算术平方根

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平方根算术平方根立方根

平方根算术平方根立方根三说王峰一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质如果一个数x的平方等于a（即），那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根），记作：，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为，例如16的算术平方根是，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①；②。

2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。

联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0的平方根以及算术平方根均为0。

3. 立方根的定义与性质如果一个数x的立方等于a（即），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根），记作：。

立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

二、解题中常见的错误剖析例1. 求的平方根。

错解：的平方根是剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。

例2. 求的算术平方根。

错解：的算术平方根是3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。

，而3的算术平方根为，故的算术平方根应为。

仿此你能给出的平方根的结果吗？三、典型例题的探索与解析例3. 已知：是算数平方根，是立方根，求的平方根。

分析：由算术平方根及立方根的意义可知联立<1><2>解方程组，得：代入已知条件得：所以故M＋N的平方根是±。

例4. 已知，求的算术平方根与立方根。

平方根

即所以100的平方根是 10， 100 10 3 2 9 因为( ) = , 4 16
因为 ( 10 )2 =100,
9 2) 16
3) 0.25
所以 0.25 的平方根是 0.5， 0.25 0.5 即
1) 1.21 的平方根是 ± 1.1
2) 9 的平方根是 3
2
(2) ( x 1) 2 4
(3)
x 7
(4) x 1 3
(4) x-1=9 ∴x=10
练习: 计算各式中x的值：（）x 256 0 19
2 2
解: (1) x2=2.25
∴x=±1.5 (2) x-1=±2 ∴x=3或x=-1 (3) x=49
（2） 2 x 1 25 0 （ 4 ） 7 3 ( x 或x ) 4 4
2
(3)
a a (a 0)
求 2 ， 3），5 ， 6），7 ，0 的值，（（
2 2 2 2 2 2
对于任意数a，a ？
2
解:
2 2 2, (3) 2 3, 52 5, (6) 2 6, 7 2 7, 0 2 0
a (a 0) a | a | a (a 0)
回顾 & 思考 ☞ 1、什么是算术平方根一个正数x的平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根
a的术方记算平根为
x2 = a (x为正数)
a 读作“方根是0，记作
被开方数a≥0 算术平方根 a ≥0
x
2
1
16
36 49
4 25
符号表示
如果一个数X的平方等于a，即X2=a，那么这个数X 叫做a的平方根（二次方根）

算术平方根例题

算术平方根例题
摘要：
1.算术平方根的定义与概念
2.算术平方根的求法
3.算术平方根的例题及解析
4.算术平方根在实际生活中的应用
正文：
【1.算术平方根的定义与概念】
算术平方根，简称平方根，是指一个数的平方等于给定数的正平方根。

用数学符号表示为：√a，其中a 是待求平方根的数。

例如，9 的平方根是3，因为3（3 乘以3）等于9。

在数学中，平方根是一个重要的概念，它在解决许多实际问题中都发挥着重要作用。

【2.算术平方根的求法】
求一个数的平方根，通常需要使用计算器或数学方法。

对于较小的数，可以直接计算得出。

对于较大的数，可以使用牛顿迭代法或二分法等算法来逼近。

在实际生活中，我们通常使用计算器来求解平方根。

【3.算术平方根的例题及解析】
例题1：求25 的平方根。

解析：25 的平方根是5，因为5（5 乘以5）等于25。

例题2：求9 的平方根。

解析：9 的平方根是3，因为3（3 乘以3）等于9。

例题3：求-4 的平方根。

解析：平方根是一个非负数，因此-4 没有实数平方根。

【4.算术平方根在实际生活中的应用】
算术平方根在实际生活中的应用非常广泛。

例如，在几何学中，求解直角三角形的斜边长度时，需要用到平方根；在物理学中，求解物体的速度、加速度等，也需要用到平方根；在经济学中，计算投资收益时，也会用到平方根。

算术平方根、平方根、立方根之间区别联系

3
y21或y32
3
3
2. 2（ 7x5） 380 解: 27(3x5)3 8
3 (x5)3 8
3 27
x5 2 33
x52 33
x 1
当方程中出现平方时，若有解，一般都有两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解
解方程：
（ 1）（ x-1） 3125（4）2（ 7x2） 31250
（2）23x12 8
做二次方根）。记为“ a ”读作“正、负
根号a”
立方根的定义.
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根).
用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a
其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省略).
掌握
若x0.485,则 8x是 0.236
规律
已知 3 5.251.73,3852 .53.74,4
则 3 52的 50值是 17.38
注意算术平方根和立方根的移位规律
8是 64 的平方根
不
64的平方根是 ±8
要搞
64的值是 8
错了
64的平方根是 8
64的立方根是 4
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
(3)2
π-3
————————
已x 知 y4x2y 50 ， x，求 y的值
问题9：0的整数部分是什数么部？分小是什么？
解 9 2 8 ： , 1 2 1 1 0 ， 0 8 0 9 1 而 1 0 ， 0 0
9 9010
9的 0 整数部 9，分小是数部 90 分 9 是
(1)

