2.数学建模-如何提出假设
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§3. 如何作好建模过程中的假设
1. 根据实际问题需要提出新的不同假设 席位分配问题： 实例 席位分配问题：甲，乙，丙三个公司各投资 103万元，63万 元，34 万元组建联合企业集团。为了成立由 20 人组成的集团董事 会，按 投资数比例分配 董事席位如下： 甲公司 10人 ( ( 20× (103 / (103+63+34) ) = 20×51.5% = 10.3人 ) ， 乙公司 6人 ( 20× (63 / (103+63+34) ) = 20×31.5% = 6.3人 ) ， 丙公司 4人 ( 20× (34 / (103+63+34) ) = 20×17 % = 3.4人 )。 经一段时间后，委员会需要增加一个代表席位，变为 21人董事会， 根据投资数比例分配办法，重新计算如下： 甲公司 11人（21×51.5% = 10.8 人）， 乙公司 7人（21×31.5% = 6.61 人）， 丙公司 3人（21×17 % = 3.57 人）。 出现 反常现象（Alabama Paradox）！ 问题分析：“按投资数比例分配席位是科学合理 ”的说法，在增 问题分析： 加 席位这一新问题上，显然是一个不成功的假设。需提出新的假设， 并建立新的席位分配模型，以期解决在增加代表人数时，某个单位 不仅得不到代表增加数，反而减少原有代表数的问题。
假设修改： 假设修改：假定任何时刻销售量对时间的增长率 r 是销售量 x ( t ) 的递 减函数 r = r ( x ) 。 为简单计，设增长率 r( x ) 是 x ( t ) 的 线性减函数 ： r(x) = r0 - k·x 这里 r0 为当x = 0 的增长率（常数），称为固有增长率。k为待定常 数。如设销售量的最大极限数为 xm（常数），则当 x = xm 时， r0 r(xm) = 0. 由此， x
若记
Q
=
p n (n
2
+ 1)
↔ r1 < r2
称之为 Q 值（Quota），则 “ 给甲公司增席 给甲公司增席” 公司增席
↔
2 p12 p2 p2 (n1 + 1) p1 (n2 + 1) ↔ > < n1 (n1 + 1) n2 (n2 + 1) p1n2 p2 n1
↔ Q1 > Q2 . 上述建模方法因此称为 “比较 Q 值大小法 ” ，简称 “Q值 法 ” ， 具体地说，就是在现有的席位分配状态下，各自计算Q值，哪个Q值 大，就增加一席给哪个公司。至于开始的分配方案，可以均取为一 席，然后用上述Q值法从第三席起进行增席操作，直止所有席位分配 完毕。这样建立的席位分配模型，显然能够解决问题而不出现 Alabama Paradox 。 这种模型也适用于两个公司以上的多公司情况。
分配席位过程中，“公平”是一个原则。“公平” 的数量化度量方 “公平” “公平” 法是 考虑代表率。但由于人数需取整原因，不可能做到绝对公平，即绝 对按代表率数值来分配整数席位是无法实施的，因此在评价两种都 不是绝对公平的方案时，要对不公平程度作出数量化度量，以不公 平程度最小为取舍原则。 什么是一个方案的 不公平程度的数量度量 ？先研究只有两个公司 的情况。如果已有分配方案： 公司 投资数 席位 代表率 甲公司 p1 n1 p1 / n1 乙公司 p2 n2 p2 / n2 假定 p1 / n1 > p2 / n2 , 即对甲公司存在不公平因素 。借用数学中的 有关概念, 引入该方案的相对不公平值 r 来量化这个不公平因素 ：
问题的最后答案是：甲公司 11席，乙公司 6席，丙公司 4席。
