第三章poisson过程与更新过程.
第三章泊松(Poisson)过程.
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
第三章Poisson_过程
{(t) 0，t 0}的非齐次Poisson过程，如果
(1) N(0)=0； (2)过程是独立增量过程；
(3)P(N(t+h)-N(t)=1) (t)h o(h)，
P(N(t+h)-N(t) 2) o(h).
注意, 非齐次Poisson过程不具备平稳增量性. 非齐次Poisson过程可以描述机器的故障次数，昆虫的 产卵数.
再由数学归纳法得
例 3.3
Pn(t)=(nt!)n e-t.
事件A的发生形成了强度为的Poisson过程
{N(t), t 0}.如果每次事件发生时被记录下
来的概率为p，并用M(t)是一个强度为p的
Piosson过程.
解答：
因为每次事件发生时，对它记录还是没记录与其 他事件的记录与否独立，而且事件发生形成了 Poisson过程，所以M(t)也具有平稳独立增量
定义 3.2
计数过程{N(t)，t 0}称为参数为( 0)的Poisson过程，
如果
(1) N(0)=0；
(2)该过程是独立增量过程；
(3)对任意的s,t 0,
P（N(t+s)-N(s)=n）
e
（t t）n
n！
,
n
0,1,
2,....
注释
(1).由定义3.2（3）知 Poisson过程具有平稳增量性.
2. Poisson过程在保险理论的应用
Poisson过程{N(t),t 0}可表示某公路交叉口、煤 矿、工厂等在(0,t]时间内发生事故的次数.同时 保险公司会接到索赔请求，假设一次事故只导致 一次索赔，那么保险公司所接受的索赔数目可用 Poisson过程表示.
应用随机过程第三章Poisson_过程
(u)du的Poisson分布，即
ｎ ［m(t+s)-m(t)] Ｐ(N(t+s)-N(t)=ｎ)＝ exp{[ m(t+s)-m(t)]} ｎ！
例 3.7
见黑板
3.3.2 复合Poisson过程
设{Yi，i 1,2， ...}是一列独立且同分布的随机变量， {N(t),t 0}是Poisson过程，且N(t),t 0}与{Yi， i 1,2， ...}独立.记 X(t)= Yi ,
这定理说明，由于Poisson过程具有平稳独立增量 性，从而在已知[0,t]内事件A发生一次的条件下， 事件发生时刻T1在[0,t]上是“等可能性的”，即T1 的条件分布是[0,t]上的均匀分布.
问题：自然地，我们会问
这个性质是否可推广到 N(t)=n, n 1的情形？
定理 3.4
设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则时间相继发 生时刻T1，T2，...,Tn在已知N(t)=n下的条件 概率密度为 n! f(t1,t2 ,..., tn )= n , t 0 t1 t2 ... tn .
i 1 N(t)
我们就称{X(t)，t 0}为复合Poisson过程.
注：复合Poisson过程未必是计数过程；但当Y i = c(常数)，i= 1, 2，...，可化为Poisson过程.
例：考虑一保险公司：它接到索赔次数服从Poisson 过程{N(t)}，每次的索赔额Yi是独立同分布的，且与 其发生时刻无关，那么该公司在[0,t]内的总索赔额 X(t)= Yi
注意 定理3.2的逆命题亦为真，且该逆命题也给出了 Poisson过程的另一个定价定义（即定义3.3），希 望同学们务必记住.
