圆的专题复习课件.
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第六单元 圆 小专题5 辅助圆问题
2．圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形 ABCD中的动点问题，若满足其中一组对角角度之 和等于180°，可考虑作它的外接圆解题．如图3， 在四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°， 可知四边形ABCD有外接圆⊙O，其圆心O为任意 一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直 平分线的交点)．
【经典母题】 如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内 一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度 的最小值为_______.
[解析] ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2. ∵∠PAB＝∠ACP， ∴∠PAC＋∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
[思维方法] 根据线段BA与线段BQ关于线段BP所 在的直线对称可知，点Q在以点B为圆心，AB长为 半径的圆上运动，即点Q的运动轨迹是一段圆弧， 然后画出草图，再矩形的性质求出∠ABQ＝120°， 再由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC， 最后根据S阴影部分＝S四边形ABQD－S扇形ABQ ＝S四边形ABOD＋S△BOQ－S扇形ABQ可求出答 案．
小专题5辅助圆问题
类型一 定点定长作圆 方法解
读 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定， 则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上 (如图1)．依据的是圆的定义：圆是所有到定点的 距离等于定长的点的集合．
推广：如图2，点E为定点，点F为线段BD上的动 点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点 B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的 一段圆弧．若遇到求最值问题，可利用两点间线段 最短或垂线段最短解决。
12．如图，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内 接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD， BC上，若AE＝3，求EF的长．
初三复习专题课件-圆复习
10
M
N
（2）若AO=6,BO=8,则S⊙O=_______ ;
π
8
16、如图,AB是半⊙O的直径,AB=5,BC = 4, ∠ABC的角平分线交半圆于点D,AD,BC 的延长线相交于点E,则四边形ABCD的 面积是△DCE的面积的 ( A ) A.9倍 B.8倍 C.7倍 D.6倍
C
r
h
a
d
四、小试牛刀 1.根据下列条件,能且只能作一个圆的是( ) A.经过点A且半径为R作圆; B.经过点A、B且半径为R作圆; C.经过△ABC的三个顶点作圆; D.过不在一条直线上的四点作圆; 2.能在同一个圆上的是( ) A.平行四边形四个顶点; B.梯形四个顶点; C.矩形四边中点; D.菱形四边中点.
02
13.△ABC中, ∠A=70°,⊙O截△ABC三条边所得的弦长相等.则 ∠BOC=____. A.140° B.135° C.130° D.125°
E
M
N
G
F
D
B
C
A
O
P
Q
R
∠BOC＝90°+ ∠A
D
一只狸猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只狸猫应蹲在何处，才能最省力地顾及到三个洞口?
D
C
7.若两圆的半径分别为R,r,圆心距为d,且满足R2+d2=r2+2Rd,则两圆的位置关系为( ) A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交
由题意: R2+d2－2Rd=r2 即:(R－d)2 =r2 ∴ R－d = ±r ∴ R±r = d 即两圆内切或外切
A
（江苏专用）高考数学总复习 第八章第3课时 圆的方程课件
【解】 设点M的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是 (4,3)且M是线段AB的中点，
所以 x＝x0＋2 4，y＝y0＋2 3， 于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点 A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，
所以点 A 的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝ 4， 即(x0＋1)2＋y20＝4. ② 把 ①代入 ②， 得(2x－ 4＋ 1)2＋ (2y－ 3)2 ＝4，
(2)求圆的方程有两类方法 ①几何法，即通过研究圆的性质、直 线和圆、圆和圆的位置关系，进而求 得圆的基本量(圆心、半径)和方程；
②代数法，即用“待定系数法”求圆 的方程，其一般步骤是：a.根据题意 选择方程的形式——标准形式或一般 形式(本例题中涉及圆心及切线，故设 标准形式较简单)；b.利用条件列出关 于a，b，r或D，E，F的方程组；c.解 出a，b，r或D，E，F，代入所设的标 准方程或一般方程．
第八章 平面解析几何
第3课时 圆的方程
回归教材•夯实双基
基础梳理 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 (a_，__b_)____为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)其中圆心为
__－__D2_，__－__E2___，半径为_12__D__2_＋__E_2－ __4_F_.
d＝|2－－1－1|＝ 2.
