二、最大值与最小值问题
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§2 2.2 最大值、最小值问题
2．2 最大值、最小值问题
一、预习教材·问题导入 1．问题：如何确定你班哪位同学最高？ 提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学， 再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
2．如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
问题 1：试说明 y＝f(x)的极值． 提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极 小值． 问题 2：你能说出 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？ 提示：函数的最小值是 f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的 最大值是 f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的． 问题 3：根据问题 2 回答函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能 在哪些点取得． 提示：在极值点或端点中．
令 f′(x)＝0，解得 x＝59或 x＝3(舍去)． 当 0＜x＜59时，f′(x)＞0，当59＜x＜1 时，f′(x)＜0， 所以 x＝59时，f(x)有最大值 f59＝20 000. 所以当 x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为 20 000 万元．
[类题通法] 利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式 y＝f(x)． (2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求函数 可能的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数 值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
二、归纳总结·核心必记 1．最值点 (1)最大值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不超过 f(x0)． (2)最小值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不小于 f(x0)． 2．最值 函数的 最大值 与 最小值 统称为最值．
一、预习教材·问题导入 1．问题：如何确定你班哪位同学最高？ 提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学， 再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
2．如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
问题 1：试说明 y＝f(x)的极值． 提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极 小值． 问题 2：你能说出 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？ 提示：函数的最小值是 f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的 最大值是 f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的． 问题 3：根据问题 2 回答函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能 在哪些点取得． 提示：在极值点或端点中．
令 f′(x)＝0，解得 x＝59或 x＝3(舍去)． 当 0＜x＜59时，f′(x)＞0，当59＜x＜1 时，f′(x)＜0， 所以 x＝59时，f(x)有最大值 f59＝20 000. 所以当 x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为 20 000 万元．
[类题通法] 利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式 y＝f(x)． (2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求函数 可能的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数 值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
二、归纳总结·核心必记 1．最值点 (1)最大值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不超过 f(x0)． (2)最小值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不小于 f(x0)． 2．最值 函数的 最大值 与 最小值 统称为最值．
第四章 §2 2.2 最大值、最小值问题
面积、体积(容积)的最值问题
[例 3] 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的 一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科 技工业园．已知 AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|＝|BC| ＝4 km，|AO|＝2 km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点 且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的两边分别落在 AB，BC 上，且一个顶点落在曲线段 OC 上，应如何规划才能使矩形工业园 的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到 0.1 km2)．
(2)当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 恒成立，只需使 f(x)在[－1,2]上的 最大值小于 m 即可．
由(1)知 f(x)极大值＝f(－23)＝5＋2227， f(x)极小值＝f(1)＝72. 又 f(－1)＝121，f(2)7. 所以 m>7，即 m 的取值范围为(7，＋∞)．
求函数的最值 [例 1] 求下列函数的最值． (1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)； (2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π] [思路点拨] 先求函数在给定区间的极值，然后再与端点 值比较，即可确定函数的最值．
[精解详析] (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，
元，则总造价的最小值为
()
A．400 元
B．1 200 元
C．1 600 元
D．2 800 元
解析：设总造价为 y 元，池底的一边长 x 米，池底的面积为 8÷2 ＝4(平方米)，池底的另一边长为4x米，池壁的面积为 4x＋4x平 方米，故有 y＝4×300＋4x＋4x×100＝400x＋4x＋1 200(x＞ 0)．y′＝4001－x42， 令 y′＝0 得 x＝2，由 y′ ＞0 得 x ＞2，由 y′＜0 得 0＜x＜2， 即 y 在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以当 x＝2 时，y 取得最小值，且 ymin＝2 800. 答案：D
第2章 2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型
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(1)求a关于h的函数解析式； (2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值. (求解本题时，不计容器的厚度)
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【解】 (1)设h′为正四棱锥的斜高，
由已知a2＋4·12h′a＝2， h2＋14a2＝h′2，
解得a＝
1 h2＋1(h>0).
cn.它们使得ax＋by＋cz＝δ，
且ω＝
al＋
bm＋ δ
cn2，所以ω的最小值为
al＋
bm＋ δ
cn2 .
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利用柯西不等式求最值时，必须验证等号成立的条件是否满足.
