点D ，连接BD ，如图2.若⊙O 的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD 的等式是( C )图24－3－5 A ．BD 2＝5－12OD B ．BD 2＝5＋12OD C ．BD 2＝5ODD ．BD 2＝52OD 11．[2013·徐州]如图24－3－6，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20 cm 2，则正八边形的面积为____________cm 2.图24－3－6【解析】连接HE ，AD ，在正八边形ABCDEFGH 中，可得：HE ⊥BG 于点M ，AD ⊥BG 于点N ，∵正八边形每个内角为：（8－2）×180°8＝135°， ∴∠HGM ＝45°，∴MN ＝MG ，设MH ＝MG ＝x ，则HG ＝AH ＝AB ＝GF ＝2x ，∴BG ×GF ＝2(2＋1)x 2＝20，四边形ABGH 面积＝12(AH ＋BG )×HM ＝(2＋1)x 2＝10， ∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40(cm 2)．12．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－7)，求证：五边形ABCDE 是正五边形．图24－3－7第13题答图证明：如图所示，连接BE ，AD ，设纸条的宽度为h ，则S △ABE ＝12AB ·h ＝12AE ·h ， ∴AB ＝AE ，同理得AB ＝BC ，BC ＝CD ，∴AE ＝AB ＝BC ＝CD .∵纸条的宽度固定，∴AE ∥BD ，CD ∥BE ，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5.由折叠性质得∠ABD ＋∠ABC ＝180°，从而得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝36°，由此易得∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB ，AE ＝AB ＝BC ＝CD ＝DE ，∴五边形ABCDE 是正五边形．13．如图24－3－8所示，已知△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，顶角∠BAC ＝36°，弦BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，求证：五边形AEBCD 是正五边形．图24－3－8 【解析】 要证明五边形AEBCD 是正五边形，只需证AE ︵＝EB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵即可．证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°，即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ，∴BC ︵＝AD ︵＝CD ︵＝BE ︵＝AE ︵，∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点，∴五边形AEBCD 是正五边形．14．如图24－3－9，正五边形ABCDE ，连接对角线AC ，BD ，设AC 与BD 相交于O .(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)判断四边形AODE 的形状，并说明理由．:学科图24－3－9解：(1)△ABO ，△ABC ，△BOC ，△DOC ，△BCD .(2)四边形AODE 是菱形，理由如下：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝12×(180°－108°)＝36°，同理得∠CBD ＝∠CDB ＝36°，∴∠ABO ＝∠ABC －∠CBD ＝72°，∠AOB ＝180°－∠ABO －∠BAC ＝72°，∴AB ＝AO ，同理得DO ＝DC ，∴OA ＝AE ＝ED ＝DO ，∴四边形AODE 是菱形．15．小刚现有一边长为a m 的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组织的风筝比赛，问：在这样的花布上怎样裁剪，才能得到一个面积最大的风筝？解：如图所示，在正方形ABCD 中，△DEF ，△CGH ，△BOP ，△AMN 为全等的等腰直角三角形，八边形EMNOPHGF 为正八边形．设直角边DE ＝DF ＝CG ＝CH ＝x .在Rt △DEF 中，EF ＝2x . ∵EF ＝FG ，且DC ＝DF ＋FG ＋CG ，∴x ＋x ＋2x ＝a ，解得x ＝2－22a ≈0.3a ， 因此，从四个角上各剪去一个直角边长约为0.3a m 的等腰直角三角形，即可得到一个面积最大的正八边形风筝．16．小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图24－3－10所示，该正五边形的边心距OB 长为2，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AC ＋12AB ＝__522__． 图24－3－10【解析】 设正五边形的边长为a ，根据正五边形的面积等于科学方舟面积的2倍列方程求解，依题意，有12×2×a ×5＝⎝⎛⎭⎫12×AB ×a 2＋12×a ×AC ×2， 即522a ＝⎝⎛⎭⎫12AB ＋AC ×a ，∴12AB ＋AC ＝522.。
人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点 正多边形与圆1.定义：正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中心 圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角 到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的边心距。
2.公式：正多边形的有关概念：边长（a ） 中心（O ） 中心角（∠AOB ） 半径（R ）） 边心距（r ） 如图所示①．边心距222a r R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中心角360n ︒=关键点:三角形的内切圆与外接圆 关系定义圆心 实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。