从分配过程中可看到，实际上总共20个席位时，分配方案是（11， 6，3），而不是（ 10，6，4 ），在此基础上再增一席，就变成了 （11，6，4） 我们称 Q值法 ，即分配方案的相对不公平值应最小 ，是建立 席位分配模型的一种假设 ，而不是一种真理，这表明还可以提出另 外种种假设，从而可能得到席位分配模型的另外的解答方案。 例如，在多公司席位分配问题中，认为衡量各种方案中不公平 程度最小的数量指标是 rmax 最小值 ，从而得到 rmax最小法 ， 这种方法的操作过程是：设想将增加一席分别给某公司，共有若 干个（n 个）方案，每个方案中公司与公司之间都可以算出一个相 对不公平值 r，一共可得到 n（n+1）/ 2 个 r 值，其中最大的一个 r 值称为该方案的 rmax 值，在 n 个 rmax 值中最小的值，称为 rmax 最小 值 ，它所对应的分配方案就认为是相对而言最为公平合理的方案。 考察以下分配 13 个席位后，再增加一席时的操作实例： 投资数比例值 此时 Q 值 公司 投资数 已分配席位数 25/ 139 = 0.179 104.16 甲公司 25 2 100/139 = 0.719 90.9 乙公司 100 10 14/139 = 0.101 98 丙公司 14 1
(2)
rmax = （14 - 9.09）/ 9.09 = 0.54
(3)
rmax = （12.5 - 7）/ 7 = 0.785
根据 rmax最小法 ，应取方案（2）,即 ( 2 , 11 , 1 ) 为相对而言最为 “ 公平合理 ” 的增席方案。
应该注意到，根据 Q 值法 ，在 （2 ，10 ，1 ）时，相应的 Q 值分 别为 （104.1 , 90.9 , 98 ) , 故增一席时应取方案（1）， 即 ( 3 , 10 , 1 ) ； 而根据 按投资数比例法 ( 14×0.179 = 2.506 ≈ 3 ; 14×0.719 = 10.07 ≈ 10 ; 14×0.101 = 1.41≈ 1 ) ， 也应取方案（1），即 ( 3 , 10 , 1 ) ！ 该问题产生了两个相互矛盾但都为 “ 正确 ” 的解答 ！ 在《数学模型》（高教出版社）第 55页习题 1中，还介绍了一 种比利时大学生 Victor D’hondt 提出的 D’Hondt 法 ，请分析一下他 提出的方案公平（不公平）程度数量化方法（建模新假设）是什 么？这种方法是否可以解决增席问题？它与这里介绍的 Q值法 和 rmax最小法 在具体操作中是否会有不一样的结果？如果有不一样的 情况，则可以说明 Q值法 、rmax最小法 和 D’Hondt 法 是不一样的 三种方法。 （提示：考察三公司人数分别为25，100，14；席位总数为 8 的分 配问题。Q 值法 结果是：1，6，1 ；rmax 最小法 结果是： 2，5， 1 ； D’Hondt 法 结果是： 1，7，0 。）
你能提出第四种解决增席问题的方法吗？ 你能提出第四种解决增席问题的方法吗？
2. 模型假设的补充修改 电饭锅销售量预测问题： 实例 电饭锅销售量预测问题：根据某些统计数据寻求销售量 x 随时 间 t 变化的曲线 x = x（t）, 从而给决策部门提供 销售预测信息 ，以 便在最佳时间点 上推出新一代的产品。 假设： 假设：新产品面世一段时间内，任何时刻销售量关于时间的 增长率 是一常数 r 。 建模： 建模：记 x（t）为销售量，t 为时间。在某时刻起的某段时间间隔 内，由假设可得： 销售量 x 的 增长量 为 x（t + △t）- x（t） = △x（t） ； 单位时间的增长量为 单位时间的增长量为
在此（ 2 ， 10 ， 1 ）的基础上，如果要增加一席有三种方案： p n p/n 25 3 8.33 (1) 100 10 10 rmax = （14 - 8.33）/ 8.33 = 0.68 14 1 14 p 25 100 14 p 25 100 14 n 2 11 1 n 2 10 2 p/n 12.5 9.09 14 p/n 12.5 10 7
这段时间间隔内平均增长率为
∆ x ∆ t x (t )
∆t→ 0
∆x ∆t
;
t 时刻的（瞬时）增长率为
lim
∆x & ∆ t = x (t ) x (t ) x (t )
;
由假设得模型：
& x (t ) = r x (t ) x (0 ) = x 0
.