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[再练一题]
2.设x，y，z∈R，且
x－12 16
＋
y＋22 5
＋
z－32 4
＝1.求x＋y＋z的最大值和最
A.13
B.12
C.14
D.23
【解析】 ∵0＜x＜1， ∴x(1－x)≤x＋12－x2＝14， 当且仅当x＝12时取等号. 【答案】 B
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2.已知t＞0，则函数y＝t2－4tt＋1的最小值为________. 【解析】 ∵t＞0，∴y＝t2－4tt＋1 ＝t＋1t －4≥2－4＝－2. 【答案】 －2
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【精彩点拨】 分别求出开发前、后该项目10年利润的最大值，比较大小 即可.
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【自主解答】 若按原来投资环境不变，由题设知，每年只需从60万元中
拿出40万元投资，可获最大利润10万元.这样10年总利润最大值为W＝10×10＝
初中八年级(初二)数学课件 最大值、最小值问题
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最大值或最小值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值 即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租 金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为多少可获得最大收入？
注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
二、应用
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在 [3,4]
上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23; f (2) 34;
R(350)
(350
20)
6831500 108 Nhomakorabea0 (元).
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围
成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点，使 曲线在该点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成 的三角形面积最大．
解 如图,
设所求切点为P( x0 , y0 ),
x0 16 (舍去).
P
oA
T B
Cx
S(16) 8 0. S(16) 4096 为极大值 .
3
3 217
故 S(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
则切线 PT 为 y y0 2x0( x x0 ),
y
P
oA
T B
Cx
y0 x02 ,
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最大值或最小值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值 即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租 金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为多少可获得最大收入？
注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
二、应用
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在 [3,4]
上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23; f (2) 34;
R(350)
(350
20)
