动力学的临界和极值问题
小专题4.5 动力学中临界与极值问题（解析版）
第四章 力和运动的关系小专题5 动力学中临界与极值问题【知识清单】１.临界与极值条件的标志（1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至少”、“至多”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度。
2.动力力学中典型临界条件（1）接触与分离的临界条件： 。
（2）接触面间相对滑动的临界条件： 。
(3)绳子断裂的临界条件： 。
(4)绳子松弛的临界条件： 。
(5)变加速运动过程中速度达到极值时刻的临界条件： 。
【答案】2.（1）接触面间弹力为零（2）静摩擦力达到最大值(3)绳中张力等于它所能承受的最大张力(4)绳中张力为零(5)加速度为零【考点题组】【题组一】物理临界与极值问题1.如图所示，一细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A 上的顶端O 处，细线另一端拴一质量为m=0.2kg 的小球静止在A 上。
若滑块从静止向左匀加速运动时加速度为a 。
(取g=10m/s2.）A ． 当a =5m/s 2时，线中拉力为N 223 B ． 当a =10m/s 2时, 小球受的支持力为N 2C ． 当a =12m/s 2时, 经过1秒钟小球运动的水平位移是6mD ． 在稳定后，地面对A 的支持力一定小于两个物体的重力之和【答案】A【解析】当小球对滑块的压力恰好等于零时，小球所受重力mg 和拉力T 使小球随滑块一起沿水平方向向左加速运动，由牛顿运动定律得小球和滑块共同的加速度为：200/1045tan s m g a ==。
当a=5m/s 2<a 0=10m/s 2时，斜面对小球有支持力，将小球所受的力沿加速度方向和垂直于加速度方向分解，有：Tcos450-Nsin450=ma ，Tsin450+Ncos450=mg ，联立解得：N T 223=，故A 正确；当a=10m/s 2=a 0=10m/s 2时，斜面对小球恰好没有支持力，故N=0，故B 错误；当a=12m/s 2>a 0=10m/s 2时，滑块的位移为m at x 6212==，而小球要先脱离斜面，然后保持与滑块相同的运动状态，故在这1s 内小球运动的水平位移小于6m ，故C 错误；在稳定后，对小球和滑块A 整体受力分析可知，在竖直方向没有加速度，故地面对A 的支持力等于两个物体重力之和，故D 错误。
2024高考物理一轮复习--牛顿第二定律的应用--动力学中的临界和极值问题
动力学中的临界和极值问题一、动力学中的临界极值问题1．“四种”典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力F N＝0。
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛与拉紧的临界条件是F T＝0。
(4)速度达到最值的临界条件：加速度为0。
2. 解题指导（1）直接接触的连接体存在“要分离还没分”的临界状态，其动力学特征：“貌合神离”，即a相同、F N＝0.（2）靠静摩擦力连接(带动)的连接体，静摩擦力达到最大静摩擦力时是“要滑还没滑”的临界状态.（3）极限分析法：把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出方程（4）数学分析法：将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、三角函数等)求极值．3.解题基本思路(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；(2)寻找过程中变化的物理量；(3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．4. 解题方法二、针对练习1、（多选）如图所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m ，物块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与水平面间的动摩擦因数为4μ，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g ．现对物块施加一水平向右的拉力，则木板加速度a 大小可能是（ ）A ．0a =B ．4ga μ=C ．3g a μ=D ．23ga μ=2、（多选）如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( ) A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止 B ．当F ＝52μmg 时，A 的加速度为13μgC ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12μg3、如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。
4.6动力学中的临界问题和极值问题
动力学中的临界问题和极值问题所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。
至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况，在解决临办极值问题注意以下几点：1、许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。
2、临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。
3、临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。
4、确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。
解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。
【例题1】：一个质量为m的小球用细线吊在倾角θ=53°的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，求：(1)当斜面以多大的加速度运动时绳的拉力为零(2)当斜面以多大的加速度运动时斜面对小球的支持力为零【练习1】：一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点，已知两绳拉直时，如图所示，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.试求：(1)当车以加速度a1＝g向左做匀加速直线运动时1、2两绳的拉力．(2)当车以加速度a2＝2g向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力．【例题2】:如图甲、乙所示，在光滑的水平面上叠放着A 、B 两物体，已知m A =6kg,m B =2kg , A 、B 之间的动摩擦因数 μ=0.2，要使A 、B 保持相对静止，求两种情况下F 的最大值【练习2】：跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和物体B ，物体A 放在倾角为θ的斜面上，如图所示。
动力学中的临界与极值问题
考点二 动力学中的临界与极值问题动力学中的临界问题一般有三种解法：1.极限法在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的．2．假设法有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法．3．数学法将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件．命题点1 接触与脱离的临界条件3．一个弹簧测力计放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m ，系统处于静止．如图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力．求力F 的最大值与最小值．(取g ＝10 m/s 2)【解析】 设开始时弹簧压缩量为x 1，t ＝0.2 s 时弹簧的压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有kx 1＝(M ＋m )g ①kx 2－mg ＝ma ②x 1－x 2＝12at 2③ 由①式得x 1＝(M ＋m )g k＝0.15 m ， 由②③式得a ＝6 m/s 2.F min ＝(M ＋m )a ＝72 N ，F max ＝M (g ＋a )＝168 N.【答案】 F max ＝168 N F min ＝72 N命题点2 相对滑动的临界条件4.如图所示，12个相同的木块放在水平地面上排成一条直线，相邻两木块接触但不粘连，每个木块的质量m ＝1.2 kg ，长度l ＝0.5 m ．