以高等几何思想指导中学数学教学_唐蜜

则 N → M,C → C ' , D → D ' , 从而有 :
二、利用仿射变换解决初等几何问题 作为联结射影几何和欧氏几何的纽带的仿射几何 , 在初 等几何中有着广泛的应用 , 是应用高等几何知识解决初等几 何问题的一条重要通道。在初等几何中有大量的命题是研究 图形的仿射性质 , 即并不涉及到距离、 角度、 面积的具体度量。 而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线或平行线段 之比、两封闭图形面积之比以及中点等概念。对于这类命题 , 可以运用仿射的有关性质 , 借助于仿射变换与仿射坐标系 , 由特殊到一般 , 化繁为简地加以解决 , 从而达到事半功倍的 效果。 例 2， 命题 : “正方形 ABCD 的一组邻边上有 E , F 两点 , 且 EF // AC 。则 AED 和 CFD 面积相等”。
sin( − β − π / 2) 即 : sin α 这里 α 为 DE 到 DX 的有向角 , β 为 XD 到 DF 的有向角 , 得 tan β = tan α 即 sin( − β ) = sin(α − π来自/ 2) = −1α =β
便 , 直观得多。 通过上面两个例子，我们可以看出利用仿射变换中的不 变量解题给我们带来的思想动力和工具快捷。应用仿射变换 中的仿射不变性质与仿射不变量解题的步骤可概括如下 : ① 判断求解的问题是否能利用仿射不变性质 , 仿射不变量求 解 , 一般涉及到点共直线 , 直线共点 , 线段比 , 面积比等一 类问题皆可应用仿射变换解题。②选择合适的仿射变换 , 找 出所给图形的合适的仿射图形。③在仿射图形中求证 , 写出 具体的仿射变换及解题过程。 三、利用射影变换解决初等几何问题
由已知 : BA=AC, 得 ，所以 MA = AN MC − MA = AC 且 BN AN = BA 又因为： 所以 MA = AN 上述论证中 , 应用了射影几何的交比方法 , 非常简便地 解决了问题 , 而且计算交比的方法同样也适用于二阶曲线 , 这样就自然地将蝴蝶定理推广到椭圆、双曲线、抛物线上。 例 5，如图 , ABC 为任意三角形 ,AD 为 BC 边上的高 ,D 为垂足 , 过 B 任做一直线交 AC 于 E、AD 于 X,CX 交 AB 于 F, 证明 AD 为 ∠EDF 的平分线。 证 明 : 如 图 5,FC,DE 分 别 截 线 BA，BK，BE , BC 于 F , K , X , C 和 R, K , E , D (R 为 AB,DE 的 交 点 ) 于 是 有 ( FK , XC ) = ( RK , ED ) (1) 又 DE,FC 分别截线束 AB, AK , AC , AD于R, K , E , D和F , K , C , X 有 ( RK , ED ) = ( FK , CX ) (2)
S 椭圆 S圆 S 椭圆 S圆 = = S ΔA ' OB ' 所以有： S ΔAOB 即： 0.5ab 0.5a 2 故有： S 椭圆 = πab ，这种求解方法较利用曲线积分求解简
(FK , XC ) = (FK , CX ) =
(FK , CX )
1
即有： (FK , XC )2 = 1 因为交比不等 1，所以 ( FK , XC ) = −1 有 ( DFDE , DXDC ) = ( FX , XC ) = −1
证明 : 连 SB ,SC,QB,QC, 则 S(BP,RS)=Q(B P,RC), 再由 直线 BC 截这两组等交比的直线 , 则有 (BM,AC) =(BA,NC) 。 BA ⋅ MC BN ⋅ AC = 由此可知 :
BC ⋅ MA BC ⋅ AN
解：我们将此命题作一仿射对应 , 若经仿射对应后的记 号不变 , 使正方形 ABCD 对应平行四边形 ABCD , E 对应 E, F 对应 F 。在正方形 ABCD 中 , 显然有 ΔAED ， ΔCFD , 由 于两个多边形面积之比为仿射不变量 , 所以在平行四边形 ABCD 中 , ΔAED 和 ΔCFD 面积相等。于是可得另一命题“平 行四边形 ABCD 的一组邻边上有 E , F 两点 , 且 EF // AC , 则 ΔAED 和 ΔCFD 面积相等”( 见图 2) 。
教 育 战 线 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 以高等几何思想指导中学数学教学
重庆文理学院数学与统计学院 唐 蜜 周 浩