6831500 108 Nhomakorabea0 (元).
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围
成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点，使 曲线在该点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成 的三角形面积最大．
解 如图,
设所求切点为P( x0 , y0 ),
x0 16 (舍去).
P
oA
T B
Cx
S(16) 8 0. S(16) 4096 为极大值 .
3
3 217
故 S(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
则切线 PT 为 y y0 2x0( x x0 ),
y
P
oA
T B
Cx
y0 x02 ,
高中数学 2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型课件
当 堂
自 主 导
积为 V＝(a－2x)2x，再利用三个正数的算术－几何平均值不
双 基 达
学 等式，变形为 xyz≤(x＋3y＋z)3 求解即可．
标
课
【自主解答】 设切去的小正方形的边长为 x(x<a2)，无
堂
课
互 动 探
盖方底盒子的容积为
V，则
V
＝
(a
－
2x)2x
＝
1 4
(a
－
2x)(a
－
时 作 业
当 堂
自 主
铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线
双 基
导
达
学 翻折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时， 标
才能使盒子的容积最大？
课
堂
课
互
时
动
作
探
业
究
图 2－4－1
菜单
RB ·数学 选修4-5
【思路探究】 设切去的小正方形的边长为 x，由题意可
课 前
知，折成的盒子的底面边长为 a－2x，高为 x，这时盒子的容
课 小值．
堂
课
互
【思路探究】 题设中的 ω 与 δ 的形式符合柯西不等式 时
动
作
探 究
的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值．
业
菜单
RB ·数学 选修4-5
课 前
【自主解答】 由柯西不等式得 ω·δ＝[(
xl )2＋(
my )2
当 堂
自
双
主
导 ＋(
学
nz)2]·[( ax)2＋( by)2＋( cz)2]≥( al＋ bm＋ cn)2，
课 前 自
最大值与最小值在数学问题中的应用
最大值与最小值在数学问题中的应用在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念，它们在各种数学问题中都有广泛的应用。
无论是在代数、几何还是概率统计等领域，最大值和最小值都扮演着重要的角色。
本文将探讨最大值和最小值在数学问题中的应用，并通过具体的例子来说明它们的重要性。
一、最大值和最小值在代数问题中的应用在代数中，最大值和最小值通常与方程和不等式相关。
考虑一个简单的方程问题：求解方程f(x) = 0的最大值和最小值。
在这种情况下，我们需要找到使得f(x)= 0的x值，其中f(x)是一个给定的函数。
最大值和最小值的概念可以帮助我们确定方程的解集。
例如，考虑方程x^2 - 4 = 0。
我们可以将f(x) = x^2 - 4表示为一个二次函数。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
在这种情况下，极值点就是最大值和最小值。
通过求导数，我们可以得到f'(x) = 2x。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 0。
将x = 0代入f(x) = x^2 - 4，我们得到f(0) = -4。
因此，方程的最小值为-4。
类似地，我们可以通过求导数找到方程的最大值。
在这个例子中，方程的最大值为4。
通过求解方程f(x) = 0的最大值和最小值，我们可以得到方程的解集为{-2, 2}。
二、最大值和最小值在几何问题中的应用在几何中，最大值和最小值通常与图形的特征相关。
考虑一个简单的几何问题：求解一个矩形的最大面积。
