4.4.2 D形围线和Nyquist图
控制工程基础习题答案-清华大学出版社-沈艳-孙锐主编
控制工程基础习题答案第一章1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点？（略）1-2 日常生活中有许多闭环和开环控制系统。
试举几个具体例子，并说明它们的工作原理，画出结构方框图。
（略）1-3 图1.14是液面自动控制系统的两种原理示意图。
在运行中，希望液面高度H 0维持不变。
1．试说明各系统的工作原理。
2．画出各系统的方框图，并说明被控对象、给定值、被控量和干扰信号是什么?图1.14 液位自动控制系统解：()a 工作原理：出水量2θ与进水量一致，系统处于平衡状态，液位高度保持在0H 。
当出水量大于进水量，液位降低，浮子下沉，通过连杆使阀门1L 开大，使得进水量增大，液位逐渐回升；当出水量小于进水量，液位升高，浮子上升，通过连杆使阀门1关小，液位逐渐降低。
其中被控对象是水槽，给定值是液面高度希望值0H 。
被控量是液面实际高度，干扰量是出水量2θ。
()b 工作原理：出水量与进水量一致系统处于平衡状态，电位器滑动头位于中间位置，液面为给定高度0H 。
当出水量大于（小于）进水量，浮子下沉（上浮）带动电位器滑动头向上（下）移动，电位器输出一正（负）电压，使电动机正（反）转，通过减速器开大（关小）阀门1L ，使进水量增大（减小），液面高度升高（降低），当液面高度为0H 时，电位器滑动头处于中间位置，输出电压为零，电动机不转，系统又处于平衡状态。
其中被控对象是水槽，给定值为液面高度希望值0H ，被控量是液面实际高度，干扰量是出水量2θ。
()a ，()b 系统结构图如下图1-4 若将图1.14(a )系统结构改为图1.15。
试说明其工作原理。
并与图1.14(a )比较有何不同?对系统工作有何影响?解：若将1-17()a 系统结构图改为1-18，系统变成了正反馈，当出水量与进水量一致，液面高度为给定值0H 。
当出水量大于进水量，液面位降低，浮子下称，通过连杆使阀门1关小，进水量越来越小，液面高度不能保持给定高度0H ，同样当出水量小于进水量，浮子上浮，液位升高，使阀门1开大，进水量增大，液位越来越高，不可能维持在给定高度0H1-5 图1.16是控制导弹发射架方位的电位器式随动系统原理图。
bode图 nyquist图
绘制过程举例
( )
90o
2 ( )
0.5
0o
2 1 10
1 ( )
100
ω
0.1
-90o
4 ( )
5 ( )
3 ( )
-180o
( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( )
-270o
系统开环Bode图的绘制
举例说明
例3 已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的 开环Nyquist图。
系统开环Nyquist图的绘制
总结
0型系统（v = 0）
G ( j ) K (1 j 1 )(1 j 2 )...(1 j m ) ( j ) (1 jT1 )(1 jT2 )...(1 jTn )
系统开环频率特性分析
系统开环Bode图的绘制 系统开环Nyquist 图的绘制 Nyquist稳定判据 对数稳定判据 稳定裕量 开环频率特性分析
系统开环Bode图的绘制
概述
大多数情况下，开环系统的传递函数表示成若干典型 环节的串联形式；
G( s ) G1 ( s )G2 ( s )...Gn ( s )
系统开环Nyquist图的绘制
例1 已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的 开环Nyquist图。
举例说明
系统开环Nyquist图的绘制
举例说明
例2 已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的 开环Nyquist图,并求与实轴的交点。
Nyquist图与实轴相交时
系统开环Nyquist图的绘制
延迟环节 是不是 最小相位环节 ？
用Nyquist判据判断系统稳定性
用Nyquist判据判断系统稳定性Nyquist判据是一种经典的判断系统稳定性的方法，被广泛应用于控制工程和通信工程中。
该方法通过绘制系统的Nyquist图，判断系统的极点和零点在复平面上所处的位置，从而判断系统的稳定性。
本文将介绍Nyquist判据的基本原理、具体操作步骤以及注意事项，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
一、Nyquist判据的基本原理在控制系统中，我们通常将系统的传递函数写成如下形式：G(s) = N(s) / D(s)其中，N(s)和D(s)分别为系统的分子和分母多项式，s为复变量。