第三章 泊松过程
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即
012第三章 Poission过程(Poission信号流)3
第三章 Poission 过程（Poission 信号流）九、更新过程（1） 概念及基本性质定义：设}1,{≥k X k 是独立同分布，取值非负的随机变量，分布函数为)(x F ，且1)0(<F 。
令∑====nk k n X S X S S 1110,,0，对0≥∀t ，记：}:sup{)(t S n t N n ≤=则称}0),({≥t t N 为更新过程。
更新过程是一计数过程，并有：}{})({t S n t N n ≤=≥}{}{}{})({11t S t S S t S n t N n n n n ≤-≤=<≤==++记：)(s F n 为n S 的分布函数，由∑==nk k n X S 1，易知：)()(1x F x F =)2()()()(01≥-=⎰-n x F d u x F x F xn n证明：由全概率公式有：)()()(}{)(}{)(}{}{}{)(01010111x F d u x F x F d u x S P x F d u x S P ud u f u X u x S P x X S P x S P x F x n xn n X n n n n n n n⎰⎰⎰⎰-=-≤=-≤==-≤=≤+=≤=--∞-∞∞---即)(x F n 是)(x F 的n 重卷积，记作：F F F n n *=-1。
另外，记：)}({)(t N E t m =称)(t m 为更新函数。
关于更新函数，有以下重要的定理。
定理：对于0≥∀t ，有：∑∞==1)()(n n t F t m证明：根据以上的关系式，计算得：∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞==∞=∞=≤=≥=≥=========11111110}{})({})({})({})({})({})({)(n n n k k kn n n k n n t S P n t N P k t N P n t N P n t N P n t N P n n t N P n t m即有：∑∞==1)()(n n t F t m推论：若对0≥∀t ，1)(<t F ，则有：1))(1)(()(--≤t F t F t m下面是重要的更新方程。
第三章poisson过程与更新过程(4-16更新)
练习：
用定理3.2.3 解例数{N(t),t0}是参数为 λ的泊松过程，第i 次受冲击的损失为Di. 设{Di, i1} 独立同分布, 且与{N(t),t0}独立, 且损失随时间按负 指数衰减, 即t=0时损失为D, 在t时损失为 Det , , 0 设损失是可加的,那么到系统在[0,t]内受到冲击的损 失之和为
P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ), P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t )
其中 o(t ) 为 t 的高阶无穷小。λ又称 为Poission过程 的强度系数，表示单位时间内事件发生的次数。
4
定理3.1.1
定理3.2.3 设{N(t), t≥0}为参数(或强度)λ的泊松过 程，若已知在[0,t)内有n个事件相继发生，则n个发生 时刻 T1 T2 ... Tn的联合分布和n个[0,t)上独立同均 匀分布的随机变量的顺序统计量 U1 U2 ... Un 的 联合分布相同.
n m t (n m)! m ( t ) e n p (1 p) (n m)! n 0 n !m!
e
t
t
m!
m
m
p
m
n 0
(1 p)t
n!
n
e
t
t
m!
p
m
e
(1 p ) t
e
pt
pt
1) {M(t),t0}是一计数过程,且M(0)=0 ;
2) 每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的 记录独立，故{M(t),t0}具有独立增量性； 只需验证 3) s, t 0, M (s t ) M ( s) ~ P( p t )
第三章poisson过程与更新过程
定理3.2.3 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统 计检验的理论基础与方法，只需产生n个同指数分布的 随机数, 将其作为Ti, i=1,… 即可得到Poisson过程的一 条样本轨道.
17
要检验{N(t),t0}是否为Poisson过程,可转化为检验 相邻两次跳跃间隔时间{Tn= tn –tn-1, n1}是否为指数分 布总体的i.i.d 样本.
2 2 N
2
泊松过程的自相关函数 2 RN t1 , t2 E N t N t min t , t t1t2 2 1 2 1 泊松过程的自协方差函数
CN t1 , t2 min t1, t2
例 3.1.1 （Poisson过程在排队论中的应用）设某火车 站售票从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以 10人/小时的速率到达，求以下（1）9:00-10:00间最多 有5名乘客来此购票的概率（2）10:00-11:00没有人来 买票的概率（3）若已知8:00-11:00有10个人来买票， 则9:00-10:00间有5名乘客买票的概率。 例 3.1.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）设 保险公司接到的索赔请求为以Poisson过程{N(t)},又假 设每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求为4次， 则一年中保险公司要支付的金额平均是多少？
(4) 普通性 : 在非常短的时间区段Δt 内的理赔次数 几乎不可能超过 1 次 , 且发生 1 次理赔的概率近似与 Δt成正比.(稀有事件)
3
定义3.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) ( 0) 的Poission过程(或Poission 流)，如果 1）N(0)=0 ; 2）具有独立增量性; 3）满足增量平稳性; 4）对于任意t>0和充分小的 t 0，有
第三章 泊松(Poisson)过程
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
2020年7月13日星期一
(2) 协方差函数:
CN (s,t) mins,t, s,t 0.
注：
(1) 条件(1)表明计数从0时刻开始. (2) 条件(2)通常需要根据实际过程验证.
(3) 条件(3)同时表明过程具有平稳增量.
2020年7月13日星期一
3. 齐次泊松过程的数字特征
由于 N(s, t) N(t) N(s) ~ ((t s))，
(1) E[N(t) N(s)] Var[N(t) N(s)] (t s).
et .
故 FT2 T1 (t s) P{T2 t T1 s} 1 P{T2 t T1 s} 1 et .
表明T2服从均值为1/的指数分布，且与T1独立.
