数学2 第十章 有限元法

积分表达式（1.3）是应用有限元法求解（1.1）、（1.2） 式的出发点。
2、区域剖分 剖分原则与差分法相同，即将求解区域剖分成 若干个互相连接，且不重叠的子区域，这些子区域 称为单元。单元的几何形状可以人为选取，一般是 规则的，但形状与大小可以不同。对于一维情形最 为简单：
将求解区域 a, b 剖分成若干个子区间，其节点为
1.16
称 F i 为单元“荷载”向量。 根据以上分析，便有
1 n i J uh u 2 i 1

T
K u u
i i
i 1
n

i
T
F .
i
1.17
这样，我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式：
K u F
我们来计算单元 ei 上的积分。为讨论方便，作变换

x xi 1 hi (1.9)
并引入记号
N 0 1 , N1 ,
u h 可写成 则在 ei 上，
uh x N 0 ui 1 N1 ui u N 0 , N1 i 1 , ui
T
F uT b,
i
其中，
b B
i 1 n

i
T
F
i
F
i 1
n
0,
i 1
n

,0, Fi 1 , Fi ,0,
i
i
,0 .

T
(1.19)
这就是总荷载向量。 这样，就可以将（1.17）式写成
1 J uh u T Ku u T b. 2
ai1, i 1
i
ai1, i
i
ai,i1
i
ai,i
i

第i-1行 第i行
这就是总刚度矩阵（未标明的元素均为0）。
对（1.17）右端第二个和式，有

n i 1
u
i

T
F
i
i u B i 1 T
n

i
对（1.8）式右端第二项积分，同样有

xi
xi 1
fuh dx hi Nu
0 i T
f x u F ,
1
i
T
i 1
hi d (1.15)
i
式中，
F
i
Fi 1 , Fi

i
i

T
,
F i h 1 f x h 1 d i 0 i 1 i i 1 1 i Fi hi f xi 1 hi d 0 1
uh x 表示为 在单元 ei 上，
uh x ui 1i 1 x uii x =ui 1 xi x x xi 1 ui , hi hi
1.5
x xi 1 , xi .
可见，单元中的近似函数由单元基函数线性组合 产生，全区域的近似函数由各个单元的近似函数 叠加而成。
（1.4）
Vh 中任一函数 u h 可以表示为基函数 i x 的 显然， 线性组合，即
uh u11 x u2 2 x un n x ,
u1 , u2 , , un 是 u h 在节点上的值，即 其中，
uh xi ui i 1, 2, , n,
令
J uh u j
0,
(1.6)
便得到确定 u1 , u2 , , un 的线性代数方程组
a , u f , .
i 1 i j i j
n
j 1, 2,
, n.
1.7
称（1.7）为有限元方程。
显然，只要我们分别算出 a i , j 及 (i, j 1,2, , n), 就可以求解（1.7）。 f , j ， 但在工程计算中，并不是按照上述步骤形成 有限元方程的，而是首先建立单元有限元特 征式（称这一过程为单元分析），然后再将 单元的有限元特征式进行累加，合成为总体 有限元方程（这一过程称为总体合成）。
个单元具有规则的几何形状，而且可以不比考虑 边界条件的影响，因此在单元中选取基函数可遵 循一定的法则。
1 设 Vh 为 H E 的有限维子空间，它的元素为 uh x 要构造 Vh ，只需构造单元基函数 i 。构造单元基 函数应遵循如下原则：
（1）、每个单元中的基函数的个数和单元中的 节点数相同，每个节点分别对应一个基函数，本例 中，单元 ei 有两个节点，因此基函数有两个。 （2）基函数应具有下面的性质：
a x0 x1 xi xn b
每个单元 ei xi 1 , xi 的长度为 hi xi xi1. 单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小， 可根据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变 化剧烈的地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些。
3、确定单元基函数 有限元法与Ritz-Galerkin方法的主要区别之一，就 在于有限元方法中的基函数是在单元中选取的。由于各
4、有限元方程的形成
1 H V 与Ritz法一样，以 h 代替 E ，在 Vh 上解泛函数
（1.3）的极小问题。 将（1.5）代入（1.3），得
1 J uh a uh , uh f , uh 2 n 1 n = a i , j ui u j u j f , j . 2 i, j j 1

