二次函数解析式的几种解法

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例题8：
二次函数y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位长度， 在向下平移2个单位，得到函数y=x2+2x+3求a,b,c 的值和求二次函数的解析式。
解：∵y=x2+2x+3=(x+1)2 +2 ( a≠0)
抛物线顶点坐标是(-1,2)
把函数y=（x+1）2+2图象向上平移2个单位得y=（x+1）2+4 向左平移3个单位长度y=（x+4）2+4 即：y=ax2+bx+c=（x+4)2+4 即：a=1,b=8,c=20
解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2 ( a≠0)
∵抛物线的顶点坐标是（-3，0） ∵点（-2,25）在函数y=a(x-h)2 ∴25=a× (-2-h)2 ② ∴h=
-3
①
的图象上，
由①和②得：a=25
这个抛物线的解析式:y=25(x+3)2
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+k的图象上，
+2
②
由②得：a=-7
这个抛物线的解析式:y=-7(x+2)2 +2
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例题5： 抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（-2，2）点B（-1,-5） 求这个抛物线的解析式？ 解：根据题意知：点A（-2，2）点B（-1,-5）在函 数y=x2+bx+c的图象上 ∴2=（-2）2+（-2）×b + c ① ∴-5=（-1）2+（-1）×b + c
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求二次函数的解析式
2015.10.12
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复习
抛物线 坐标：
y ax bx c 的对称轴及顶点
2
(1)对称轴：直线
b x 2a
(2)顶点坐标：
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b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
本例中函数的图像与x轴的交点A(x1,0) ,B(x2,0)求 函数的解析式通过设为y=a(x-x1)(x-x2)；代值求出a
在求出函数的解析式。
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例题12： 1.已知抛物线y=x2-4x+c
∴
(1)过点A(1,3)求c
解：∵ (1)点A(1,3)在抛物线y=x2-4x+c上, 3=12-4×1+C 求得 c=6 ∴抛物线的解析式是y=x2-4x+6 (2)顶点在X轴上，求c 解：∵抛物线y=x2-4x+c =（x-2)2+(4-c)
a
4 2 y x 函数的解析式是： 9
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4 9
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例题2： 抛物线的顶点坐标是（0，-3）,点（2,1） 在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？
解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2 +k ( a≠0)
∵抛物线的顶点坐标是（0，-3）
Q b 2a
2 2 2 2 2 2
4ac b 2 4 (2) 1 32 4 (2) 4a

3 对称轴直线方程 x 4 3 17 顶点坐标 ( , ) 4 8
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17 8
4ac b 2 4 2 (3) (2 2)2 4 2 4a
抛物线图象与y=2x2 形状，大小相同
抛物线顶点的横坐标是3
∵抛物线的图象经过点A（4，6） ∴6=2× (4-3)2 ∴h=3 ②
∴a=2
①
+k
③
由③解得：k=4 这个抛物线的解析式:y=2(x-3)2 +4
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例题7： 二次函数的对称轴是y轴,图象经过点A（-3,2）和点
b Qx 2 2a
2 2 2a
②
a
1 2
①
4ac b2 4ac 22 Q 3 4a 4a
联立①和②解得：
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1 2 ∴抛物线的解析式 y 2 x 2 x 5
a 1 c 5
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2 +1 y= x 故所求的抛物线解析式为
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例题10：
抛物线 y=ax2+2x+c的对称轴是直线 x=2，且函数的 最大值是 -3,求 抛物线的解析式。
解：∵抛物线 y=ax2+2x+c的对称轴是直线 x=2，且函数 的最大值是 -3 ∴抛物线的顶点坐标(2,-3)
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例14.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装 一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出 的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处 达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水 管应多长?
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 3 因此可设这段抛物线对应的函数是 A y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 2 ∵这段抛物线经过点(3,0) ∴ 0=a(3－1)2＋3 解得: a=－ 3 因此抛物线的解析式为: 1 3 4 2 y= －( 4 x－1) ＋3 (0≤x≤3)
c0
所求的抛物线解析式为:
1 2 5 y x x 2 2
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练习题：已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B （1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式. 解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c a-b+c=0 a=-1 a+b+c=0 解得 b=0 c=1 c=1
∵点（2,1）在函数y=ax2 ∴1=a×22 ∴k=-3 ①
+k的图象上，
+k
②
由①和②得：a=1
这个抛物线的解析式:y=x2-3
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例题3：抛物线的顶点坐标是（-3，0）,点（-2,25） 在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？
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y
B(1，3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
O
1
2
3
x
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已知一个二次函数的图象是由y=2x2 平移得到的，且函 数的图象过点（－1，10）、（1，4）、（2，7）三点， 求这个函数的解析式.
