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高考数学微专题突破 (20)

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正余弦定理与三角形面积公式综合应用-高考数学微专题突破含详解

正余弦定理与三角形面积公式综合应用-高考数学微专题突破含详解

正余弦定理与三角形面积公式综合应用-高考数学微专题突破一、单选题1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D2．已知ABC 三个内角A ，B ，C 及其对边a ，b ，c ，其中，角B 为锐角，b =且()222tan a c bB +-=， 则ABC ∆面积的最大值为（ ）A B C ．34D ．323．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，满足3c =，sin sin 2C c A a =，则ABC 面积的最大值为（ ）A B ．36C D 4．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．12D ．5．在ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，且满足b c =，1cos cos bBa A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =，则平面四边形OACB 面积的最大值是（ ）A ．44+ BC ．3D ．426．ABC ∆中，已知6BA BC CA CB BC ⋅+⋅=，3A π=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．D ．47．在三角形ABC 中，已知2,45c C ==︒，则三角形ABC 面积的最大值为（ ）A．2+B ．4C 1D ．4+8．已知锐角ABC ∆的三个内角、、A B C 所对边分别为a b c ，，，若角、、A B C 成等差数列，b =ABC ∆的面积的取值范围（ ）A ．(B ．(C ．⎡⎣D ．⎡⎣9．在△ABC 中，内角△BAC ，△ABC ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，a =c 且满足cos (cos )cos 0C BAC BAC ABC +∠-∠⋅∠=，若点O 是△ABC 外一点，24OA OB ==，则平面四边形OACB 的面积的最大值为（ ）A ．8+B ．4+C ．12D ．4-10．如图，在Rt△ABC 中，2C π∠=，6B π∠=，AC ＝4，D 在AC 上且AD ：DC ＝3：1，当△AED 最大时，△AED 的面积为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．11．锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin5A C b Aa+=，22BA BC AB AC ⋅+⋅=．则ABC ∆面积的取值范围是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．C ．1,2D ．⎭12．在平面内，四边形ABCD 的B 与D ∠互补，1,30DC BC DAC ︒==∠=，则四边形ABCD 面积的最大值=（ ）A B 1 C ．12+ D ．213．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c ，且满足sin sin B A ＝1cos cos BA-，若点O 是△ABC 外一点，△AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，则平面四边形OACB 面积的最大值是( )A B C ．3 D 二、多选题14．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若30A =，4b =，3a =，则ABC 有两解 C ．若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>D ．若60A =，2a =，则ABC 15．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且)cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若AC =A ，B ，C ，D 四点共圆C ．四边形ABCD 3D ．四边形ABCD 面积最小值为32- 三、填空题16．锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a b c -=，且a =ABC 面积的取值范围是___________.17．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，OA =B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.18．设ABC 的面积为S ，满足20S AC +⋅=.且||3BC =，若角B 不是最小角，则S 的取值范围是_________.19．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a c =且满cos cos )cos 0(C A A B +=若点O 是ABC 外一点，24OA OB ==，则四边形OACB 的面积的最大值为_______________.20．在锐角三角形ABC 中，sin 22C C =，cos cos c B b C +=ABC 的面积的取值范围为______．21．在三角形ABC 中，2AB =，且角A 、B 、C 满足()2712sin cos 2242C A B -=+，三角形ABC 的面积的最大值为M ，则M =______．22．如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ∠=，1CD =，2AD =，则四边形ABCD 的面积的最大值为______.23．如图，已知D 为ABC ∆内一点，4AC =，3AD BC ==，ACB ∠与ADB ∠互补，则ACD ∆与BCD ∆面积之和的最大值为_______.24．如图所示，点M ，N 分别在菱形ABCD 的边AD ，CD 上，422,,33AB ABC MBN π=∠=∠=面积的最小值为________．25．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且满足(cos cos )cos 122a Bb A B a b +=+，4c =，则ABC ∆的面积的最大值为__________．26．已知平面四点,,,A B C D 满足2,AB BC CD AD ====设ABD ∆，BCD∆的面积分别为1S ，2S ，则2212S S +的取值范围是__________.27．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD △是以D 为顶点的等腰直角三角形，则BCD △面积的最大值为________．四、双空题28．如图，设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，cos cos )2sin a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若点D 是ABC 外一点，1CD =，3AD =，则当D ∠=______时，四边形ABCD 的面积的最大值为____________29．在圆内接四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，BD =，则ADB =∠________，若AC =BCD 面积的最大值为________.30．四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，BC =5BD =，则cos BDC ∠=________，AB AC ⋅的最大值________.31．如图，在凸四边形ABCD 中，4,2,AD CD ABC ==为等边三角形，△若60D ︒∠=，则四边形ABCD 的面积为________________；△当D ∠变化时，四边形ABCD 的面积的最大值为_________________.五、解答题32．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin (2)sin (2)sin a A b c B b c C =+++.（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 面积的最大值.33．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2A Ca b A +=． （1）求角B ；（2）若D 是AC 边的中点，且BD =ABC 面积的最大值．34．在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积2224b c a S +-=. （1）求A ；（2）作角B 的平分线交边AC 于点O ，记BOA △和BOC 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.35．在四边形ABCD 中，A C ∠=∠，E 是AD 上的点且满足BED ∆与ABD ∆相似，34AEB π∠=，6DBE π∠=，6DE =.（1）求BD 的长度；（2）求三角形BCD 面积的最大值.36．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(sin sin ,sin )a B A C =+，(sin sin ,b B A =-sin sin )C B -，且a b ⊥.（1）求角A 的大小； （2）若a =求__________.△求ABC 周长的最大值；△求ABC 面积的最大值.请考生在．△．和．△．中任选一个作答．．．．．．．，如两个都选，按第一个解答记分.）37．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量()3,2sin m A =-，22cos 1,cos 22A n A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n ，A 为锐角．（△）求角A 的大小；（△）若2a =，求ABC 的面积的最大值．38．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4sin s sin sin in C B a B C +=.（1）求角A 的大小；（2）若2sin 2sin b B c C bc +=，求ABC 面积的取值范围.39．现给出两个条件：△22cos c a B =，△()2cos cos b A C =，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：（选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边( ). （1）求A ； （2）若31a ，求ABC ∆面积的最大值.40．已知函数()22sin sin 6x x f x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭（x ∈R ，ω为常数且112ω<<），函数()f x 的图像关于直线x π=对称. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，3154f A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求ABC ∆的S 最大值.答案第1页，总40页参考答案1．B 【分析】根据已知条件，反凑余弦定理求得C ，再用余弦定理，借助基本不等式求得ab 的最大值，再利用面积公式即可求得结果. 【详解】由已知等式得a 2＋b 2－c 2＝ab ，则cos C ＝2222a b c ab+-＝2ab ab ＝12．由C △(0，π)，所以sin C又16＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，则ab ≤16， 当且仅当4a b ==时，取得最大值. 所以ABC S＝12ab sin C ≤12故S max ＝． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用余弦定理和基本不等式求面积的最大值，属基础题. 2．A 【分析】由余弦定理求得3B π=，且223ac a c =+-，再由三角形的面积公式和基本不等式可得选项. 【详解】由()222tan a c b β+-=得222tan 22a c b ac β⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以cos tan ββ=，即sin B =，而02B π<<，所以3B π=，所以1sin 24ABCSac B ac ==，又因为222221cos 322a c b B ac a c ac +-==⇒=+-，所以22323ac a c ac =+-≥-，所以3ac ≤3ac ≤=故选：A. 【点睛】本题考查运用余弦定理解三角形，三角形的面积公式，以及运用基本不等式求最值，属于中档题. 3．B 【分析】由正弦定理结合二倍角公式可得1cos 22C =，进而可得23C π=，再由余弦定理结合基本不等式可得19ab ≤，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】由正弦定理得sin sin sin sin 2C C A A =，所以2sin cos sin sin sin 222C C C A A =， 因为()0,A π∈，0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 02C≠，sin 0A ≠， 所以1cos22C =，所以23C π=，23C π=， 由余弦定理得222222cos 3c a b ab C a b ab ab =+-=++≥，又c =133ab ≤即19ab ≤，当且仅当13a b ==时，等号成立，所以ABC 面积111sin 229362S ab C =≤⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理边角互化的应用，考查了余弦定理结合基本不等式求三角形面积的最值，属于中档题. 4．A 【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】由题意，可得如下示意图令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33b CM CB == △由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab abb =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立△有48ab ≤△11sin 48222ABC S ab C ∆=≤⨯⨯=故选：A 【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值 5．B 【分析】利用正弦定理边角互化思想化简得出c a =，进而可得出ABC 是等边三角形，利用余弦定理求得2c ，然后利用三角形的面积公式可得出四边形OACB 的面积关于θ的函数关系式，利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的基本性质可求得结果. 【详解】1cos cos b B a A -=，由正弦定理得sin 1cos sin cos B B A A-=，即cos sin sin sin cos A B A A B =-， 即()sin sin cos cos sin sin sin A A B A B A B C =+=+=，由正弦定理得a c =，又b c =，所以，ABC 为等边三角形，则2222cos 54cos c OA OB OA OB θθ=+-⋅=-，2112sin sin2ABCAOBOACB S SSθθθ=+=⨯⨯⨯+=平面四边形2sin 34πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<， 当32ππθ-=时，即当56πθ=时，四边形OACB的面积取最大值84+. 故选：B. 【点睛】四边形的面积往往转化为两个三角形面积之和，从而所求问题转化为三角函数的有界性问题，结合条件易得结果. 6．A 【分析】利用平面向量数量积的运算得出a =利用正弦定理结合三角恒等变换思想将ABC ∆的面积化为以角B 为自变量的正弦型函数，进而可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】由()6BA BC CA CB BC BA AC BC BC BC ⋅+⋅=+=⋅=，得6a BC ==，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ===22sin b Bc C⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以ABC ∆面积12sin sinsin 23Sbc A B C BB π⎛⎫===- ⎪⎝⎭)21cos 213sin 3sin cos sin2222B BB B B B B B ⎫-=+=+=+⎪⎪⎝⎭26B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72666B πππ∴-<-<，当262B ππ-=时，ABC ∆ 故选：A. 【点睛】本题考查三角形面积最值的计算，涉及平面向量数量积的运算以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【分析】由余弦定理可得224a b +=，及24ab ≤，可得ab 的最大值，由1sin 2ABC S ab C ∆=可得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】解：由余弦定理可得：2222cos 45o c a b ab =+-，可得：224a b +=，可得24ab ≤，可得2(24ab ≤=+=+a b =时，等式成立，由1sin 2ABC S ab C ∆=,可得三角形ABC 面积的最大值为：1(4122⨯+⨯=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用余弦定义、基本不等式求三角形面积的最大值，属于中档题. 8．B 【分析】根据角、、A B C 成等差数列可得3B π=,再利用面积公式与正弦定理将ABC ∆的面积转换为关于角A 的三角函数式,最后根据A 的取值范围求解函数的范围即可. 【详解】因为角、、A B C 成等差数列,故2B A C B π=+=-,故3B π=.故外接圆直径24sin 2b R B === . 由面积公式与正弦定理有11sin 2sin 2sin sin 22ABCS ac B R A R C B ∆ 243sin sin 43sin sin 23sin 6sin cos 3A C A AA A A π31cos 23sin 223sin 236A A Aπ.又锐角ABC ∆中3B π=,故0022200322A A A C πππππ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩⎩,即62A ππ<<. 故52,666Aπππ.1sin 2,162Aπ. 故23,3236A π.故选：B 【点睛】本题主要考查了利用面积公式、正弦定理以及三角恒等变换等公式表达三角形面积的解析式,进而根据角度的范围求解面积范围的问题.属于中档题. 9．A 【分析】利用cos cos()C BAC ABC =-∠+∠可整理条件为cos sin sin BAC ABC BAC ABC ∠∠=∠∠,即sin tan cos ABCABC ABC∠=∠=∠,则3ABC π∠=,进而可得△ABC 为等边三角形,设AOB θ∠=,利用三角形面积公式整理可得AOBABCOACB S SS=+四边形8sin 3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭从而求得最值即可【详解】△cos (cos )cos 0C BAC BAC ABC +∠∠∠=, 且cos cos()C BAC ABC =-∠+∠,△cos cos cos cos BAC ABC BAC ABC C ∠∠-∠∠=-=cos()cos cos sin sin BAC ABC BAC ABC BAC ABC ∠+∠=∠∠-∠∠,cos sin sin BAC ABC BAC ABC ∠∠=∠∠, △△BAC 为三角形的内角,sin 0BAC ∠≠,△sin tan cos ABCABC ABC∠=∠=∠由(0,)ABC π∠∈得3ABC π∠=,又△a =c ,△△ABC 为等边三角形, 设AOB θ∠=,则0θπ<<,△AOBABCOACB S SS=+四边形211sin 22OA OB AB θ=⋅+⨯)22142sin 2cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯++-⋅4sin (164242cos )4θθ=++-⨯⨯⨯4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭△0θπ<<, △2333πππθ-<-<, △当32ππθ-=,即56πθ=时,sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1,△平面四边形OACB 面积的最大值为8+. 故选：A 【点睛】本题考查余弦和角公式的应用,考查三角形面积最值问题,考查利用正弦型函数求最值【分析】根据条件得到AED AEC DEC ∠=∠-∠,然后设△AED ＝θ,△AEC ＝α,△DEC ＝β,用两角差的正切公式求出tanθ,再用基本不等式求出tanθ最大值,从而得到当△AED 最大时,△AED 的面积. 【详解】解:因为AD :DC ＝3:1,所以DC 14=AC ＝1, 所以S △AED ＝S △ACE ﹣S △DEC 12=AC •CE 12-DC •EC 12=AC •CE 12-•14AC •CE ＝AC •CE (113)288-=AC •EC . 因为AC ＝4,CE ≤CB ,而在Rt △ABC 中,,26C B ππ∠=∠=,AC ＝4,所以CB ＝,△AED ＝△AEC ﹣△DEC . 设△AED ＝θ,△AEC ＝α,△DEC ＝β,则tanθ＝tan (α﹣β)()211AC DCAC DC EC tan tan EC EC AC DC tan tan EC AC DCEC ECαβαβ--⋅-===-⋅+⋅+⋅2333444EC EC EC EC ==≤=++, 当且仅当EC 4EC=,即EC ＝2时,取等号, 所以tanθ的最大值为34,此时△AED 最大, 所以当△AED 最大时,△AED 的面积AEDS =38•4•2＝3. 故选:C . 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和计算能力,属中档题. 11．D 【分析】根据三角关系求出角B ，根据向量数量积求出边c ，作出三角形，数形结合求解.由题sin sin5A C b Aa+=，三角形ABC ∆中，A B C π++=，A C B π+=-， 结合正弦定理，sin sin sin 5sin B B A A π-=，sin sin 5BB π-=，B 为锐角， 所以5B B π-=，=6B π， 22BA BC AB AC⋅+⋅=，即cos cos ac B bcA +=，由射影定理：c = 作图：在1Rt ABC ∆中，12cos6BC π==在2Rt ABC ∆中，22cos6BC ==当点C 在线段12C C 之间（不含端点）时，三角形ABC ∆为锐角三角形，1122ABCSBC=⨯⨯∈⎭， 所以面积取值范围3⎭故选：D 【点睛】此题考查锐角三角形三内角和关系，正余弦定理，边角互化综合应用，重在数形结合思想. 12．B 【分析】根据正弦定理，可求得sin BAC ∠=，即角60BAC ︒∠=或120BAC ︒∠=，分类讨论，由BCD ABDS S S ∆=+，计算三角形的面积，利用均值不等式求最值即可.【详解】因为B 与D ∠互补，sin sin B D ∠=∠，且,,,A B C D 四点共圆.所以30CBD DAC ︒∠=∠=，在ADC 中，由正弦定理得sin sin AC DCD DAC=∠∠，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BC B BAC =∠∠，所以sin sin BC DCBAC DAC=∠∠，得sin 2BAC ∠=，所以60BAC ︒∠=或120BAC ︒∠=. 设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，则2sin DCR DAC=∠，解得1R =.（1）设,AB a AD b ==.当60BAC ︒∠=，则90BAD ︒∠=，故90BCD ︒∠=，此时11sin 9022BCDS︒=⨯=，且2BD =，在Rt △ABD 中，2242a b ab =+，所以2ab ≤，即112ABDSab =⨯. 所以四边形ABCD 面积31BCD ABDS S S∆=++，当且仅当a b =时，四边形ABCD 面1+ （2）当120BAC ︒∠=，则150BAD ︒∠=，故30BCD ︒∠=，所以11sin 302BCDS︒=⨯=.因为2sin BD R BAD =∠，所以1BD =，则在ABD △中由余弦定理得2212cos150a b ab ︒=+-，()2211a b=-+<，即ab <.所以11sin15024ABDS ab ab ︒=⨯=<，此时，四边形ABCD 面积31BCDABDS S S=+<<+.综上，四边形ABCD 面积的最大值等于12+， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形面积公式，均值不等式，属于难题. 13．A 【分析】根据正弦和角公式化简得ABC ∆ 是正三角形，再将平面四边形OACB 面积表示成θ 的三角函数，利用三角函数求得最值. 【详解】由已知得：sin cos sin sin cos ,B A A A B =- 即sin cos sin cos sin ,B A A B A +=所以sin()sin ,A B A += 即sin()sin sin ,C C A π-== 又因为0,0,A C ππ<<<< 所以,A C = 所以,a c =又因为,b c = 所以ABC ∆ 是等边三角形.所以21sin ,23ABC S AB AB AB π∆=⨯⨯= 在ABO ∆中，由余弦定理得2222cos 54cos ,AB AO BO AO BO θθ=+-⨯=- 且1sin sin ,2ABO S AO OB θθ∆=⨯⨯= 因为平面四边形OACB 面积为4cos )sin 2sin()3ABC ABO S S S πθθθ∆∆=+=-+=-+ 当56πθ= 时，sin()3πθ-有最大值1 ，此时平面四边形OACB ， 故选A.【点睛】本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数，属于难度题.14．ABD【分析】利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A 选项的正误；利用正弦定理可判断B 选项的正误；利用余弦定理可判断C 选项的正误；利用基本不等式、余弦定理结合三角形的面积公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以，sin sin A B >，A 选项正确；对于B 选项，sin 4sin302b A ==，则sin b A a b <<，所以，ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，若ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则222cos 02a b c C ab+-=<，可得222a b c +<，C 选项错误；对于D 选项，由余弦定理与基本不等式可得2222242cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以，1sin 24ABC S bc A bc ==≤△，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.15．AC【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin B B =∴= a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补，由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===22211cos 232DC DA AC D DA DC +-===-≠-⋅⋅， △B 不正确．C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )ABC S θθ∴=-=△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABC ADC ABCD S S S θθ∴=+=+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()32πθ=-+，(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈，3ABCD S <≤四边形，△C 正确，D 不正确； 故选：AC.．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．16．11,2⎛+ ⎝⎦【分析】利用正弦定理、余弦定理可得出cos A 的值，可求得角A 的值，利用正弦定理、三角恒等变换思想可得出12242ABC S B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭△，求出角B 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得ABC 面积的取值范围.【详解】由正弦定理可得a b c -==222a b c -=，可得222b c a +-=，所以，222cos 2b c a A bc +-==， 0A π<<，4A π∴=， 由正弦定理可得2sin sin sin b c a B C A===，2sin b B ∴=，2sin c C =，()11sin 2sin sin sin sin 224ABC S ac B C B B A B B B π⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭△)211cos 2cos sin sin cos sin sin sin 222B B B B B B B B -=+=+=+12242B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为ABC 为锐角三角形，则0224B B ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，解得42B ππ<<，32444B πππ∴<-<，sin 2124B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，则11122422B π⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭. 因此，ABC面积的取值范围是11,2⎛ ⎝⎦.故答案为：⎛ ⎝⎦.【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.17．【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解．【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC θ=⋅⋅︒=OAB 的面积11sin 122OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ+13(sin )60)2θθθ=-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为：【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18．0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】先利用20S AC ⋅=解得角A ，然后利用余弦定理及基本不等式解得bc 的取值范围，再根据1sin 2S bc A =求解S 的取值范围. 【详解】由20S AC +⋅=得：sin cos 0bc A A +=，即sin A A =0,解得：[]tan 0A A π=∈，，所以23A π=.又||BC a ==222222cos a b c bc A b c bc =+-=++所以223b c bc ++=，又B 不是最小角，所以22323b c bc bc bc bc =++>+=，得1bc <，故11sin 122S bc A =<⨯=，又0S >，所以0S <<.故答案为：0,4⎛ ⎝⎭.【点睛】本题考查解三角形中三角形面积最值的计算问题，难度一般. 一般地，在△ABC 中，已知一角及其对边求三角形面积最值及周长最值，都采用余弦定理，结合基本不等式得出另外两边之积或两边之和的最值即可得到答案.19．8+【分析】由诱导公式、两角和的余弦公式化简已知的式子,由内角的范围、商的关系、特殊角的三角函数值求出B,结合条件判断出ABC 为等边三角形,设AOB θ∠=求出θ的范围,利用三角形的面积公式与余弦定理,表示出OACB S ,利用辅助角公式化简,由θ的范围和正弦函数的性质求出平面四边形OACB 面积的最大值.【详解】解:cos (cos )cos 0C A A B +-=，cos cos()C A B =-+cos cos cos cos()cos cos sin sin A B A B A B A B A B ∴=+=-cos sin sin A B A B =A 为三角形内角,sin 0A ≠, tanB ∴=∴由(0,)B π∈得,3B π=又a c =, ABC ∴为等边三角形设AOB θ∠=,则0θπ<<211||||sin ||222OACB AOB ABC S S S OA OB AB θ∴=+=⋅+⨯⨯)22142sin ||||2||||cos 24OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯++-⋅4sin 16224cos )4sin θθθθ=++-⨯⨯⨯=-+8sin 3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭0θπ<<,2333πππθ∴-<-< ∴当32ππθ-=,即56πθ=时,sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1,∴平面四边形OACB 面积的最大值为8+【点睛】本题主要考查了诱导公式、两角和的余弦公式、余弦定理、三角形面积公式以及正弦函数的性质，题目较为综合，涉及面较广，属于难题.20． 【分析】利用辅助角公式，结合锐角三角形特点可求得C ；利用余弦定理化简已知等式可求得a ；利用正弦定理和锐角三角形角的大小可确定,sin c B 的取值范围，代入三角形面积公式可得结果.【详解】由sin 22C C =+sin 222sin 23C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 232C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，3C π∴=，由余弦定理知：222222cos cos 22a c b a b c c B b C a a a+-+-+=+== ABC 为锐角三角形且3C π=，,62A ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1sin ,12A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理知：sin sin sin a C c A A ==∈， 1sin sin 2ABC S ac B B ∴==∈．故答案为：. 【点睛】 本题考查利用正余弦定理求解三角形面积取值范围的问题，关键是能够熟练应用正余弦定理进行边角转化，从而求得所需的边和角的取值范围，代入三角形面积公式求得结果.21．3【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得24cos 4cos 10C C ++=，可求得23C π=，利用余弦定理，基本不等式可求ab 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】()28sin 2cos 272C A B =++，即()28sin 2cos 2702C A B -+-=，因为()()21cos 8sin 2cos 282cos 222C C A B C π--+=⋅-- ()2244cos 2cos 244cos 22cos 14cos 4cos 6C C C C C C =--=---=--+， 即24cos 4cos 10C C ++=，解得1cos 2C =-， 0C π<<，所以23C π=， 设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即224a b ab =++．又因为22423a b ab ab ab ab =++≥+=，即43ab ≤，当且仅当a b =时等号成立．所以三角形ABC 的面积1sin 2S ab C M ==≤=．【点睛】 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．2+ 【分析】连接AC ，设D θ∠=，利用余弦定理得出2AC 关于θ的表达式，然后利用三角形的面积公式将四边形ABCD 的面积表示为关于θ的三角函数，并利用三角恒等变换思想化简函数解析式，利用正弦函数的有界性可求得结果.【详解】连接AC ，设D θ∠=，则0θπ<<，在ACD 中，2AD =，1CD =，D θ∠=，由余弦定理得2222cos 54cos AC AD CD AD CD θθ=+-⋅=-，AB BC =，60ABC ∠=，ABC ∴是等边三角形，则四边形ABCD 的面积为21sin 24ACD ABC S S S AD CD AC θ=+=⋅⋅+)sin 54cos sin 2sin 3πθθθθθ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭， 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<，当32ππθ-=时，四边形ABCD 的面积取最大值24+.故答案为：24+. 【点睛】 本题考查四边形面积最值的计算，涉及余弦定理、三角形面积公式以及正弦函数基本性质的应用，解答的关键就是将面积表示为以某角为自变量的三角函数，考查计算能力，属于中等题.23．92 【分析】由已知得ACD BCD ABC ABD S S S S ∆∆∆∆+=-1134sin 3sin 22ACB BD ADB =⨯⨯∠-⨯⨯⨯∠，转化为求出BD 与ACB ∠关系，设BD x =，在,ABC ABD ∆∆中，用余弦定理分别求出AB ，建立BD 与ACB ∠关系，化简即可.【详解】设BD x =，由余弦定理2222cos 2524cos AB AC BC AC BC ACB ACB =+-⋅∠=-∠2222AB AD BD AD BDcos ADB =+-⋅∠229696x xcos ADB x xcos ACB =+-∠=++∠，则2252496cos ACB x xcos ACB -∠=++∠，整理得2624160x cos ACB x cos ACB +∠⋅+∠-=，解得46x cos ACB =-∠，或4x =-（舍去），于是ACD BCD ABC ABD S S S S S ∆∆∆∆=+=-1134sin 3sin 22ACB x ADB =⨯⨯∠-⨯⨯∠ ()36sin 46cos sin 2ACB ACB ADB =∠--∠∠ 9sin 22ACB =∠ 当4ACB π∠=时，ACD ∆与BCD ∆面积之和S 取得最大值92. 故答案为：92. 【点睛】 本题考查余弦定理解三角形、求面积的最值，解题的关键是利用方程思想将边角关系统一，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.24．12-【分析】设ABM θ∠=，由此表示出AMB ∠，BNC ∠，利用正弦定理求得BM ，BN ，再由三角形面积公式表示BMN 的面积，从而由三角函数性质求得最小值.【详解】设ABM θ∠=，由题意可知23AMB πθ∠=-，2362BNC πππθθ⎛⎫∠=--=+ ⎪⎝⎭． 在ABM 和BCN 中，由正弦定理，可得sin sin BM AB A AMB =∠，sin sin BN BC C BNC=∠，所以sin sin sin 3AB A BM AMB θ==∠- ⎪⎝⎭sin sin BC C BN BNC ==∠故131222sin cos 3BMN S BM BN πθθ=⋅=⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中06πθ．记()2211cos 211sin cos cos sin cos sin 23222222f πθθθθθθθθ+⎛⎫=-=+=+⋅ ⎪⎝⎭1111sin 2cos 2sin 222223πθθθ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12πθ=时，()f θ取得12+，此时BMN S 取得最小值，故()min 3122BMN S ==-． 【点睛】本题考查由正弦定理解三角形进而表示面积，还考查了利用三角函数性质求最值，属于中档题.25【分析】根据题意，利用边化角公式和两角和与差，正弦公式化简求出2=3C π∠，结合余弦定理和基本不等式求出ab 最大值，最后利用三角形面积公式即可求出ABC ∆的面积的最大值. 【详解】解：由于(cos cos )cos 122a Bb A B a b +=+，4c =， 则：()sin cos cos sin cos 12sin sin 2A B A B B A B +=+，即：sin cos 12sin sin 2C B A B =+， 整理得：2sin cos =2sin sin =2sin cos 2sin cos sin C B A B B C C B B +++，即：2sin cos sin =0B C B +，()sin 2cos 1=0B C +，sin B >0，则1cos =-2C ，2=3C π∴∠， 由余弦定理得：2222cos e a b ab C =+-,22162cos a b ab C =+-，即：221623a b ab ab =+-≥，即：163ab ≤， 当且仅当a b =时，取等号， ab ∴最大值为163， 而ABC ∆的面积为S=1sin 2ab C ，则面积的最大值S=1162sin 233π⨯⨯=，. 【点睛】 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，以及基本不等式求最值，还有三角形的面积公式，两角和与差，正弦公式，考查计算能力.26．(12,14⎤⎦【分析】cos 1A C -=，由三角形面积公式可得21S ，22S ，由24BD <<确定cos C 的取值范围后即可得解.【详解】在△ABD 中，2222cos 16BD AB AD AB AD A A =+-⋅⋅=-，在△BCD 中，2222cos 88cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅⋅=-，所以1688cos A C -=-cos 1A C -=， 所以2222211sin 1212cos 4S AB AD A A =⋅⋅=-，2222221sin 44cos 4S BC CD C C =⋅⋅=-， 22222121212cos 44cos 8cos 8cos 12S S A C C C +=-+-=--+，因为24BD -<<，所以()288cos 16C BD -=∈-，解得1cos 1C -<<，所以(22221218cos 8cos 128cos 1412,142S S C C C ⎛⎫⎤+=--+=-++∈ ⎪⎦⎝⎭.故答案为：(12,14⎤⎦.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，考查了函数思想，属于中档题.27．1 【分析】设AC b =，ACB α∠=，ABC β∠=，则BCD ∆的面积12sin()sin()244S DC DC ππαα=⨯+=+，在ABC ∆中，运用余弦定理，表示出AC ，根据ACD ∆是以D 为顶点的等腰直角三角形，得到DC ，代入面积公式，利用三角函数即可求BCD ∆面积的最大值．【详解】在ABC ∆中，设AC b =，ACB α∠=，ABC β∠=在ABC ∆中，1AB =，2BC =，由余弦定理，可得24113cos ()44b b b bα+-==+，由3b b +≥=当且仅当b =即有cos α≥，由于(0,)απ∈ 则06πα<≤，利用余弦定理可得：2222cos AC BC AB BC AB β=+-⋅，化简得：254cos b β=-，又因为ACD ∆是以D 为顶点的等腰直角三角形，则2215=2cos 22DC b β=- ， 在ABC ∆中，由正弦定理可得：sin sin b AB βα=，即：sin sin b αβ=，则sin CD αβ=，由于2222cos (1sin )CD CD αα=- 222sin CD CD α=-221sin 2CD β=- 251=2cos sin 22ββ-- 21cos 2cos 22ββ=-+ 21(2cos )2β=-，即cos cos )CD αβ=- 所以BCD ∆的面积12sin()sin()244S DC DC ππαα=⨯+=+sin cos DC αα=+sin (2cos )222DC αβ=+⨯-(2cos )2222ββ=+- 11=sin cos 122ββ++)124πβ=++当=4πβ时，sin()4πβ+取最大值1，所以BCD ∆的面积的最大值为+12故答案为1+. 【点睛】 本题考查三角形面积的最值的求法，注意运用余弦定理和面积公式，同时考查不等式的运用，属于难题．28．56π 32+【分析】利用正弦定理边角互化结合B 的取值范围可求得3B π∠=，可判断出ABC 为等边三角形，利用余弦定理求得2106cos AC θ=-，利用三角形的面积公式可得出四边形ABCD 的面积关于θ的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形ABCD 面积的最大值及其对应的θ的值，即可得解.【详解】 ()3cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos cos sin 2sin A C A C B +=，所以，()()22sin B A C B B π=+=-=，3CAB π∠=，20,3B π⎛⎫∴∠∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0B >，sin 2B ∴=，3B π∴∠=， 所以，ABC 为等边三角形，设D θ∠=，则0θπ<<，由余弦定理可得2222cos 106cos AC AD CD AD CD θθ=+-⋅=-，()21sin 106cos 23422ABC S AC πθθ==-=-△， 13sin sin 22ACD S AD CD θθ=⋅=△， 所以，四边形ABCD 的面积为3sin cos 3sin 22232ACD ABC S S S πθθθ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭△△， 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<，所以，当32ππθ-=时，即当56D πθ∠==时，四边形ABCD 的面积取最大值32+.故答案为：56π；3 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.29．90【分析】设AD t =，根据BD =，得到BD =，然后利用余弦定理解得2AB t =，由222AB AD BD =+得解；由AB 是圆的直径，则90ACB ∠=，设BAC θ∠=，表示cos AB θ=，BC θ=，cos BD θ=，60CBD θ∠=-，得到()()1sin 600602BCD S BD BC θθ=⋅⋅-<<，利用三角恒等变换化简为2tan S θ=-+⎭. 【详解】设AD t =，因为BD =，所以BD =，由余弦定理得：)2222cos 60t AB tAB =+-，解得2AB t =，所以222AB AD BD =+，所以90ADB ∠=，所以AB 是圆的直径，则90ACB ∠=，设BAC θ∠=，所以AB =，BC θ=，BD =，60CBD θ∠=-，所以()()1sin 600602ABC S BD BC θθ=⋅⋅-<<，()1sin 602θθ=⨯-，()2sin 60cos θθθ⨯-=，2212sin cos cos θθθθ-=，212tan θθ=-，2tan θ=-+⎭当tan 2θ=时，BCD面积取得最大值为故答案为：（1）90；（2）【点睛】本题主要考查余弦定理，三角恒等变换在平面几何中的应用，还考查了数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.30．4530 【分析】在BCD 中应用正弦定理得sin BDC ∠，然后得余弦值，根据60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，得ABCD 是圆内接四边形，因此有BAC ADC ∠=∠是确定的角，这样只要求得ABC 面积的最大值即可得AB AC ⋅的最大值，而BC =A 到BC 的距离最大即可，它是线段BC 的中垂线与四边形ABCD 外接圆的交点时，得最大值．【详解】 BCD 中，sin sin BD BC BCD BDC =∠∠，△3sin 5BDC ∠==，BDC ∠为锐角，△4cos 5BDC ∠=，△60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，△,,,A B C D 四点共圆，△BC =△当A 到BC 的距离最大时，ABC 面积最大，此时A 是边AB 的中垂线与外接圆的交点，设A '在BC 的中垂线上，O 是圆心，E 是BC 中点，则,,A O E '共线，A E BC '⊥，外接圆的直径为52sin sin1203BD R BCD ===∠︒，3OA OB OC '===，又12CE BE BC ===△OE ==A E OA OE ''=+= 11922A BC S BC A E ''=⋅=⨯=△，又113sin sin 2210A BC S AB AC BA C A B A C BDC A B A C ''''''''=⋅∠=⋅∠=⋅△， △3910A B A C ''⋅=，△30A B A C ''⋅=． 又113sin sin 2210ABC S AB AC BAC AB AC BDC AB AC =⋅∠=⋅∠=⋅， △AB AC ⋅的最大值是30． 故答案为：45；30【点睛】本题考查正弦定理，考查四点共圆，三角形面积公式，解题的关键是利用边BC 为定值，BAD ∠为定值，把问题转化为求ABC 面积的最大值，利用点在圆上，由圆的性质可三角形面积最大时点的位置，从而易求解．31． 8+。

