基本不等式的应用 PPT
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基本不等式的几种应用技巧PPT课件
基本不等式的几种应用技巧
蒙城六中 陈涛
.
基本不等式的几种应用技巧
最值问题始终是高考数学的热点题 型之一，而利用基本不等式求函数的 最值是应用比较广泛且方便的解题方 法。本节课我们将对基本不等式应用 过程中的注意事项及常用的变形技巧 做简单的梳理。
.
基本不等式的几种应用技巧
基本不等式
ab ab(a0,b0) 2
.
小结
利用基本不等式求最值
（１）注意事项：一正，二定，三相等； （２）形式上不符合条件的，应先变形，再用基本不等
式，常用变形方法有： 添项，凑系数，拆项， “１”的代换等方法. （３）取不到等号时，用函数单调性求最值.
即 一 不 正 ,a 0 ,b 0 常 用 a b 2a b
二不定,需变形 三 不 等 当 １３ x261时，等号成
即ymin６２３
三相等
.
基本不等式的几种应用技巧
题型三：凑系数
例3.已知 0x4，求 yx82x的最大值。
方法提示
对于求积的表达式的最值计算，若 要用基本不等式解决，就要努力构造 含变量的表达式的和为定值的结构，
我们常通过凑相应的变量系数来解决。
方法分析 对于常见的分子为二次式，分 母为一次式的分式函数求最值，我 们常将分子中的变量凑成分母的形 式，然后分离分式，再用基本不等 式解决。
.
基本不等式的几种应用技巧
解： x 1 ， x 1 0 ，
y
x2
3x1
x12５ x１ ５
x1
x1
x1 5 52 x1• 5 ５
x1
x1
2 55
当且仅 x当 12 5,即x 51时等号
.
基本不等式的几种应用技巧
蒙城六中 陈涛
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基本不等式的几种应用技巧
最值问题始终是高考数学的热点题 型之一，而利用基本不等式求函数的 最值是应用比较广泛且方便的解题方 法。本节课我们将对基本不等式应用 过程中的注意事项及常用的变形技巧 做简单的梳理。
.
基本不等式的几种应用技巧
基本不等式
ab ab(a0,b0) 2
.
小结
利用基本不等式求最值
（１）注意事项：一正，二定，三相等； （２）形式上不符合条件的，应先变形，再用基本不等
式，常用变形方法有： 添项，凑系数，拆项， “１”的代换等方法. （３）取不到等号时，用函数单调性求最值.
即 一 不 正 ,a 0 ,b 0 常 用 a b 2a b
二不定,需变形 三 不 等 当 １３ x261时，等号成
即ymin６２３
三相等
.
基本不等式的几种应用技巧
题型三：凑系数
例3.已知 0x4，求 yx82x的最大值。
方法提示
对于求积的表达式的最值计算，若 要用基本不等式解决，就要努力构造 含变量的表达式的和为定值的结构，
我们常通过凑相应的变量系数来解决。
方法分析 对于常见的分子为二次式，分 母为一次式的分式函数求最值，我 们常将分子中的变量凑成分母的形 式，然后分离分式，再用基本不等 式解决。
.
基本不等式的几种应用技巧
解： x 1 ， x 1 0 ，
y
x2
3x1
x12５ x１ ５
x1
x1
x1 5 52 x1• 5 ５
x1
x1
2 55
当且仅 x当 12 5,即x 51时等号
.
