2.数学建模-如何提出假设
数学建模方法
数学建模方法与案例第一部分数学建模方法介绍一、数学建模过程1.提出问题对一个具体的问题，尽可能用数学语言加以提炼和刻画.2.识别问题对问题进行必要的分析，判定该问题所属类别：概率统计模型；微分方程模型；优化模型等等（很多时候问题是交叉的）.3.提出假设在建模过程中，对模型做出基本假设，是建模的一个重要过程！它反映了作者对问题的理解.4.建模将问题提炼成一个完整的数学表达式！5.求解并解释模型用适当的数学工具对所得到的数学模型进行求解（强调：能用简单方法进行求解则不要用高级方法求解），并对结果做数学上的分析.6.模型检验将模型应用于已知问题并对问题做出解释.7.修改模型对模型检验中所出现的问题做进一步的分析并修改已有模型使之更完善.8.模型应用将所得到的模型具体应用到生产管理中以发挥相应的作用.二、数学建模方法1.演绎法根据对模型的认识，用数学方法进行逻辑上的分析以期寻找其中的相关关系，从而建立对应的模型并用一定的数学方法进行求解.微分方程模型，优化模型基本属于该范畴.2.测试分析法测试分析法往往将研究对象视为“黑洞”系统，通过对已有的数据做统计分析，寻找内部特征再建立相应的模型并加以求解.概率统计模型、回归模型基本属于该范畴.三、处理实际问题的建模过程1.根据问题，大致确定该模型的类别；2.对于较专业的问题，要比较深入探讨问题的背景，尽可能搞清楚问题的本质；3.对问题的数据做仔细的分析，寻找数据中的相关关系；4.做基本的假设;5.遵循从简到烦的原则，先处理简单问题，然后逐步细化和深入；6.认真写好摘要，在摘要中体现作者的基本想法，处理问题的过程和主要结果，摘要一定要符合规范；7.撰写建模论文，注意时间节点的控制.第二部分数学建模案例分析模型1蠓虫分类问题背景两种蠓虫Af 和Apf 已由生物学家W.L.Grogon 和W.W.Wirth （1981）根据它们的触角长度、翅膀长度加以区分.现测得6只Apf 和9只Af 的触长、翅膀长的数据如下：Apf()1.14,1.78()1.18,1.96()1.20,1.86()1.26,2.00()1.28,2.00()1.30,1.96Af ()1.24,1.72()1.36,1.74()1.38,1.64()1.38,1.82()1.38,1.90()1.40,1.70()1.49,1.82()1.54,1.82()1.56,2.08问题⑴如何根据以上数据，制定一种方法正确区分两种蠓虫？⑵将你的方法用于触长、翅长分别为()()()1.24,1.80,1.28,1.84,1.40,2.04的3个样本进行识别.如何考虑？该问题属于统计模型范畴！（属于黑洞问题）1.首先对已有数据进行分析.（测试）画出相应的散点图什么启发？从图中可以看出，两类蠓虫有明显的差别.问题是该如何识别.法1用最小二乘法得到回归线：结果不理想.法2用斜率的平均值构造直线结果？图中不同类别的蠓虫的区别还是比较明显的.如何做进一步的识别？用此方法对给定的三个蠓虫进行识别，若点在直线的上方，则判定为Apf，否则定为Af.由此建立识别函数dist.m.对给定的样本进行识别，如果样本点在直线上方，则将该蠓虫识别为Apf（标示为1）,否则识别为Af（标示为0）.clear,clcApf1=[1.14,1.18,1.20 1.26 1.28 1.30];Apf2=[1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96];Af1=[1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56]; Af2=[1.72 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 2.08]; x=[Apf1,Af1];y=[Apf2,Af2];n=length(x);k=sum(y./x)/n;A=[1.24,1.80;1.28,1.84;1.40,2.04];n=size(A,1);p=[];for i=1:nd=A(i,2)-k*A(i,1);if d>0p=[p,1];elsep=[p,0];endenddisp(p)结果为111即：三个新样本的判定结果均为Apf！这样的判定是否有效？（模型解释）为解释判别法的有效性，引入交叉误判率.交叉误判率是每次剔除一个样品，利用其余的训练样本建立判别准则，根据建立的判别准则对删除的样品进行判定，以其误判的比例作为误判率.具体过程如下：①从总体为1G 的训练样本开始，剔除其中每一个样品，剩余的1m −个样品与2G 中的全部样品建立判别函数；②用建立的判别函数对剔除的样品进行判别；③重复上述步骤，直到1G 中的全部样品依次被剔除、判别，其误判的总数记为12m ；④对2G 的样品重复步骤①②③，直到2G 中的样品全部被剔除、判别，其误判的个数记为21,m 交叉误判率的估计值为1221ˆ.m m p m n+=+程序为clear,clcApf1=[1.14,1.18,1.20 1.26 1.28 1.30];Apf2=[1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96];Af1=[1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56]; Af2=[1.72 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 2.08]; x=[Apf1,Af1];y=[Apf2,Af2];m1=length(Apf1);m2=length(Af1);n=length(x);k=sum(y./x)/n;A=[x',y'];p1=[];p2=[];for i=1:m1b=A(i,:);B=A;B(i,:)=[];b1=B(:,1);b2=B(:,2);k=sum(b2./b1)/(n-1);d=b(2)-k*b(1);if d>0p1=[p1,1];elsep1=[p1,0];endendfor i=m1+1:nb=A(i,:);B=A;B(i,:)=[];b1=B(:,1);b2=B(:,2);k=sum(b2./b1)/(n-1);d=b(2)-k*b(1);if d>0p2=[p2,1];elsep2=[p2,0];endenddisp(p1),disp(p2)结果为111111000000000结论：在这样的判定法则下，交叉误判率为零，说明方法还是有效的.模型2饮酒驾车问题一、问题背景据报道，2003年全国道路交通死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例.针对这种严重的道路交通情况，国际质量监督检查检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准，新标准规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升为饮酒驾车；血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车.大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果却会不一样？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1.对大李的情况做出解释；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：⑴酒是自很短时间内喝的；⑵酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的.3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间内最高？4.根据你的模型论证;如果天天喝酒，是否还能开车？5.根据你的论证并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车的忠告.参考数据∼左右，其中血液只占体重的7%左右.而药物（包括⑴人的体液占人的体重65%70%酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大致相同.⑵体重在70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克/百毫升），得到数据如下：时间/小时0.250.50.751 1.252 2.53 3.54 4.55酒精含量306875828277686858515041时间/小时678910111213141516酒精含量3835282518151210774（酒精含量单位：毫克/百毫升）二、问题分析显然，该问题是微分方程模型.饮酒后，酒精先从肠胃吸收进入血液与体液中，然后从血液与体液向外排泄.由此建立二室模型：大李在喝酒以后，酒精先从吸收室（肠胃）进入中心室（血液也体液），然后从中心室向体外排除.设在时刻t 时，吸收室的酒精含量为()1x t ，中心室的酒精含量为()2x t ，酒精从吸收室进入中心室的速率系数为1k ，()()12,yt y t 分别表示在时刻t 时两室的酒精含量（毫克/百毫升），2k 为中心室的酒精向外排泄的速率系数.在适度饮酒没有酒精中毒的条件下，12,k k 都是常量，与饮酒量无关.