木块原来都静止，它们与地面间的动摩擦因数均为μ1＝0.1，在左边第一个木块的左端放一质量M ＝1 kg 的小铅块(可视为质点)，它与各木块间的动摩擦因数均为μ2＝0.5，现突然给小铅块一个向右的初速度v 0＝9 m/s ，使其在木块上滑行．设木块与地面间及小铅块与木块间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：(1)小铅块相对木块滑动时小铅块的加速度大小；(2)小铅块下的木块刚发生运动时小铅块的瞬时速度大小．【解析】 (1)设小铅块相对木块滑动时加速度大小为a ，由牛顿第二定律可知μ2Mg ＝Ma解得a ＝5 m/s 2.(2)设小铅块最多能带动n 个木块运动，对n 个木块整体进行受力分析，当小铅块下的n 个木块发生运动时，则有μ2Mg ≥μ1(mgn ＋Mg )解得n ≤3.33即小铅块最多只能带动3个木块运动设当小铅块通过前面的9个木块时的瞬时速度大小为v ，由动能定理可知－μ2Mg ×9l ＝12M (v 2－v 20) 解得v ＝6 m/s.【答案】 (1)5 m/s 2 (2)6 m/s命题点3 数学方法求解极值问题5．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.求：(1)物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？【解析】 (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得L ＝v 0t ＋12at 2① v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据得a ＝3 m/s 2③v ＝8 m/s ④(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ⑤F sin α＋F N －mg cos θ＝0⑥又F f ＝μF N ⑦联立⑤⑥⑦式得F ＝mg (sin θ＋μcos θ)＋ma cos α＋μsin α⑧ 由数学知识得cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑨ 由⑧⑨式可知对应F 最小的夹角α＝30°⑩联立③⑧⑩式，代入数据得F 的最小值为F min ＝1335N. 【答案】 (1)3 m/s 2 8 m/s (2)30°1335N“四种”典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T＝0.(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时．。
高中物理-动力学中的临界和极值问题
高中物理-动力学中的临界和极值问题在应用牛顿运动定律解决动力学问题时，会出现一些临界或极值条件的标志： 1．若题目中出现“恰好”“刚好”等字眼，明显表示过程中存在临界点．2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就对应临界状态．3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明过程中存在着极值，而极值点往往是临界点．4．若题目要求“最终加速度”“稳定加速度”等即是求收尾加速度或收尾速度． 一、接触与分离的临界条件物体分离的临界条件是相互作用力由原来的不为零变为零．因此解答此类问题，应该对原状态下研究对象的受力和运动状态进行分析，由牛顿第二定律或平衡条件列方程，令其中相互作用的弹力为零解得临界状态的加速度，以临界加速度为依据分析各种状态下物体的受力情况及运动状态的变化．质量为m 、半径为R 的小球用长度也为R 的轻质细线悬挂在小车车厢水平顶部的A 点，现观察到小球与车顶有接触，重力加速度为g ，则下列判断正确的是( )A ．小车正向右做减速运动，加速度大小可能为3gB ．小车正向左做减速运动，加速度大小可能为33gC ．若小车向右的加速度大小为23g ，则车厢顶部对小球的弹力为mgD ．若细线张力减小，则小球一定离开车厢顶部 [解析] 如图所示，小球恰好与车顶接触的临界状态是车顶对小球的弹力恰为零，故临界加速度a 0＝g tan θ，由线长等于小球半径可得，θ＝60°，a 0＝3g .小球与车顶接触时，小车具有向右的加速度，加速度大小a ≥3g ，A 、B 项错；当小车向右的加速度大小a ＝23g 时，ma F N ＋mg＝tan θ，解得F N ＝mg ，C 项正确；细线张力F T ＝ma sin θ，小球与车顶接触的临界(最小)值F Tmin ＝2mg ，当张力的初始值F T >2mg 时，张力减小时只要仍大于或等于临界值，小球就不会离开车厢顶部，D 项错误．[答案] C二、绳子断裂与松弛的临界条件绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T ＝0.如图所示，小车内固定一个倾角为θ＝37°的光滑斜面，用一根平行于斜面的细线系住一个质量为m ＝2 kg 的小球，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则：(1)当小车以a 1＝5 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？(2)当小车以a 2＝20 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？[解析] 本题中存在一个临界状态，即小球刚好脱离斜面的状态，设此时加速度为a 0，对小球受力分析如图甲所示．将细线拉力分解为水平x 方向和竖直y 方向两个分力，则得到F cos θ＝ma 0 F sin θ－mg ＝0a 0＝g tan θ＝403m/s 2.(1)a 1＝5 m/s 2<a 0，这时小球没有脱离斜面，对小球受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得 F cos θ－F N sin θ＝ma 1 F sin θ＋F N cos θ－mg ＝0 解得F ＝20 N ，F N ＝10 N.(2)a2＝20 m/s2>a0，这时小球脱离斜面，设此时细线与水平方向之间的夹角为α，对小球受力分析如图丙所示，由牛顿第二定律得F cos α＝ma2F sin α＝mg两式平方后相加得F2＝(ma2)2＋(mg)2解得F＝(ma2)2＋(mg)2＝20 5 N.[答案](1)20 N(2)20 5 N三、相对滑动的临界条件两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值，并且还要考虑摩擦力方向的多样性．(多选)如图所示，小车内有一质量为m的物块，一轻质弹簧两端与小车和物块相连，处于压缩状态且在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，形变量为x，物块和小车之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动过程中，物块和小车始终保持相对静止，则下列说法正确的是()A．若μmg小于kx，则小车的加速度方向一定向左B．若μmg小于kx，则小车的加速度最小值为a＝kx－μmgm，且小车只能向左加速运动C．若μmg大于kx，则小车的加速度方向可以向左也可以向右D．若μmg大于kx，则小车的加速度最大值为kx＋μmgm，最小值为kx－μmgm[解析]若μmg小于kx，而弹簧又处于压缩状态，则物块所受弹簧弹力和静摩擦力的合力水平向左，即小车的加速度一定向左，A对；由牛顿第二定律得kx－F f＝ma，当F f＝μmg时，加速度方向向左且最小值为a min＝kx－μmgm，随着加速度的增加，F f减小到零后又反向增大，当再次出现F f＝μmg时，加速度方向向左达最大值a max ＝kx＋μmgm，但小车可向左加速，也可向右减速，B错；若μmg大于kx，则物块所受弹簧弹力和静摩擦力的合力(即加速度)可能水平向左，也可能水平向右，即小车的加速度方向可以向左也可以向右，C对；当物块的合外力水平向右时，加速度的最大值为μmg－kxm，物块的合外力水平向左时，加速度的最大值为μmg＋kxm，则小车的加速度最大值为kx＋μmgm，最小值为0，D错．[答案]AC四、加速度或速度最大的临界条件当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现加速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值．(多选)(2016·潍坊模拟)如图所示，一个质量为m 的圆环套在一根固定的水平长直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个水平向右的恒力F ，使圆环由静止开始运动，同时对环施加一个竖直向上、大小随速度变化的作用力F 1＝kv ，其中k 为常数，则圆环运动过程中( )A ．最大加速度为FmB ．最大加速度为F ＋μmgmC ．最大速度为F ＋μmgμkD ．