《算术平方根》

谢谢大家
36
6 的算术平方根等于______
已知x 2 y 3 z 4 0
2
求2 x 3 y z的值
x 2
x 2
2
0 y 3 0
y 3
z4 0 z 4
2 x 3 y z 4 9 4 1
收获与体会
●
你学到了什么知识？
小欧还要准备一些面积如下的正方形画布，请你帮他把这些正方形的边长都算出来：面积x2=a 1 边长x 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.
4 25
4
9
16 25
36
概念引入
像1 1，那么 1就叫做1的算术平方根
2
3 9，那么3就叫做9的算术平方根
2
52 25，那么5就叫做25的算是我平方根 6 36，那么6就叫做36的算术平方根
；
小游戏
• 看谁能很快记住1到20的平方？
继续求下列各数的算术平方根：（1）625的算术平方根是 25 ；
（2）361的算术平方根是 19 ；（3）6的算术平方根是
6；
2 ；
（4）（-2）² 的算术平方根是
能力升级
1.判断题
1 1 ① 的算术平方根是± （× 4 2 2 ②5是 5 的算术平方根（ √
7 0.81的算术平方根是 8
49 ；的算术平方根是 64
；
0 .9
（ 3）
0.0081 的算术平方根是 0.09 ；
2a
a 0
算术平方根是
2a
；
二、说下列各式所表示的意义，并分别求出它们的值。
100 ：表示100的算术平方根，等于10

算术平方根怎么算

算术平方根怎么算
1、有没有
负数没有算术平方根，0的算术平方根还是0，正数有一个算术平方根。

2、怎么求
若a>0，则a 的算术平方根为a ，如a 含有可以开方的约数应开方化简，如a 是分数或小数要有理化，根号下面不能有分母。

共有四种情况，分别举例如下：
（1）a=2，算术平方根为2=a ，已经是最简；
（2）a=4，,4是完全平方数，算术平方根为22242====a ；
（3）a=12，含有可以开方的约数4，要化简，算术平方根为323412=⨯=
=a ；（4）a=1.5，分数或小数，要有理化，算术平方根为2
6235.1==
=a 。

3、关于笔算开方怎么求2的近似值？可以用笔算开方。

（1）小数点两边，每两位一组分组，2只有一位，自己分成一组，试商1，
（2）商乘以20，空一位作除数写在左边，被除数每次落两位即一组，
（3）试商，上面填什么，左边空位里就填什么，上4正好，
（4）重复第（2）步，商乘以20，空一位作除数写在左边，被除数每次落两位即一组，
（5）重复第（3）步，试商，上面填什么，左边空位里就填什么，上1正好，
（6）重复第（2）步，商乘以20，空一位作除数写在左边，被除数每次落两位即一组，
（7）重复第（3）步，试商，上面填什么，左边空位里就填什么，上4正好，
（8）重复（2），重复（3）......直到精确到需要的位数。

算术平方根

4
3
4
2
，即
21 3 42
(4)∵(±0.7)2=0.49，
∴0.49的平方根为±0.7．即 0.4907
技能训练
判断对错： 1、5是25的算术平方根 2、4是2的算术平方根 3、6是（－6）2的算术平方根 4、6是的算术平方根
算术平方根的符号表示
正数a的算术平方根用符号表示
正数a的两个平方根表示为
b2=4a2
b=
4a2 2a
b 2a 2 aa
假如是圆呢？等边三角形呢？
即变大后的正方形边长是原来边长的2倍
谢谢大家
知识回顾
1：什么叫做算术平方根？ 2：判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们的算术平方根。 100；1；36/121; 0; －0.0025; (-3)2
－25； 106
解：∵102 =100
∴100的算术平方根是10 . 即
=10
想一想 1：9的算术平方根是 -----？
p34
平方根：若一个数x的平方等于a,即 x2=a，那么这个数x叫做a的平方根
(也叫二次方根)
如果x2=a,
那么x=±√a
一个正数有一正一负两个平方根； 0的平方根是0；负数没有平方根。
求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方.
其中a 叫做被开方数
典例讲解
例1：说出下面各数的平方根和算术平方根：（1）0.09（2）169/225（3）（－27）2 （4）（－10）2 （5） 03 （6）11
平方根
序言
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求算术平方根的步骤

