高中数学必修5：等差数列的前n项和公式的巧记及其性质

(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.
解析： (1)方法一：∵a6＝10，S5＝5， ∴5aa1＋1＋51d0＝d＝ 105，， 解得da＝ 1＝3－. 5， ∴a8＝a6＋2d＝16. 方法二：∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝6a12＋a6，即 3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝a6－5 a1＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16.
Sn=na1＋nn2－1d
等差数列的前n项和
已知量 首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和 公式
Sn＝
na1＋an 2
Sn＝ na1＋nn－ 2 1d
Sn与梯形面积
a1
n
a1
n
an
an
补成平形四边形
Sn
a1
an
与 梯
n
Sn
形
an
a1
面
积
Sn
(a1
an ) n 2
分割成一个平行四边形和一个三角形
[题后感悟] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和 Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an ，Sn中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式 联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方 法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体 思想的运用．
1. 在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8. (2)已知a2＋a4＝48/5，求S5； (3)已知a10＝12，a20＝32，Sn＝120，求an和n的值．
由 Sn＝na1＋12n(n－1)d，得－6n＋12n(n－1)·2＝120，
即 n2－7n－120＝0.
解得 n＝15 或 n＝－8(舍)，即 n＝15.
1．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于 ()
A．5或7
B．3或5
C．7或－1
D．3或－1
解析： Sn＝na1＋ 2 11＝35. ∴na1＋11n＝70，① an＝a1＋(n－1)×2＝11. ∴a1＋2n＝13.② 由①②得 a1＝3 或 a1＝－1.故选 D.
方法二：由 S5＝5a3＝40，得 a3＝8. 所以 a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得 d＝3. 所以 a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29..
(3) 若S10＝310，S20＝1 220，求Sn.
(3)方法一：由已知：S10＝310，S20＝1 220， ∴2100aa11＋＋14950dd＝＝31102，20， 解得dLeabharlann Baidu＝1＝64.， ∴Sn＝4n＋nn2－1·6＝3n2＋n. 方法二：由数列{an}为等差数列，可设 Sn＝An2＋Bn. 由 S10＝310，S20＝1 220， 得140000AA＋ ＋1200BB＝ ＝311202，0， 解得AB＝ ＝31.， ∴Sn＝3n2＋n.
解析： a3＋a17＝a1＋a19＝10 S19＝19a12＋a19＝19×2 10＝95.
4．已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数 列前6项的和．
由题目可获取以下主要信息： 由 Sn＝na12＋an，an＝a1＋(n－1)d，联立列方程组． 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用 等差数列的性质解题．
(1) 若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d；
[解题过程] (1)∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋nn2－1d，
(3)已知a10＝12，a20＝32，Sn＝120，求an和n的值
(3)根据 an＝am＋(n－m)d， 由已知 a10＝12，a20＝32，得 d=2
an=a10+(n－10)d
由 a10=a1+9d=a1+18＝12，得 a1=－6
∴数列{an}的通项公式是 an＝－6＋(n－1)·2，即 an＝2n－8.
Sn
a1
与
n
Sn
梯
形
a1 (n-1)d
面
an=a1+(n-1)d
积
n(n 1)d
Sn na1
2
例1 已知数列{an}是等差数列， (1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d； (2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10； (3)若S10＝310，S20＝1 220，求Sn.
2．已知等差数列{an}，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n等于 ()
A．51
B．50
C．49
D．48
解析： 由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d 得 n×50＋n×n2－1×(－2)＝0 即 n2－51n＝0 ∴n＝0(舍去)或 n＝51.故选 A.
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19 的值为________．
高中数学 必修5 学霸兔
问题1： 问题2：
课前提示
我们都知道等差数列的前n项 和公式有2个，你都记住了吗？
有没有巧妙的记忆方法？
等差数列的前n项和Sn有哪些 我们必须知道的性质呢？
目录
1. 等差数列的前n项和公式Sn的巧记方法 2. 等差数列的前n项和公式Sn的性质及其应用
等差数列的前n项和公式Sn的巧记方法
对一般的等差数列{an} ，则有
Sn=a1+a2+…+an Sn=an+an-1+…+a1
2Sn=(a1+a2+…+an)+(an+an-1+…+a1)
=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)
=n(a1+an)
Sn=
na1＋an 2
等差数列的前n项和
Sn=
na1＋an 2
将an用首项a1和公差 d 表示，可得
又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，
1＋n－1d＝－512， ∴n＋12nn－1d＝－1 022. 解得 n＝4，d＝－171.
还有更简单的 方法吗？
(2) 若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；
a1＋d＋a1＋4d＝19， (2)方法一：由已知可得5a1＋5×2 4d＝40. 解得 a1＝2，d＝3.所以 a10＝a1＋9d＝29.
(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；
(2)方法一：a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝458，所以 a1＋2d＝254.
所以 S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d
＝5(a1＋2d)＝5×254＝24. 方法二：a2＋a4＝a1＋a5，所以 a1＋a5＝458. 所以 S5＝5×a21＋a5＝52×458＝24.