解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c a-b+c=10 a=2, 由已知得： a+b+c=4 b=-3 解得： 4a+2b+c=7 c=5 因此：所求二次函数是： y=2x2-3x+5
24 8 8
4
2 x 2
对称轴直线方程 2 ( , 4) 顶点坐标 2
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已知一次函数的图像经过点A(0,-3) 点(2,-1)，求一次函 数的解析式 解：设所求的一次函数的解析式y=kx+b为（k≠0） ∵点A(0,-3)点B(2,-1)在所求的一次函数 y=kx+b的图象上。
点(0,0) (1,2) (2,3)在二次函数图象上
0 00c
（2）将题目中三点坐标代入已设函数解析式中
（3）求出函数中字母常数a,b,c的值 （3）把a,b,c的值代人函数解析式中
2 a bc 3 4a 2b c
解得：
a
5 b 2
1 2
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3.交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
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知识讲解
1.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）设：设函数的一般形式
主要
（2）把点的坐标代人函数关系式中 （3）求出函数中字母常数 （4）代回（1）求出函数解析式
步骤
怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力 2015年白沙中学数学组 学习是我们青年无悔的选择。
例题11： (0,-2),求二次函数的解析式。
二次函数的图象与X轴交于A(2,0) ,B(-1,0)且过点
解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0) ∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入a(0-2)(0+1)=-2 ∴y=(x-2)(x+1) 即:y=x2-x-2
解得 a=1
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例题4： 抛物线的顶点坐标是（-2，2）,点（-1,-5） 在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？
解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2 +k ( a≠0)
∵抛物线的顶点坐标是（-2，2） ∴h=
- 2 ,k=2
①
这个抛物线的解析式:y=a(x+2)2 +2
∵点（-1,-5）在函数y=a(x-h)2 ∴-5=a× (-1+2)2
∴抛物线的顶点坐标是（2,4-c)
抛物线的顶点坐标在x轴上。 ∴4-c=0
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∴c=4
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执教人生 桃李天下 例题13： 抛物线y=2x2+bx+c过点(2,3)且顶点在直线y=3x-2上求 抛物线的解析式 解：∵抛物线的顶点坐标顶点在直线y=3x-2上，
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如图：已知抛物线的顶点为x=-1; 函数的最小值是 - 4， 图象又经过点C(2，5)，求其解析式。 y
C 5 · · · · · 2 设抛物线的解析式为y=a(x+1) +4 · B ，0) · · ·o B(1 ··x 因为点C(2，5)在函数的图象上 -3 –2 –1 1 2 · 1 a 5=a(2+1)2+4 9 · 1 2 设抛物线的解析式为 y 9 ( x 1) 4 -3 · · A A
∴设抛物线的顶点坐标为（m,3m-2) ∴抛物线的解析式变形为y=2(x-m)2+(3m-2) ∵点（2,3）在抛物线y=2(x-m)2+(3m-2)图像上 ∴ 3=2(2-m)2+(3m-2)
3 ∴ m=1， m 2 3 2 5 2 y 2( x 1) 1或y 2( x ) 2 2
所以 解得：
3 0 k c 1 2 k c k 1 c 3
一、设 二、代 三、解 四、还原
所以所求的一次函数解析式为y=x-3
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二次函数解析式有哪几种表达式？
1. 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) 2.顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) 特殊形式
二次函数的解析式为y=ax2+bx+c=（x+4)2+4
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例题9：
抛物线过点 (0,0) (1,2) (2,3)三点，求函数的解析式 小结： 过三点求出抛物线解析式 解:设二次函数解析式 （1）设出二次函数一般式y=ax2+bx+c(a≠0) 为y=ax2+bx+c
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用待定系数法求二次函数的解析式
例题1：二次函数的对称轴是y轴，顶点是原点，且图象经过
点（-3,4）;求二次函数的解析式？ 解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2 ( a≠0) ∵点（-3,4）在函数y=ax2 图象上 ∴ 4=a ×（-3）2 即：9a=4
B（2,7）;求二次函数的解析式？
解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2 +k ( a≠0) ∵点A（-3,2）和点B（2,7）在函数y=ax2 +k 图象上
∴2=a× （-3）2 ∴7=a× 22
+k
②
①
+k
联立①和②解得：a=-1;k=11
这个抛物线的解析式:y= - x2 +11
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联立①和②解得：b=-4;c=-10
②
这个抛物线的解析式:y=x2 -4x -10
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春天辛勤的耕耘 例题6：
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已知抛物线图象与y=2x2 形状，大小相同。抛物线顶点 的横坐标是3；且函数的图象经过点A（4,6）求这个 抛物线的解析式？
解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2 +k ( a≠0)
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1.求下列函数的对称轴和顶点坐标 (2) y 2x2 2 2x 3 (1) y 2 x2 3x 1
a 2, b 3, c 1 解：
3 3 b Q 2 (2) 4 2a
解：a 2, b 2 2, c 3