2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题(微专题)(解析版)

2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题(微专题)(解析版)

数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.4(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5,S 9=81，数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n a n +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .5(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．2【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；log，求数列{b n}的前n项和T n．(2)若b n=-1n⋅2a2n+12【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.n n+13(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.2(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n前n项和满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n的通项公式；和数列b n(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数 ，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。

专题20 解决直线与圆问题-2021年高考数学二轮复习核心考点微专题(苏教版)(解析版)

专题20 解决直线与圆问题-2021年高考数学二轮复习核心考点微专题(苏教版)(解析版)

1.直线l ：y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】－1≤a ≤3【解析】圆方程为(x －a )2＋y 2＝2a ＋4，则a >－2，又直线l 过定点(0,1)，故只需点(0,1)在圆内或圆上，即－1≤a ≤3，综上，实数a 的取值范围是－1≤a ≤3.2.若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________． 【答案】2－1<r <2＋1.3.若对圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a ≥6.【解析】设直线l 1：3x －4y ＋a ＝0，直线l 2：3x －4y －9＝0，则|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|＝5(dP －l 1＋dP －l 2)，因为|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x 无关，所以，圆M 恰完全在直线l 1和直线l 2所夹带状区域内，所以，直线l 1：3x －4y ＋a ＝0在圆M 的上方，dM －l 1＝|－1＋a |5＝a －15≥1，所以，a ≥6.4.已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)及圆上的点A (0，－r )，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC ＝BC ，则直线l 的斜率为________．【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y ＝kx －r ，与x 2＋y 2＝r 2联立解得B (2kr k 2＋1，(k 2－1)r k 2＋1)，而C (rk ，0)，由OC ＝BC 得(r k )2＝(2kr k 2＋1－r k )2＋[(k 2－1)r k 2＋1]2即k ＝±3.学&科网【考向分析】直线与圆的位置关系是高考常考的知识内容．对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题(如类似阿氏圆一类问题)，体现用代数方法研究几何问题的思想．对这类问题的考查，一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线及与点(直线、圆)的位置关系判定问题等，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键.（一）直线与圆基本问题盘点 例1. 直线tx ＋y ＋3＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，若|OA →＋OB →|>|AB →|，则实数t 的范围________．【答案】－142<t <－52或52<t <142.变式1若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 【答案】18【解析】由题意得直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2，所以a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18. 变式2 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4.若等边△P AB 的一边AB 为圆C 一条弦，则PC 的最大值为________． 【答案】4【解析】由△P AB 为等腰三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记AH ＝BH ＝x ，PH ＝y ，PC ＝t ，则CH ＝3x ，满足⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4(x ，y >0)t ＝3x ＋y求PC 的最小值．记直线l ：y ＝－3x ＋t ，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧x 2＋y 2＝4(x ，y >0)相切时，则t 取最大值，求得t max ＝4，即PC 的最大值为4.（二）圆与圆的位置关系应用例2. 设集合A ＝{(x ，y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________． 【答案】12≤m ≤2＋ 2.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 【答案】－13<c <13.【解析】圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c |13<1，解得：－13<c <13.变式2 已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，点P 在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标x 0的取值范围是________． 【答案】－1≤x 0≤2.【解析】数形结合法：设P (x 0,1－y 0)，由题意可得|CP |≤3，即(x 0－2)2＋(－1－x 0)2≤3，解之得－1≤x 0≤2. （三）阿波罗尼斯圆问题梳理例3. 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围________． 【答案】[1,5]．【解析】可判断出直线l 与圆M 相离，故点A 在圆外，由于圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则设直线AE ，AF 为过点 A 作圆M 的两条切线，切点分别为E ，F ，则∠EAF ≥∠MAN ＝60°，故∠MAC ≥30°且r ＝2，则CA ≤4，设A (a,6－a )，所以(a －1)2＋(5－a )2≤4，解得a ∈[1,5]．学科*网变式1 满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的△ABC 的面积的最大值是________． 【答案】2 2.变式2 已知点A (－2,0)，B (4,0)，圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋b )2＝16，点P 是圆C 上任意一点，若P APB为定值，则b ＝________. 【答案】0【解析】设P (x ，y )，P APB＝k ，则(x ＋2)2＋y 2(x －4)2＋y2＝k ，整理得(1－k 2)x 2＋(1－k 2)y 2＋(4＋8k 2)x ＋4－16k 2＝0，又P 是圆C 上的任意一点，故k ≠1，圆C 的一般方程为x 2＋y 2＋8x ＋2by ＋b 2＝0，因此2b ＝0，故4＋8k 21－k 2＝8，4－16k 21－k 2＝b 2，解得b ＝0.1．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________． 【答案】[－1,1]．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连结ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N ，设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ON OM ≥22.而ON ＝1，所以OM ≤ 2.因为M 为(x 0,1)，所以x 20＋1≤2，解得－1≤x 0≤1，所以x 0的取值范围为[－1,1]．2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝a 2和直线l ：3x ＋4y ＋3＝0，若圆C 上有且仅有两个点到l 的距离等于1，则a 的取值范围________． 【答案】⎝⎛⎭⎫16，1∪⎝⎛⎭⎫－4，23.【解析】到直线l ：3x ＋4y ＋3＝0的点组成的轨迹为直线l 1：3x ＋4y －2＝0或直线l 2：3x ＋4y ＋8＝0，又圆C 圆心在直线y ＝x 上，且与两轴相切，由于圆C 上有且仅有两个点到l 的距离等于1，则直线l 1或l 2与圆C 相交，于是当a >0时，r ＝a ，则圆C 与l 1：3x ＋4y －2＝0相交，则d ＝|7a －2|5<a ，得a ∈(16，1)，当a <0时，r ＝－a ，则圆C 与l 1：3x ＋4y ＋8＝0相交，则d ＝|7a ＋8|5<a ，则a ∈⎝⎛⎭⎫－4，23，综上a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫16，1∪⎝⎛⎭⎫－4，23.学科#网3．△ABC 中，BC ＝22，AB →·AC →＝1，则△ABC 面积的最大值为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别为x 轴，y 轴上一点，且AB ＝2，若点P (2，5)，则|AP →＋BP →＋OP →|的取值范围是________． 【答案】[7,11]．【解析】＋＋＝3－(＋)，由于⊥，且AB ＝2，设＋＝，则点M 的轨迹为以O 为圆心半径r ＝2的圆，记3＝＝(6,35)，于是|＋＋|＝|－|＝MQ ，即圆上一点M 到定点Q (6,35)的距离，其取值范围是[OQ －r ，OQ ＋r ]，即[7,11]．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 【答案】2555.【解析】圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.2．若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】0≤m ≤10.【解析】因为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，所以由题意得：|－3＋4×2－m |5≤1，化简得|m －5|≤5即0≤m ≤10.3．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． 【答案】(x －1)2＋y 2＝2.【解析】由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1,0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 4.在平面直角坐标系xOy 中，A (2,0)，O 是坐标原点，若在直线x ＋y ＋m ＝0上总存在点P ，使得P A ＝3PO ，则实数m 的取值范围是________． 【答案】1－6≤m ≤1＋ 6.5. 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN 的长． 【答案】（1）(4－73，4＋73)（2）2【解析】(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为(4－73，4＋73)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. ·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程是y ＝x ＋1.故圆心C在l 上，所以MN 的长为2.6. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________． 【答案】a ＝－1【解析】圆心C (1，a )，半径r ＝4，因为△ABC 为直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ＝2 2.7. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 【答案】⎣⎡⎦⎤0，125.8. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 【答案】0≤k ≤43.【解析】将圆C 的方程整理为标准方程得：(x －4)2＋y 2＝1，所以圆心(4,0)，半径r ＝1，因为直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需圆C ′(x －4)2＋y 2＝4与y ＝kx －2有公共点，即|4k －2|k 2＋1≤2，解得：0≤k ≤43.9. 已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →(O为坐标原点)，则实数k ＝________. 【答案】0【解析】设AB 的中点为D ，有＝＋＝2，因为||＝2||＝2，所以||＝1，故|0－0＋1|k 2＋1＝1解得k ＝0. 学#科网10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2P A 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________． 【答案】－203<b <4.11. 已知A (0,1)，B (1,0)，C (t,0)，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________． 【答案】4【解析】由A (0,1)，C (t,0)，得l ：y ＝－1tx ＋1，D ⎝⎛⎭⎫x ，－1t x ＋1.又AD ≤2BD ，故x 2＋x 2t 2≤2(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫1－x t 2，化简得⎝⎛⎭⎫3＋3t 2x 2－⎝⎛⎭⎫8＋8t x ＋8≥0对任意x 恒成立，则⎝⎛⎭⎫8＋8t 2－4×8×⎝⎛⎭⎫3＋3t 2≤0，化简得t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥2＋3或0<t ≤2－3，因此最小正整数t 的值为4.12.在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 在线段AC 上，AD ＝kAC (k 为常数，且0<k <1)，BD ＝l 为定长，则△ABC 的面积最大值为________．【解析】如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy . 设A (x ，y )，y >0.因AD ＝kAC ＝kAB ，故AD 2＝k 2AB 2， 于是(x －l )2＋y 2＝k 2(x 2＋y 2)．所以，y 2＝－(1－k 2)x 2＋2lx －l 21－k 2＝－(1－k 2)(x －l 1－k 2)2＋k 2l 21－k 21－k 2≤k 2l 2(1－k 2)2，于是，y max ＝kl 1－k 2，(S △ABD )max ＝kl 22(1－k 2)，所以，(S △ABC )max ＝1k (S △ABD )max ＝l 22(1－k 2).。

高考数学专题突破：外接球问题【精编】

高考数学专题突破：外接球问题【精编】

高考数学专题突破：外接球模型模板一：422r h R += 一、题型描述几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说成球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。

二、模法讲解以下这幅图，大家应该都能看明白吧！一个底面半径为，高为的圆柱，求它的外接球半径。

那么问题来了？422r h R +=这个式子怎么来的。

那么这个式子有何妙用？1、如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示：我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。

在这里棱柱的高就是公式中h的，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r（至于怎么求外接圆半径可以用正弦定理。

2、我们再继续进行，如果我把刚刚那个三棱柱上面的两点去掉，我将得到三棱锥，如图：这个三棱锥的特点是AA1⊥底面ABC，即有一根侧棱⊥底面的锥体，依然符合这个模型。

那条竖直棱AA1就是公式中的h，而底面ABC的外接圆半径是公式中的r。

3、题目还喜欢这么干：面PAD垂直面ABCD。

它非常符合圆柱外接球模型！我们知道，这里的r为PAD的外接圆半径，h为AB或者CD为的长。

接着看，当我对第二幅图中的三棱柱 ABC-A1B1C1只去掉C1这个点，会得到什么呢？没错！这就是刚刚那个四棱锥放倒了！它的特点是：底面A1B1AB⊥CAB侧面，出题的时候则不会这么仁慈，就会像上一幅图那样，有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥！圆柱外接球模型——适用于：①圆柱-------r,h自带②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径；h:垂直于那个侧面的底边长那么接下来第二步就是找到，求出，而又怎么求呢？用正弦定理。

