高中数学空间向量ppt
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人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 空间向量及其线性运算
能否用向量a,b表示?怎样表示?
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
1.2空间向量基本定理 人教A版(2019版)高中数学选择性必修一(共16张PPT)
示.
5
基本练习
若向量MA,MB,MC的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线，则能 使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是
B.MA=MB+MC
c.OM=OA+OB+0c
D.MA=2MB-MC
解析 对于A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)→M,A,B,C 四
点共面知,MA ,MB,MC共面；对于B,D, 易知MA ,MB,MC共面，故只有C
MN,AC, 则
AC₁=AB+BC+CC₁=à+b+亡，
所以MN。
·(a+b+c)
所以MNLAC₁.
U
典型讲评
例3如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为 C'D',A'D',D'D的中点. (1)求证：EF/IAC;(2)求CE 与AG 所成角的余弦值.
(1)证明：设DA=i,Dc= 了，DD²=k, 则信，了，k)构成空间的一个单位正交基
注：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组 成的集合就是{PP = xa+yb+zC,x,y,z∈ R},这个 集合可以看做是由向量a,b,c生成的.
故{a,b,c}叫做空间的一个基底.
a,b,c 都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：
1.2空间向量的基本定理
复习引入
共线向量定理：
对空间任意两个向量abb≠0),a1/b
的
充要条件是存在实数λ,使a=λb.
5
基本练习
若向量MA,MB,MC的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线，则能 使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是
B.MA=MB+MC
c.OM=OA+OB+0c
D.MA=2MB-MC
解析 对于A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)→M,A,B,C 四
点共面知,MA ,MB,MC共面；对于B,D, 易知MA ,MB,MC共面，故只有C
MN,AC, 则
AC₁=AB+BC+CC₁=à+b+亡，
所以MN。
·(a+b+c)
所以MNLAC₁.
U
典型讲评
例3如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为 C'D',A'D',D'D的中点. (1)求证：EF/IAC;(2)求CE 与AG 所成角的余弦值.
(1)证明：设DA=i,Dc= 了，DD²=k, 则信，了，k)构成空间的一个单位正交基
注：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组 成的集合就是{PP = xa+yb+zC,x,y,z∈ R},这个 集合可以看做是由向量a,b,c生成的.
故{a,b,c}叫做空间的一个基底.
a,b,c 都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：
1.2空间向量的基本定理
复习引入
共线向量定理：
对空间任意两个向量abb≠0),a1/b
的
充要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量的数量积运算(43张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
环节一创设情境引入课题根据功的计算，我们定义了 平面向量的数量积运算， 一旦 定义出来，我们发现这种运算 非常有用，它能解决有关长度 和角度问题，在空间向量中亦 是如此。
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)
空间向量基本定理(PPT)
（二）空间向量基本定理
【探究1】空间中怎样的向量能构成基底？
1.不同基底下,同一向量的表达式也
【提示】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．
有可能不同.
