刚体角动量及守恒定律工科
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
第三章 4刚体角动量和守恒
自转初每秒钟 30 - 40次 4 秒自转一次老化的 磁场地球的108～1015倍 产生脉冲波(波霎)周期 0.03～4.3秒 一亿吨/cm3 表面光滑
▲行星状星云，中间的白点可能是中子星
【例15】 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点 O的水平轴转动，图示。当棒从水平位置自由释放后，它
【例13】 质量为 m1长为 l 的细杆，静止平放在粗糙的水平面上， 细杆与水平面之间的摩檫系数为 μ ，可绕通过其端点O，且与
平面垂直的固定轴转动。 另有一水平运动的质量为 m2 的滑快， 从侧面垂直与杆的方向，与杆的另一端A 碰撞。已知滑块碰撞
o 前、后的速度分别为
檫力矩。 ：（2）
v1 与 v 2 求：（1）细杆转动时受到的摩 杆从开始转动到停止所需的时间.
●地球的自转角速度变化？ 变慢！
问题2 水平圆盘边上，站有一人质量为m，圆盘半径为R， 转动惯量为J，以角速度ω转动，如果此人从旁边径直走 到圆盘中心，求：角速度的变化和系统动能的变化？
O
A知识点窍:相对运动和L守恒(系统受的合外力矩为零),
L Li 常量C ,转动动能 E转 J 2 2
B逻辑推理:速度对惯性参照系,行走过程中摩擦力过转轴 （Mf=0）,重力矩与L垂直就是对L没有贡献，即M合=0
C解：（1）求摩擦力矩 取微元dx
dm=dx= m1 dx
x
m1 l
l
dx
对o点的力矩元 dM0 dM0 = x dmg
dM0
=
m1 l
g
x
dx
x
M0 =
l m1g x dx
0l
1 2
m1gl
【例13】 质量为 m1长为 l 的细杆，静止平放在粗糙的水平面 上，细杆与水平面之间的摩檫系数为 μ ，可绕通过其端点O，
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
刚体力学_角动量
dLi Mi = dt
i内 内
的内力矩之和应为零,所以在遍 的内力矩之和应为零 所以在遍 及刚体内所有质点后,可得 及刚体内所有质点后 可得
d ∑ Mi = ∑ Mi外+ ∑ Mi内= ∑ Mi外= dt ( ∑ Li )
合力矩 合内力矩为零 合外力矩M 合外力矩 刚体角动量L 刚体角动量
dL 刚体作定轴转动时 刚体所受合外力矩等于 刚体作定轴转动时,刚体所受合外力矩等于 即 M= 刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率. dt 刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率
转动惯量为J的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动 在时 转动惯量为 的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动,在时 的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动 间 t1 到 t2 内,其角速度由 ω 1变为 ω 2 ,则有 其角速度由 则有
∫
t2
t1
Mdt =
∫
L2
L1
dL = L2 − L1 = J ω 2 − J ω 1
m
解：选质点系: 选质点系 两个钢球+泥球 两个钢球 泥球 碰撞过程， 碰撞过程，
a/2 o a/2
m V0 m
质点系对o点的合外力矩为零， 质点系对 点的合外力矩为零， 点的合外力矩为零 系统角动量守恒. 系统角动量守恒
由角动量守恒定律， 由角动量守恒定律，得： (a/2) mv0
m V
=(a/2)2mv+（a/2）mv （ ）
v v dL M= dt
v v v M d t = L 2 − L1 ∫t1 t2 v 冲量矩 ∫ M dt
t2
t1
对同一参考点O， 对同一参考点 ，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
8 刚体角动量定理 角动量守恒定律
m
p
质点对某参考点的角动量大 小反映其绕参考点旋转运动的 强弱. 2.4.3 质点的角动量定理 对圆周运动的质点 d M J J dt dJ dL M dt dt
P.7/34
大小:
L rmv sin
p
o
方向: 满足右手螺旋
r
质点绕参考点 作圆周运动
i
O
ri
vi
mi
J
P.10/34
第3章 刚体力学基础
2. 刚体定轴转动的角动量定理 刚体对z轴的总角动量
t2
t1
M z dt L2 L1 J 2 2 J11
Lz J
d d Lz M z J J dt dt
t
t0
M dt
称为冲量矩 又称角冲量
t2
t1
M z dt L2 L1 J 2 J1
3.2.4 定轴转动角动量守恒定律 刚体定轴转动的角动量守恒 定律: 刚体所受合外力矩为零, 则刚体的角动量保持不变.