我们知道，当系统传递函数G(s)的阶数为n时，该函数在复平面上有n个极点和/或零点。
Nyquist判据的基本思想是：绘制系统的Nyquist图，即将系统的G(s)函数沿着复平面上的一个可变的圈线进行连续变形，并记录圈线变形前和变形后所经过的原点和极点个数及情况。
通过比较圈线变形前后绕圆点的圈数，就可以判断系统的稳定性。
具体地说，Nyquist判据有以下两个重要的结论：1.当系统的Nyquist图绕复平面上的所有极点时，如果围绕极点的圈数全都是负数，则该系统是稳定的；相反，如果存在围绕极点的圈数为正数，则该系统是不稳定的。
这两个结论形象地表现了系统稳定性与Nyquist图绕复平面上点的情况之间的关系，为我们判断系统稳定性提供了有力的理论支持。
在具体应用Nyquist判据时，我们可以按照以下步骤进行：1.绘制系统的G(s)函数的Nyquist图。
2.确定系统的极点和零点在复平面上的位置，并标记在Nyquist图中。
3.确定绘制Nyquist图时的路径，通常采用右半平面或左半平面的路径。
对于一些特殊系统，比如共轭复极点或共轭复零点，我们需要构造一些特殊路径。
4.通过沿着路径将Nyquist图绘制出来，并标记绕圆点的圈数。
一般情况下，我们可以按照路径的方向来计算围绕圆点的圈数。
5.根据Nyquist图绕极点和零点的情况，结合Nyquist判据的两个结论，判断系统的稳定性。
43奈氏图
当s 过平面原点时，s j ，它在GH平面上的映射为
G(s)H (s) G( j)H ( j) K
（4-118）
s j
即S平面的原点在GH平面上的映射为常数K（K为系统开环增益）。
（3）当s在s
的第三部分上的变化时，s
lim
R
Re
j，
G(s)H (s)
s lim Re j
R
bm s m an s n
(2)
(a)n m
图4-43 s 在GH平面上的映射
(b)n m
（2）当s在S平面正虚轴上变化时，s j
G(s)H (s) G( j )H ( j ) s j G( j )H ( j ) e jG( j )H ( j )
如图4-43中的曲线（2），这正是系统的开环频率特性。由于正负虚轴在S平面 上以实轴为对称，它们在GH平面上的映射曲线（1）、（2）两部分也对称于实轴。
N=P-Z=1-2=-1
说明s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线F顺时针绕F(s)平面原点一周。
由幅角定理，我们可以确定辅助函数 点数 Z的差值P-Z。
F
(s)
被封闭曲线s
所包围的极点数P与零
前面已经指出，F(s) 的极点数等于开环传递函数G(s)H (s) 的极点数，因此 当从 F(s) 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上封闭 曲线s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出来
周）。这样，对图4—39（a），Z=1，P=0，F(s1) 2 ，即N=－1，F(s1)绕 F(s) 平面原点 顺时针旋转一周；对图4—39（b），Z=0，P=1，F(s1) 2 ，即N=1，F(s1) 绕 F(s) 平面 原点逆时针旋转一周；对图4—39（c），Z=1，P=1， F(s1) 0，即N=0，F(s1) 不包围 平面原点。将上述分析推广到一般情况则有
典型3阶系统的二阶参考
编号：____________审定成绩：____________课程设计报告课程设计题目:__ 典型3阶系统的二阶参考_____ ____ 模型设计及仿真研究__________ 单位（系别）：_____ 自动化____________学生姓名：_______ 李春斌____________专业：___电气工程及其自动化__ __班级：_______（1）班____________学号：______0511110110__________指导教师：________汪纪锋____________填表时间：2015 年5 月重庆邮电大学移通学院教务处制重庆邮电大学移通学院毕业设计(论文)任务书设计(论文) 题目28 典型3阶系统的二阶参考模型设计及仿真研究学生姓名李春斌系别自动化系专业电气工程及其自动化班级 05111101指导教师汪纪锋职称教授联系电话 42871150重庆邮电大学移通学院毕业设计任务书（简明）技术资料一、设计题目：题目28 典型3阶系统的二阶参考模型设计及仿真研究二、系统说明：设三阶系统开环结构如下G0(s)≜y(s)u(s)=1s(s+1)(2s+1)三、系统参量：系统输入信号：u（t）；系统输出信号：y（t）；四、设计指标：1.设定：在输入为r(t) = u(t) = a + bt,(其中：a=4 b=1/sec)2.在保证稳态误差ℯssv≤0.2的前提下，要求动态期望指标：σ%≤5%；t s≤5s五、设计要求：1.分析原系统性能；2.试用频率特性法按二阶参考模型设计满足系统性能指标的闭环系统；3.绘制系统校正前后的物理模拟仿真图。