1＋1
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2， ∴2＝2，即2＝2，解得r＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝ 4.
(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2，则有
b＝－4a，
3－a2＋－2－b2＝r2， |a＋b－1|＝r， 2
中考考点突破之圆的专题复习
中考考点突破之圆的专题复习考点精讲1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；2.探索并证明垂径定理；3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；考点解读考点1：垂径定理及其运用①与圆有关的概念和性质：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.②垂径定理及其推论：（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧AD; ②弧B D=弧C B；③C E=D E; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.考点2：圆周角定理及其运用①圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．②圆周角定理及其推论：（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ,∠A =1/2∠O .图a 图b 图c( 2 )推论：① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A =∠C .② 直径所对的圆周角是直角.如图c ,∠C =90°.圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A +∠C =180°，∠ABC +∠ADC =180°.考点3：点与圆的位置关系①点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d .(1)d <r ⇔点在⊙O 内；(2)d ＝r ⇔点在⊙O 上；(3)d >r ⇔点在⊙O 外．考点4：切线性质及其证明①切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径考点5：正多边形与圆①正多边形的有关概念：边长(a )、中心(O )、中心角(∠AOB )、半径(R ))、边心距(r ),如图所示①. 222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R r 边心距n ︒=360中心角②内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．考点6：与圆有关的计算①弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr②圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：2180n R l r ππ==, S 侧=12lR =πrl考点突破1．（2021秋•德城区校级期中）在平面直角坐标系中，⊙C 的圆心坐标为（1，0），半径为1，AB 为⊙C 的直径，若点A 的坐标为（a ，b ），则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣a ﹣1，﹣b ）B ．（﹣a +1，﹣b ）C ．（﹣a +2，﹣b ）D ．（﹣a ﹣2，﹣b ）2．（2021秋•普兰店区期末）如图，⊙O 的半径为5，C 是弦AB 的中点，OC ＝3，则AB 的长是（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2021秋•禹州市期中）如图拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为25m，那么其正下方的路面AB的长度为（）A．100m B．130m C．150m D．180m4．（2020秋•永城市期末）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC 及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，＝，直径CD⊥AB于点N，P是上一点，则∠BPD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．15°6．（2022•泗洪县一模）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，∠D 的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC 于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．8．（2021秋•舞阳县期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上9．（2021秋•丛台区校级期中）下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在10．（2021秋•射阳县校级期末）下列语句中，正确的是（）A．经过三点一定可以作圆B．等弧所对的圆周角相等C．相等的弦所对的圆心角相等D．三角形的外心到三角形各边距离相等11．（2021秋•禹州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是．12．（2021•五通桥区模拟）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC ＝4，CD的长为．13．（2021秋•甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．（2021秋•西峡县期末）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝CD，点E在AD的延长线上，∠CDE＝52°，则∠AOD＝．15．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB＝6，则BD＝．16．（2021•内乡县二模）婆罗摩笈多（公元598﹣660），印多尔北部乌贾因地方人（现巴基斯坦信德地区），在数学、天文学方面有所成就．他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》等著作，他还提出了几何界的“婆罗摩笈多定理”．该定理可概述如下：如图，圆O的两条弦AB和CD互相垂直，垂足为E，连接BC，AD，若过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD相交于点G，则G为AD的中点．为了说明这个定理的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图，在圆O的内部，AB⊥CD，垂足为E，．求证：．17．（2021秋•长垣市期末）豫东北机场待建在即，国道515围机场绕道而行．如图是公路转弯处的一段圆弧，点O是这段圆弧的圆心．直径CD⊥AB于点F．BE平分∠ABC交CD 于点E，AB＝3km，DF＝450m．（1）求圆的半径；（2）请判断A、B、E三点是否在以点D为圆心DE为半径的圆上？并说明理由．18．（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．19．（2021秋•内乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．20．（2021•信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．。
专题03 圆(课件)-2017-2018学年上学期期末复习备考九年级数学
×50°=25°，
2
∠CBA=12
∴∠CAD=∠CBD=25°，故选B.