2020年7月13日星期一
重复上面的推导，可得下面的结论：
结论: 设{N(t), t0}是强度为的泊松过程，则
T1, T2 , ,Ti , 相互独立且服从相同的指数分布
电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随 时间推移随机发生在时间轴上的不同时刻.
2020年7月13日星期一
用N (t), t 0表示在时间间隔 (0, t]内发生的某种
事件的数目，则{N(t), t 0}称为计数过程. 一个计数过程一定满足： (1) N(t)取非负整数值； (2) 如果s<t,则N(s)≤N(t); (3) N(t)在[0, ∞)上右连续且逐段取常数; (4) 对于0 s t , N (s, t) N (t) N (s) 等于在
第三章 Poisson过程
由Posisson过程定义，N (t + s) − N ( s) 分布不依赖于s，Poisson过 Posisson过程定义 过程定义， 分布不依赖于s Poisson过 程是平稳过程。 程是平稳过程。 E[ N (t )] = λt , λ 为单位时间内发生事件的平均次数，称为 为单位时间内发生事件的平均次数， Poisson过程的强度或速率 Poisson过程的强度或速率。 过程的强度或速率。
金融随机方法
3
何林： 何林：helinmail@
Poisson过程 Poisson过程
Poisson过程 Poisson过程
Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的。 Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的。 过程是以法国数学家泊松的名字命名的 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予一个随机的事件数， 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予一个随机的事件数， 使得在一个时间区间内的事件数，和另一个互斥（不重叠） 使得在一个时间区间内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间 区间的事件数，这两个随机变量是独立的。 区间的事件数，这两个随机变量是独立的。 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。 泊松过程是Lévy过程 过程（ process）中最有名的过程之一。 泊松过程是Lévy过程（Lévy process）中最有名的过程之一。时 间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子 过程的例子。 间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
(4 ×12) n −4×12 P{N (12) − N (0) = n} = e , n! E[ N (12) − N (0)] = 4 × 12 = 48.
华中刘次华的3-1泊松过程的定义
定义2可推出定义3 由 则
t s e t s , P N t N s k k!
k
k 0,1, 2,
P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0； P{N(h)≥2}=o(h).
h
证： PN (h) 1 P N (h) N (0) 1 ( h) e 1!
(1)
Po(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0, N(t+h)－ N(t)=0｝ = P{N(t)=0} P{ N(t+h) － N(t)=0}
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt 条件1N 0 0 P0 0 1, t 解得 p0 ( t ) e ,解放军电子技术学院 t 0.
t
( 2)
卢
当n=1, 则 d [e t P1 ( t )] t t t e P0 t e e dt P 0 0 1
d [e Pn (t )] et pn 1 (t ) dt
t
解得
p1 ( t ) te
卢
定义3可推出定义2
若{N( t ), t≥0} 满足： (1 )N(0)=0; (2) 是平稳独立增量过程； (3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0； (4) P{N(h)≥2}=o(h). 则齐次泊松过程{N( t ),t≥0}在时间间隔(t0, t0+t) 内事件出现n 次的概率为:
k
(3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0； (4) P{N(h)≥2}=o(h).
第三章poisson过程与更新过程解读
k!
此即 N(s t) N(s) ~ P(t)
利用定理3.1.1 ,可得到Poission过程的等价定义:即
定义3.1.2 计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) λ 的Poission过程，如果 1）N(0)=0 ， 2）具有独立增量性，
{P M s t M s m | N s t N (s) n m
n0
P N s t N s n m}
n0
Cm nm
pm (1
p)n
(t)nm et
(n m)!
(n m)! pm (1 p)n (t)nm et
泊松过程的自相关函数
RN t1,t2 E N t1 N t2 min t1,t2 2t1t2
泊松过程的自协方差函数
CN t1,t2 min t1,t2
例 3.1.1 （Poisson过程在排队论中的应用）设某火车 站售票从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以 10人/小时的速率到达，求以下（1）9:00-10:00间最多 有5名乘客来此购票的概率（2）10:00-11:00没有人来 买票的概率（3）若已知8:00-11:00有10个人来买票， 则9:00-10:00间有5名乘客买票的概率。 例 3.1.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）设 保险公司接到的索赔请求为以Poisson过程{N(t)},又假 设每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求为4次， 则一年中保险公司要支付的金额平均是多少？
的分布函数是 F (x)
n 1
1 e x k 0
应用随机过程(第三章)解析
是一个强度为λp的Poisson过程。
PM t m
PM t m Nt n m PNt n m
n0
Cmmn pm 1 p
e n t mn t
m n !
n0
et
pt m 1 p t n
m!n!
n0
et
pt m
m!