在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为√ 3则该圆的内接正六边形的边心距是( )A. 2B. 1C. √ 3D. √ 322.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：r6等于( )A. 1:√2:√3B. √3:√2:1C. 1：2：3D. 3：2：13.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 10B. 9C. 8D. 74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是( )A. √ 3B. 2C. 2√ 2D. 2√ 35.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于C D两点③连接CO DO并延长分别交⊙O于点E F④顺次连接BC CF FA AE ED DB得到六边形AFCBDE.再连接AD EF AD EF交于点G.则下列结论不正确的是( )A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE=√ 2 D. AF⊥AD6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是( )A. √ 22B. √ 32C. √ 2D. √ 37.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7A7A10则∠A3A7A10的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点A B C D都在⊙O上则⊙O 的半径为()．A. 3B. 6C. 3√ 2D. 6√ 210.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为()cm．A. √ 3B. 2C. 2√ 3D. 4二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。
新人教版九年级数学正多边形和圆同步练习
正多边形和圆一、选择题1.下列说法正确的是 （ ）A .各边相等的多边形是正多边形B .各角相等的多边形是正多边形C .各边相等的圆内接多边形是正多边形D .各角相等的圆内接多边形是正多边形2.（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为 （ ）A ． ：3B ． ：2C ． 1：2D ． ：23.(2013山东滨州)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小别离为 ( )A ．6，32B ．32，3C ．6，3D ．62，324. 如图所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是（ ）．A ．60°B ．45°C ．30°D ．22．5°5.半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为 （ ）A.1:2:3B.3:2:1 :2:1 :2:36. 圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（ ）．A ．36°B ．60°C ．72°D ．108°7.（2013•自贡）如图，点O 是正六边形的对称中心，若是用一副三角板的角，借助点O （使该角的极点落在点O 处），把那个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是（ ）D. 78.如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 的度数是 （ ）° ° ° °二、填空题9.一个正n 边形的边长为a ，面积为S ，则它的边心距为__________.10.正多边形的一个中心角为36度,那么那个正多边形的一个内角等于__________度.11.若正六边形的面积是243cm 2，则那个正六边形的边长是__________.12.已知正六边形的边心距为3，则它的周长是_______. 第4题 第6题第7题 第8题第1313.点M、N别离是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM=BN，点O是正八边形的中心，则∠MON=_____________.14.边长为a的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为_________________.15.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要__________cm.16.若正多边形的边心距与边长的比为1:2，则那个正多边形的边数是__________.17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积比为__________.18.(2013•徐州)如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为________cm2.三、解答题19.已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求那个正六边形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6.20.如图，⊙O的半径为2，⊙O的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积.21.如图一、图二、图3、…、图n，M、N别离是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.(1)求图1中∠MON的度数；(2)图2中∠MON的度数是_________，图3中∠MON的度数是_________；(3)试探讨∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).第18题第20题第21题。
24.3正多边形与圆同步课后练习++2024—2025学年人教版九年级数学上册
