复变函数的极限
复变函数求极限的方法
复变函数求极限的方法摘要本文对复变函数求极限问题作了较系统的归纳和总结,并通过例题解析了这些方法。
关键词复变函数极限方法在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。
但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。
针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。
1 转化为两个二元实变函数求极限设, , ,则。
2 利用复变函数的连续性利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。
例1 求。
解由于在z和cosz 均在点z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以在点z=0连续,从而。
3 利用等价无穷小求极限利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。
如:当z→0时,(1);(2) ;(3) ;其中(3)式中的只取主值分支。
这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知,所以, 。
例2 求。
解。
注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。
4 利用洛必达法则求未定式的极限复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别例3 求。
解显然当z→0 时,是未定式。
所以例4 求解我们知道:若z0 是的可去奇点、极点和本性奇点,则分别为、和既不存在也不为。
例5 求。
解因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式,从而z=0是的本性奇点,所以既不存在也不为。
参考文献:[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.[4]李成章,黄玉民.数学分析[M],北京:科学出版社,1999.。
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是指在复平面上定义的函数。
复变函数具有许多特殊的性质和求极限的方法，下面就复变函数求极限的方法进行浅谈。
对于复变函数f(z)而言，极限的概念与实变函数有所不同。
在复平面上，点z趋于复数a时，函数f(z)的极限L存在的充要条件是，对于给定的ε>0，存在某个δ>0，使得当0<|z-a|<δ时，有|f(z)-L|<ε。
也就是说，当z趋于a时，函数值f(z)逼近于极限L。
对于复变函数f(z)而言，求极限时可以利用以下几种方法：1. 直接代入法：对于一些简单的复变函数，可以直接代入极限点计算得到极限值。
当z→0时，f(z)=sin(z)/z，可以直接代入得到f(0)=1。
2. 利用实部和虚部的性质：复变函数可以表示为实部和虚部的和或积，因此可以利用实部和虚部的性质来求解极限。
当z→0时，f(z)=Re(z)+Im(z)，可以分别计算出Re(z)和Im(z)的极限再求和得到f(0)的极限。
3. 利用极坐标表示法：复数可以用极坐标表示：z=ρ eiθ，其中ρ为模，θ为幅角。
当z→a时，可以将z和a都表示为极坐标形式，即z=ρ eiθ和a=ρ' e iθ'，然后进行化简。
当z→0时，f(z)=|z|·e iarg(z)，可以将z表示为z=ρ eiθ，然后进行化简计算。
4. 利用洛必达法则：洛必达法则可以用来处理一些特殊的复变函数极限。
如果f(z)和g(z)在某个点a的邻域内除了可能在a处，都有定义且连续，且g(z)≠0，当z→a时均趋于0，且f(a)=g(a)=0，那么可以利用洛必达法则求解f(z)/g(z)的极限。
5. 利用级数展开：复变函数可以用级数展开的形式来表示。
当z→a时，可以利用级数展开来计算函数的极限值。
当z→1时，f(z)=1/(1-z)，可以利用泰勒展开将f(z)展开成无穷级数形式，然后进行计算。
复变函数求极限的方法有很多种。
复变函数的极限
当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim x lim
x
x0
x0 x2 y2 x0 x2 (kx)2
ykx
ykx
9
lim
x
1 ,
x0 x2(1 k 2 )
1 k2
随 k 值的变化而变化,
所以 lim u( x, y) 不存在, lim v( x, y) 0,
第2章 导数
Derivatives
1
2.1 复变函数的极限
2.1 复变函数的极限
1. 极限的定义（the definition of limit ）: 设函数 w f (z) 定义在 z0 的某去心邻域
0 z z0 内, 如果有一确定的数A 存在, 对于任意给定的 0, 相应地必有一正数 ( ) 使得当0 z z0 (0 )时,有 f (z) A
说明
[证毕]
该定理将求复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)
的极限问题, 转化为求两个二元实变函数 u( x, y)
和 v( x, y)的极限问题.
7
定理二
设 lim f (z) A, lim g(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
w P(z) a0 a1z a2z2 anzn , 对复平面内的所有点z 都是连续的; (2) 有理分式函数 w P(z) , 其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
20
2. 关于连续的例题:
21
例3 证明:如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续. 证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y),
复变函数极限 -回复
复变函数极限 -回复复变函数极限是数学中的重要概念之一，它涉及到复数域中函数的趋近性和趋势变化。
复变函数是指以复数为自变量和函数值的函数，其极限是指当自变量趋近于某一点时，函数的取值趋近于某一特定值的性质。
复数是由实部和虚部组成的数字，可以写成a+bi的形式，其中a 和b分别代表实部和虚部，i为虚数单位。
复变函数既可以是常数函数，也可以是多项式函数、三角函数、指数函数等形式。
对于复变函数而言，它的极限可以被定义为在某一点或者在无穷远处的趋于稳定的取值。
在复分析中，我们可以使用类似于实数函数的极限定义来定义复变函数的极限。
具体而言，对于一个给定的复值函数f(x)而言，如果存在一个复数c，对于任意给定的正实数ε，存在一个正实数δ，当|x-z|<δ时，|f(z)-c|<ε成立，则我们说函数f在x处的极限为c，记作lim(f(z), z→x) = c。
这意味着当自变量z趋近于x时，函数的取值趋近于c。
值得注意的是，复变函数的极限与实变函数的极限有些微妙的差异。
在实数域中，我们可以使用左极限和右极限的概念来定义函数在某一点的极限，但是在复数域中，这种思想并不适用。
复数域中的函数极限更依赖于函数性质的整体趋势，而非局部的趋势。
复变函数极限的性质与实变函数极限的性质相似。
例如，对于两个复变函数f(x)和g(x)而言，如果它们在x处分别存在极限c和d，则有lim(f(z)±g(z), z→x) = c±d，lim(f(z)g(z), z→x) = cd，lim(f(z)/g(z), z→x) = c/d（其中d≠0）成立。
这些性质与实数域中函数极限的性质类似，但需要额外考虑复数的实部和虚部。
在复变函数极限中，我们还可以遇到一些特殊情况和特殊函数。
例如，当复变函数在某一点出现间断时，它的极限是否存在就成为一个关键的问题。
另外，柯西-黎曼方程是判定复变函数在某一点处可导性的重要条件，它要求函数满足一定的实部和虚部的偏导数关系。
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈1. 引言1.1 什么是复变函数求极限复变函数求极限是复变函数分析中的一个重要概念。
在实数域中，我们可以通过极限来描述函数在某一点的趋势和性质，而在复数域中，复变函数的极限同样可以帮助我们理解函数的行为。
复变函数求极限是指当自变量趋向某一复数时，函数值的极限值，即函数在该复数处的极限。
复变函数求极限不仅在复变函数分析中具有重要意义，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
例如在电磁场理论、量子力学等领域，复变函数求极限都扮演着重要的角色。
深入理解复变函数求极限的方法和技巧对于提升数学建模能力和解决实际问题具有重要意义。
1.2 为什么重要复变函数求极限在数学领域中具有重要意义，其重要性主要体现在以下几个方面：1. 深化对复变函数性质的理解复变函数求极限是研究复变函数性质的基础和关键。
通过求解极限可以揭示函数在某一点的变化趋势和收敛性质，进而帮助我们更深入地理解函数在复平面上的特性，包括奇点、极点、函数的连续性等，从而促进对复变函数整体性质的认识和掌握。
2. 解决实际问题中的数学模型在物理学、工程学、经济学等领域，常常会遇到复杂的数学模型，其中不可避免地涉及到复变函数的极限求解。
通过对复变函数求极限，可以得到模型中一些关键参数的数值解，为实际问题的分析和解决提供数学基础和支持。
3. 拓展数学研究领域复变函数求极限是数学分析领域中的重要课题之一，其研究涉及到实分析、复分析、函数论等多个数学分支领域，对数学理论的发展和进步具有重要促进作用。