1 p t n
E
E
N t
t
i 1
Ti
N
N t 是强度为3的Poisson过程
PN
4
N
0
n
12n n!
e
12
PN
4
N
0
9
129 9!
e12
例3.2.2
• 假定某天文台观测到的流星流是一个 Poisson过程，以往资料统计，平均每小时 观察到3颗流星，试求上午8：00 ～12：00 期间，该天文台没有观测到流星的概率？
N t 是强度为3的Poisson过程
PNt h Nt 2 oh
定理3.1.1 满足上述条件(1) ′ ～(4) ′的计数过程
Nt,t 0 是Poisson过程。
反过来Poisson过程一定满足这四个条件。
例3.1.3
事件A的发生形成强度为λ的poisson过
程Nt,t 0 ，如果每次事件发生时以概率
p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t
n
Tn X i
i 1
Xi独立且服从相 同的指数分布
指数分布分n=1的Γ分布，且具有可 加性。定理得证。
证明2 Nt n Tn t
PTn t PNt n
et
t j
j!
jn
第三章 泊松过程要点
其中 N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 表示独立到达泊松系统的 k1 k2 个质点中恰好到达系统A有 k1 个，则有
P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ] C kk1k p k1 (1 p ) k2
1 2
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
二、泊松过程的几个例子
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
二、泊松过程的数字特征 1、均值函数
mN (t ) E[ N (t )] t
表示单位时间内平均发生的事件数。
E[ N (t )] E[ N (t )] 表示[0,t)时段内平均发生的事件数， t
第一节、泊松过程的基本概念
从定义可得知， N (t ), t 0 为一时齐泊松过程，N(t)表示[0,t] 时段内事件发生的次数。 （1）条件（1） 表明在初始时刻无事件发生，即 P[ N (0) 0] 1 （2）条件（2）表明任意多个不相重叠的时间间隔内发生的 事件数相互独立 （3）条件（3）表明[s, s t ] 时间内发生的时间数的分布只与 时间间隔t有关，与时间起点无关 （4）条件（4）表明在足够小的时间 t 内事件发生一次的 概率与时间 t 成正比，而在足够小的时间内事件发生次数 不少于2的概率是关于t 的高阶无穷小。即在足够短的时间 内，事件发生两次以上为小概率事件。
第一节、泊松过程的基本概念
三、泊松过程的叠加与分解
1、泊松过程的叠加
定理：设 N1 (t ), t 0 与N2 (t ), t 0 为相互独立且强度分别 为 1 , 2 的泊松过程，对于任意给定的 t T ,
第三章 泊松(Poisson)过程
DN (t ) Var[ N (t )] t
E[
N (t ) ]. t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(2)
协方差函数:
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[ N (4) N (2)] m(4) m(2)
( t )dt
2
4
(200 400t )dt 1400dt
2 3
3
4
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
由于 N ( s, t ) N ( t ) N ( s) ~ ( (t s )) ， (1) E[ N (t ) N ( s )] Var[ N (t ) N ( s )] (t s ).
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: 方差函数:
P Yn 2 0.4，P Yn 3 0.4， P Yn 4 0.1.
设X (t)表示 [0, t )时间内移民到该地的人口数， 求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
X ( t ) Yn 是复合泊松过程, 解： 由Yn的分布律可得
第三章 泊松过程与更新过程
第三章 泊松过程与更新过程泊松过程（Poisson process ）最早是由法国人Poisson 于1937年引入的.它是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程，在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用。
3.1 泊松过程的定义和数字特征在第二章中，我们已经定义了泊松过程，在实际应用中，考虑一个来到某“服务点”要求服务的“顾客流”，顾客到服务点的到达过程可以认为是Poisson 过程.当抽象的“服务点”和“顾客流”有不同的含义时，就可形成不同的Poisson 过程，下面我们先看几个实例.例 3.1 考虑某一电话交换台在某时间段接到的呼唤，令()N t 表示电话交换台在(0,]t 收到呼唤的次数，则{(),0}N t t ≥是一个Poisson 过程.例3.2 考虑机器在(,]t t h +内发生故障这一事件，若机器发生故障，立即进行修理，在(,]t t h +内发生故障而停工的机器数构成一个随机过程，可以用Poisson 过程来描述.定义3.1 称记数过程{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，如果满足条件：（1）(0)0N =；（2）()N t 是平稳增量与独立增量过程；（3） {()1}(),P N h h h λο==+ 0h >；（4）{()2}(),0.P N h h h ο≥=>上述定义中条件（3）表明在充分小的时间间隔h 内到达一个“顾客”的概率与时间间隔h 的长度成正比，条件（4）表明在很小的时间间隔h 内不可能到达两个或两个以上的“顾客”.