可以说正弦定理求外接圆半径这种方法咱们基本上就在高一学的时候提及过，根本就没用过它！告诉你，几乎整个高考也就此处求外接球题型可以用它来求求那个了。

利用频率直方图求中位数、众数、平均数-高考数学微专题突破含详解

利用频率直方图求中位数、众数、平均数-高考数学微专题突破含详解

高考数学微专题突破利用频率分布直方图求中位数、平均数、总数一、单选题1．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[]80,150内现将这100名学生的成绩按照[)8090，，[)90100，，[)100110，，[)110120，，[)120130，，[)130140，，[]140150，分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为0.040B ．样本数据低于130分的频率为0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[)90100，的频数一定与总体分布在[)100110，的频数相等2．2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[)9,11的学生人数为25，则n 的值为（）A ．40B ．50C ．80D ．1003．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.84．下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考数学成绩，现在只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）A ．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B ．甲同学的成绩的方差大于乙同学的成绩的方差C ．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数5．下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:h)频率分布直方图，如图：其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是①寿命在300-400的频数是90；②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1500.12500.153500.454500.155500.15④寿命超过400h的频率为0.3A．①B．②C．③D．④6．为了解某电子产品的使用寿命，从中随机抽取了100件产品进行测试，得到图示统计图.依据统计图，估计这100件产品使用寿命的中位数为（）A．218.25B．232.5C．231.25D．241.25 7．为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，哈三中团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度(单位：cm)的社会实践活动.利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图.现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的平均值(同一组数据用这组数据所在区间的中点的值代替).则估计的平均值为（）A．21.75B．22.25C．23.75D．20.75 8．为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（）A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人9．某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图.记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（）A ．M N P <<B ．N M P <<C ．P M N <=D ．P N M<<10．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩按[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100分成六组，其频率分布直方图如图所示，则下列说法中错误的是（）.A ．成绩在[)70,80内的考生人数最多B ．不及格（60分以下）的考生人数约为1000人C ．考生竞赛成绩平均分的估计值为70.5分D ．考生竞赛成绩中位数的估计值为75分11．在2019年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的物成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)80,90，[]90,100，90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A ．从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人B ．若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C ．若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为70D ．该省考生物理成绩的中位数为75分第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题12．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率直方图，已知图中从左到右的第一､二､三､四､五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.则估计高一参赛学生的成绩的众数､中位数分别为____________.13．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：g ）绘制的频率分布直方图，样本数据分为8组，分别为[)80,82，[)82,84，[)84,86，[)86,88，[)88,90，[)90,92，[)92,94，[]94,96，则样本的中位数在第______组14．某中学举行了一场音乐知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图，同一组数据用该区间的中点值代替，估计这次竞赛的平均成绩为______分.三、双空题15．根据高二某班50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示，虽不小心将其中一个数据污染了，但依然可以推断这个被污染的数据为_________，该班同学的成绩众数为_________.16．中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则这400名学生视力的众数为________，中位数为________.四、解答题17．有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的61.0010-⨯的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下：0.070.340.950.98 1.020.98 1.37 1.400.39 1.021.44 1.580.54 1.080.710.70 1.20 1.24 1.62 1.681.85 1.300.810.820.84 1.39 1.262.200.91 1.31（1）完成下面频率分布表，并画出频率分布直方图；频率分布表：分组频数频率[)0,0.50[) 0.50,1.001 3[) 1.00,1.50[) 1.50,2.002 15[)2.00,2.5011 30合计301频率分布直方图：（2）根据频率分布直方图估算样本数据的平均值（保留小数点后两位，同一组中的数据用该组区间中点值代表），并根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．18．经历过疫情，人们愈发懂得了健康的重要性，越来越多的人们加入了体育锻炼中，全民健身，利国利民，功在当代，利在千秋．一调研员在社区进行住户每周锻炼时间的调查，随机抽取了300人，并对这300人每周锻炼的时间（单位：小时）进行分组，绘制成了如图所示的频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并估算该社区住户每周锻炼时间的中位数（精确到0.1）；（2）若每周锻炼时间超过6小时就称为运动卫士，超过8小时就称为运动达人．现利用分层抽样的方法从运动卫士中抽取5人，再从这5人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中恰有1人为运动达人的概率．19．经历过疫情，人们愈发懂得了健康的重要性，越来越多的人们加入了体育锻炼中，全民健身，利国利民，功在当代，利在千秋．一调研员在社区进行住户每周锻炼时间的调查，随机抽取了300人，并对这300人每周锻炼的时间（单位：小时）进行分组，绘制成了如图所示的频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并估算该社区住户每周锻炼时间的中位数（精确到0.1）；（2）若每周锻炼时间超过6小时就称为运动卫士，超过8小时就称为运动达人．现利用分层抽样的方法从运动卫士中抽取10人，再从这10人中抽取3人做进一步调查，设抽到的人中运动达人的人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望．20．某贫困地区经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如图频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计这50位农民的平均年收入x （单位：千元，同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）为推进精准扶贫，某企业开设电商平台，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富．甲计划在A 店，乙计划在B 店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由()*2,n n n N ≥∈个商品W 构成，假定甲、乙两人在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p 、q ，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品W 总数量分别为X 、Y ．①求X 的分布列及数学期望()E X ；②若27sin4n p n n ππ=-，sin4n q nπ=，求当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值．21．某地处偏远山区的古镇约有人口5000人，为了响应国家号召，镇政府多项并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村特色经济，到2020年底一举脱贫．据不完全统计该镇约有20%的人外出务工，下图是根据2020年扶贫工作期间随机调查本地100名在外务工人员的年收入（单位：千元）数据绘制的频率分布直方图．（1）根据样本数据估计该镇外出务工人员的创收总额（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再上一个新台阶，出台了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业，调查显示年收入在35千元（含35千元）以上的人中有60%的人愿意返乡投资创业，年收入在35千元以下的人中有40%的人愿意返乡投资创业，请从样本数据中完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意返乡投资创业和年收入有关”．35千元（含35千元）以上35千元以下愿意返乡投资创业不愿意返乡投资创业附：()()()()()22n ad bc X a b c d a c b d -=++++，()20P X k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.63522．某市为大力推进生态文明建设，把生态文明建设融入市政建设，打造了大型植物园旅游景区.为了了解游客对景区的满意度，市旅游部门随机对景区的100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内，且游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示.（1）求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；（2）视频率为概率，规定评分不低于80分为满意，低于80分为不满意，记游客不满意的概率为p .（ⅰ）若从游客中随机抽取m 人，记这m 人对景区都不满意的概率为m a ，求数列{}m a 的前4项和；（ⅱ）为了提高游客的满意度，市旅游部门对景区设施进行了改进，游客人数明显增多，对游客进行了继续旅游的意愿调查，若不再去旅游记1分，继续去旅游记2分，每位游客有继续旅游意愿的概率均为p ，且这次调查得分恰为n 分的概率为n B ，求4B .23．2016年春节期间全国流行在微信群里发､抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下：金额分组[)1,5[)5,9[)9,13[)13,17[)17,21[)21,25频数39171182（1）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（2）估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．①若红包金额在区间[]21,25内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；②随机抽取手气红包金额在[)[]1,521,25⋃内的两名幸运者，设其手气金额分别为m ，n ，求事件“16m n ->”的概率．24．绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50．用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值；（ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为Y ，求()E Y ；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n 格的概率为(1,2,,50)n P n = ，其中01P =，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈ ，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈ ，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈ .25．某地处偏远山区的古镇约有人口5000人，为了响应国家号召，镇政府多项并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村特色经济，到2020年底一举脱贫.据不完全统计该镇约有20%的人外出务工.下图是根据2020年扶贫工作期间随机调查本地100名在外务工人员的年收入(单位：千元)数据绘制的频率分布直方图.（1）根据样本数据怙计该镇外出务工人员的创收总额(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；（2）假设该镇外出务工人员年收入服从正态分布()2,N μσ，其分布密度函数为22()2()x f x μσ--=，其中μ为样本平均值.若()f x 的最大值为10π，求σ的值；（3）完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再上一个新台阶，出台了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业.调查显示务工收入在[],2μσμσ++和[]2,3μσμσ++的人群愿意返乡创业的人数比例分别为15%和20%.从样本人群收入在[],3μσμσ++的人中随机抽取3人进行调查，设X 为愿意返乡创业的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考答案1．C 【分析】对于A :由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，列出等式可求得a 的值，进而作出判断；对于B ：先计算高于130分的频率，然后再用1减去于高于130分的频率即可得到低于130分的频率，进而作出判断；对于C ：先计算[)80,120的频率和[)120130,的频率，再求出总体的中位数，进而作出判断；对于D ：根据样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等作出判断即可.【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-⨯+=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=，[)120130,的频率为：0.030100.3⨯=，∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误.故选：C .【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于基础题.2．B 【分析】由频率分布直方图的性质，求得0.25x =，再结合频率分布直方图的频率的计算方法，即可求解.由频率分布直方图的性质，可得()20.050.150.051x +++=，解得0.25x =，所以学习时长在[)9,11的频率2520.5x n==，解得50n =.故选：B .【点睛】本题主要考查了频率分布直方图性质及其应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了数据分析能力，以及计算能力.3．A 【分析】根据频率分布折线图计算该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.25⨯+⨯+⨯+⨯.【详解】由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.【点睛】此题考查根据频率分布折线图求平均数，关键在于熟练掌握平均数的求解公式.4．D 【分析】根据频数分布表中的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误，即可得到本题答案.【详解】甲同学的成绩的平均数1051201201301401235x ++++<=，乙同学的成绩的平均数1051151251351451255y ++++>=，所以A 错误；甲同学的成绩从第1次到第5次变化波动比乙同学的成绩的变化波动更小一些，所以甲同学的成绩的方差小于乙同学的成绩的方差，所以B 错误；甲同学的成绩的极差介于()30,40之间，乙同学的成绩的极差介于()35,45之间，所以甲同学的成绩的极差不一定小于乙同学的成绩的极差，所以C 错误；甲同学的成绩的中位数介于()115,120之间，乙同学的成绩的中位数介于()125,130之间，所以D 正确.故选：D本题主要考查频数直方图的相关问题，其中涉及中位数、平均数、方差、极差的求解. 5．B【详解】若①正确，则300400-对应的频率为0.45，则400500-对应的频率为0.15，则②错误；电子元件的平均寿命为1500.12500.153500.454500.155500.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则③正确；寿命超过400h的频率为0.150.150.3+=，则④正确，故不符合题意；若②正确，则300400-对应的频率为0.4，则①错误；电子元件的平均寿命为1500.12500.153500.44500.25500.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则③错误；寿命超过400h的频率为0.20.150.35+=，则④错误，故符合题意.故选：B.6．C【分析】设中位数为x，根据中位数左边的频数为50列等式可求得x的值.【详解】设中位数为x，前2组的频数之和为25，前3组的频数之和为65，由题意可得20025405050x-+⨯=，解得231.25x=.故选：C.7．A【分析】利用频率分布直方图计算平均数的方法求解即可.【详解】所给数据频率之和为(0.010.070.080.020.02)51++++⨯=则估计的平均值为5(12.50.0117.50.0722.50.0827.50.0232.50.02) 4.35521.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=故选：A8．D 【分析】根据样本估计总体的知识依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A ，设中位数为x ，则()()0.020.065250.080.5x +⨯+-⨯=，解得：26.25x =，即该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次，A 正确；对于B ，根据频率分布直方图知众数为：253027.52+=次，B 正确；对于C ，该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有16000.045320⨯⨯=人，C 正确；对于D ，该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有16000.025160⨯⨯=人，D 错误.故选：D.9．A 【分析】由统计图分别求出该月温度的中位数，众数，平均数，由此能求出结果．【详解】解：由统计图得：该月温度的中位数为565.52N +==，众数为5M =，平均数为1(233410566372829210) 5.9730P =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈．∴M N P <<．故选：A ．10．D 【分析】A ．根据频率分布直方图中哪一组数据的频率除以组距的值最大进行分析；B ．先分析60分以下对应的频率，再利用总体数量乘以所求频率即可得到结果；C ．利用每组数据的组中值乘以对应频率并将每组计算结果相加即可得到结果；D ．分析频率为0.5时对应的横坐标的值即为中位数.【详解】A ．根据统计图可知：[)70,80对应的频率除以组距的值最大，即频率最大，所以人数最多，故正确；B ．不及格的频率为：()0.0100.015100.25+⨯=，所以不及格的人数约为40000.25=1000⨯人，故正确；C ．根据频率分布直方图可知平均数为：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故正确；D ．前三组的频率之和为：()0.01+0.0150.02100.450.5+⨯=<，前四组的频率之和为：()0.01+0.0150.020.03100.750.5++⨯=>，所以中位数在第四组数据中，且中位数为：0.50.45701071.70.0310-+⨯≈⨯，故错误；故选：D.11．D 【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解．【详解】解：对于A ，90分以上为优秀，由频率分布直方图得优秀的频率为0.010100.1⨯=，∴从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试生约有：10000.1100⨯=人，故A 正确；对于B ，由频率分布直方图得[40，50)的频率为0.01100.1⨯=，[50，100)的频率为：10.10.9-=，∴若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分，故B 正确；对于C ，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为：450.01010550.01510650.02010750.03010850.01510950.0101070.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=分，故C 正确；对于D ，[40，70)的频率为：(0.0100.0150.020)100.45++⨯=，[70，80)的频率为0.030100.3⨯=，∴该省考生物理成绩的中位数为：0.50.45701071.670.3-+⨯≈分，故D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查频数、合格分数线、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12．65，65【分析】频率分布直方图中最高矩形的中点横坐标即为众数，利用平分矩形面积可得中位数．【详解】由题图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60+x ，则0.3+x ×0.04=0.5，得x =5，∴中位数为60+5=65.故答案为：65，6513．四【分析】计算前几组的频率之和，判断频率为0.5在哪个区间即可判断中位数.【详解】根据频率分布直方图可知，前三组的频率之和为()0.03750.06250.07520.350.5++⨯=<，前四组的频率之和为()0.03750.06250.0750.120.550.5+++⨯=>，则可以判断中位数在第四组.故答案为：四.【点睛】本题考查根据频率分布直方图判断中位数所在区间，属于基础题.14．67.【分析】本题根据频率分布直方图直接求平均数即可.【详解】解：这次竞赛的平均成绩为：0.03055100.04065100.01575100.01085100.005951067⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=故答案为：67.【点睛】本题考查根据频率分布直方图求平均数，是基础题.15．0.016130【分析】利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得污染的数据;利用最高矩形底边的中点值可求得众数.【详解】设被污染的数据为a ，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得0.004100.02100.028100.03210101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.016a =.由图可知，该班同学的成绩众数为130.故答案为：0.016，13016．4.7 4.75【分析】根据频率分布直方图，取最高矩形底边中点的横坐标即可求出众数，求出第三小组矩形的高，设中位数为x ，由()0.1250.175 4.5510.5x ++-⨯=，解方程即可求解.【详解】由图可知，众数为4.7，第五小组的频率为0.50.30.15⨯=从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，可得第一小组的频率为50.150.1256⨯=，第二小组的频率为70.150.1250.1756⨯==，第三小组的频率为120.150.36⨯=，所以中位在第三小组，第三小组矩形面积为0.3，则第三小组的高为0.310.3=设中位数为x ，则()0.1250.175 4.5510.5x ++-⨯=，解得 4.75x =故答案为：4.7；4.75【点睛】本题考查了根据频率分布直方图求众数、中位数，考查了运算求解能力，属于基础题. 17．（1）填表见解析；作图见解析；（2）平均值为：1.08，答案见解析．【分析】（1）由样本数据，即可完善频率分布表中的数据，并画出频率直方图.（2）由（1）的频率直方图计算样本均值，进而描述汞含量分布规律.【详解】（1）由题设样本数据，则可得频率分布表如下，分组频数频率[)0,0.5031 10[)0.50,1.00101 3[)1.00,1.50122 5[)1.50,2.0042 15[)2.00,2.5011 30合计301（2）根据频率分布直方图估算平均值为：112210.250.75 1.25 1.75 2.25 1.0810351530⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈，分布规律：①该频率分布直方图呈中间高，两边低，大多数鱼身体中汞含量主要集中在区间[]0.5,1.5；②汞含量在区间[]1,1.5的鱼最多，汞含量在区间[]0.5,1的次之，在区间[]2,2.5的最少；③汞含量超过61.0010-⨯的数据所占比例较大，这说明这批鱼被人食用，对人体产生危害的可能性比较大．18．（1）作图见解析；中位数为4.3；（2）35．【分析】（1）设中位数为x ，则有()40.150.05x -⨯=，故可求中位数.（2）利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：（1）第二组的频率为()120.150.0750.050.10.25-⨯+++=，故第二组小矩形的高为0.125频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可得，第一组和第二组的频率之和为0.20.250.450.5+=<，前三组的频率之和为0.20.250.30.750.5++=>，可知中位数在第三组，设中位数为x ，则有()40.150.50.450.05x -⨯=-=，解得134.33x =≈，所以该社区住户每周锻炼时间的中位数为4.3；。