重庆邮电大学移通学院自动化系指导教师：汪纪锋2014.12摘要第一章控制系统的简介第一节自动控制系统的性能指标性能指标，是在分析一个控制系统的时候，评价系统性能好坏的标准。
对于一个控制系统首要的要求是系统的绝对稳定性。
在实际控制系统中，往往由于具体的对象不同或控制任务的指标不同，而对控制系统性能指标的要求有所不同。
实验六 nyquist曲线及bode图绘制
华北电力大学实验报告实验名称nyquist曲线及bode图绘制课程名称专业班级：学生姓名：学号：成绩：指导教师：实验日期：一． 典型环节的频域特性及nqyuist 与bode 图特性先进行理论分析,然后绘图进行验证。
a)比例环节:比例环节的传递函数为G()=const s K =,其频率特性的表达式为:G(j )=const K ω=,由上式可知,比例环节的幅频特性与相频特性均与频率无关。
而对数幅频特性为()20lg ()20lg L A K ωω==,其为高度为20lgK 且平行于横轴的直线,改变K 值会影响其位置,而对数相频特性为:()0ϕω=,可以看出其为与零度重合的直线。
图像绘制如下:上图画的是G(s)=2的Nyquist 曲线与Bode 图。
程序如下:clc;clear all ; num=[2]; den=[0 1]; sys=tf(num,den); subplot(1,2,1); nyquist(sys); subplot(1,2,2); bode(sys);b)积分环节:积分环节的传递函数为:1()G s s =,得:211()j G j e j πωωω-==。
由上式得:1()A ωω=，()2πϕω=-，可知积分环节得幅频特性与频率ω成反比,而相频特性为沿虚轴变化的直线。
对数幅频特性为()20lg ()20lg L A ωωω==-,从上式可知1ω=时,L 为0。
下面绘制G(s)=1/s 的bode 图与nyquist 曲线。
代码如下:clc;clear all ; num=[1]; den=[1 0]; sys=tf(num,den); subplot(1,2,1); nyquist(sys); subplot(1,2,2); bode(sys);c)微分环节:微分环节的传递函数为()G s s =,其频率特性:2()jG j j e πωωω==得:()A ωω=, 对数相频特性()2πϕω=。
第八次课 Nyquist曲线和Bode图
一阶微分环节、振荡环节、二阶微分环节、延时
典型环节的频率特性如下：
1.比例环节
G(s) K G( j) K, L() 20lg G( j) 20lg K G( j) K G( j) K 0 () G( j) 0
L( )(dB)
20lgK
j
K 0
0
0.1
1
10
( )(度)
0
0.1
横坐标：对数相频特性的相角 纵坐标：对数幅频特性的分贝数
L()(dB)
0 ()()
5-3 开环系统的典型环节分解和 开环频率特性曲线的绘制
一. 开环系统的典型环节分解
典型环节：
G(s)
K (s
s (Ts
1)(
2 1
s
2
1)(T12 s 2
2 i1s 1) 2 jT1s 1)
es
比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、
2 n
s 1
0 ~ 180o 0 ~ -180o
二. 系统开环幅相曲线的绘制
系统开环传函的一般形式为：
m
K (is 1)
G(s)H(s)
i 1
n
s (T js 1)
j 1
频率特性为：
m
K (i j 1)
G( j)H ( j)
i 1
n
( j) (Tj j 1)
j 1
系统开环传递函数由多个典型环节相串联：
例4 G(s)H(s) K
s(Ts 1)
j
KT
0
0
Ⅰ型系统（ν=1）
例5 G(s)H (s)
K
s(T1s 1)(T2s 1)
KT1T2 T1 T2
电化学 文档 (2)
