第三章poisson过程与更新过程.

n m t (n m)! m ( t ) e n p (1 p) (n m)! n 0 n !m!

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第三章 泊松过程与更新过程
教师 徐凤 xdiao_3@swufe.edu.cn
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第二章 Poission过程及更新过程
3.0 计数过程 定义 称一个随机过程 {N (t ), t 0} 是一个计数过程 (point process),若N(t) 满足: 1) N(t)取非负整数值； 2）若s<t,则 N(t)-N(s)等于区间(s,t] 中 “事件”发生的次数.
1) {M(t),t0}是一计数过程,且M(0)=0 ;
2) 每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的 记录独立，故{M(t),t0}具有独立增量性； 只需验证 3) s, t 0, M (s t ) M (s) ~ P( p t )
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由全概率公式，P M s t M s m
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3.2 泊松过程的性质
3.2.1 到达时间间隔与到达时刻的分布 设 {N(t),t0} 为泊松过程， N(t) 表示在 [0,t] 内事 件发生的次数，令 0 0 ， k 表示第 k 个事件发生的 时刻; Tk k k 1表示第k-1个事件与第k个事件发生 的时间间隔，即
利用定理3.1.1 ,可得到Poission过程的等价定义:即
定义3.1.2 计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) λ 的Poission过程，如果 1）N(0)=0 ， 2）具有独立增量性， 3）s, t 0, N (s t ) N (s) ~ P(t )
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s, t 0,
P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ), P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t )
其中 o(t ) 为 t 的高阶无穷小。λ又称 为Poission过程 的强度系数
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定理3.1.1
( t ) k t P( N ( s t ) N ( s ) k ) e , k N k! 此即 N (s t ) N (s) ~ P(t )
(4) 普通性 : 在非常短的时间区段Δt 内的理赔次数 几乎不可能超过 1 次 , 且发生 1 次理赔的概率近似与 Δt成正比.(稀有事件)
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定义3.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) ( 0) 的Poission过程(或Poission 流)，如果 1）N(0)=0 ; 2）具有独立增量性; 3）满足增量平稳性; 4）对于任意t>0和充分小的 t 0，有
{P M s t M s m | N s t N (s) n m P N s t N s n m }
n 0

n m t ( t ) e m m n Cn m p (1 p) (n m)! n 0
2 2 N
2
泊松过程的自相关函数 2 RN t1 , t2 E N t N t min t , t t1t2 2 1 2 1 泊松过程的自协方差函数
CN t1 , t2 min t1, t2
例 3.1.1 （Poisson过程在排队论中的应用）设某火车 站售票从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以 10人/小时的速率到达，求以下（1）9:00-10:00间最多 有5名乘客来此购票的概率（2）10:00-11:00没有人来 买票的概率（3）若已知8:00-11:00有10个人来买票， 则9:00-10:00间有5名乘客买票的概率。 例 3.1.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）设 保险公司接到的索赔请求为以Poisson过程{N(t)},又假 设每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求为4次， 则一年中保险公司要支付的金额平均是多少？
若{N(t),t0}为Poission过程，则
注：泊松过程的数字特征与特征函数
泊松过程的均值函数
泊松过程的方差函数 泊松过程的均方值函数
mN t E N t t
DN t D N t t
N t E N t DN t m t t t
2
3.1 Poission过程的定义
背景:考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某 类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类 过程有如下特点: (1)零初值性：N（0）=0； (2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数 彼此独立； (3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的 概率规律是一样的;
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例 3.1.4 若每条蚕的产卵数服从Poisson分布，强度为λ， 而每个卵变成为成虫的概率为p，且每条卵是否变为 成虫彼此之间没有关系，求在时间[0,t]内每条蚕养活 k只小蚕的概率。 例 3.1.5 观察资料表明，天空中星体数服从Poisson分 布，其参数为λV,这里V是被观察区域的体积。若每个 星球上有生命体存在的概率为p,则在体积为V的宇宙 空间中有生命体存在的星球数的分布是怎样的？
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例 3.1.3 设N(t)表示[0,t]时段内事件A的发生次数,且 {N(t),t0} 形成强度为λ的Poisson过程. 如果每次事件 A发生时以概率p能够被记录下来, 并以M(t)表示到t时 刻记录下来的事件总数, 试证明{M(t),t0} 形成强度为 λp 的Poisson过程. 解：对照Poisson过程的定义3.1.2