求算术平方根的步骤【实用版】目录1.引言2.算术平方根的定义3.求算术平方根的步骤a.确定问题b.估算c.迭代4.示例5.总结正文1.引言在数学中，算术平方根（Arithmetic Square Root，简称 ASR）是一个重要的概念。

当我们需要找到一个数的平方等于另一个数时，就需要用到算术平方根。

例如，找到一个数的平方等于 36，我们就需要求 36 的算术平方根。

本文将介绍如何求算术平方根的步骤。

2.算术平方根的定义算术平方根是一个非负数，它的平方等于给定的数。

例如，9 的算术平方根是 3，因为 3 的平方（3 × 3）等于 9。

3.求算术平方根的步骤求算术平方根的过程可以分为以下几个步骤：a.确定问题：首先，我们需要明确求解的问题，即找到一个数的平方等于给定的数。

b.估算：在求算术平方根之前，我们可以先对给定的数进行估算，以便更快地找到答案。

例如，在求 36 的算术平方根时，我们可以先估算36 的平方根大概在 6 左右。

c.迭代：根据估算的结果，我们可以从离答案较近的数字开始，通过迭代的方式逐渐逼近算术平方根。

迭代的方法有很多，如牛顿迭代法、二分法等。

这里以牛顿迭代法为例：假设我们已知一个近似值 x0，那么我们可以通过以下公式不断逼近算术平方根：x1 = (x0 + sqrt(x0^2 - 4 * a * x0)) / 2其中，a 为给定的数，x0 为初始近似值，x1 为迭代后的值。

我们可以不断更新 x0 为 x1，直到结果满足我们的精度要求。

4.示例以求 36 的算术平方根为例：a.估算：我们可以猜测 36 的平方根大约在 6 左右。

b.迭代：使用牛顿迭代法，我们可以得到以下结果：x0 = 6x1 = (6 + sqrt(6^2 - 4 * 36 * 6)) / 2 = 6可以看到，x1 与 x0 相等，说明我们已经得到了 36 的算术平方根，即 6。

5.总结求算术平方根的过程包括确定问题、估算、迭代等步骤。

算术平方根知识点

实数
本章知识结构：
第一节算术平方根
第一课时
知识点：1、算术平方根的定义
2、算术平方根的应用
一、知识点解读与基础训练
（一）知识点要求：
1.理解算术平方根的定义，掌握算术平方根的双重非负性；
2.会求一个数的算术平方根；
3.利用类比、转化、方程等数学思想解决问题。

（二）知识点解读：
1、定义的引入
注意：数学逆向思维的应用；
2、定义的内涵
a≥；②算术平方根 (1) a具有双层非负性：①被开方数a是非负数，即0
a≥；
a0
3、概念的外延
=；
（1）规定0的算术平方根是000
（2）负数没有算术平方根
注意：算术平方根等于它本身的的数只有0和1
（30(0)a ≥≥；②()20a a =≥
（三）对应训练 1、下列说法正确的是（）
A ．任何数都有算术平方根；
B ．只有正数有算术平方根
C ．0和正数都有算术平方根；
D ．负数有算术平方根
2、4的算术平方根是
二、灵活运用与能力训练
1.基础训练
（3）若6a =，则ab 的算术平方根是（）
A ． C. D. 4
2.能力提升
四、解析与答案。

