勾股定理复习学案

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《勾股定理》复习学案(单元复习)

《勾股定理》复习学案★知识汇总1．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为：方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为：方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ，化简过程为：2.面积问题：⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系是小练习：1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。

2.如图2，①若S 1=2π S 3=258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=32π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。

3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。

4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。

5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为。

北师大版八年级上册第一章勾股定理复习(教案)

-数据分析能力的培养：在分析勾股数的过程中，学生可能不知道如何系统地分析和归纳数据，从而找出勾股数的规律。
举例：针对勾股定理证明的难点，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-使用直观的图形和动画演示面积法的证明过程，让学生看到面积转化的直观效果。
-分步骤讲解证明过程，强调每一步的逻辑关系和数学意义。
-组织学生进行小组讨论，鼓励他们用自己的语言解释证明过程，加深理解。
其次，在新课讲授环节，我注重理论与实践相结合，通过具体的案例分析和实验操作，帮助学生加深对勾股定理的理解。这种教学方法取得了较好的效果，但我也注意到部分学生在理解证明过程时仍存在困难。因此，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生积极参与到课堂中，提高了他们的动手能力和团队协作能力。但同时，我也发现部分小组在讨论过程中存在时间分配不均的问题。为了提高课堂效率，我需要在今后的教学中加强对小组讨论的引导和监督，确保每个学生都能充分参与到讨论中来。
-对于勾股数的性质，教师可以设计一些探索性的活动，如让学生尝试找出一定范围内所有的勾股数，通过实践活动发现勾股数的规律。
-在解决实际问题时，教师应引导学生如何从问题中抽象出数学模型，如何将现实问题转化为数学问题，并通过示例来演示解题步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量一块三角形的草地面积。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾勾股定理的奥秘。
-勾股定理的应用：学会将勾股定理应用于解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或判断一组数是否为勾股数。

第一章勾股定理复习课教案

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例解释：
-对于实际问题，教师需设计不同难度的题目，如斜边未知、一条直角边未知或者需要用到勾股定理的变形等，帮助学生克服在应用中遇到的困难。
-在证明难点上，教师应详细解释每种证明方法的思路，如几何拼贴法中如何通过面积相等来推导出勾股定理，代数推导法中如何利用平方差公式等。
-对于勾股数的创造性应用，教师可以通过提供不完整的直角三角形信息，让学生尝试用勾股数去补全信息，锻炼学生的思维能力和创新意识。
4.学生小组讨论环节，大家积极分享自己的观点和想法，有助于提高他们的表达能力和思维能力。但在今后的教学中，我需要关注每个学生的参与程度，鼓励他们大胆发表自己的见解，使讨论更加全面和深入。
5.总结回顾环节，学生对勾股定理的理解和掌握程度得到了巩固。但在今后的教学中，我应加强对学生的引导，帮助他们从多个角度理解和运用勾股定理，提高他们的综合运用能力。
五、教学反思
在今天的勾股定理复习课中，我尝试了多种教学方法，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一数学概念。通过教学实践，我发现以下几点值得反思：
1.导入新课环节，以生活中的实际例子引导学生思考，激发了他们的学习兴趣。然而，在今后的教学中，我应更加注重引导学生从实际问题中发现数学规律，提高他们的问题意识。
3.提升学生的数学建模素养，将勾股定理应用于解决实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力。

勾股定理单元复习教案

年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：专题勾股定理章节复习目标掌握勾股定理及其逆定理重难点勾股定理的应用常考点勾股定理的计算、勾股定理的应用勾股定理知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。

若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。

常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。

4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。

5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。

6．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。

精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。

考点2. 勾股定理的证明【例2】如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：222a b c +=变式如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：222a b c +=考点3 勾股定理的应用【例3】如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？变式1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？变式2 一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？考点4. 直角三角形的判定【例4】三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A ．a:b:c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a:b:c =13∶5∶12 变式1 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.变式2 已知，△ABC 中，17AB cm =，16BC cm =，BC 边上的中线15AD cm =，试说明△ABC是等腰三角形．变式3 如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：AF ⊥EF ．考点5. 勾股定理及其逆定理相关面积计算【例5】一个零件的形状如图，已知∠A=900，按规定这个零件中∠DBC 应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, BC = 12 , DC=13，问这个零件是否符合要求，并求四边形ABCD 的面积．变式1 如图示，有块绿地ABCD ，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，∠ADC=90°，求这块绿地的面积。