深入研究复变函数求极限的方法和技巧，可以拓展数学研究的范围，促进学科的交叉融合和知识的交流传播。
2. 正文2.1 极限存在的条件复变函数求极限在数学中起着重要的作用，但要确保复变函数的极限存在，需要满足一定的条件。
主要条件包括函数在取极限点附近有定义、极限点是函数的解析点、极限值与路径无关、以及函数在极限点附近单值和连续等。
函数在取极限点附近必须有定义，否则无法讨论极限的存在与否。
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数求极限是复变函数分析中的一个重要内容，它涉及到复变函数的收敛性、极限性质以及复变函数在无穷远处的行为等问题。
针对复变函数求极限的问题，我们可以采用一些特定的方法来进行求解和分析。
在本文中，我们将就复变函数求极限的一些常用方法进行浅谈，希望能够帮助读者更好地理解和应用复变函数极限的相关知识。
一、复变函数的极限概念在复变函数中，我们通常也会关注函数的收敛性和极限性质。
对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，当z趋于复数z_0=x_0+iy_0时，如果存在一个复数w_0=u_0+iv_0，使得对于任意给定的\varepsilon>0，都存在一个\delta>0，使得当|z-z_0|<\delta时，都有|f(z)-w_0|<\varepsilon成立，那么我们就称w_0为复变函数f(z)在z=z_0处的极限，记作\lim_{z\to z_0}f(z)=w_0。
在求复变函数的极限时，我们需要特别关注复平面上的收敛路径和极限点的位置，因为复数的极限性质可能会受到路径的选择和极限点的不同而产生变化。
在实际求解中，我们通常需要结合具体的例子来进行分析和讨论。
1、直接法在实际应用中，我们也可以通过直接法来求解其他复变函数的极限，具体的操作步骤和思路与实数函数的极限求解类似，读者在学习和掌握了复变函数的极限定义后，可以通过这种方法来进行练习和巩固。
2、间接法对于复变函数的极限求解，有时候直接采用定义来求解可能会比较困难。
这时，我们可以采用一些间接的方法来进行求解。
我们可以通过等价变形、夹逼定理、洛必达法则等方法来简化问题，从而使得求解变得更加方便和简洁。
对于函数f(z)=\frac{z^2-1}{z-1}，当z\to 1时，我们可以将分子进行因式分解得到f(z)=z+1，从而将原函数转化为更加简单的形式。
这样一来，我们就可以直接求出极限\lim_{z\to 1}f(z)=2。
复变函数的极限
6在
时极限不存在.
z 0 0 e +∞ 证 当 沿实轴从 的右方趋向于 时, 1z 趋向了
.当
z 0 0 e 0 z 沿实轴从 的左方趋向于 时, 1z 趋向了 .也就是说 以不同
f (z) 的方式趋于原点时,
趋于了不同的点.由函数极限定义即得
2
结论.
2 复变函数极限定理
定理 2.1 设
f (z)=u(x, y)+iv(x, y), z0 = x0 +i y0,
A= a+ib那么 zl→imz f (z)= A
0
(2.1)
的充要条件是
lim u(x, y)=a 且 lim v(x, y)=b .
( x, y)→( x0 , y0 )
( x, y)→( x0 , y0 )
(2.2)
证明 必要性
因为 zl→imz f (z) = A ε ,所以对 ∀ > 0, ∃ δ (ε ) 0 , 0
定 理 2.6 设 函 数 f (z) 在 z0 可 导 , g(h) 在 h0 = f (z ) g[ 0 处可导,则复合函数 f (z)]在 z0处可导,且
g'[ f (z0)]= g'(h0) f '(z0).
定理 2.7 设 w= f (z), z =ϕ(w)是两个互为反函数
ϕ 的单值函数,且 '(w) ≠ 0,那么
导数.类似地，二阶导数为一阶导数的导数，三阶导数为二阶导数的导
17
(n−1) f (z) n 数，…，一般地，
阶导数的导数称为
的 阶导数，
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
18
2.4 解析函数
1 解析函数的概念 2 初等函数的解析性 3 函数解析的充要条件
复变函数的极限与连续性
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
z z0
以上定理用极限定义证!