假定中心室的容积V （百毫升）是常量，在时刻0t =时中心室的酒精含量为0，而吸收室的酒精含量为02g ，酒精从吸收室进入中心室的速率与吸收室的酒精含量成正比；大李第二次喝一瓶啤酒是在第一次检查后的两小时后.三、建模与解模1.模型建立由已知条件得到吸收室酒精含量应满足的微分方程为()111d d x k x t t=−，相应的初始条件是()1002x g =；而中心室酒精含量应满足的微分方程为()()21122d d x k x t k x t t=−相应的初始条件为()20x t =.由此建立问题的数学模型：()()()()()11121122102,,02,00.x k x t x k x t k x t x g x ⎧=−⎪=−⎨⎪==⎩̇̇2.解模调用MatLab 下的求解函数，输入下面语句syms x1x2k1k2g0[x1,x2]=dsolve('Dx1=-k1*x1','Dx2=k1*x1-k2*x2','x1(0)=2*g0','x2(0)=0');x=simple([x1,x2]);该微分方程组的解为()()()12110012122e ,2e e .k t k t k tx t g g k x t k k −−−⎧=⎪⎨=−⎪−⎩中心室的酒精含量（百毫升）()()()()2121012122e e e e V k t k t k t k tg k y t k k k −−−−=−−−≜其中()()0112122V g k k k k k k =≠−，上式即为短时间内喝完两瓶啤酒后中心室酒精含量率所对应的数学模型.为得到模型中的未知参数，采用非线性拟合方法.编写求解程序：k0=[2,1,80];fun=inline('k(3)*(exp(-k(2)*t)-exp(-k(1)*t))','k','t');[k,r]=nlinfit(t,x,fun,k0);disp(k)hold onx1=k(3)*(exp(-k(2)*t)-exp(-k(1)*t));plot(t,x1)此时相应的k 值为2.00790.1855114.4325图形为图形表明，拟合效果不错.再画出相应的残差图：残差分析表明模型比较理想.将计算结果代入表达式，得到在时刻t 时中心室酒精含量（百毫升）的函数表达式()()0.1855 2.00792114.4325e e t t y t −−=−.模型应用若大李仅喝一瓶酒，此时12k k ′=，因此相应的模型为()()0.1855 2.0079257.2163e e t t y t −−=−再将6t =代入得()()0.18556 2.0079626114.4325e e 18.799320y −×−×=−≈<即大李此时符合驾车标准.假设大李在晚上8点迅速喝完一瓶啤酒，以()1z t 和()2z t 分别代表在时刻t 时吸收室及中心室的含酒量（0t =代表晚上8点），则()()10108z g x =+，由此得到微分方程：()()()()()()()()()1112112210122d ,d d ,d 08,08.z t k z t t z t k z t k z t t z g x z x ⎧=−⎪⎪⎪⎪=−⎨⎪=+⎪⎪=⎪⎩而由前面计算结果知：()()()12188801102128e ,8e e k k k g k x g x k k −−−==−−.将其代入到前面微分方程的初值问题中，则有()()()()()()()()121111*********8801212d ,d d ,d 0e ,0e e .k k k z t k z t t z t k z t k z t t z g g g k z k k −−−⎧=−⎪⎪⎪=−⎪⎨⎪=+⎪⎪=−⎪−⎩在MatLab 下，编写相应的求解程序：clear,clc symsz1z2k1k2g0[z1,z2]=dsolve('Dz1=-k1*z1','Dz2=k1*z1-k2*z2',...,'z1(0)=g0*(1+exp(-8*k1))','z2(0)=(k1*g0/(k1-k2))*(exp(-8*k2)-exp(-8*k1))');z=simple([z1,z2]);此时问题的解为()()()1122118108802121e e ,1e e 1e e .k k t k k t k k tz g g z k k −−−−−−⎧=+⎪⎨⎡⎤=+−+⎪⎣⎦−⎩记()()()()()2211221188880121e e 1e e 1e e 1e e V k k t k k t k k t k k t g z k k k −−−−−−−−⎡⎤⎡⎤′=+−++−+⎣⎦⎣⎦−≜，最后代入122.0079,0.1855,57.2163k k k ′===得到在时刻t 时大李中心室的酒精含量函数()()1.48400.185516.0632 2.007957.21631e e 1e e t tz −−−−⎡⎤=+−+⎣⎦.取6t =，即有z=57.2163*((1+exp(-1.4840))*exp(-0.1855*6)-(1+exp(-16.0632))*exp(-2.0079*6))返回值23.0618即此时中心室的酒精含量率大于规定标准，属于饮酒驾车.用同样的方法可以讨论其它问题，在此不一一叙述.三、建模过程中的几个问题1.关于摘要⑴模型的数学归类⑵建模的思想⑶算法思想⑷建模特点（模型的优点、算法特点、结果检验）⑸罗列主要结果！2.论文题目的重述与分析（重点是分析，体现了作者的思想）3.基本假设⑴假设的合理性（假设基于对问题的分析，但要合理）；⑵为使问题简化而作假设；⑶关键假设是必须的.4.模型的建立⑴模型要求表达完整、正确和简明；⑵模型具有实用性，以能够正确解决问题为圆周，遵循从简到烦，从易到难的原则；⑶分析要中肯确切，相关术语要专业，使用的原理和依据要正确，表述要简明5.模型求解⑴给出算法原理和选择的依据；⑵命题和定理的叙述要符合数学表现规范；⑶可能的话，比较详细列出算法步骤及实现的方法；⑷计算的最终结果应该在论文中突出地表达出来.6.结果的分析与检验、模型的应用⑴对要求回答的问题，必须明确回答数值的结果和结论⑵对几套计算方案得到的结果加以比较，选择好的计算方案；⑶对数值结果做必要的检验；⑷对应结果不正确、不合理、误差较大的情况，必须分析原因，并对算法及模型进行修正.7.模型评价、特点和优缺点，改进方法与推广⑴突出优点，不回避确定；⑵需要时完成补充部分；⑶不提倡标新立异.。
数学建模的流程
数学建模的流程一、问题提出。
1.1 这就好比咱们平常生活里啊，遇到个事儿，得先知道是个啥事儿对吧。
数学建模也一样，先得明确问题。
比如说要研究城市交通拥堵，那这就是个大问题，但具体怎么个堵法，哪些地方堵得厉害，这都得搞清楚。
不能稀里糊涂的，就像“丈二和尚摸不着头脑”那样可不行。
1.2 这时候呢，就得去收集各种信息啦。
就像侦探破案似的，到处找线索。
可以去实地考察，看看马路上车流量啥样，也可以查查相关的数据资料，这都是为了把问题的全貌给弄明白。
二、模型假设。
2.1 有了问题和信息之后啊，咱们就得做假设啦。
这假设呢，就像是给这个事儿定个规矩。
比如说研究交通拥堵，咱们假设车的行驶速度是均匀的，这虽然不完全符合实际，但能让这个事儿简单点，先把大框架搭起来嘛。
这就叫“先粗后细”，不能一开始就把事儿想得太复杂，不然根本没法下手。
2.2 假设也不是乱设的，得符合常理。
要是设个车能飞起来的假设，那这模型就乱套了。
咱们得根据实际情况，做一些合理的简化，就像画画一样，先勾勒出个大概的形状。
三、模型建立。
3.1 这时候就开始建立模型啦。
这可是个技术活，就像盖房子一样，得一块砖一块砖地砌。
比如说根据前面的假设，咱们可以用一些数学公式来表示交通流量和拥堵程度的关系。
可能是个很复杂的公式，但是别怕，只要前面的基础打得好，就像“万丈高楼平地起”，总能把这个模型给建起来。
3.2 在建立模型的过程中，还得考虑各种因素的相互作用。
就像一个生态系统似的，每个部分都影响着其他部分。
比如说车流量影响车速，车速又反过来影响车流量，这就得用一些巧妙的数学方法来处理。
四、模型求解。
4.1 模型建好了，就得求解啦。
这就像解一道超级大难题。
有时候可能有现成的数学方法可以用，就像走在一条熟悉的小路上。
但有时候呢，就得自己想办法，这就像在荒野里开辟一条新的道路一样困难。
可能要用到计算机软件来帮忙计算，就像请个小助手似的。
4.2 在求解的过程中，可能会遇到各种各样的问题。
数学建模论文写作—模型假设
数学建模论文写作—模型假设1.每个交巡警服务平台的职能、警力配备都基本相同2.事故发生地都近似模拟在各路口节点。
3.每个交巡警服务平台配备一辆警车，一旦遇到突发事件，即刻从平台驶向案发地，不考虑期间的反应时间。
4.不考虑平台所在节点本身作为案发处的出警情况。
5.相邻两个路口节点之间的道路认为是直线且无其他小道。
并且各处的路况都是相同的，不考虑交通意外（如汽车抛锚、堵塞、路口停顿等）、气候的影响，不考虑转弯时的车速变化等等，这些都是为了保证警车任意时刻在任意路段上的行驶速度均为60km/h。
6.两个不同节点处的发案率是相互独立的，即任意时刻，两互异节点的法案情况两个不同节点处的案发情况不发生单向或双向的影响7.不存在越点管辖和交叉管辖的情况。
以下是对上述假设的一些说明，及对在解决问题的过程中，我们发现的题中需要阐述的部分概念、条件与因素的分析：对于假设一，每个交巡警服务平台的职能、警力配备这两个基本参数都大致相同，这是我们分析整个问题的前提假设，实质就是各平台在我们模型中的权数是相同的。