这里 x（0）= x0 为面世时的销售基数（可认为是为作广告的赠送 品数目）。 求解： 求解：
例如我们来解决本节开始提出的三公司分配董事会席位问题：
公司 （投资数） 席位数 （Q值） 甲公司（103万元） 1 （5304.5） 2（1768.2） 2（1768.2） 乙公司（63万元） 1 （1984.5）——→ 1（1984.5）——→ 2（661.5） 丙公司（34万元） 1 （578） 1 （578） 1 （578） 3（884.1） 4（530.5） 4（530.5） 4（530.5） ——→2（661.5）——→2（661.5）——→3（330.8）——→ 3（330.8） 1（578） 1（578） 1 （578） 2（192.7） 5（353.6） 6（252.6） 6（252.6） 7（189.4） ——→3（330.8）——→3（330.8）——→ 4（198.5）——→ 4（198.5） 2（192.7） 2（192.7） 2 （192.7） 2 （192.7） 7（189.4） 7（189.4） 8（147.3） 9（117.9） ——→5（132.3）——→5（132.3）——→ 5（132.3）——→ 5（132.3） 2（192.7） 3（96.3） 3 （96.3） 3 （96.3） 9（117.9） 10（96.4） 11（80.4） 11 ——→6（94.5）——→ 6（94.5）——→ 6（94.5）——→ 6 3（96.3） 3（96.3） 3（96.3） 4
p 2 (n1 + 1) r1 = −1 p1 n2
,
Biblioteka Baidu
p1 (n2 + 1) r2 = −1 p 2 n1
我们现在为了解决两公司情况中增席而不发生反常现象（Alabama Paradox）的问题，认为 “取相对不公平值为最小的方案来操作 ” 是 能够建立科学合理的席位分配模型的（一种新假设 ）。在这种最合 理的假设下，我们的操作过程（建立模型过程）为比较 r1 和 r2 的 如果 r1 > r2 ， 则给乙公司增席； 大小： 如果 r 2 > r1 ， 则给甲公司增席。
再分析： 再分析：
销售量 x ( t ) 随时间 t 变化的曲线
销售速度 x’( t ) 随时间 t 变化的曲线
由上面两图可知, (1) 当
t → +∞
时,
x(t ) → x m
;
(2) 当 t < t* 时, 销售速度 x’ ( t ) 不断递增; 当 t > t* 时, 销售速度 x’ ( t ) 不断递减; 当 t = t* 时, 此时 x ( t* ) = xm / 2 , 销售速度 x’( t ) 达到最大值.
p1 p2 − n1 n2 p1n 2 r = = −1 p2 p 2 n1 n2
这时，若再增加一席，有两种方案： 甲 乙 和 甲 乙 p1 p2 p1 p2 n1+1 n2 n1 n2+1 p1 /（n1+1） p2 / n2 p1 / n1 p2 /（n2+1）
它们各自有两个相对不公平值 r1 和 r2 :
k=
xm
, r ( x) = r0 ⋅ (1 −
xm
)
这样，假设的数学表示式可写为： 再建模： 再建模：
再求解： 再求解：
& x(t ) x(t ) = r0 (1 − ) xm x(t ) x(0) = x0 xm x(t ) = xm − r0t 1 + ( − 1) ⋅ e x0
x(t) = x0·ert .
