第八届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题(最终3月22日)

(满分150分)

一．选择题（本大题共

6小题，每小题6分，共36分，每题有且只有一个答案）

1

．在测量某物理量的过程中，因为仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到

12

,,...,

n

a a a共n个

数据，我们规定所测得的物理量的“最佳近似值”a是这样一个数据：与其他近似值比较，a与

各个数据差的平方和最小。若三次测量得到的数据依次为1.2、1.25、1.21，依据此规定，那么

本次测量的“最佳近似值”为（）

A．1.21B．1.25 C．1.22 D．1.23

2．万花筒是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图所示是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三

角形均是全等的等边三角形，其中的菱形ABCD可以看成是把菱形AEFG以A为中心（） A．顺时针旋转60°得到

B．逆时针旋转120°得到

C．顺时针旋转180°得到

D．逆时针旋转240°得到

3．在

1

3

，

5

π

，0.2012，

1

13

)

n为自然数这5个数中，有理数的个数为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

4．定义符号

x

y表示与自变量x所对应的函数值。例如对于函数224

y x x

=-+，当2

x=时，对应的函数值4

y=，则可以写为：

2

4

y=。在二次函数2(0)

y ax bx c a

=++>中，若

11

t t

y y

+-+

=对任意实数t都成立，那么下列结论错误的是（）

A．

02

y y

= B.

11

y y

-

> C.

43

y y

< D.

21

y y

>

5．如右图，在ABC中，过AB边上的一点M作//

MN BC交AC

于点N，使得AMN的面积与梯形MNCB的面积之比为4:5，

连结BN，MC交于点G，己知BGC的面积为1则ABC的

面积等于（）

A．3 B.4 C.5 D.

11

2

学

校

准

考

证

号

姓

名

…

…

…

…

…

.

.

…

…

…

…

.

密

…

…

…

…

…

…

.

.

…

…

…

…

…

.

封

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

.

.

线

…

…

…

…

…

…

…

…

.

6. 很多整数都可以表示为几个互异的平方数之和，例如2222222

301234125=+++=++，现将2019表示为()k k 为正整数个互异的平方数之和，则k 的最小值是（ ）

A ．2 B.3 C.4 D.5

二．填空题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则6a =

_________

2．在一个面积为1的正方形草地中先把各边n 等分，然后如图所示将各个n 等分连结起来，发现在正中央所形成的四边形面积恰好为

1

3362

，则n 的值为_________

3．仲元中学高一，高二，高三每个年级都有20个班，现策划进行一场全校篮球比赛，由每个班级派出一支球队再加上教师代表队1个队共61支队伍进行比赛。如果实行淘汰制（即全部队伍抽签进行比赛，胜方进入下一轮比赛，败方则被淘汰出局，如果抽签队数为奇数则有一队轮空，自动进入下一轮，经过若干轮比赛后决出冠军队）则共有N 场比赛。如果实行单循环赛（任意的两队都会打一场，最后统计胜利场数，最高胜利场数则为冠军，如果分数相同则名次并列，不再追加比赛场数）则共有M 场比赛。问

______N

M

=

4．如图，直角三角形AOB 中，O 为坐标原点，

090AOB ∠=，030B ∠=。若点A 在反比例函数

1

(0)y x x

=

>图象上运动，那么点B 必在函数_____________的图象上运动。（填写该函数表达式）

5．设,a b 是实数，且有

2111121a b b a -=

++-+，则11b

a

++的值等于________ 6． 方程2

0x ax b ++=的两根为12,x x ，若存在实数,a b 使得3322121212x x x x x x +=+=+则我们

就称这样的两个根()12,x x 为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有________组。 （参考公式：()()2

3

3

3a b a b a b ab ⎡⎤+=++-⎣⎦

）

二、 解答题（本大题共3小题，共60分）

1．自变量为x 的二次函数2

(62)97(0)y ax a x a a =+-+->。

（1）若1a =，43x -≤≤，求函数值y 的最大值与最小值；并分别指出所对应的自变量x 的值； （2）当a 变化时，该二次函数图象是否经过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由； （3）若该二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，而且两交点的横坐标均小于1-，求a 的取值范围。

2．如图，分别以边长2为的等边三角形ABC 的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点D E F 、、，连接CF 交C

于点G ，以点E 为圆心，EG 长为半径画弧，交边AB 于点M ，

交边BC 于点N ，连接MN ，求MN 的长。