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
y (z) z
lim arg z y0
而 lim arg z y0
P( x,0)
ox
z
arg z 在负实轴上不连续。
定理4 连续函数的和、差、积、商、(分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
z0
一个预先给定的
A
ε邻域中 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z)
Q(z)
有界性：
设 曲 线C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 在内 的 曲 线 段 若f (z)在C上连续 M 0 f (z) M(z C )
1. 函数的极限
定义 设 w f (z) z O(z0 , ),若数A，
复变函数的极限和连续性
例１（见教材P20T16）试证 arg(z)在原点和负实轴上不连续。
证明 arg(0)无意义 ,w arg(z)在z 0点不连续 ；
对负实轴上任一点z0
当z沿平行于y轴正向趋于z0时,zlimz0 arg(z)
而当z沿平行于y轴负向趋于z0时,
lim
z z0
arg(
对任何z z0的方式路径,f (z)趋近于同一个
确定的复数A
掌握 判别 lim f (z)不存在的方法
z z0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、存在判别法 转化为实函数极限存在性判别
在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统 一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。
张 长 华
z
)
lim arg(z)不存在,函数arg(z)在负实轴上不连续。 zz0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
本章难点与重点
难点复复杂杂函函数数的的极几限何概描念述————理映解射。；
复数的辐角主值范围(- arg(z) )及其确定；
f (z)在z0点连续 实、虚部函数 u(x, y) 、v(x, y) 均在点(x0 , y0 )处连续。
3、四则运算性质及复合函数的连续性。见教材P17Th 1.4.4
4、有界闭区域 D上连续函数的最大小模存在定理。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是指定义在复数域上的函数。
在复数域上，函数的极限存在的判定方法与实数域上的函数有所不同。
本文将从极限的定义、极限存在的条件以及极限计算方法等方面进行讨论。
1. 极限的定义对于复数列{zn}，当复数z无论多么接近于z0时，对应的函数值f(z)都无论多么接近于某个复数A时，称A为函数f(z)在复数点z0处的极限，记作lim_(z→z0)(f(z))=A。
2. 极限存在的条件与实数域上的函数类似，极限存在的充要条件是满足柯西收敛准则。
即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当|z - z0| < δ时，有|f(z) - A| < ε。
3. 极限计算方法3.1 用直接代入法计算极限当函数在z0附近连续时，可以直接将z0代入函数中计算极限。
计算极限lim_(z→1)((z+1)/(z-1))时，直接代入z=1可得lim_(z→1)((z+1)/(z-1))=2。
3.2 用极坐标法计算极限对于复数z=r(cosθ+isinθ)，可以将其表示为极坐标形式，即z=|z|e^(iθ)。
利用极坐标形式计算复变函数的极限可以简化计算过程。
计算极限lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))，可以将z=r(cosθ+isinθ)代入，得到lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))=lim_(z→0)((r^2(cosθ+isinθ)^2)/((r^4(cosθ+isinθ)^4+1)))。
再利用欧拉公式化简即可。
3.3 用洛必达法则计算极限当计算存在一个不定型的复变函数极限时，可以使用洛必达法则。
洛必达法则适用于计算函数之间的极限，不论是实数函数还是复变函数。
计算极限lim_(z→0)((cosz-1)/z)，可以利用洛必达法则转化为计算lim_(z→0)(-sinz)，最终得到极限为0。
3.4 用级数展开法计算极限级数展开法是一种常用的计算复变函数极限的方法，特别适用于计算指数函数和三角函数类型的复变函数。
复变函数第二章 1-2
0
lim u( x , y ) = u0 , lim v ( x , y ) = v0 .
x→ x0 y → y0
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续 , 则称 f ( z ) 在
z = z0
z → 0
f ( z0 + z ) f ( z0 ) . z
（1）
注： （1）式中的极限与 z0 + z → z0 ( z → 0)的方式无关 , 即: 无论 z0 + z 以何种方式趋于 z0 ,
f ( z0 + z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数 . z
该极限称为 f ( z ) 在 z0 点的导数 , 记作
1 , 其中 z = ( w ) 和 w = f ( z ) 是互为反函 ′( w ) 数的单值函数 , 且 ′( w ) ≠ 0
注：w = f ( z ) 在 z0 点可导与在 z0 点可微是等价的 .
3
§2.1 解析函数的概念 —— 解析函数
二、解析函数 定义 1.2 若 f ( z ) 在 z0 及 z0 的某个邻域内处处可导 , 则 称 f ( z ) 在 z0 点解析 ; 若 f ( z ) 在区域 D 内的每 个点都解析 , 则称 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 或称
lim arg z = π , lim arg z = π .
x= x0 y →0 + x= x0 y→ 0
z z + 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z z Re( z ) 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z
1-6复变函数的极限
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例4 讨论函数 arg z的连续性.