在实际应用中，很多随机现象都近似地满足这两个条件，因此，可用Poisson 过程来描述.定理3.1 定义2.15和定义3.1是等价的.证明 一方面，定义3.1 ⇒定义2.15.在定义3.1的条件下，记(){()}n P t P N t n ==，令0h >，则0(){()0}{()0,()()0}P t h P N t h P N t N t h N t +=+===+-={()0}{()()0}P N t P N t h N t ==⋅+-=（独立增量性）{()0}{()0}P N t P N h ==⋅= （平稳增量性）0()[1()]P t h h λο=-+（由定义中（3）（4）） 因此，000()()()()P t h P t h P t h hολ+-=-+，令0,h →取极限得，00()()P t P t λ'=-，再由初始条件0(0){(0)0}1P P N ===，解得：0()t P t eλ-=.类似地，对1n ≥ (){()}n P t h P N t h n +=+={(),()()0}P N t n N t h N t ==+-=+{()1,()()1}P N t n N t h N t =-+-=+2{(),()()}nj P N t n j N t h N t j ==-+-=∑=011()()()()()n n P t P h P t P h h ο-⋅++1()(1)()()n n P t h hP t h λλο-=-++由此 1()()()()()n n n n P t h P t h P t P t h hολλ-+-=-++， 令0,h →取极限得微分方程1()()()n n n P t P t P t λλ-'=-+因此 1[()()]()t t n n n e P t P t e P t λλλλ-'+=也就是1[()]()t t n n d e P t e P t dtλλλ-= 当1n =时，由0()t P t e λ-=得到1[()]t d e P t dt λλ=， 再由1(0)0P =，可解得 1()t Pt te λλ-= 最后，由数学归纳法，并注意到(0)0n P =，得到()()!t nn e t P t n λλ-=. 另一方面，定义2.15 ⇒定义3.1.定义2.15的条件（3）可知()N t 是平稳增量过程，只需验证定义3.1中（3）和（4）.由定义2.15的条件（3），对于充分小的0h >，有{()()1}{()(0)1}{()1}P N t h N t P N h N P N h +-==-=== =0()1!!nh n h h e h n λλλλ∞-=-=∑ [1()]()h h h h h λλολο=-+=+又有 {()()2}{()(0)2}{()2}P N t h N t P N h N P N h +-≥=-≥=≥ =2()()!n h n h eh n λλο∞-==∑ 因此，定义3.1中（3）和（4）成立.下面的定理给出了Poisson 过程几个常见的数字特征定理3.2 设随机过程{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，则有（1）期望函数和方差函数：()()N N m t D t t λ==；（2）协方差函数：(,)min(,)N C s t s t λ=；（3）相关函数：2(,)min(,)N R s t st s t λλ=+.证明 设{(),0}N t t ≥是Poisson 过程，对于任意的,[0,)s t ∈∞，不妨设s t <，[()()][()()]()E N t N s D N t N s t s λ-=-=-,由于(0)0N =，故()[()][()(0)]N m t E N t E N t N t λ==-=()[()][()(0)]N D t D N t D N t N t λ==-=(,)[()()]{()[()()()]}N R s t E N s N t E N s N t N s N s ==-+2[()(0)][()()][()]E N s N N t N s E N s =--+2[()(0)][()()][()]{[()]}E N s N E N t N s D N s E N s =--++22()()s t s s s st s λλλλλλ=-++=+因此 (,)(,)()()N N N N C s t R s t m s m t s λ=-=.当s t >时，类似可以证明(,)N C s t t λ=故 (,)min(,)N C s t s t λ=，2(,)min(,)N R s t st s t λλ=+.3.2 与泊松过程相关的分布如果我们用Poisson 过程描述服务系统接受服务的顾客数，则顾客到来接受服务的时间间隔、顾客排队等待时间等相关的分布都需要进行研究，这节我们将对Poisson过程与时间特征相关的分布进行讨论.3.2.1 到达时间间隔和等待时间的分布设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令1T 表示第一个顾客到达的时刻，n T （1n >）表示第1n -个顾客与第n 个顾客到达的时间间隔（如图3-1所示），称{,1,2,}n T n =为到达时间间隔序列. 它们都是随机变量，有关时间间隔序列的分布，我们有下面的定理.定理 3.3 强度为λ的Poisson 过程到达时间间隔序列{,1,2,}n T n =是相互独立的随机变量序列，并且是具有相同均值1λ的指数分布.证明 首先注意到事件{}1T t >发生当且仅当Poisson 过程在[0,]t 内没有顾客到达，即 {}{}1()0t P T t P N t e λ->===因此 {}1(0)1,(0)0,t t e P T t t λ-≥⎧-≤=⎨<⎩ 即1T 服从均值为1的指数分布.对于2T ，求已知1T 的条件下2T 的条件分布，由于{}{21|(,]P T t T s P s s t >==+内无顾客到达}1|T s =（独立增量性）={(,]P s s t +内无顾客到达}（增量平稳性）= {()0}t P N t e λ-==因此，2T 与1T 独立，且2T 也服从均值为1λ的指数分布.