传热学数值计算

1 1 e E P w W P (e、w位于节点中间) 2 2 对于不同的界面位置，则需要采用其它的内插因子。 d d 式 u e u w 可写成 dx e dx w 1 u e E P 1 u w W P e E P w P W x e x w 2 2
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① 获得流场的方法：可以得知于实验；也可以由一个解
析解给定；或通过流动的数值计算获得；或干脆由猜
测估计得知。
② “扩散”的广义解释：不仅限于表示由浓度梯度引起
的一种化学组分的扩散，由的梯度引起的扩散流是
x
，即方程中的
扩散项为零（Γ=0），中心差分格式导致 aP 0 于是方程 aPTP anbTnb 不适用于逐点迭代法求解 了，也不适用于采用其它的迭代解法了。
二阶导数项为扩散项。 x x
3、通用方程的改写形式
u ( )S j x j x j x j

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( u j ) u j u j x j x j x j
原通用方程可改写为
u j ( )S x j x j x j
对于已知的ρ、uj、Γ及S（常量）的分布，任何解及
+c 将同时满足方程，故系数和的法则仍然适用。
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§5.2 一维稳态对流与扩散
d d d x d x e w
u e u w
d d d u dx dx dx
对流项及扩散项中的均采用分段线性的函数表示
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若E 200, W 100 P 50
两个值均不 符合实际
若E 100, W 200 P 250
aW Dw Fw 2 1 2 3
aE De Fe 2 1 2 1 违背了正系数规则
aP aE aW 1 3 2, 而 anb 1 3 4 这样，aP anb , 违反了斯卡巴勒准则（ 主对角占优）
义，也是熟知的中心差分格式（用左右节点值表示
界面上的值以及界面上的导数值）； 方程必须遵守四项基本法则，否则会产生灾难性的 结果。
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例如：设 De Dw 1， Fe Fw 4 若E、W给定，即可由离散方程求得P 。
讨论只有对流项和扩散项存在时的一维稳态问题，控 制方程为：
u j ( ) S x j x j x j
d d d u ( ) dx dx dx
d 连续方程： u 0 dx
u const
任务：导出相应方程的离散化形式
§5.1 任 务
Hale Waihona Puke Baidu1、上章内容总结
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在通用微分方程中忽略了对流项，给出了非稳态项、 扩散项及源项的离散化方法，阐述了求解代数方程 组的方法。只要对流项的加入不改变离散化方程的 形式，方程组的求解方法仍然适用。
2、本章任务
在已知流场（V分量及ρ）的情况下，求解分布。对 流项与扩散项之间有不可分割的关系，因此需要把 这两项处理成一个单位，其它项可以作为陪衬.
Γe、Γw可以用算术平均法或调和平均法求得。
定义：
D 扩散传导性. x
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F u 对流或流动强度，可正 、可负，由流动方向定
整理后的离散化方程 其中：
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a p P aE E aWW
Fw 2 太 原 理 工 大 学 aW Dw
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§5.2-1 预备性的推导 （中心差分格式）
1、离散化方程的导出 选三点网格群见右图。控制 容积界面e、w的实际位置
W (x)w w PP (x)e e E x
不会影响最终的公式。在此
x
设定其位于节点中间，这样还是比较方便的。 在控制容积内对微分方程积分
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( u j ) u j u j x j x j x j
两式相加得
( u j ) u j u j x j x j x j u j x j
即， F 2D时，有可能使 aE 或aW 为负 产生不切实际的结果
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这就是中心差分格式求解对流换热问题时仅限于低
Fw Fe Re(低的F/D)的原因 . aP Dw De aW aE Fe Fw 2 2
Fe aE De 2
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Fw Fe aP Dw De aW aE Fe Fw 2 2
2、对方程的几点说明 由于连续性，Fe=Fw， aP aW aE（只是在流 场满足连续性条件时才具有这一性质）； 方程 aP P aE E aW W 隐含着分段线性分布的含