正余弦定理判定三角形形状-高考数学微专题突破含详解

正余弦定理判定三角形形状-高考数学微专题突破含详解

正余弦定理判定三角形形状-高考数学微专题突破一、单选题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22202c a b ab-->，则△ABC （ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形2．在ABC 中，若3sin b B =，cos cos A C =，则ABC 形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 22A b c c+=，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形5．在ABC 中，2sin 22C a ba-=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形6．在ABC 中，若20AB BC AB ⋅+=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．若钝角三角形ABC 的三边长,8,()a b a b <成等差数列，则该等差数列的公差d 的取值范围是（ ） A ．(2,4)B ．(0,4)C ．(2,6)D ．(1,4)8．在ABC 中，a b c ，，分别是内角A B C ，，的对边，若222)4ABC a b c S +-=△（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．有一个角是30的等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，且sin sin 1A C +=，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为120的非等腰三角形D ．顶角为120的等腰三角形10．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，命题:p 若222a b c +>，则ABC 为锐角三角形，命题:q 若a b >，则cos cos A B <.下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=,cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形12．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为150的等腰三角形D ．顶角为120的等腰三角形13．ABC 中三个角的对边分别记为a 、b 、c ，其面积记为S ，有以下命题：△21sin sin 2sin B CS a A=；△若2cos sin sin B A C =，则ABC 是等腰直角三角形；△222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-；△2222(+)sin ()()sin ()a b A B a b A B -=-+，则ABC 是等腰或直角三角形.其中正确的命题是( ) A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△14．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知222(cos cos )2cos a b a B b A ab B +-+=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形15．在ABC ∆中，()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角非等腰三角形D ．等腰或直角三角形16．对于ABC ∆，有如下四个命题:△若sin 2sin 2A B = ，则∆ABC 为等腰三角形， △若sin cos B A =，则∆ABC 是直角三角形△若222sin sin sin A B C +<，则∆ABC 是钝角三角形△若coscoscos222ab c AB C ==，则∆ABC 是等边三角形.其中正确的命题个数是 （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题17．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为△A 、△B 、△C 的对边，下列叙述正确的是（ ）A ．若sin sin a bB A = 则△ABC 为等腰三角形 B ．若cos cos a bB A= 则△ABC 为等腰三角形 C ．若ta ta a 0n n A t n B C ++>则△ABC 为锐角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则△C 4π=18．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形19．已知△ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若2cos c aB =，则ABC 一定是等腰三角形B ．若()()2222sin()sin()a bA B ab A B +-=-+，则ABC 是等腰或直角三角形C ．若22tan tan a A b B=，则ABC 一定是等腰三角形D ．若2b a c =+，且2cos28cos 50B B -+=，则ABC 是等边三角形20．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的有（ ） A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC 一定是等腰三角形 D ．若222a b c +<，则ABC 一定是钝角三角形 21．下列说法正确的有（ ）A ．在△ABC 中，a △b △c =sin A △sinB △sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A =sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 C ．△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件D ．在△ABC 中，若sin A=12，则A=6π22．在ABC ∆中，下列命题正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D ．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角 23．在ABC ∆中，以下结论正确的是____________A ．若222a b c >+，则ABC ∆为钝角三角形B ．若222a b c bc =++，则A 为120︒C ．若222a b c +>，则ABC ∆为锐角三角形D ．若::1:2:3A B C =，则::1:2:3a b c =三、填空题24．在ABC 中，满足cos cos a Ab B=的三角形是______________三角形. 25．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若cos A ＝12，b ＋c ＝2a ，则△ABC 的形状为________.26．若以3，4，x 为三边长组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是____________．27．对于ABC ，有如下命题：△若sin2A ＝sin2B ，则ABC 为等腰三角形； △若sin A ＝cos B ，则ABC 为直角三角形；△若sin 2A +sin 2B +cos 2C ＜1，则ABC 为钝角三角形； △若满足C ＝6π，c ＝4，a ＝x 的三角形有两个，则实数x 的取值范围为(4,8)． 其中正确说法的序号是_____．28．已知ABC 的内角,,A B C 成等差数列，且,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则有下列四个命题： △3B π=；△若,,a b c 成等比数列，则ABC 为等边三角形； △若2a c =，则ABC 为锐角三角形；△若2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则3A C =.则以上命题中正确的有________________.( 把所有正确的命题序号都填在横线上 ). 29．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC 的形状为______.30．在ABC 中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，且a b c ，，成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则三角形的形状是________________．31．对于ABC ，有如下命题：()1若sin2sin2A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()2若sin sin A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()3若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 一定为钝角三角形．()4若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 一定为锐角三角形．则其中正确命题的序号是______ .(把所有正确的命题序号都填上) 四、解答题32．在ABC 中，已知a 2tan B =b 2tan A ，试判断△ABC 的形状.33．ABC 中，sin sin sin b a Ba B A+=-，且()cos cos 1cos2A B C C -+=-，判断ABC 的形状．34．在ABC 中，若22tan :tan :,A B a b =试判断ABC 的形状.35．在ABC 中，已知22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，试判断ABC 的形状36．已知a b c ，，为ABC ∆的内角A B C ，，的对边，满足sin sin 2cos cos sin cos B C B C A A +--=，函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,π3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. （1）证明：2b c a +=； （2）若()cos 9f A π=，证明ABC 为等边三角形．37．已知锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A ． （1）求角A 的大小；（2）当a c 2＋b 2的最大值，并判断此时△ABC 的形状．38．在ABC 中，6BC =，点D 在BC 边上，且()2cos cos AC AB A BC C -⋅=. （1）求角A 的大小；（2）若AD 为ABC 的中线，且AC =AD 的长；（3）若AD 为ABC 的高，且AD =ABC 为等边三角形.39．在△cos 220B B +=，△2cos 2b C a c =-，△b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．40．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知4c =，3C π=.（1）若ABC 的面积等于ABC 的形状，并说明理由； （2）若ABC 是锐角三角形，求ABC 周长的取值范围.参考答案1．C 【分析】由余弦定理确定C 角的范围，从而判断出三角形形状． 【详解】由22202c a b ab-->得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形. 故选：C ． 2．C 【分析】首先利用正弦定理化边为角求出sin A 的值，再结合A C =，以及三角形的内角和即可求出,B C ，进而可得正确选项.【详解】由正弦定理知：2sin b R B =，2sin a R A =，则3sin b B =可化为：32sin 2sin sin R B R A B ⨯=. 因为0180B << 所以sin 0B ≠，所以sin A =，可得60A =或120， 又因为cos cos A C =， 所以A C ∠=∠所以60A =，60C =，180606060B ∠=--=， 所以ABC 为等边三角形. 故选：C. 3．B 【分析】首先利用余弦定理求出A ，再由sin 2sin cos A B C =利用正弦定理将角化边，以及余弦定理将角化边可得b c =，即可判断三角形的形状；解：()()3a b c b c a bc +++-=，[()][()]3b c a b c a bc ∴+++-=，22()3b c a bc ∴+-=， 22223b bc c a bc ++-=，222b bc c a -+=，根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-， 222222cos b bc c a b c bc A ∴-+==+-，2cos bc bc A =，1cos 2A =， 60A ∴=︒，又由sin 2sin cos A B C =，则sin 2cos sin A C B=，即22222a a b c b ab +-=，化简可得，22b c =， 即b c =，ABC ∴是等边三角形故选：B ． 4．A 【分析】用降幂公式变形后利用余弦定理得边的关系，从而判断出三角形形状． 【详解】在△ABC 中，因为2cos22A b c c +=，所以1cos 1222A b c +=+，所以cos A ＝b c. 由余弦定理，知2222b c a bbc c+-=，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形. 故选：A ． 5．D利用二倍角公式、正弦定理可得出sin sin cos B A C =，利用两角和的正弦公式可得出cos sin 0A C =，求出A 的值，即可得出结论.【详解】21cos sin 222C C a b a--==，cos b a C ∴=，由正弦定理可得sin sin cos B A C =， 所以，()sin cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C =+=+，则cos sin 0A C =，0C π<<，则sin 0C >，cos 0A ∴=，0A π<<，2A π∴=，因此，ABC 为直角三角形.故选：D. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 6．B 【分析】先利用数量积运算化简得到2cos ac B c =，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为20AB BC AB ⋅+=， 所以2cos()0ac B c π-+=， 所以2cos ac B c =，所以22222a c b ac c ac+-⨯=，所以222b c a +=， 所以三角形是直角三角形. 故选：B 【点睛】方法点睛：判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边.在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理. 7．A 【分析】设公差为d ，0d >，8,8a d b d =-=+，由最大角的余弦小于0得d 的一个范围，再由三线段长能构成三角形又可得d 的范围，两者结合可得结论． 【详解】由题意8b >，设公差为d ，0d >，8,8a d b d =-=+，设边长为8d +的边所对角为θ，则222(8)8(8)cos 028(8)d d d θ-+-+=<⨯⨯-，2>d ， 又888800d d d d -+>+⎧⎪->⎨⎪>⎩，即04<<d ，△24d <<． 故选：A ． 【点睛】易错点睛：本题考查由三角形形状求参数范围．三角形为钝角三角形，只要最大角为钝角即可．如果不能判断最大角，则需要分类讨论．解题中还不要忘记三条线段能构成三角形，否则出错． 8．B 【分析】由余弦定理和三角形面积公式结合已知得3A π=，由0AE BC ⋅=得AE BC ⊥，由角平分线得等腰三角形，从而得等边三角形的结论． 【详解】1sin 2ABCS ab C ==△，又2222cos a b c ab C +-=，12cos sin 2ab C ab C =，tan C =(0,)C π∈，所以3C π=，由0AE BC ⋅=得AE BC ⊥，又AE 是A 的平分线，所以AB AC =， 所以ABC 是等边三角形． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角形形状的判断．根据已知条件选择相应的三角公式是解题的关键，题中已知条件222)4ABC a b c S +-=△中，分子易与余弦定理联系在一起，然后结合三角形面积公式求解． 9．D 【分析】利用平方关系式和正弦定理得222122a cb ac +-=-，根据余弦定理求出120B =，再根据sin sin 1A C +=求出30A C ==，从而可得解.【详解】因为222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，所以2221sin (1sin )1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+， 所以222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，根据正弦定理可得222a c b ac +-=-，即222122a cb ac +-=-，所以1cos 2B =-，因为0B π<<，所以120B =，所以60A C +=， 由sin sin 1A C +=得sin sin(60)1A A +-=， 得sin sin 60cos cos60sin 1A A A +-=，得1sin sin 12A A A +-=，得1sin 12A A +=， 得sin(60)1A +=，因为A 为三角形的内角，所以30A =，30C =， 所以ABC 为顶角为120的等腰三角形. 故选：D 【点睛】思路点睛：判断三角形形状从两个方面入手：△利用正余弦定理角化边，利用边的关系式判断形状，△利用正余弦定理边化角，利用角的关系式判断形状. 10．D 【分析】先利用余弦定理判断命题p 的真假，然后利用余弦函数的单调性判断命题q 的真假，再逐项判断含逻辑联结词的复合命题的真假. 【详解】因为222a b c +>，2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C >，所以C 为锐角，但角A ，B 不能确定，所以p 为假命题；若a b >，则A B >，因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B <，所以q 为真命题，所以p q ∧为假命题，()p q ∨⌝为假命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题. 故选：D 【点睛】判断含逻辑联结词的复合命题的真假，首先可根据条件判断出原命题的真假，然后再根据逻辑联结词且、或、非判断复合命题的真假. 11．C 【分析】解法一根据直线的平行关系，结合正弦定理即可求得A 与B 的关系，根据直线平行又不重合的条件即可判断三角形形状；解法二根据直线平行关系得到cos cos 0b B a A -=，由余弦定理转化为边的表达式，进而利用因式分解可得a b 、的关系，根据平行又不重合的条件即可得三角形形状．【详解】解法一：由两直线平行可得cos cos 0b B a A -= 由正弦定理可知sin cos sin cos 0B B A A -=，即11sin 2sin 222A B = 又,(0,)A B π∈，且(0,)A B π+∈所以22A B =或22A B π=＋，即A B =或2A B π+=.若A B =，则a b =，cos cos A B =，此时两直线重合，不符合题意，舍去 故2A B π+=，则ABC 是直角三角形故选C.解法二：由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，由余弦定理得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅所以()()22222222a b c a b a c b +-=+- 所以()()()2222222cab a b a b -=+-所以()()222220a bab c -+-=所以a b =或222+=a b c若a b =，则两直线重合，不符合题意，故222+=a b c 则ABC 是直角三角形 故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在判断三角形形状中的应用，注意边角转化的应用，直线平行时不重合的条件限制，属于中档题． 12．D 【分析】先利用同角三角函数基本关系得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，结合正余弦定理得222122a cb ac +-=-进而得B ,再利用sin sin 13A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得A值进而得C ,则形状可求 【详解】由题()2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理及余弦定理得222122a cb ac +-=-即()12cos ,0,23B B B ππ=-∈∴=故 sin sin 13A A π⎛⎫+-=⎪⎝⎭整理得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，故,66A B ππ=∴=故ABC ∆为顶角为120的等腰三角形 故选D 【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题 13．D 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换对各个命题进行判断． 【详解】 由sin sin a b A B=得sin sin a B b A =代入in 12s S ab C =得21sin sin 2sin B CS a A =，△正确；若2cos sin sin B A C =sin()sin cos cos sin A B A B A B =+=+，△cos sin cos sin 0B A A B -=，in 0()s A B -=，△,A B 是三角形内角，△0A B -=，即A B =，ABC 为等腰三角形，△错；由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，又sin sin sin a b cA B C==，△222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-，△正确；2222(+)sin ()()sin ()a b A B a b A B -=-+，则2222sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin a b A B A B A B a b A B A B A B ---==+++，△22sin cos cos sin a A Bb A B =，由正弦定理得22sin cos sin sin cos sin =A BA AB B，三角形中sin 0,sin 0A B ≠≠，则sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B =，△22A B =或22A B π+=，△A B =或2A B π+=，△正确．故选：D ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查三角形形状的判断，由正弦定理进行边角转化在其中起到了重要的作用，解题时注意体会边角转换． 14．B 【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得2222cos a b c ab B +-=，再利用余弦定理可得cos cos B C =，可得结果.【详解】由题，已知()222+cos cos a b a B b A -+= 2cos ab B ，由正弦定理可得：()222sin sin sin cos cos sin 2sin sin cos A B A B A B A B B +-+= 即()222sin sin sin2sin sin cos A B A B A B B +-+=又因为()sin sin A B C +=所以222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B B +-= 即2222cos a b c ab B +-=由余弦定理：2222cos a b c ab C +-= 即cos cos B C = 所以B C =所以三角形一定是等腰三角形 故选B 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题.【分析】由正弦定理可得22sin sin cos sin cos sin B A B A A B =，化为sin 2sin 2B A =， 由a b A B ≠⇒≠，进而可得结果. 【详解】()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--, ()()()()2222sin sin a b A B a b A B ∴+-=-+化为22sin cos cos sin b A B a A B =，由正弦定理可得22sin sin cos sin cos sin B A B A A B =，sin cos sin cos B B A A =， sin 2sin 2B A =，,a b A B ≠∴≠，22,2B A A B ππ∴=-+=，ABC ∆是直角三角形，不是等腰三角形，故选C.【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 16．B 【详解】对于△sin 2sin 2A B =可推出A B =或2A B π+=，故不正确；△若100,10B A =︒=︒，显然满足条件，但不是直角三角形；△由正弦定理得2220a b c +-<，所以cos 0C <,是钝角三角形；△由正弦定理知sinsin sin 222A B C ==,由于半角都是锐角，所以222A B C==，三角形是等边三角形，故正确的有2个，选B. 17．ACD根据正余弦定理、三角形内角和性质，结合三角恒等变换有：A 可得a b =，B 可得A B =或2A B π+=，C 可得tan tan tan tan tan 0tanA B C A B C ++=>，D 中cos sin C C =，即可判断各选项正误. 【详解】A ：sin sin a b B A =有a bb a =，即22a b =，故△ABC 为等腰三角形，正确. B ：cos cos a bB A=有sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，0,A B π<<，所以A B =或2A B π+=，△ABC 不一定为等腰三角形，错误.C ：sin sin 11cos cos cos tan tan sin ()sin sincos cos cos cos cos cos cos cos cos tanA C C C A BB C C C A B C A B C A B C+++=+=⋅+=⋅=，所以△ABC 为锐角三角形，正确.D ：sin cos a b C c B =+知：sin sin()sin sin sin cos A B C B C C B =+=+，所以cos sin C C =，0C π<<，有△C 4π=，正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角互化及三角形内角和A B C π++=，两角和差公式等转化条件确定三角形形状. 18．D 【分析】在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B B A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 19．ABD 【分析】A ．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B ．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C ．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D ．根据条件先求解出B ，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出,A C 的值，从而判断出结果. 【详解】A ．因为2cos c aB =，所以()sin 2sin cos sinC A B A B ==+，所以sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故正确； B ．因为()()2222sin()sin()a bA B ab A B +-=-+，所以()()()()2222sin cos sin cos sin cos sin cos ab A B B A a b A B B A +-=-+，所以()()()()22222222sin cos sin cos a bab B A a b a b A B ⎡⎤⎡⎤-++=+--⎣⎦⎣⎦， 所以222sin cos 2sin cos a B A b A B =，所以222sin sin cos 2sin sin cos A B A B A B =， 所以sin 2sin 2B A =，所以2A B π+=或A B =，所以ABC 为等腰或直角三角形，故正确；C ．因为22tan tan a A b B =，所以22sin cos sin cos a A B b B A=，所以22sin cos sin cos a B A b A B =，所以22sin sin cos sin sin cos A B A B A B =，所以sin 2sin 2B A =，所以2A B π+=或A B =，所以ABC 为等腰或直角三角形，故错误；D ．因为2cos28cos 50B B -+=，所以24cos 8cos 30B B -+=，所以1cos 2B =或3cos 2B =（舍），所以3B π=，又因为2b a c =+，所以2sin sin sin B A C =+且23A C π+=，所以2sin sin 3A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以3sin cos 22A A +=1sin cos 122A A +=，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3A π=，所以A B C ==，所以ABC 为等边三角形，故正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形形状，主要考查学生的转化与计算能力，难度一般.利用正、余弦定理判断三角形形状时，一定要注意隐含条件“A B C π++=”. 20．ACD 【分析】根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可． 【详解】 解：对于A ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==，即tan tan tan A B C ==，即A B C ==，即ABC 是等边三角形，故正确；对于B ，若cos cos a A b B =，则由正弦定理得2sin cos 2sin cos r A A r B B =，即sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于C ，若cos cos b C c B b +=，所以sin cos sin cos sin B C C B B +=，所以sin()sin sin B C A B +==，即A B =，则ABC 是等腰三角形，故正确；对于D ，ABC 中，222a b c +<，又2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C <∴角C 为钝角，但ABC 一定是钝角三角形，故正确；故选：ACD ． 【点睛】本题考查正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质的应用等知识点，考查学生训练运用公式熟练变形的能力，属于中档题． 21．AC 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解. 【详解】 由正弦定理==2sin sin sin a b c R A B C= 可得：::2sin :2sin :2sin a b c R A R B R C = 即::sin :sin :sin a b c A B C =成立， 故选项A 正确；由sin 2sin 2A B =可得22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形， 故选项B 错误；在ABC 中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，则sin sin A B >是A B >的充要条件， 故选项C 正确； 在△ABC 中，若sin A=12，则6A π=或5=6A π， 故选项D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题. 22．ACD 【分析】选项A ，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项B ，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项C ，用正弦定理边化角，再将sin sin()C A B =+代入展开，整理可得cos 0A =，所以正确；选项D ，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确. 【详解】在ABC ∆中，若A B >，则a b >，因此sin sin A B >，A 正确； 若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，B 错误； 若cos cos a B b A c -=，则sin cos sin cos sin sin()A B B A C A B ⋅-⋅==+， 所以sin cos 0B A =，即cos 0A =，2A π=，所以ABC ∆定为直角三角形，C 正确；三角形的三边的比是3:5:7，设最大边所对的角为θ，则2223571cos 2352θ+-==-⨯⨯，因为0θπ<<，所以23πθ=，D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于0180，属于中档题. 23．AB 【分析】对各个结论利用余弦定理加以验证，得到正确的命题，即可得到答案 【详解】对于A ，由222cos 02b c a A bc+-=<，可知角A 为钝角，则ABC ∆为钝角三角形，故正确对于B ，由222a b c bc =++，结合余弦定理可知1cos 2A =-，120A ∴=︒，故正确 对于C ，由222a b c +>，结合余弦定理可知222cos 02a b c C ab+-=>，只能判断角C 为锐角，不能判断角A B ，的情况，所以ABC ∆不一定为锐角三角形，故错误对于D ，由::1:2:3A B C =可得30A =︒，60B =︒，90C =︒，则1::sin 30:sin 60:sin 90:1:2:32a b c =︒︒︒=≠，故错误 故选AB 【点睛】本题主要考查的知识点是余弦定理，解斜三角形及其应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，难度一般 24．等腰 【分析】先利用正弦定理，再利用两角差的正弦公式化简整理即可得出结果. 【详解】 由cos cos a Ab B =， 得sin cos sin cos A AB B=， 即()sin cos sin cos sin 0A B B A A B -=-=， 因为0,0A B ππ<<<<， 所以0A B A B -=⇒=， 所以满足cos cos a A b B=的三角形是等腰三角形； 故答案为：等腰. 25．等边三角形 【分析】利用余弦定理求得,b c 的关系，从而得出三边关系，判断出三角形形状． 【详解】由余弦定理及cos A ＝12得2222b c a bc+-＝12，△b 2＋c 2－a 2＝bc .△b ＋c ＝2a ，△a ＝2b c +，△b 2＋c 2－22b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝bc ，即(b －c )2＝0，△b ＝c ，于是a ＝b ＝c .△△ABC 为等边三角形. 故答案为：等边三角形．26．． 【分析】先求出x 的范围，然后由最大角的余弦大于0（最大边的平方小于两较小边的平方和）可得． 【详解】易知4343x -<<+，即17x <<，若4是最大边长，则22234x +>，x >4x <≤，若x 是最大边长，则22234x +>，5x <，所以45x <<，5x <<．故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查由三角形形状确定参数范围．首先三条线段能组成三角形的条件是：任一条线段长大于另两条线段长度的差且小于另两条线段长度的和．ABC 三边长分别为,,a b c ，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，因此C 为钝角222a b c ⇔+<，C 为直角222a b c ⇔+=，C 为锐角222a b c ⇔+>．27．△△ 【分析】举出反例可判断△、△；由同角三角函数的平方关系、正弦定理可得222a b c +<，再由余弦定理可判断△；由正弦定理可得8sin x A =，再由三角形有两个可得566A ππ<<且2A π≠，即可判断△；即可得解. 【详解】 对于△，当3A π=，6B π=时，满足sin 2sin 2A B =，此时△ABC 不是等腰三角形，故△错误；对于△，当23A π=，6B π=时，满足sin cos A B =，此时△ABC 不是直角三角形，故△错误；对于△，△222sin sin cos 1A B C ++<，△22222sin sin cos sin cos A B C C C ++<+， △222sin sin sin A B C +<，△根据正弦定理得222a b c +<，△222cos 02a b c C ab+-=<，()0,C π∈，△C 为钝角，△△ABC 为钝角三角形，故△正确；对于△，△,4,6C c a x π===，△根据正弦定理得481sin sin 2a c A C ===，△8sin x A =， 由题意566A ππ<<，且2A π≠，△1sin 12A <<，△48x ，即x 的取值范围为(4,8)，故△正确．故答案为：△△． 【点睛】本题考查了三角函数及解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题. 28．△△△ 【分析】△根据,,A B C 成等差数列，可得2=B A C +，再由+A B C π+=求解.△根据,,a b c 成等比数列，则2=b ac ，再由余弦定理结合△的结论求解.△根据2a c =，再由余弦定理结合△的结论求解.△根据2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，利用数量积的运算得到0CA CB ⋅=求解. 【详解】因为ABC 的内角,,A B C 成等差数列， 所以2=B A C +，又+A B C π+=， 所以=3B π， 故△正确.因为,,a b c 成等比数列， 所以2=b ac ，由余弦定理得：22222=2cos b ac a c ac B a c ac =+-=+-， 所以2220+-=a c ac ， 即 ()20a c -=， 所以a c =，所以ABC 为等边三角形.故△正确.因为2a c =，由余弦定理得：22222222cos 423b a c ac B c c c c =+-=+-=，所以b =，所以222222cos 02b c a A bc +-===， 所以ABC 为直角三角形.故△错误. 因为2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则()22AB AB AC BC CA CB AB CA CB =⋅-+⋅=+⋅， 所以0CA CB ⋅=， 所以,26C A ππ==，所以3A C =.故△正确. 故答案为：△△△ 【点睛】本题主要考查余弦定理，等差中项，平面向量的数量积的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.29．等腰三角形或直角三角形 【分析】由正弦定理统一为三角函数，化简即可求解. 【详解】由22cos sin sin cos a A B b A B = 及正弦定理，得sin 2sin 2A B =， 所以A B =或2A B π+=，故ABC 是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形 【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，属于中档题. 30．等边三角形 【分析】由等差中项和等比中项性质可得2b a c =+，2sin sin sin B A C =⋅；根据正弦定理角化边可知2b ac =，与2b a c =+构成方程组化简可得2222a c b +=，从而配凑出cos B 和()20a c -=，得到a c =且3B π=，从而得到结果.【详解】由题意得：2b a c =+，2sin sin sin B A C =⋅由正弦定理可得：2b ac = ()2222222224a c a ac c a c b b ∴+=++=++=即2222a c b += 22222221cos 222a cb b b B ac b +--∴===()0,B π∈ 3B π∴=又22222a c b ac +== ()20a c ∴-= a c ∴=ABC ∆∴为等边三角形故答案为等边三角形 【点睛】本题考查解三角形中，三角形形状的判断问题，关键是能够利用正弦定理将角化边之后，配凑出余弦定理的形式和边长之间的关系，从而得到结果. 31．()2，()3，()4 【分析】三角形中首先想到内角和为π，每个内角都在()0，π内，然后根据每一个命题的条件进行判定 【详解】()122A B =或22A B π+=，ABC ∴为等腰或直角三角形() 2正确；()3由2221sin A sin B cos C ++<可得222sin A sin B sin C +<由正弦定理可得222a b c +<再由余弦定理可得0cosC <，C 为钝角，命题()3正确()()()()4tan 11tanA tanB A B tanAtanB tanC tanAtanB +=+-=--0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ∴++=> ABC ∴全为锐角，命题()4正确故其中正确命题的序号是()2，()3，()4 【点睛】本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为π，然后代入化简 32．ABC 为等腰三角形或直角三角形 【分析】设三角形外接圆半径为R ，根据a 2tan B =b 2tan A ，利用商数关系和正弦定理，变形为sin A cos A =sin B cos B ,再利用二倍角公式转化sin2A =sin2B ，得到角的关系判断. 【详解】设三角形外接圆半径为R ， 因为a 2tan B =b 2tan A ，所以22sin sin cos cos a B b AB A=， 所以22224sin sin 4sin sin cos cos R A B R B AB A =，所以sin A cos A =sin B cos B , 所以sin2A =sin2B ，则2A =2B 或2A +2B =π， 所以A =B 或A +B =2π. 所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 33．直角三角形 【分析】先利用正弦定理化简sin sin sin b a Ba B A+=-，得到22b a ab -=；再利用诱导公式，二倍角公式化简，最后利用两角和与差的余弦公式以及正弦定理得到2ab c =，即可得出结果. 【详解】 由sin sin sin a b B a b a B A a bb a++=⇒=--， 得22b a ab -=；由()cos cos 1cos2A B C C -+=-， 得()()2cos cos 2sin A B A B C --+=，2cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin A B A B A B A B C +-+=， 22sin sin 2sin A B C ⋅=，2ab c =，又22b a ab -=，则222222b a c a c b -=⇒=+， 所以ABC 的形状为：直角三角形. 34．等腰三角形或直角三角形 【分析】解法一：利用正弦定理边化角，可得cos sin cos sin B AA B=，所以sin 2sin 2A B =，根据(0,)A B π∈、，可得22A B =或22A B π=-即可求得答案；解法二：利用正弦定理边化角，可得cos sin cos sin B A A B=，利用余弦定理，可得22222222a c b ac b c a bc+-+-=a b ，化简计算，即可得答案.【详解】解法一：由已知条件及正弦定理可得22sin cos sin cos sin sin A B AA B B=， 、(,)A B 0π∈，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，cos sin cos sin B AA B∴=，即sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2,22A B A B ∴=∴=或22A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形.解法二：由已知条件及正弦定理可得sin cos sin cos AA B B=22sin sin A B ，、(,)A B 0π∈，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，即cos sin cos sin B AA B=， 由正弦定理和余弦定理可得22222222a c b ac b c a bc+-+-=a b，整理得4222240a a c b c b -+-=，即22222()()0a b a b c -+-=，22a b ∴=或2220a b c +-=，∴a b =或222+=a b c ，ABC ∴为等腰三角形或直角三角形.【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理并灵活应用，易错点为sin 2sin 2A B =，可得2A =2B 或者22A B π+=，容易丢解，属基础题. 35．等腰三角形或直角三角形 【分析】根据22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，利用正弦定理得到22sin (sin cos sin cos )(sin sin )cos A B B C C B C A -=-，然后利用二倍角公式和两角差的公式得到()()cos 2cos 2B A C A -=-求解. 【详解】。

2020年高考数学(理)考点分析与突破训练导数及其应用(解析版).

2020年高考数学(理)考点分析与突破训练导数及其应用(解析版).

热点导数及其应用【命题趋势】在目前高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容.函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的.对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解.本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧.【满分技巧】对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定.因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的.所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性.对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值.恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值.函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解.对于理科类导数类题目，对于比较复杂的导数题目.一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在.含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：一双变量常见解题思路：1双变量化为单变量→寻找两变量的等量关系；2转化为构造新函数；二含参不等式常见解题思路：1参数分离；2通过运算化简消参（化简或不等关系）；3将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参.那么两种结构的解题思路理顺了，那么我们来看这道题.这是含参的双变量问题，一般来说，含参双变量问题我们一般是不采用转化为构造新函数，我们最好就双变量化为单变量，这就是我们解这道题的一个非常重要的思路：① 寻找双变量之间的关系并确定范围，并且确定参数的取值范围；②化简和尝试消参；③双变量化为单变量.④证明函数恒成立（求导、求极值……）（经典题型2018年全国一卷理21题）【考查题型】选择题，填空，解答题21题【限时检测】（建议用时：90分钟）1．（2019·全国高考真题（理））已知曲线ln x y ae x x =+在点），（ae 1处的切线方程 为b x y +=2，则（ ）A ．a =e,b =−1B ．a =e,b =1C ．a =e −1,b =1D ．a =e −1,b =−1【答案】D【解析】详解：1ln y '++=x ae x21=+=ae y ，即1a e -=将（1,1）代入b x y +=2得1.12==+b b 故故选D ．【名师点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.2．（2019·安徽高三期中（理））已知函数11,1()4ln ,1x x f x x x +≤⎧=⎨⎩>,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．C ．D ．1,4e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：ln y x =，所以1'y x=，设切点为00(,)x y ，则切线方程为0001()y y x x x -=-，即0001ln ()y x x x x -=-，与直线y ax =重合时，有01a x =，0ln 10x -=，解得0x e =，所以1a e =，当直线与直线114y x =+平行时，直线为14y x =，当1x =时，11ln ln1044x x -=-<，当x e =时，11ln ln 044x x e e -=->，当3x e =时，3311ln ln 044x x e e -=-<，所以ln y x =与14y x =在3(1,),(,)e e e 上有2个交点，所以直线在14y x =和1y x e =之间时与函数()f x 有2个交点，所以11[,)4a e∈，故选B ．考点：函数图像的交点问题．3．（2019·临沂第十九中学高考模拟（理））设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A ．()(),66,-∞-⋃∞B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C 【解析】由题意知：()f x 的极值为所以()203f x ⎡⎤=⎣⎦，因为00()0xf x m mππ='=， 所以0,2x k k z mπππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即01122x k m =+≥，所以02m x ≥，即2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力，三角函数出现在导数里面不常见，故做三角函数对应的导数题目时应注意用三角函数最值问题去解决.4（2019·四川高考模拟（文））已知函数32(x)(5)(4)f x a x b x =+-++，若函数()f x 是奇函数，且曲线()y f x =在点(3,(3))f 的切线与直线y 36x=+垂直，则a b +=( ) A ．−32 B ．−20C ．25D ．42【答案】A【解析】先根据函数是奇函数求出a 的值，再根据切线与直线垂直得到b 的值,即得a +b 因为函数f(x)是奇函数，所以--()f x f x =（）,所以a =5.由题得43)(2'++=b x x f ，31)3('+==b f k因为切线与直线y 36x=+垂直，所以b+31=-6, 所以b=-37.所以a +b=-32.故选：A【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．（2019·广东高考模拟（理））若函数()(cos )xf x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()+∞B ．(1,)+∞C ．)+∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】对函数求导只需要,22x ππ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，()()sin cos 0xf x e x x a +'=--≤恒成立，即cos sin 4a x x x π⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭恒成立，结合三角函数的性质得到函数的最值为,即可得到参数范围.【详解】由题意，,22x ππ⎛⎫∀∈-⎪⎝⎭，()()sin cos 0x f x e x x a +'=--≤恒成立，即cos sin 4a x x x π⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭恒成立，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，(cos ,1424x x ππ⎛⎤⎛⎫⎛⎫∴+∈-+∈- ⎥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎦，所以实数a 的取值范围是)+∞．故选:C 【名师点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，也考查了不等式恒成立求参的应用，此类题目最常见的方法有：通过变量分离，转化为函数最值问题.6（2018·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =， 且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则不等式23(2cos )2sin 22x f x +> 的解集为( )A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】构造函数()()1122g x f x x =--，可得()g x 在定义域内R 上是增函数，且()10g =，进而根据23(2cos )2sin 022x f x +->转化成()(2cos )1g x g >，进而可求得答案 【详解】 令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->， ()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=， 1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-， ∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到 2cos 1x >，又Q 3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭故选D【名师点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，此类题目应学会构造新的函数，利用新的函数去解决问题，此外此类题目最快捷的方法是特殊值与排除法相结合即可快速得到答案，特殊值首选应该选择当0=x 时，结果满足条件，故排除A ，C ，然后观察B,D 选项，带入特殊值3π=x 不满足条件.故选择D.二、填空题7．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________． 【答案】(0,2]e【解析】设两个切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ,两个切线方程分别为2111(1)2()y x x x x --=-,222(ln 1)()ay a x x x x --=-,化简得2112221,ln 1ay x x x y x a x a x =--=+--两条切线为同一条.可得122212ln ax x a x a x =-⎧=-⎨⎩, ,2224(ln 1)a x x =--,令22()44ln (0)g x x x x x =->，()4(12ln )g x x x =-'，所以g(x)在递增，)+∞递减，max ()2g x g e ==.所以a ∈(]0,2e ，填(]0,2e .8（2019·临沂第十九中学高考模拟（理））设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A ．()(),66,-∞-⋃∞B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C 【解析】由题意知：()f x的极值为所以()203f x ⎡⎤=⎣⎦，因为00()0xf x m mππ='=，所以0,2x k k z m πππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即01122x k m =+≥，所以02m x ≥，即2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.9．（2019·天津高考模拟（理））已知函数()12cos 2xx f x e x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数，若()()()22300f af a f +-+<，则实数a 的取值范围为___________.【答案】312a -<< 【解析】【思路分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用导数结合不等式与三角函数的有界性判断函数的单调性，再将原不等式转化为223a a <-求解即可. 【详解】()12cos 2x x f x e x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭Q 12sin xx e x e =--， ()()12sin xx f x e x e --∴-=---()2sin 1x xx e f x e ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭-， ()f x ∴是奇函数，且()00f =，又()12'cos xx f x e ex -=+Q ，2,2c s 1o 2x xe x e +≥≤，()'0f x ∴≥， ()f x ∴在()+-∞∞，上递增， ()()()22300f a f a f ∴+-+<，化为()()()2233f af a f a <--=-，∴232312a a a <-⇒-<<，故答案为312a -<<.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了奇偶性的应用、单调性的应用，属于难题. 解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．10．（2019·安徽高考模拟）设函数21(),()x x xf xg x x e+==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是_______. 【答案】121k e ≥- 【解析】对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则等价为()()121g x k f x k ≤+恒成立，()2112x f x x x x +=++≥=，当且仅当1x x =，即 1x =时取等号，即()f x 的最小值是2，由()x x g x e =，则()()21'x x x x e xe x g x e e --==，由()'0g x >得01x <<，此时函数()g x 为增函数，由()'0g x >得1x >，此时函数()g x 为减函数，即当1x =时，()g x 取得极大值同时也是最大值()11g e =，则()()12g x f x 的最大值为1122e e=，则由112k k e ≥+，得21ek k ≥+，即()211k e -≥，则121k e ≥-，故答案为121k e ≥-.三、解答题11．（2019·浙江高考模拟）已知函数()1ln f x x x x=-- . （1）若()1ln f x x x x=--在()1212,x x x x x =≠ 处导数相等，证明：()()1232ln2f x f x +>- ；（2）若对于任意(),1k ∈-∞ ，直线y kx b =+ 与曲线()y f x =都有唯一公共点，求实数b 的取值范围.【答案】（I ）见解析（II ）ln 2b ≥- 【思路分析】（1）由题x ＞0，()2111f x x x'=+-，由f （x ）在x=x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，得到()()12f x f x m ''==，得21122211101110m x x m x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，由韦达定理得12111x x +=，由基本不等式得1212x x x x +=⋅>，得124x x ⋅>，由题意得()()()121212ln 1f x f x x x x x +=--，令124t x x =⋅>,则()1212ln 1ln 1x x x x t t --=--，令()()ln 14g t t t t =-->，，利用导数性质能证明()()432ln2g t g >=-．（2）由()f x kx b =+得1ln x x b x k x ---=，令()1ln x x bx h x x---=， 利用反证法可证明证明()1h x <恒成立.由对任意(),1k ∈-∞，()h x k =只有一个解，得()h x 为()0,+∞上的递增函数，()22ln 10x b x h x x ++-='∴≥得2ln 1b x x ≥--+，令()()2ln 10m x x x x=--+>，由此可求b 的取值范围.. 【过程详解】 （I ）()2111f x x x'=+- 令()()12f x f x m ''==，得21122211101110m x x m x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，由韦达定理得12111x x +=即1212x x x x +=⋅>，得124x x ⋅>()()()()1212121211ln ln f x f x x x x x x x ⎛⎫∴+=+-+-+ ⎪⎝⎭()1212ln 1x x x x =--令124t x x =⋅>,则()1212ln 1ln 1x x x x t t --=--，令()()ln 14g t t t t =-->， 则()()1104g t t t>'=->，得()()432ln2g t g >=-（II ）由()f x kx b =+得1ln x x bxk x---=令()1ln x x bx h x x---=， 则0x →+，()h x →-∞，(),1x h x →+∞→ 下面先证明()1h x <恒成立.若存在()00,x ∈+∞，使得()01h x ≥，0x →+Q ，()h x →-∞，且当自变量x 充分大时，()1ln 1x x bx h x x---=<，所以存在()100,x x ∈，()20,x x ∈+∞，使得()11h x <，()21h x <，取()(){}12max ,1k h x h x =<，则y k =与()y h x =至少有两个交点，矛盾.由对任意(),1k ∈-∞，()h x k =只有一个解，得()h x 为()0,+∞上的递增函数，()22ln 1x b x h x x ++-='∴≥ 得2ln 1b x x ≥--+，令()()2ln 10m x x x x =--+>，则()22212x m x x x x-=-='， 得()()max 2ln2b m x m ≥==-【名师点睛】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题．12．（2019·浙江高考模拟）知函数()2x af x x a+=+，()()2ln 2g x x a a R =+∈.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：存在()0,1a ∈，使得方程()()f x g x =在()1,+∞上有唯一解. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【思路分析】（1）求出函数f （x ）的定义域，对函数f （x ）求导得到22y x ax a =+-， 分0∆≤ 与0∆>,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f （x ）的单调区间； （2）构造()()()h x f x g x =-，求导分析()h x 的单调性，找到12≤a<1时，()0h x <在(1,1上恒成立，在()1+∞上递增，而h(1)0x <，()20h e >,由函数零点存在定理得到存在()00,1a ∈，使得方程()0h x =在()1,+∞上有唯一解，即证得结论. 【过程详解】（1）函数f （x ）的定义域为()(),,a a -∞-⋃-+∞，因为()()222x ax af x x a +-=+'，令22y x ax a =+-，则2440a a ∆=+≤，即10a -≤≤，则()0f x '≥在()(),,a a -∞-⋃-+∞上恒成立，当1a <-或0a >，由220x ax a +->有x a >-x a <-由220x ax a +-<有a x a -<<-，综上，当10a -≤≤时，()f x 的递增区间是()(),,,a a -∞--+∞，当1a <-或0a >时，()f x 的递增区间是((),,a a -∞--+∞，递减区间是()(,,a a a a ----+；（2）令()()()22ln 2x ah x f x g x x a x a+=-=--+，当()0,1a ∈时，则()()()()()22222222x a x x ax ax ah x x x a x a x+--+-=-=++' ()((()2211x a x x x a x⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦=+，因为()1,x ∈+∞，故当11x <<+()0h x '<，当1x 时，()0h x '>，所以()h x在(1,1上递减，在()1++∞上递增，即当11x =()h x 有最小值，又h （1）=1-2a ，当12≤a<1时，h （1）≤0，即()0h x <在(1,1+上恒成立， 又12≤a<1时,()2222ln 22ln 22ln 222x a x x h x x a x a x x lnx x a x x+=-->-->--=--+，取x=2e ,则22224260x lnx e e ，--=--=->即()20h e>，又()h x在()1+∞上递增，而h(1)0x <，由函数零点存在定理知()h x在()1+∞上存在唯一零点，所以当12≤a<1时即存在()0,1a ∈，使得方程()0h x =在()1,+∞上有唯一解，即方程()()f x g x =在()1,+∞上有唯一解.【名师点睛】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力，考查了函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，属于难题．13．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知函数()ln xf x ax b x=-+在点 ()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+.（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 实数b 的值为e .(2)211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：（1）根据导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程，与2y ax e =-+对照后可得b e =．（2）问题可转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解，令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，结合导数可得()()221124minh x h e e==-，故得实数a的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 详解：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞， ∵()ln xf x ax b x =-+， ∵()2ln 1'ln x f x a x-=-. ∵()'f e a =-， 又()e f e ae b =-+,∵所求切线方程为()()y e ae b a x e --+=--， 即y ax e b =-++.又函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+， ∵b e =.（2）由题意得()00001ln 4x f x ax e e x =-+≤+， 所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， 则()2222211ln 4'4ln 4ln x xh x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-则当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()1'0p x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<.所以()'0h x <，所以()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h eee e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【名师点睛】对于恒成立和能成立的问题，常用的解法是分离参数，转化为求函数最值的问题处理．解题时注意常用的结论：若()a f x >有解，则()min a f x >；若()a f x <有解，则()max a f x <．当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替，解题时特别要注意不等式中的等号能否成立．14．（2019·安徽六安一中高考模拟（理））已知函数()()2ln R 2a f x x x x a =-∈ . （1）若2a = ，求曲线()y f x = 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()()()1g x f x a x =+- 在1x = 处取得极小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）y x =-（2）1a <【解析】：（1）当2a =时，()2ln f x x x x =-，利用导数几何意义，能够求出此函数在1x =处的切线斜率，再求出切线方程；（2）对函数()g x 求导，令()()'ln h x g x x ax a ==-+，讨论)'(h x 的单调性，对a 分情况讨论，得出实数a 的取值范围. 试题解析：（1）当2a =时，()2ln f x x x x =-，()'ln 12f x x x =+-，()()11,'11f f =-=-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为y x =-.（2）由已知得()()2ln 12a g x x x x a x =-+-，则()'ln g x x ax a =-+， 记()()'ln h x g x x ax a ==-+，则()()1110,'ax h h x a x x-==-=， ∵当0a ≤，()0,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()'g x 单调递增， 所以当()0,1x ∈时，()'0g x <，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >， 所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意.∵当01a <<时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0h x >，函数()'g x 单调递增， 可得当()0,1x ∈时，()'0g x <，11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >当， 所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意.∵当1a =时，当()0,1x ∈时，()'0h x >，函数()'g x 单调递增，()1,x ∈+∞时，()'0h x <，()'g x 在()1,+∞内单调递减，所以当()0,x ∈+∞时，()'0g x ≤，()g x 单调递减，不合题意.∵当1a >时，即101a <<，当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0h x <，()'g x 单调递减， ()'0g x >，当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，()'g x 单调递减，()'0g x <，所以()g x 在1x =处取得极大值，不合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1a <.【名师点睛】本题主要考查了导数在研究函数单调性、最值上的应用，考的知识点有导数几何意义，导数的应用等，属于中档题.分类讨论时注意不重不漏. 15．（2019·山东高考模拟（理））已知函数()()21ln ,2f x x xg x mx ==． （1）若函数()f x 与()g x 的图象上存在关于原点对称的点，求实数m 的取值范围； （2）设()()()F x f x g x =--，已知()F x 在()0,∞+上存在两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：2122x x e >（其中e 为自然对数的底数）．【答案】（1）2m e≥-；（2）证明见解析. 【解析】（1）函数21()2g x mx =关于原点对称的函数解析式为212y mx =-．函数()f x 与()g x 的图象上存在关于原点对称的点，等价于方程21ln 2x x mx =-在(0,)+∞有解．即12lnx mx =，2lnx m x ⇒=，令2()lnx g x x=，(0)x >，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．（2）2122x x e >等价于122()2ln ln x x +>，等价于12()22ln x x ln >-21()()()ln 2F x f x g x x x mx =--=--，()1ln F x x mx '=---，(0)x >，再利用导数研究函数的单调性、极值，利用分析法即可得证. 【详解】（1）函数()f x 与()g x 的图像上存在关于原点对称的点，即21()()2g x m x --=--的图像与函数()ln f x x x =的图像有交点， 即21()ln 2m x x x --=在(0,)+∞上有解. 即1ln 2x m x=-在(0,)+∞上有解. 设ln ()x x x ϕ=-，（0x >），则2ln 1()x x xϕ'-= 当(0,)x e ∈时，()x ϕ为减函数；当(,)x e ∈+∞时，()x ϕ为增函数，所以min 1()()x e e ϕϕ==-，即2m e≥-. （2）证明：()()21212122ln 2ln 2ln 2ln 2x x e x x x x ⇔+>⇔>->． 可得()()()21ln 2F x f x g x x x mx =--=--， ()1ln F x x mx '=---，()0x >，∵()F x 在()0+∞，上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <， ∵()1ln h x x mx =++，()0x >，在()0+∞，上存在两个零点1x ，2x ，且12x x <， ∵11ln 1x mx =--，22ln 1x mx =--．∵()()1212ln 2x x m x x =-+-，()1122lnx m x x x =--．∵()1121221112221ln 1x ln x x x x x x x x x x x ++==--，令()12 01x t x =∈，，则()121ln ln 1t x x t t +=-， 要证明：()12ln 2ln 2x x >-．即证明：()1ln 2ln 2,011t t t t +>-∈-，， 即证明：()()1ln 2ln 20,011t t t t ---⋅<∈+，． 令()()()1220,011t h t lnt ln t t -=--⋅<∈+，，()10h =． ()()()()()()22222122ln 21212()()ln 22ln 20111t t t t h t t t t t t t +---+'=--⋅==>+++． ∵函数()h t 在()01t ∈，上单调递增．∵()()10h t h <=，即1ln 2ln 21t t t +>--，()01t ∈，成立．∵2x 1x 2＞e 2成立． 【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分析法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