分析： 将 t 离散化 : t = 1 , 2 , 3 , 4 , …. 分析： 记 er = q > 1 , 则 x = x0 qn (n = 1 . 2 , 3 , …). 说明该模型曲线是一条 几何增长曲线. 在新产品面世初期, 模型经检验有效. 但持续一段时间 后, 显见不再有合理性.如销售量不能无限制地增加，市场应有一个 饱和度。如何修改模型使得销售中后期情况也能在模型里得到反映？ 检视建模过程可以看出，应该修改假设的不合理处：当销售量增 加到一定量后，增长率不应该为常数，而应该逐渐减少。
1. 根据实际问题需要提出新的不同假设 席位分配问题： 实例 席位分配问题：甲，乙，丙三个公司各投资 103万元，63万 元，34 万元组建联合企业集团。为了成立由 20 人组成的集团董事 会，按 投资数比例分配 董事席位如下： 甲公司 10人 ( ( 20× (103 / (103+63+34) ) = 20×51.5% = 10.3人 ) ， 乙公司 6人 ( 20× (63 / (103+63+34) ) = 20×31.5% = 6.3人 ) ， 丙公司 4人 ( 20× (34 / (103+63+34) ) = 20×17 % = 3.4人 )。 经一段时间后，委员会需要增加一个代表席位，变为 21人董事会， 根据投资数比例分配办法，重新计算如下： 甲公司 11人（21×51.5% = 10.8 人）， 乙公司 7人（21×31.5% = 6.61 人）， 丙公司 3人（21×17 % = 3.57 人）。 出现 反常现象（Alabama Paradox）！ 问题分析：“按投资数比例分配席位是科学合理 ”的说法，在增 问题分析： 加 席位这一新问题上，显然是一个不成功的假设。需提出新的假设， 并建立新的席位分配模型，以期解决在增加代表人数时，某个单位 不仅得不到代表增加数，反而减少原有代表数的问题。
假设修改： 假设修改：假定任何时刻销售量对时间的增长率 r 是销售量 x ( t ) 的递 减函数 r = r ( x ) 。 为简单计，设增长率 r( x ) 是 x ( t ) 的 线性减函数 ： r(x) = r0 - k·x 这里 r0 为当x = 0 的增长率（常数），称为固有增长率。k为待定常 数。如设销售量的最大极限数为 xm（常数），则当 x = xm 时， r0 r(xm) = 0. 由此， x
若记
Q
=
p n (n
2
+ 1)
↔ r1 < r2
称之为 Q 值（Quota），则 “ 给甲公司增席 给甲公司增席” 公司增席
↔
2 p12 p2 p2 (n1 + 1) p1 (n2 + 1) ↔ > < n1 (n1 + 1) n2 (n2 + 1) p1n2 p2 n1
↔ Q1 > Q2 . 上述建模方法因此称为 “比较 Q 值大小法 ” ，简称 “Q值 法 ” ， 具体地说，就是在现有的席位分配状态下，各自计算Q值，哪个Q值 大，就增加一席给哪个公司。至于开始的分配方案，可以均取为一 席，然后用上述Q值法从第三席起进行增席操作，直止所有席位分配 完毕。这样建立的席位分配模型，显然能够解决问题而不出现 Alabama Paradox 。 这种模型也适用于两个公司以上的多公司情况。
分配席位过程中，“公平”是一个原则。“公平” 的数量化度量方 “公平” “公平” 法是 考虑代表率。但由于人数需取整原因，不可能做到绝对公平，即绝 对按代表率数值来分配整数席位是无法实施的，因此在评价两种都 不是绝对公平的方案时，要对不公平程度作出数量化度量，以不公 平程度最小为取舍原则。 什么是一个方案的 不公平程度的数量度量 ？先研究只有两个公司 的情况。如果已有分配方案： 公司 投资数 席位 代表率 甲公司 p1 n1 p1 / n1 乙公司 p2 n2 p2 / n2 假定 p1 / n1 > p2 / n2 , 即对甲公司存在不公平因素 。借用数学中的 有关概念, 引入该方案的相对不公平值 r 来量化这个不公平因素 ：
问题的最后答案是：甲公司 11席，乙公司 6席，丙公司 4席。