刚体定轴转动的角动量定理: 在一段时间内, 刚体所受合外力 矩的冲量矩等于该时间内刚体 角动量的增量.
L J 恒矢量
M
定义: 力F 对参考点O 的力矩 M 的大小等于此力和力臂(从 参考点到力的作用线的垂直距 离)的乘积.
M1 M 2 M n
ri Fi r1 F1 r2 F2 rn Fn
M Fr Fr sin M rF
M z F r sin
第3章 刚体力学基础
转动定律
《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
刚体的角动量和角动量守恒定律
如图所示，刚体绕转轴 Oz 以角速度 ω 转动。 由于刚体上的每个质元都绕转轴 Oz 做圆周运动，因此都具有一定的角动量。 设第 i 个质元的质量为 mi ，它到转轴的垂直位矢为 ri ，线速度为 vi ，则该质元对转轴的角动量 Li 大 小为 Li miviri miri2
刚体的角动量和角动量守恒定律
计转轴处的摩擦力和空气阻力）。
【解】 把人和转台看作一个系统，系统不受外力矩作用，
其角动量守恒，即 mR2 1 MR2 0
2
解得 2 m
M 负号表示转台转动的方向与人跑动的方向相反。
大学物理
大学物理
刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量
如图所示，质量为 m 的质点相对于某一参考点 O 运动，在某一时刻，质点相对于参考点 O 的位矢为 r， 质点的速度为 v，质点的动量为 p mv ，则位矢 r 与动量 p 的矢积称为质点相对于 O 点的角动量（动量矩）， 用 L 表示，即 L r p r mv
m2 Lv0
Байду номын сангаас
m2 Lv
1 3
m1L2
根据线量与角量的关系 v L ，
可解得子弹和杆一起运动时的角速度 ω 为 3m2v0
(3m2 m1)L
刚体的角动量和角动量守恒定律
， ，
，
，
例题讲解 5
如图所示，质量为 M、半径为 R 的转台，可绕过中心的竖直轴转动。质量为 m 的人站在台的边缘。最
初人和台都静止，后来人在台的边缘开始跑动。设人相对地面的角速度为 ω，求转台转动的角速度 （不
刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量
3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律(时间效应)
刚体对定轴 的角动量定理：刚体对定轴 的角动 量的增量等于外力对该轴 的冲量矩。
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
2. 刚体的角动量守恒定律
《大学物理》教程
（1）刚体对定点 的角动量守恒定律： （2）刚体对定轴 的角动量守恒定律：
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
2. 刚体的角动量守恒定律
《大学物理》教程
（2）刚体对定轴 的角动量守恒定律：
推导：刚体对定轴 z的转动定理：
Mz
dLz dt
若 M z 0 则 Lz I 恒量
★ 刚体对定轴 的角动量守恒定律：如果刚 体所受的外力对定轴 的总力矩始终为零，则 刚体对该定轴 的角动量不变。
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
两边积分
t
L
Mdt
t0
dL
L0
L
L0
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
1. 刚体的角动量定理
t
t0 Mdt L L0
《大学物理》教程
★ 定义：力对定点O 的冲量矩：力对定点的
力矩对时间的累积量
t
Mdt t0
第二阶段：是碰撞过程。碰撞时间极短，冲力 极大，物体受到地面的摩擦力可以忽略；冲力矩 为内力矩抵消，重力和轴的支持力通过轴，不产 生力矩，所以系统外力矩为零，角动量守恒。
取转轴垂直向里为正方向
1 ml 2 mvl 1 ml 2
(2)
3
3
4.3刚体转动角动量 角动量守恒定律
Mdt I2 I1
L I 常量
四 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 M 0 ，则 讨论
守 恒条件
M 0
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中
M in M ex L 常量
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
有许多现象都可以 用角动量守恒来说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水 自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
1 3 J 2 r dr l 0 12 1 ml 2 12
l/2 2
如转轴过端点垂直于棒
1 2 J r dr ml 0 3
l 2
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
注意
d
C
mO
I O I C md
2
1 圆盘对P 轴 J P mR 2 mR 2 的转动惯量 2
P
R O m
三 刚体定轴转动的角动量定理
由质点系角动量定理
dLz d ( I ) Mz dt dt
Hale Waihona Puke t2t1M z dt I2 I1
刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
克服直升飞机机身反转的措施：
装置尾浆推动大 气产生克服机身 反转的力矩 装置反向转动的双 旋翼产生反向角动 量而相互抵消
质量为M，长度为L的均匀杆可绕水平轴O在铅直面内 自由转动，一质量为m的小球以水平速度v与杆的下端 相碰,碰后以反向v’运动，求碰后杆的角速度？
定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
C
零点， 表示棒这时的角速度, 零点，用ω表示棒这时的角速度,则