辽宁省2020年高考数学 第20题优美解

辽宁省2020年高考数学 第20题优美解

2020年高考数学（辽宁）第20题（理）试题优美解试题（辽宁、 理科20）如图，椭圆()22022:+=1>b>0,a,b x y C a a b 为常数，动圆222111:+=,<<C x y t b t a .点12,A A 分别为0C 的左、右顶点，1C 与0C 相交于,,,A B C D 四点（1）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（2）设动圆22222:+=C x y t 与0C 相交于',',','A B C D 四点，其中2<<b t a ，12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形''''ABCD 的面积相等，证明：2212+t t 为定值解法设()()1111,,,-A x y B x y ，又知()()12-,0,,0A a A a ，则直线1A A 的方程为 ()11=++y y x a x a ① 直线2A B 的方程为()11-=--y y x a x a ② 由①②得 ()22221221-=--y y x a x a③ 由点()11,A x y 在椭圆0C 上，故可得221122+=1x y a b ，从而有222112=1-x y b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入③得 ()2222-=1<-,<0x y x a y a b（2）证明：设()22',A x y ，由矩形ABCD 与矩形''''ABCD 的面积相等，得 2222112211224=4,=x y x y x y x y ∴，因为点,'A A 均在椭圆上，所以2222221212221-=1-x x b x b x a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由12t t ≠，知12x x ≠，所以22212+=x x a 。

从而22212+=y y b ，因而222212+=+t t a b 为定值试题或解法赏析.本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.。

2020版数学高考专题突破及解析

2020版数学高考专题突破及解析

第 2 节函数的单调性与最大( 小) 值最新考纲 1. 理解函数的单调性、最大( 小) 值及其几何意义； 2. 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.知识梳理1 . 函数的单调性(1) 单调函数的定义增函数减函数定义在函数y ＝ f ( x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1 ，x 2 ∈ A当x 1 < x 2 时，都有f ( x 1 )< f ( x 2 ) ，那么就说函数 f ( x ) 在区间 A 上是增加的当x 1 < x 2 时，都有f ( x 1 )> f ( x 2 ) ，那么就说函数 f ( x ) 在区间 A 上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2) 单调区间的定义如果y ＝ f ( x ) 在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A 为单调区间.2 . 函数的最值前提函数y ＝ f ( x ) 的定义域为 D条件(1) 对于任意x ∈D ，都有 f ( x ) ≤M ；(2) 存在x 0 ∈ D ，使得 f ( x 0 ) ＝M (3) 对于任意x ∈D ，都有 f ( x ) ≥ M ；(4) 存在x 0 ∈ D ，使得 f ( x 0 ) ＝M结论M 为最大值M 为最小值[ 微点提醒]1 . 函数y ＝ f ( x )( f ( x )>0) 在公共定义域内与y ＝－ f ( x ) ，y ＝的单调性相反.2 . “ 对勾函数” y ＝x ＋( a >0) 的单调增区间为( －∞ ，－) ，( ，＋∞ ) ；单调减区间是[ －，0) ，(0 ，] .基础自测1 . 判断下列结论正误( 在括号内打“√” 或“×” )(1) 对于函数 f ( x ) ，x ∈ D ，若对任意x 1 ，x 2 ∈ D ，且x 1 ≠ x 2 有( x 1 －x 2 )[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]>0 ，则函数 f ( x ) 在区间 D 上是增函数. ( )(2) 函数y ＝的单调递减区间是( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) . ( )(3) 对于函数y ＝ f ( x ) ，若 f (1)< f (3) ，则 f ( x ) 为增函数. ( )(4) 函数y ＝ f ( x ) 在[1 ，＋∞ ) 上是增函数，则函数的单调递增区间是[1 ，＋∞ ) . ( )解析(2) 此单调区间不能用并集符号连接，取x 1 ＝－ 1 ，x 2 ＝ 1 ，则 f ( －1) ＜ f (1) ，故应说成单调递减区间为( －∞ ，0) 和(0 ，＋∞ ) .(3) 应对任意的x 1 ＜x 2 ， f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 ) 成立才可以.(4) 若 f ( x ) ＝x ， f ( x ) 在[1 ，＋∞ ) 上为增函数，但y ＝ f ( x ) 的单调递增区间是R .答案(1) √ (2) × (3) × (4) ×2 . ( 必修1P 37 例 1 改编) 下列函数中，在区间(0 ，＋∞ ) 内单调递减的是( )A . y ＝－xB . y ＝x 2 －xC . y ＝ln x －xD . y ＝ e x解析对于 A ，y 1 ＝在(0 ，＋∞ ) 内是减函数，y 2 ＝x 在(0 ，＋∞ ) 内是增函数，则y ＝－x 在(0 ，＋∞ ) 内是减函数；B ，C 选项中的函数在(0 ，＋∞ ) 上均不单调；选项D 中，y ＝ e x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数.答案 A3 . ( 必修1P3 8 例4 改编) 函数y ＝在区间[2 ，3] 上的最大值是________ .解析函数y ＝在[2 ，3] 上是减函数，当x ＝ 2 时，y ＝取得最大值＝ 2.答案 24 . (2018·广东省际名校联考) 设函数 f ( x ) 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( )A . y ＝在R 上为减函数B . y ＝| f ( x )| 在R 上为增函数C . y ＝－在R 上为增函数D . y ＝－ f ( x ) 在R 上为减函数解析如 f ( x ) ＝x 3 ，则y ＝的定义域为( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) ，在定义域上无单调性， A 错；则y ＝| f ( x )| 在R 上无单调性，B 错；则y ＝－的定义域为( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) ，在定义域上无单调性，C 错.答案 D5 . (2019·西安调研) 若函数 f ( x ) ＝( m －1) x ＋ b 在R 上是增函数，则 f ( m ) 与 f (1) 的大小关系是( )A . f ( m )> f (1)B . f ( m )< f (1)C . f ( m ) ≥ f (1)D . f ( m ) ≤ f (1)解析因为 f ( x ) ＝( m －1) x ＋ b 在R 上是增函数，则m －1>0 ，所以m >1 ，所以 f ( m )> f (1) .答案 A6 . (2017·全国Ⅱ卷) 函数 f ( x ) ＝ln( x 2 － 2 x －8) 的单调递增区间是( )A . ( －∞ ，－2)B . ( －∞ ，1)C . (1 ，＋∞ )D . (4 ，＋∞ )解析由x 2 － 2 x －8>0 ，得x >4 或x < － 2.设t ＝x 2 － 2 x －8 ，则y ＝ln t 为增函数.要求函数 f ( x ) 的单调递增区间，即求函数t ＝x 2 － 2 x －8 的单调递增区间.∵ 函数t ＝x 2 － 2 x －8 的单调递增区间为(4 ，＋∞ ) ，∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为(4 ，＋∞ ) .答案 D考点一确定函数的单调性( 区间)【例 1 】(1) (2019·东北三省四校质检) 若函数y ＝log ( x 2 －ax ＋ 3 a ) 在区间(2 ，＋∞ ) 上是减函数，则 a 的取值范围为( )A . ( －∞ ，－4) ∪ [2 ，＋∞ )B . ( － 4 ，4]C . [ － 4 ，4)D . [ － 4 ，4]解析令t ＝x 2 －ax ＋ 3 a ，则y ＝log t ( t >0) ，易知t ＝x 2 －ax ＋ 3 a 在上单调递减，在上单调递增.∵ y ＝log ( x 2 －ax ＋ 3 a ) 在区间(2 ，＋∞ ) 上是减函数，∴ t ＝x 2 －ax ＋ 3 a 在(2 ，＋∞ ) 上是增函数，且在(2 ，＋∞ ) 上t >0 ，∴ 2 ≥ ，且 4 － 2 a ＋ 3 a ≥ 0 ，∴ a ∈ [ － 4 ，4] .答案 D(2) 判断并证明函数 f ( x ) ＝ax 2 ＋( 其中1< a <3) 在x ∈ [1 ，2] 上的单调性.解 f ( x ) 在[1 ，2] 上单调递增，证明如下：设 1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 2 ，则 f ( x 2 ) － f ( x 1 ) ＝ax ＋－ax －＝( x 2 －x 1 ) ，由 1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 2 ，得x 2 －x 1 >0 ，2< x 1 ＋x 2 <4 ，1< x 1 x 2 <4 ，－1< －< －.又因为1< a <3 ，所以2< a ( x 1 ＋x 2 )<12 ，得 a ( x 1 ＋x 2 ) －>0 ，从而 f ( x 2 ) － f ( x 1 )>0 ，即 f ( x 2 )> f ( x 1 ) ，故当 a ∈ (1 ，3) 时， f ( x ) 在[1 ，2] 上单调递增.规律方法 1.(1) 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1) . (2) 单调区间不能用集合或不等式表达，且图像不连续的单调区间要用“ 和”“ ，” 连接.2 . (1) 函数单调性的判断方法有：① 定义法；② 图像法；③ 利用已知函数的单调性；④ 导数法.(2) 函数y ＝ f [ g ( x )] 的单调性应根据外层函数y ＝ f ( t ) 和内层函数t ＝g ( x ) 的单调性判断，遵循“ 同增异减” 的原则.【训练 1 】( 一题多解) 试讨论函数 f ( x ) ＝( a ≠ 0) 在( －1 ，1) 上的单调性.解法一设－1< x 1 < x 2 <1 ，f ( x ) ＝ a ＝ a ，f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ a － a ＝，由于－1< x 1 < x 2 <1 ，所以x 2 －x 1 >0 ，x 1 －1<0 ，x 2 －1<0 ，故当 a >0 时， f ( x 1 ) － f ( x 2 )>0 ，即 f ( x 1 )> f ( x 2 ) ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递减；当 a <0 时， f ( x 1 ) － f ( x 2 )<0 ，即 f ( x 1 )< f ( x 2 ) ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递增.法二 f ′( x ) ＝＝＝－.当 a >0 时， f ′( x )<0 ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递减；当 a <0 时， f ′( x )>0 ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递增.考点二求函数的最值【例 2 】(1) 已知函数 f ( x ) ＝ a x ＋log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 在[1 ，2] 上的最大值与最小值之和为log a 2 ＋ 6 ，则 a 的值为( )A. B. C . 2 D . 4(2) 已知函数 f ( x ) ＝则 f [ f ( －3)] ＝________ ， f ( x ) 的最小值是________ .解析(1) f ( x ) ＝ a x ＋log a x 在[1 ，2] 上是单调函数，所以 f (1) ＋ f (2) ＝log a 2 ＋ 6 ，则 a ＋log a 1 ＋ a 2 ＋log a 2 ＝log a 2 ＋ 6 ，即( a －2)( a ＋3) ＝0 ，又 a >0 ，所以 a ＝ 2.(2) ∵ f ( －3) ＝lg[( －3) 2 ＋1] ＝lg 10 ＝ 1 ，∴ f [ f ( －3)] ＝ f (1) ＝0 ，当x ≥ 1 时， f ( x ) ＝x ＋－ 3 ≥ 2 － 3 ，当且仅当x ＝时，取等号，此时 f ( x ) min ＝ 2 －3<0 ；当x <1 时， f ( x ) ＝lg( x 2 ＋1) ≥ lg 1 ＝0 ，当且仅当x ＝0 时，取等号，此时 f ( x ) min ＝0.∴ f ( x ) 的最小值为 2 － 3.答案(1)C (2)0 2 － 3规律方法求函数最值的四种常用方法(1) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2) 图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3) 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“ 一正二定三相等” 的条件后用基本不等式求出最值.(4) 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【训练 2 】(1) (2019·郑州调研) 函数 f ( x ) ＝－在x ∈ [1 ，4] 上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值是( )A. B . 2 C. D.(2) (2018·邵阳质检) 定义max{ a ， b ， c ，} 为 a ， b ， c 中的最大值，设M ＝max{2 x ， 2 x － 3 ， 6 －x } ，则M 的最小值是( )A . 2B . 3C . 4D . 6解析(1) 易知 f ( x ) ＝－在[1 ，4] 上是增函数，∴ M ＝ f ( x ) max ＝ f (4) ＝ 2 －＝，m ＝ f (1) ＝0.因此M －m ＝.(2) 画出函数M ＝{2 x ， 2 x － 3 ， 6 －x } 的图像( 如图) ，由图可知，函数M 在 A (2 ，4) 处取得最小值 2 2 ＝ 6 － 2 ＝ 4 ，故M 的最小值为 4.答案(1)A (2)C考点三函数单调性的应用多维探究角度 1 利用单调性比较大小【例 3 － 1 】已知函数 f ( x ) 的图像向左平移 1 个单位后关于y 轴对称，当x 2 > x 1 >1 时，[ f ( x 2 ) － f ( x 1 )]·( x 2 －x 1 )<0 恒成立，设 a＝ f ， b ＝ f (2) ， c ＝ f (3) ，则 a ， b ， c 的大小关系为( )A . c > a > bB . c > b > aC . a > c > bD . b > a > c解析由于函数 f ( x ) 的图像向左平移 1 个单位后得到的图像关于y 轴对称，故函数y ＝ f ( x ) 的图像关于直线x ＝ 1 对称，所以 a ＝ f ＝ f .当x 2 > x 1 >1 时，[ f ( x 2 ) － f ( x 1 )]( x 2 －x 1 )<0 恒成立，等价于函数f ( x ) 在(1 ，＋∞ ) 上单调递减，所以 b > a > c .答案 D角度 2 求解函数不等式【例 3 － 2 】(2018·全国Ⅰ卷) 设函数 f ( x ) ＝则满足f ( x ＋1)< f (2 x ) 的x 的取值范围是( )A . ( －∞ ，－1]B . (0 ，＋∞ )C . ( － 1 ，0)D . ( －∞ ，0)解析当x ≤ 0 时，函数 f ( x ) ＝ 2 －x 是减函数，则 f ( x ) ≥ f (0) ＝ 1. 作出 f ( x ) 的大致图像如图所示，结合图像知，要使 f ( x ＋1) ＜ f (2x ) ，当且仅当或解得x < － 1 或－ 1 ≤ x <0 ，即x <0.答案 D角度 3 求参数的值或取值范围【例 3 － 3 】已知 f ( x ) ＝满足对任意x 1 ≠ x 2 ，都有>0 成立，那么实数 a 的取值范围是________ .解析对任意x 1 ≠ x 2 ，都有>0 ，所以y ＝ f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 上是增函数.所以解得≤ a <2.故实数 a 的取值范围是.答案规律方法 1. 利用单调性求参数的取值( 范围) 的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程( 组)( 不等式( 组)) 或先得到其图像的升降，再结合图像求解. 对于分段函数，要注意衔接点的取值.2 . (1) 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2) 求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“ f ” .【训练 3 】(1) 已知奇函数 f ( x ) 在R 上是增函数，若 a ＝－ f ，b ＝ f (log 2 4.1) ， c ＝ f (2 0.8 ) ，则 a ， b ， c 的大小关系为( )A . a < b < cB . b < a < cC . c < b < aD . c < a < b(2) 若函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 2 ax 与g ( x ) ＝在区间[1 ，2] 上都是减函数，则 a 的取值范围是( )A . ( － 1 ，0) ∪ (0 ，1)B . ( － 1 ，0) ∪ (0 ，1]C . (0 ，1)D . (0 ，1]解析(1) 由 f ( x ) 是奇函数，得 a ＝－ f ＝ f (log 2 5) .又log 2 5>log 2 4.1>2>2 0.8 ，且y ＝ f ( x ) 在R 上是增函数，所以 a > b >c .(2) 因为 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 2 ax ＝－( x － a ) 2 ＋ a 2 在[1 ，2] 上为减函数，所以由其图像得 a ≤ 1 ，g ( x ) ＝，g ′( x ) ＝－，要使g ( x ) 在[1 ，2] 上为减函数，需g ′( x )<0 在[1 ，2] 上恒成立，故有－ a <0 ，因此 a >0 ，综上可知0< a ≤ 1.答案(1)C (2)D[ 思维升华]1 . 利用定义证明或判断函数单调性的步骤：(1) 取值；(2) 作差；(3) 定号；(4) 判断.2 . 确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3 . 求函数最值的常用求法：单调性法、图像法、换元法、利用基本不等式. 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；开区间上的“ 单峰” 函数一定存在最大值( 最小值) .[ 易错防范]1 . 区分两个概念：“ 函数的单调区间” 和“ 函数在某区间上单调” ，前者指函数具备单调性的“ 最大” 的区间，后者是前者“ 最大” 区间的子集.2 . 函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“ ，” 或“ 和” 连接，不要用“ ∪ ” . 例如，函数 f ( x ) 在区间( － 1 ，0) 上是减函数，在(0 ，1) 上是减函数，但在( － 1 ，0) ∪ (0 ，1) 上却不一定是减函数，如函数 f ( x ) ＝.基础巩固题组( 建议用时：40 分钟)一、选择题1 . 函数 f ( x ) ＝－x ＋在上的最大值是( )A. B . － C . － 2 D . 2解析易知 f ( x ) 在上是减函数，∴ f ( x ) max ＝ f ( －2) ＝ 2 －＝.答案 A2 . (2019·广州模拟) 下列函数 f ( x ) 中，满足“ 任意x 1 ，x 2 ∈ (0 ，＋∞ ) 且x 1 ≠ x 2 ，( x 1 －x 2 )·[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]<0 ” 的是( )A . f ( x ) ＝ 2 xB . f ( x ) ＝| x －1|C . f ( x ) ＝－xD . f ( x ) ＝ln( x ＋1)解析由( x 1 －x 2 )·[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]<0 可知， f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数， A ， D 选项中， f ( x ) 为增函数； B 中， f ( x ) ＝| x －1| 在(0 ，＋∞ ) 上不单调，对于 f ( x ) ＝－x ，因为y ＝与y ＝－x 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，因此 f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数. 答案 C3 . (2019·萍乡一模) 已知函数 f ( x ) ＝log a ( －x 2 － 2 x ＋3)( a >0 且 a ≠ 1) ，若 f (0)<0 ，则此函数的单调递增区间是( )A . ( －∞ ，－1]B . [ － 1 ，＋∞ )C . [ － 1 ，1)D . ( － 3 ，－1]解析令g ( x ) ＝－x 2 － 2 x ＋ 3 ，由题意知g ( x )>0 ，可得－3< x <1 ，故函数的定义域为{ x | －3< x <1} . 根据 f (0) ＝log a 3<0 ，可得0< a <1 ，又g ( x ) 在定义域( － 3 ，1) 内的减区间是[ － 1 ，1) ，∴ f ( x ) 的单调递增区间为[ － 1 ，1) .答案 C4 . 函数y ＝，x ∈ ( m ，n ] 的最小值为0 ，则m 的取值范围是( )A . (1 ，2)B . ( － 1 ，2)C . [1 ，2)D . [ － 1 ，2)解析函数y ＝＝＝－ 1 在区间( － 1 ，＋∞ ) 上是减函数，且 f (2) ＝0 ，所以n ＝ 2.根据题意，x ∈ ( m ，n ] 时，y min ＝0.∴ m 的取值范围是[ － 1 ，2) .答案 D5 . (2019·蚌埠模拟) 已知单调函数 f ( x ) ，对任意的x ∈ R 都有 f [ f ( x ) －2 x ] ＝ 6 ，则 f (2) ＝( )A . 2B . 4C . 6D . 8解析设t ＝ f ( x ) － 2 x ，则 f ( t ) ＝ 6 ，且 f ( x ) ＝ 2 x ＋t ，令x ＝t ，则 f ( t ) ＝ 2 t ＋t ＝ 6 ，∵ f ( x ) 是单调函数，且 f (2) ＝ 2 2 ＋ 2 ＝ 6 ，∴ t ＝ 2 ，即 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 2 ，则 f (2) ＝ 4 ＋ 2 ＝6.答案 C二、填空题6 . 设函数 f ( x ) ＝g ( x ) ＝x 2 f ( x －1) ，则函数g ( x ) 的递减区间是________ .解析由题意知g ( x ) ＝函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g ( x ) 的递减区间是[0 ，1) .答案[0 ，1)7 . 设函数 f ( x ) ＝在区间( － 2 ，＋∞ ) 上是增函数，那么 a 的取值范围是________ .解析 f ( x ) ＝＝ a －，∵ 函数 f ( x ) 在区间( － 2 ，＋∞ ) 上是增函数，∴ 即即 a ≥ 1.答案[1 ，＋∞ )8 . ( 一题多解)(2019·成都诊断) 对于任意实数 a ， b ，定义min{ a ，b } ＝设函数 f ( x ) ＝－x ＋ 3 ，g ( x ) ＝log 2 x ，则函数h ( x ) ＝min{ f ( x ) ，g ( x )} 的最大值是______ .解析法一在同一坐标系中，作函数 f ( x ) ，g ( x ) 图像，依题意，h ( x ) 的图像如图所示的实线部分.易知点 A (2 ，1) 为图像的最高点，因此h ( x ) 的最大值为h (2) ＝ 1.法二依题意，h ( x ) ＝当0< x ≤ 2 时，h ( x ) ＝log 2 x 是增函数，当x >2 时，h ( x ) ＝ 3 －x 是减函数，因此h ( x ) 在x ＝ 2 时取得最大值h (2) ＝ 1.答案 1三、解答题9 . 已知函数 f ( x ) ＝－( a >0 ，x >0) .(1) 求证： f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数；(2) 若 f ( x ) 在上的值域是，求 a 的值.(1) 证明设x 2 > x 1 >0 ，则x 2 －x 1 >0 ，x 1 x 2 >0 ，∵ f ( x 2 ) － f ( x 1 ) ＝－＝－＝>0 ，∴ f ( x 2 )> f ( x 1 ) ，∴ f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数.(2) 解∵ f ( x ) 在上的值域是，又由(1) 得 f ( x ) 在上是单调增函数，∴ f ＝， f (2) ＝ 2 ，易得 a ＝.10 . 函数 f ( x ) ＝log a (1 －x ) ＋log a ( x ＋3)(0< a <1) .(1) 求方程 f ( x ) ＝0 的解.(2) 若函数 f ( x ) 的最小值为－ 1 ，求 a 的值.解(1) 由得－3< x <1.∴ f ( x ) 的定义域为( － 3 ，1) .则 f ( x ) ＝log a ( －x 2 － 2 x ＋3) ，x ∈ ( － 3 ，1) ，令 f ( x ) ＝0 ，得－x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ 1 ，解得x ＝－1± ∈ ( － 3 ，1) .故 f ( x ) ＝0 的解为x ＝－1± .(2) 由(1) 得 f ( x ) ＝log a [ －( x ＋1) 2 ＋4] ，x ∈ ( － 3 ，1) ，由于0< －( x ＋1) 2 ＋ 4 ≤ 4 ，且 a ∈ (0 ，1) ，∴ log a [ －( x ＋1) 2 ＋4] ≥ log a 4 ，由题意可得log a 4 ＝－ 1 ，解得 a ＝，满足条件.所以 a 的值为.能力提升题组( 建议用时：20 分钟)11 . (2017·全国Ⅰ卷) 已知函数 f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 上单调递减，且为奇函数. 若 f (1) ＝－ 1 ，则满足－ 1 ≤ f ( x －2) ≤ 1 的x 的取值范围是( )A . [ － 2 ，2]B . [ － 1 ，1]C . [0 ，4]D . [1 ，3]解析∵ f ( x ) 为奇函数，∴ f ( －x ) ＝－ f ( x ) .∵ f (1) ＝－ 1 ，∴ f ( －1) ＝－ f (1) ＝ 1.故由－ 1 ≤ f ( x －2) ≤ 1 ，得 f (1) ≤ f ( x －2) ≤ f (－1) .又 f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 单调递减，∴ － 1 ≤ x － 2 ≤ 1 ，∴ 1 ≤ x ≤ 3.答案 D12 . 已知函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 ax ＋ a 在区间( －∞ ，1) 上有最小值，则函数g ( x ) ＝在区间(1 ，＋∞ ) 上一定( )A . 有最小值B . 有最大值C . 是减函数D . 是增函数解析因为函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 ax ＋ a ＝( x － a ) 2 ＋ a － a 2 在区间( －∞ ，1) 上有最小值，所以函数 f ( x ) 的对称轴x ＝ a 应当位于区间( －∞ ，1) 内，即 a <1 ，又g ( x ) ＝＝x ＋－ 2 a ，当 a <0 时，g ( x ) ＝x ＋－ 2 a 在区间(1 ，＋∞ ) 上为增函数，此时，g ( x ) min > g (1) ＝ 1 － a >0 ；当 a ＝0 时，g ( x ) ＝x 在区间(1 ，＋∞ ) 上为增函数，此时，g ( x ) min > g (1) ＝ 1 ：当0< a <1 时，g ( x ) ＝x ＋－ 2 a ，g ′( x ) ＝ 1 －>1 －a >0 ，此时g ( x ) min > g (1) ＝ 1 － a ；综上，g ( x ) 在区间(1 ，＋∞ ) 上单调递增.答案 D13 . 已知 f ( x ) ＝不等式 f ( x ＋ a )> f (2 a －x ) 在[ a ， a ＋1] 上恒成立，则实数 a 的取值范围是________ .解析二次函数y 1 ＝x 2 － 4 x ＋ 3 的对称轴是x ＝ 2 ，所以该函数在( －∞ ，0] 上单调递减，所以x 2 － 4 x ＋ 3 ≥ 3 ，同样可知函数y 2 ＝－x 2 － 2 x ＋ 3 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，所以－x 2 － 2 x ＋3<3 ，所以 f ( x ) 在R 上单调递减，所以由 f ( x ＋ a )> f (2 a －x ) 得到x ＋ a <2 a －x ，即 2 x < a 在[ a ， a ＋1] 上恒成立，所以2( a ＋1)< a ， a < － 2 ，所以实数 a 的取值范围是( －∞ ，－2) .答案( －∞ ，－2)14 . 已知函数 f ( x ) ＝ a －.(1) 求 f (0) ；(2) 探究 f ( x ) 的单调性，并证明你的结论；(3) 若 f ( x ) 为奇函数，求满足 f ( ax )< f (2) 的x 的范围.解(1) f (0) ＝ a －＝ a － 1.(2) f ( x ) 在R 上单调递增. 证明如下：∵ f ( x ) 的定义域为R ，∴ 任取x 1 ，x 2 ∈ R 且x 1 < x 2 ，则 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ a －－ a ＋＝，∵ y ＝ 2 x 在R 上单调递增且x 1 < x 2 ，∴ 0<2 x 1 <2 x 2 ，∴ 2 x 1 － 2 x 2 <0 ， 2 x 1 ＋1>0 ， 2 x 2 ＋1>0.∴ f ( x 1 ) － f ( x 2 )<0 ，即 f ( x 1 )< f ( x 2 ) .∴ f ( x ) 在R 上单调递增.(3) ∵ f ( x ) 是奇函数，∴ f ( －x ) ＝－ f ( x ) ，即 a －＝－ a ＋，解得 a ＝1( 或用 f (0) ＝0 去解) .∴ f ( ax )< f (2) 即为 f ( x )< f (2) ，又∵ f ( x ) 在R 上单调递增，∴ x <2.∴ x 的取值范围是( －∞ ，2) .。