4．（2017·四川期中）下列命题中，真命题的个数（ B ） （1）⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP=5，则直线l与⊙O相切 （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆 半径为6.5 （3）正多边形都是轴对称图形，也都是中心对称图形 （4）三角形的外心到三角形各边的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8题
（三）解答题
1．（2017·江苏期中）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，
OA为半径的圆交AB于D，延长 AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是
⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线； 证明：(1).连OD，∵CE是⊙O的切线, ∠OEC=90o , ∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,又∵OC//AD ∴∠OAD =∠EOC，∠DOC=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC, 又∵OD=OE,OC=OC, ∴△ODC≌△OEC（SAS） ∴∠ODC=∠OEC=90 O, ∴CD是⊙O的切线.
B．2 1 C．1 1
2
D．1 2
2
（二）填空题
1． （2017年中考江苏淮安卷）如图，在圆内接四边形ABCD中， 若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是__1_2_0_° ．
2A．D=（42，01点6·P陕是西射模线拟AB）上如一图动，点∠，2B连A3C接=1D2P0，°△，PAADD平的分外∠接B圆A于C，AC且交
例9 （2016·四川泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六 边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ D ）
【2014】(包头专版)中考数学复习方案专题课件_第14单元圆【新课标人教版】
∵OD⊥BE， ∴OD 是 BE 的中垂线， ∴∠1＝∠2， 5 ∴BD＝ED＝ . 2 ∵OD⊥EB， ∴FE＝FB， 1 1 5 1 ∴OF＝ AE＝ x，DF＝OD－OF＝ － x. 2 2 4 2
考点聚焦 包考探究
第1节┃包考探究
解 析
5 1 2 － x 4 2 .
切线长 定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________ 相等 ，圆心 平分 两条切线的夹角 和这一点的连线________
基本图 形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B， AB交PO于点C，则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO，∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP， ∠CAP＝∠CBP
考点聚焦
包考探究
第2节┃包考探究
解 析 (1)证明：连接 OA. ∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠PAO＝90°. ∵OA＝OB，OP⊥AB 于 C， ∴BC＝CA，PB＝PA， ∴△PBO≌△PAO， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∴PB 为⊙O 的切线． (2)连接 AD. ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝90°. 由(1)知∠BCO＝90°，
图14－3－1
考点聚焦 包考探究
第3节┃包考探究
解 析 分两种情况讨论：①⊙O与⊙P外切时，OP＝3，此时 a＝±3；②⊙O与⊙P内切时，OP＝1，此时a＝±1.
方法点析
注意两圆相切时应分内切与外切两种情况进行
讨论．
考点聚焦
包考探究
第4 节
例2．如图14－2－2，P为⊙O外一点，PA、PB、CD都是⊙O 的切线，切点分别为A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两 点．若⊙O的半径为5，OP＝10，则△PCD的周长为 ________ 10 3 ．
高考数学一轮总复习课件：圆的方程及直线与
(2)(2021·辽宁大连模拟)在直线l：y＝x－1上有两个点A， B，且A，B的中点坐标为(4，3)，线段AB的长度|AB|＝8，则过 A，B两点且与y轴相切的圆的方程为____(_x_－_4_)_2＋__(y_－__3)_2＝__1_6___
解析 (x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1表示圆，则 4m2－5m＋1>0，解得m<14或m>1.
3．(2021·成都七中月考)圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与
x轴相切，则该圆的方程是( B )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
第3课时 圆的方程及直线与 圆的位置关系
[复习要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方 程和一般方程.3.掌握直线与圆的位置关系．
课前自助餐
圆的定义 平面内到定点的距离__等_于__定_长___的点的集合(轨迹)是圆，定点 是圆心，定长是半径． 注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为 λ，即||PPAB||＝ λ， ①当 λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当 λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
A＝B≠0，
__D_2＋__E_2_－_4_A_F_>_0.
圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为xy＝＝ab＋＋rrcsoinsθθ，(θ 为参数)．
确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
高考数学一轮总复习课件：圆与圆的位置关系
【解析】 设圆心到直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0的距离为d，
则弦长|AB|＝2
12－d2 ＝2
3
，得d＝3，即
|3m－ 3| m2＋1
＝3，解得m＝
－ 33，则直线l：x－ 3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝co|sA3B0°| ＝4.