l 1 11 2 2 2 mg = J ω ＝ ml ω 2 2 23
（ 1）
第二阶段是碰撞过程 。 因碰撞时间极短， 第二阶段是 碰撞过程。 因碰撞时间极短 ， 自由的 碰撞过程 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力， 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略 这样，棒与物体相撞时， 。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对 的外力矩为零，所以， 转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角 动量守恒。 表示物体碰撞后的速度， 动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
讨论： 讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体， 保持不变 保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体 当合外力矩为零时，其角速度恒定。 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当 M z = 0时， J =恒量
ω
=恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时, 若系统由若干个刚体构成 统的角动量依然守恒。 统的角动量依然守恒。J 大→ ω , J 小→ 大。 小 ω
(6)
l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2
的匀质细杆， 例13：一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定 13： 水平轴在铅垂面内自由转动， 水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位 置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O点 l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行 处的杆上， ，如图所示。若要使杆以匀角速度转动 如图所示。 求: 昆虫沿杆爬行的速度。 昆虫沿杆爬行的速度。
r r vi ∆m i L r ri
大学物理 3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
ii
ii
m r 2刚体绕 oz 轴的转动惯量 ii
L J
L
J
z
v
i
o r m
i
i
刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。
二、角动量定理和角动量守恒定理
1.
L
质点角动量定理及守恒定律 r mv 对时间求导 dL r
d
mv
dr
z
L
o
r
mv
L
方向由右手螺旋法则得到：
右手拇 指伸直，其余四指由 矢向径v ，r 通拇过指小所于指方180向0 的就角是弯L
的方向。
r A
900
mv
质点作圆周运动的角动量
L rmv mr 2
2.2刚体的角动量
刚体对 oz轴的角动量为
L m r 2 m r 2
略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。
L rmv 常量
在近地点和远地点 ，所以
2
m
mv
r
l 2
mv R l mv R l
1
1
2
2
v 2
R R
l 1 v
l 1
2
R
o
l 1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
注意 (1)角动量守恒定律不仅适用于刚体，对非刚体同样适用
(2)角动量守恒定律对天体运动以及微观粒子运动同样适用
例3-8 如图，一均质杆，长为L、质量为M。可绕水平
光滑转轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹， 沿水平方向距水平转轴距离为a射入竖直、静止的杆内。
角动量 角动量守恒定律 刚体
2.4.1 角动量
2.4 角动量守恒定律
2.一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零，从而 质点系所有内力矩之和恒为零，即 M i内 0
i
证明：一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零
M内 r i f ij r j f r i f ij r j f ij ( r i r j ) f ij r ij f ij 0
dL L m r v const ; 0 dt
L
o
p F m
r
2.4.1 角动量
2.4 角动量守恒定律
L
v r
r
m
L mvr sin m
dr dt
r sin
1 dr r sin ds 2 2m 2m dt dt
rmgt ; 方向垂直纸面向里
2.4.1 角动量
2.4 角动量守恒定律
• 若质点作匀速直线运动，以 O点为参考点，质点的角动 量为：
L0 r m v r m v const
L0 r m v sin r m v
• 注意：对不同的参考点有不同的角动量
r
x
L
o
m y
v
v
r
kg m s
2
1
2.4.1 角动量
2.4 角动量守恒定律
质点做曲线运动时，对某点具有角动量，质 点做直线运动时是否也具有角动量呢？
质点作变速直线运动时
一个质量为m的质点由A点自由下落，不计 空气阻力。若以A点为参考点，则在任意时 刻t，有：
A
l l0
刚体力学第2讲——定轴转动中的功能关系刚体的角动量定理和角动量守恒定律
动相反方向作圆周运动(如图) 求：1) 圆盘对地的角速度．
2）欲使圆盘对地静止，人应沿着圆周对圆盘的速 度的大小及方向？
R
R/2 v
解：取人和盘为系统，
M 外 0 系统的角动量守恒.