2.由于零向量与任意一个非零向量
【探究2】基底与基向量的概念有什么不同？
【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，
)
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若 , , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(
)
)
答案: (1)× (2)√ (3)√ (4)√
【做一做1】(教材P12练习1改编)已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，
(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
（三）典型例题
1.基底的判断
例1.设 Ԧ = Ԧ + , Ԧ = + ,
Ԧ = Ԧ + ，且
Ԧ
,
Ԧ , Ԧ 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ,
Ԧ , Ԧ ，②
,
Ԧ ,
Ԧ Ԧ ，③ ,
（2）∵ ’ = −Ԧ + ，∴
Ԧ
’ = 2 Ԧ ， =
∵’ ∙ = −Ԧ + Ԧ ∙ +
1
Ԧ
2
1
=2 Ԧ2
=
1
2
Ԧ
5
2
2，∴cos
Ԧ ，
’, =
1
2
2
人教A版高中数学选择性必修一1.2空间向量基本定理课件
1
2
所以 ∙ 1 = （ − ） ∙（ + + ）
1
2
1
2
1
2
N
B1
A1
证明：设 = ， = ，1=,这三个向量不共面，
{, , ,}构成空间的一个基底，我们用它们表示，1 ，则
1
=1 +1 =
2
M
1
2
A
1
2
C
B
1
2
= ∙+ ∙+ ∙− ∙− ∙− ∙
间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的
不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，
所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零
用·＝0⇔⊥，
用 =
·
求夹角．
ȁȁȁȁ
立体几何的解
课后作业
课本第14、15页
1.课后练习第2、3题
2.习题1.2第4、5、6题
向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向
量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究7 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，
那么这个基底叫什么？
提示：叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
探究8 什么叫做空间向量正交分解。
提示：把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间
2.用基底表示所给的向量
·
3.用 =
2
所以 ∙ 1 = （ − ） ∙（ + + ）
1
2
1
2
1
2
N
B1
A1
证明：设 = ， = ，1=,这三个向量不共面，
{, , ,}构成空间的一个基底，我们用它们表示，1 ，则
1
=1 +1 =
2
M
1
2
A
1
2
C
B
1
2
= ∙+ ∙+ ∙− ∙− ∙− ∙
间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的
不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，
所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零
用·＝0⇔⊥，
用 =
·
求夹角．
ȁȁȁȁ
立体几何的解
课后作业
课本第14、15页
1.课后练习第2、3题
2.习题1.2第4、5、6题
向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向
量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究7 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，
那么这个基底叫什么？
提示：叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
探究8 什么叫做空间向量正交分解。
提示：把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间
2.用基底表示所给的向量
·
3.用 =
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
空间向量研究直线、平面的平行(18张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
所以AEl/FG.
∴AE//FG
Ax
例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面 内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，acβ,bcβ,a∩b=P,alla,blla,求证： α/lβ.分析：设平面α的法向量为n,直线a,b的方向向量分别为u,v,则由已知条件可得n·u=n·v=0, 由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.
归纳小结 设直线l,m 的方向向量分别为a , b 平面a,β的法向量分别为ū ,v; 则a —l m (1)I//m⇔ a//b⇔a=λb ;(2)l//a→ (1) a//AC→(2)alü⇔a·ü=0
设平面a,β 的 法 向 量 分 别 为 ū , ; 则
(3)α//β⇔ ū //v⇔u=λv;
1、已知直线a,b和平面a,其中aaα,bcα,且al/b,求证： a//a.解：设直线a,b的方向向,k∈R.又因为u 是平面α的法向量，bcα, 所以 u ⊥b,所以ū·b=0,u·a=ū·kb=0.所以a lla.
例3如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,BC=3,CC₁=2.B₁C 上是否存在点P,使得A₁P// 平面ACD₁?解：以D为原点，DA,DC,DD₁ 所在直线分别为x轴、
C(0,4,0),D₁(0,0,2),∴AC=(-3,4,0),AD₁=(-3,0,2).设n=(x,y,z) 是平面ACD₁的法
面AEF// 面BDG.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
解 令z₂=2,得y₂=-1,所以n₂=(0,-1,2).因为n₁=n2,即n₁//n2,所以平面ADE//平面B₁C₁F.
∴AE//FG
Ax
例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面 内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，acβ,bcβ,a∩b=P,alla,blla,求证： α/lβ.分析：设平面α的法向量为n,直线a,b的方向向量分别为u,v,则由已知条件可得n·u=n·v=0, 由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.
归纳小结 设直线l,m 的方向向量分别为a , b 平面a,β的法向量分别为ū ,v; 则a —l m (1)I//m⇔ a//b⇔a=λb ;(2)l//a→ (1) a//AC→(2)alü⇔a·ü=0
设平面a,β 的 法 向 量 分 别 为 ū , ; 则
(3)α//β⇔ ū //v⇔u=λv;
1、已知直线a,b和平面a,其中aaα,bcα,且al/b,求证： a//a.解：设直线a,b的方向向,k∈R.又因为u 是平面α的法向量，bcα, 所以 u ⊥b,所以ū·b=0,u·a=ū·kb=0.所以a lla.