(3)【多选题】已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交
因为kMN＝65－ －31＝34，所以两圆的公切线的斜率是－43. 设切线方程为y＝－43x＋b，则有43×143＋23＋－1b＝ 11. 解得b＝133±5 311. 容易验证，当b＝133＋5 311时，直线与后一圆相交，舍去． 故所求公切线方程y＝－43x＋133－5 311， 即4x＋3y＋5 11－13＝0.
状元笔记
在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别 为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若OA⊥OB(O为原点)，则可转化为x1x2＋y1y2＝0，再结 合根与系数的关系，代入方程简化运算过程，这在解决垂直关 系问题中是常用的．
(2)若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2， xx1222＋ ＋yy1222＝ ＝rr22， ，∴k＝yx22－ －yx11＝－xy22＋ ＋xy11＝－xy00.
2＋P→C·(C→B＋C→A)＋C→B·C→A＝|P→C|2－1＝(x－1)2＋(x＋1)2－1＝2x2
＋1，所以P→A·P→B的最小值为1，故选D.
授人以渔
题型一 圆与圆的位置关系
例1 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋ m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的 长．
2021届高考二轮数学人教版课件：第2部分 专题5 第1讲 直线与圆 【KS5U 高考】
圆
高考二轮总复习 • 数学
考点一 圆的方程
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1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2． 2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F＞0)表示以 －D2 ，－E2 为圆 心， D2＋2E2－4F为半径的圆．
5m2 1＋m2
，由于向量
→ OP
与
向量
→ OQ
共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以
OP
·OQ
＝
→ OP
→ ·OQ
＝
x1x2＋y1y2＝1＋5m2＋15＋mm2 2＝5．
第二部分 专题五 解析几何
高考二轮总复习 • 数学
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【剖析】 上述解法正确，也得出了正确答案，但运算繁杂．下 面的解法简洁明了．
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第二部分 专题五 解析几何
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典例3 (1)(2020·天津市部分区期末)直线x－y＋1＝0与圆x2
＋(y＋1)2＝4相交于A、B，则弦AB的长度为
(B )
A． 2
B．2 2
C．2
D．4
(2)(2020·武昌区模拟)若直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝4相交，且两
【解析】 已知圆C1：x2＋y2＝8与圆C2：x2＋y2＋2x＋y－a＝0相 交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x＋y－a＋8＝0，
第二部分 专题五 解析几何
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若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨 论：
物理：《圆周运动》课件 (复习专题)
但是这并不是竞技魅力的全部。奥林匹克运动会的发起人皮埃尔·德·顾拜旦曾说过：“奥运会重要的不是胜利而是参与，生 活的本质不是索取而是奋斗。在奥林匹克这个舞台上，有几万人在为自己的理想而奋斗，有几十万人，甚至几百万、几千万、 几亿人在为了来到这个舞台而不断超越着自我。他们中间的一些人可能最终也与金牌无缘，但一直在努力且永不放弃，应该赢 得社会的尊重和敬意”。其实，金牌并不是奥运会的全部。如果其光环被无限放大，也就背离了奥林匹克的本意。