最大速度为mgk[解析] 当F 1<mg 时，由牛顿第二定律得F －μ(mg －kv )＝ma ，当v ＝mg k 时，圆环的加速度最大，即a max ＝Fm ，选项A 正确，B 错误；圆环速度逐渐增大，F 1＝kv >mg ，由牛顿第二定律得F －μ(kv －mg )＝ma ，当a ＝0时，圆环的速度最大，即v max ＝F ＋μmgμk，选项C 正确，D 错误． [答案] AC五、数学推导中的极值问题将物理过程通过数学公式表达出来，根据数学表达式解出临界条件，通常用到三角函数关系．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2. (1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？[解析] (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得： L ＝v 0t ＋12at 2①v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据解得：a ＝3 m/s 2，v ＝8 m/s.(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面之间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ③F sin α＋F N －mg cos θ＝0④ 又F f ＝μF N ⑤联立③④⑤解得：F ＝mg (sin θ＋μcos θ)＋macos α＋μsin α⑥由数学知识得：cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑦ 由⑥⑦式可知对应的F 最小值与斜面的夹角α＝30°⑧ 联立⑥⑧式，代入数据得F 的最小值为： F min ＝1335N. [答案] (1)3 m/s 2 8 m/s (2)30°1335N 六、滑块一滑板模型中的临界问题在滑块—滑板模型中，若两者一起运动时优先考虑“被动”的“弱势”物体，该物体通常具有最大加速度，该加速度也为系统一起运动的最大加速度，否则两者将发生相对运动．(2016·湖北荆州模拟)物体A 的质量m 1＝1 kg ，静止在光滑水平面上的木板B 的质量为m 2＝0.5 kg 、长l ＝1 m ，某时刻A 以v 0＝4 m/s 的初速度滑上木板B 的上表面，为使A不至于从B 上滑落，在A 滑上B 的同时，给B 施加一个水平向右的拉力F ，若A 与B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，试求拉力F 应满足的条件．(忽略物体A 的大小)[解析] 物体A 滑上木板B 以后，做匀减速运动， 加速度a A ＝μg ①木板B 做加速运动，有F ＋μm 1g ＝m 2a B ②物体A 不滑落的临界条件是A 到达B 的右端时，A 、B 具有共同的速度v t ，则v 20－v 2t 2a A ＝v 2t2a B＋l ③ 且v 0－v t a A ＝v ta B④ 由③④式，可得a B ＝v 202l－a A ＝6 m/s 2，代入②式得F ＝m 2a B －μm 1g ＝0.5×6 N －0.2×1×10 N ＝1 N ，若F ＜1 N ，则A 滑到B 的右端时，速度仍大于B 的速度，于是将从B 上滑落，所以F 必须大于等于1 N. 当F 较大时，在A 到达B 的右端之前，就与B 具有相同的速度，之后，A 必须相对B 静止，才能不会从B的左端滑落．即有：F ＝(m 1＋m 2)a ， μm 1g ＝m 1a ，所以F ＝3 N ，若F 大于3 N ，A 就会相对B 向左端滑下． 综上，力F 应满足的条件是1 N ≤F ≤3 N. [答案] 1 N ≤F ≤3 N1．(2016·西安质检)如图所示，将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，砝码的移动很小，几乎观察不到，这就是大家熟悉的惯性演示实验．若砝码和纸板的质量分别为2m和m，各接触面间的动摩擦因数均为μ.重力加速度为g.要使纸板相对砝码运动，所需拉力的大小至少应大于()A．3μmg B．4μmg C．5μmg D．6μmg解析：选D.纸板相对砝码恰好运动时，对纸板和砝码构成的系统，由牛顿第二定律可得：F－μ(2m＋m)g＝(2m ＋m)a，对砝码，由牛顿第二定律可得：2μmg＝2ma，联立可得：F＝6μmg，选项D正确．2．(多选)(2016·湖北黄冈模拟)如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体(物体与弹簧不连接)，初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x的关系如图乙所示(g＝10 m/s2)，下列结论正确的是()A．物体与弹簧分离时，弹簧处于原长状态B．弹簧的劲度系数为750 N/mC．物体的质量为2 kgD．物体的加速度大小为5 m/s2解析：选ACD.物体与弹簧分离时，弹簧的弹力为零，轻弹簧无形变，所以选项A正确；从题图乙中可知ma ＝10 N，ma＝30 N－mg，解得物体的质量为m＝2 kg，物体的加速度大小为a＝5 m/s2，所以选项C、D正确；弹簧的劲度系数k＝mgx0＝200.04N/m＝500 N/m，所以选项B错误．3．(多选)如图所示，质量均为m的A、B两物块置于光滑水平地面上，A、B接触面光滑，倾角为θ，现分别以水平恒力F作用于A物块上，保持A、B相对静止共同运动，则下列说法中正确的是()A．采用甲方式比采用乙方式的最大加速度大B．两种情况下获取的最大加速度相同C．两种情况下所加的最大推力相同D．采用乙方式可用的最大推力大于甲方式的最大推力解析：选BC.甲方式中，F最大时，A刚要离开地面，A受力如图丙所示，则F N1cos θ＝mg①对B：F′N1sin θ＝ma1②由牛顿第三定律可知F′N1＝F N1③乙方式中，F 最大时，B 刚要离开地面，B 受力如图丁所示，则F N2cos θ＝mg ④ F N2sin θ＝ma 2⑤由①③④可知F N2＝F N1＝F N1′⑥由②⑤⑥式可得a 2＝a 1，对整体易知F 2＝F 1， 故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误．4.如图所示，水平桌面光滑，A 、B 物体间的动摩擦因数为μ(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A 物体质量为2m ，B 和C 物体的质量均为m ，滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码．在保持A 、B 、C 三个物体相对静止共同向左运动的情况下，B 、C 间绳子所能达到的最大拉力是( )A.12μmg B ．μmg C ．2μmg D ．3μmg 解析：选B.因桌面光滑，当A 、B 、C 三者共同的加速度最大时，F BC ＝m C a 才能最大．这时，A 、B 间的相互作用力F AB 应是最大静摩擦力2μmg ，对B 、C 整体来讲：F AB ＝2μmg ＝(m B ＋m C )a ＝2ma ，a ＝μg ，所以F BC ＝m C a ＝μmg ，选项B 正确．5.如图所示，用细线将质量为m 的氢气球拴在车厢地板上的A 点，此时细线与水平方向成θ＝37°角，气球与固定在水平车顶上的压力传感器接触，小车静止时，细线恰好伸直但无弹力，压力传感器的示数为气球重力的12.重力加速度为g ，sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8.现要保持细线方向不变而传感器示数为零，下列方法中可行的是( )A ．小车向右加速运动，加速度大小为12gB ．小车向左加速运动，加速度大小为12gC ．小车向右减速运动，加速度大小为23gD ．小车向左减速运动，加速度大小为23g解析：选C.小车静止时细线无弹力，气球受到重力mg 、空气浮力f 和车顶压力F N ，由平衡条件得f ＝mg ＋F N ＝32mg ，即浮力与重力的合力为12mg ，方向向上．要使传感器示数为零，则细线有拉力F T ，气球受力如图甲所示，由图乙可得12mg ma ＝tan 37°，小车加速度大小为a ＝23g ，方向向左．故小车可以向左做加速运动，也可以向右做减速运动，C 选项正确．6.如图所示，质量为m ＝1 kg 的物体，放在倾角θ＝37°的斜面上，已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝9.8 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.要使物体与斜面相对静止且一起沿水平方向向左做加速运动，则其加速度多大？解析：当物体恰不向下滑动时，受力分析如图甲所示 F N1sin 37°－F f1cos 37°＝ma 1F f1sin 37°＋F N1cos 37°＝mg F f1＝μF N1解得a 1＝3.6 m/s 2当物体恰不向上滑动时，受力分析如图乙所示F N2sin 37°＋F f2cos 37°＝ma2F N2cos 37°＝mg＋F f2sin 37°F f2＝μF N2解得a2＝13.3 m/s2因此加速度的取值范围为3.6 m/s2≤a≤13.3 m/s2.答案：3.6 m/s2≤a≤13.3 m/s2。
动力学中临界与极值问题.