例3如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,BC=3,CC₁=2.B₁C 上是否存在点P,使得A₁P// 平面ACD₁?解：以D为原点，DA,DC,DD₁ 所在直线分别为x轴、
C(0,4,0),D₁(0,0,2),∴AC=(-3,4,0),AD₁=(-3,0,2).设n=(x,y,z) 是平面ACD₁的法
面AEF// 面BDG.
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2024课件
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解 令z₂=2,得y₂=-1,所以n₂=(0,-1,2).因为n₁=n2,即n₁//n2,所以平面ADE//平面B₁C₁F.
【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册《空间向量及其线性运算》课件(共71张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算
1
学习目标
核心素养
1.理解空间向量的概念．(难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，
2.掌握空间向量的线性运算．(重 培养学生的数学抽象核心素养.
点) 2.借助向量的线性运算、共线向量
3.掌握共线向量定理、共面向量 及共面向量的学习，提升学生的直
b．分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a__，λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b___.
10
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系．
11
4.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 若 干 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线
_互__相__平__行_或__重__合__，则这些向量叫做_共_线__向__量__或平行向量． (2)方向向量：在直线 l 上取非零向量 a，与向量 a_平__行_的非零向
2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
5
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大__小__和方__向__的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的_大__小_．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用_有__向_线__段__表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
a＝b
7
3.空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的 加法 O→B＝_O→_A_＋__O_→_C＝a＋b
运算
减法 C→A＝_O→_A_－__O→_C_＝a－b
①交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 加法运算律 ②结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_) _
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算
1
学习目标
核心素养
1.理解空间向量的概念．(难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，
2.掌握空间向量的线性运算．(重 培养学生的数学抽象核心素养.
点) 2.借助向量的线性运算、共线向量
3.掌握共线向量定理、共面向量 及共面向量的学习，提升学生的直
b．分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a__，λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b___.
10
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系．
11
4.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 若 干 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线
_互__相__平__行_或__重__合__，则这些向量叫做_共_线__向__量__或平行向量． (2)方向向量：在直线 l 上取非零向量 a，与向量 a_平__行_的非零向
2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
5
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大__小__和方__向__的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的_大__小_．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用_有__向_线__段__表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
a＝b
7
3.空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的 加法 O→B＝_O→_A_＋__O_→_C＝a＋b
运算
减法 C→A＝_O→_A_－__O→_C_＝a－b
①交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 加法运算律 ②结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_) _
空间向量基本定理(23张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
为(A) ,-1,
B ,1,
,1,
A
口
1,
C.
9
解析：由题意知d=aa+βb+γc=α(e₁+e₂+e₃)+β(e₁+e₂-e₃)+y(e₁-e₂+e₃)=(a+β+y)e₁+(a+β-y)e₂+(α-β+y)e₃,
.故选A.
又d=e₁+2e₂+3e₃, 所 以
解得
5.(多选) 设a,b,c 是空间的一个基底，( BCDA. 若alb,b⊥c, 则 a ⊥cB. 则 a,b,c 两两共面，但a,b,c 不可能共面C.对空间任一向量p, 总存在有序实数组(x,y,z), 使p =xa+yb+zcD.则a+b,b +c,c+a 一定能构成空间的一个基底
D₁C₁ ,C₁B₁ 的中点.求证MN⊥AC₁ .
构成空间的一个基底，我们用它们表示MN,AC,贝 ,AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c,所
证明：设AB=a,AD=b,AA₁=c, 这三个向量不共面，{a,b,c}
所以
8.如图所示，已知四面体ABCD 的棱长为1,点E,F,G 分别是AB,AD,CD 的中
(1)EF·BA;(2)|EG|.