(2)竖直平面内的圆周运动
例： 某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其 中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管 弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆 组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平 地面相切．弹射装置将一个小物体（可视为质点） 以Va＝5 m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进 入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出．小 物体与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.3，不计其 它机械能损失．已知ab段长L＝1. 5 m，数字“0” 的半径R＝0.2 m，小物体质量m＝0.01 kg，g＝ 2 10 m/ ．求：小物体经过数 s 字“0”的最高点时管道对小 物体作用力的大小和方向．
天真的提醒。相差十岁开外，已经有一代的辈份了吧？怎么好叫哥哥呢？“是。叔、叔，要教～导、你——！”轻狂书生一发 咬上了牙。小童生打个寒噤，觉得叔叔好怪哦！满脸写满疑问，就被怪叔叔脚不沾地的拖走了。各人都两两分好了组，便各安 其位，每组自据一案，个个面壁，低声商议，推一人执笔，免得由笔迹泄露哪句是谁所作。“你来写吧。”宝音对刘晨寂轻声 道。她写字还不算特别顺，不敢献丑。刘晨寂也不推让，执起笔来，问：“你要什么韵？”宝音沉思好一会儿：“我只想出几 个字，别等我了。你喜欢用什么韵？”“我不妨。”刘晨寂道，“先尽着你罢。”宝音低低道：“期。花期的期。”刘晨寂点 头，算是记下了。他总不动笔，宝音想得了一联，怕时间不够，也不好等他了，赧然道：“我有一联。”刘晨寂便提笔。宝音 当他自己要写了，等他，他只静着，反在等宝音。宝音方悟，他提笔，是要她说句子，他好录，忙红着脸报给他：“野老闲与 朱鹭钓，娇娥笑对杏花期。”怕写得不好，被他笑，声如蚊蚋，有几个字，简直连自己都听不清。他录下来，一字不错，点点 头：“挺好。”又问：“这是颈联了。后头呢？”后头，宝音想不出怎么结尾。刘晨寂道：“那我先写前半首？”宝音点头。 刘晨寂舒袖展锋，并不思索，写道：“久梦桃夭始自知，江南已是落花时。半城红谢唐人卷，两处青余陌上词。”如在静默的 冬夜，捧起一盏清茶，齿颊留香。他这样好的文风，前一题，怎交白卷？因他不在乎丢脸，宝音在乎。他特来替宝音解围、与 宝音搭档，就不能叫宝音在众人目光之下，冷汗涔涔。他为何对宝音这样好？宝音被感动了。她感动的时候，往往脑袋就会变 成一团浆糊。明柯当时若不用私奔的故事来感动她，她也不会犯糊涂去盗出金像。可惜她糊涂的时候，就写不出诗了。时间已 快到，有的人已经交卷了。刘晨寂道：“还有尾联？”宝音知道还有尾联，但她哪里编得出来了。“你心事太重了。”刘晨寂 叹道。是，宝音除了感动之外，还在猜他为何对她好，是不是跟表 有什么渊源，又想到明柯私奔的故事里，会不会有什么真 情，还在想恩与怨、情与仇、前世与今生，孰取孰舍、何去何从。“交给我罢？”刘晨寂无奈道。“嗯。”宝音应道。恍惚间 她觉得把手里一切难解的题，都交给刘晨寂发付了。刘晨寂写下收句：“须知桃下少年好，得意时节正展眉。” 看了她一眼， 这是他对她的期许么？叫她放下一切，专心享受表 的人生？宝音满眼的疑问，刘晨寂低下头去收拾纸笔，似再无意愿跟宝音 交流，纸卷底下，却不动声色递过来一件东西？宝音手指触及，但觉是张很小的纸，叠成个包，不知里头装了什么东西，心头 狂跳。这是什么？“回家之前，找空
九年级上数学第24章圆复习课件
做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条
半径的直线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l l ∴直线l是⊙O的切线.
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
．
∵直线l是⊙O的切线,切 点为A
A
B
•
O C
D
1. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则
弦AB所对的圆周角为__5__0_0或___1_3_0_0_.（05年上海）
2.如图，AB是⊙O的直径,BD是
⊙O的弦，延长BD到点C,使
DC=BD,连接AC交⊙O与点F.