R /2
Ro
v
(1)开始系统的角动量为
m
12 R
2
0
1 2
M
R 20
后来：
m
1 4
R 2 mE
1 2
M
R 2 ME
mE ME mM 21 M R 20 / 40
R /2
Ro
v
MR 40
2
ME
2v R
M
R 2 ME
/2
为
亦即l>6s；当‘’取负值，则棒向右摆，其条件为
3gl 3 2gs 0 亦即l<6s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由 机械能守恒定律求得：
mgh 1 1 ml 2 2
23
把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
解 这个问题可分为三个
阶段进行分析。第一阶段 是棒自由摆落的过程。这
O
时除重力外，其余内力与
外力都不作功，所以机械
能守恒。我们把棒在竖直
C
位置时质心所在处取为势
能零点，用表示棒这时
的角速度，则
mg l 1 J 2＝1 1 ml 2 2
22
23
（1）
5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
5.5 刚体角动量 角动量守恒定理
m P rP m A rA
rA rP
E KP E KA
2 2
A
P A
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rP O
rA
A
而卫星在P、A两点 的动能之比为：
5
2
P
2
A
P
2 2
E KP E KA
rA rP
2 2
( R hA ) ( R hP )
这个结论是普遍适用的，也可以不是刚体而是其他质点系。 分以下几种情况： （1）对刚体，J z 不变， 恒 定 刚体作匀角速转动，又叫惯性转动。这一结果与质点 的惯性运动相对应。
（2）在一孤立系统中，如果系统某一部分的角动量因内在 相互作用而有所改变时，系统的其余部分必须出现一等量 （但反向）角动量改变，使总角动量保持守恒。 由多个刚体组 J i i J 0 0 i i 成的刚体体系
L1 L 2
1 2 2 m 0 l M l m l 3
过程2 质点、细棒上摆，系统中包括地球， 只有保守内力作功，所以机械能守恒。 细棒势能 设末态为势能零点
11 1 2 2 2 M l ml M gl 1 cos mgl 1 cos 23 2
6 第5章刚体的定轴转动
质点势能
2
例3 有一细棒长为 l 质量为M 均匀分布，静止放在滑动摩擦系数为 的水 平桌面上，它可绕通过其端点O ，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，另有 一水平运动的小滑块，质量为 m，以水平速度 从左侧垂直与棒的另一端 作完全弹性碰撞，碰撞时间极短（可忽略摩擦）。求从细棒在碰撞后开始 转动到停止转动过程中所经历的时间。
[理学]05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律
![[理学]05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律](https://img.taocdn.com/s3/m/eba9a1471eb91a37f0115c13.png)
双旋翼直升机不需要尾桨，它通过一对转向相反的螺 旋桨，保持系统的总角动量仍然为零
并轴双旋翼直升机通过在同轴心的内外两轴上安装 一对对转的螺旋桨来防止机身反向打转
鱼雷在其尾部也装有对转螺旋桨，其目的也是 为了消除单螺旋桨造成鱼雷自身的反转问题
为什么同手同脚地走路或 跑步会使人觉得别扭呢？ 当一侧的腿向前跨出时，另 一侧的臂必须同时向前摆出， 这样躯干的上端（肩）和下 端（髋）彼此向相反方向扭 转，而躯干的中段和头部则 大体保持在原来位置上，才 可以保证整个身体对于竖直 轴的角动量保持为零 腿臂的动作正确、协调配合，对加大步长、提高步频 都有一定作用，因而对提高跑步速度有明显影响
对绕定轴转动的可变形物体而言，在不同状态下
物体对转轴的转动惯量可能不同，但是如果它所 受合外力矩为零，那么它的角动量也将保持不变
花样滑冰运动员利用四肢的伸缩改变自身的 转动惯量，可以改变绕自身竖直轴的角速度
合外力矩为零不仅是绕定轴转动刚体角动量守恒的
条件，也是任何质点系对角动量守恒的条件
l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3
l
M
棒的转 子弹的转 动惯量 动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的 水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以 水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损 失3/4，求子弹穿出后棒的角速度 O 取子弹和细杆作为系统，在子弹射入 棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与 M 细杆之间的作用力为内力，转轴上的 l 作用力和重力不产生力矩，系统所受 m 外力矩为零，系统角动量守恒
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刚体的角动量及守恒定律
一、选择题
1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举二哑铃。
在该人把此二哑
铃水平收缩到胸前的过程中，对于人、哑铃与转动平台组成的系统来说，正确的
是： 。
A.机械能守恒，角动量守恒；
B.机械能守恒，角动量不守恒；
C.机械能不守恒，角动量守恒；
D.机械能不守恒，角动量不守恒；
2、 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。
(A) 刚体不受外力矩的作用．
(B) 刚体所受合外力矩为零．
(C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零．
(D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变．
3、一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动．最初板自由下垂．今
有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上．对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，
在碰撞中守恒的量是 。
(A) 动能． (B) 绕木板转轴的角动量．
(C) 机械能． (D) 动量．
4、光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细
杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为31mL 2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同
速率v 相向运动，如图所示。
当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与
杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 。
(A)
L 32v ． (B) L
54v ． (C) L 76v ． (D) L
98v ． (E) L 712v ． 5、如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O
旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 。
(A) 只有机械能守恒．
(B) 只有动量守恒．
(C) 只有对转轴O 的角动量守恒．
(D) 机械能、动量和角动量均守恒．
6、 质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直
光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地
面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向
分别为 。
(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，顺时针． (B) ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，逆时针． (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针． 7、一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.