题目：电化学阻抗谱目录1.摘要···················································2.前言···················································3.交流阻抗法·············································4.电解池的等效电路········································5.电化学阻抗谱的推导·····································6.阻抗谱中的半圆偏转现象·································7.电化学阻抗谱的应用······································8.总结···················································9.参考文献·················································电化学阻抗谱摘要：电化学阻抗是电化学测量技术中一种十分重要的研究方法。
幅相频率特性图—奈奎斯特Nyquist图
第五章频率特性1．本章的教学要求1) 掌握频率特性的基本概念、性质及求取方法；2)掌握典型环节及系统的频率特性图—奈奎斯特(Nyquist)图的绘制方法；3)掌握典型环节及系统的对数频率特性图—波德图(Bode)图的绘制方法；4)使学生掌握频率特性的实验测定法。
5）使学生掌握奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据应用；6）掌握对数频率稳定性判据（Bode判据）应用；7）掌握相对稳定性的基本概念，相位裕量Υ、幅值裕量K g定义、计算、在Nyquist图与Bode图上的表示。
2．本章讲授的重点本章讲授的重点是掌握频率特性的基本概念、求取方法；奈奎斯特(Nyquist)图的绘制方法；波德图(Bode)图的绘制方法;利用频率特性分析控制系统。
3．本章的教学安排本课程预计讲授14个学时第一讲5.1 频率特性1．主要内容：1）频率响应和频率特性2）频率特性的求取方法3）频率特性的表示方法2．讲授方法及讲授重点：本讲首先给出频率响应定义，用图说明线性系统稳态响应曲线的特点，由此引出幅频特性、相频特性的概念，然后给出频率特性的定义及数学表达式，利用图及公式说明幅频特性、相频特性、实频特性、虚频特性的关系。
在介绍频率特性的求取方法时，首先说明频率特性一般有三种求法：利用定义求取、根据系统的传递函数来求取、通过实验测得。
在此主要说明和推导根据系统的传递函数来求取的方法, 第三种方法后面介绍。
在介绍频率特性的表示方法时，首先说明频率特性的表示方法主要有如下几种：幅频特性和相频特性图、幅相频率特性图、对数频率特性图、对数幅相频率特性图、实频特性图和虚频特性图，分别简单介绍各自特点，然后强调本章重点介绍幅相频率特性(Nyquist)图和对数频率特性(Bode)图。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：在讲授本讲时，频率特性概念比较抽象，同学不好理解，但此概念在本门课中又非常重要，可以联系实际举几个简单例子说明此概念。
《自动控制理论》参考答案第五章
第五章一、单项选择题1-5：D 、B 、D 、A 、B 6-10：B 、D 、C 、A 、C 11-13：D 、A 、B二、分析计算题5-1解 （a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(R R C R R T C R RR R K s T s K sCR sC R R R s U s U r c ττ ωωτωωωωω11121212121)1()()()(jT j K C R R j R R C R R j R j U j U j G r c a ++=+++==(b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=C R R T CR s T s sCR R sCR s U s U r c )(1111)()(2122222212ττ ωωτωωωωω2221211)(11)()()(jT j C R R j C R j j U j U j G r c b ++=+++==5-2解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 图5-76 系统结构图 频率特性:2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-= 系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时,2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj 45)22arctan()2(-=-=j ϕ4.1862arctan )2(,79.085)(2====Φ=j j e e ϕωω)452sin(35.0)2sin()2(-=-Φ=t t j r c m ss ϕ )4.182sin(79.0)2sin()2(+=-Φ=t t j r e e e m ss ϕ （2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωω5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-===Φj j ϕ 4.18)31arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ϕ)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)902cos(7.0)4.3sin(4.0--+=t t)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)6.262cos(58.1)4.48sin(63.0--+=t t5-4解 ()()()12G j K j K e j ==-+ωωπω=→∞00,()G j ω→∞∞=,()G j 0ϕωπ()=-2幅频特性如图解5-4(a)。
4.4.2 开环频率和奈奎斯特图
3. 如果Nyquist图经过(-1,j0)，则系统临界稳定。
4. 如果Nyquist图的的变化范围为0到＋∞， 那么Z＝P－2N
推论：若Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点，则系统一定不稳定。
(N = P － Z , 若N<0，P不会为负值，则必有Z ≥1)
k 例4-6 已知开环传递函数 G0 ( j ) ( T1 j 1 )( T2 j 1 ) 判断系统稳定性
C'
s 的第（4）部分无穷小半圆弧在 GH平面上的映射为顺时针旋转 的无穷大圆弧，旋转的弧度为 弧度。图 4-9（a）、（b）分别表 示当 v=1和v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是s 的无穷小半圆 弧在GH平面上的映射。
( 2)
j
S
R
0 I m
GH
k , k 100 例4-7 G0 ( j ) ( j 1)(0.5 j 1)(0.2 j 1)
画Nyquist图：
1
0
G0 ( j 0 ) 10000 G ( j ) 0 2700
2
0 单调变化
与实轴有交点，为－7.9
(分母有理化，按虚实部讨论)
j S 平面 j
2 1 - j D形围线 3
s
半径无限大
j j
S平面
Im G 平面 0
j
-1
Re
N= -2
Im G 平面 0
N= 0 • 注意域的映射关系
-1
Re
Nyquist稳定判据(在G0 (s)平面上) : 必须使得Z=0(Z为不稳定闭环特征根的个数)。 1. 若系统开环稳定，则闭环系统稳定的条件是Nyquist图不包 围(-1,j0)点。 （N = P － Z = 0－0 ＝ 0) 2. 闭环系统稳定的充要条件是 N = P ( N = P － Z = P 所以 Z = 0 )
用MATLAB绘制Nyquist图ppt课件
用MATLAB绘制Nyquist图
MATLAB命令
nyquist命令可以求得连续系统的奈奎斯特 曲线。 命令格式： [ re，im，w ] = nyquist（num，den） [ re，im，w ] = nyquist（num，den，w） 当带有输出变量时，可得到相应的一组数 据，不带输出变量时，则绘出奈奎斯特 曲线。也可用指定频率向量w指定所要绘 制的曲线范围。 2019/4/1 Y.Xing
1
0
-1
-2
-3
-4
-5 -3
-2
-1
Байду номын сангаас
0
1
2
3
4
5
2
(a) z=1,p=2
n=[0 0 1 1] m=[1 2 0 0] sys=tf(n,m) nyquist(sys)
2019/4/1
Y.Xing
3
(b) z=2,p=1
2019/4/1
Y.Xing
4
2019/4/1
Y.Xing
5
幅值裕度和相位裕度
例三十二： 系统开环传递函数为
G( s)
Z P 2 N 0 2 (1) 2
幅值裕度和相位裕度
执行以上程序后可在上图上得k = 10，26，50并加有单 位圆的奈奎斯特图。一般来说由于此列的关系显示的图 形不是一个正规的圆。 从图形上我们可以看出开环增益对闭环系统稳定性的影 响: 当K值变化时，幅频特性成比例变化，而相频特性不 受影响。 取k=26时，曲线恰好通过（-1,0j）点，这是临界稳 定状态； 当k<26时，幅相曲线将从（-1,0j）点的右方穿过负 实轴，不再包围（-1,0j）点，这时闭环系统是稳定的； 当k>26时，开环频率特性随着从变化到时，顺时针 方向围绕（-1,0j）点一圈，即N=-1，可求得闭环系统 Z P 2 N 0 2 (1) ，所以闭环系 2 在右半平面的极点数为： 统不稳定。
极坐标图(Nyquist图).