（1）AB与AC的大小有什么关
A
系?为什么? （2）按角的大小分类, 请你判断
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A
B
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
初三复习专题课件圆复习
例题二：圆周角定理的证明
总结词
圆周角定理是圆的基本性质之一，它描述了圆上任意两个弧所对应的圆周角之间的关系 。
详细描述
首先，我们需要理解圆周角定理的内容，即“在同圆或等圆中，相等的弧所对应的圆周 角相等”。然后，我们可以通过一些例题来加深对圆周角定理的理解和应用。例如，我 们可以考虑如何利用圆周角定理来求解与圆相关的几何问题，如求圆的面积、求圆上任
圆是一种特殊的几何 图形，它由一条曲线 和圆心、半径等几何 元素组成
圆的性质
01
02
03
圆的对称性
圆是一个轴对称图形，任 何一条直径所在的直线都 是圆的对称轴
圆的旋转不变性
以圆心为固定点，圆在旋 转时形状和大小保持不变
圆的离心率
圆的离心率等于0，意味 着圆是一种特殊的椭圆
圆中的特殊点
01
02
03
04
CATALOGUE
圆的易错知识点
易错点一：概念不清
圆的基本概念：圆心、 半径、直径、弧、弦等
。
01
圆的方程：圆的标准方 程、一般方程和参数方
程。
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆的性质：圆心角与弧 长、圆周角与弦长等。
05
圆的定义：平面上所有 与给定点（圆心）距离 等于给定正数（半径）
的点的集合。
02
圆与直线、圆与圆的位 置关系等。
圆与坐标系
圆与坐标系的关系
在坐标系中，可以通过给定圆的方程 来描述一个圆的位置和大小。同时， 也可以通过给定点的坐标来描述一个 点在圆上的位置。
圆与坐标系的应用
在解题中，可以利用圆与坐标系的性 质，如圆的方程、点到圆心的距离等 ，来解决一些综合题。同时，也可以 利用坐标系中的对称性来简化一些问 题。
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圆的
轴对称性 定理知
垂直于弦 的直径
性质
二得三
圆的基本概念
半径、弦心距、
弦的一半构成 Rt△
圆弧 弦
直线与圆
圆与圆
正多边形 与圆
相交
等分 圆周
圆心角等 弦等 弧等
中心、外接圆
正多边形
半径R外
中心角 360 n
弧长与扇 形面积
边心距R内 计算解直角△
圆
圆锥侧面积 与全面积
s n R2 360
l n R 180
③ PA⊥OA，PB⊥OB； ④∠1=∠2=∠ 3=∠ 4; ⑤ AC＝BC； ⑥C为△PAB的内心 △OAD, △OAP, △PAD, △OBD, △PBD, △OPB都相似.等等
A
１
·D C ３
O
４P
２
B
把圆的许多知识都串起来了。
求扇形面积问题
如图：草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它 的喷射半径是20m，求它能喷灌的草坪的面积。
方法四：思路，连接OC、DE，利用菱形的对角线互相垂 直、平分的性质．通过列出比例式得到．
方法五：思路，证四边形ADEC是平行四边形，在利用 △ODE与△OAB相似得比例式
圆在生活中的应用
如图：海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔 船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东 600方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北 偏东300方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有 没有触礁的危险？
积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点 是．
2009年
中考考点：2010年
2011年
中考考点：
2012年
近五年中考考题分析
考点解析：
圆属于图形与几何领域中的图形的性质范畴，新修 订的课标对这部分内容有所删减，对圆的知识点考查近 几年在难度上降低了要求，结合近年中考试题分析，在 中考中所涉及的命题大都和圆的基本性质、与圆有关的 位置关系、圆中的计算有关．中考考查的重点内容是圆 周角定理，垂径定理，切线的性质定理和判定定理，切 线长定理等的应用，掌握这些定理是学好圆的关键，考 题一般难度是中等偏上，每年涉及这部分的考题大概在 14分左右。近两年又考查了四边形与圆的简单性质及判 定的应用，淡化了对几何证明技巧的考查，淡化了对四 边形的相关知识的证明，把四边形的知识也都融合到圆 的解答题中，也要求学生灵活掌握。这部分的分值能否 得到，关系试卷的得分能否超过百
圆内平行 弦间距离
弦所对圆 周角弧长
点与圆
与圆有
直线与圆
直线与圆明确公共点： 连半径、证垂直
圆在平面直角坐标系中的的应用
（08年天津中考题）在平面直角坐标系中， 已知点A（-4，0），B（2，0），若点C在一 次函数 的图象上，且△ABC为直角三角形， 则满足条件的点C有（ D ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C1 C3
C4 C2 A(-4，0) O B (2，0)
学法指导
直线与圆不明确公共 点：作垂直、证半径
垂径定理、弧、 弦、圆心(周)角
半径、弧长、
半径、圆心角、弧 长、扇形面积
生活的应用
圆自身 知识应用
圆与其它 知识应用
四边形 正多边形
内切圆、外接圆 外接圆
特殊四边形
扇形面积知二得一
互逆 切线判定
切线性质
切线长定理
正多边 形计算
平面直 角坐标系
解直角△ 周长、面积问题
垂径定理 圆心角、弧
垂径定理、圆心角、圆周角综合应用
中考考点：
2008年
3．边长为 的正六边形的面积等于（ ）
A.