对于假设二，我们将案发的地点限制在各节点上。
其一，在实际生活中，道路上的任何一点都有发案的可能，但通过查阅全国多个大中型城市道路网络案发的资料数据，完全可以得出交通网络中路口节点的案发率远远高于其他路段的结论；其二，考虑到题目给出的该市六区交通网络和平台设置的相关信息数据表（附录二）中只相应地给出了各路口节点的发案率，所以要将非节点处的发案情况计入在内，必须先模拟出道路上各点发案率的函数，这在实际操作中是极为困难的，很难把握其精确度，易造成较大误差。
所以可以采用将其离散化的方法，仅选取节点便是最朴素的一种离散化思想的运用。
对于假设三，为何平台所配警车始终以相应平台所在节点为起点驶向案发地，将在下文“模型求解”中详细讨论，这里就不再赘述。
不考虑期间的反应时间也是为了简化模型、去除次要因素的影响。
对于假设四，一旦突发事件发生在平台所在节点，那么所需时间一定是零，也就失去了其讨论的价值，所以不考虑平台所在节点本身作为案发处的出警情况。
数学建模的一般步骤和案例
数学建模的一般步骤和案例数学建模是利用数学方法对实际问题进行描述、分析和求解的过程。
它是一个系统的、多学科的工作过程，可以帮助我们深入了解实际问题，并为问题提供合理的解决方案。
下面将介绍数学建模的一般步骤和一个具体的案例。
一般步骤：1.问题定义：明确研究的问题和要解决的目标。
确定研究的范围、限制和假设条件。
2.建立模型：根据问题的特点和要求，选择适当的数学工具和模型。
常用的数学模型包括数学规划模型、概率统计模型、图论模型等。
3.定义变量：标识出影响因素并对其进行量化。
根据问题的要求，设定需要研究的变量和参数，确定它们的取值范围和关系。
4.假设做法：根据问题背景和可行性，进行必要的简化和假设。
合理简化模型可以简化计算过程并提高求解效率。
5.求解问题：根据所建立的模型，运用数学方法求解问题。
常见的求解方法有解析解法、数值计算法、模拟仿真法等。
6.模型分析和评价：对求解结果进行分析和评价，看是否满足问题的要求。
对模型的合理性和有效性进行检验和验证，对模型的优化和改进提出建议。
7.结果解释和应用：将数学模型的结果解释给问题的决策者，提供相关的建议和策略。
将得到的结果用于实际问题的决策和规划。
案例：假设有一家电子商务公司，想要通过合理的物流网络规划来降低运输成本。
现在给定了各个城市之间的距离、货物的数量、运输的形式和时间要求等信息，要求建立一个模型来确定最佳的物流网络规划，使总运输成本最小。
1.问题定义：研究问题是找到最佳物流网络规划，使运输成本最小。
2.建立模型：选择网络流模型来描述物流网络。
假设各城市之间的运输成本是线性关系，并以各城市之间的距离作为约束条件。
3.定义变量：设定每条路径上的运输量为变量，并对各变量进行量化。
设定各城市之间的距离和运输成本为参数。
4.假设做法：假设各个城市之间的运输量满足需求，并忽略其他可能影响的因素。
5.求解问题：将问题转化为线性规划问题，并运用线性规划方法，如单纯形法等，求解最佳的物流网络规划。
2.数学建模-如何提出假设
r1 和 r2 的
则 “ 给甲公司增席” ↔ r1 < r2
p2 (n1 1) p1(n2 1)
p1n2
p2n1
p12
p22
n1(n1 1) n2 (n2 1)
↔ Q1 > Q2 .
具体地说，就是在现有的席位分配状态下，各自计算Q值，哪个 Q 值大，就增加一席给哪个公司。至于开始的分配方案，可以 均取为一席，然后用上述Q值法从第三席起进行增席操作，直止 所有席位分配完毕。这样建立的席位分配模型，显然能够解决 问题而不出现 Alabama Paradox 。
已知三城镇污水量为Q1 = ５吨/秒，Q2 = ３吨/秒，Q3 = ５吨/秒，L 的数值如图所示。试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方
这个模型，可以适用于许多实际应用问题，数学上称它为
Logistic 模型 。
3. 模型假设的公理性 实例 多人合作所得合作效益的合理分配问题
问题：沿江有三个城市，相距分别为20公里和38公里。现在三个城
市须建立污水处理厂，可各自单独建立，也可联合建立。为了讨论
问题方便，规定只能将污水由上游送至下游。假定建厂费c1与管道 费c2分别有经验核算公式 : c1 = 73Q0.712 （千元）， c2 = 0.66 Q0.51L （千元）.其中Q （吨/秒）为污水排放速度；L（公里）为管道长。
公司 甲公司 乙公司
投资数 席位
p1
n1
p2
n2
代表率 p1 / n1 p2 / n2
假定 p1 / n1 > p2 / n2 , 即对甲公司存在 不公平因素 。借用数学中的 有关概念, 引入该方案的相对不公平值 r 来量化这个 不公平因素 ：
p1 p2
数模论文写作方法5模型假设
数模论文写作方法5模型假设在对问题进行分析后，发现有些因素或条件，还无法进行考虑或估算；或是针对问题的主要因素，舍弃次要因素的影响，采用假设的方式，使我们解决的问题简化，模型更合理化。
引用自《大学生数学建模竞赛指南》肖华勇主编模型假设是建立数学模型中非常关键的一步，关系到模型的成败和优劣。
所以，应该细致地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。
由于假设一般不是实际问题直接提供的，它们因建模人而异，所以在撰写这部分内容时要注意以下几方面：(1) 论文中的假设要以严格、确切的语言来表达，使读者不致产生任何曲解。
(2) 所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，包括求解模型所必需的假设和简化模型而做的假设。
最终结果与假设之间会有很强的因果关系，与建立模型无关的假设只会扰乱读者的思考。
(3) 假设应验证其合理性。
假设的合理性可以从分析问题的过程中得出，例如从问题的性质出发作出合乎常识的假设；或者由观察所给数据的图像，得到变量的函数形式；也可以参考其他资料类推得到，对于后者应指出参考文献的相关内容。
引用自《数学建模与竞赛辅导》胡红亮，赵芳玲主编模型假设的常见情况（1）题目明确给出的假设条件这种情况最为简单，我们只需要把题目中给我们的假设搬过来就行了。
例如 2020B题第1 问中，题目中假设玩家知道每天天气的状况。
（2）排除生活中的小概率事件(例如黑天鹅事件、非正常情况)例如：a、和交通运输相关的问题中，我们可以假设不存在地质灾难、交通事故等；b 、和经济金融相关的问题中，我们可以假设不存在经济危机、系统风险等；c 、和生产制造相关的问题中，我们可以假设不存在设备故障、生产事故等。
（3）仅考虑问题中的核心因素，不考虑次要因素的影响例如：（注意：过于简化的模型会使得你的论文没有优势和亮点）a、考虑传染病的传播规律时，可忽略性别、年龄等因素的影响；b 、考虑交通拥堵状况时，可只考虑机动车，暂不考虑非机动车和行人；c 、考虑人口预测问题时，可不考虑移民、大规模人口迁移等因素的影响。
买冰箱问题数学建模的假设
买冰箱问题数学建模的假设摘要：一、引言二、买冰箱问题的背景和挑战三、数学建模的假设方法四、应用假设解决买冰箱问题五、结论正文：一、引言随着人们生活水平的提高，购买冰箱成为了家庭生活中不可避免的话题。
然而，面对市场上琳琅满目的冰箱品牌和各种参数，如何选择一款性价比高、适合自己的冰箱成为了一个具有挑战性的问题。
数学建模作为一种解决实际问题的方法，可以为我们提供一些参考。
二、买冰箱问题的背景和挑战在购买冰箱时，消费者需要考虑的因素有很多，如价格、容量、能耗、尺寸等。
如何在众多因素中找到一个平衡点，使得购买的冰箱既能满足家庭需求，又具有较高的性价比，这是买冰箱问题所面临的挑战。
三、数学建模的假设方法数学建模是一种通过建立数学模型来描述现实世界问题的方法。
在解决买冰箱问题时，我们可以通过设定一些假设来简化问题，从而更容易地找到解决方案。
这些假设包括：1.确定目标：明确家庭对冰箱的需求，如容量、能耗、预算等。
2.确定变量：将影响购买决策的因素转化为可量化的变量，如价格、容量、能耗等。
3.建立目标函数：根据需求建立一个优化目标函数，如最小化总成本或最大化性价比。
4.约束条件：设定一些实际限制条件，如预算、空间尺寸等。
四、应用假设解决买冰箱问题假设我们有一款冰箱A和一款冰箱B，它们的参数如下：冰箱A：价格1500元，容量300升，能耗1.5度/天，尺寸60厘米宽。
冰箱B：价格1800元，容量350升，能耗2度/天，尺寸65厘米宽。
根据数学建模的方法，我们可以建立如下的目标函数和约束条件：目标函数：min 总成本= 价格+ 能耗成本约束条件：容量>= 需求容量，预算>= 价格，尺寸<= 空间尺寸通过求解这个模型，我们可以得到最优解，即购买哪款冰箱可以使得总成本最小或性价比最高。
五、结论数学建模是一种有效的解决实际问题的方法。
通过设定适当的假设，我们可以将复杂的买冰箱问题转化为一个可以求解的数学模型。
数学建模模型假设
数学建模模型假设
数学建模的模型假设可以根据具体问题而变化，但一般包括以下几个方面：
1. 建模假设：建立数学模型时所做的基本假设，可能涉及数据的可靠性、影响因素的独立性、模型的稳定性等方面。
2. 可行性假设：建立数学模型时所考虑的实现条件，包括技术条件、人力资源、物资供应等。
3. 精度假设：模型的预测精度和误差范围。