动力学中临界与极值问题一、分离问题相互接触的物体间可能存在弹力，在接触面间弹力变为零时，它们将要分离．抓住相互接触物体分离的这一条件，就可顺利解答相关问题.例1：一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg，盘内放一质量为m2=10．5kg的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图9所示。
现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s内F是变化的，在0．2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？3.如图a所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体（物体与弹簧不连接）。
初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力F作用物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x的关系如图b所示（g-10m/s2），则正确的结论是（） A．物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态B．弹簧的劲度系数为7.5N/cm C．物体的质量为3kgD．物体的加速度大小为5m/s24．如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2倍，B受到向右的恒力FB＝2 N，A受到的水平力FA ＝(9－2t)N(t单位是s)．从t＝0开始计时，则 ( )A．A物体在3 s末时刻的加速度是初始时刻的倍 B．t＞4 s后，B物体做匀加速直线运动 C．t＝4.5 s时，A物体的速度为零D．t＞4.5 s后，A、B的加速度方向相反5、在一正方形小盒内装一小圆球,盒与球一起沿倾角为θ的光滑斜面下滑,如图所示. 若不计摩擦,当θ角增大时,下滑过程圆球对方盒前壁压力及对方盒底面的压力将如何变化( ) A.N′变小,N变小B.N′变小,N为零C.N′变小,N变大D.N′不变,N变大二、相对滑动问题存在摩擦的物体产生相对滑动的临界条件是静摩擦力取最大静摩擦力，例2．如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平思考： 1 何时分离时？2分离时物体是否处于平衡态。
专题讨论：动力学的临界极值问题学案
专题讨论：动力学的临界极值问题基本知识一、动力学的临界问题：在动力学问题中，当物体的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“至少”、“刚好”等词语时，往往有临界现象，此时用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。
二、几类问题的临界条件1、相互接触的两物体脱离的临界条件是相互作用的弹力为零，即N=02、绳子松弛的临界条件是绳中张力为零，即T=03、存在静摩擦的连接系统，相对静止与相对滑动的临界条件是静摩擦力达最大值，即f静=f m。
三、解题步骤：1、选取研究对象（一个物体或几个物体组成的系统）2、先用极限分析法找出物体（或物体系统）的临界状态，做出此时物体的受力示意图。
3、再建立直角坐标系，由牛顿第二定律列方程求解极值。
典型例题【例一】如图，A与B，B与地面的动摩擦因数都是μ，A、B的质量都是m，要保持物体A和B相对静止，求物体B受到的水平拉力的最大值。
【例二】如图所示，质量为M的木板上放一质量为m的木块，木块与木板间的动摩擦因数为μ1；，木板和地面间的动摩擦因数为μ2，问加在木板上的力F多大时，才能将木板从木块和地面间抽出来?【例三】如图所示，质量为m的物体放在质量为M的倾角为α的斜面上，如果物体与斜面间、斜面体与地面间摩擦均不计，问（1）作用于斜面体上的水平力多大时，物体与斜面体刚好不发生相对运动?(2)此时m对M的压力多大?(3)此时地面对斜面体的支持力多大?【例四】一个质量为0．1千克的小球，用细线吊在倾角a为37°的斜面顶端，如图所示。
系统静止时绳与斜面平行，不计一切摩擦。
求下列情况下，绳子受到的拉力为多少?(1)系统以6米／秒2的加速度向左加速运动；(2)系统以l0米／秒2的加速度向右加速运动；(3)系统以15米／秒2的加速度向右加速运动。
【例五】如图所示，带斜面的小车，车上放一个均匀球，不计摩擦。
当小车向右匀加速运动时，要保证小球的位置相对小车没变化，小车加速度a不得超过多大?【例六】如图所示，两光滑的梯形木块A和B，紧靠放在光滑水平面上，已知θ=60°，m A=2kg，m B=lkg，现水平推力F使两木块向右加速运动，要使两木块在运动过程中无相对滑动，则F的最大值多大?【例七】如图所示，质量为m的光滑球恰好放在质量为M的木块的圆弧槽中，它的左边的接触点为A，槽的半径为R，且OA与水平线成α角。
牛顿运动定律的应用-临界问题与极值问题
牛顿运动定律的应用——临界和极值问题一、概念临界状态常指某种物理现象由量变到质变过渡到另一种物理现象的连接状态常伴有极值问题出现。
（1）临界问题：某种物理现象（或物理状态）刚好要发生或刚好不发生的转折状态，这种涉及临界状态的问题叫临界问题。
（2）极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
二、关键词语在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”“恰好”、“刚刚”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类问题一般用假设法。
三、常见类型动力学中的常见临界问题主要有三类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离的问题；二是绳子的绷紧与松弛问题；三是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题。
四、解题关键解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析，找出处于临界状态时存在的独特的物理关系，即临界条件。
常见的三类临界问题的临界条件： 1、相互接触的两个物体将脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。
2、绳子松弛的临界条件是：绳子的拉力为零。
3、存在静摩擦的系统，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值。
例题例1：有一质量M=4kg的小车置于光滑水平桌面上，在小车上放一质量m=6kg的物块，动摩擦因素µ=0.2,现对物块施加F=25N的水平拉力,如图所示，求小车的加速度？（设车与物块之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力且g取10m/s2)例1例2．托盘A 托着质量为m 的重物B ，B 挂在劲度系数为k 的弹簧下端，弹簧的上端悬挂于O 点，开始时弹簧竖直且为原长，今让托盘A 竖直向下做初速为零的匀加速运动，其加速度为a ，求经过多长时间，A 与B 开始分离（a <g ）．临界问题与极值问题针对训练一、选择题（第1到第4为单选题，第5到第8题为多选题）1．如图在前进的车厢的竖直后壁上放一个物体，物体与后壁间的滑动摩擦系数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．要使物体不下滑，车厢至少应以多大的加速度前进（ ）A ．g/μB ．gμC ．μ/gD ．g2．如图2所示，质量为M 的木板，上表面水平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为m 的物块，物块与木板及木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，若要以水平外力F 将木板抽出，则力F 的大小至少为（ ）A. μmgB. ()μM m g +C. ()μm M g +2D. ()2μM m g +3．一个物体沿摩擦因数一定的斜面加速下滑，下列图象，哪个比较准确地描述了加速度a 与斜面倾角θ的关系（ ）4．如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg 。
高中物理：动力学中的临界、极值问题