用相同的方法，我们可以得到n T 服从均值为1λ的指数分布，且121,,,n T T T -相互独立，定理得到证明.下面我们不加证明给出定理3.3的逆定理. 定理3.4 设{(),0}N t t ≥表示时间间隔(0,]t 中到达的顾客数，{,1,2,}n T n =为顾客达到的时间间隔序列，且为独立服从均值为1指数分布的随机序列，则{(),0}N t t ≥为强度为λ的Poisson 过程.定理3.3和定理 3.4给出了Poisson 过程与指数分布之间的关系.直观上，由于Poisson 过程具有独立增量性，因此，各个顾客的到达是独立的，而Poisson 过程又具有平稳增量性，故此时间间隔与上一段时间间隔的分布应该相同，即有“无记忆性’.具有无记忆性的连续分布只有指数分布.图3-1 n W 与n T 的关系图另一个值得探讨的问题是等待时间n W 的分布.直观上，n W 可以理解为第n 个顾客出现的时刻，故有1,(1)n n ii W T n ==≥∑，由定理3.3知，n W 是n 个相互独立的指数分布随机变量的和，用特征函数的方法，我们可以得到定理3.5 等待时间n W (1)n ≥服从参数为,n λ的Γ分布.证明 首先注意到第n 个顾客在时刻t 或之前来到当且仅当到时间t 已到来的顾客数目至少是n ，即{}{}()n W t N t n ≤=≥,因此 {}{}()()!j t n j n t P W t P N t n ej λλ∞-=≤=≥=∑， 记n W 的概率密度为()f t ，上式两边对t 求导1()()()!!j j t t j n j nt t f t ej e j j λλλλλλ-∞∞--===-+∑∑ =1()()!(1)!j j t t j n j nt t ee j j λλλλλλ-∞∞--==-+-∑∑1()(0)(1)!n t t e t n λλλ--=>- 因此 1,0()()0,0nn t t e t f t n t λλ--⎧>⎪=Γ⎨⎪≤⎩(3.1)即等待时间n W (1)n ≥服从参数为,n λ的Γ分布，也称爱尔朗（Erlang ）分布.例3.3 一理发师在0t =时开门营业，设顾客按强度为λ的Poisson 过程到达，若每个顾客理发完需要α分钟，α为正常数.求第二个顾客到达后不需要等待就马上理发的概率及到达后等待时间S 的平均值.解 设第一个顾客的到达时间为1W ，第二个顾客的到达时间为2W ，令221T W W =-，则第二个顾客不需要等待等价于2T α>.由定理3.3知2{}P T e λαα->=n W 1-n W 3W 2W 1W 0等待时间 222,()0,()T T S T ααα-<⎧=⎨≥⎩ 因此，平均等待时间为01()(1)x ES x e dx e αλλααλαλ-=-=--⎰ 3.2.2 剩余寿命和年龄下面我们从另一角度来刻画Poisson 过程的若干重要特性.设{(),0}N t t ≥表示[0,]t 中到达的“顾客数”，n W 表示第n 个顾客出现的时刻，()N t W 表示在t 时刻前最后一个“顾客”到达的时刻，()1N t W +表示t 时刻后首个“顾客”到达的时刻.注意到这里()N t W 和()1N t W +的下标(),()1N t N t +都是随机变量.令()1()N t U t W t +=- （3.2）()()N t V t t W =- （3.3）则()U t 与()V t 如图3-2所示图3-2为了直观地解释()U t 与()V t 的具体意义，我们给出几个实际模型：设一零件在0t =时开始工作，若它失效，立即更换（假定更换所需时间为零），一个新零件重新开始工作，如此重复.记n W 为第n 次更换时刻，则1n n n T W W -=-表示第n 个零件的工作寿命，于是()U t 表示观察者在时刻t 所观察的正在工作零件的剩余寿命；()V t 表示正在工作的零件的工作时间，称为年龄。
第三章 泊松过程与更新过程
Tn 的特征函数：
Tn 的数字特征：
n T ( ) ( i ) n
n
理学院 施三支
E [T n ] n 2 D [ T ] n n
第3章 泊松过程与更新过程 [例]已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 N(t) 是具有参数 的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，求仪 器在时刻 t0 正常工作的概率． [解] 仪器发生第k振动的时刻Tk 就是故障时刻T， 则 Tk的概率分布为 分布: k 1 ( t ) e t , t 0
P{ N (t h ) N (t ) 1} h o ( h ) P{ N (t h ) N (t ) 2} o ( h )
理学院 施三支
第3章 泊松过程与更新过程
泊松过程的几个例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令N(t)表示电话 交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{N(t), t 0} 是一个 泊松过程． 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t)为时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{X(t), t 0} 是一个泊松过 程． 考虑机器在(t, t+h]内发生故障这一事件。若机器发生故障，立 即修理后继续工作，则在(t, t+h]内机器发生故障而停止工作的 事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描述．
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= ，则n充分大p充分 大小时有 k e P( X k ) 理学院 施三支k !