4. 可靠性假设：建立数学模型时所能利用的其他信息和数据，包括统计类数据、历史数据等。
5. 环境假设：建立数学模型时所假设的环境条件，包括气候、地质、地形等方面。
6. 约束条件：建立数学模型时所考虑的各种约束条件，包括资源限制、行业标准、政策法规等。
7. 假设偏差：由于各种假设的不完备、不准确以及可能的偏差等原因，建立的数学模型在实际应用中可能会存在误差。
数学建模的基础概念及举例
数学建模的基础概念及举例一、数学建模的基本概念数学建模及其数学建模过程数学模型：数学模型是对于现实中的原型问题，为了某个特定的目的，作出一定的必要简化和假设，运用恰当的数学工具，得到的一个具体的数学结构。
也可以这样说讲，数学建模是利用数学特有的语言，例如利用符号、式子和图象来模拟现实的问题模型。
把现实问题模型进行抽象简化，使之成为为某种数学结构，这是数学模型的基本属性特征。
数学模型一方面能够解释特定现象，或是特定的现实状态，能够预测到模型蕴含问题中的隐含的状况，另一方面能够提供处理问题的最优决策，或者是对问题的控制。
数学建模：数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼简化，使之抽象为较为明了数学模型。
通过多种方法和途径，求出模型的解的答案，再加以验证模型存在的合理性，并利用该数学模型所提供的解答，用以解释现实问题。
我们通常把数学知识的这一合理应用过程称之为数学建模。
数学建模的七个过程：1.模型的准备：了解分析问题的实际背景，明确其中的实际意义，掌握问题对象的各种信息，并用数学符号语言来描述问题本质。
2．模型的假设：根据实际对象的特征属性及建模的目的，对模型问题进行必要的简化，并利用精确的语言，提出一些恰当的假设条件。
3.模型的建立：在假设条件的基础上，利用恰当的数学工具，来刻划各个具体变量之间的数学关系，尽量利用简单的数学用具，建立相应的数学结构。
4.模型的求解：在利用获取数据资料的过程中，对模型的所有参数做出较为精确的计算。
5.模型的分析：经过以上四步，再对所得的结果进行精确的数学上的分析。
6.模型的检验：经过上述五步操作，再将模型分析的结果，与实际情形进行对比，以此来验证模型的合理性，精准性，和实用性。
如果问题模型与实际较为吻合，我们就要对计算的结果给出其实际意义，并进行适当详细的解释。
如果问题模型与实际吻合较为一般,我们就应该修改假设条件，再次操作模型建立过程。
7.模型的应用：数学模型建立的应用方式多种多样，会因具体问题的性质和个人建模的目的而不同。
数学建模题目及答案解析
数学建模题目及答案解析-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。
由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。
数学建模答案 (5)
一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型模型是系统知识的抽象表示。
我们不能仅仅通过语言来描述一个系统，也不能仅仅通过记忆来记录关于系统的知识。
知识是通过某种媒介来表达的，这种媒介所表达的内容就是模型。
而知识形成媒介的过程就是建模，或者称为模型化。
通常模型可以使用多种不同的媒介来表达，比如纸质或电子文档、缩微模型/原型、音像制品等等。
而表达模型的体现方式也是多种多样的，常见的有图表、公式、原型、文字描述等等。
2．数学模型由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。
具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义。
3．抽象模型通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型。
从实际的人、物、事和概念中抽取所关心的共同特性，忽略非本质的细节把这些特性用各种概念精确地加以描述。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。
2．数学建模的基本步骤1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。
有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。
数学建模中 模型假设怎么写
数学建模中模型假设怎么写数学建模文章格式模版题目：明确题目意思一、摘要：500个字左右，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果二、关键字：3－5个三．问题重述。
略四．模型假设根据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。
（1）根据题目中条件作出假设（2）根据题目中要求作出假设关键性假设不能缺；假设要切合题意五．模型的建立（1）基本模型：1)首先要有数学模型：数学公式、方案等2)基本模型，要求完整，正确，简明（2）简化模型1）要明确说明：简化思想，依据2）简化后模型，尽可能完整给出（3）模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。
数学建模面临的、要解决的是实际问题，不追求数学上：高（级）、深（刻）、难（度大）。
u能用初等方法解决的、就不用高级方法，u能用简单方法解决的，就不用复杂方法，u能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。
（4）鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异数模创新可出现在▲建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等，▲模型求解中▲结果表示、分析、检验，模型检验▲推广部分（5）在问题分析推导过程中，需要注意的问题：u分析：中肯、确切u术语：专业、内行；；u原理、依据：正确、明确,u表述：简明，关键步骤要列出u忌：外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。
六．模型求解（1）需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密。
（2）需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。
若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称（3）计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出。
（4）设法算出合理的数值结果。
七、结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示（1）最终数值结果的正确性或合理性是第一位的；（2）对数值结果或模拟结果进行必要的检验。
结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进；（3）题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；（4）列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；（5）结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式▲求解方案，用图示更好（6）必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。
数学建模的方法和步骤
数学建模的方法和步骤数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行分析和求解的过程。
数学建模方法和步骤如下：一、问题理解与分析：1.了解问题的背景和目标，明确问题的具体需求；2.收集相关的数据和信息，理解问题的约束条件；3.划定问题的范围和假设，确定问题的数学建模方向。
二、问题描述与假设：1.定义问题的数学符号和变量，描述问题的数学模型；2.提出问题的假设，假定问题中的未知参数或条件。
三、建立数学模型：1.根据问题的特点选择合适的数学方法，包括代数、几何、概率统计等；2.基于问题的约束条件和假设，通过推理和分析建立数学方程组或函数模型；3.利用数学工具求解数学模型。
四、模型验证与分析：1.对建立的数学模型进行验证，检验解的合理性和有效性；2.分析模型的稳定性、灵敏度和可行性。
五、模型求解与结果解读：1.利用数学软件、计算机程序或手工计算的方法求解数学模型；2.对模型的解进行解释、分析和解读，给出问题的答案和解决方案。
六、模型评价与优化：1.对建立的数学模型和求解结果进行评价，判断模型的优劣；2.如果模型存在不足，可以进行优化和改进，重新调整模型的参数和假设。
七、实施方案和应用：1.根据模型的求解结果，制定实施方案和行动计划；2.将模型的解决方案应用到实际问题中，监测实施效果并进行调整。
八、报告撰写与展示：1.将建立的数学模型、求解方法和结果进行报告撰写；2.使用图表、表格等方式进行结果展示，并进行清晰的解释和讲解。
