2020-2021长沙市长郡中学高三数学上期末一模试题含答案

7．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
由 an1 an 2 an 1 1，可得 an1 1 an 1 1 2 ，an1 1 an 1 1 ，
an +1 是以1为公差，以1为首项的等差数列.
∴ an 1 n, an n2 1，即 a20 202 1 399 .
故选 C.
由题意可得： Sn 3 3 2n , Sn 3 2n 3 ，
由等比数列前 n 项和的特点可得数列 an 是首项为 3，公比为 2 的等比数列，数列的通项
公式： an 3 2n1 ，
设 bn b1qn1 ，则： b1qn1 b1qn 3 2n1 ，解得： b1 1, q 2 ，
A． 99
B．101
C． 399
D． 401
y x
8．设变量
x,
y
、满足约束条件
x
y
2
，则目标函数 z 2x y 的最大值为（ ）
y 3x 6
A．2
B．3
C．4
D．9
9．已知
a, b
R
,
且
a
b
1 a
1 b
5 ,则
a
b
的取值范围是（
）
A．[1, 4]
B．2,
C． (2, 4)
D． (4, )
ab 6
ab 6 a b 6
ab 2
ab
即 a 1 ,b 2 时等号成立，即 1 4 的最小值为 3 ．
33
ab
2
故选：B.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基 本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．
4．D
解析：D 【解析】
【分析】
【详解】
9．A
解析：A 【解析】
分析：
a,
b
R
，由
a
b
2
2
ab ，可得
1 ab
a
wk.baidu.com
4
b2
，又 a b
1 a
1 b
5 ，可得
a
b
1
1 ab
5
a
b
1
a
4
b2
，化简整理即可得出.
详解：
a,
b
R
，由
a b 2 2
ab ，可得
1 ab
a
4
b2
，
又ab 1 1 5， ab
可得
a
b 1
2ab
2 5t 11t
110
因此， ABC 为钝角三角形，故选 C.
【点睛】
本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对
大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
首先根据数列{an}是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，{bn}是以 1 为首项，2 为公比的等 比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据
17．已知 a、b、cR ， c 为实常数，则不等式的性质“ a b a c b c ”可以用一个
函数在 R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是 f (x) =_________
18．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则 an＝________．
19．已知△ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，且 bcosC﹣ccosB 1 a2，tanB 4
比数列{bn}满足 bn bn1 an (n N*) ，其前 n 项和为 Tn ，则下列结论正确的是（ ）
A． Sn 2Tn
B．Tn 2bn 1
C．Tn an
D．Tn bn1
5．若 ABC 的三个内角满足 sin A: sin B : sin C 5:11:13 ，则 ABC （ ）
10．已知等比数列
an
的各项都是正数，且
3a1
,
1 2
a3
,
2a2
成等差数列，则
a8 a6
a9 a7
A． 6
B． 7
C． 8
D． 9
x 1
11．已知变量 x,
y
满足约束条件
x
y
3
，则 z 2x y 的最小值为（ ）
x 2 y 3 0
A．1
B．2
C．3
D．6
12．已知 x ， y 均为正实数，且 1 1 1 ，则 x y 的最小值为（ ） x2 y2 6
ab1+ab2+…+ab10=1+2+23+25+…+29+10 进行求和． 解：∵数列{an}是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， ∴an=2+（n-1）×1=n+1， ∵{bn}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
∴bn=1×2n-1， 依题意有：ab1+ab2+…+ab10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选 A．
求得最小值．
【详解】
作出可行域，如图 ABC 内部（含边界），作直线 l : 2x y 0 ，平移该直线，当直线 l
过点 A(3, 0) 时， 2x y 取得最大值 6，所以 m 6 ．
1 4 1 (a b)( 1 4) 1 (5 b 4a ) 1 (5 2 b 4a ) 3 ，当且仅当 b 4a ，
3
23．设数列an的前 n 项和 Sn 满足： Sn na n 2n(n 1) ，等比数列bn的前 n 项和为
Tn ，公比为 a1 ，且T5 T3 2b5 ．
（1）求数列 an 的通项公式;
（2）设数列
1
an
an1
的前
n
项和为
Mn
，求证：
1 5
Mn
1 4
．
24．在 ABC 中， 3a sin C c cos A ． （Ⅰ）求角 A 的大小；
a2 （2）若 a 2 ，求 ABC 面积的最大值.
22．在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, 向量 m 2a 3b, 3c ，向量
n (cos B,cosC) ，且 m / /n . （1）求角 C 的大小； （2）求 y sinA 3sin(B ) 的最大值.