复变函数的极限四则运算法则：
哈 尔 滨 工 程 大 学
设 lim f ( z ), lim g( z )都存在，则
z z0 z z0
1. lim[ f ( z ) g( z )] lim f ( z ) lim g( z )
z z0 z z0 z z0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z z0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
注意：这里，z趋于z0的方式是任意的，即若
极限存在是指z沿着任意方向，以任意 方式趋于z0时，f ( z )都要趋于同一值A。
定理1 设f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )，在z0的某空心
哈 尔 滨 工 程 大 学
邻域内有定义，其中z0 x0 iy0，则 lim f ( z ) A u0 iv0
第一章 复数与复变函数
哈 尔 滨 工 程 大 学
§1.6 复变函数的极限与连续性
学习要点 掌握复变函数的极限与连续性
复 变 函 数 与 积 分 变 换
一、 复变函数的极限
哈 尔 滨 工 程 大 学
设函数f ( z )在z0的某去心邻域内有定义， 若对 0， 0, 当0 z z0 时有 f (z) A 称A为函数f ( z )当z趋于z0时的极限，记作 lim f ( z ) A 或 f ( z ) A ( z z 0 )
2. lim f ( z ) g( z ) lim f ( z ) lim g( z )
z z0 z z0 z z0
f ( z ) z z0 3. lim (lim g ( z ) 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) z z0
复变函数的极限与连续
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
复变函数
盐城工学院基础部应用数学课程组
z Re( z ) 例1 计算函数 f ( z ) 在 z 0 的极限. z
解 设z x iy，则 f ( z )
x2 x y
2 2
i
xy x2 y2
u( x, y )
x2 x y
2 2
, v( x, y)
2 2
xy x2 y 2
根据复数的乘法公式可知,
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o
x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成 w 平面上与实轴交角为 2 的角形域 .
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定义虽然在形式上相同 , 但在实质上要求苛刻得多
.复变函数、极限、连续的等价条件 2.
① 一个复变函数对应于两个二元实变函数； ② 复变函数的极限存在等价于两个二元实变函数 极限同时存在； ③ 复变函数连续等价于两个二元实变函数同时连续.
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作业
习题一: 31,32
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z 2 . 例3 计算 lim z i z 1 z 2 z 2 i 2 1 3i 在z i处连续， 故 lim . 解 因为 z i z 1 z 1 i 1 2
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2.连续函数的性质 (1)连续函数的和差积商仍然连续；
f ( z ) g ( z ), f ( z ) g ( z)
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1 例1 证明 w 是定义在除原点外的整个复平面上 z 的复变函数.
证 令z x iy,
复变函数课件：2_1极限与连续
映射 如果用 z 平面上的点表示自变量 z 的值, 而用另一个平面 w 平面上的点表示函数 w 的 值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 E (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集 A (函数值集合)的映射 (或变换).
如果 E 中的点 z 被映射 w f (z) 映射成 A 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
由二元实函数极限的定义，
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
xx0 y y0
xx0 y y0
充分性() 若 lim u(x, y) a, lim v(x, y) b，
xx0
xx0
y y0
y y0
0, 0,使得当0 x x0 2 y y0 2 时
| u(x, y) a | ， | v(x, y) b | ,
例3 函数 w z2, 令 z x iy, w u iv, 则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 于是函数 w z2 对应于两个二元实变函数 : u x2 y2, v 2xy.
3. 映射的概念
对于复变函数,由于它反映了两对变量u, v 和 x, y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上 的点集之间的对应关系.
2. 复变函数极限与实函数极限的关系
定理2.1.1 设 f (z) u(x, y) iv(x, y)在点集E 上
有定义，z0 x0 iy0为E的一个聚点, a ib,
则 lim f (z) a ib z z0
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
若有一法则 f ，使对E中的每一个点 z x iy, 存在多个 w u iv 和它对应, 则称 f 为在 E 上定义了一个复变数(多值)函数 .
1_2复变函数的极限(复变函数)
（1）连续函数的和、差、积、商（分母不为0）是连续函数; （2）连续函数的复合函数是连续函数.
数学学院
例6 试证 argz在原点与负实轴上不连续.
arg
z
arctan
2
arctan
y x
y
x
x0
0, y
x 0,
0
y
0
x x 0, y 0
数学学院
复变函数的连续性
设 f (z)在z0的邻域内有定义, 且 则称f(z)在z0处连续.
lim
z z0
f (z)
f (z0 )
若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.
定理1.2 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (x) 在 z0 x0 iy0 处连续的充分必要条件是 u( x, y), v( x, y) 都在 ( x0 , y0 ) 点连续.