基本不等式的几种应用技巧
2.4 基本不等式及其应用.ppt
若 a、b∈R＋，且 ab＝P，P 为定值，则 a b 2 P ，
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
最新基本不等式实际应用题(1)教学讲义PPT
5000 + 16× 2
x·3025 = 6760 x
只 有 x = 3025 即 x = 55取 " = "
x
4 8 4 0 = 8 8 ,a = 5 5 < 1
x
88
例2：某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管
理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2
千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量
2a
+ 6
3b
(4,6) xy20
=
13 6
+( b a
+
a b
)
13 6
+
2
=
25 6
,故选A
2
zaxby
-2 0
2
x
拓展提高
1.已 知 ab0 ,求 a2 16 的 最 小 值 。 b(ab)
a b 0, a b 0
0 b(a b) (b a b )2 a2
2
4
16 b(a
练习：设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面
的宽与高的比为a(a<1)，画面的上下各留出8cm的空白，
左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能
使宣传画所用纸张面积最小？
解：设画面的宽为xcm，面积为S
S =(x +10)( 4840 +16) x
= 5000 +16(x + 3025) x
（3）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这 个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？
面积最大值是多少？
解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则
2(x+y)=36 即 x+y=18
高中数学新人教A版必修第一册 微专题1基本不等式的应用技巧 课件(16张)
第二章 一元二次函数、方程 和不等式
微专题1 根本不等式的应用技巧
在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常 值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握 三个条件：
(1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．
类型 4 消元代换 【例 4】 (1)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝ab－1，求 a＋2b 的最小 值； (2)若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12，求3x＋y－1 3的最小值．
[解] (1)由 2a＋b＝ab－1 得 a＝1＋b－3 2>0，解得 b>2.所以 a＋2b ＝5＋b－3 2＋2b－2≥5＋2 b－3 2·2b－2＝5＋2 6，当且仅当b－3 2＝ 2b－2，即 b＝2＋ 26时等号成立．所以 a＋2b 的最小值是 5＋2 6.
2，当且仅
当 2a2＝b2＋1，即 a＝b＝1 时取“＝”，故 a b2＋1的最大值为 2.
类型 2 拆项
【例 2】 已知 x≥25，则x2－2x4－x＋4 5有(
)
A．最大值45
B．最小值54
C．最大值 1
D．最小值 1
D [法一：∵x≥52，∴x－2>0，则x2－2x4－x＋4 5＝12x－2＋x－1 2≥21 ×2 x－2·x－1 2＝1，等号在 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时取得．
(2)∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12， ∴x＝y＋3 3，∴0<y＋3 3<21，解得 y>3. 则3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6
≥2 y－3·y－1 3＋6＝8， 当且仅当 y＝4，x＝37时，等号成立． 所以3x＋y－1 3的最小值为 8.
微专题1 根本不等式的应用技巧
在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常 值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握 三个条件：
(1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．
类型 4 消元代换 【例 4】 (1)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝ab－1，求 a＋2b 的最小 值； (2)若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12，求3x＋y－1 3的最小值．
[解] (1)由 2a＋b＝ab－1 得 a＝1＋b－3 2>0，解得 b>2.所以 a＋2b ＝5＋b－3 2＋2b－2≥5＋2 b－3 2·2b－2＝5＋2 6，当且仅当b－3 2＝ 2b－2，即 b＝2＋ 26时等号成立．所以 a＋2b 的最小值是 5＋2 6.
2，当且仅
当 2a2＝b2＋1，即 a＝b＝1 时取“＝”，故 a b2＋1的最大值为 2.
类型 2 拆项
【例 2】 已知 x≥25，则x2－2x4－x＋4 5有(
)
A．最大值45
B．最小值54
C．最大值 1
D．最小值 1
D [法一：∵x≥52，∴x－2>0，则x2－2x4－x＋4 5＝12x－2＋x－1 2≥21 ×2 x－2·x－1 2＝1，等号在 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时取得．
(2)∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12， ∴x＝y＋3 3，∴0<y＋3 3<21，解得 y>3. 则3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6
≥2 y－3·y－1 3＋6＝8， 当且仅当 y＝4，x＝37时，等号成立． 所以3x＋y－1 3的最小值为 8.