高中物理：动力学中的临界、极值问题1．动力学中的典型临界问题(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离的临界条件是弹力N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绝对张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛与拉紧的临界条件是T ＝0.(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，所对应的速度便会出现最大值或最小值．2．求解临界极值问题的三种常用方法(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．(3)数学法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件．[典例3] 如图所示，质量m ＝1 kg 的光滑小球用细线系在质量为M ＝8 kg 、倾角为α＝37°的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g 取10 m/s 2.试求：(1)若用水平向右的力F 拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F 不能超过多少？(2)若用水平向左的力F ′推斜面体，要使小球不沿斜面滑动，推力F ′不能超过多少？[解析] (1)小球不离开斜面体，两者加速度相同、临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为0对小球受力分析如图：由牛顿第二定律得：mg ·cot 37°＝maa ＝g cot 37°＝403m/s 2 对整体由牛顿第二定律得：F ＝(M ＋m )a ＝120 N.(2)小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力恰好为0，对小球受力分析如图：由牛顿第二定律得：mg tan 37°＝ma ′a′＝g tan 37°＝7.5 m/s2对整体由牛顿第二定律得：F′＝(M＋m)a′＝67.5 N.[答案](1)120 N(2)67.5 N[规律总结]求解此类问题时，一定要找准临界点，从临界点入手分析物体的受力情况和运动情况，看哪些量达到了极值，然后对临界状态应用牛顿第二定律结合整体法、隔离法求解即可．7．如图所示，有一光滑斜面倾角为θ，放在水平面上，用固定的竖直挡板A与斜面夹住一个光滑球，球质量为m.若要使球对竖直挡板无压力，球连同斜面应一起()A．水平向右加速，加速度a＝g tan θB．水平向左加速，加速度a＝g tan θC．水平向右减速，加速度a＝g sin θD．水平向左减速，加速度a＝g sin θ解析：球对竖直挡板无压力时，受力如图所示，重力mg和斜面支持力N的合力方向水平向左．F＝mg tan θ＝ma，解得a＝g tan θ，因此斜面应向左加速或者向右减速．答案：B8．(多选)如图所示，粗糙水平面上放置质量分别为m、2m和3m的3个木块，木块与水平面间动摩擦因数相同，其间均用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为T.现用水平拉力F拉其中一个质量为2m 的木块，使3个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是()A．绳断前，a、b两轻绳的拉力比总为4∶1B．当F逐渐增大到T时，轻绳a刚好被拉断C．当F逐渐增大到1.5T时，轻绳a刚好被拉断D．若水平面是光滑的，则绳断前，a、b两轻绳的拉力比大于4∶1解析：取三木块为整体，则有F－6μmg＝6ma，取质量m、3m的木块为整体，则有T a －4μmg＝4ma，隔离m则有T b－μmg＝ma，所以绳断前，a、b两轻绳的拉力比总为4∶1，与F、μ无关，A对，D错；当a绳要断时，则a＝T4m－μg，所以拉力F＝1.5T，B错，C对．答案：AC9．一弹簧秤的秤盘A 的质量m ＝1.5 kg ，盘上放一物体B ，B 的质量为M ＝10.5 kg ，弹簧本身质量不计，其劲度系数k ＝800 N /m ，系统静止时如图所示．现给B 一个竖直向上的力F 使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.20 s 内，F 是变力，以后F 是恒力，求F 的最大值和最小值．(g 取10 m/s 2)解析：设刚开始时弹簧压缩量为x 1，则x 1＝(m ＋M )g k＝0.15 m ① 设两者刚好分离时弹簧压缩量为x 2，则kx 2－mg ＝ma ②在前0.2 s 时间内，由运动学公式得：x 1－x 2＝12at 2③ 由①②③解得：a ＝6 m/s 2由牛顿第二定律，开始时：F min ＝(m ＋M )a ＝72 N最终分离后：F max －Mg ＝Ma即：F max ＝M (g ＋a )＝168 N.答案：168 N 72 N。
动力学中的临界极值问题
动力学中的临界极值问题临界和极值问题是物理中的常见题型;结合牛顿运动定律求解的也很多;临界是一个特殊的转换状态;是物理过程发生变化的转折点..分析此类问题重在找临界条件;常见的临界条件有：1.细线：拉直的临界条件为T=0;绷断的临界条件为T=Tmax2.两物体脱离的临界条件为：接触面上的弹力为零3.接触的物体发生相对运动的临界条件为：静摩擦力达到最大静摩擦临界或极值条件的标志1有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼;明显表明题述的过程存在着临界点；2若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语;表明题述的过程存在着“起止点”;而这些起止点往往就对应临界状态；3若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼;表明题述的过程存在着极值;这个极值点往往是临界点；4若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等;即是求收尾加速度或收尾速度．例32013·山东·22如图5所示;一质量m＝0.4 kg的小物块;以v0＝2 m/s的初速度;在与斜面成某一夹角的拉力F作用下;沿斜面向上做匀加速运动;经t＝2s的时间物块由A点运动到B点;A、B之间的距离L＝10 m．已知斜面倾角θ＝30°;物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝.重力加速度g取10 m/s2.图51求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小．2拉力F与斜面夹角多大时;拉力F最小拉力F的最小值是多少解析1设物块加速度的大小为a;到达B点时速度的大小为v;由运动学公式得L＝v0t＋at2 ①v＝v0＋at ②联立①②式;代入数据得a＝3 m/s2 ③v＝8 m/s ④2设物块所受支持力为F N;所受摩擦力为F f;拉力与斜面间的夹角为α;受力分析如图所示;由牛顿第二定律得F cosα－mg sinθ－F f＝ma ⑤F sinα＋F N－mg cosθ＝0 ⑥又F f＝μF N ⑦联立⑤⑥⑦式得F＝sinθ＋μcosθ ＋ma;cosα＋μsinα⑧由数学知识得cosα＋sinα＝sin60°＋α⑨由⑧⑨式可知对应最小F的夹角α＝30°⑩联立③⑧⑩式;代入数据得F的最小值为F min＝N答案13 m/s28 m/s230°N动力学中的典型临界条件1接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离;临界条件是：弹力F N＝0.2相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时;常存在着静摩擦力;则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．3绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的;绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力;绳子松驰的临界条件是：F T ＝0.4加速度变化时;速度达到最值的临界条件：当加速度变为零时．突破训练3 如图6所示;水平地面上放置一个质量为m 的物体;在与水平方向成θ角、斜向右上方的拉力F 的作用下沿水平地面运动．物体与地面间的动摩擦因数为μ;重力加速度为g .求：图61若物体在拉力F 的作用下能始终沿水平面向右运动且不脱离地面;拉力F 的大小范围；2已知m ＝10 kg;μ＝0.5;g ＝10 m/s 2;若F 的方向可以改变;求使物体以恒定加速度a ＝5 m/s 2向右做匀加速直线运动时;拉力F 的最小值． 答案 1≤F ≤ 240N解析 1要使物体运动时不离开水平面;应有：F sin θ≤mg 要使物体能一直向右运动;应有： F cos θ≥μmg －F sin θ 联立解得：≤F ≤2根据牛顿第二定律得：F cos θ－μmg －F sin θ＝ma 解得：F ＝上式变形F ＝θ＋α ;其中α＝sin －1;当sin θ＋α＝1时F 有最小值 解得：F min ＝;代入相关数据解得：F min ＝40N.B 组动力学中的临界极值问题2．如图所示;一质量为0.2kg 的小球系着静止在光滑的倾角为53°的斜面上;斜面静止时;球紧靠在斜面上;绳与斜面平行;当斜面以10m/s2加速度水平向右做匀加速直线运动时;求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力．g ＝10m/s2 3．2007江苏如图所示;光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块;其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连;木块间的最大静摩擦力是μmg ．现用水平拉力F 拉其中一个质量为2m 的木块;使四个木块以同一加速度运动;则轻绳对m 的最大拉力为5mg 3μB ．4mg 3μC ．2mg3μD ．mg 3μ例2．一根劲度系数为k 、质量不计的轻弹簧上端固定;下端系一质量为m 的物块;有一水平的木板将物块托住;并使弹簧处于自然长度;如图所示．现让木板由静止开始以加速度aa<g 匀加速向下移动;经过多长时间木板与物块分离跟踪训练2．如图所示;物体A 叠放在物体B 上;B 置于光滑水平面上．A 、B 质量分别为6.0kg 和2.0kg;A 、B 之间的动摩擦因数为0.2.在物体A 上施加水平方向的拉力F;开始时F ＝10N;此后逐渐增大;在增大到45N 的过程中;以下判断正确的是A ．两物体间始终没有相对运动B ．