方法1. 沿 y kx,
kx 2
lim
x0
x2
k2
x2
k
1
:
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
=
1 2
k
1
:
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
=-
1 2
方法2. 沿不同射线 arg z
1
k k2
.
y
0 | z |
0
x
o
注：复变函数无穷小也是指极限为0的变量。
定理1.1（极限计算）
复变函数的极限与连续
存在，对于任意给定的 0 ，都有 0 存在，当 0 | z z0 | ，
z E 时，有
| f (z) A || u iv A |
实变函数的极限。因此，求复变函数的极限问题可转化为求
该函数的实部和虚部的极限问题。
复变函数的极限与实变复值函数的极限有类似的四则运
算法则。
定理 4:
如果 lim zz0
f
(z)
A, lim zz0
g(z)
B,
那么
1) lim [ f (z) g(z)] A B ， zz0
lim z(t) A
t t0lBiblioteka mt t0x(t)
x0
，
lim
t t0
y(t)
y0
。
注 1：这个定理告诉我们求实变复值函数
z z(t) x(t) iy(t) 的极限问题转化为求两个一元实变函数 x(t) 和 y(t) 的极限问题。
定理 2：实变复值函数极限的四则运算与实变函数极限 的四则运算法则完全一致。 2、复变函数的极限
复平面内连续。
注
2：有理分式函数
w
P(z) Q(z)
在复平面内使分母不为零的
点处是连续的。
1.6复变函数的极限与连续
二、函数的极限
1、实变复值函数的极限 定义：设实变复值函数 z z(t) x(t) iy(t) 的定义域为实
数集合T ，t0 是T 的聚点，如果 A数，对于 0 ，都有 0
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结在复变函数的学习中，极限与连续性是非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决许多复变函数的问题至关重要。
下面我们将通过一些例题来深入探讨复变函数的极限与连续性，并对相关知识点进行总结。
一、复变函数极限的定义设函数＼（f(z)＼）定义在＼（z_0\）的去心邻域内，如果存在一个复数＼（A\），对于任意给定的正数＼（ε\），总存在正数＼（δ\），使得当＼（0 ＜｜z z_0| ＜δ\）时，有＼（｜f(z) A| ＜ε\），则称＼（A\）为＼（f(z)＼）当＼（z\）趋于＼（z_0\）时的极限，记作＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A\）。
二、复变函数连续性的定义如果函数＼（f(z)＼）在＼（z_0\）处满足＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ f(z_0)＼），则称＼（f(z)＼）在＼（z_0\）处连续。
三、例题分析例 1：设＼（f(z) ＝ z^2\），求＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} f(z)＼）。
解：＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} f(z) ＝＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} z^2 ＝（1 ＋ i)＾2 ＝ 1 ＋ 2i ＋ i^2 ＝ 2i\）例 2：判断函数＼（f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＼）在＼（z ＝ 0\）处的连续性。
解：当＼（z\）沿实轴趋于＼（0\）时，＼（f(z) ＝＼frac{x}｛｜x|｝＼），极限不存在；当＼（z\）沿虚轴趋于＼（0\）时，＼（f(z) ＝＼frac{iy}｛｜iy|｝＼），极限不存在。
所以＼（f(z)＼）在＼（z ＝ 0\）处不连续。
例 3：设＼（f(z) ＝＼begin{cases} ＼frac{z^2 1}｛z 1}，＆ z ＼neq 1 ＼＼ 2, ＆ z ＝ 1 ＼end{cases}＼），判断＼（f(z)＼）在＼（z ＝ 1\）处的连续性。
解：＼（＼lim_{z ＼to 1} f(z) ＝＼lim_{z ＼to 1} ＼frac{z^2 1}｛z 1} ＝＼lim_{z ＼to 1} （z ＋ 1) ＝ 2\），且＼（f(1) ＝ 2\），所以＼（f(z)＼）在＼（z ＝ 1\）处连续。
复变函数的极限ppt课件
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
或约当闭曲线.
z( ) z( )
z( ) z( )
简单闭曲线
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质） 任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]， 把复平面唯一地分成两个互不相交的部分： 一个是有界区域，称为C的内部；
闭区域上的连续复变函数在该区域上有界. 例3 求 lim z 1
zi z 2 例4 讨论函数 arg z的连续性.
v (w)
w z2
w z2
o
x w z2 o
u
x2 y2 4
反函数 w f (z)确定了一个单值或多值函数
z (w)称为w f (z)的反函数, 也称
为映射w f (z)的逆映射.
若w f (z)和其反函数z (w)都是单值函数，
则称w f (z)是一一映射. 也称G和G*是一一对应的.