人教版九年级数学上册24.3正多边形与圆同步课后练习一、选择题⌢上一点，连接AC、BC．若∠AOB=128°，1、如图，OA、OB是⊙O的半径，C是AB则∠ACB的大小为（）A．126°B．116°C．108°D．106°2、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE⏜上的一点(点P不与点D重合)，则∠CPD 的度数为（）A. 30°B. 36°C. 60°D. 72°3、已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（）A．4 B．23C．2 D．434、已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（）A．2√2B．2 C．√2D．45、如图，以点O为圆心的两个同心圆把以OA为半径的大圆O的面积三等分，这两个圆的半径分别为OB，OC．则::OA OB OC的值是（）A．3:2:1B．9:4:1C32D．626、有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是( )A.9B.10C.11D.127、如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b=3 cm,则螺帽边长a等于( )A.√3 cmB.2√3 cmC.2 cmD.√2 cm8、如图,点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,S△AFO =8,S△CDO=2,S正六边形ABCDEF的值是( )A.20B.30C.40D.随点O位置而变化9、如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG⏜的中点.若FM=2√2，则⊙O的半径为( )A. 2B. √6C. 2√2D. 2√6二、填空题10、已知正六边形的边长为6cm，那么它的边心距等于__________cm．11、线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是°．12、一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n 的值为______13、如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD 相交于点E,则线段 BE 的长为.14、如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．15、如图为一个半径为5m的圆形广场，其中放有六个宽为√3m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为 m ．三、解答题16、如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4,OC OG BC =⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．17、如图，已知正三角形ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的内接正十二边形的一条边长，连接CD ，若CD =6√2cm ，求⊙O 的半径．18、如图，正方形ABCD 的外接圆为⊙O ，点P 在劣弧CD 上(不与点C 重合)．(1)求∠BPC的度数;(2)若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．。
九年级数学上册《第二十四章 正多边形和圆》同步练习题及答案-人教版
九年级数学上册《第二十四章正多边形和圆》同步练习题及答案-人教版班级姓名学号一、选择题：1．一个正六边形的内角和的度数为（）A．1080°B．720°C．540°D．360°2．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）D．1A B．C．23．下列关于正多边形的叙述，正确的是（）A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为720°C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形4．如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直。
则∠α=( )A．60°B．28°C．54°D．72°5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC．若∠DAB=40°，则∠D的度数为（）A．70°B．120°C．140°D．110°6．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若边长为，则⊙O的半径为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．7．如图，正五边形ABCDE 内接于O ，连接OC OD ，，则BAE COD ∠-∠=（ ）A ．60︒B ．54︒C ．48︒D ．36︒8．如图，正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的边CD 重合，DH 的延长线与AB 交于点P ，则BPD ∠的度数是（ ）A ．83︒B ．84︒C ．85︒D ．86︒9．如图，O 正方形ABCD 内接于O ，点E 在ADC 上运动，连接BE ，作AF BE ⊥，垂足为F ，连接CF .则CF 长的最小值为（ ）A 1-B ．1C 1D ．2二、填空题：10．若一个圆内接正六边形的边长是4cm ，则这个正六边形的边心距= cm ．11．如图，AB 为⊙O 的内接正多边形的一边，已知∠OAB=70°，则这个正多边形的内角和为 ．12．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需 个五边形．13．如图，正五边形ABCDE 内接于O ，则DAE ∠= ．14．如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AD ，∠BCE ＝50°，连接BD ，则∠ABD ＝ 度.15．如图，六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，设正六边形ABCDEF 的面积为1S ACE 的面积为2S ，则12S S = ．三、解答题：16．已知圆外切正六边形周长为，求圆内接正方形的边长．