2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题20 直线与抛物线的综合 Word版含解析

2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题20 直线与抛物线的综合 Word版含解析
入抛物线方程得 y2-my-a=0,所以 y1y2=-a,x1x2=(y1y2)2=a2.由������������·������������ =x1x2+y1y2=a2-a<0,解得 a∈(0,1),故选 B.
答案▶ B 4.已知点 P(-1,4),过点 P 恰好存在两条直线与抛物线 C 有且只有一 个公共点,则抛物线 C 的标准方程为( ).
求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.
解析▶ (1)由题意知,圆 M 的圆心为(3,1),半径 r= 3 ,A(0,1),F(c,0),
直线 AF 的方程为������+y=1,即 x+cy-c=0.
������
由直线 AF 与圆 M 相切,得|3 + ������ - ������|= 3,
������2 + 1
联立方程组
������2 3
+
������2
=
1,
整理得(1+3k2)x2+6kx=0,
解得 x=0 或 x=
- 6������
,
1 + 3������2
( ) 故点 P 的坐标为
- 6������ 1 - 3������2
1 + 3���ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ��2, 1 + 3������2
,
( ) 同理可得,点 Q 的坐标为
过点(2,1)的直线交抛物线 y2=5x 于 A,B 两点(异于坐标原点 O),
2
若|������������+������������|=|������������-������������|,则该直线的方程为( ).
A.x+y-3=0 B.2x+y-5=0