勾股定理复习教案

勾股定理复习教案教案标题：勾股定理复习教案教案目标：1. 复习和巩固学生对勾股定理的理解和应用能力。

2. 引导学生进行勾股定理的证明和推导。

3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学资源：1. 教科书、教学投影仪、白板和标记笔。

2. 勾股定理的示例题目和练习题目。

3. 学生练习册和作业本。

教学步骤：引入阶段：1. 使用教学投影仪展示一个直角三角形，并提醒学生勾股定理的概念和公式。

2. 引导学生回忆勾股定理的应用场景和实际意义，例如在建筑、测量和导航中的应用。

复习阶段：1. 提供一些勾股定理的示例题目，要求学生使用勾股定理计算未知边长或角度。

2. 分组讨论和解答示例题目，鼓励学生之间的合作和讨论。

3. 教师对示例题目进行点评和解答，强调解题的思路和方法。

证明与推导阶段：1. 提出一个勾股定理的证明问题，例如：如何证明勾股定理成立？2. 引导学生提供自己的证明思路和方法，鼓励学生进行推理和逻辑分析。

3. 教师给出勾股定理的几种证明方法，例如几何证明、代数证明和图像证明，并解释其原理和思想。

4. 学生进行小组讨论和展示，分享他们的证明思路和方法。

拓展与应用阶段：1. 提供一些拓展题目，要求学生应用勾股定理解决实际问题，如测量斜坡的高度或计算航空器的航程。

2. 学生独立或小组完成拓展题目，并相互检查和讨论答案。

3. 教师对拓展题目进行点评和解答，鼓励学生思考不同解题方法和策略的优劣。

总结阶段：1. 教师对整堂课进行总结，强调勾股定理的重要性和应用价值。

2. 学生回答教师提出的总结问题，巩固对勾股定理的理解和应用。

3. 鼓励学生提出问题和疑惑，教师进行解答和指导。

作业布置：1. 布置一些练习题目，要求学生独立完成，并在下节课前交作业。

2. 强调学生在解题过程中要运用勾股定理，并注重解题思路和步骤的清晰性。

评估方式：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现，包括问题的提出、讨论和解答。

2. 批改学生的作业，评估他们对勾股定理的理解和应用能力。

初中数学《勾股定理》复习教案

勾股定理复习（一）教学目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.教学过程一、复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示（n 为正整数）的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二、课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．三、随堂练习1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A ．7，24，25B ．321，421，521C ．3，4，5D ．4，721，821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍3.三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（）A ． 6B ． 36C ． 64D ． 8 图1 A100644.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cm D ．1360cm 5.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角四、课后练习1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝＿＿＿4．等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为＿＿＿．6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿。

《勾股定理》复习学案(期末复习)

第3题第4题《勾股定理》复习学案【知识点归纳】1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的等于斜边c 的，即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系，那么这个三角形是三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个，称为勾股数。

★注意：1.勾股定理仅适用于三角形；2.常见的勾股数（请举出几组）：3.若a ，b ，c 为勾股数，则ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数。

【基础训练】1.一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2..以下各组数中，能组成直角三角形的是（）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)32，42，52 (D)8，9，103.如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为以∠B 为直角的直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．4.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图2中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c 2＝＋。

化简后即为 c 2＝。

5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米。

【本章小专题】☞专题一：勾股定理及应用1.计算下列直角三角形的边长（注意运用规律）：（1）（2）（3）2.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？3.波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？☞专题二：面积问题1.如图：以Rt △的三边长为边在外面作三个正方形M 、N 、P（1）若S M =5，S N =6，则S M +S N +S P = ；（2）若S P =10，则S M +S N +S P = 。

勾股定理复习课教案

勾股定理复习课教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解并掌握勾股定理的内容及证明方法；（2）能够运用勾股定理解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过复习勾股定理，提高学生的数学思维能力；（2）培养学生运用勾股定理解决几何问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力；（2）培养学生团队协作、交流分享的良好学习习惯。