点，设AB=a,AC=b,AD=c,{a,b,c}
为空间向量的一个基底，计算：
解析：(1)由题意得la月bHc=1,
事
小结：回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量基本定理2.基底和基向量
=0.所以MN⊥AC₁ .
例3如图，正方体 ABCD-A'B'CD 的棱长为1,E,F,G 分别为
B ,1,
,1,
A
口
1,
C.
9
解析：由题意知d=aa+βb+γc=α(e₁+e₂+e₃)+β(e₁+e₂-e₃)+y(e₁-e₂+e₃)=(a+β+y)e₁+(a+β-y)e₂+(α-β+y)e₃,
.故选A.
又d=e₁+2e₂+3e₃, 所 以
解得
5.(多选) 设a,b,c 是空间的一个基底，( BCDA. 若alb,b⊥c, 则 a ⊥cB. 则 a,b,c 两两共面，但a,b,c 不可能共面C.对空间任一向量p, 总存在有序实数组(x,y,z), 使p =xa+yb+zcD.则a+b,b +c,c+a 一定能构成空间的一个基底
D₁C₁ ,C₁B₁ 的中点.求证MN⊥AC₁ .
构成空间的一个基底，我们用它们表示MN,AC,贝 ,AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c,所
证明：设AB=a,AD=b,AA₁=c, 这三个向量不共面，{a,b,c}
所以
8.如图所示，已知四面体ABCD 的棱长为1,点E,F,G 分别是AB,AD,CD 的中
(1)EF·BA;(2)|EG|.
点，设AB=a,AC=b,AD=c,{a,b,c}
为空间向量的一个基底，计算：
解析：(1)由题意得la月bHc=1,
事
小结：回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量基本定理2.基底和基向量
=0.所以MN⊥AC₁ .
例3如图，正方体 ABCD-A'B'CD 的棱长为1,E,F,G 分别为
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
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的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习课件(共24张PPT)
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2பைடு நூலகம்
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋1c， 2
∴|AC→′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 5|a|. 2
AC→′·C→E＝(－a＋c)·（b＋1c）＝1c2＝1|a|2， 2 22
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
1|a|2 2
＝ 10.
2· 5|a|2 10
2
即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10. 10
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴C→E＝b＋1c，A→′D＝－c＋1b－1a，
2
22
∴C→E·A→′D＝－1c2＋1b2＝0. 22
∴C→E⊥A→′D，即 CE⊥A′D．
空间向量的数量积及其应用
【训练 3】 如图，在直三棱柱 ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
深度探究
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
高中数学选择性必修一(人教版)《1.1.1空间向量及其线性运算》课件
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定， 即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分 条件；
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素： 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于 同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则 对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量．
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素： 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于 同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则 对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量．
高中数学第3章3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件新人教A选修21.ppt
∵M→N＝M→A＋A→P＋P→N ＝－12A→B＋A→P＋12P→C ＝－12A→B＋A→P＋12(P→A＋A→C) ＝－12A→B＋A→P＋12(P→A＋A→B＋A→D) ＝12A→D＋12A→P＝12e2＋12e3， ∴M→N＝(0，12，12)．
考点三 用基底表示向量
用基底表示向量时， (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三 角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运 算律进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要 尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再 就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
例1 若{a，b，c}是空间一个基底，试判断{a＋b,b ＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 【思路点拨】 假设不能作为一个基底，看是否 存在一对实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， 若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成 立．
【解】 假设 a＋b，b＋c，c＋a 共面， 则存在实数 λ、μ 使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
问题探究
1．空间的基底是惟一的吗？ 提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共 面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的 基底有无数个，因此不惟一． 2．空间向量基本定理中，当z＝0时，是什么定 理？ 当y＝z＝0时，是什么定理？ 提示：平面向量基本定理；共线定理．
课堂互动讲练
考点突破 考点一 基底的判断 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是 否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法 结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助 进行判断．
例3 如图所示，空间四边形 OABC 中，D 为 BC 的中点，G 是△ABC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c.试用向量 a，b，c 表示向量O→G.