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
基本不等式及其应用ppt课件
【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
最新湘教版高中数学《基本不等式的应用》教学课件
2
创设情景
思考：我们如何利用已经学习的知识来解决这个问题呢？
3 思辨探索
3
思辨探索
思辨：从以上的两个小问题的解决过程中，我们能总结归纳出什么有用的结论呢？
4 例题讲解
4
例题讲解
问题二：某单位欲建造一间底面为矩形且面积为 12 m2 的背景靠墙的小屋，房屋正面的造价为 1200 元/ m2 ，侧面的造价为 800 元/ m2 ，屋顶的造价为 5200 元，如果墙高为 3m，且不计房屋背面和底面 的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？
一元二次函数、方程和不等式
——2.1.3 基本不等式的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
课前任务
CONTENTS
2
创设情景
目
3
思辨探索
录
4
例题讲解
5
归纳总结
1 课前任务
1
课堂任务
我们已经学习了基本不等式及其变形，接下来，我们将要研究一下如何运用基本不等式来 解决一些实际问题．在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省，利润最高，成本 最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决．
2
创设情景
思考：我们如何利用已经学习的知识来解决这个问题呢？
2
创设情景
问题一：（2）把 25 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
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创设情景
讨论：和刚才的第1个小问题类似，我们如何将第2个小问题转化为我们熟悉的问题？
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创设情景
问题一：（2）转化为：设两个正数为 x, y ，则 x 0, y 0 ，且 x y 25，求 xy 的最大值．
首先，我们来复习一下基本不等式的相关知识：
基本不等式的应用 课件
【自主解答】 (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－(5－4x＋5－14x)＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立， 故当 x＝1 时，ymax＝1.
(2)∵0<x<12，∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×(2x＋12－2x)2＝14×14＝116. ∴当且仅当 2x＝1－2x(0<x<12)，即 x＝14时，ymax＝116. (3)f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x. ∵x>0，∴x＋1x≥2 x·1x＝2， ∴f(x)≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时等号成立．
y＝
225x
＋
3602 x
－
360(x>0)．
(2)∵x>0，∴225x＋36x02≥2 225×3602＝10 800. ∴y＝225x＋36x02－360≥10 440. 当且仅当 225x＝36x02时，等号成立． 即当 x＝24 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10 440 元．
应用基本不等式解决实际问题的方法 先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； 建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小 值问题；在定义域内，求出函数的最大值或最小值；正确写出 答案．
1．本例题目都不能直接使用基本不等式求最值，需要先对 其变形．
2．应用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相 等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用基本不等式， 若不具备这些条件，则应进行适当的变形．
3．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时 应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变 形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话： 一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或 定积；三不等，一般用单调性．
不等式的应用教学课件ppt
判断电路稳定性
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。
人教版基本不等式的实际应用-课件
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 4:25:46 PM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
解得x＞40或x＜－50（不合实际意义， 舍去），
这表明乙车的车速超过40km／h，超 过规定限速．
4. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理， 实行征收附加税政策．已知某种酒每瓶70 元，不加收附加税时，每年大约销售100 万瓶；若政府征收附加税，每销售100元 要征税R元（叫做税率R％），则每年的 销售量将减少10R万瓶．要使每年在此项 经营中所收取的附加税不少于112万元，R 应怎样确定？
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
3.4.2《基本不等式 -实际应用》
审校：王伟
教学目标
• 掌握建立不等式模型解决实 际问题.
• 教学重点：
• 掌握建立不等式模型解决实 际问题
例1．一般情况下，建筑民用住宅时。民 用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地 面积，而窗户的总面积与占地面积的比值 越大，住宅的采光条件越好，同时增加相 等的窗户面积和占地面积，住宅的采光条 件是变好了还是变差了？
因为b>0，m>0，所以b(b+m)>0， 又因为a<b，所以m(b－a)>0，
因此 a m a 0
bm b
即
am bm
课件6：2.2 第2课时 基本不等式的应用
＝x21y2，即 x2y2＝12时等号成立．∴(x2＋y12)(x12＋4y2)的最小值为 9.