二、教学内容1. 勾股定理的定义及表述；2. 勾股定理的证明方法；3. 运用勾股定理解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）勾股定理的表述及证明方法；（2）运用勾股定理解决实际问题。

2. 教学难点：（1）勾股定理的证明方法；（2）灵活运用勾股定理解决复杂几何问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动思考、探索；2. 通过案例分析，培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力；3. 组织小组讨论，促进学生之间的交流与合作。

五、教学过程1. 导入新课：（1）复习已学过的勾股定理相关知识；（2）提问：什么是勾股定理？它能解决哪些问题？2. 知识梳理：（1）讲解勾股定理的定义及表述；（2）介绍勾股定理的证明方法。

3. 案例分析：（1）展示几个运用勾股定理解决实际问题的案例；（2）让学生尝试独立解决类似问题。

4. 小组讨论：（1）组织学生进行小组讨论，分享解题心得；（2）引导学生相互借鉴、共同提高。

5. 练习巩固：（1）布置适量练习题，让学生独立完成；（2）针对学生易错点进行讲解和辅导。

（2）引导学生反思自己在解题过程中的优点和不足。

7. 课后作业：（1）布置课后作业，巩固所学知识；（2）鼓励学生开展课外探究，拓宽知识面。

六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组合作表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。

2. 练习完成情况评价：检查学生练习题的完成质量，评价学生对勾股定理的理解和运用能力。

3. 课后作业评价：对学生的课后作业进行批改，了解学生对课堂内容的掌握情况，针对学生的错误进行个别辅导。

勾股定理复习教案

《勾股定理》复习课【教学目标】(1)知识目标：①知道勾股定理是怎样验证出来的．②了解勾股定理的历史背景．(2)能力目标：①经历探索勾股定理的过程，发展合情推理能力，培养学生主动探索的学习热情．②理解并掌握勾股定理，用它解决简单的问题．(3)情感目标：①发展学生的个性，培养他们学习的养成教育，善于独立思考，敢于克服困难和创新精神．②培养学生的民族自豪感，激励学生的爱国热情．【教学重点】掌握勾股定理，并能利用它解决有关数学问题．【教学难点】利用勾股定理解决实际问题【教学过程】应用：1、已知直角三角形的两边求第三边。

2、已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边3、利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题勾股数出现得较早，例如埃及的纸草书里面就有(3,4,5)这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（18541， 12709，13500）。

后来的中国的算经、印度与阿拉伯的数学书也有记载。

相传是在公元前11世纪商代由商高发现，故又有称之为商高定理；商高答周公问曰：“勾广三，股备四，径隅五”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释：“勾股个自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦”。

《九章算术》卷第九《句股》章详细讨论了勾股定理的运用，魏国数学家刘徽反复运用勾股定理求圆周率。

金朝数学家李冶的《测圆海镜》通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系统的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。

勾股定义的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

最长边所对的角为直角。

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

三边关系：1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

第十八章勾股定理复习学案

c ba HG F EDCBAbacbac cabcab ac c baED A第十八章勾股定理一、课程学习目标1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的实际问题。

2、会运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。

3、了解勾股数的概念，能识记一些常见的勾股数。

4、能在数轴上找到一些表示无理数的点的位置，如2、13等。

5、了解逆命题、逆定理的概念。

能写出一个命题的逆命题，会判定是否成立。

6、领会和掌握“数形结合”“方程”“转化”“分类讨论”等数学思想方法。

二、本章知识结构图三、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证。

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b=+=++所以222a b c +=方法三：2112S 222ADE ABES S ab c∆∆=+=⋅+梯形，1()()2S a b a b =+⋅+梯形，化简得证。

四、知识要点———经典例题———跟踪练习18.1勾股定理（一）知识要点1、勾股定理：。

2、至少会用三种方法来证明勾股定理。

（二）经典例题例1：直角三角形的两条直角边长分别为5，12，则斜边上的高为。

例2：已知Rt △ABC 的周长为24，∠C=90°，且AB ：AC =5：3，则BC 的长等于（）。

例3：在△ABC 中，090=∠C ，AB=10，（1）若030=∠A ，求BC 、AC 的长（精确地0.01）（2）若045=∠A ，求BC 、AC 的长（精确地0.01）例4：有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖立放比门高1尺,斜放则恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺,求门的高度.例5：如图,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为a ，较长的直角边为b ，那么()2b a + 的值为（）A ．13 B.19 C.25 D.169例6：一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动。