高中数学人教版A版选择性必修一1.1.1空间向量及其线性运算课件
D1
C1
A1
B1
M
D C
A
B
共线向量与共面向量
a
b
回顾
B
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量.
回顾
平面向量数乘的定义
a 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ， a
它的长度和方向规定如下：
（1） | a || || a |;
零向量
模为0的向量
模为0的向量
单位向量
模为1的向量
模为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量 方向相反且模相等的向量
三、探究新知
3．提出问题：平面向量可以在平面内平移，那么空间 向量能否在空间中平移？
任意两个空间向量，我们总可以把它们平移到 同一个平面内
a // b(b 0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l为经过已知点A且平行已知非零向 量的直线，若点P是直线l上任意一点，则
由 l //知a 存在唯一的t, 满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
l
AP OP OA,
所以
OP
OA
ta
即
OP OA ta
①
aP
B
O
构成一个半径为1的球
三、理解新知 2 ． 在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 分 别 标 出
AB AD AA1 ， AB AA1 AD 表示的向量。能否
得出三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关 系？
高中数学人教版A版 选择性必修一1.2空间向量基本定理 课件(共12张PPT)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三点共线 C
4
3D A 3B
设i,j, k是空间中三个两两垂直的向量， 且表示它们的有向线段有公共起点O.
p xi y j zk
（x,y,z）是唯一实数对。能否证明？
探究：若a、 b、 c 是空间中的三个不共面向量，
则空间中的任意一个向量 p 是否能用a、 b、 c
O
2
2
1 OB 1 OC 1 OA
M
22 2
OP OM MP 1 OA 2 MN 23
A
Q
P
C
1 OA 2 (1 OB 1 OC 1 OA)
N
2 1
OA
32 1 OB
1
2 OC
2
同理，OQ
1
OA
1
B
OB
1
OC
633
36 6
作业：P14#2，P15#7
OB
（2）基底中的三个A向量都不是 0；
（3）基底中的a任意两个向量P都′ 不共线；
反证法
例1（改编）.已知空间四边形OABC的对角线为OB、AC，
N分别是对边OA、BC的中点，P、Q是线段MN三等分点，
向量 OA、OB、OC表示向量MN，OP，OQ.
解：MN ON OM 1 (OB OC) 1 OA
1.2空间向量的基本定理
课前练习：已知 a + b + c = 0 ，| a |=2，| b |=3，| c |= 19 ，
则向量 a 与 b 的夹角 a, b 为（ a 、 b 、 c ，对应向量为 AB 、 BC 、 CA ，
则 A、B、C 三点构成（ C ）
这三个向量来表示？
4
3D A 3B
设i,j, k是空间中三个两两垂直的向量， 且表示它们的有向线段有公共起点O.
p xi y j zk
（x,y,z）是唯一实数对。能否证明？
探究：若a、 b、 c 是空间中的三个不共面向量，
则空间中的任意一个向量 p 是否能用a、 b、 c
O
2
2
1 OB 1 OC 1 OA
M
22 2
OP OM MP 1 OA 2 MN 23
A
Q
P
C
1 OA 2 (1 OB 1 OC 1 OA)
N
2 1
OA
32 1 OB
1
2 OC
2
同理，OQ
1
OA
1
B
OB
1
OC
633
36 6
作业：P14#2，P15#7
OB
（2）基底中的三个A向量都不是 0；
（3）基底中的a任意两个向量P都′ 不共线；
反证法
例1（改编）.已知空间四边形OABC的对角线为OB、AC，
N分别是对边OA、BC的中点，P、Q是线段MN三等分点，
向量 OA、OB、OC表示向量MN，OP，OQ.