17．如图， ABCDE 是 O 的内接正五边形．求证： AE BD.18．如图，四边形ABCD内接于120，，，求证：ABC是等边三角形．=∠=︒O AB AC ADC19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，∠C=2∠BAD．（1）求∠BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若⊙O的半径为r，∠ODA=45°，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，点F在DC的延长线上，AF交⊙O于G．（1）求证：∠FGC＝∠ACD；（2）若AE=CD=8，试求⊙O的半径．参考答案：1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．B 7．D 8．B 9．A10．311．1260°12．713．36°14．6515．216．解：如图1，AB 为⊙O 的外切正六边形的一边，则AB=1436⨯=233；∠AOB=13606⨯︒=60°；∵OA=OB ，∴△AOB 为等边三角形，∴OA=OB=AB=233；连接OC ，则OC ⊥AB ；∵sin60°=OC OA ，∴OC=32323⨯=1，即⊙O 的半径为1；如题2，四边形MNPQ 为⊙O 的内接正方形，连接MP 、QN ；则OM ⊥ON ，且OM=ON=1，由勾股定理得：MN 2=12+12，∴MN=2，即⊙O 的内接正方形的边长为2．17．证明：∵ABCDE 是正五边形，∴()521801085A ABC C -⋅∠===∠=∠ .又∵BC CD =∴180108362CBD CDB -∠=∠== ∴1083672ABD ∠=-=∴10872180A ABD ∠+∠=+=∴AE BD .18．证明：∵四边形ABCD 内接于O∴180ADC ABC ∠+∠=︒又∵120ADC ∠=︒∴180********ABC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒∵AB AC =∴AB AC =∴ABC 是等边三角形．19．（1）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O∴∠C+∠BAD=180°∵∠C=2∠BAD∴∠C=120°，∠BAD=60°∴∠BOD=2∠BAD=120°（2）解：如图1连接OC∵BC=CD∴∠BOC=∠DOC=60°∵OB=OC=OD∴△BOC 和△DOC 都是等边三角形∴OB=OC=OD=BC=DC∴四边形OBCD 是菱形（3）解：如图2，连接OA ，过点A 作BO 的垂线交BO 的延长线于点N∵∠BOD=120°，OB=OD∴∠ODM=30°∵∠BOM=∠DOM∴OM ⊥BD∴OM= 12 r ，3∴3 r∴S△BOD＝3r2∵∠ODA=45°，OA=OD ∴∠OAD=∠ODA=45°∴∠AOD=90°∴S△AOD＝12r2∵∠BOD=120°，∠AOD=90°∴∠AOB=150°∴∠AON=30°∴AN= 12OA=12r∴S△AOB＝12r2∴△ABD的面积为32+12r2+12r2=（3）r2．20．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB ∴AB垂直平分CD∴AC=AD∴∠ACD=∠D∵四边形AGCD内接于⊙O∴∠AGC+∠D=180°∵∠AGC+∠FGC=180°∴∠D=∠FGC∴∠ACD=∠FGC；（2）解：连接OC∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，AE=CD=8∴CE=ED=4设OA=OC=r，则OE=8-r在Rt△COE中222 OE CE OC+=即()222 84r r -+=解得r=5即⊙O的半径为5。
人教版九年级上册数学 24.3 正多边形和圆 同步练习(含答案)
24.3 正多边形和圆同步练习一、选择题1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( ) A．9 B．8 C．7 D．62．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )A．23 cm B．3 cm C．233cm D．1 cm第2题图第5题图3．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3B．9C．18D．364．正三角形、正方形、圆三者的周长都等于l，它们的面积分别为S1，S2、S3，则( )． A．S1＝S2＝S3 B．S3＜S1＜S2 C．S1＜S2＜S3 D．S2＜S1＜S35．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五个等分点而得到的(如图所示)．五角星的每一个角的度数是( )．A．30° B．35° C．36° D．37°第6题图第7题图第9题图6．如图所示，是由5把相同的折扇组成的“蝶恋花”（如图①）和梅花图案（如图②）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36° B．42° C．45° D．48°二、填空题7．如图所示，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠ 等于________．8．要用圆形铁片裁出边长为4的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是________． 9．如图所示，等边△ABC 内接于⊙O ，AB ＝10cm ，则⊙O 的半径是________． 10.如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为 ．11．正六边形的半径是5cm ，则边长6a =________，周长6P =________ ，边心距6r =________，面积6S =________．12. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 .三、解答题13．如图所示，正△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，求△ABC 的边长a ，周长P ，边心距r ，面积S ．14. 如图所示，半径为R 的圆绕周长为10πR 的正六边形外边作无滑动滚转，绕完正六边形后，圆一共转了多少圈？