两物体间从受力开始就有相对运动C ．当拉力F ＜12N 时;两物体均保持静止状态D ．两物体开始没有相对运动;当F ＞18N 时;开始相对滑动3如图3－3－3所示;光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 的A 、B 两个物体;A 、B 间的最大静摩擦力为μmg;现用水平拉力F 拉B;使A 、B 以同一加速度运动;则拉力F 的最大值为图3－3－3A ．μmgB ．2μmgC ．3μmgD ．4μmg解析 当A 、B 之间恰好不发生相对滑动时力F 最大;此时;对于A 物体所受的合外力为μmg ;由牛顿第二定律知a A ＝＝μg ；对于A 、B 整体;加速度a ＝a A ＝μg ;由牛顿第二定律得F＝3ma＝3μmg.答案 C图3－3－44如图3－3－4所示;一轻质弹簧的一端固定于倾角θ＝30°的光滑斜面的顶端;另一端系有质量m＝0.5 kg的小球;小球被一垂直于斜面的挡板挡住;此时弹簧恰好为自然长度．现使挡板以恒定加速度a＝2 m/s2沿斜面向下运动斜面足够长;已知弹簧的劲度系数k＝50N/m;g取10 m/s2.1求小球开始运动时挡板对小球的弹力的大小．2求小球从开始运动到与挡板分离时弹簧的伸长量．3判断小球与挡板分离后能否回到原出发点请简述理由．审题指导1初始时刻;弹簧处于自然长度;小球受重力和挡板的支持力．2球与挡板分离的临界条件为二者之间作用力恰为零．解析1设小球受挡板的作用力为F1;因为开始时弹簧对小球作用力为零;由牛顿第二定律得：mg sinθ－F1＝maF1＝1.5N.2设小球受弹簧的拉力为F2;因为小球与挡板分离时;挡板对小球的作用力为零;由牛顿第二定律得：mg sinθ－F2＝maF2＝1.5N由胡克定律得：F2＝kx;x＝3 cm;3小球与挡板分离后不能回到原出发点．因为整个过程中挡板对小球的作用力沿斜面向上;小球位移沿斜面向下;挡板对小球做负功;小球和弹簧组成的系统的机械能减小．。
动力学的临界和极值问题
动力学的临界和极值问题教学目标: 教学重点、难点: 新课引入：教学过程：一、临界和极值在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。
此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。
在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。
这类问题称为临界问题。
在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。
1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力N 0,而且此时它们的速度相等，加速度相同。
【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板,将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（）A、一直加速B、先减速，后加速C、先加速、后减速D＞匀加速答案：C 【例】如图所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为m。
的托盘，托盘上有一个质量为m的木块。
用竖直向下的力将原长为l o 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m即将脱离m0时的弹簧长度为（）A , m0m gA 、l。
B 、l。
—0——gkC、1。
mgkD、1。
m°g答案：A 【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为45的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球。
当滑块至少以加速度a左运动时，小球对滑块的压力等于零。
当滑块以a加速度向左运动时，线的拉力大小F O答案：g、＞/5mg【例】一个质量为0.2kg的小球用细线吊在倾角53的斜面顶端，如图, 斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10m/s2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力。
人教版 高中物理必修一 专题：动力学中的临界、极值问题课件(11张ppt)
练习：如图所示，质量为M的木板，上表面水 平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为m 的物块，物块与木板及木板与桌面间的动摩擦 因数均为μ，若要以水平外力F将木板抽出，则 力F的大小至少为（ ）
A．μmg B．μ（M+m）g C．μ（m+2M）g D．2μ（M+m）g
放着一个质量为M=16kg的三角形物块，一水平轻绳一端系着
M跨过定滑轮，另一端挂着一个质量为m的物块．斜面与M间
的摩擦因数为μ=0.8，若最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，为
使系统保持静止，m最大不能超过多少？
牛顿运动定律应用中的临界问题
• 2、如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1=4kg，
m2=1kg，AB间的动摩擦因数为μ1=0.5，A与地面间的 动摩擦因数μ2=0.5．在水平力F的推动下要使A、B一
的压力．（3）当汽车以a=10m/s2向右匀减速行驶
时，细线对小球的拉力．
临界或极值问题的方法
• ①弄清了受力如何变化及运动的细节，临界点的隐含 条件自然就暴露出来了．这种方法是最基础也是最有 效的方法．
• ②假设法：有些物理过程中没有出现临界问题的线索， 但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临 界问题，解答这类问题，一般用假设法．
专题：
动力学中的临界值和极值问题
一、临界或极值问题的关键词
• （1）“刚好”、“恰好”、“正好”、“取值范围”等， 表明题述的过程存在临界点 • （2）“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等， 表明过程存在极值
二、产生临界值和极值的条件
• （1）两物体脱离的临界条件： 相互作用的弹力为零，加速度相等。
动力学中的临界极值问题
图 337
2．(多选)(2014· 江苏高考)如图 337 所示，A、B 两物块的质量分别 为 2 m 和 m，静止叠放在水平地面上。A、B 间的动摩擦因数 1 为 μ，B 与地面间的动摩擦因数为 μ。最大静摩擦力等于滑动 2 摩擦力，重力加速度为 g。现对 A 施加一水平拉力 F，则( )
A．当 F<2μmg 时，A、B 都相对地面静止 5 1 B．当 F＝ μmg 时，A 的加速度为 μg 2 3 C．当 F>3μmg 时，A 相对 B 滑动 1 D．无论 F 为何值，B 的加速度不会超过 μg 2
二.典型方法： １.极限分析法： 把物理问题(或过程)推向极端，使问题呈现 出最简单、最理想的状态，即临界现象(或状态) 暴露出来，以达到正确解决问题的目的。 把物理问题(或过程)推向极端，使问题呈现 出最简单、最理想的状态，即临界现象(或状态) 暴露出来，以达到正确解决问题的目的。
[典例 1]
2静
利用极限 分析法
练习：
答案：C
二.典型方法Hale Waihona Puke ２.假设分析法：假设物体处于临界状态
在动力学的临界问题中哪些情况下可 使用假设分析法？
临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两 种可能时，或变化过程中可能出现临界条件， 也可能不出现临界条件时，往往用假设法解 决问题。
[典例2] 如图所示，质量为m＝1 kg的物块放在 倾角为θ＝37°的斜面体上，斜面体质量为M＝2 kg，斜面与物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，地面 光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m 相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。(g取 10 m/s2)
动力学中的临界极值问题
临界点 一.临界极值的标志 1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好” 等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。 临界状态 2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、 “多大距离”等词语，表明题述的过程存在着 临界点 “起止点”，而这些起止点往往就对应临界状 态。 3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、 “至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值， 这个极值点往往是临界点。 4．若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度” 等，即是求收尾加速度或收尾速度。 收尾加速度或 收尾速度
超级经典实用的临界问题和极值问题(吐血整理)
如图3—51所示，把长方体切成质量分别为m和M的 两部分，切面与底面的夹角为θ长方体置于光滑的 水平地面，设切面亦光滑，问至少用多大的水平力 推m，m才相对M滑动?