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摘 要：本文在我国中学几何教育质量部高度重视的这一大前提下，针对中学生 几何学习现状、几何的认识中心“图形”，进行教学目的与导向性的认识。主要从 高等几何认识图形的思想和方法入手，利用图形的仿射变换、射影变换等性质对几 何图形进行新的认识。最终达到拓展中学教师、学生的知识面，促使中学数学教育 多样化发展，让学生接受更多的对其以后发展有利的必备知识，从而达到教育的真 正目的。 关键词：高等几何 思想方法 教学 引言 高等几何主要研究的是射影几何、仿射几何的一般理论 和方法。初等几何研究的是图形的不变性和不变量，其基本 不变量有距离、角度；不变性有结合性、平行性、正交性。 在现今的中学图形认识问题中呈现出：认识图形思想的呆滞， 导致方法单一，解题步骤的繁杂。如何使中学生更好的认识 图形，关键还在于认识思想、方法的改善。本文立志于从高 等几何认识图形的思想和方法入手，利用图形的仿射变换、 射影变换等性质对几何图形进行新的认识。 一、利用平行投射解决初等几何问题 在高等几何中 , 把平行光线照射到物体上 , 得到的影子 叫平行投影。几何图形经过平行投影保留不变的性质称为图 形的仿射性质。图形的仿射性质有 : 平行投影保持点和直线 的结合关系 , 保持直线的平行关系 ; 保持两平行线段的长度 比 ; 保持凸曲线所围成图形的面积之比为常数等。通过平行 投影证明图形性质的方法 , 在初等几何中是适用的 , 适当运 在了解了考点和考查角度的基础上，笔者根据自己的教 学实践总结出了“三看三想”法，即“看汉语，想单词 / 词组； 看整句，想结构；看时态，想一致”的方法帮助学生掌握翻 译技巧，并利用自己名字的谐音“珊看珊想”帮助学生记忆， 取得了切实的效果。通过三个例子讲解，具体方法如下： 例 一：Though a skilled worker, _____( 他 被 公 司 解 雇 了 ) last week because of the economic crisis. (06.6.91) 步骤一：看汉语，想单词 / 词组 参 考 词 汇： 解 雇：fire, dismiss, discharge, lay off；公司：company, firm 步骤二：看整句，想结构 结 构 思 考：Though a skilled worker： 让 步 状 语； because of + n.：原因状语；因此句子基本结构翻译为：he is fired by the company 步骤三：看时态，想一致 时态分析：last week：典型的过去时间状语，因此 he is fired by the company 要改为 he was fired by the company. 例二：It is said that those who are stressed or working overtime are ___________________( 更有可能增 加体重 ). (09.6.89) 步骤一：看汉语，想单词 / 词组 参 考 词 汇： 可 能：possible, probable, perhaps, maybe, likely；增加体重：put on weight, gain weight 用这种方法 , 可以在解决问题时带来事半功倍的效果。 平行射影属仿射变换之一 , 因平行射影保持平行线段的 比不变 , 故如果一命题结论涉及平行线段的比 , 则可选取一 投射方向和一像直线 , 将图形中的不共线的点和线段投射成 共线的点和线段 , 使命题证明简化。 例 1 : 设直线 MN 过 ABC 重心 G , 分别交 AB , AC 于 M ,N ， BM CN + =1 求证 :
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射影几何在初等几何中也有着重要的应用 , 除了应用射 影几何、仿射几何、欧氏几何三者的关系研究欧氏几何、仿 射几何图形等问题。交比是最基本的射影不变量。利用交比 可证明初等几何的共点、共线、以及线段比例关系的命题。 例 4，在右图中 , 过弦 BC 的中点 A 的任何两弦 PQ、RS , 设 PQ、RS 分别交 BC 于 M ,N 。求证 : AM=AN。
MA NA
证明：如图 1，取 平行投射 ,
AB 为像直线 , MN 为投射方向 , 作
步骤二：看整句，想结构 结构思考：likely 表示可能适用于人做主语，be more likely to do + put on weight 步骤三：看时态，想一致 时态分析：整句使用一般现在时，无典型时间状语，所 以答案为：are more likely to put on weight. 例 三：We look forward to__________________( 被 邀 请出席开幕式 ). (10.6.89) 步骤一：看汉语，想单词 / 词组 参考词汇：邀请：invite；出席：attend, be present at；开幕式：opening ceremony 步骤二：看整句，想结构 结 构 思 考： 被 动 结 构 的 体 现 look forward to doing + be done; be done + invite to attend the opening ceremony 步骤三：看时态，想一致 时态分析：整句使用一般现在时，无典型时间状语， 所 以 答 案 为：being invited to attend the opening ceremony 综上所述，在大学英语四级考试中，翻译是比较容易得 分的一项。作为考生，要在掌握语法基础知识和积累考试大 纲要求的句型和词组的基础上运用一定的技巧进行答题。 “三 看三想”法是笔者在对本校大专学生进行翻译训练时总结出 的实战技巧，已经取得了阶段性的成果，希望对广大考生有 所帮助。