从分配过程中可看到，实际上总共20个席位时，分配方案是（11， 6，3），而不是（ 10，6，4 ），在此基础上再增一席，就变成了 （11，6，4） 我们称 Q值法 ，即分配方案的相对不公平值应最小 ，是建立 席位分配模型的一种假设 ，而不是一种真理，这表明还可以提出另 外种种假设，从而可能得到席位分配模型的另外的解答方案。 例如，在多公司席位分配问题中，认为衡量各种方案中不公平 程度最小的数量指标是 rmax 最小值 ，从而得到 rmax最小法 ， 这种方法的操作过程是：设想将增加一席分别给某公司，共有若 干个（n 个）方案，每个方案中公司与公司之间都可以算出一个相 对不公平值 r，一共可得到 n（n+1）/ 2 个 r 值，其中最大的一个 r 值称为该方案的 rmax 值，在 n 个 rmax 值中最小的值，称为 rmax 最小 值 ，它所对应的分配方案就认为是相对而言最为公平合理的方案。 考察以下分配 13 个席位后，再增加一席时的操作实例： 投资数比例值 此时 Q 值 公司 投资数 已分配席位数 25/ 139 = 0.179 104.16 甲公司 25 2 100/139 = 0.719 90.9 乙公司 100 10 14/139 = 0.101 98 丙公司 14 1
(2)
rmax = （14 - 9.09）/ 9.09 = 0.54
(3)
rmax = （12.5 - 7）/ 7 = 0.785
根据 rmax最小法 ，应取方案（2）,即 ( 2 , 11 , 1 ) 为相对而言最为 “ 公平合理 ” 的增席方案。
应该注意到，根据 Q 值法 ，在 （2 ，10 ，1 ）时，相应的 Q 值分 别为 （104.1 , 90.9 , 98 ) , 故增一席时应取方案（1）， 即 ( 3 , 10 , 1 ) ； 而根据 按投资数比例法 ( 14×0.179 = 2.506 ≈ 3 ; 14×0.719 = 10.07 ≈ 10 ; 14×0.101 = 1.41≈ 1 ) ， 也应取方案（1），即 ( 3 , 10 , 1 ) ！ 该问题产生了两个相互矛盾但都为 “ 正确 ” 的解答 ！ 在《数学模型》（高教出版社）第 55页习题 1中，还介绍了一 种比利时大学生 Victor D’hondt 提出的 D’Hondt 法 ，请分析一下他 提出的方案公平（不公平）程度数量化方法（建模新假设）是什 么？这种方法是否可以解决增席问题？它与这里介绍的 Q值法 和 rmax最小法 在具体操作中是否会有不一样的结果？如果有不一样的 情况，则可以说明 Q值法 、rmax最小法 和 D’Hondt 法 是不一样的 三种方法。 （提示：考察三公司人数分别为25，100，14；席位总数为 8 的分 配问题。Q 值法 结果是：1，6，1 ；rmax 最小法 结果是： 2，5， 1 ； D’Hondt 法 结果是： 1，7，0 。）
你能提出第四种解决增席问题的方法吗？ 你能提出第四种解决增席问题的方法吗？
2. 模型假设的补充修改 电饭锅销售量预测问题： 实例 电饭锅销售量预测问题：根据某些统计数据寻求销售量 x 随时 间 t 变化的曲线 x = x（t）, 从而给决策部门提供 销售预测信息 ，以 便在最佳时间点 上推出新一代的产品。 假设： 假设：新产品面世一段时间内，任何时刻销售量关于时间的 增长率 是一常数 r 。 建模： 建模：记 x（t）为销售量，t 为时间。在某时刻起的某段时间间隔 内，由假设可得： 销售量 x 的 增长量 为 x（t + △t）- x（t） = △x（t） ； 单位时间的增长量为 单位时间的增长量为
在此（ 2 ， 10 ， 1 ）的基础上，如果要增加一席有三种方案： p n p/n 25 3 8.33 (1) 100 10 10 rmax = （14 - 8.33）/ 8.33 = 0.68 14 1 14 p 25 100 14 p 25 100 14 n 2 11 1 n 2 10 2 p/n 12.5 9.09 14 p/n 12.5 10 7
这段时间间隔内平均增长率为
∆ x ∆ t x (t )
∆t→ 0
∆x ∆t
;
t 时刻的（瞬时）增长率为
lim
∆x & ∆ t = x (t ) x (t ) x (t )
;
由假设得模型：
& x (t ) = r x (t ) x (0 ) = x 0
.