一位同学的解答过程：圆的周长为2πR ，所以它绕完正六边形后一共转了102RRππ圈，结果一共转了5圈．你认为这位同学的解答有无错误？如有错误，请更正．15．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．答案与解析一、选择题1.【答案】D；【解析】可求每个外角为60°，∴ 360÷60＝6或(2)180120nn-⨯=°°∴ n＝6．2.【答案】A；【解析】较长对角线与较短对角线及一边长构成一直角三角形，用勾股定理求解．3.【答案】C；【解析】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．4.【答案】C；【解析】当周长一定时，边数越多的正多边形其面积越大，当它成为圆时面积最大．5.【答案】C；【解析】五角星的每一个角所对的弧为圆的15，∴弧的度数为72°，因而每个角的度数为36°，故选C．6.【答案】D.【解析】如图③所示，正五边形ABCDE的中心角为72°，各内角为108°，故五角星五个锐角均为48°．二、填空题 7．【答案】72°；【解析】α＝360°－90°－90°－108°＝72°． 8．【答案】42；【解析】如图所示，△ABC 为等腰Rt△，242AC AB ==．9．【答案】1033cm ； 【解析】过O 作OD ⊥BC 于D ，连接OB ，在Rt △BOD 中，BD ＝12BC ＝1102⨯＝5(cm)． ∠BOD ＝180603=°°， ∴3BD OB =． ∴ BO ＝10333=(cm)．10．【答案】54°； 【解析】连接OB ，则OB=OA ，∴∠BAO=∠ABO，∵点O 是正五边形ABCDE 的中心，∴∠AOB==72°，∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°； 故答案为：54°．11．【答案】6a =5cm ，666P a ==30cm ，6532r =cm ，26753cm 2s =； 12．【答案】2：．【解析】设正六边形的半径是r ，则外接圆的半径r ，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．三、解答题13.【答案与解析】作AD ⊥BC 于D ．∵ △ABC 是正三角形，∴ 点O 在AD 上，a ＝BC ＝2CD ，∠OCD ＝30°，在Rt △COD 中，112r OD OC ===， 2222213CD OC OD =-=-=，∴ 223a BC CD ===，363P a ==． 又∵ AD ＝OA+OD ＝2+1＝3， ∴ 112333322S BC AD ==⨯⨯=， ∴ 23a =，63P =，1r =，33S =．14.【答案与解析】有错误，由正六边形的每个顶点外圆要转60°角，应转了10162RRππ+=（圈）． 15.【答案与解析】解：连接OB ，OC ，OD ，∵等边△ABC 内接于⊙O，BD 为内接正十二边形的一边，∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，∵OC=OD，∴∠OCD=45°，∴OC=5×=5（cm）．即⊙O的半径R=5cm．。
24.3正多边形和圆+同步练习+2024-2025学年人教版数学九年级上册
24.3正多边形和圆同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册一、单选题1．正十边形的每一个外角的度数都等于（）A．135°B．45°C．36°D．144°2．如图，已知A，B、C，D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，⊙BCD=110°，则⊙AEB的度数为()A．70°B．35°C．40°D．20°3．如图，连接正五边形的两条对角线，得到的图形（）A．既是轴对称图形也是中心对称图形B．是轴对称图形不是中心对称图形C．是中心对称图形但不是轴对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形4．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2⊙O的半径为（）A．2B6C．2D．265．用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种是正八边形，则另一种是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形6．下列命题是假命题的是（）A．三角形两边的和大于第三边B．正六边形的每个中心角都等于60°C．半径为R的圆内接正方形的边长等于2RD．只有正方形的外角和等于360°7．正多边形的一个外角等于40°．则这个多边形的边数为（）A．6B．9C．10D．128．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是AC的中点，若⊙B＝70°，则⊙CAD的度数为（）A．70°B．55°C．35°D．20°9．下列说法正确的是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等的圆内接多边形是正多边形D．各角相等的圆内接多边形是正多边形10．已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且MN BC．在点M从E移向D（与D不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（）A．矩形MNPQ的面积与周长保持不变B．矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大C．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大D．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小二、填空题11．如图，正五边形ABCDE中，将半径OA绕点O逆时针旋转90︒得OF，连接OC，OF，CF，则∠的度数为．F12．半径为6 cm的圆内接正四边形的边长是cm.13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是米2．14．如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点．15．⊙ ABC中，⊙ ACB=120°，AC=BC=3，点D为平面内一点，满足⊙ ADB=60°，若CD的长度为整数，则所有满足题意的CD的长度的可能值为．