平面向量的坐标运算及共线坐标表示完整版.ppt

坐
uuur uuur
O
标 且AB DC
D x
运 (1, 2) (3 x, 4 y) 1 3 x
算
24 y
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
10
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
平
y
面 向 量
另解：由平行四边形法则可得
所以 x2=λx1 y2=λy1
消去λ得： x1y2- x2 y1=0
a→∥
→
b
r (a
r 0)
x1y2- x2 y1=0
其中
a→=(x1
→
,y1)，b=(x2
,y2)
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向量共线的充要条件的两种表示形式:
r rr r
(1) a ∥Pb(a 0)
有且只有一个实数λ,使得 →b=λ a→
r rr r
如图,在平面直角坐r标r系中,分别取与x轴、y轴正方向
同向的两个单位向量 ri、j 作基底.
平面内的任一向量 a , r r r 有且只有一对实数x,y,使r a xi y j 成立，
则称（x，y）是向量 a的坐标。
记作：
r a
(
x,
y)
r
r
a ya
r ra j
O
r i
x
3
平面向量的坐标表示
注意： r
证明：∵AB=(3-1,13-3)=(2,10)
BC=(6-3,28-13)=(3,15)
∴ 2×25=5×10
∴AB∥BC
又∵ 直线AB、直线BC有公共点B
∴ A、B、C三点共线
16
例8:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
uuur uuur uuur BD BA BC
B
的 (2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) A
坐 标 而运
uuur (u3u,ur1) OD OB
uuur BD
O
算 (1,3) (3, 1)
(2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
C D
x
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小结回顾
请回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些知识吗？
a
b,
r
a
b
解： a b (x1i y1r j) (x2i ry2 j)
r
r
(x1
x2
)i
(
y1
y2
)
j
a
b r
(rx1
x2
,
y1
y2
)
同理可得：a b (x1 x2, y1 y2)
两个向量的和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐 标的和（差）
5
平面向量的坐标运算
uuur
例3．已知
uuur
平 标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
面 向
求顶点D的坐标。
量
的
坐
标
运
算
8
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、y (－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
6 5
平 面 向
4
C
B3
量 的 坐
2
A
1
D
标
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
运
－1
算
－2
9
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
平
y
C
面 向 量
解u：uur设点D的坐标为（x,y） Q AB (1,3) (2,1) (1, 2)
uuur
B A
的 DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
y2
x
(4)被如图ar 唯以一原确点定O为. 此起时点点作AO的A坐 a标，即点为Aar的的位坐置标
（5）区别点的坐标和向量坐标
相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
r
(6) a x2 y2
4
平面向量的坐标运算
r
r
r rr r
1.已知
r
a
r
(x1,
y1)
，b
r
(x2
r
,
y2
)
，求
r
(2) a ∥Pb(a 0)
a→=(x1 ,y1)，→b=(x2 ,y2)
x1y2- x2 y1=0
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典型例题
例6 已知 a =（4，2）,b=（6，y）
且a ∥b，求y的值. 解：∵ a ∥b
∴4y-2×6=0
解得y=3
a (1, x), b (x,2)
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典型例题
例7 已知点A(1，3)， B(3，13)，C(6，28) 求证：A、B、C三点共线.
Au(uxu1r,
解：AB OB
y1
)，B(
uuur
x2
OA
,
y2
)
．求
AB
A(x1, y1 )
y
(x2 , y2 ) (x1, y1)
(x2 x1, y2 y1 )
O
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐 标减去起点坐标．
r
r
3、已知a= (x, y)和 R,求a.
r r 1.平面向量坐标的加.减运算法则
ra br 平
面
=( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)
a b 向
量
=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)
的 2.平r面向量坐标实数与向量相乘的运算法则
坐 a (x, y) (x, y)
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x, y)
rr r
r rr
r
y
r
a
A(x, y)
(2) i i 0 j (1, 0) j 0i j (0,1) r 0 (0, 0)
ra
j
r r i （3）相两等个的向充量要a条件(x：1, ary1),
r
br (x2,
b
uuur r
x1
y2
)O
x2且y1
2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1
复习引入
平面向量基本定理
rr
如果e1, e2 是同一平面r内的两个不共线向量,那么
对这一平面内的任一向量
使 ar 1er1 2er2
a,有且只有一对实数1, 2
,
对于确定的一组基底,平面内的任一向量会和 一对实数对应
2
平面向量的坐标表示
标
运 3.平面向量坐标
算 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
则 AB=(x2 - x1 , y2 – y1 )
12
平面向量共线的坐标表示
4、a→=(x1 ,y1)，→b=(x2 ,y2) 其中a→≠ 0→,
a→∥∥
→b
有且只有一个实数λ，使得
→
b=λ
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a→
即：（x2 , y2) =λ(x1 , y1) =(λx1 , λy1)
r
a (x, y)
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的 相应坐标．
6
平面向量坐标运算法则应用
平 面 向 量
r
r
例 1.已知a (2,1),b (3, 4),
r rr r r r
求a b, a b,3a 4b的坐标。
的
坐
（-1，5）
标
运
（5，-3）
算
（-6，19）
7
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