把人和圆盘取作
O
v
俯视图
系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统 。
(A) 动量守恒．
(B) 机械能守恒．
(C) 对转轴的角动量守恒．
(D) 动量、机械能和角动量都守恒．
(E) 动量、机械能和角动量都不守恒．
8、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为23
1ML 。
一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 2
1，则此时棒的角速度应为 。
(A) ML m v ． (B) ML
m 23v ． (C) ML m 35v ． (D) ML
m 47v ． 9、一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，
(A) 它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变．
(B) 它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小．
(C) 它受热或遇冷时，角速度均变大．
(D) 它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大．
10、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转
动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反
并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω 。
(A) 增大． (B) 不变．
(C) 减小． (D) 不能确定．
二、填空题
1、力矩的定义式为______________________________________________。
在力
矩作用下，一个绕轴转动的物体作__________________________运动。
若系统所
受的合外力矩为零，则系统的________________________守恒。
2、一转台绕竖直固定光滑轴转动，每10 s 转一周，转台对轴的转动惯量为1200 kg ·m 2。
质量为80kg 的人，开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，问当人离转台中心2m 时， 转台的角速度为__________________。
3、如图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动．今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而
嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的
______________守恒，原因是_______________木球被击中后棒和球升
高的过程中，木球、子弹、细棒、地球系统的__________守恒。
4、有一半径为R 的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O 且垂直于盘面的竖直固定轴OO ＇转动，转动惯量为J ．台上有一人，质量为m ．当他站在离转轴r 处时(r ＜R )，转台和人一起以ω1的角速度
转动，如图．若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转
台和人一起转动的角速度ω2＝______________。
俯视图
m m 1
5、在一水平放置的质量为m 、长度为l 的均匀细杆上，套着一质量也为m 的套管B (可看作质点)，套管用细线拉住，它到竖直的光滑固定轴OO ＇的距离为l 21，杆和套管所组成的系统以角速度ω0绕OO ＇轴转动，如图所示。
若在转动过程中细线被拉断，套管将沿着杆滑动．在套
管滑动过程中，该系统转动的角速度ω与套管离轴的距离x 的函
数关系为_______________。
(已知杆本身对OO ＇轴的转动惯量为231ml ) 6、质量为m 、长为l 的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的竖直光滑固定轴O 在水平面内自由转动(转动惯量J ＝m l 2 / 12)．开始时棒静止，现有一子弹，质量也是m ，在水平面内以速度v 0垂直射入棒端并嵌在其中．则子弹嵌入后棒的角速度ω ＝_____________________。
7、一飞轮以角速度ω0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动
惯量为J 1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系统的角速度ω＝__________________。
8、长为l 、质量为M 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为231Ml ，开始时杆竖直下垂，如图所示．有一质量为m 的子弹以水平速度0v 射入杆上A 点，并嵌在杆中，OA ＝2l / 3，
则子弹射入后瞬间杆的角速度ω ＝____________________。
三计算题
1、如图所示，一半径为R 的匀质小木球固结在一长度为l
的匀质细棒的下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动．今有一质量为m ，速度为0v 的子弹，沿着与水平面成α角的方向射向球心，且嵌于球心．已知小木球、细棒对通过O 的水平轴的转动惯量的总和为J ．求子弹嵌入球心后系统的共同角速度．
2、一均匀木杆，质量为m 1 = 1 kg ，长l = 0.4 m ，可绕通过它的中点且与杆身垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动．设杆静止于竖直位置时，一质量为m 2 = 10 g 的子弹在距杆中点l / 4处穿透木杆(穿透所用时间不计)，子弹初速度的大小v 0 = 200 m/s ，方向与杆和轴均垂直．穿出后子弹速度大小减为v = 50 m/s ，但方向未变，求子弹刚穿出的瞬时，杆的角速度的大小．(木杆绕通过中点的垂直轴的转动惯量J = m 1l 2 / 12)
3、一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一
粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过
其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为
m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘
边上，求 (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．
(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为22
1MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) m 0v 俯视图。