九、模型迭代和改进：1.随着问题的发展和实际情况的变化，及时调整和改进建立的数学模型；2.针对模型的不足，进行迭代和改进，提高模型的准确性和实用性。
总结：数学建模方法和步骤的关键是理解问题、建立数学模型、求解和分析结果。
在建模的过程中，需要根据实际问题进行合理的假设，并灵活运用数学知识和工具进行求解。
同时，对模型的验证、评价和优化也是不可忽视的环节，能够提高模型的可靠性和可行性。
数学建模中模型假设及符号说明
数学建模中模型假设及符号说明数学建模是指将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法来研究和解决问题的过程。
在数学建模中，模型假设和符号说明是非常重要的步骤。
本文将详细介绍数学建模中模型假设的定义和作用，以及符号说明的重要性和具体要求。
一、模型假设的定义和作用在数学建模中，模型假设是指对实际问题进行一定的简化和限制，以便于进行数学分析和求解的假设条件。
模型假设的作用主要有以下几个方面：1.简化问题：通过模型假设可以将复杂的实际问题简化为数学问题，使问题的讨论更加具体和清晰，便于进行分析和求解。
2.限定条件：模型假设可以约束问题的可行解空间，避免问题无解或者解的范围过于广泛的情况，使问题的求解更加集中和准确。
3.建立数学关系：模型假设可以通过建立数学关系来描述问题的各个要素之间的相互关系，从而为后续的数学分析和求解提供基础。
4.验证模型：在实际问题中，模型假设可以在一定程度上反映问题的本质特征，通过对模型的验证可以评估模型的有效性和可靠性。
二、符号说明的重要性和具体要求在数学建模中，符号说明是对模型中所用符号的定义和解释，其重要性体现在以下几个方面：1.清晰表述：通过符号说明可以对模型中所涉及的符号进行清晰的定义和解释，避免理解上的歧义和误解，使模型表述更加明确和准确。
2.统一标准：符号说明可以为模型中所用的符号赋予统一的标准和含义，以保证模型的一致性和可比性。
3.方便交流：符号说明可以为不同领域的专家提供一个共同的语言和交流平台，方便彼此之间的合作和沟通。
4.易于理解：通过符号说明，读者可以快速了解模型中所用符号的含义和作用，便于理解和掌握模型的要点和关键步骤。
符号说明的具体要求如下：1.准确性：符号说明应当准确地描述符号的含义和作用，避免模糊、模棱两可的表述。
2.简明性：符号说明应当简明扼要地描述符号的定义和解释，避免冗长和繁琐的表述。
3.一致性：符号说明应当保持一致性，即相同符号在不同场合使用时具有相同的含义和解释。
学生成绩综合评价模型(数学建模)
对于每名学生基于其四个学期成绩及成绩变化做单因素评价：
首先我们确定优良中差的比例固定为1：4：4：1，这样就能使学生评价处于平均，增强学生的学习动力。
1、对于平均分
因为不同基础的同学对某一得分同学的评价不同，所以当一名学生得60分时，得分大于80分的同学会认为其基础差。所以对学生的分数进行优良中差的比例分类：
预测成绩表
学生序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
第5学期74.64 81.1866.6477.4878.7276.3467.7859.0367.4370.71
第6学期77.97 78.9669.7176.6777.8275.6168.3760.0671.9270.11
最后，我们对我们所建立的模型进行了客观的比较，并对其应用前景进行了展望。
4符号的说明
:学期
:学生序号
D:总评价得分
:第i个学生的第j学期的原始成绩。
：第 个决策单元
：因素集
：评语集
其他主要符号将在模型建立的时候详细说明。
5模型的建立
5.1数据标准化
为了避免现行评价方式中仅根据“绝对分数”评价学生学习状况，设计出一种新型的发展性目标分析法，必须考虑到户律基础条件的差异，学生原有的学习基础，也注意到学生学习的进步因素。
在本题中，附件给出了 名学生连续四个学期的综合成绩。要求我们做到以下三点：
1.根据附件数据，对这些学生的整体情况进行分析说明；
2.根据附件数据，采用两种及以上方法，全面、客观、合理的评价这些学生的学习状况；
3.根据不同的评价方法，预测这些学生后两个学期的学习情况。
简单的数学建模题目
简单的数学建模题目一、问题的提出假设我们有一个简单的金融问题：一家银行按照每天的存款利率给客户支付利息，这个利率是存款金额的1%。
客户每天会收到他们存款的利息，但是他们也可能会提取他们的存款。
如果一个客户决定提取他们的存款，他们将只能提取存款的本金，而不能提取利息。
假设一个客户存入1000元，并且决定在接下来的5天内每天提取100元。
我们要计算在5天后，这个客户在银行还有多少钱。
二、建立数学模型1、定义变量：假设客户最初存入的金额为 P元，每天提取的金额为 D元，经过的天数为 N天。
2、建立数学方程：根据题目，我们可以建立以下方程：P - N × D =最终余额这是因为客户每天都会提取D元的金额，并且总存款是P元。
N天后，他们将剩下P - N × D元。
3、填入已知数值：根据题目，P = 1000元，D = 100元，N = 5天。
所以方程变为：1000 - 5 × 100 =最终余额三、执行计算我们可以直接计算这个方程。
1000元减去5天的提取金额（5 × 100元）等于最终的余额。
计算结果为：最终余额 = 500元所以，5天后，客户在银行还有500元。
四、整合答案通过这个简单的数学模型，我们可以清楚地解释这个问题，并且计算出最终的余额。
这个模型还可以应用于其他类似的金融问题，例如不同的存款利率、不同的提取规则等等。
数学建模题目及答案数学建模100题数学建模是应用数学方法和计算机技术，对实际问题进行抽象和概括，建立数学模型的过程。
它是连接数学理论与实际问题的桥梁，能帮助我们更好地理解世界，解决现实问题。
以下是一百个数学建模题目及答案，供大家参考。
题目一：简单的线性回归模型给定一组一元线性回归的数据，解释数据之间的关系，并预测新的数据点的结果。
答案：我们通过最小二乘法拟合一条直线来描述数据之间的关系。
然后，我们使用这条直线来预测新的数据点。
题目二：逻辑回归模型给定一组二元分类的数据，用逻辑回归模型预测新的数据点的类别。
数学建模知识及常用方法
数学建模知识——之新手上路一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
数学建模
数学建模内容摘要：数学作为现代科学的一种工具和手段，要了解什么是数学模型和数学建模，了解数学建模一般方法及步骤。
关键词：数学模型、数学建模、实际问题伴随着当今社会的科学技术的飞速发展，数学已经渗透到各个领域，数学建模也显得尤为重要。
数学建模在人们生活中扮演着重要的角色，而且随着计算机技术的发展，数学建模更是在人类的活动中起着重要作用，数学建模也更好的为人类服务。
一、数学模型数学模型是对于现实世界的一个特定对象,一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构.简单地说:就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述),即用数学式子(如函数,图形,代数方程,微分方程,积分方程,差分方程等)来描述(表述,模拟)所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律.随着社会的发展,生物,医学,社会,经济……,各学科,各行业都涌现现出大量的实际课题,急待人们去研究,去解决.但是,社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才,而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题,取得经济效益和社会效益.他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就像在学校里做数学应用题),而是为了解决实际问题而需要用到数学.而且不止是要用到数学,很可能还要用到别的学科,领域的知识,要用到工作经验和常识.特别是在现代社会,要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机.可以这样说,在实际工作中遇到的问题,完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的.你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题,不是"干净的"数学,而是"脏"的数学.其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决,而是暗藏在深处等着你去发现.也就是说,你要对复杂的实际问题进行分析,发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律,把这个实际问题化成一个数学问题,这就称为数学模型.数学模型具有下列特征:数学模型的一个重要特征是高度的抽象性.通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维,从而可以突破实际系统的约束,运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究.