第3章 泊松过程与更新过程
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而取 各个值的概率为
第三章 泊松(Poisson)过程
从而非齐次泊松过程不再具有平稳增量性.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
例1 某路公交车从早晨5时到晚上9时有车,乘客 流量如下:5时平均乘客为200人/小时;5时至8时 乘客平均到达率线性增加,8时到达率为1400人/ 小时;8时至18时保持平均到达率不变;18时到21 时到达率线性下降,到21时为200人/小时,假定 乘客数在不重叠的区间内是相互独立的,求 (1)7时至9时来站乘车人数的数学期望； (2)12时至14时有2000人乘车的概率. 解 设t=0为早晨5时,t=16为晚上9时,则均值函数 0 t 3 200 400t , ( t ) 1400, 3 t 13 1400 400( t 13),13 t 16
2、齐次泊松过程的概念
考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (2)意外事故或意外差错的发生; (3)要求服务的顾客到达服务站. 电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随 时间推移随机发生在时间轴上的不同时刻.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
用N (t ), t 0表示在时间间隔 (0, t ]内发生的某种
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
2600
(2) 12时至14时有2000人来站乘车的概率为
2000 (2800) 2800 P{ N (9) N (7) 2000} e 2000!
第4讲第三章泊松过程
k 1
n
et EDk E[eWk N (t) n]（Dk 与N(t), Wk相互独立） k 1
n
et ED1 E[eWk N (t) n]
k 1
n
E(D1)et E[ eWk N (t) n]
k 1 n
E(D1)et E[
eUk ]
(根据定理3.4 )
k 1
E(D1)et E[ n eUk ] nE(D1)et E(eU1 ) k 1
注： 复合poisson过程 X(t)是包含泊松过程的一 个复合模型，通常不是泊松过程。
N (t)
定理3.6 设 X (t) 是Y复n ,t合 0泊松过程 n1
其中{N( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,Yn,n=1, 2, …相互独立且同分布，则
1） {X( t ),t≥0 }是独立平稳、增量过程
P{N(s)=k | N(t)=n}, 0<k<n,0<s<t
证明：
P{N(s)=k | N(t)=n}
PN (s) k, N (t) n
P{N (t) n}
PN (s) k, N (t) N (s) n k
P{N (t) n}
PN (s) k PN (t) N (s) n k
当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理 了.