算术平方根的求解方法

算术平方根的求解方法在数学中，平方根是一个重要的概念，它是指一个数的平方等于另一个数的情况。

而算术平方根则是指一个数的平方根是一个整数的情况。

本文将介绍一些常见的算术平方根的求解方法，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。

一、完全平方数的算术平方根完全平方数是指一个数的平方根是一个整数的情况。

例如，4、9、16等都是完全平方数。

求解完全平方数的算术平方根非常简单，只需要将这个数开方即可。

例如，√4=2，√9=3，√16=4。

因此，对于完全平方数，我们可以直接得到它的算术平方根。

二、非完全平方数的算术平方根非完全平方数是指一个数的平方根不是一个整数的情况。

例如，2、3、5等都是非完全平方数。

对于非完全平方数的算术平方根的求解，我们可以采用逼近法。

逼近法的基本思想是从一个初始的猜测值开始，通过不断逼近的方法，找到一个足够接近的解。

具体步骤如下：1. 选择一个初始的猜测值，例如对于数a，我们可以选择一个与a相近的整数作为初始猜测值。

2. 计算猜测值的平方，与待求解的数a进行比较。

3. 如果猜测值的平方与a相等，那么这个猜测值就是a的算术平方根。

4. 如果猜测值的平方大于a，那么我们需要减小猜测值。

5. 如果猜测值的平方小于a，那么我们需要增大猜测值。

6. 根据上述情况，反复进行步骤2-5，直到找到一个足够接近的解。

例如，我们要求解数5的算术平方根。

我们可以选择初始猜测值为2，计算2的平方为4，小于5。

因此，我们需要增大猜测值。

我们可以选择3作为新的猜测值，计算3的平方为9，大于5。

因此，我们需要减小猜测值。

我们可以选择2.5作为新的猜测值，计算2.5的平方为6.25，仍然大于5。

我们继续减小猜测值，选择2.4作为新的猜测值，计算2.4的平方为5.76，仍然大于5。

我们继续减小猜测值，选择2.3作为新的猜测值，计算2.3的平方为5.29，接近于5。

因此，我们可以得出结论，5的算术平方根约等于2.3。

平方根

2 4
2 2 2，
2 2 2，
2 2 2 的值,
a 等于多少？ a 等于多少？
2 2 2 2
课堂巩固：
7.已知 x 12 y 2 z 3 0 ,求 x+y+z 的平方根. 2 7. 已知 x 1 y 2 z 3 0 ,求 x+y+z 的平方根. 8.求满足下列各式的 x 的值. 8.求满足下列各式的 x 的值. 2 1 2 （1） 25 x 36 0 ; (2) 2 1 x ; (3) 1 2x 32 52 . 2 2 4 （1） 25 x 2 36 0 ; (2) 2 1 x 2 1 ; (3) 1 2 x 3 52 .
1 1 2 2
求平方根
1
1
4
9
4
9
3 3
1 1 2 2
3 3
两图中的运算有什么关系呢？
3．例题解析求下列各数的平方根： 9 1 （） 1 100 ；（） 2 ; （） 3 0.25 ; （） 4 2 ; （） 5 0. 16 4 解：（1）因为 10 2 100 ，例1
5、已知某数有两个平方根分别是a+3与2a-15，求：
a的值是；这个数是。
课外探究：
解下列方程：（1）4x2=9；（2）x2-81=0；（3）（x+1）2=1.
议一议平方根与算术平方根又什么区别和联系？
联系：(1)具有包含关系存在条件相同：被0的平方根.
区别定义不同个数不同
平方根
2
例1
所以0的平方根是0．
即 0 0 ．
4．归纳数的平方根的特征正数的平方根有什么特点？正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是多少？ 0的平方根就是0 ；负数有平方根吗？负数没有平方根．

数学算术平方根

算术平方根
一个数的算术平4的非负平方根。
算术平方根的性质
01
02
03
04
非负性
算术平方根总是非负的，即对于任何实数a，√a≥0。
唯一性
对于非负实数a，其算术平方根是唯一的。也就是说，如果
b是a的算术平方根，那么 b^2=a。
递增性
对于任意实数a和b，如果 a<b，那么√a<√b。
详细描述
公式法适用于任何正实数，可以通过使用算术平方根的公式来求解。算术平方根的公式为sqrt(x) = x^(1/2)，其中x为正实数。使用公式法可以快速准确地求得任何正实数的算术平方根。
03
CATALOGUE
算术平方根的应用
在几何学中的应用
勾股定理
勾股定理是几何学中一个重要的定理，它涉及到直角三角形的边长关系，其中一个直角边的平方等于另一直角边和斜边的平方和。算术平方根在勾股定理中起到关键作用。
02 03
函数值域
在确定函数值域时，算术平方根可以用于确定函数的下界和上界。例如，对于非负函数，其最小值可以通过求最小正数解的算术平方根来得到。
参数取值范围
在解决与参数取值范围相关的问题时，算术平方根可以用于确定参数的最小值和最大值。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑行业中，测量是必不可少的环节。算术平方根可以帮助计算建筑物的面积、体积以及材料用量等。
配方法
总结词
配方法是一种通过配方将原式转化为完全平方形式，从而求得算术平方根的方法。
详细描述
配方法适用于一些复杂的平方数，可以通过配方将原式转化为完全平方形式，然后开平方求得算术平方根。例如，求9的算术平方根，可以先将9配方为(3)^2 ，然后开平方得到3。

算术平方根

平方根 算术平方根 立方根

平方根

算术平方根例题

算术平方根、平方根、立方根之间区别联系

《算术平方根》

算术平方根怎么算

算术平方根

求算术平方根的步骤

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