数学模型的另一个特征是经济性.用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具,可以节省大量的设备运行和维护费用,用数学模型可以大大加快研究工作的进度,缩短研究周期,特别是在电子计算机得到广泛应用的今天,这个优越性就更为突出.但是,数学模型具有局限性,在简化和抽象过程中必然造成某些失真.所谓"模型就是模型"(而不是原型),即是指该性质.二、数学建模数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践.即通过抽象,简化,假设,引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解.简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模.模型是客观实体有关属性的模拟.陈列在橱窗中的飞机模型外形应当象真正的飞机,至于它是否真的能飞则无关紧要;然而参加航模比赛的飞机模型则全然不同,如果飞行性能不佳,外形再象飞机,也不能算是一个好的模型.模型不一定是对实体的一种仿照,也可以是对实体的某些基本属性的抽象,例如,一张地质图并不需要用实物来模拟,它可以用抽象的符号,文字和数字来反映出该地区的地质结构.数学模型也是一种模拟,是用数学符号,数学式子,程序,图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略.数学模型一般并非现实问题的直接翻版,它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析,又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识.这种应用知识从实际课题中抽象,提炼出数学模型的过程就称为数学建模.实际问题中有许多因素,在建立数学模型时你不可能,也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑,只能考虑其中的最主要的因素,舍弃其中的次要因素.数学模型建立起来了,实际问题化成了数学问题,就可以用数学工具,数学方法去解答这个实际问题.如果有现成的数学工具当然好.如果没有现成的数学工具,就促使数学家们寻找和发展出新的数学工具去解决它,这又推动了数学本身的发展.例如,开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律,牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它,但当时已有的数学工具是不够用的,这促使了微积分的发明.求解数学模型,除了用到数学推理以外,通常还要处理大量数据,进行大量计算,这在电子计算机发明之前是很难实现的.因此,很多数学模型,尽管从数学理论上解决了,但由于计算量太大而没法得到有用的结果,还是只有束之高阁.而电子计算机的出现和迅速发展,给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路.而在现在,要真正解决一个实际问题,离了计算机几乎是不行的.数学模型建立起来了,也用数学方法或数值方法求出了解答,是不是就万事大吉了呢不是.既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律,到底反映得好不好,还需要接受检验,如果数学模型建立得不好,没有正确地描述所给的实际问题,数学解答再正确也是没有用的.因此,在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验,看它是否合理,是否可行,等等.如果不符合实际,还应设法找出原因,修改原来的模型,重新求解和检验,直到比较合理可行,才能算是得到了一个解答,可以先付诸实施.但是,十全十美的答案是没有的,已得到的解答仍有改进的余地,可以根据实际情况,或者继续研究和改进;或者暂时告一段落,待将来有新的情况和要求后再作改进.应用数学知识去研究和和解决实际问题,遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型.从这一意义上讲,可以说数学建模是一切科学研究的基础.没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果,所以,建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一.数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高同学们应用所学知识分析问题,解决问题的能力的必备手段之一.三、数学建模的一般方法建立数学模型的方法并没有一定的模式,但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征:模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法:1.机理分析机理分析就是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,所建立的模型常有明确的物理或现实意义.(1) 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法.(2) 代数方法--求解离散问题(离散的数据,符号,图形)的主要方法.(3) 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用.(4) 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"的表达式.(5) 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律.2.测试分析方法测试分析方法就是将研究对象视为一个"黑箱"系统,内部机理无法直接寻求,通过测量系统的输入输出数据,并以此为基础运用统计分析方法,按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型.(1) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.(2) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.(3) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.(4) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.将这两种方法结合起来使用,即用机理分析方法建立模型的结构,用系统测试方法来确定模型的参数,也是常用的建模方法, 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定.机理分析法建模的具体步骤大致可见左图.3.仿真和其他方法(1) 计算机仿真(模拟)--实质上是统计估计方法,等效于抽样试验.①离散系统仿真--有一组状态变量.②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图.(2) 因子试验法--在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构.(3) 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统.(参见:齐欢《数学模型方法》,华中理工大学出版社,1996)四、数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,下面介绍常用的几种.1.按照模型的应用领域(或所属学科)分:如人口模型,交通模型,环境模型,生态模型,城镇规划模型,水资源模型,再生资源利用模型,污染模型等.范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学,医学数学,地质数学,数量经济学,数学社会学等.2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分:如初等数学模型,几何模型,微分方程模型,图论模型,马氏链模型,规划论模型等.按第一种方法分类的数学模型教科书中,着重于某一专门领域中用不同方法建立模型,而按第二种方法分类的书里,是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用.在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模.3.按照模型的表现特性又有几种分法:确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响.近年来随着数学的发展,又有所谓突变性模型和模糊性模型.静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化.线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系,如微分方程是否是线性的.离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的.虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的,动态的,非线性的,但是由于确定性,静态,线性模型容易处理,并且往往可以作为初步的近似来解决问题,所以建模时常先考虑确定性,静态,线性模型.连续模型便于利用微积分方法求解,作理论分析,而离散模型便于在计算机上作数值计算,所以用哪种模型要看具体问题而定.在具体的建模过程中将连续模型离散化,或将离散变量视作连续,也是常采用的方法.4.按照建模目的分:有描述模型,分析模型,预报模型,优化模型,决策模型,控制模型等.5.按照对模型结构的了解程度分:有所谓白箱模型,灰箱模型,黑箱模型.这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关,要通过建模来揭示它的奥妙.白箱主要包括用力学,热学,电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题,这方面的模型大多已经基本确定,还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了.灰箱主要指生态,气象,经济,交通等领域中机理尚不十分清楚的现象,在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做.至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象.有些工程技术问题虽然主要基于物理,化学原理,但由于因素众多,关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理.当然,白,灰,黑之间并没有明显的界限,而且随着科学技术的发展,箱子的"颜色"必然是逐渐由暗变亮的.五、数学建模的一般步骤建模的步骤一般分为下列几步:1.模型准备.首先要了解问题的实际背景,明确题目的要求,搜集各种必要的信息.2.模型假设.在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算,找出起主要作用的因素,经必要的精炼,简化,提出若干符合客观实际的假设,使问题的主要特征凸现出来,忽略问题的次要方面.一般地说,一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题,即使可能,也很难求解.不同的简化假设会得到不同的模型.假设作得不合理或过份简单,会导致模型失败或部分失败,于是应该修改和补充假设;假设作得过分详细,试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去,可能使你很难甚至无法继续下一步的工作.通常,作假设的依据,一是出于对问题内在规律的认识,二是来自对数据或现象的分析,也可以是二者的综合.作假设时既要运用与问题相关的物理,化学,生物,经济等方面的知识,又要充分发挥想象力,洞察力和判断力,善于辨别问题的主次,果断地抓住主要因素,舍弃次要因素,尽量将问题线性化,均匀化.经验在这里也常起重要作用.写出假设时,语言要精确,就象做习题时写出已知条件那样.3.模型构成.根据所作的假设以及事物之间的联系, 利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学结构――即建立数学模型.把问题化为数学问题.要注意尽量采取简单的数学工具,因为简单的数学模型往往更能反映事物的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用.4.模型求解.利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题,这时往往还要作出进一步的简化或假设.在难以得出解析解时,也应当借助计算机求出数值解.5.模型分析.对模型解答进行数学上的分析,有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况,有时是根据所得结果给出数学上的预报,有时则可能要给出数学上的最优决策或控制,不论哪种情况还常常需要进行误差分析,模型对数据的稳定性或灵敏性分析等.6.模型检验.分析所得结果的实际意义,与实际情况进行比较,看是否符合实际,如果结果不够理想,应该修改,补充假设或重新建模,有些模型需要经过几次反复,不断完善.7.模型应用.所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益,在应用中不断改进和完善.应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的.参考文献：(1)齐欢《数学模型方法》,华中理工大学出版社,1996。
如何进行数学建模
如何进行数学建模数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并使用数学方法进行分析和求解的过程。
它在现代科学研究和实际应用中起着举足轻重的作用。
本文将介绍如何进行数学建模，并提供一些实用的建模方法和技巧。
一、问题定义在进行数学建模之前，首先需要明确问题的定义和目标。
问题定义应该精确、明确，并且能够量化和可测量。
同时，需要明确需要哪些数据和假设，以便后续的建模和分析。
例如，我们想研究如何优化城市交通流量。
问题定义可以是：“如何最小化城市中的交通拥堵，提高交通运行效率？”在此定义中，我们需要考虑的因素可能包括道路网络结构、车辆分布、交通信号灯设置等。
二、模型构建在问题定义之后，接下来需要构建数学模型。
数学模型是对实际问题的抽象和描述，通过数学符号和方程来表示问题的关键因素和规律。
常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、动态模型等。
选择合适的模型要根据具体的问题和实际情况进行判断。
在构建数学模型时，需要考虑以下几个方面：1. 变量的选择和定义：明确需要考虑的因素，并给出相应的变量定义；2. 假设的制定：根据实际情况，对模型中的关键假设进行制定；3. 方程的建立：利用已知信息和数学理论，建立数学方程来表示问题的关系；4. 参数的确定：对模型中的参数进行估计和确定。
三、模型求解模型求解是将数学模型转化为具体的数学问题，并采用数值计算或符号计算的方法进行求解。
常用的求解方法包括数学优化、数值计算、拟合与回归等。
根据具体的情况选择合适的方法进行求解。
在模型求解的过程中，需要注意以下几点：1. 数据的采集和处理：收集所需的数据，并对数据进行预处理和清洗，确保数据的准确性和可用性；2. 求解算法的选择：根据问题的特点，选择合适的求解算法，并对算法进行调优和优化；3. 结果的分析和验证：对求解结果进行分析和验证，确保结果的有效性和可靠性。
四、模型评价在模型求解的基础上，需要对模型进行评价和验证。
评价模型的好坏，可以从以下几个方面考虑：1. 模型的准确性：模型是否能够准确地描述实际问题；2. 模型的稳定性：模型在不同条件下是否具有稳定性和鲁棒性；3. 模型的可解释性：模型的结果是否能够被解释和理解，并且能够提供有用的信息。
适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习下篇能力培养思维进阶3数学建模课件
解:(1)由对折 2 次共可以得到 5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三种规格
的图形,所以对折三次的结果有:
5
3
dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm× dm,共 4 种不同规格;
2
故对折
2
5
5
3
②明确题目中包含(已知)的信息和条件;
折纸是长方形的,沿着某条对称轴对折,对折1次和2次得到的规格大小和对
折图形的种数,对折1次和2次的面积之和与对折次数之间的关系.
③利用信息和条件对题目进行整体分析;
通过合情推理能推理到的问题是对折第3次规格大小和种数是多少?以此
类推,对折4次呢?对折n次呢?如何建立对折次数与面积和的函数关系式?
问题分析是将具体问题抽象为数学模型的桥梁,反映了对问题的认识程度,
是解决问题的雏形,起承上启下作用,其目的是找到问题的切入点.其过程
需要思考问题的可能解决方案.主要包括:
①确定题目中需要解决的任务目标;
②明确题目中包含(已知)的信息和条件;
③利用信息和条件对题目进行整体分析;
④大致确定用什么方法建立模型.
120×(2) ,对于第
n 次对折后的图形的规格形状种数,根据(1)的
120(+1)
过程和结论,猜想为 n+1 种(证明略),故得猜想 Sn=
2 -1
,
120×2
120×3
120×4
120(n+1)
设 S= ∑ Sk= 0 + 1 + 2 +…+ n -1 ,
上述问题中,需要考虑长方形折纸对折情况,做出假设,构建数列模型,该题
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p 2 (n1 + 1) r1 = −1 p1 n2
,
p1 (n2 + 1) r2 = −1 p 2 n1