如图1所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F 的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面 光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运 动时的水平力F的范围。
临界问题和极值问题
一、临界状态
在物体的运动状态发生变化的过程中，往往 达到某一特定的状态时，有关物理量将发生 变化，此状态即为临界状态，相应物理量的 值为临界值。【讨论相互作用的物体是否会 发生相对滑动，相互接触的物体是否会分离 等问题就是临界问题】 注意：题目中出现“最大、刚好、恰好、最 小”等词语时，常有临界问题。
F
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B 60°
图1
1、在水平向右运动的小车上，有一倾角θ=370的光 滑斜面，质量为 m 的小球被平行于斜面的细绳系住 而静止于斜面上，如图所示。当小车以（1）a1=g, (2) a2=2g 的加速度水平向右运动时，绳对小球的拉 力及斜面对小球的弹力各为多大？
a
θ
二、动力学中常见的临界问题
1、接触的两物体发生脱离（分离）临界条件： 弹力FN=0； 2、两相对静止的物体发生相对滑动的临界条 件：静摩擦力达到最大值，即f=fMax； 3、绳子断裂和松弛的临界条件：（1）断裂 的临界条件：绳子受的拉力达到它能承受拉 力的最大值；（2）松弛临界条件：绳子受的 拉力为零，即FT=0
4、加速度达到最大和最小的临界条件：物体 受到变化的合外力作用，加速度不断变化， 当所受合外力最大时，加速度最大；合外力 最小时，加速度最小； 5、速度最大或最小的临界条件：加速度为零， 即a=0
动力学中的临界和极值
服/务/教/师 免/费/馈/赠
(2)2 s
新课标物理· 必修1
1.连接体 两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的 整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或 用绳子、细杆等连在一起．
服/务/教/师
免/费/馈/赠
新课标物理· 必修1
2．处理连接体问题的方法 (1)整体法：把整个系统作为一个研究对象来分析的方法．不 必考虑系统内力的影响，只考虑系统受到的外力． (2)隔离法：把系统中的各个部分 (或某一部分)隔离，作为一 个单独的研究对象来分析的方法． 此时系统的内力就有可能成为 该研究对象的外力，在分析时要特别注意．
【答案】 m2F m1＋m2
服/务/教/师
免/费/馈/赠
新课标物理· 必修1
2． (多选 )质量分别为 2 kg 和 3 kg 的物块 A、 B 放在光滑水 平面上并用轻质弹簧相连，如图 4－4 所示，今对物块 A、B 分 别施以方向相反的水平力 F1、F2，且 F1＝ 20 N、 F2＝10 N，则 下列说法正确的是 ( )
【答案】 AB
服/务/教/师
免/费/馈/赠
F1－ F2 以物体 A 和 B 为整体，加速度 a＝ ＝2 mA＋ mB
【解析】
m/s2，方向水平向左．以物体 A 为研究对象，水平方向受 F1 及 弹簧向右的拉力 F 拉 作用，由牛顿第二定律有 F1－ F 拉＝ mAa，得 F 拉 ＝ 16 N，所以 A 项对．若只有 F1 作用，则它们的加速度 a′ F1 ＝ ＝ 4 m/s2，弹簧的拉力 F 拉′＝ mBa′＝ 12 N，所以 B mA＋ mB 项对．
服/务/教/师
免/费/馈/赠
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动力学的临界和极值问题教学目标： 教学重点、难点： 新课引入： 教学过程： 一、临界和极值在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。
此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。
在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。
这类问题称为临界问题。
在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。
1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力0 N ，而且此时它们的速度相等，加速度相同。
~【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（ ）A 、一直加速B 、先减速，后加速C 、先加速、后减速D 、匀加速答案：C【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。
用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ） A 、0l B 、()kgm ml +-00 C 、k mgl -0 D 、kg m l 00-./答案：A【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为︒45的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。
当滑块至少以加速度______=a 向左运动时，小球对滑块的压力等于零。
当滑块以g a 2=的加速度向左运动时，线的拉力大小______=F 。
《【答案：g 、mg 5【例】一个质量为kg 2.0的小球用细线吊在倾角︒=53θ的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以2/10s m 的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力。
》$答案：N 83.2、0【例】如图所示，在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B 。
它们的质量分别为A m 、B m ，弹簧的劲度系数为k ,C 为一固定挡板。
系统处于静止状态。
现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d ，重力加速度为g 。
(：答案：①()AB A m g m m F a θsin +-=；②()kg m m d B Aθsin +=。
《【例】如图所示，一根劲度系数为k 质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物体A 。
手持一质量为M 的木板B ，向上托A ，使弹簧处于自然长度。
现让木板由静止开始以加速度a （g a <）匀加速向下运动，求：（1）经过多长时间A 、B 分离。
（2）手作用在板上作用力的最大值和最小值。
）答案：①()kaa g m t -=2；②最大：()()a g m M F -+=；最小：()a g m F -=。
解：①分离时弹力为0，而且加速度为a ；；②开始运动时力最大：对系统：()()a m M F g m M +=-+；AB 分离时力最小：对B ：ma F mg =-【例】如图所示，木块A 、B 的质量分别为1m 、2m ，紧挨着并排放在光滑的水平面上，A 与B 间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ角，A 与B 间的接触面光滑。
现施加一个水平力F 作用于A ，使A 、B 一起向右运动且A 、B 一不发生相对运动，求F 的最大值。