勾股定理全章复习学案

勾股定理复习导学案主备人: 审核人：初二数学组课型:新授学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形.学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。

学习难点：利用定理解决实际问题。

学习过程一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，90=∠C ，则。

公式变形①：若知道a ，b ，则=c ；公式变形②：若知道a ，c ，则=b ；公式变形③：若知道b ，c ，则=a ；例1：求图中的直角三角形中未知边的长度：=b ，=c .(1)在Rt ABC ∆中，若90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ∆中，若oB 90=∠，9=a ，41=b ，则=c .(3)在Rt ABC ∆中，若90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c .二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。

例2：在数轴上画出表示5的点.在数轴上作出表示10的点．三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。

例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。

1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A ．12，15，17B ．9，16，25C ．5a ，12a ，13a （a>0）D ．2，3，42、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ；（2）11=a ，60=b ，61=c ；915b24c（3）38=a ，2=b ，310=a ；（4）433=a ，2=b ，414=c ；四、知识要点4：利用列方程求线段的长例4：如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．五、知识要点5：构造直角三角形解决实际问题例5：如图，小明想知道学校旗杆AB 的高，他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l 米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗杆的高度吗?一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm ，杯深16cm.今有一根长为22cm 的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cmADEBC六、课后巩固练习（一）填空选择1、写出一组全是偶数的勾股数是 .2、直角三角形一直角边为12 cm ，斜边长为13 cm ，则它的面积为 .3、斜边长为l7 cm ，一条直角边长为l5 cm 的直角三角形的面积是（） A ．60 cm 2 B ．30 cm 2 C ．90 cm 2 D ．120 cm 24、已知直角三角形的三边长分别为6、8、x ,则以x 为边的正方形的面积为 .5、若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 .6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm ，16cm ，20cm ，则这块三角形铁皮余料的面积为cm 2．7、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm ．（二）解答题1、在数轴上作出表示13的点．2、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求：①AD 的长；②ΔABC 的面积．3、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9．（1）求DC 的长；（2）求AB 的长；（3）求证：△ABC 是直角三角形．C ABD 图4AB4、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，顶角∠BAC=120°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。

勾股定理复习导学案

勾股定理复习导学案一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么。

２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，无重叠、空隙，面积不改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列等式，推导出定理常见方法如下：方法一：4E F G H S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可得：。

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和=大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+大正方形面积为S= ，所以222a b c +=。

方法三：S梯形= ，2112S 222ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形，化简得证。

３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是三角形。

４.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，主要求第三边在A B C ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-5、利用勾股定理作长为的线段例如：作长为、、的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。

作法：如图所示6.勾股定理的逆定理①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 7.勾股数:①记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ②用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n为正整数），2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）题型一：直接考查勾股定理例１.在A B C ∆中，90C ∠=︒．⑴ 已知6AC =，8B C =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15A C =，求BC 的长解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在A B C ∆中，90AC B ∠=︒，5A B =cm ，3B C =cm ，C D AB ⊥于D ，C D ＝⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图A B C ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5C D =， 2.5BD =，求A C 的长例4.如图R t A B C ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BACcba HG F EDCB Abacba ccabcab a bcc baE D CBA21EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8A B =m ，2C D =m ，8B C =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6A E =m ，8D E =m 在R t A D E ∆中，由勾股定理得2210AD AE DE=+=题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定A B C ∆是否为R t ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-= ，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知A B C ∆中，13AB =cm ，10B C =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：A B A C = 证明：填空：1．如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A ，B ，C 的面积分别是8cm 2，10cm 2，14cm 2，则正方形D 的面积是 cm 2．2．如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝60c m ，CA ＝80c m ，一只蜗牛从C 点出发，以每分钟20c m 的速度沿CA →AB →BC 的路径再回到C 点，需要分钟的时间．3．已知x 、y 为正数，且｜x 2-4｜+(y 2-16)2＝0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为．4．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙米处．5．如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为和．（注：两直角边长均为整数） 6、如果正方形ABCD 的面积为29，则对角线AC 的长度为（）选择：1．下列各组数为勾股数的是（） A ．6，12，13B ．3，4，7C ．4，7.5，8.5D ．8，15，162．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5，顶端离地面12，则梯子的长度为（）A ．12B ．13C ．14D ．15 3．直角三角形两直角边边长分别为6cm 和8cm ，则连接这两条直角边中点的线段长为（） A ．10cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 4．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍5．下列说法中，不正确的是（）A ．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B ．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C ．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D ．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形6．三角形的三边长满足关系：(a +b )2=c 2+2ab ，则这个三角形是（） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边为5，则另一直角边为（）A ．3B ．4C ．12D ．13解答：四边形ABCD 中已知AB=3，BC=12，CD=13，DA=4， ∠BAD=900，求这个四边形的面积．D CBA勾股定理练习姓名一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S △ABC =________。