我们现在为了解决两公司情况中增席而不发生反常现象（Alabama Paradox）的问题，认为 “取相对不公平值为最小的方案来操作 ” 是 能够建立科学合理的席位分配模型的（一种新假设 ）。在这种最合 理的假设下，我们的操作过程（建立模型过程）为比较 r1 和 r2 的 如果 r1 > r2 ， 则给乙公司增席； 大小： 如果 r 2 > r1 ， 则给甲公司增席。
假设修改： 假设修改：假定任何时刻销售量对时间的增长率 r 是销售量 x ( t ) 的递 减函数 r = r ( x ) 。 为简单计，设增长率 r( x ) 是 x ( t ) 的 线性减函数 ： r(x) = r0 - k·x 这里 r0 为当x = 0 的增长率（常数），称为固有增长率。k为待定常 数。如设销售量的最大极限数为 xm（常数），则当 x = xm 时， r0 r(xm) = 0. 由此， x
(2)
rmax = （14 - 9.09）/ 9.09 = 0.54
(3)
rmax = （12.5 - 7）/ 7 = 0.785
根据 rmax最小法 ，应取方案（2）,即 ( 2 , 11 , 1 ) 为相对而言最为 “ 公平合理 ” 的增席方案。
应该注意到，根据 Q 值法 ，在 （2 ，10 ，1 ）时，相应的 Q 值分 别为 （104.1 , 90.9 , 98 ) , 故增一席时应取方案（1）， 即 ( 3 , 10 , 1 ) ； 而根据 按投资数比例法 ( 14×0.179 = 2.506 ≈ 3 ; 14×0.719 = 10.07 ≈ 10 ; 14×0.101 = 1.41≈ 1 ) ， 也应取方案（1），即 ( 3 , 10 , 1 ) ！ 该问题产生了两个相互矛盾但都为 “ 正确 ” 的解答 ！ 在《数学模型》（高教出版社）第 55页习题 1中，还介绍了一 种比利时大学生 Victor D’hondt 提出的 D’Hondt 法 ，请分析一下他 提出的方案公平（不公平）程度数量化方法（建模新假设）是什 么？这种方法是否可以解决增席问题？它与这里介绍的 Q值法 和 rmax最小法 在具体操作中是否会有不一样的结果？如果有不一样的 情况，则可以说明 Q值法 、rmax最小法 和 D’Hondt 法 是不一样的 三种方法。 （提示：考察三公司人数分别为25，100，14；席位总数为 8 的分 配问题。Q 值法 结果是：1，6，1 ；rmax 最小法 结果是： 2，5， 1 ； D’Hondt 法 结果是： 1，7，0 。）
分配席位过程中，“公平”是一个原则。“公平” 的数量化度量方 “公平” “公平” 法是 考虑代表率。但由于人数需取整原因，不可能做到绝对公平，即绝 对按代表率数值来分配整数席位是无法实施的，因此在评价两种都 不是绝对公平的方案时，要对不公平程度作出数量化度量，以不公 平程度最小为取舍原则。 什么是一个方案的 不公平程度的数量度量 ？先研究只有两个公司 的情况。如果已有分配方案： 公司 投资数 席位 代表率 甲公司 p1 n1 p1 / n1 乙公司 p2 n2 p2 / n2 假定 p1 / n1 > p2 / n2 , 即对甲公司存在不公平因素 。借用数学中的 有关概念, 引入该方案的相对不公平值 r 来量化这个不公平因素 ：
若记
Q
=
p n (n
2
+ 1)
↔ r1 < r2
称之为 Q 值（Quota），则 “ 给甲公司增席 给甲公司增席” 公司增席
↔
2 p12 p2 p2 (n1 + 1) p1 (n2 + 1) ↔ > < n1 (n1 + 1) n2 (n2 + 1) p1n2 p2 n1
↔ Q1 > Q2 . 上述建模方法因此称为 “比较 Q 值大小法 ” ，简称 “Q值 法 ” ， 具体地说，就是在现有的席位分配状态下，各自计算Q值，哪个Q值 大，就增加一席给哪个公司。至于开始的分配方案，可以均取为一 席，然后用上述Q值法从第三席起进行增席操作，直止所有席位分配 完毕。这样建立的席位分配模型，显然能够解决问题而不出现 Alabama Paradox 。 这种模型也适用于两个公司以上的多公司情况。
问题的最后答案是：甲公司 11席，乙公司 6席，丙公司 4席。
从分配过程中可看到，实际上总共20个席位时，分配方案是（11， 6，3），而不是（ 10，6，4 ），在此基础上再增一席，就变成了 （11，6，4） 我们称 Q值法 ，即分配方案的相对不公平值应最小 ，是建立 席位分配模型的一种假设 ，而不是一种真理，这表明还可以提出另 外种种假设，从而可能得到席位分配模型的另外的解答方案。 例如，在多公司席位分配问题中，认为衡量各种方案中不公平 程度最小的数量指标是 rmax 最小值 ，从而得到 rmax最小法 ， 这种方法的操作过程是：设想将增加一席分别给某公司，共有若 干个（n 个）方案，每个方案中公司与公司之间都可以算出一个相 对不公平值 r，一共可得到 n（n+1）/ 2 个 r 值，其中最大的一个 r 值称为该方案的 rmax 值，在 n 个 rmax 值中最小的值，称为 rmax 最小 值 ，它所对应的分配方案就认为是相对而言最为公平合理的方案。 考察以下分配 13 个席位后，再增加一席时的操作实例： 投资数比例值 此时 Q 值 公司 投资数 已分配席位数 25/ 139 = 0.179 104.16 甲公司 25 2 100/139 = 0.719 90.9 乙公司 100 10 14/139 = 0.101 98 丙公司 14 1
p1 p2 − n1 n2 p1n 2 r = = −1 p2 p 2 n1 n2
这时，若再增加一席，有两种方案： 甲 乙 和 甲 乙 p1 p2 p1 p2 n1+1 n2 n1 n2+1 p1 /（n1+1） p2 / n2 p1 / n1 p2 /（n2+1）
它们各自有两个相对不公平值 r1 和 r2 :
你能提出第四种解决增席问题的方法吗？ 你能提出第四种解决增席问题的方法吗？
2. 模型假设的补充修改 电饭锅销售量预测问题： 实例 电饭锅销售量预测问题：根据某些统计数据寻求销售量 x 随时 间 t 变化的曲线 x = x（t）, 从而给决策部门提供 销售预测信息 ，以 便在最佳时间点 上推出新一代的产品。 假设： 假设：新产品面世一段时间内，任何时刻销售量关于时间的 增长率 是一常数 r 。 建模： 建模：记 x（t）为销售量，t 为时间。在某时刻起的某段时间间隔 内，由假设可得： 销售量 x 的 增长量 为 x（t + △t）- x（t） = △x（t） ； 单位时间的增长量为 单位时间的增长量为
k=
xm
, r ( x) = r0 ⋅ (1 −
xm
)Байду номын сангаас
这样，假设的数学表示式可写为： 再建模： 再建模：
再求解： 再求解：
& x(t ) x(t ) = r0 (1 − ) xm x(t ) x(0) = x0 xm x(t ) = xm − r0t 1 + ( − 1) ⋅ e x0
例如我们来解决本节开始提出的三公司分配董事会席位问题：
公司 （投资数） 席位数 （Q值） 甲公司（103万元） 1 （5304.5） 2（1768.2） 2（1768.2） 乙公司（63万元） 1 （1984.5）——→ 1（1984.5）——→ 2（661.5） 丙公司（34万元） 1 （578） 1 （578） 1 （578） 3（884.1） 4（530.5） 4（530.5） 4（530.5） ——→2（661.5）——→2（661.5）——→3（330.8）——→ 3（330.8） 1（578） 1（578） 1 （578） 2（192.7） 5（353.6） 6（252.6） 6（252.6） 7（189.4） ——→3（330.8）——→3（330.8）——→ 4（198.5）——→ 4（198.5） 2（192.7） 2（192.7） 2 （192.7） 2 （192.7） 7（189.4） 7（189.4） 8（147.3） 9（117.9） ——→5（132.3）——→5（132.3）——→ 5（132.3）——→ 5（132.3） 2（192.7） 3（96.3） 3 （96.3） 3 （96.3） 9（117.9） 10（96.4） 11（80.4） 11 ——→6（94.5）——→ 6（94.5）——→ 6（94.5）——→ 6 3（96.3） 3（96.3） 3（96.3） 4
x(t) = x0·ert .
分析： 将 t 离散化 : t = 1 , 2 , 3 , 4 , …. 分析： 记 er = q > 1 , 则 x = x0 qn (n = 1 . 2 , 3 , …). 说明该模型曲线是一条 几何增长曲线. 在新产品面世初期, 模型经检验有效. 但持续一段时间 后, 显见不再有合理性.如销售量不能无限制地增加，市场应有一个 饱和度。如何修改模型使得销售中后期情况也能在模型里得到反映？ 检视建模过程可以看出，应该修改假设的不合理处：当销售量增 加到一定量后，增长率不应该为常数，而应该逐渐减少。
在此（ 2 ， 10 ， 1 ）的基础上，如果要增加一席有三种方案： p n p/n 25 3 8.33 (1) 100 10 10 rmax = （14 - 8.33）/ 8.33 = 0.68 14 1 14 p 25 100 14 p 25 100 14 n 2 11 1 n 2 10 2 p/n 12.5 9.09 14 p/n 12.5 10 7
再分析： 再分析：
销售量 x ( t ) 随时间 t 变化的曲线
销售速度 x’( t ) 随时间 t 变化的曲线