在这种情况下，我们需要找到一个矩形的尺寸，使得它的面积最大。
假设矩形的长为L，宽为W。
矩形的面积可以表示为A = L * W。
我们可以通过求导数的方法找到矩形面积的最大值。
通过求导数，我们可以得到A' = W + L =0。
解这个方程，我们可以得到W = L。
因此，当长和宽相等时，矩形的面积最大。
这意味着一个正方形具有最大的面积。
通过求解矩形的最大面积问题，我们可以得到一个有趣的结论：在所有具有相同周长的矩形中，正方形具有最大的面积。
九年级数学最大值、最小值问题
计算 f (3) 23; f (2) 34;
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
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；
够抵御的风险毕竟有限，世上无法预计的灾难却是无限的。战胜灾难靠的更多的是临门一脚，先前的惴惴不安帮不上忙。 当风暴的尾巴终于远去，我们守住零乱的家园。气还没有喘匀，新的提醒又智慧地响起来，我们又开始对未来充满恐惧的期待。 人生总是有灾难。其实大多 数人早已练就了对灾难的从容，我们只是还没有学会灾难间隙的快活。我们太多注重了自己警觉苦难，我们太忽视提醒幸福。请从此注意幸福！幸福也需要提醒吗？ 提醒注意跌倒……提醒注意路滑……提醒受骗上当……提醒荣辱不惊……先哲们提醒了我们一万零一次，却不提醒我 们幸福。 也许他们认为幸福不提醒也跑不了的。也许他们以为好的东西你自会珍惜，犯不上谆谆告诫。也许他们太崇尚血与火，觉得幸福无足挂齿。他们总是站在危崖上，指点我们逃离未来的苦难。但避去苦难之后的时间是什么？ 那就是幸福啊！ 享受幸福是需要学习的， 当幸福即将来临的时刻需要提醒。人可以自然而然地学会感官的享乐，人却无法天生地掌握幸福的韵律。灵魂的快意同器官的舒适像一对孪生兄弟，时而相傍相依，时而南辕北辙。 幸福是一种心灵的振颤。它像会倾听音乐的耳朵一样，需要不断地训练。 简言之，幸福就是没有 痛苦的时刻。它出现的频率并不像我们想象的那样少。 人们常常只是在幸福的金马车已经驶过去很远，捡起地上的金鬃毛说，原来我见过它。 人们喜爱回味幸福的标本，却忽略幸福披着露水散发清香的时刻。那时候我们往往步履匆匆，瞻前顾后不知在忙着什么。 世上有 预报台风的，有预报蝗虫的，有预报瘟疫的，有预报地震的。没有人预报幸福。其实幸福和世界万物一样，有它的征兆。 幸福常常是朦胧的，很有节制地向我们喷洒甘霖。你不要总希冀轰轰烈烈的幸福，它多半只是悄悄地扑面而来。你也不要企图把水龙头拧得更大，使幸福很快地 流失。而需静静地以平和之心，体验幸福的真谛。 幸福绝大多数是朴素的。它不会像信号弹似的，在很高的天际闪烁红色的光芒。它披着本色外衣，亲切温暖地包裹起我们。 幸福不喜欢喧嚣浮华，常常在暗淡中降临。贫困中相濡以沫的一块糕饼，患难中心心相印的一个眼神， 父亲一次粗糙的抚摸，女友一个温馨的字条……这都是千金难买的幸福啊。像一粒粒缀在旧绸子上的红宝石，在凄凉中愈发熠熠夺目。 幸福有时会同我们开一个玩笑，乔装打扮而来。机遇、友情、成功、团圆…… 它们都酷似幸福，但它们并不等同于幸福。幸福会借了它们的衣 裙，袅袅婷婷而来，走得近了，揭去帏幔，才发觉它有钢铁般的内核。幸福有时会很短暂，不像苦难似的笼罩天空。如果把人生的苦难和幸福分置天平两端，苦难体积庞大，幸福可能只是一块小小的矿石。但指针一定要向幸福这一侧倾斜，因为它有生命的黄金。 幸福有梯形的切面， 它可以扩大也可以缩小，就看你是否珍惜。 我们要提高对于幸福的警惕，当它到来的时刻，激情地享受每一分钟。据科学家研究，有意注意的结果比无意要好得多。 当春天来临的时候，我们要对自己说，这是春天啦！心里就会泛起茸茸的绿意。 幸福的时候，我们要对自 己说，请记住这一刻！幸福就会长久地伴随我们。那我们岂不是拥有了更多的幸福！ 所以，丰收的季节，先不要去想可能的灾年，我们还有漫长的冬季来得及考虑这件事。我们要和朋友们跳舞唱歌，渲染喜悦。既然种子已经回报了汗水，我们就有权沉浸幸福。不要管以后的风霜雨 雪，让我们先把麦子磨成面粉，烘一个香喷喷的面包。 所以，当我们从天涯海角相聚在一起的时候，请不要踌躇片刻后的别离。在今后漫长的岁月里，有无数孤寂的夜晚可以独自品尝愁绪。现在的每一分钟，都让它像纯净的酒精，燃烧成幸福的淡蓝色火焰，不留一丝渣滓。