ห้องสมุดไป่ตู้
A( ) G( j )
Re G( j ) 实频特性 ImG( j ) 虚频特性
Re G( j )2 ImG( j )2
Im G ( j ) Re G ( j )
( ) arctg
这样，当输入信号的频率 由
0 变化时，复数 G ( j )
在复平面中的位置也随之作相应的变化，移动的轨迹称为极坐标图。
对于极坐标图上任一点 从原点到它的距离为复数的模：表示系统对此点频率信号的幅值增益。 原点与此点连线与正方向的夹角为复数的角：表示系统对此点频率信号 的相位影响。
例如，对于RC网络
1 ReG ( j ) 1＋T 2 2 T ImG ( j ) 1＋T 2 2
给定时间常数T=0.5
10 0.04 -0.19
例如，对于RC网络
Im
G( j )
1 1 jT 1 jT 1 (T ) 2
1
2
10 5 3 2
0 1
Re
1 2 2 j2 R G ( j ) Im G ( ) 1 ＋ T e 2 2
G( j )
Im
1 1 jT 1 jT 1 (T ) 2
10 5 3 2
0
1
Re
ReG( j)
ImG( j)
0 1 0
1 0.8 -0.4
2 0.5 0.5
3 0.308 -0.46
4 0.2 -0.4
5 0.138 -0.34
-56.30 -63.40
A( )
1 1＋T 2 2
( ) arctgT
控制工程-典型环节的极坐标图(Nyquist图)
n
南华大学
第四章 系统的频率响应分析
（令λ＝
）
n
1
=
2
1 – λ + j ·2ξλ
2
1–λ = （1 – λ ） 2 + 4ξλ2 2
2ξλ – j （1 – λ ） 2 + 4ξλ2 2
=
1 （1 – λ）2 2 + 4ξλ2 2 ∠- arctan
2ξλ 1–λ 2
南华大学
第四章 系统的频率响应分析
= arctan
Im [ G(j ) ] Re [ G(j ) ]
|G|
∠G ) o
注：极坐标中，幅角从正实轴开始，反时针方向为正 极坐标中，幅角从正实轴开始，顺时针方向为负
+
Re -
南华大学
第四章 系统的频率响应分析
1．放大环节
Im
传递函数： G(s) = K 频率特性：G(ω)= |G(jω)| =K
s2
+ 2ξ
2
n
)
n
Im
A() =
(1 - T 2 2) 2+ ( 2ξT )
2
ξ
大
2ξT () = arctan
22
1-T
ξ小
= 0 , A( ) = 1 , () = 0
o
= ∞, A( ) = ∞ , () = 180 º
s
n +1
＝0 Re
A() =
1 （1 – λ）2 2 + 4ξλ2 2
Im o =∞
[G] =0
2ξλ
Re
φ() = - arctan 1 – λ 2
5.4.2nyquist图稳定判据及其相对稳定性
2.s平面原点处有开环极点
选取s平面封闭曲线D如图所示,
r 0
其中线段（4）为无限小半径的半圆
(4)
s沿着第(4)段运动时，S从0-变化到0+
s沿着第(1)段运动时，对应F(S)=1 G( j)H ( j) -< 0 s沿着第(2)段运动时，对应F(S)=1 G( j)H ( j) 0 < +
这两部分F(S)曲线对称于 实轴
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
S沿第（3）段运动时，
令s lim Re j ， R
G(s)H (s)
KN(s) sv D(s)
0(n
m)，即对应原点
j
[s]
(3) (2)
R
(1)
可见，当s沿着封闭曲线D运动时，
F(s)对应为1+G( j)H ( j) (-< )和一个点 其中G( j)H ( j)为
段。
当S沿着封闭曲线D运动时，且系统为I型及以上的系 统时，对应F(S)为 1+G(jω)H(jω) (-∞<ω<+ ∞)和增补段 圆弧.