勾股定理复习教案

勾股定理复习教案一、教学目标1. 了解勾股定理的概念及应用；2. 掌握使用勾股定理计算直角三角形的边长；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

二、教学内容1. 勾股定理的定义和应用；2. 直角三角形的边长计算。

三、教学过程1. 导入新课教师通过提问让学生回忆直角三角形的定义和性质，引出勾股定理的概念。

2. 概念讲解教师简要介绍勾股定理的定义：“在一个直角三角形中，直角边上的正方形面积等于两个直角边的平方和。

”教师通过示意图展示直角三角形和勾股定理的关系，并讲解勾股定理的应用，如判断一个三角形是否为直角三角形等。

3. 计算实例教师通过给出实际问题，引导学生使用勾股定理进行计算。

例如：一个直角三角形的斜边长为5cm，一直角边长为3cm，求另一直角边的长度。

教师带领学生按照步骤进行计算：先将已知条件列出来，在公式中对应填入数值，然后进行运算得出结果。

最后总结解题方法。

4. 练习巩固教师布置练习题并指导学生独立完成。

例如：已知一个直角三角形的斜边长为10cm，一直角边长为6cm，求另一直角边的长度。

教师巡视指导学生解题过程，并及时纠正错误。

完成练习后，教师组织学生互相交流答案，并指导学生讲解解题思路。

5. 拓展应用教师带领学生学习并讨论更复杂的应用题，如判断多边形是否为直角多边形、解决实际问题中的应用题等。

6. 归纳总结教师引导学生总结勾股定理的使用方法和注意事项，并反复强调计算的步骤和思路。

四、课堂练习1. 计算直角三角形的其他边长：a) 已知一直角边长为6cm，斜边长为10cm，求另一直角边的长度。

b) 已知一直角边长为5cm，另一直角边长为12cm，求斜边的长度。

2. 应用题：一根高杆与水平地面的夹角为30°，高杆的底部到另一根竖直杆的距离为5m，求高杆的长度。

五、课堂小结在本节课中，我们学习了勾股定理的概念、应用和计算方法。

通过课堂练习，我们掌握了使用勾股定理计算直角三角形的边长，并能够应用勾股定理解决实际问题。

勾股定理复习学案1

勾股定理复习（一）学案一、学习目标1.熟练掌握勾股定理，理解原命题、逆命题、互逆命题和互逆定理的概念及关系。

2.进一步熟练掌握勾股定理的应用。

3.在探究提升的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。

二、重点难点重点：勾股定理的应用难点：灵活应用勾股定理。

三、学习过程（一）本章相关知识梳理1.勾股定理（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边为，那么。

公式的变形：（1）c2= , c= ;（2）a2= , a= ;（3）b2= , b= ;点拨：（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；2.勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

点拨：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

3.互逆命题和互逆定理互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的恰为第二个命题的，而第一个命题的恰为第二个命题的，像这样的两个命题叫做．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的．互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是，那么它也是一个，称这两个定理互为，其中一个叫做另一个的逆定理.4.勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）（二）例题探究探究1：在直角三角形中，已知两边求第三边1.一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管至少要做 cm 2.已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．探究2：勾股定理与方程联手求线段的长（方程思想）3. 如图，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，试求CD 的长。

4. 如图，将一个长宽分别为8和4的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是多少？（三）当堂达标1．若一个三角形的两直角边分别为6 cm 和8 cm ，则它的斜边为___ cm 。