高考数学专题突破：劣构性考题含详解

高考数学专题突破：劣构性考题含详解

高考数学专题突破：劣构性考题1．已知圆C 的圆心在直线30x y +-=上，且过点()1,3，()2,2． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，______，求m 的值．从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠=︒；条件①：圆上一点P 到直线的最大距离为32；条件①：12CA CB ⋅=-．2．已知函数()2cos cos f x x x x a ωωω=+，其中02ω<<，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为已知．条件①：()102f =；条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()f x 的图象经过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 的单调递增区间．3．集合{}2230A x x x =+-<，{}23B x x =-<，{}2,C x m x m m =<<-∈R ．(1)求A B ．(2)现有三个条件：①B C C =，①B C =∅，①条件p ：x C ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，在这三个条件中任选一个填到横线上，并解答本题．选择多个条件作答时，按第一个选择给分．已知______，求实数m 的取值范围．4．在①()2log f x x =，()244g x x x =-+，①()244f x x x =-+，()2log g x x =，两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题. 已知函数___________（填序号即可）. (1)求函数()()y f g x =的解析式及定义域； (2)解不等式()()1f g x ≤.5．在①直线l ：210x +=是抛物线C 的准线；①F 是椭圆()22103142x y p p p +=>的一个焦点；①()0,1B ，对于C 上的点A ，AB AF +；在以上三个条件中任选一个，填到下面问题中的横线处，并完成解答．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，满足_____． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)()2,D y 是抛物线C 上在第一象限内的一点，直线l '：y x m =+与C 交于M ，N 两点，若DMN 的面积为2m ，求m 的值．6．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为e e 2x xccc y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中c 为参数.当1c =时，该方程就是双曲余弦函数()e e cosh 2x xx -+=，类似的我们有双曲正弦函数()e e sinh 2x x x --=.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值； ①()()22cosh sinh 1x x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ①()()()sinh 22sinh cosh x x x =； ①()()()22cosh 2cosh sinh x x x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.(2)求证：,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cosh cos sinh sin x x >.7．已知集合{}135A x a x a =+≤≤-，集合{}21log 4B x x =≤≤ (1)当4a =时，求()R A B ⋂；(2)若 ，求实数a 的取值范围．在①()R A B ⋂=∅；①“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件；①()A A B ⊆这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．8．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，数列{bn }满足：点（n ，bn ）在曲线y ＝322x上，a 1＝b 4，___，数列{1nS }的前n 项和为Tn ． 从①S 4＝20，①S 3＝2a 3，①3a 3﹣a 5＝b 2这三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上并作答．(1)求数列{an }，{bn }的通项公式； (2)是否存在正整数k ，使得Tk ＞1516，且bk ＞18？若存在，求出满足题意的k 值；若不存在，请说明理由．9．已知0a >且1a ≠，给出下列四个函数： ①()11x f x a-=+；①()log 3a g x x =+；①()2h x x -=；①()tan x x ϕ=．从中任选一个函数，回答下列问题： (1)求所选函数的定义域和值域； (2)写出所选函数的两条性质．注意：如果选多个函数作答，则按第一个函数的答案给分．10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________．给出以下三个条件： ①数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；①点1(,)n n S a +在直线1y x =+上；①1121222n n n n a a a na -++++=在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设21231log log n n n b a a ++=⋅， 求数列{}n b 的前n 项和n T11．已知函数()()3sin 03,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，现有下列3个条件：①相邻两个对称中心的距离是2π；①312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；①06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)请选择其中两个条件，求出满足这两个条件的函数()f x 的解析式； (2)将（1）中函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的23（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，请写出函数()g x 的解析式，并求其单调递减区间.12．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为22,,,6,36a b c a b bc c =-+=． (1)求A ；(2)从以下三个条件：①8b =；①sin B =①AC 边上的高112BH =中选择一个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC 的面积．13．在①9a c ；①b =题（如果多选，以选①评分）．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin cos c B b A =+． (1)求角B ；(2)若10BA BC ⋅=，且______，求ABC 的周长．14．在①2cos cos c a Ab B-=，①222222()tan )b c a A a c b +-=+-， ①2cos 2cos 22sin sin 2cos A C A C B ++=，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足___________. (1)求角B ;(2)若ABC 为锐角三角形且cos cos 1a B b A +=，求c 的值及ABC 面积的取值范围.15．已知点()()2,0P t t >在抛物线E ：()220y px p =>上．有下列三个条件：①点P 到抛物线E 的焦点F 的距离为4；①点()1,6A -，记E 上动点B 到直线2px =-的距离为d ，且d AB +的最小值为 ①点P 到,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比点P 到y 轴距离大2．请选择其中一个条件解答下列问题： (1)求p 与t 的值；(2)直线l 与抛物线E 交于M ，N 两点，记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，当128k k +=时，直线l 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 16．在①2cos a B c =；①向量(),m a b c =-，(),n a b c b =-+，m n ⊥；①tan tan A B +=问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知a =3c =，D 为AC 边的中点，若______，求BD 的长度．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．在二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中，______．给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于37；①若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7：2； ①所有偶数项的二项式系数的和为128．试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：(1)求2nx ⎫⎪⎭展开式中x 的系数；(2)写出2nx ⎫⎪⎭展开式中二项式系数最大的项（不需要说明理由）．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是棱PC ，AB 上的点．(1)从下面①①①中选取两个作为条件，证明另一个成立；①F 是AB 的中点；①E 是PC 的中点；①BE ∥平面PFD ．（只需选择一种组合进行解答即可）(2)若2AD =，60DAB ∠=︒，PE EC =，求三棱锥P BDE -的体积．19．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，点E 在棱1BB 上.(1)求证：11AC DE ⊥；(2)从条件①､条件①､条件①这三个条件中选择两个作为已知，使得1DB ⊥平面11EA C ，并给出证明.条件①：E 为1BB 的中点；条件①：1//BD 平面11EA C ；条件①：11DB BD ⊥. (3)在（2）的条件下，求平面11EA C 与平面11DA C 夹角的余弦值. 20．在①737S b a =；①353b S S =-；①1882a S b =，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是正项等比数列，111a b ==， ；()nn na c n Nb *=∈，试比较n c 与1n c +的大小，并说明理由. 21．已知圆C 的方程为2222230x y x y +---=． (1)求圆C 的圆心及半径；(2)是否存在直线l 满足：经过点(2,1)A -，且_________________ ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：被圆C 所截得的弦长最长； 条件①：被圆C 所截得的弦长最短； 条件①：被圆C 所截得的弦长为8．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．22．在①原点到直线l 的距离取得最大值，①直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的4倍这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答． 已知直线l 过点(2,1)P -．(1)当__________时，求直线l 的方程；(2)若直线l 与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，求直线l 的方程． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．23．已知点()0,1A ，________，从条件①、条件①、条件①中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． (1)求直线1l 的方程；(2)求直线2l ：220x y 关于直线1l 的对称直线的方程． 条件①：点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标为()2,1-；条件①：点B 的坐标为()2,1-，直线1l 过点()2,1且与直线AB 垂直； 条件①点C 的坐标为()2,3，直线1l 过点()2,1且与直线AC 平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．24．在①[]2,0x ∃∈-，①[]2,0x ∀∈-这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解问题．已知函数()22f x x x a =+-．(1)若命题：“______，()0f x ≥”为真命题，求实数a 的取值范围；(2)当1a >时，求关于x 的不等式()()()2111f x a x a x a ≥++--+的解集．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．给出条件①()f x 的最小值为0，①()0f x ≥.从这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题.已知函数()222f x x ax =-+.(1)若命题：“R x ∀∈，__________.”为真命题，求实数a 的取值集合； (2)若()f x 在区间[]0,2内恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD 休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC ，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，cos B =(1)求氢能源环保电动步道AC 的长； (2)若___________；求花卉种植区域总面积.从①π3BCA ∠=，①=BC . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.27．网球比赛胜1局需得若干分，而每胜1球可得1分.甲､乙两人进行网球比赛，比赛进行到最后阶段，根据规则，有以下两种计分方式可供选择：①长盘制：先净胜2局者胜出比赛，要求：A .先得4分且净胜2分者胜1局，若分数为3平时，一方须净胜2分；B .球员轮流发一局球，直到比赛结束.①短盘制（俗称抢七）：1局定胜负，要求：C .先得7分且净胜2分者胜1局，若分数为6平时，一方须净胜2分；D .一方球员发第1个球，对方发第2，3个球，然后双方轮流发两个球，直到比赛结束.请选择一种计分方式回答下列问题：假设甲发球时甲得分的概率为12，乙发球时甲得分的概率为13，各球的结果相互独立，若甲先发球.(1)求甲先得2分的概率；(2)求前5个球，甲得到4分的概率.我选择第___________种计分方式（填①或①，如果选择多个方式分别解答，按第一个解答计分） 28．已知函数()()2,1,12x bg x x x a+=∈-+，从下面三个条件中任选一个条件，求出,a b 的值，并解答后面的问题①已知函数()24f x x ax =-+，若()1f x +在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；①已知函数()()0,1x f x a b a a =+>≠在[]1,2上的值域为[]2,4；①已知函数()3f x b x a=+-，满足()()220f x f x -++=(1)证明()g x 在()1,1-上的单调性 (2)解不等式()()120g t g t -+<29．如图，在三棱锥A BCD -中，BCD △是边长为2的等边三角形，AB AC =，O 是BC 的中点，OA CD ⊥．(1)证明：平面ABC ⊥平面BCD ；(2)若E 是棱AC 上的一点，从①2CE EA =；①二面角E BD C --大小为60︒；①A BCD -30．中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题： ①该曲线经过点()2,3A ；①该曲线的渐近线与圆22840x x y -++=相切；①点P 在该双曲线上，1F 、2F 为该双曲线的焦点，当点P 的纵坐标为32时，恰好12PF PF ⊥.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点()1,1Q 能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于1Q 、2Q 两点，且Q 是弦12Q Q 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.31．在①点M 为椭圆C 上顶点时，12MF F △面积为①椭圆C 过点，①离心率e ，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的左、右焦 点分别为1F ，2F ，直线:l y x m=+与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2). 已知椭圆C 的短轴长为4，________．(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的值和△P AB 的面积.答案第1页，共38页参考答案：1．(1)()()22121x y -+-=(2)12m =± 【解析】 【分析】（1）根据圆心在过点()1,3，()2,2的线段的中垂线上，同时圆心圆心在直线30x y +-=上，可求出圆心的坐标，进而求得半径，最后求出其标准方程；（2）选①利用用垂径定理可求得答案，选①根据圆上一点P 到直线的最大距离为d r +可求得答案，选①先利用向量的数量积可求得120ACB ∠=︒，解法就和选①时相同. (1)由题意可知，圆心在点()1,3()2,2的中垂线上，该中垂线的方程为10x y -+=，于是，由3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得圆心()1,2，圆C 的半径1R所以，圆C 的方程为()()22121x y -+-=； (2)①，因为120ACB ∠=︒，1CA CB ==，所以圆心C 到直线l 的距离1cos602d CA =⋅︒=，则12d ==，解得1m =， ①，圆上一点P 到直线的最大距离为32，可知圆心C 到直线l 的距离12d =．则1211d ==+，解得1m = ①，因为12CA CB ⋅=-，所以1cos 2CA CB ACB ⋅⋅∠=-，得120ACB ∠=︒，又1CA CB ==，所以圆心C 到直线l 的距离1cos602d CA =⋅︒=， 则12d ==，解得1m = 2．(1)条件选择见解析，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；(2)单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出()1sin 262f x x a πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.选择①①：由()102f =可求得a 的值，由正弦型函数的周期公式可求得ω的值，可得出函数()f x 的解析式；选择①①：由正弦型函数的周期公式可求得ω的值，由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得a 的值，可得出函数()f x 的解析式； 选择①①：由()102f =可求得a 的值，由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭结合02ω<<可求得ω的值，可得出函数()f x 的解析式； （2）解不等式222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈可得出函数()f x 的单调递增区间.(1)解：()1cos 212sin 2262x f x x a x a ωπωω+⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭. 选择①①：因为()1012f a =+=，所以12a =-， 又因为()f x 的最小正周期为22ππω=，所以1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；选择①①：因为()f x 的最小正周期为22ππω=，所以1ω=，则()1sin 262x a f x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=， 又因为11162f a π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以12a =-，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；选择①①：因为()1012f a =+=，所以12a =-，所以()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又因为sin 1636f ππωπ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2Z 362k k πωπππ+=+∈， 所以16Z k k ω=+∈，，又因为02ω<<，所以1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭．(2)解：依题意，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.3．(1){}11A B x x ⋂=-<< (2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求出集合A ,根据集合的交集运算求得答案；（2）若选①，则可得C B ⊆，考虑C 为空集情况，列出相应的不等式组求解； 若选①，根据B C =∅，考虑C 为空集情况，列出相应的不等式组求解； 若选①，可知C B ，考虑C 为空集情况，列出相应的不等式组求解； (1)()()2230130x x x x +-<⇔-+<，解得31x -<< ， ①{}31A x x =-<<．23323x x -<⇔-<-<，解得15x -<<，①{}15B x x =-<<． ①{}11A B x x ⋂=-<<． (2)选①：①B C C =，①C B ⊆．当C =∅，即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅，即21m m m <-⇒<时，{m ≥−12−m ≤5⇒m ≥−1． 综上，[)1,m ∈-+∞．选①：当C =∅，即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅，即21m m m <-⇒<时，21m -≤-或5m ≥，m ∈∅． 综上，[)1,m ∈+∞．选①：由题意得C B,当C =∅，即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅，即21m m m <-⇒<时，{m ≥−12−m ≤5⇒m ≥−1, 当1m =- 时，满足C B ， 综上，[)1,m ∈-+∞．4．(1)条件选择见解析，答案见解析； (2)条件选择见解析，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据所选方案，直接求出()()y f g x =的解析式，根据对数的真数大于零可求得函数()()y f g x =的定义域；（2）根据所选方案，结合二次不等式和对数函数的单调性可得出原不等式的解集. (1)解：若选①，()()()22log 44y f g x x x ==-+，由2440x x -+>，解得2x ≠，故函数()()y f g x =定义域为()(),22,-∞+∞；若选①，()()()222log 4log 4y f g x x x ==-+，易知函数()()y f g x =定义域为()0,∞+. (2)解：若选①，由（1）知，()22log 441x x -+≤，因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，且21log 2=，所以20442x x <-+≤，解得22x ≤<或22x <≤.所以不等式()()1f g x ≤的解集为)(22,22⎡+⎣；若选①，由（1）知，()222log 4log 41x x -+≤，令2log x t =，即2430t t -+≤，解得13t ≤≤，即21log 3x ≤≤，因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，且21log 2=，23log 8=，所以28x ≤≤. 所以不等式()()1f g x ≤的解集为[]28,. 5．(1)22y x =(2)1-1- 【解析】 【分析】（1）选条件①，由准线方程得参数p ，从而得抛物线方程；选条件①，由椭圆的焦点坐标与抛物线焦点坐标相同求得p 得抛物线方程； 选条件①，由F ，A ，B三点共线时，AB AF FB +==p 得抛物线方程；（2）求出D 点坐标，由点到直线距离公式求得D 到直线MN 的距离，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入抛物线方程，判别式大于0保证相交，由韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式得弦长MN ，再计算出三角形的面积后可解得m ．(1)选条件①：由准线方程为12x =-知1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =．选条件①：因为抛物线()220y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以由已知得椭圆2213142x yp p +=的一个焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以231424p p p -=，又0p >，所以1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =．选条件①：由题意可知得，当F ，A ，B三点共线时，AB AF FB +==1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =. (2)把()2,D y 代入方程22y x =，可得()2,2D ，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立22y x m y x=+⎧⎨=⎩，消去y 可得()22220x m x m +-+=，由()222240m m ∆=-->，解得12m <， 又知1222x x m +=-，212x x m =，所以12MN x =-==由()2,2D 到直线l '的距离为d ==212DMN S m =△，2210m m m =⇒+-=，解得1m =-1m =-经检验均满足0∆>，所以m 的值为1-1-6．(1)条件选择见解析，证明见解析，函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值为78； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算可证得①①①成立，令()e e sinh R 2x xt x --==∈，利用二次函数的基本性质可求得函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值；（2）,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，将所证不等式等价转化为cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-，分[],0x π∈-、0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦两种情况讨论，利用指数函数的单调性结合正余弦函数的性质可证得结论成立. (1)证明：选①，()()22222222c 1e e e 2osh sin e h e e 2e e 2244x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎪++-=-=-= ⎪⎝⎭⎝⎭； 选①，()()()()()22e e e e e e sinh 222sinh cosh 222x x x x x x x x x ----+-==⨯=⨯；选①，()()()222222e e e e e e cosh 2cosh sinh 222x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫++-⎡⎤⎡⎤==+=+ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭. ()()22e e e e cosh 2sinh 22x x x x y x x --+-=+=+，令()e e sinh 2x xt x --==，因为函数e 2x y =、e 2xy -=-均为R 上的增函数，故函数()sinh y x =也为R 上的增函数，故()e e sinh R 2x x t x --==∈，则222e e 24x x t -+-=，所以()2cosh 221x t =+， 所以22177212488y t t t ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当14t =-时取“=”，所以()()cosh 2sinh y x x =+的最小值为78.(2)证明：,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cos cos sin sin e e e ecosh cos sinh sin 22x x x xx x --+->⇔>cos cos sin sin e e e e x x x x --⇔+>-，当[],0x π∈-时，cos cos e e 0x x -+>，sin 0sin x x ≤≤-，所以sin sin e e x x -≤， 所以sin sin e e 0x x --≤，所以cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-成立；当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，则022x x ππ<≤-<，且正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，cos sin sin 2x x x π⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，所以cos sin e e x x ≥，sin cos e 0e x x ---<<，所以cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-成立，综上，,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cosh cos sinh sin x x >.7．(1)(){25R A B x x ⋂=≤<或}716x <≤ (2)7a ≤ 【解析】 【分析】（1）根据集合的补集与交集定义运算即可；（2）选①①①中任何一个，都可以转化为A B ⊆，讨论A =∅与A ≠∅求解即可． (1)化简集合{}21log 4B x x =≤≤有{}216B x x =≤≤ 当4a =时，{}57A x x =≤≤，则{5R A x x =<或}7x > 故(){25R A B x x ⋂=≤<或}716x <≤ (2)选①①①中任何一个，都可以转化为A B ⊆（①）当A =∅时，135a a +>-，即3a <时， A B ⊆ （①）当A ≠∅时，若A B ⊆，则 135123516a a a a +≤-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得37a ≤≤综上（①）（①），实数a 的取值范围是7a ≤． 8．(1)条件选择见解析；an ＝2n ，bn ＝25﹣n . (2)不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）把点（n ，bn ）代入曲线y ＝322x 可得到bn ＝25﹣n ，进而求出a 1，设等差数列{an }的公差为d ，选①S 4＝20，利用等差数列的前n 项和公式可求出d ，从而得到an ； 若选①S 3＝2a 3，利用等差数列的前n 项和公式可求出d ，从而得到an ； 若选①3a 3﹣a 5＝b 2，利用等差数列的通项公式公式可求出d ，从而得到an ； （2）由（1）可知Sn ＝1()2n n a a +＝n （1+n ），1n S ＝111n n -+，再利用裂项相消法求出Tn＝1﹣11n +，不等式51151116128k k -⎧->⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩无解，即不存在正整数k ，使得Tk ＞1516，且bk ＞18．(1)解：①点（n ，bn ）在曲线y ＝322x 上，①322=n n b ＝25﹣n ，①a 1＝b 4＝25﹣4＝2， 设等差数列{an }的公差为d ， 若选①S 4＝20，则S 4＝43422⨯⨯+d ＝20，解得d ＝2， ①an ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；若选①S 3＝2a 3，则S 3＝a 1+a 2+a 3＝2a 3，①a 1+a 2＝a 3， ①2+2+d ＝2+2d ，解得d ＝2， ①an ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；若选①3a 3﹣a 5＝b 2，则3（a 1+2d ）﹣（a 1+4d ）＝25﹣2＝8， ①2a 1+2d ＝8，即2×2+2d ＝8，①d ＝2， ①an ＝2+2（n ﹣1）＝2n ； (2)解：由（1）可知Sn ＝1()2n n a a +＝(22)2n n +＝n （1+n ），①1n S ＝1(1)+n n ＝111n n -+， ①Tn ＝（1﹣12）+（1231-）+……+（111n n -+）＝1﹣11n +， 假设存在正整数k ，使得Tk ＞1516，且bk ＞18， ①51151116128k k -⎧->⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩，即158k k >⎧⎨<⎩，此不等式无解，①不存在正整数k ，使得Tk ＞1516，且bk ＞18． 9．(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用指数型函数，对数型函数，幂函数及正切函数的性质求解；（2）利用函数的对称性及过定点求解①①；利用幂函数和正切函数的单调性及奇偶性求解①①. (1)选①，()11x f x a-=+的定义域为R ；当1a >时，11x a -≥，所以()f x 的值域为[)2,+∞； 当01a <<时，101x a -<≤，所以()f x 的值域为(]1,2； 选①，()log 3a g x x =+的定义域为{}3x x ≠-；值域为R ；选①，()2h x x -=的定义域为{}0x x ≠；值域为()0,∞+；选①，()tan x x ϕ=的定义域为,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；值域为R ；(2)选①，()11x f x a-=+的图象关于直线1x =对称；()11x f x a-=+的图象过定点()1,2．选①，()log 3a g x x =+的图象关于直线3x =-对称；()log 3a g x x =+过定点()4,0-和()2,0-．选①，()2h x x -=是偶函数；()2h x x -=在(),0∞-上为增函数，在()0,∞+上为减函数．选①，()tan x x ϕ=在(),Z 22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上为增函数；()tan x x ϕ=是奇函数．10．(1)12n na(2)()()3234212n n n +-++ 【解析】 【分析】（1）选①时，根据等比数列的性质，求出公比，即可求解答案；选①时，利用1,n n S a +之间的关系式，采用两式相减的方法求得结果；选①时，再写出()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥这个递推式，和原递推式相减，可求得结果. （2）写出n b 的表达式，采用裂项求和的方法解得答案. (1)若选①，则22,2,2q q q +++成等比， 则22(2)2(2)q q q +=++ ， 即得 2q 或 0q =（舍去） ，故 12n na ；若选①，由点1(,)n n S a +在直线1y x =+上， 得11n n a S +=+，()112n n a S n -=+≥， 两式相减化简得()122n n a a n +=≥， 验证212a a = 适合上式， 故12n na ；若选①，由121111222n n n n n a a a a +-+++=， 可知()121211112222n nn n n a a a a n ----+++=≥，两式相减化简得()122n n a n a +=≥ 验证212a a =适合上式， 故12n n a ；(2)由（1）知12n n a则()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则121111111112324352n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-+-+- ⎪+⎝⎭()()1111323122124212n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭ 11．(1)()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()3sin 36g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2252,9393k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合周期公式，选择相应的条件，代入函数解析式即可求解；（2）根据图象变换规则即可得到函数()g x 的解析式，利用整体法结合正弦函数的单调性即可求解. (1)选①①，因为相邻两个对称中心的距离为2T， 所以22T π=，得T π=.由2T πω=，得2ω=.由312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得22122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，则23k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选①①，因为相邻两个对称中心的距离为2T，所以22T π=，得T π=.由2T πω=，得2ω=.由06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得26k πϕπ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，k Z ∈，则3k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选①①，由题意121264n πππω⎛⎫⎛⎫--=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()321264n n Z πππω⎛⎫⎛⎫--=+⨯∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即1244n ππω⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭或()3244n n Z ππω⎛⎫=+⨯∈ ⎪⎝⎭，得82n ω=+或()86n n Z ω=+∈.因为03ω<<， 所以2ω=.由06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得26k πϕπ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，k Z ∈，则3k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度，可得3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再将横坐标缩小为原来的23（纵坐标不变），得到函数()3sin 36g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.由()3232262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 得()22529393k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()g x 的单调递减区间为()2252,9393k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 12．(1)π3A =(2)选第①个条件；【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求出A ；（2）选第①个条件，这样的三角形不存在；选第①个条件，先利用正弦定理，余弦定理求出边长c ，即可求出ABCS ；选第①个条件：先求出边长c =2236b bc c -+=判断出这样的三角形有两个. (1)因为6a =，2236b bc c -+=，所以222b bc c a -+=．所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==． 又0πA <<，所以π3A =． (2)选第①个条件：8b =．由2236b bc c -+=可得：20828c c -=+，因为28428480∆=-⨯=-<，所以无解，这样的三角形不存在. 选第①个条件：sin B =． 由正弦定理，得sin sin a bA B=，所以6sin 4sin a B b A ===． 由2236b bc c -+=，得24200c c --=．解得2c =+2c =-．因此(11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯+=△选第①个条件：AC 边上的高112BH =．在ABH 中，由sin BH A AB =，所以11sin BH AB A ===，即c = 代入2236b bc c -+=得：21303b +=，解得：b =或b =，这样的三角形有两个. 13．(1)3B π=(2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出3B π=；（2）选①：由数量积公式得出20ac ，再由余弦定理得出b ，进而得出ABC 的周长；选①：由数量积公式得出20ac ，再由余弦定理得出10a c +=，进而得出ABC 的周长 (1)①sin cos c B b A =+①sin sin sin cos C A B B A =+ ①()sin sin sin cos A B A B B A +=+即sin cos cos sin sin sin cos A B A B A B B A +=+①sin cos sin A B A B =又因为sin 0A >sin B B =，即tan B =①0B π<<，①3B π=(2)选①①10BA BC ⋅=，①cos103BA BC π=，即①20ac由余弦定理得()22222cos 38132021b a c ac B a c ac =+-=+-=-⨯=即b =所以ABC 的周长为9a b c ++=选①①10BA AC ⋅=，①cos103BA BC π=，即①20ac由余弦定理得()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-，(()22320a c =+-⨯，所以10a c +=所以ABC 的周长为10a b c ++=+14．(1)3B π=；(2)1；. 【解析】 【分析】(1)选条件①，利用正弦定理边化角变形计算即得；选条件①，利用余弦定理变形计算即得；选条件①，利用二倍角的余弦公式结合余弦定理计算作答.(2)利用给定条件结合正弦定理求出c 并表示出a ，再列出面积的函数关系即可推理计算作答. (1)选条件①，在ABC 中，由正弦定理得2sin sin cos sin cos C A AB B-=， 即2sin cos sin cos cos sin C B A B A B -=，则2sin cos sin cos cos sin sin()sin C B A B A B A B C =+=+=，而sin 0C >，有1cos 2B =，又0B π<<，所以3B π=.选条件①，在ABC中，由余弦定理得2cos tan cos bc A A B =，即sin cos b A B =，由正弦定理得sin sin sin B A B A =，而sin 0A >，则tan B 0B π<<， 所以3B π=.选条件①，则有22212sin 12sin 2sin sin 22sin A C A C B -+-+=-，即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=，在ABC 中，由正弦定理得222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，又0B π<<，所以3B π=.(2)设ABC 外接圆半径为R ，则由正弦定理有：2sin 2sin()2sin cos 2cos sin cos cos 1c R C R A B R A B R A B a B b A ==+=+=+=，由(1)及正弦定理得1sin()sin sin 1322sin sin sin 2c C C Cc A a C C C π+==== ABC的面积13sin 28tan S ac B C===， 因ABC 是锐角三角形，则022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即62C ππ<<，有tan C >，10tan C<<S <<所以ABC面积的取值范围是. 15．(1)4p =；4t = (2)定点(1,3)- 【解析】 【分析】（1）选①：由焦半径公式列方程可得解，选①：由||||||d AB BF AB AF +=+≥，列式可以求解； 选①：根据抛物线定义可得22p=，进而得解. （2）设直线l x ty m =+，与抛物线联立，由128k k +=，得1288844y y +=++，代入韦达定理求解即可. (1)选①：根据抛物线定义得： ||242pPF =+=，解得4p =， 则28y x =，将点()()2,0P t t >代入得：216t =，解得4t =； 选①：||||||d AB BF AB AF +=+≥== 当且仅当,,A B F （B 在AF 之间）三点共线时，取等号. 解得4p =，则28y x =，将点()()2,0P t t >代入得：216t =，解得4t =； 选①：点P 到,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的距离等于到准线2p x =-的距离，点P 到,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比点P 到y 轴距离大2，则22p=，解得4p =， 则28y x =，将点()()2,0P t t >代入得：216t =，解得4t =. (2)直线l 与抛物线E 交于M ，N 两点，所以斜率显然不为0，设为x ty m =+， 设1122(,),(,)M x y N x y ，联立直线与抛物线：28x ty my x =+⎧⎨=⎩，得：2880y ty m --=，所以21212Δ6432088t m y y t y y m ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，直线PM 的斜率为11211114482428y y y k x y --===-+-，同理直线PN 的斜率为2284k y =+，所以由128k k +=，得1288844y y +=++， 整理得：12123()80y y y y +++=，代入121288y y t y y m +=⎧⎨=-⎩得：82480m t -++=，整理得：31m t =+，所以直线l ：31(3)1x ty m ty t t y =+=++=++过定点(1,3)-. 16．答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】选①，由正弦定理边化角，由余弦定理求出cos C ，再借助余弦定理计算作答. 选①，由向量关系结合余弦定理求出角C ，再由正弦定理求角A 即可计算作答. 选①，切化弦求出角C ，由正弦定理求出角A ，再借助余弦定理计算作答. 【详解】若选①：在ABC 中，因2cos a B c =，由正弦定理得2sin cos sin A B C =，而()sin sin C A B =+，即有2sin cos sin cos cos sin A B A B A B =+，整理得()sin 0A B -=， 又A B ππ-<-<，则0A B -=，即A B =，有b a ==2221cos 22a b c C ab +-==-，在BCD △中，由余弦定理2222124BD C =+-=⎝⎭，所以BD =若选①：由m n ⊥，得0m n ⋅=，即()()()0a a b b c c b -+-+=，整理得2220a ab c b --+=，在ABC 中，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，而0C π<<，则3C π=，由正弦定理得3sin3π=，即1sin 2A =，由a =3c =可得：03A C π<<=， 则6A π=，有2ππ=--=B A C，因此有b ，又D 为斜边AC 中点，所以2bBD ==若选①：依题意，sin cos cos sin cos cos A B A B A B +=()sin A B C +=，在ABC 中，()sin sin C A B =+，于是得tan C =23C π=，由正弦定理得：32sin 3π，解得1sin 2A =，由a =3c =可得：203A C π<<=，则有6A π=，从而有ππ6B A C，即b a =在BCD △中，由余弦定理得：2222124BD C =+-=⎝⎭，所以BD = 17．(1)112 (2)21120x - 【解析】 【分析】（1）根据所选条件求出n 的值，即可得到二项式展开式的通项，即可求出展开式中x 的系数；（2）根据展开式的二项式系数的特征，得到第5项的二项式系数取得最大，再根据通项计算可得； (1)解：因为2nx ⎫⎪⎭展开式中第1r +项的二项式系数为rn C ，若选①，则01237n n n C C C ++=，即(1)1372n n n -++=，即2720n n +-=，即(9)(8)0n n +-=．解得8n =或9n =-（舍去）若选①：则21:7:2n nC C =，解得8n =； 若选①：则12128n -=，解得8n =；综上可得2nx ⎫⎪⎭即为82x ⎫⎪⎭则展开式的通项为()838218822rrrr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令8312r -=解得2r =，所以()22382112T C x x =-=，故展开式中x 的系数为112；(2)解：因为82x ⎫⎪⎭展开式中一共含有9项，故第5项二项式系数最大，()44225821120T C x x --=-=，即展开式中二项式系数最大的项为21120x -；18．(1)证明见解析 (2)12【解析】 【分析】（1）分①①⇒①，①①⇒①，①①⇒①三种情况讨论，根据线面平行的判定定理及性质定理证明即可；（2）取AD 的中点G ，连接PG ，根据面面垂直的性质得到PG ⊥平面ABCD ，再根据1122P BDE B PDE B PDC P BCD V V V V ----===计算可得；(1)解：（1）①①⇒①，因为F 是AB 的中点，E 是PC 的中点，取PD 的中点M ，连接ME ，MF ，则//ME CD ，且1=2ME CD ，又四边形ABCD 为菱形，所以//BF DC 且1=2BF DC ，所以//BF EM 且=BF EM ，所以四边形BEMF 为平行四边形，所以//BE FM ，BE ⊄平面PDF ，FM ⊂平面PDF ，所以//BE 平面PDF ；（2）①①⇒①，取PD 的中点M ，连接ME 、MF ，因为E 是PC 的中点，所以//ME CD ，且1=2ME CD ，又//BF CD ，所以//BF ME ，因为//BE 平面PDF ，平面BEMF平面PDF MF =，BE ⊂平面BEMF ，所以//BE MF ，所以四边形BEMF 为平行四边形，所以=BF ME ，即12BF CD =，所以F 是AB 的中点；（3）①①⇒①，取DC 的中点N ，连接NB 、NE ，因为F 是AB 的中点，所以//BF DN 且BF DN =，所以BNDF 为平行四边形，所以//BN DF ，因为BN ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，所以//BN 平面PDF ，又//BE 平面PDF ，BE BN B =，,BE BN ⊂平面BEN ，所以平面PDF //平面BEN ，因为平面BEN平面PCD EN =，平面PDF平面PCD PD =，所以//EN PD ，所以E 是PC 的中点；(2)解：取AD 的中点G ，连接PG ，因为APD △为等边三角形，所以PG AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PG ⊥平面ABCD ，又2AB BC CD AD PA PD ======，所以2sin 60PG =⨯︒=122sin 602BCDS=⨯⨯⨯︒=E 是PC 的中点，所以1111122232P BDE B PDE B PDC P BCD V V V V ----====⨯=19．(1)证明见解析； (2)答案见解析；. 【解析】 【分析】（1）连结BD ，11B D ，由直四棱柱的性质及线面垂直的性质可得111BB AC ⊥，再由正方形的性质及线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）选条件①①，设1111AC B D O ⋂=，连结OE ，1BD ，由中位线的性质、线面垂直的性质可得1DB OE ⊥、111AC DB ⊥，再由线面垂直的判定证明结论；选条件①①，设1111AC B D O ⋂=，连结OE ，由线面平行的性质及平行推论可得1DB OE ⊥，由线面垂直的性质有111AC DB ⊥，再由线面垂直的判定证明结论；（3）构建空间直角坐标系，求平面11EA C 、平面11DA C 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求平面11EA C 与平面11DA C 夹角的余弦值. (1)连结BD ，11B D ，由直四棱柱1111ABCD A B C D -知：1BB ⊥平面1111A B C D ，又11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111BB AC ⊥，又1111A B C D 为正方形，即1111A C B D ⊥，又1111B D BB B ⋂=， ①11A C ⊥平面11D DBB ，又DE ⊂平面11D DBB ， ①11AC DE ⊥. (2)选条件①①，可使1DB ⊥平面11EA C .证明如下：设1111AC B D O ⋂=，连结OE ，1BD ，又E ，O 分别是1BB ，11B D 的中点， ①1//OE BD .又11DB BD ⊥，所以1DB OE ⊥.由（1）知：11A C ⊥平面11D DBB ，1DB ⊂平面11D DBB ，则111AC DB ⊥. 又11A C OE O ⋂=，即1DB ⊥平面11EA C .选条件①①，可使1DB ⊥平面11EA C .证明如下： 设1111AC B D O ⋂=，连结OE .因为1//BD 平面11EA C ，1BD ⊂平面11D DBB ，平面11D DBB ⋂平面11EA C OE =， 所以1//BD OE ，又11DB BD ⊥，则1DB OE ⊥.由（1）知：11A C ⊥平面11D DBB ，1DB ⊂平面11D DBB ，则111AC DB ⊥. 又11A C OE O ⋂=，即1DB ⊥平面11EA C . (3)由（2）可知，四边形11D DBB为正方形，所以1DD BD = 因为DA ，DC ，1DD 两两垂直，如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D，(1A，(1B，(1C，E ⎛ ⎝⎭，(1D ，所以()111,1,0AC =-，(1DA =. 由（1）知：平面11EA C的一个法向量为(1DB =.设平面11DA C 的法向量为{,,}n x y z =，则11100n A C x y n DA x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令x =()2,2,1n =-.。