曲线G(s)H(s)沿实轴平移＋１的曲线即为 F(s)=1+G(s)H(s)，故F(s)绕原点转过的圈数等于G(s)H习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
系统稳定的充要条件
增补完整的幅相频率特性曲线G( j)H ( j（) - ）
逆时针方向包围(1, j0)点P圈，即 N=-P P为开环传递函数G(s)H(s)正实部极点的个数。
若G( j)H ( j)通过点（-1，j0），则该闭环系统
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如果辅助函数 F(s)的零点都具有负的实部，即都位于S 平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。
F(s)三个特点：
1.
2.
零、极点分别为闭、开环特征根;
零、极点个数相等 （分子分母阶数相同）; 对于稳定的最小相角系统，从0 时F(s) 应不包围原点。
3.
与G(s)H(s) 相差为1。
• 已知F(s)=1+G0 (s)，s平面上的D形围线在F平面上映射的有 向闭曲线称为在F平面的奈奎斯特图。
N = P ―
D0(s)=0的根， G0(s)在右半 平面的极点，
开环极点
Z
DC(s)=0的根，系统特征方
程的极点，闭环极点
注意： 顺时针转 N<0;
逆时针转
N>0。
应用奈氏稳定判据判别系统稳定性，需要 Nhomakorabea制或 者由实验得到奈氏曲线，并确定奈氏曲线绕 G0平 面的（ -1 ， j0 ）点的圈数 N ，在右半 S 平面的开环 极点数P以及在右半S平面的闭环极点数Z=P-N。
DC(s) 闭环特征多项式；D0(s) 开环特征多项式
闭环传递函数分母(辅助函数) N ( s ) D0 ( s ) N 0 ( s ) DC ( s ) F ( s ) 1 G0 ( s ) 1 0 D0 ( s ) D0 ( s ) D0 ( s )
DC(s) 闭环特征多项式 D0(s) 开环特征多项式
N ( s) G( s) G( s) c 1 G( s) H ( s) 1 G0 ( s) Dc ( s)
闭环传递函数分母(辅助函数)
N 0 ( s ) D0 ( s ) N 0 ( s ) DC ( s ) F ( s ) 1 G0 ( s ) 1 D0 ( s ) D0 ( s ) D0 ( s )
D形围线和Nyquist图： 沿虚轴顺时针包围右半平面的闭曲线称为D形围线。
j j
S平面
F平面
D形围线
Im 1 Re
j
半径无限大
Nyquist图
+ -
G(s) H ( s)
开环传递函数 闭环传递函数
G0 ( s) G ( s) H ( s)
GC ( s)
N 0 ( s) D0 ( s)
F(s)平面上的原点即G0(s)平面上的(－1，j0)点
j j
S平面 F平面
Im '
Im G 平面 0 1 Re
D形围线
F(s)=1+G0 (s)
j
(-1,j0)
Nyquist图
根据柯西复角原理，对于复变函数F(s)=1+G0 (s)，当s平面上 顺时针沿D形围线连续变化一周时，则在F平面上 和G0(s)平面 上的奈奎斯特图逆时针包围原点和(-1,j0) 点N 次。
1）确定P：开环传递函数在右半S平面 的极点数P是容易看出的。对于最小相位系统，P =0。
N N N
3）奈氏曲线的画法：因为奈氏曲线的精确形状，对于 N 值的确定并不重要，所以，只要根据一些特征画出 奈氏曲线的大致形状即可。事实上，要在的范围内精 确画出奈氏曲线也是不可能的，因为通常有无穷大， 显然不可能画无穷大的坐标图。