若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变， 设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念：
定义：如果计数过程满足下列条件 1）N(0)=0； 2）{N( t ),t≥0 }是一个独立增量过程；
3) P{N(t t) N(t) 1} (t)t o(t);
N (t)
iu Yk E e k 1
第三章Poission过程（Poission信号流）1
第三章Poission过程（Poission信号流）1第三章 Poission 过程（Poission 信号流）一、基本概念（1）独立增量过程定义：设}),({T t t X ∈是一随机过程，如果对于任意的N n t t t n ∈?<<<,21Λ，n i T t i ≤≤∈1,，有随机过程)(t X 的增量：)()(,),()(),()(12312----n n t X t X t X t X t X t X Λ相互独立，则称随机过程}),({T t t X ∈是独立增量过程。
注意：若独立增量过程的参数集-∞>=a b a T ),,[，一般假定0)(=a X ，则独立增量过程是一马氏过程。
特别地，当0)0(=X 时，独立增量过程}0),({≥t t X 是一马氏过程。
形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P ΛΛΛΛΛ因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j Λ时，增量)()(a X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)(=a X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。
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11
3.2 泊松过程的性质
3.2.1 到达时间间隔与到达时刻的分布 设 {N(t),t0} 为泊松过程， N(t) 表示在 [0,t] 内事 件发生的次数，令 0 0 ， k 表示第 k 个事件发生的 时刻; Tk k k 1表示第k-1个事件与第k个事件发生 的时间间隔，即
{P M s t M s m | N s t N (s) n m P N s t N s n m }
n 0
n m t ( t ) e m m n Cn m p (1 p) (n m)! n 0
(4) 普通性 : 在非常短的时间区段Δt 内的理赔次数 几乎不可能超过 1 次 , 且发生 1 次理赔的概率近似与 Δt成正比.(稀有事件)
3
定义3.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) ( 0) 的Poission过程(或Poission 流)，如果 1）N(0)=0 ; 2）具有独立增量性; 3）满足增量平稳性; 4）对于任意t>0和充分小的 t 0，有
1) {M(t),t0}是一计数过程,且M(0)=0 ;
2) 每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的 记录独立，故{M(t),t0}具有独立增量性； 只需验证 3) s, t 0, M (s t ) M (s) ~ P( p t )
9
由全概率公式，P M s t M s m
第三章 泊松过程与更新过程
教师 徐凤 xdiao_3@
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第二章 Poission过程及更新过程
3.0 计数过程 定义 称一个随机过程 {N (t ), t 0} 是一个计数过程 (point process),若N(t) 满足: 1) N(t)取非负整数值； 2）若s<t,则 N(t)-N(s)等于区间(s,t] 中 “事件”发生的次数.
若{N(t),t0}为Poission过程，则
注：泊松过程的数字特征与特征函数
泊松过程的均值函数
泊松过程的方差函数 泊松过程的均方值函数
mN t E N t t
DN t D N t t
N t E N t DN t m t t t
P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ), P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t )
其中 o(t ) 为 t 的高阶无穷小。λ又称 为Poission过程 的强度系数
4
定理3.1.1
( t ) k t P( N ( s t ) N ( s ) k ) e , k N k! 此即 N (s t ) N (s) ~ P(t )
8
例 3.1.3 设N(t)表示[0,t]时段内事件A的发生次数,且 {N(t),t0} 形成强度为λ的Poisson过程. 如果每次事件 A发生时以概率p能够被记录下来, 并以M(t)表示到t时 刻记录下来的事件总数, 试证明{M(t),t0} 形成强度为 λp 的Poisson过程. 解：对照Poisson过程的定义3.1.2
利用定理3.1.1 ,可得到Poission过程的等价定义:即
定义3.1.2 计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) λ 的Poission过程，如果 1）N(0)=0 ， 2）具有独立增量性， 3）s, t 0, N (s t ) N (s) ~ P(t )
5
s, t 0,
m!
m
#
10
例 3.1.4 若每条蚕的产卵数服从Poisson分布，强度为λ， 而每个卵变成为成虫的概率为p，且每条卵是否变为 成虫彼此之间没有关系，求在时间[0,t]内每条蚕养活 k只小蚕的概率。 例 3.1.5 观察资料表明，天空中星体数服从Poisson分 布，其参数为λV,这里V是被观察区域的体积。若每个 星球上有生命体存在的概率为p,则在体积为V的宇宙 空间中有生命体存在的星球数的分布是怎样的？
n m t (n m)! m ( t ) e n p (1 p) (n m)! n 0 n !m!
e
t
t
m!
m
m
p
m
n 0
(1 p)t
n!
n
e
t
t
m!
Hale Waihona Puke pme(1 p ) t
e
pt
pt
2 2 N
2
泊松过程的自相关函数 2 RN t1 , t2 E N t N t min t , t t1t2 2 1 2 1 泊松过程的自协方差函数
CN t1 , t2 min t1, t2
例 3.1.1 （Poisson过程在排队论中的应用）设某火车 站售票从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以 10人/小时的速率到达，求以下（1）9:00-10:00间最多 有5名乘客来此购票的概率（2）10:00-11:00没有人来 买票的概率（3）若已知8:00-11:00有10个人来买票， 则9:00-10:00间有5名乘客买票的概率。 例 3.1.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）设 保险公司接到的索赔请求为以Poisson过程{N(t)},又假 设每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求为4次， 则一年中保险公司要支付的金额平均是多少？
2
3.1 Poission过程的定义
背景:考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某 类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类 过程有如下特点: (1)零初值性：N（0）=0； (2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数 彼此独立； (3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的 概率规律是一样的;