A．20
二、填空题
B．24
C．28
D．32
yx
13．已知
x,
y
满足约束条件
x
y
4
，则
z
2
x
y
的最大值为__________．
y 2 0
14．(广东深圳市 2017 届高三第二次（4 月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数
学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积
【详解】
由 sin A: sin B : sinC 5:11:13 ，可得出 a : b : c 5:11:13 ，
设 a 5t t 0 ，则 b 11t ， c 13t ，则角 C 为最大角，
由余弦定理得 cos C a2 b2 c2 25t2 121t2 169t2 23 0，则角 C 为钝角，
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若数列bn满足 bn
n(n 1)an 1 n(n 1)
（ n N*
），求数列bn的前 n
项和
Sn
.
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一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】
【详解】
先作可行域，而 y 4 表示两点 P（x,y）与 A（-6,-4）连线的斜率，所以 y 4 的取值范围
x6
x6
是[kAD , kAC ] [3,1] ，选 B.
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还 是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜 率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
2．D
解析：D 【解析】
8．D
解析：D 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方 程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
y x 画出满足约束条件 x y 2 的可行域，如图，
y 3x 6
画出可行域 ABC ， A(2, 0) ， B(1,1) ， C(3,3) ，
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
6．设数列an是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，bn是以 1 为首项，2 为公比的等
比数列，则 ab1 ab2 ab10 （ ）
A．1033
B．1034
C．2057
D．2058
7．已知数列 an 的首项 a1 0, an1 an 2 an 1 1 ，则 a20 （ ）
＝3tanC，则 a＝_____．
20．设等比数列 an 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则 a4 = ___________．
三、解答题
21．在 ABC 中， a,b, c 分别是角 A, B,C 所对的边，且 2csin B 3a tan A. （1）求 b2 c2 的值；
A． 1 2
B． 2
C． 2
D． 2 2
x 2y 3 0 3．已知 x，y 满足 x 3y 3 0 ，z＝2x+y 的最大值为 m，若正数 a，b 满足 a+b＝m，则
y 1
1 4 的最小值为（ ） ab
A．3
B． 3
C．2
2
D． 5 2
4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn 3) (n N*) 在函数 y 3 2x 的图象上，等
平移直线 z 2x y ，
由图可知，直线 z 2x y 经过 C(3,3) 时
目标函数 z 2x y 有最大值，
z 2x y 的最大值为 9.
故选 D. 【点睛】 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的 一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）； （2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或 最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
设公比为 q ，由已知得 a1q2 a1q8 2 a1q4 2 ，即 q2 2 ，又因为等比数列 an 的公比为
正数，所以 q
2
，故 a1
a2 q
1 2
2 ，故选 D. 2
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
作出可行域，求出 m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式
2020-2021 长沙市长郡中学高三数学上期末一模试题含答案
一、选择题
x y 2 0
1．设 x, y 满足约束条件 2x y 3 0 ，则 y 4 的取值范围是
x y 0
x6
A．[3, 3] 7
B．[3,1]
C．[4,1]
D． (, 3][1, )
2．已知等比数列 an 的公比为正数，且 a3 a9 2a52 , a2 1 ，则 a1 ( )
术”，即△ABC 的面积 S
1 4
a2c2
a2
c2 2
b2
2
，其中
a、b、c
分别为 △ABC
内角 A、B、C 的对边.若 b 2 ，且 tanC 3sinB ，则△ABC 的面积 S 的最大值为 1 3cosB
__________．
15．已知数列 an 为正项的递增等比数列， a1 a5
82 ， a2
a4
81
，记数列
2 an
的前
n
项和为 Tn
，则使不等式 2020 |
1 3 Tn
1 an
1| 1 成立的最大正整数 n
的值是__________．
16．已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和，且 a1 3， an1 3Sn 1 ， n N* ，则 S5 ______.
（Ⅱ）若 SABC 3 ， b c 2 2 3 ，求 a 的值． 25． ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c .已知 ABC 的面积 S 1 b2 tan A
6 (1)证明: b 3ccos A ;
(2)若 c 1, a 3 ,求 S .
26．在等比数列 an 中， a1 1，且 a2 是 a1 与 a3 1的等差中项.
1 ab
5
a
b
1
a
4
b2
，
化为 a b2 5a b 4 0 ，
解得1 a b 4 ，
则 a b 的取值范围是1, 4.
故选：A. 点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题.
10．D
解析：D 【解析】
【分析】
设各项都是正数的等比数列{an}的公比为 q，（q＞0），由题意可得关于 q 的式子，解之可 得 q，而所求的式子等于 q2，计算可得．
数列 bn 的通项公式 bn 2n1 ，
由等比数列求和公式有：Tn 2n 1 ，考查所给的选项：
Sn 3Tn ,Tn 2bn 1,Tn an ,Tn bn1 .
本题选择 D 选项.
5．C
解析：C 【解析】
【分析】
由 sin A: sin B : sin C 5:11:13 ，得出 a : b : c 5:11:13 ，可得出角 C 为最大角，并利 用余弦定理计算出 cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.