]答案：()2211tan m g m m m F θ+=【例】如图所示，一质量为m 的物块A 与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为m 的物块B 叠放在A 的上面，A 、B 处于静止状态。
若A 、B 粘连在一起，用一竖直向上的拉力缓慢上提B ，当拉力的大小为mg 5.0时，A 物块上升的高度为L ，此过程中，该拉力做功为W ；若A 、B 不粘连，用一竖直向上的恒力F 作用在B 上，当A 物块上升的高度也为L 时，A 与B 恰好分离。
重力加速度为g ，不计空气阻力，求恒力F 的大小。
\答案：mg 5.1解：静止时，对AB ：kmgx 2=∆；粘连时，缓慢地提： 》对AB ：()mg L x k F 2=-∆+；又 mg F 5.0=不粘连，分离时：0=N ； 对B ：ma mg F =-； 对A ：()ma mg L x k =--∆；由以上各式可得：mg F 5.1=。
【例】如图所示，质量kg m 10=的小球挂在倾角为︒=37α的光滑斜面的固定铁杆上，当小球与斜面一起向右以：（重力加速度为2/10s m g =）（1）g a 5.01=时，绳子拉力和斜面的弹力大小； （2）g a 22=时，绳子拉力和斜面的弹力大小。
(答案：①N 100 N 50；②N 5100 02、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题，此时绳子的张力：0=T 。
【例】如下图所示，两绳系一个质量为kg m 1.0=的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A 、B 两处，上面绳长m L 2=,两绳都拉直时与轴夹角分别为︒30和︒45。
问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧、%答案：s rad s rad /16.3/40.2≤≤ω【例】如图所示，两细绳与水平的车顶面的夹角为︒60和︒30，物体的质量为m 。
当小车以大小为g 2的加速度向右匀加速运动时，绳1和绳2的张力大小分别为多少）/答案：0 mg 5。
3、由运动情况造成的临界和极值问题，此时题目中将会出现“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语。
【例】物体A 的质量kg M 1=，静止在光滑水平面上的平板车B 的质量为kg m 5.0=、长m L 1=。
某时刻A 以s m v /40=向右的初速度滑上木板B 的上表面，在A 滑上B 的同时，给B 施加一个水平向右的拉力。
忽略物体A 的大小，已知A 与B 之间的动摩擦因数2.0=μ，取重力加速度2/10s m g =。
试求:（1）若N F 5=，物体A 在小车上运动时相对小车滑行的最大距离；（2）如果要使A 不至于从B 上滑落，拉力F 大小应满足的条件。
*答案：①m 5.0；②N F N 31≤≤。
》解：①由牛顿第二定律：对A ：1Ma Mg =μ； 对B ：2ma Mg F =+μ；此后，物体A 将做减速运动，而B 将加速，直到达到共速； 有：t a t a v v 210=-=共 得：s t 25.0= 此时，相对位移m m S S S B A 15.0<=-=相 之后，A 将从B 的左端滑下。
②当F 较小时，A 将从B 的右端滑下，临界条件是：A 到达B 的右端时，A 、B 具有共同的速度。
当F 较大时，A 将从B 的左端滑下，临界条件是：达到共同速度时，A 、B 相对静止。
此时：m f f =滑。
@【例】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。
桌布的一边与桌的AB 边重合，如图。
已知盘与桌布间的动摩擦因数为1μ，盘与桌面间的动摩擦因数为2μ。
现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB 边。
若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么(以g 表示重力加速度)答案：g a 12212μμμμ+≥解：圆盘的运动应该是先在桌布上加速，后在桌子上做匀减速运动，如果圆盘未从桌面上掉下来（设从桌布上掉下来时的速度为v ，末速度为0），则有：对圆盘：2LS S ≤+减加； 加速阶段：11ma mg =μ；122a v S =加；减速阶段：22ma mg =μ；222a v S =减；^设桌布从盘下抽出所经历时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为S 。
对桌布：221at S =；由运动情况：2L S S =-加；2121t a S =加。
由以上各式得：g a 12212μμμμ+≥。
【例】如图所示，一质量kg m 500=的木箱放于质量kg M 2000=的平板车的后部，木箱到驾驶室的距离m l 6.1=，已知木箱与木板间的动摩擦因数484.0，平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的2.0倍。
平板车以s m v /220=的恒定速率行使，突然驾驶员刹车，使车做匀减速运动，为了不让木箱撞击驾驶室，试求：（1）从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间 （2）驾驶员刹车时的制动力不能超过多少 /答案：①s 4.4；②N 31042.7⨯。
解：①设箱的位移为1S ，车的位移为2S ； 车的加速度为a 。
箱子如果不与车相碰，则有： l S S ≤-21由牛顿定律，对箱：1ma mg =μ；由运动学公式，对箱：12012a v S =；对车：av S 2202=；由以上各式有：2/5s m a ≤，所以s av t 4.40≥=。
②设汽车的制动力为F ，由牛顿第二定律： ）()Ma g m M k F mg =+--μ得：N F 31042.7⨯=【例】一木箱可视为质点，放在汽车水平车厢的前部，如图所示，已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为μ。
初始时，汽车和木箱都是静止的。
现在使汽车以恒定的加速度0a 开始启动沿直线运动。
当其速度达到0v 后做匀速直线运动。
要使木箱不脱离车厢，距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件【例】如图所示，在光滑桌面上叠放着质量为kg m A 0.2=薄木板A 和质量为kg m B 0.3=的金属块B 。
A 的长度m L 0.2=。
B 上有轻线绕过定滑轮与质量为kg m C 0.1=的物块C 相连。
B 与A 之间的滑动摩擦因数10.0=μ，最大的静摩擦力可视为等于滑动摩擦力。
忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。
起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B 位于A 的左端（如图所示），然后放手，求经过多长时间后B 从A 的右端脱离（设A 的右端距滑轮足够远）（2/10s m g =）。
！【例】一圆环A 套在一均匀圆木棒B 上，A 的高度相对B 的长度来说可以忽略不计。
A 和B 的质量都等于m ，A 和B 之间的滑动摩擦力为f （mg f <）。
开始时B 竖直放置，下端离地面高度为H ，A 在B 的顶端，如图所示。
让它们由静止开始自由下落，当木棒与地面相碰后，木棒以竖直向上的速度反向运动，并且碰撞前后的速度大小相等。
设碰撞时间很短，不考虑空气阻力，问：在B 再次着地前，要使A 不脱离B ，B 至少应该多长~答案：()H f mg g m L 2228+≥；解：开始释放后，A 、B 一起做自由落体运动， 设其到达地面前瞬间的速度为1v 。