【答案】9
方法点评 (1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一 正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等— —等号能取得”，这三个方面缺一不可． (2)对于求分式型函数的最值问题，常采用拆项使分式的分 子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分 式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．
当且仅当 ba＝4ba a＋b＝2
，即 a＝23，b＝43时等号成立．∴52＋12(ba＋4ba)
≥92，即1a＋4b≥92，∴ymin＝92，故选 C. 【答案】C
（2）设x、y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是____．
【解析】∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，
例 1.(1)若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，
则 a＝( )
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
【解析】∵x>2，∴x－2>0， 又∵f(x)＝(x－2)＋x－1 2＋2，
∴(x－2)＋x－1 2≥2 x－2·x－1 2，即(x－2)＋x－1 2≥2， ∴(x－2)＋x－1 2＋2≥4，即 f(x)≥4， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时等号成立， ∴a＝3，故选 C. 【答案】C
方法技巧 1．“和定积最大，积定和最小 Nhomakorabea即和为定值，可求其积的最大值； 反过来，若积为定值，可求其和的最小值，注意取得最值时需 满足的条件． 2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑结合函数 的图像求解． 3．利用基本不等式解应用题时，关键在于弄清问题的各种数量 关系，抽象出数学模型，然后利用基本不等式来解决．
【答案】9
方法点评 (1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一 正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等— —等号能取得”，这三个方面缺一不可． (2)对于求分式型函数的最值问题，常采用拆项使分式的分 子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分 式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．
当且仅当 ba＝4ba a＋b＝2
，即 a＝23，b＝43时等号成立．∴52＋12(ba＋4ba)
≥92，即1a＋4b≥92，∴ymin＝92，故选 C. 【答案】C
（2）设x、y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是____．
【解析】∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，
例 1.(1)若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，
则 a＝( )
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
【解析】∵x>2，∴x－2>0， 又∵f(x)＝(x－2)＋x－1 2＋2，
∴(x－2)＋x－1 2≥2 x－2·x－1 2，即(x－2)＋x－1 2≥2， ∴(x－2)＋x－1 2＋2≥4，即 f(x)≥4， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时等号成立， ∴a＝3，故选 C. 【答案】C
方法技巧 1．“和定积最大，积定和最小 Nhomakorabea即和为定值，可求其积的最大值； 反过来，若积为定值，可求其和的最小值，注意取得最值时需 满足的条件． 2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑结合函数 的图像求解． 3．利用基本不等式解应用题时，关键在于弄清问题的各种数量 关系，抽象出数学模型，然后利用基本不等式来解决．
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练习： (1)已知x 0,求f (x) 3x 12 的最值; x
(2)已知x 0,求f (x) 3x 12的最值; x
(3)已知x 2,求f (x) x 4 的最值; x2
课后练习 1.已知a 0,b 0, ab a b 3 则ab的最小值是_________
2. 已知a 0，b 0，ab a b 3， 则a b的最小值是 ________。
探究1：求y x 1（x 0)的最小值 x
问题探究
探究1：求y x 1（x 0)的最小值 x
变式1：求y x 1 (x 0)的最大值 x
问题探究
探变究式22：求y
x
x
1
2
(
x
2)最小值
变式2
(3)若x 3,函数f (x) x 1 ,当x为何值时，函数 x3
有最值，并求其最值。
总结：
（1） 从特殊到一般 （2）掌握配凑法 （3）基本不等式求最值条件
一正，二定，三等
ab a b 的应用 2
知识回顾
1. 重要不等式________________ 2. 基本不等式________________
1. 两个重要的不等式
(1)a, b R,那么a2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
(2) ab≤ a b (a>0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。 2
2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
3.不等式的简单应用：主要在于求最值
把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
问题探究
问题探究
探探究究32：求y x2 2x 1 (x 2)的最小值
x2
合作学习
(1)求y x2 1 (x 1)的最小值 x 1
(2)求y x 1 (x 2)的最小值 x2
问题探究
探究4 x>0,y>0,且 2 + 8 =1,求x+y的最小值
xy
变式4
已知x 0 y 0, x y 1.求 4 9 的最小值; xy