三、解答题16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙BOD=88°，求⊙BCD的度数.17．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．（1）若⊙E+⊙F=α，求⊙A 的度数（用含α的式子表示）；（2）若⊙E+⊙F=60°，求⊙A 的度数．18．已知直线l 与⊙O 相切于点C ，AB 是⊙O 的直径，AD⊙l 于点D ．（1）如图①，当直线l 与⊙O 相切于点C 时，若⊙DAC=30°，求⊙BAC 的大小； （2）如图②，当直线l 与⊙O 相交于点E 、F 时，若⊙DAE=18°，求⊙BAF 的大小． 19．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是几边形？20．如图所示，四边形ABCD 内接于O AC ，为O 的直径，ADB CDB ∠=∠.（1）试判断ABC 的形状，并给出证明.（2）若21AB AD =，，求CD 的长度.21．如图，在正六边形ABCDEF 中，AB=2，P 是ED 的中点，连结AP ．求AP 的长．22．如图，已知三角形ΔABC 中，AB=AC ，D 是ΔABC 的外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ，C 重合），延长BD至E。
24.3正多边形和圆同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册
24.3正多边形和圆(11.6)一．相关概念1.正n边形从一个顶点出发可以引_______条对角线，它们将正n边形分成了________个三角形；正n边形内角和=____________, 正n边形每个内角=____________,正n边形外角和=____________, 正n边形每个外角=___________,正n边形中心角=_____________. 正n边形的中心角是圆的_________角.2.正多边形边长为a，半径为R，边心距为r，则它们的关系为____________________.正n边形的边心距是圆的________距；同时也是正n边形____________的半径.二．应用正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积3 2√33 23 3124 14 26 46 336 6总结：正n边形相关计算步骤：第一步：求n边形________角；第二步：画________三角形，并标注字母；第三步：作___________的高（即____________）2.正八边形的中心角是___________°.3.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是___________.4.如果一个正多边形的一个内角为135°，则这个正多边形为_________形.5.正三角形的边心距为1，那么这个正三角形的边长为____________.6.外接圆半径为3的等边三角形的面积是____________.3，则圆的半径为______________.7.已知圆的内接三角形的面积是32，则正六边形的边长为______________.8.已知正六边形的边心距是69.正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为________________.24，则边心距= __________，边长=__________.10.正六边形的面积为311.等边三角形的边心距，半径及高之比为_______________.12.已知正三角形的边长为a，其边心距为r，外接圆的半径为R, 则a：r：R =_____________.13.利用量角器,直尺和圆规在⊙O中，作出正方形ABCD和正六边形ABCDEF.保留作图痕迹，不写作法，写出结论14.利用直尺和圆规在⊙O中，作出正方形ABCD和正六边形ABCDEF.保留作图痕迹，不写作法，写出结论。
人教版九年级上册数学同步练习《正多边形和圆》(习题+答案)
24.3正多边形和圆内容提要1.把圆分成相等的n段弧，依次连接n个等分点，就得到这个圆的内接正n边形，这个圆称为对应正n边形的外接圆.2.如图.（1）我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.（2）外接圆的半径叫做正多边形的半径.（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.（4）中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.3.在正多边形和圆中，研究圆的半径、边长、边心距、中心角等之间的等量关系时，常常构造直角三角形.基础训练1．完成下列有关正多边形的计算：形状中心角半径边长边心距周长面积正三角形3正方形3正六边形3O O周长最接近的是（）A．6B8C10D173．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则APB的度数是（）A ．36︒B ．60︒C ．72︒D ．108︒4．如图，若四边形ABCD 是半径为1cm 有圆内接正方形，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．()222cm π-B ．()221cm π-C ．()22cm π-D ．()21cm π-5．如图，O 的周长等于6cm π，求O 内接正六边形ABCDEF 的面积.6.如图，要在一个形状为圆的纸板上截出一个面积最大的正方形，试用尺规作出这个正方形（不要求写作法，保留作图痕迹）.能力提高1.如图，正六边形ABCDEF内接于O，则ADB∠的度数是（）A．60︒B．45︒C．30︒D．22.5︒2．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．23cm B．3cm C．23cm D．1cm3．如图，正六边形内接于O，O的半径为10，则圆中阴影部分的面积为.4.如图，一个正方形同时外切和内接于两个圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径为.5.如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若ADE∆的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为.6.