《勾股定理》学案

《勾股定理》复习学案第1讲勾股定理（1）一、勾股定理1．勾股定理的具体内容用字母表示为：。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；3. 若∠A=30°，三边之间的关系：；4. 若∠A=45°，三边之间的关系：；5. 若D是斜边AB的中点，则有＝＝；二、回顾勾股定理的证明：你能用这个图形证明勾股定理吗？二、课堂练习1.在Rt△ABC中，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2, 求b。

⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

2.已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

3.已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高；⑵求S△ABC。

三、课堂检测：1．填空题⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

4，AC=4，AD是BC边上的高，求BC 2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=3的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

第2讲勾股定理（2）一、求出下列直角三角形中未知的边．归纳：（1）在求解直角三角形的未知边时需要知道哪些条件？应该注意哪些问题？（2）直角三角形中哪条边最长？它所对的是什么角？二、探究11.在长方形ABCD 中，宽AB 为1m ，长BC 为2m ，求AC 的长2．在矩形中，如何确定直角三角形模型？3.一个门框的尺寸如图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？6 10 A C B 2 45° A 15C B 2 30°三．探究2如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①球梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．四、课堂检测：1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

中学数学勾股定理的复习教案

中学数学勾股定理的复习教案一、学习目标1.熟练掌握勾股定理的内容。

2.能对不同的勾股定理问题进行合理判断，并对相应问进行解决。

3.能解决空间基本图形的勾股定理问题。

二、知识点总结1.勾股定理的排列组合⑴若 A、B 为直角边，C 为斜边，则有 A²+B²=C²。

⑵若 A、C 为两条直角边，B 为斜边，则有 A²+C²=B²。

⑶若 B、C 为两条直角边，A 为斜边，则有 B²+C²=A²。

其中，⑴和⑵是等式的两种变形形式，而⑶则是勾股定理的两种不同定义形式。

2.应用问题⑴求出长度为多少的直角边？左图为已知斜边为 5，一条直角边为 3，问另一直角边长 B？右图为已知斜边长度 8，求其另一直角边长 A 与 B。

⑵判断图形是否为直角三角形？某几何图形各边长为 4、5、6，是否三角形？是否是直角三角形？三、教学流程1.引入⑴回忆勾股定理的知识点。

⑵引入教学主题：本次的复习将会了解如何应用勾股定理，解决一些勾股定理在几何图形中的应用问题。

2.教学重点⑴勾股定理的应用。

⑵怎样进行图形判断。

3.教学步骤与方法⑴教师出示勾股定理相关练习题讲解方法，可在小黑板上，或PPT等辅助教具上讲解。

⑵针对练习题，进行讲解解决步骤，同时加深同学们对勾股定理知识点的理解。

⑶介绍解决勾股定理在空间基本图形上的应用问题，如立方体、直角三角形等。

4.教学策略⑴合作学习：通过进行课堂练习，在小组合作完成教师留下的应用题目，在轮流发言的学习模式下达到合作学习的目的。

⑵讲授：通过教师的讲授，让学生更好地掌握勾股定理的知识点，同时，让学生更自主地思考题目及其解决方法。

⑶案例分析：通过案例分析，让同学们理解勾股定理在几何图形中的应用，能够遇到问题及时进行判断、解决。

5.教学提示在教学过程中，教师要注重对同学们的思维引导，同时营造积极、自信的课堂环境。

应遇到问题及时指导，但不应破坏学生自主思考、独立解决问题的机会。

勾股定理复习教案

勾股定理复习学案一、知识要点回顾1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2。

要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b ，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边满足，两边的平方和等于第三边的平方，即a 2+b 2=c 2 ，则这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

勾股定理复习学案

《勾股定理》复习学案(单元复习)

北师大版八年级上册第一章勾股定理复习(教案)

第一章勾股定理复习课教案

勾股定理单元复习教案

最新免费勾股定理学案

勾股定理复习教案

初中数学《勾股定理》复习教案

《勾股定理》复习学案(期末复习)

勾股定理复习课教案

勾股定理复习教案

第十八章 勾股定理 复习学案

勾股定理全章复习学案

勾股定理复习导学案

勾股定理复习教案

勾股定理复习学案1

《勾股定理》学案

中学数学勾股定理的复习教案

勾股定理复习教案

第十八章勾股定理复习学案