2020版数学高考专题突破试题附解析

2020版数学高考专题突破试题附解析

第 4 节二次函数性质的再研究与幂函数最新考纲 1 . 理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题； 2 . 了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝x ，y ＝的图像，了解它们的变化情况.知识梳理1. 二次函数(1) 二次函数解析式的三种形式：一般式： f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) .顶点式： f ( x ) ＝ a ( x －m ) 2 ＋n ( a ≠ 0) ，顶点坐标为( m ，n ) .零点式： f ( x ) ＝ a ( x －x 1 )( x －x 2 )( a ≠ 0) ，x 1 ，x 2 为 f ( x )的零点.(2) 二次函数的图像和性质函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a >0) y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a <0) 图像( 抛物线)定义域R值域对称轴x ＝－顶点坐标奇偶性当 b ＝0 时是偶函数，当 b≠ 0 时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数2. 幂函数(1) 幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α ，即y ＝x α ，这样的函数称为幂函数.(2) 常见的 5 种幂函数的图像(3) 幂函数的性质① 幂函数在(0 ，＋∞ ) 上都有定义；② 当α >0 时，幂函数的图像都过点(1 ，1) 和(0 ，0) ，且在(0 ，＋∞ ) 上单调递增；③ 当α <0 时，幂函数的图像都过点(1 ，1) ，且在(0 ，＋∞ ) 上单调递减.[ 微点提醒]1 . 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2 . 若 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) ，则当时恒有 f ( x )>0 ，当时，恒有 f ( x )<0.基础自测1 . 判断下列结论正误( 在括号内打“√” 或“×” )(1) 函数y ＝ 2 x 是幂函数. ( )(2) 当n >0 时，幂函数y ＝x n 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数. ( )(3) 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( x ∈ R ) 不可能是偶函数. ( )(4) 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( x ∈ [ a ， b ]) 的最值一定是.( )解析(1) 由于幂函数的解析式为 f ( x ) ＝x α ，故y ＝ 2 x 不是幂函数，(1) 错.(3) 由于当 b ＝0 时，y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ＝ax 2 ＋ c 为偶函数，故(3) 错.(4) 对称轴x ＝－，当－小于 a 或大于 b 时，最值不是，故(4) 错.答案(1) × (2) √ (3) × (4) ×2 . ( 必修1P 4 9 定义改编) 已知幂函数 f ( x ) ＝k · x α 的图像过点，则k ＋α ＝( )A. B . 1 C. D . 2解析因为 f ( x ) ＝k · x α 是幂函数，所以k ＝ 1. 又 f ( x ) 的图像过点，所以＝，所以α ＝，所以k ＋α ＝ 1 ＋＝.答案 C3 . ( 必修1P 58C1 改编) 若函数 f ( x ) ＝4 x 2 －kx －8 在[ － 1 ，2] 上是单调函数，则实数k 的取值范围是________ .解析由于函数 f ( x ) 的图像开口向上，对称轴是x ＝，所以要使 f ( x ) 在[ － 1 ，2] 上是单调函数，则有≤ － 1 或≥ 2 ，即k ≤ －8 或k ≥ 16.答案( －∞ ，－8] ∪ [16 ，＋∞ )4 . (2016·全国Ⅲ卷) 已知 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝25 ，则( )A . b < a < cB . a < b < cC . b < c < aD . c < a < b解析因为 a ＝ 2 ＝ 4 ， b ＝ 3 ， c ＝ 5 又y ＝x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，所以 c > a > b .答案 A5 . (2019·衡水中学月考) 若存在非零的实数 a ，使得 f ( x ) ＝ f ( a －x ) 对定义域上任意的x 恒成立，则函数 f ( x ) 可能是( )A . f ( x ) ＝x 2 － 2 x ＋ 1B . f ( x ) ＝x 2 － 1C . f ( x ) ＝ 2 xD . f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1解析由存在非零的实数 a ，使得 f ( x ) ＝ f ( a －x ) 对定义域上任意的x 恒成立，可得函数图像的对称轴为x ＝≠ 0. 只有选项 A 中， f ( x ) ＝x 2 － 2 x ＋ 1 关于x ＝ 1 对称.答案 A6 . (2018·渭南月考) 幂函数 f ( x ) ＝( m 2 － 4 m ＋4)· x m 2 － 6 m ＋8 在(0 ，＋∞ ) 上为增函数，则m 的值为________ .解析由题意知解得m ＝ 1.答案 1考点一幂函数的图像和性质【例 1 】(1) 幂函数y ＝ f ( x ) 的图像过点(4 ，2) ，则幂函数y ＝ f ( x ) 的大致图像是( )(2) 若 a ＝， b ＝， c ＝，则 a ， b ， c 的大小关系是( )A . a < b < cB . c < a < bC . b < c < aD . b < a < c解析(1) 设幂函数的解析式为y ＝x α ，因为幂函数y ＝ f ( x ) 的图像过点(4 ，2) ，所以 2 ＝ 4 α ，解得α ＝.所以y ＝，其定义域为[0 ，＋∞ ) ，且是增函数，当0< x <1 时，其图像在直线y ＝x 的上方，对照选项， C 正确.(2) 因为y ＝x 在第一象限内是增函数，所以 a ＝> b ＝，因为y ＝是减函数，所以 a ＝< c ＝，所以 b < a < c .答案(1)C (2)D规律方法 1. 对于幂函数图像的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，y ＝x 所分区域. 根据α <0 ，0< α <1 ，α ＝ 1 ，α >1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2 . 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练 1 】(1) (2018·洛阳二模) 已知点在幂函数 f ( x ) ＝( a －1) x b 的图像上，则函数 f ( x ) 是( )A . 奇函数B . 偶函数C . 定义域内的减函数D . 定义域内的增函数(2) (2018·上海卷) 已知α ∈ ，. 若幂函数 f ( x ) ＝x α 为奇函数，且在(0 ，＋∞ ) 上递减，则α ＝______ .解析(1) 由题意得 a － 1 ＝ 1 ，且＝ a b ，因此 a ＝ 2 且 b ＝－ 1. 故 f ( x ) ＝x － 1 是奇函数，但在定义域( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) 不是单调函数.(2) 由题意知α 可取－ 1 ， 1 ， 3. 又y ＝x α 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数，∴ α <0 ，取α ＝－ 1.答案(1)A (2) － 1考点二二次函数的解析式【例 2 】( 一题多解) 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2) ＝－ 1 ， f ( －1) ＝－ 1 ，且 f ( x ) 的最大值是8 ，试确定该二次函数的解析式.解法一( 利用“ 一般式” 解题)设 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) .由题意得解得∴ 所求二次函数的解析式为 f ( x ) ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.法二( 利用“ 顶点式” 解题)设 f ( x ) ＝ a ( x －m ) 2 ＋n ( a ≠ 0) .因为 f (2) ＝ f ( －1) ，所以抛物线的对称轴为x ＝＝，所以m ＝.又根据题意，函数有最大值8 ，所以n ＝8 ，所以y ＝ f ( x ) ＝ a ＋8.因为 f (2) ＝－ 1 ，所以 a ＋8 ＝－ 1 ，解得 a ＝－ 4 ，所以 f ( x ) ＝－ 4 ＋8 ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.法三( 利用“ 零点式” 解题)由已知 f ( x ) ＋ 1 ＝0 的两根为x 1 ＝ 2 ，x 2 ＝－ 1 ，故可设 f ( x ) ＋ 1 ＝ a ( x －2)( x ＋1)( a ≠ 0) ，即 f ( x ) ＝ax 2 －ax － 2 a － 1.又函数有最大值8 ，即＝8.解得 a ＝－ 4 或 a ＝0( 舍) .故所求函数的解析式为 f ( x ) ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.规律方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练 2 】已知二次函数 f ( x ) 的图像经过点(4 ，3) ，它在x 轴上截得的线段长为 2 ，并且对任意x ∈ R ，都有 f (2 －x ) ＝ f (2 ＋x ) ，则 f ( x ) ＝________ .解析因为 f (2 －x ) ＝ f (2 ＋x ) 对x ∈ R 恒成立，所以y ＝ f ( x ) 的图像关于x ＝ 2 对称.又y ＝ f ( x ) 的图像在x 轴上截得的线段长为 2 ，所以 f ( x ) ＝0 的两根为 2 －＝ 1 或 2 ＋＝ 3.所以二次函数 f ( x ) 与x 轴的两交点坐标为(1 ，0) 和(3 ，0) .因此设 f ( x ) ＝ a ( x －1)( x －3) .又点(4 ，3) 在y ＝ f ( x ) 的图像上，所以 3 a ＝ 3 ，则 a ＝ 1.故 f ( x ) ＝( x －1)( x －3) ＝x 2 － 4 x ＋ 3.答案x 2 － 4 x ＋ 3考点三二次函数的图像及应用【例 3 】(1) 对数函数y ＝log a x ( a >0 且 a ≠ 1) 与二次函数y ＝( a －1) x 2 －x 在同一坐标系内的图像可能是( )(2) 设函数 f ( x ) ＝x 2 ＋x ＋ a ( a >0) ，已知 f ( m )<0 ，则( )A . f ( m ＋1) ≥ 0B . f ( m ＋1) ≤ 0C . f ( m ＋1)>0D . f ( m ＋1)<0解析(1) 若0< a <1 ，则y ＝log a x 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，y ＝( a －1) x 2 －x 开口向下，其图像的对称轴在y 轴左侧，排除C ， D.若 a >1 ，则y ＝log a x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，y ＝( a －1) x 2 －x 图像开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此 B 项不正确，只有选项 A 满足.(2) 因为 f ( x ) 的对称轴为x ＝－， f (0) ＝ a >0 ，所以 f ( x ) 的大致图像如图所示.由 f ( m )<0 ，得－1< m <0 ，所以m ＋1>0 ，所以 f ( m ＋1)> f (0)>0.答案(1)A (2)C规律方法 1. 研究二次函数图像应从“ 三点一线一开口” 进行分析，“ 三点” 中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“ 一线” 是指对称轴这条直线；“ 一开口” 是指抛物线的开口方向.2 . 求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图像特征，分析不等关系成立的条件.【训练 3 】一次函数y ＝ax ＋ b 与二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 在同一坐标系中的图像大致是( )解析 A 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a >0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向上， A 错误；B 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a >0 ， b >0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向上，对称轴x ＝－<0 ，B 错误；C 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a <0 ， b <0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向下，对称轴x ＝－<0 ， C 正确；D 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a <0 ， b <0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向下， D 错误.答案 C考点四二次函数的性质多维探究角度 1 二次函数的单调性与最值【例 4 － 1 】已知函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ 2 ax ＋ 3 ，x ∈ [ － 4 ，6] .(1) 当 a ＝－ 2 时，求 f ( x ) 的最值；(2) 求实数 a 的取值范围，使y ＝ f ( x ) 在区间[ － 4 ，6] 上是单调函数.解(1) 当 a ＝－ 2 时， f ( x ) ＝x 2 － 4 x ＋ 3 ＝( x －2) 2 －1 ，由于x ∈ [ － 4 ，6] ，∴ f ( x ) 在[ － 4 ，2] 上单调递减，在[2 ，6] 上单调递增，∴ f ( x ) 的最小值是 f (2) ＝－ 1 ，又 f ( －4) ＝35 ， f (6) ＝15 ，故 f ( x ) 的最大值是35.(2) 由于函数 f ( x ) 的图像开口向上，对称轴是x ＝－ a ，所以要使 f ( x ) 在[ － 4 ，6] 上是单调函数，应有－ a ≤ － 4 或－ a ≥ 6 ，即 a ≤ － 6 或 a ≥ 4 ，故 a 的取值范围是( －∞ ，－6] ∪ [4 ，＋∞ ) .角度 2 二次函数的恒成立问题【例 4 － 2 】(2019·浙江“ 超级全能生” 模拟) 已知在( －∞ ，1] 上递减的函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 tx ＋ 1 ，且对任意的x 1 ，x 2 ∈[0 ，t ＋1] ，总有| f ( x 1 ) － f ( x 2 )| ≤ 2 ，则实数t 的取值范围是( )A . [ －，]B . [1 ，]C . [2 ，3]D . [1 ，2]解析由于 f ( x ) ＝x 2 － 2 tx ＋ 1 的图像的对称轴为x ＝t ，又y ＝ f ( x ) 在( －∞ ，1] 上是减函数，所以，t ≥ 1.则在区间[0 ，t ＋1] 上， f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 1 ，f ( x ) min ＝ f ( t ) ＝t 2 － 2 t 2 ＋ 1 ＝－t 2 ＋ 1 ，要使对任意的x 1 ，x 2 ∈ [0 ，t ＋1] ，都有| f ( x 1 ) － f ( x 2 )| ≤ 2 ，只需 1 －( －t 2 ＋1) ≤ 2 ，解得－≤ t ≤ .又t ≥ 1 ，∴ 1 ≤ t ≤ .答案 B规律方法 1. 二次函数最值问题的解法：抓住“ 三点一轴” 数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2 . 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1) 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2) 两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离. 这两个思路的依据是： a ≥ f ( x ) 恒成立⇔ a ≥ f ( x ) max ， a ≤ f ( x ) 恒成立⇔ a ≤ f ( x ) min .【训练 4 】已知二次函数 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋1( a ， b ∈ R 且 a ≠0) ，x ∈ R .(1) 若函数 f ( x ) 的最小值为 f ( －1) ＝0 ，求 f ( x ) 的解析式，并写出单调区间；(2) 在(1) 的条件下， f ( x )> x ＋k 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，试求k 的取值范围.解(1) 由题意知解得所以 f ( x ) ＝x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ，由 f ( x ) ＝( x ＋1) 2 知，函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ － 1 ，＋∞ ) ，单调递减区间为( －∞ ，－1] .(2) 由题意知，x 2 ＋ 2 x ＋1> x ＋k 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，即k < x 2 ＋x ＋ 1 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，令g ( x ) ＝x 2 ＋x ＋ 1 ，x ∈ [ － 3 ，－1] ，由g ( x ) ＝＋知g ( x ) 在区间[ － 3 ，－1] 上是减函数，则g ( x ) min ＝g ( －1) ＝ 1 ，所以k <1 ，故k 的取值范围是( －∞ ，1) .[ 思维升华]1 . 幂函数y ＝x α 的性质和图像，由于α 的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1) α 的正负：α >0 时图像经过(0 ，0) 点和(1 ，1) 点，在第一象限的部分“ 上升” ；α <0 时图像不过(0 ，0) 点，经过(1 ，1) 点，在第一象限的部分“ 下降” ；(2) 曲线在第一象限的凹凸性：α >1 时曲线下凹，0< α <1 时曲线上凸，α <0 时曲线下凹；(3) 函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.2 . 求二次函数的解析式就是确定函数式 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) 中a ，b ，c 的值. 应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3 . 二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图像和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4 . 二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图像以及所给区间与对称轴的关系确定.[ 易错防范]1 . 幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.2 . 对于函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足 a ≠ 0 ，当题目条件中未说明 a ≠ 0 时，就要讨论 a ＝0 和 a ≠ 0 两种情况.基础巩固题组( 建议用时：40 分钟)一、选择题1 . (2019·济宁联考) 下列命题正确的是( )A . y ＝x 0 的图像是一条直线B . 幂函数的图像都经过点(0 ，0) ，(1 ，1)C . 若幂函数y ＝x α 是奇函数，则y ＝x α 是增函数D . 幂函数的图像不可能出现在第四象限解析 A 中，点(0 ，1) 不在直线上， A 错； B 中，y ＝x α ，当α <0 时，图像不过原点， B 错； C 中，当α <0 时，y ＝x α 在( －∞ ，0) ，(0 ，＋∞ ) 上为减函数， C 错. 幂函数图像一定过第一象限，一定不过第四象限， D 正确.答案 D2 . 若函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ax ＋ b 的图像与x 轴的交点为(1 ，0) 和(3 ，0) ，则函数 f ( x )( )A . 在( －∞ ，2] 上递减，在[2 ，＋∞ ) 上递增B . 在( －∞ ，3) 上递增C . 在[1 ，3] 上递增D . 单调性不能确定解析由已知可得该函数图像的对称轴为x ＝ 2 ，又二次项系数为1>0 ，所以 f ( x ) 在( －∞ ，2] 上是递减的，在[2 ，＋∞ ) 上是递增的.答案 A3 . (2019·安阳模拟) 已知函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋4 x ＋ a ，x ∈ [0 ，1] ，若 f ( x ) 有最小值－ 2 ，则 f ( x ) 的最大值为( )A . 1B . 0C . － 1D . 2解析 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 4 x ＋ a ＝－( x －2) 2 ＋ a ＋ 4 ，∴ 函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 4 x ＋ a 在[0 ，1] 上单调递增，∴ 当x ＝0 时， f ( x ) 取得最小值，当x ＝ 1 时， f ( x ) 取得最大值，∴ f (0) ＝ a ＝－ 2 ， f (1) ＝ 3 ＋ a ＝ 3 － 2 ＝ 1.答案 A4 . (2018·岳阳一中质检) 已知函数y ＝ax 2 ＋bx － 1 在( －∞ ，0] 是单调函数，则y ＝ 2 ax ＋ b 的图像不可能是( )解析① 当 a ＝0 ， b ≠ 0 时，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是A ；② 当 a >0 时，－≥ 0 ⇒ b ≤ 0 ，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是 C ；③ 当 a <0 时，－≥ 0 ⇒ b ≥ 0 ，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是 D.答案 B5 . (2019·巢湖月考) 已知p ：| m ＋1|<1 ，q ：幂函数y ＝( m 2 －m －1) x m 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，则p 是q 的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件解析p ：由| m ＋1|<1 得－2< m <0 ，∵ 幂函数y ＝( m 2 －m －1) x m 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，∴ m 2 －m － 1 ＝ 1 ，且m <0 ，解得m ＝－ 1.∴ p 是q 的必要不充分条件.答案 B二、填空题6 . 已知函数 f ( x ) 为幂函数，且 f (4) ＝，则当 f ( a ) ＝ 4 f ( a ＋3) 时，实数 a 等于________ .解析设 f ( x ) ＝x α ，则 4 α ＝，所以α ＝－.因此 f ( x ) ＝x －，从而 a －＝4( a ＋3) －，解得 a ＝.答案7 . (2019·南昌质检) 若二次函数 f ( x ) ＝ax 2 －x ＋ b ( a ≠ 0) 的最小值为0 ，则 a ＋ 4 b 的取值范围是________ .解析依题意，知 a >0 ，且Δ ＝ 1 － 4 ab ＝0 ，∴ 4 ab ＝ 1 ，且b >0.故 a ＋ 4 b ≥ 2 ＝ 2 ，当且仅当 a ＝ 4 b ，即 a ＝ 1 ， b ＝时等号成立.所以 a ＋ 4 b 的取值范围是[2 ，＋∞ ) .答案[2 ，＋∞ )8 . 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2 ＋x ) ＝ f (2 －x ) ，且 f ( x ) 在[0 ，2] 上是增函数，若 f ( a ) ≥ f (0) ，则实数 a 的取值范围是________ .解析由题意可知函数 f ( x ) 的图像开口向下，对称轴为x ＝2( 如图) ，若 f ( a ) ≥ f (0) ，从图像观察可知0 ≤ a ≤ 4.答案[0 ，4]三、解答题9 . 已知奇函数y ＝ f ( x ) 定义域是R ，当x ≥ 0 时， f ( x ) ＝x (1 －x ) .(1) 求出函数y ＝ f ( x ) 的解析式；(2) 写出函数y ＝ f ( x ) 的单调递增区间. ( 不用证明，只需直接写出递增区间即可)解(1) 当x <0 时，－x >0 ，所以 f ( －x ) ＝－x (1 ＋x ) .又因为y ＝ f ( x ) 是奇函数，所以 f ( x ) ＝－ f ( －x ) ＝x (1 ＋x ) .综上 f ( x ) ＝(2) 函数y ＝ f ( x ) 的单调递增区间是.10 . 已知幂函数 f ( x ) ＝( m －1) 2 xm 2 － 4 m ＋ 2 在(0 ，＋∞ ) 上单调递增，函数g ( x ) ＝ 2 x －k .(1) 求m 的值；(2) 当x ∈ [1 ，2) 时，记 f ( x ) ，g ( x ) 的值域分别为集合 A ， B ，设p ：x ∈ A ，q ：x ∈ B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.解(1) 依题意得：( m －1) 2 ＝ 1 ⇒ m ＝0 或m ＝ 2 ，当m ＝ 2 时， f ( x ) ＝x － 2 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴ m ＝0.(2) 由(1) 得， f ( x ) ＝x 2 ，当x ∈ [1 ，2) 时， f ( x ) ∈ [1 ，4) ，即 A ＝[1 ，4) ，当x ∈ [1 ，2) 时，g ( x ) ∈ [2 －k ， 4 －k ) ，即 B ＝[2 －k ， 4 －k ) ，因p 是q 成立的必要条件，则 B ⊆ A ，则即得0 ≤ k ≤ 1.故实数k 的取值范围是[0 ，1] .能力提升题组( 建议用时：20 分钟)11. (2019·武汉模拟) 幂函数y ＝x α ，当α 取不同的正数时，在区间[0 ，1] 上它们的图像是一组美丽的曲线( 如图) ，设点 A (1 ，0) ，B (0 ，1) ，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y＝x b 的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么 a －＝( )A . 0B . 1 C. D . 2解析BM ＝MN ＝NA ，点 A (1 ，0) ， B (0 ，1) ，所以M ，N ，将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得 a ＝log ， b ＝log，∴ a －＝log －＝0.答案 A12 . (2017·浙江卷) 若函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ax ＋ b 在区间[0 ，1] 上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A . 与 a 有关，且与 b 有关B . 与 a 有关，但与 b 无关C . 与 a 无关，且与 b 无关D . 与 a 无关，但与 b 有关解析设x 1 ，x 2 分别是函数 f ( x ) 在[0 ，1] 上的最小值点与最大值点，则m ＝x ＋ax 1 ＋ b ，M ＝x ＋ax 2 ＋ b .∴ M －m ＝x －x ＋ a ( x 2 －x 1 ) ，显然此值与 a 有关，与 b 无关.答案 B13 . 已知函数 f ( x ) ＝mx 2 ＋(2 －m ) x ＋n ( m >0) ，当－ 1 ≤ x ≤ 1 时，| f ( x )| ≤ 1 恒成立，则 f ＝________ .解析当x ∈ [ － 1 ，1] 时，| f ( x )| ≤ 1 恒成立.∴因此n ＝－ 1 ，∴ f (0) ＝－ 1 ， f (1) ＝ 1.由 f ( x ) 的图像可知：要满足题意，则图像的对称轴为直线x ＝0 ，∴ 2 －m ＝0 ，m ＝ 2 ，∴ f ( x ) ＝ 2 x 2 － 1 ，∴ f ＝－.答案－14 . 已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋1) － f ( x ) ＝ 2 x ，且 f (0) ＝ 1.(1) 求 f ( x ) 的解析式；(2) 当x ∈ [ － 1 ，1] 时，函数y ＝ f ( x ) 的图像恒在函数y ＝ 2 x ＋m 的图像的上方，求实数m 的取值范围.解(1) 设 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋1( a ≠ 0) ，则 f ( x ＋1) － f ( x ) ＝ 2 x ，得 2 ax ＋ a ＋ b ＝ 2 x .所以， 2 a ＝ 2 且 a ＋ b ＝0 ，解得 a ＝ 1 ， b ＝－ 1 ，又 f (0) ＝ 1 ，所以 c ＝ 1.因此 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ＝x 2 －x ＋ 1.(2) 因为当x ∈ [ － 1 ，1] 时，y ＝ f ( x ) 的图像恒在y ＝ 2 x ＋m 的图像上方，所以在[ － 1 ，1] 上，x 2 －x ＋1>2 x ＋m 恒成立；即x 2 － 3 x ＋1> m 在区间[ － 1 ，1] 上恒成立.所以令g ( x ) ＝x 2 － 3 x ＋ 1 ＝－，因为g ( x ) 在[ － 1 ，1] 上的最小值为g (1) ＝－ 1 ，所以m < － 1. 故实数m 的取值范围为( －∞ ，－1) .。

福建省2020年高考数学 第20题优美解

福建省2020年高考数学 第20题优美解

2020年高考数学（福建）第20题（理）试题优美解试题（福建、 理20）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的 切线与曲线只有一个公共点P 。

解析：（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()01xf x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞（Ⅱ）设00(,())P x f x ； 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ 令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()x x g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '= （1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性，0a ≥不符合条件（lby lfx ）（2）当0a <时，令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==-①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞ 存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符。

辽宁省2020年高考数学第20题优美解

辽宁省2020年高考数学第20题优美解

2020年高考数学（辽宁）第20题（理）试题优美解试题（辽宁、理科20）2 2如图，椭圆C0：X^ + ^2=i a>b>0,a,b为常数，动圆C*x2+y2二tj a b 为C。

的左、右顶点，C i与C。

相交于代B,C,D四点（1）求直线AA i与直线A2B交点M的轨迹方程；2 2 2（2）设动圆C2：X +y =t2与C。

相交于A',B',C',D'四点b<t2<a , t i t2.若矩形ABCD与矩形ABCD2 2t i +t2为定值解法设A g，B ,b<t i<a .点AA 分别'的面积相等,直线A i A的方程为直线A2B的方程为由①②得X i，-%，又知A -a,0 ,A2y= —X+aX i+aa,0，则由点A X i,y i在椭圆-y iy= X-aX i-a2-y iX I -aC。

上，故可得2 2笃-每=i X<-a,y<0 a b （2 ）证明：设A' 4 X i||y i =4 X JM ,2bX2i-筈=b2X22 a2 2x -a2笃+马胡，从而有y i2=b2i-乌，代入③得a b a，由矩形2 2X2,y22 2X i y i =X2 y221-X_2a ABCD与矩形ABCD '的面积相等，得因为点代A'均在椭圆上，所2 2 2 2 2 2 2 2 2 2由t i t2，知X i X2，所以X i +X2 =a。

从而y i f =b，因而t i +t? =a +b为定值试题或解法赏析.本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.。

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跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x)＝x2＋2x－5 的图像上的一点 A(－1，－6)及邻近
一点 B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则ΔΔxy＝__Δ_x__.
解析 ΔΔyx＝f－1＋ΔΔxx－f－1
－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6
＝
Δx
＝Δx.
(2)求函数y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝
3 达标检测
PART THREE
1.已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增 量之比是函数 A.在x0处的变化率
√B.在区间[x0，x1]上的平均变化率
C.在x1处的变化率 D.以上结论都不对 解析 ΔΔyx＝fxx11－ －fx0x0，由平均变化率的定义可知，故选 B.
2.作用：刻画函数在 一点处 变化的快慢.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1， Δy＝f(x2)－f(x1)，则 1.Δx可正，可负，可为零.( × ) 2.函数 y＝f(x)的平均变化率为ΔΔxy＝fxx22－ －fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.( √ ) 3.函数 y＝f(x)的平均变化率为ΔΔxy＝fxx11－ －fx2x2＝fx2－－ΔxΔ－x fx2.( √ ) 4.当 Δx 趋于 0 时，ΔΔxy就趋于函数在 x1 处的瞬时变化率.( √ )
2 题型探究
PART TWO
题型一 函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝x2在x分别从1到1＋Δx,2到2＋Δx,3到3＋Δx的平均变化率，
当Δx都为
1 3
时，哪一点附近的平均变化率最大？
反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1.
为f(x2)，它的平均变化率为 x2－x1 . 其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作 Δx ，函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作 Δy .这样，函数的平均变化率就可以 表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1. 2.作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
1 2
时平均变化率的值.
解 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3－x30
＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴函数y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为
ΔΔyx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2. 当 x0＝1，Δx＝12时， 平均变化率的值为 3×12＋3×1×21＋212＝149.
题型二 求函数的瞬时变化率
例2 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s＝v0t
－
1 2
gt2，求物体在t0时刻处的瞬时速度.
解 因为 Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20
＝(v0－gt0)Δt－21g(Δt)2，
知识点二 瞬时变化率
1.定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中，若设 Δx
＝
x
1
－
x
0
，
Δ
y
＝
f
(
x
1
)
－
f
(
x
0
)
，
则
函
数
的
平
均
变
化
率
是
Δy Δx
＝
fx1－fx0 x1－x0
＝
fx0＋ΔΔxx－fx0.而当Δx趋于0 时，平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率.源自的瞬时速度为零，则相应的时刻为
A.t＝1
√B.t＝2
C.t＝3
D.t＝4
解析 设此物体在t0时刻的瞬时速度为0，
ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝－8t0＋16－4Δt， 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于－8t0＋16，
令－8t0＋16＝0，解得t0＝2.
12345
28π 4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____3____. 解析 ∵Δy＝43π×23－43π×13＝238π， ∴球的体积平均膨胀率为ΔΔxy＝238π.
所以ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt.
当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 v0－gt0，
故物体在t0时刻处的瞬时速度为v0－gt0.
反思感悟 1.求瞬时速度的步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). (2)求平均速度 v＝ΔΔst. (3)当 Δt 趋于 0 时，平均速度ΔΔst趋于瞬时速度. 2.求当 Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔyx的值
当x0＝2，Δx＝
1 2
时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为
k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；
当x0＝3，Δx＝
1 2
时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为
k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k1<k2<k3.
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点 处变化的快慢. 2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.
(1)在表达式中，可把Δx作为一个数来参加运算. (2)求出ΔΔyx的表达式后，Δx 无限趋近于 0，就是令 Δx＝0，求出结果即可.
跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间 单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数s(t)在t＝2处的瞬时变化率. ∵质点M在t＝2附近的平均变化率 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt， 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 4a， ∴4a＝8，得a＝2.
12345
2.一物体的运动方程是s(t)＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是
A.0.4
√B.2
C.0.3
D.0.2
s2.1－s2 3＋2×2.1－3＋2×2
解析
＝
2.1－2
0.1
＝2.
12345
3.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s(t)＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻
第三章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念. 2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 函数的平均变化率
1.定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变 fx2－fx1
12345
5.设函数f(x)＝3x2＋2在x0＝1,2,3附近Δx取 12时的平均变化率分别为k1，k2，k3， 比较k1，k2，k3的大小.
解 函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.
当x0＝1，Δx＝
1 2
时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为
k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；
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