让我们 一起举杯，说：我们幸福。 所以，当我们守候在年迈的父母膝下时，哪怕他们鬓发苍苍，哪怕他们垂垂老矣，你都要有勇气对自己说：我很幸福。因为天地无常，总有一天你会失去他们，会无限追悔此刻的时光。 幸福并不与财富地位声望婚姻同步，这只是你心灵的感觉。 所以，当我们一无所有的时候，我们也能够说：我很幸福。因为我们还有健康的身体。当我们不再享有健康的时候，那些最勇敢的人可以依然微笑着说：我很幸福。因为我还有一颗健康的心。甚至当我们连心也不再存在的时候，那些人类最优秀的分子仍旧可以对宇宙大声说：我很幸福。 因为我曾经生活过。 常常提醒自己注意幸福，就像在寒冷的日子里经常看看太阳，心就不知不觉暖洋洋亮光光。 造心 蜜蜂会造蜂巢。蚂蚁会造蚁穴。人会造房屋，机器，造美丽的艺术品和动听的歌。但是，对于我们最重要最宝贵的东西──自己的心，谁是它的建造者？ 孔 雀绚丽的羽毛，是大自然物竞天择造出。白杨笔直刺向碧宇，是密集的群体和高远的阳光造出。清香的花草和缤纷的落英，是植物吸引异性繁衍后代的本能造出。卓尔不群坚韧顽强的性格，是秉赋的优异和生活的历练造出。 我们的心，是长久地不知不觉地以自己的双手，塑造而成。 造心先得有材料。有的心是用钢铁造的，沉黑无比。有的心是用冰雪造的，高洁酷寒。有的心是用丝绸造的，柔滑飘逸。有的心是用玻璃造的，晶莹脆薄。有的心是用竹子造的，锋利多刺。有的心是用木头造的，安稳麻木。有的心是用红土造的，粗糙朴素。有的心是用黄连造的，苦楚不 堪。有的心是用垃圾造的，面目可憎。有的心是用谎言造的，百孔千疮。有的心是用尸骸造的，腐恶熏天。有的心是用眼镜蛇唾液造的，剧毒凶残。 造心要有手艺。一只灵巧的心，缝制得如同金丝荷包。一罐古朴的心，淳厚得好似百年老酒。一枚机敏的心，感应快捷电光石火。一 颗潦草的心，门可罗雀疏可走马。一滩胡乱堆就的心，乏善可陈杂乱无章。一片编织荆棘的心，暗设机关处处陷井。一道半是细腻半是马虎的心，好似白蚁蛀咬的断堤。一朵绣花枕头内里虚空的心，是假冒伪劣心界的水货。 造心需要时间。少则一分一秒，多则一世一生。片刻而成 的大智大勇之心，未必就不玲珑。久拖不绝的谨小慎微之心，未必就很精致。有的人，小小年纪，就竣工一颗完整坚实之心。有的人，须发皆白，还在心的地基挖土打桩。有的人，半途而废不了了之，把半成品的心扔在荒野。有的人，成百里半九十，丢下不曾结尾的工程。有的人，精雕 细刻一辈子，临终还在打磨心的剔透。有的人，粗制滥造一辈子，人未远行，心已灶冷坑灰。 心的边疆，可以造的很大很大。像延展性最好的金箔，铺设整个宇宙，把日月包涵。没有一片乌云，可以覆盖心灵辽阔的疆域。没有哪次地震火山，可以彻底颠覆心灵的宏伟建筑。没有任 何风暴，可以冻结心灵深处喷涌的温泉。没有某种天灾人祸，可以在秋天，让心的田野颗粒无收。 心的规模，也可能缩得很小很小，只能容纳一个家，一个人，一粒芝麻，一滴病毒。一丝雨，就把它淹没了。一缕风，就把它粉碎了。一句流言，就让它痛不欲生。一个阴谋，就置它 万劫不复。 心可以很硬，超过人世间已知的任何一款金属。心可以很软，如泣如诉如绢如帛。心可以很韧，千百次的折损委屈，依旧平整如初。心可以很脆，一个不小心，顿时香消玉碎。 造心的时候，可以有很多讲究和设计。 比如预埋下一处心灵的生长点，像一株植物， 具有自动修复，自我养护的神奇功能。心受了创伤，它会挺身而出，引导心的休养生息，在最短的时间内，使心整旧如新。 比如高高竖起心灵的避雷针，以便在危急时刻，将毁灭性的灾难导入地下，耐心等待雨过天晴。 比如添加防震防爆的性能，在心灵遭受短时间高强度的残 酷打击下，举重若轻，镇定地维持蓬勃稳定。 比如…… 优等的心，不必华丽，但必须坚固。因为人生有太多的压榨和当头一击，会与独行的心灵，在暗夜狭路相逢。如果没有精心的特别设计，简陋的心，很易横遭伤害一蹶不振，也许从此破罐破摔，再无生机。没有自我康复本 领的心灵，是不设防的大门。一汪小伤，便漏尽全身膏血。一星火药，烧毁绵延的城堡。 心为血之海，那里汇聚着每个人的品格智慧精力情操，心的质量就是人的质量。有一颗仁慈之心，会爱世界爱人爱生活，爱自身也爱大家。有一颗自强之心，会勤学苦练百折不挠，宠辱不惊大 智若愚。有一颗尊严之心，会珍惜自然善待万物。有一颗流量充沛羽翼丰满的心，会乘上幻想的航天飞机，抚摸月亮的肩膀。 造心是一项艰难漫长的工程，工期也许耗时一生。通常是母亲的手，在最初心灵的模型上，留下永不消退的指纹。