五、复变函数的极限
设函数f (z)在z0的某去心邻域内有定义，若对
0， 0,当0 z z0 时恒有 f (z) A
则称A为函数f (z)当z趋于z0时的极限，记作
lim f (z) A 或 f (z) A
z z0
(z z0)
注意：这里，z趋于z0的方式是任意的，即若 极限存在是指z沿着任意方向，以任意
x
2
y2 a映成w平面上
2xy b
怎样的曲线;
3) z平面上直线x 1, y 2映成w平面上怎 样的曲线？
解 1) w(z1 ) (1)2 1,
w(z3 ) (1 i)2 {
2[cos i sin ]}2
4
4
( 2)2[cos( 2 ) i sin( 2 )] 2i
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x l im x 0 u ( x ,y ) u 0 ， x l im x 0 v ( x ,y ) v 0
变
y y 0
y y 0
函
数
与 积
例1 试求下列函数的极限.
分
变 换
1 .lim z 2 .lim z z z z 1
z z 1 i
z 1 z 1
例2 证 明 函 数 f ( z ) z 在 z 0 时 极 限 不 存 在 . z
尔 滨 工
例3
考 察 函 数 w z2
程 大
w u i v ( x i y ) 2 x 2 y 2 2 x y i
学
因 此 w z 2 对 应 u x 2 y 2 , v 2 x y
复
变 函
例 4 将定义在全平面除原点区域上的一对
数
与 积
二元实变函数
分
变 换
ux22xy2，vx2yy2，x2y20
第一章 复数与复变函数
哈
尔 滨
第二讲 复变函数的极限与连续性
工
程
大
学
学习要点
复
变
函
数 与
掌握复变函数的概念
积
分 变
掌握复变函数的极限与连续性
换
一 、 复平面上的点集与区域
哈
尔
邻 域 ： 复 平 面 上 以 z0 为 心 , 0 为 半 径 的 圆 :
滨 工 程 大 学
|zz0| (0 ),所 确 定 的 平 面 点 集 ， 称 为 z0 的 邻 域 ， 记 作 U (z0,)
尔
滨 工
0，0,当0zz0 时恒有
程
大 学
f(z)A
复 则称A为函数f(z)当z趋于z0时的极限，记作
变
函 数 与
limf(z)A或f(z)A
zz0
(zz0)
积 分 变
注意：这 里 ， z趋 于 z0的 方 式 是 任 意 的 ， 即 若
换
极 限 存 在 是 指 z沿 着 任 意 方 向 ， 以 任 意
P
复 变
开集。
函
数
与 积
边界与边界点:
设有点P，若点P的任何邻域
分 变
中既有属于都包含E中的点又有不属于
换
E的点，则称P是E的边界点；点集E的
所有边界点的集合称为E的边界
闭 包 ： 区 域 D 与 它 的 边 界 一 起 称 为 D 的 闭 包 ,
哈 尔
记 为 D .
滨
工 程
孤 立 点 ： 若 z 0 属 于 点 集 E ,但 存 在 z 0 的 某 个 去 心 邻
变
函y
(z)
数
与
v
(w)
w=f(z)
积 分
G*
变 换
G w=f(z)
z
w
o
x
o
u
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
哈 尔
函数，映射，变换都是一种对应关系的
滨 工 程
反映，是同一概念。
大
学 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数；
复 变
几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；
函
数 与 积
代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；
方 式 趋 于 z0 时 ， f(z)都 要 趋 于 同 一 值 A 。
定 理 1 设 f(z)u(x,y)iv(x,y)， 在 z0的 某 空 心
哈
邻 域 内 有 定 义 ， 其 中 z0x0iy0， 则
尔 滨 工
lz im z0 f(z)Au0iv0
程 大
的 充 分 必 要 条 件 为 :
学
复
数
与 积
通 过 映 射 w z 2 ,z 的 辐 角 增 大 一 倍 ,
分
变 换
因 此 ， z 平 面 上 与 正 实 轴 夹 角 为 的 角 形 域
映 成 w 平 面 上 与 正 实 轴 夹 角 为 2 的 角 形 域 .
2) 因 为 w z 2 ( x i y ) 2 x 2 y 2 2 i x y
分 变
函 数 的 定 义 域 .