解：MN ON OM 1 (OB OC) 1 OA
1.2空间向量的基本定理
课前练习：已知 a + b + c = 0 ，| a |=2，| b |=3，| c |= 19 ，
则向量 a 与 b 的夹角 a, b 为（ a 、 b 、 c ，对应向量为 AB 、 BC 、 CA ，
则 A、B、C 三点构成（ C ）
这三个向量来表示？
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底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥
F
E
底面ABCD，PD=DC，E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1)求证PA∥平面EDB
D
C
(2)求证PB⊥平面EFD
G
(3)求二面角C---PB---D的大小 A
B
.解：如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC，AC交BD
内任一向量 p可以表示为如下形式：
。 p xb yc, x, y R.
a p a (xb yc) xa b ya c 0, l与内的任一直线垂直.即l .
例2、已知点P是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如
果 AB (2, 1, 4) ，AD (4, 2,0) ，AP (1, 2, 1)
为 PF k PB所以 x, y, z 1 k1,11 k,k,k ，
。因坐为以标为kPB• D13F0，, 01点, 1F所的以所坐以1,标1,1为F• E k,k13,1,
k
1
3
k k 1 k 3k 1 0 所
,
2 3
，又点E的
因为 1 , 1 , 1 3 6 6
2 2 1 , 1 , 1 • 1 , 1 , 2 1
面叫。做平,记面作n
⊥ ，如果
的法向量.
n⊥
，那
么
向
量n
l
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n
完全确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m 是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
求法：在空间坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) ,
O a
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
这样，点O与向量 a、b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
任一点 P ,存在实数 t
使得
P
a
⑶平面
A
空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 上的任
。
一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
b
O a
2、直线的向量参数方程
l
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
个定点 A 以及一个定方向确定.对于直线 l 上的任一点P ,
(一）、知识梳理，方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示
⑴点 在空间中，我们取一定点O 作 为基点，那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量OP 来表示，我们把 向量OP 称为点 P 的位置向量.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上。一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的
.
（二）例题探析
例1、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相
交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线，
且 l m,l n. 解：设直线l, m, n的方向向量分别为a, b, c.
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
m, n ,且m, n相交，
. 于（点G0，, 1连, 1结）EG，依因题为意底得面A（AB1C，D0是，正0）方P形（，0，所0以，点1）G是E 此正
22
方形的中心，
故点G的坐标为（ 1 , 1 ,0 ）且
PA 1,0,1
，
EG
1 ,0, 2
1 2
2
，所以
2
PA 2EG,及PA// EG
而EG 平面EDB，且PA
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：∵ AP AB (1,2,1)(2,1,4) 0， AP AD (1,2,1)(4,2,0) 0 ，
∴ AP AB，AP AD，又 AB AD A，AP 平 面
，
∴ AB是C平D面
的法向量．
cosEFD FE • FD 3 6 6 3 3 3 6 1
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程
存在实数 t 使得
a
P此方程称为直线的向量参数方程。这
样点A和向量 不仅可以确定直线 l
的位置，还可以具体写出l上的任意一
A
点。
3、平面的法向 量
OP OA ta ， OP xOA yOB (x y 1）
. 空间中平面 的位置可以由 内两条相
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
AP
ABCD
。| AB | (2)2 (1)2 (4)2 21 | AD | 42 22 02 2 5
。AB AD (2, 1, 4) (4, 2,0) 6
cos(AB, AD)
6 3 105 212 5 105
sin BAD 1 9 32 105 35
S ABCD | AB | | AD | sin BAD 8 6 P
C(0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
步骤：
4、用方向向量和法向量判定位置关系
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合.
设直线l的方向向量为a (a1, b1, c1), 平面的
法向量为u (a2 , b2 , c2 ),则
若. a (a1,b1,c1),u (a2,b2,c2),则
平面EDB，因此PA//平面
EDB。
(B2（)证1，明1；，依0）题P意B 得 1,1,1,
所以 PB DE
又DE 0，1，1 ，故PB• DE
2 2
PB EF，且EF DE
01 2
E
1 2
0
PB 平面EFD
（3）解：已知 PB EF，由（2）可知 PB DF，故
设点F的EF坐D标是为二（面x角，yC，-Pz ）B-，D的则平P面F角。x, y, z 1，因