这里 x（0）= x0 为面世时的销售基数（可认为是为作广告的赠送 品数目）。 求解： 求解：
例如我们来解决本节开始提出的三公司分配董事会席位问题：
公司 （投资数） 席位数 （Q值） 甲公司（103万元） 1 （5304.5） 2（1768.2） 2（1768.2） 乙公司（63万元） 1 （1984.5）——→ 1（1984.5）——→ 2（661.5） 丙公司（34万元） 1 （578） 1 （578） 1 （578） 3（884.1） 4（530.5） 4（530.5） 4（530.5） ——→2（661.5）——→2（661.5）——→3（330.8）——→ 3（330.8） 1（578） 1（578） 1 （578） 2（192.7） 5（353.6） 6（252.6） 6（252.6） 7（189.4） ——→3（330.8）——→3（330.8）——→ 4（198.5）——→ 4（198.5） 2（192.7） 2（192.7） 2 （192.7） 2 （192.7） 7（189.4） 7（189.4） 8（147.3） 9（117.9） ——→5（132.3）——→5（132.3）——→ 5（132.3）——→ 5（132.3） 2（192.7） 3（96.3） 3 （96.3） 3 （96.3） 9（117.9） 10（96.4） 11（80.4） 11 ——→6（94.5）——→ 6（94.5）——→ 6（94.5）——→ 6 3（96.3） 3（96.3） 3（96.3） 4
p 2 (n1 + 1) r1 = −1 p1 n2
,
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p1 (n2 + 1) r2 = −1 p 2 n1
我们现在为了解决两公司情况中增席而不发生反常现象（Alabama Paradox）的问题，认为 “取相对不公平值为最小的方案来操作 ” 是 能够建立科学合理的席位分配模型的（一种新假设 ）。在这种最合 理的假设下，我们的操作过程（建立模型过程）为比较 r1 和 r2 的 如果 r1 > r2 ， 则给乙公司增席； 大小： 如果 r 2 > r1 ， 则给甲公司增席。
再分析： 再分析：
销售量 x ( t ) 随时间 t 变化的曲线
销售速度 x’( t ) 随时间 t 变化的曲线
由上面两图可知, (1) 当
t → +∞
时,
x(t ) → x m
;
(2) 当 t < t* 时, 销售速度 x’ ( t ) 不断递增; 当 t > t* 时, 销售速度 x’ ( t ) 不断递减; 当 t = t* 时, 此时 x ( t* ) = xm / 2 , 销售速度 x’( t ) 达到最大值.
p1 p2 − n1 n2 p1n 2 r = = −1 p2 p 2 n1 n2
这时，若再增加一席，有两种方案： 甲 乙 和 甲 乙 p1 p2 p1 p2 n1+1 n2 n1 n2+1 p1 /（n1+1） p2 / n2 p1 / n1 p2 /（n2+1）
它们各自有两个相对不公平值 r1 和 r2 :
k=
xm
, r ( x) = r0 ⋅ (1 −
xm
)
这样，假设的数学表示式可写为： 再建模： 再建模：
再求解： 再求解：
& x(t ) x(t ) = r0 (1 − ) xm x(t ) x(0) = x0 xm x(t ) = xm − r0t 1 + ( − 1) ⋅ e x0
x(t) = x0·ert .
分析： 将 t 离散化 : t = 1 , 2 , 3 , 4 , …. 分析： 记 er = q > 1 , 则 x = x0 qn (n = 1 . 2 , 3 , …). 说明该模型曲线是一条 几何增长曲线. 在新产品面世初期, 模型经检验有效. 但持续一段时间 后, 显见不再有合理性.如销售量不能无限制地增加，市场应有一个 饱和度。如何修改模型使得销售中后期情况也能在模型里得到反映？ 检视建模过程可以看出，应该修改假设的不合理处：当销售量增 加到一定量后，增长率不应该为常数，而应该逐渐减少。