换
单 值 函 数 若 每 个 z G ， 有 且 仅 有 一 个 w 与 之
对 应 ， 称 此 函 数 为 单 值 函 数 。
定 义 一 个 复 变 函 数 w f ( z ) ,相 当 于 定 义 两 个
哈 二 元 实 函 数 u u ( x ,y ) , v v ( x ,y )
z ( ) , z ( ) 称 为 曲 线 的 端 点 。
简 单 曲 线 （ J o r d a n 曲 线 ） ： 除 端 点 z () 和 z () 外 ,
哈
本 身 不 自 交 的 连 续 曲 线 称 为 简 单 曲 线 。
尔
滨
工 程
z () z () 的 简 单 曲 线 ， 称 为 简 单 闭 曲 线 ,
1 k 2 (x ,y li) m (0 ,0 )u (x ,y )lx i m 0u (x ,y ) 1 k 2不存在
(y k x )
复变函数的极限四则运算法则：
哈 设 l i m f ( z ) , l i m g ( z ) 都 存 在 ， 则
尔
z z 0 z z 0
滨
工 程
1 .l i m [ f ( z ) g ( z ) ] l i m f ( z ) l i m g ( z )
化为一个复变函数.
四、映射——复变函数的几何表示
哈 函 数 w f ( z ) 在 几 何 上 ， 可 以 看 成
尔
滨 工
z G ( z 平 面 ) w f ( z ) w G * ( w 平 面 ) 的 映 射 .
程
大 学
定义域
函数值集合
复 w 称 为 z 的 象 , z 称 为 w 的 原 象 .
三、复变函数
哈 设G为给定的平面点集，若对于G中每一个
尔
滨 工
复数zxiy，按着某一确定的法则f，总
程 大
有确定的一个或几个复数wuiv与之对应，
学
则称w是G上的关于z的复变函数，简称复变
复
变 函
函数，记作wf(z).
数
与 积
其 中 z 称 为 自 变 量 ， w 称 为 因 变 量 ， 点 集 G 称 为
哈 尔
于 是 有 u x 2 y 2 a ,v 2 x y b
滨
工
程 大 学
所以z平面的曲线映成w平面的直线
复 3) 因 为 w z 2 ( x i y ) 2 x 2 y 2 2 i x y
变
函 数 与
x 1 u 1 y 2 ,v 2 y u1 v2
积 分 变 换
4 y 2 u x 2 4 ,v 4 x u v2 4
大 学
域 内 无 E 中 的 点 ， 则 称 z 0 为 E 的 孤 立 点
复
变 函
聚 点 :若 点 P 的 任 意 邻 域 U ( P ) 内 都 包 含 有 E
数
与 积
中 的 无 限 个 点 ， 则 称 P 为 E 的 聚 点 .
分
变
换 点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任
与
积
分 变
如 果 在 圆 环 内 去 掉 若 干 个 点 ,它 仍 是 区 域 ,
换 但 边 界 有 变 化 ,是 两 个 圆 周 及 其 若 干 个 孤
立 点 所 构 成 .
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
xx(t) yy(t)
(t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
否 则 为 无 界 区 域 .
区域的例子:
哈 例 1圆 盘 U (a ,r ) 有 界 开 区 域
尔
滨 工
其 边 界 为 点 集 ： { z | | z a | r }
程
大
学 例 2 点 集 z r 1 z z 0 r 2 是 一 有 界 区 域 ,
复
变 函 数
其 边 界 由 两 个 圆 周 z z 0 r 1 , z z 0 r 2 构 成 .
复 变 函
若 x ' ( t) 、 y ' ( t) C [ a ,b ] 且 [ x ' ( t) ] 2 [ y ' ( t) ] 2 0
数 与
则 称 该 曲 线 为 光 滑 的 .
积
分 变
令 z ( t ) x ( t ) i y ( t ) , t ,则 平 面 曲 线 的
换
复 数 表 示 式 为 z z ( t ) ( t ) .
哈 解 设 z r ( c o s i s i n ) r e i
尔
滨 工 程
zrei —关于实轴对称的一个映射
大
学
复
y (z)
v (w)
变
函
数 与
o
积 分
o
x
u
变
换
例6 研 究 w e i z ( 实 常 数 ） 所 构 成 的 映 射 .
哈 尔
解 设zrei,
滨 工 程 大 学
大 学
z z 0
积
分
变 换
3 )z 平 面 上 直 线 x 1 ,y 2 映 成 w 平 面 上 怎
样 的 曲 线 ？
解 1 )w ( z 1 ) ( 1 ) 2 1 ,
哈 尔 滨 工
w(z3)(1i)2{
2[cosisin]}2
44
程 大 学
( 2)2[cos(2)isin(2)]2i