B.
C.
D.
18．如图①O1， O2 ，O3，O4为四个等圆的圆心， A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，
将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直 线经过的两个点是 ；如图② O1， O2 ，O3， O4，O5 为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切 点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面
圆的专题复习
XX实验中学
圆的专题复习流程
知
课
考
学
知
学
识
标
题
情
识
法
脉
对
分
分
应
指
络
比
析
析
用
导
圆外 圆上
圆内 相离
相切
内含 外离
外切
相交 相离
相切
内切
同（等）弧所对的 圆周角相等，都等 于圆心角的一半
圆心角等、弧等、 弦等知一得二
点与圆
直径所对的圆 周角是直角
同圆或等圆中
圆周角定理
旋转不变性
弧弦圆心 角的关系
A
B
D
C
圆周角的应用
如图：在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他 带球冲到A点时，同伴乙已经助攻到B点，此时甲是直接 射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角 度考虑）
圆与相似三角形的综合应用
Hale Waihona Puke 如图，是切线长定理基本图形的引申，还可以得出很多
结论，如：①PO⊥AB； ②AD=BD；
（ （
如图：OA⊥BC，∠AOB=50°，试确定∠ ADC的大
小。
A
C
B
O
D
圆与三角形、四边形、相似形的应用 （2011年天津中考第22题）
（Ⅰ）思路，利用等腰三角形性质和勾股定理
圆与三角形、四边形、相似形的应用 方法一：思路，利用菱形的对边平行，得比例式．
方法二：思路,证△ODC是等边三角形，得300的直角三角形 方法三：思路，连接OC,通过导角，得到AD=DC（等腰△）
学情分析：
知识应用
勾股定理
同(等)弧所对 圆周角相等，等 于圆心角一半
圆周角与足球 射门问题
锐角三角函数 直角三角形
垂径定理得弧等、
垂径定理与赵 州桥问题
直线和圆位置关系
全等三角形
进而得弦等、圆心角等 或圆周角等
弧、圆心角 圆周角
与轮船触礁问题
圆在实际
三角形
等腰三角形 相似三角形
弧长、圆心角、 半径、知二得一
学情分析：
通过两年半的学习，学生已经掌握了一定 的知识、方法和技能，但对教材的理解是零碎 的、解题规律的探究也是不系统的。
对于我校学生情况，数学基础较差的学困 生占一定比重。
中等生的问题主要出现在部分学生基本知 识不过关，对于基本知识掌握不够扎实到位， 所以解题策略、应对不够迅速，
还有一部分学生基本题不屑做、难题又做 不完整，所以没有得分点。
圆心 半径
知识脉络树
新旧课标对比
要求加强的方面：
1.点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的探索； 2.圆的性质：垂径定理、圆心角与圆周角关系定理探索 3.切线与过切点的半径之间关系的探索； 4.切线长定理的探索 5.增加了：了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
要求降低的方面：
1.两圆连心线性质、两圆公切线没有要求； 2.圆锥的侧面积和全面积的计算没有要求 3.对内心和外心的要求由知道改为了解