如图是一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n 个正多边形的面积为.7.如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边上）.当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为.8.如图，O为等边ABC∆的边长为43，求O的半径.∆的内切圆，ABC9.如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC，BE相交于M.求证：四边形CDEM是菱形.拓展探究1.某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种植四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形，请在下面圆中画出三种设计方案（只要示意图，不写画法）.2.如图，现有边长为a 的正方形花布，问应该怎样裁剪，才能得到一个面积最大的正八边形花布来做一个形状为正八边形的风筝？24.3 参考答案：基础训练1．形状 中心角 半径 边长 边心距周长 面积 正三角形 120︒ 23 6 318 93 正方形 90︒6 23 3 83 12 正六边形60︒22312632．C 3．C 4．C 5．2273cm 6．略 能力提高1．C 2．A 3．1001503π- 42r 5．40 6．12n a + 721- 8．29．提示：通过证72EAM EMA∠=∠=︒，证得EM MC CD ED===．拓展探究1．参考答案2．正八边形与正方形都是轴对称图形和中心对称图形，为了使面积最大，正八边形的部分边在正方形的边上，从四个角各剪去一个直角边为222a的等腰直角三角形．。
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正多边形和圆
一、选择题
1.下列说法正确的是（）
A .各边相等的多边形是正多边形
B .各角相等的多边形是正多边形
C .各边相等的圆内接多边形是正多边形
D .各角相等的圆内接多边形是正多边形
2.（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A ．：3
B ．：2
C ． 1：2
D ．：2
3.(2013山东滨州)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
( )
A ．6，32
B ．32，3
C ．6，3
D ．62，32
4. 如图所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，
则∠ADB 的度数是（）．
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．22．5°
5.半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为（）
A.1:2:3
B.3:2:1
C.3:2:1
D.1:2:3
6. 圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，
则∠APB 的度数是（）．
A ．36°
B ．60°
C ．72°
D ．108°
7.（2013•自贡）如图，点O 是正六边形的对称中心，如果
用一副三角板的角，借助点O （使该角的顶点落在点O 处），
把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的
个数是（ ）
A.4
B.5
C.6
D. 7
8.如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O
的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 的度数是（）
A.60°
B.65°
C.72°
D.75°
二、填空题
9.一个正n 边形的边长为a ，面积为S ，则它的边心距为__________.
10.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于__________度.
第4题
第6题
第7题 第8题
11.若正六边形的面积是243cm 2
，则这个正六边形的边长是__________.
12.已知正六边形的边心距为3，则它的周长是_______.
13.点M 、N 分别是正八边形相邻的边AB 、BC 上的点，且AM =BN ，点O 是正八边形的 中心，则∠MON =_____________. 14.边长为a 的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为_________________.
15.要用圆形铁片截出边长为4cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要__________cm .
16.若正多边形的边心距与边长的比为1:2，则这个正多边形的边数是__________.
17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积比为__________.
18.(2013•徐州)如图，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20cm 2
，则正
八边形的面积为________cm 2.
三、解答题
19.已知，如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，求这个正六边形的外接圆半径R 、边心距r 6、面积S 6.
20.如图，⊙O 的半径为2，⊙O 的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积.
21.如图1、图2、图3、…、图n ，M 、N 分别是⊙O
的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边AB 、BC 上的点，
且BM =CN ，连结OM 、ON .
(1)求图1中∠MON 的度数；
(2)图2中∠MON 的度数是_________，图3中∠MON 的度数是_________；
(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系(直接写出答案).
第13第18题 第20题 第21题。