T
K u
i i
1 n T i T i i u [( B ) K B ]u 2 i 1 1 u T Ku 2
其中，
K (B ) K B K
i
T n
i i
n
i
i 1
i 1
n i 1
Vh 是满足下列条件的所有 从以上可以看出， 函数 uh 的集合：
L2 a, b ; (1)、uh在 a, b 上连续，且uh，uh (3)、uh a 0. (2)、uh在ei 上是次数不超过1的多项式;
1 V H h 故 是 E 的一个n维子空间，称为试探函数空间 uh Vh 称为试探函数。
因此，有限元方程为
Ku b. (1.20)
从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出， K 的计算，实际上是把 K i 中四个元素在适当的 b 位置上“对号入座”地叠加， 的计算也是如此。我 i 们引入 B ，只是为了叙述方便，实际上，在编制 程序时并不需要。 显然，方程组（1.20）的系数矩阵K是一个对 称正定的对角矩阵，因此可采用追赶法求出u在节点 上的近似值 u1 , u2 , , un 。如果我们认为这个近似解不 够精确，则可以使剖分更细，即节点取得更多。这 样，就产生一个收敛性与误差估计的问题。由于此 问题所用的数学工具较多，本课程不做讨论。另一 方面，我们以上是在单元剖分的基础上，利用Lagrange 型的分段线性插值函数构造出的n维子空间Vn ，这样 自然想到，如果不采用分段的线性插值，而采用分段 的高次插值，则会得到更好的近似。
一、有限元方法解题分析 为了说明应用有限元方法的解题步 骤，以及每一步骤中的要点，下面我们
以两点边值问题为例进行具体分析。
考虑两点边值问题
d du L p qu f , a x b u dx dx u a 0, u ' b 0
u (u1 , u2 , 0 i B 0 , u n )T , 0 0 2n 0 1 0 0 0 1 i 1 i 列 列
于是有
u ui 1 , ui B u,
i
T i
从而（1.17）右端第一个和式为
1 n i u 2 i 1
1.1 1.2
其中
p x C 1 a, b , p 0, q C a, b , q 0, f C a, b
我们将从Ritz法和Galerkin法两种观点出发，导出 解边值问题（1.1）、（1.2）的线性有限元方法。
（一）从Ritz法出发建立有限元方程 1、写出Ritz形式的变分问题
T i
1 i (u ) hi pM T M qN T N d u 0
i
i
T
(u )T K u ,
i i
1.12
这里，
K
i
hi pM T M qN T N d
1 0 i ai 1,i 1 i ai ,i 1
下面分步分析具体的计算方法。 第一步：单元分析。注意到
J uh 1 a uh , uh f , uh 2 n xi 1 n xi 2 2 = puh quh dx fuh dx, xi 1 2 i 1 xi1 i 1
(1.8)
i i i
第二步：总体合成 总体合成就是将单元的有限元特征式进行累加， 合成为总体有限元方程。这一过程实际上是将 单元有限元特征式中的系数矩阵逐个累加，合成 为总体系数矩阵（称为总刚度矩阵）；同时将右 端单元荷载向量逐个累加，合成为总荷载向量， 从而得到关于 u1 , u2 , , un 的线性代数方程组。 为了形成总刚度矩阵，我们令
pu qu dx p (u ) u q (u u )dx
xi xi 1 2 h 2 h xi T T xi 1 1 h h h h T i i hi p M Mu q Nu 0

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d Nu
由变分原理可知，与边值问题（1.1）（1.2） 1 ,使 等价的变分问题是：求 u H E
J u* min J u 1
uH E
其中
J u
b
1 a u, u f , u 2
（ 1.3）
b du dv a u, v p quv dx ， f , u a fudx. a dx dx
j xk jk
1, 0, j k, j k.
其中 xk 是单元节点序号为k的节点。
若取 j x 为线性函数，则按上述原则，可将 Vh 中的基函数取为
x xi 1 h , xi 1 x xi , i 1, 2, i xi 1 x x , xi x xi 1 , i hi 1 0, 在别处 x xn 1 , xn 1 x xn , x h n n 0, 在别处 , n 1
ai1, i i ai ,i
i
1.13
称为单元刚度矩阵，其中
a i 1 h 1 p x h h q x h (1 ) 2 d i 1 i i i 1 i i 1,i 1 0 i 1 i 1 2 h p x h h q x h ai ,i 0 i i 1 i i i 1 i d 1 i i ai 1 1,i ai ,i 1 0 hi p xi 1 hi hi q xi 1 hi (1 ) d , 1.14
或写成
uh x Nu ,
i
（1.10）
T
i 可表示为 N N , N , u ui 1 , ui . 而 u h 其中， 0 1
x uh
1 ui ui1 Mu i , hi
1.11
式中， M 1/ hi ,1/ hi . 于是有