所以普天下为人父母者，要珍视这一份特 别庄重的义务与责任。 当以我手塑我心的时候，一定要找好样板，郑重设计，万不可草率行事。造心当然免不了失败，也很可能会推倒重来。不必气馁，但也不可过于大意。因为心灵的本质，是一种缓慢而精细的物体，太多的揉搓，会破坏它的灵性与感动。 造好的心，如同造 好的船。当它下水远航时，蓝天在头上飘荡，海鸥在前面飞翔，那是一个神圣的时刻。会有台风，会有巨涛。但一颗美好的心，即使巨轮沉没，它的颗粒也会在海浪中，无畏而快乐地燃烧。 读书使人优美 优美在字典上的意思是：美好。 ? 做一个美好的人，我相信是绝大多数人的心愿。 谁不愿意美好啊？除了心灵的美好，外表也需美好。为了这份美好，人们使出了万千手段。比如刀兵相见的整容，比如涂脂抹粉的化妆。为了抚平脸上的皱纹，竟然发明了用肉毒杆菌的毒素在眉眼间注射，让面部微小神经麻痹，换来皮肤的暂时平滑……让我这个曾经当过医生的人胆战心 惊。 其实，有一个最简单的美容之法，却被人们忽视，那就是读书！ 读书的时候，人是专注的。因为你在聆听一些高贵的灵魂自言自语，就会不由自主地谦逊和聚精会神。即使是读闲书，看到妙处，也会忍不住拍案叫绝……长久的读书可以使人养成恭敬的习惯，知道这个世界上可以 为师的人太多了，在生活中也会沿袭洗耳倾听的姿态。而倾听，是让人神采倍添的绝好方式。所有的人都渴望被重视，而每一个生命也都不应被忽视。你重视了他人，魅力就降临在你双眸。 ? 读书的时候，常常会会心一笑。那些智慧和精彩，那些英明与穿透，让我们在惊叹的同时拈页 展颜。微笑是最好的敷粉和装点，微笑可以传达比所有语言更丰富的善意与温暖。有
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
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够抵御的风险毕竟有限，世上无法预计的灾难却是无限的。战胜灾难靠的更多的是临门一脚，先前的惴惴不安帮不上忙。 当风暴的尾巴终于远去，我们守住零乱的家园。气还没有喘匀，新的提醒又智慧地响起来，我们又开始对未来充满恐惧的期待。 人生总是有灾难。其实大多 数人早已练就了对灾难的从容，我们只是还没有学会灾难间隙的快活。我们太多注重了自己警觉苦难，我们太忽视提醒幸福。请从此注意幸福！幸福也需要提醒吗？ 提醒注意跌倒……提醒注意路滑……提醒受骗上当……提醒荣辱不惊……先哲们提醒了我们一万零一次，却不提醒我 们幸福。 也许他们认为幸福不提醒也跑不了的。也许他们以为好的东西你自会珍惜，犯不上谆谆告诫。也许他们太崇尚血与火，觉得幸福无足挂齿。他们总是站在危崖上，指点我们逃离未来的苦难。但避去苦难之后的时间是什么？ 那就是幸福啊！ 享受幸福是需要学习的， 当幸福即将来临的时刻需要提醒。人可以自然而然地学会感官的享乐，人却无法天生地掌握幸福的韵律。灵魂的快意同器官的舒适像一对孪生兄弟，时而相傍相依，时而南辕北辙。 幸福是一种心灵的振颤。它像会倾听音乐的耳朵一样，需要不断地训练。 简言之，幸福就是没有 痛苦的时刻。它出现的频率并不像我们想象的那样少。 人们常常只是在幸福的金马车已经驶过去很远，捡起地上的金鬃毛说，原来我见过它。 人们喜爱回味幸福的标本，却忽略幸福披着露水散发清香的时刻。那时候我们往往步履匆匆，瞻前顾后不知在忙着什么。 世上有 预报台风的，有预报蝗虫的，有预报瘟疫的，有预报地震的。没有人预报幸福。其实幸福和世界万物一样，有它的征兆。 幸福常常是朦胧的，很有节制地向我们喷洒甘霖。你不要总希冀轰轰烈烈的幸福，它多半只是悄悄地扑面而来。你也不要企图把水龙头拧得更大，使幸福很快地 流失。而需静静地以平和之心，体验幸福的真谛。 幸福绝大多数是朴素的。它不会像信号弹似的，在很高的天际闪烁红色的光芒。它披着本色外衣，亲切温暖地包裹起我们。 幸福不喜欢喧嚣浮华，常常在暗淡中降临。贫困中相濡以沫的一块糕饼，患难中心心相印的一个眼神， 父亲一次粗糙的抚摸，女友一个温馨的字条……这都是千金难买的幸福啊。像一粒粒缀在旧绸子上的红宝石，在凄凉中愈发熠熠夺目。 幸福有时会同我们开一个玩笑，乔装打扮而来。机遇、友情、成功、团圆…… 它们都酷似幸福，但它们并不等同于幸福。幸福会借了它们的衣 裙，袅袅婷婷而来，走得近了，揭去帏幔，才发觉它有钢铁般的内核。幸福有时会很短暂，不像苦难似的笼罩天空。如果把人生的苦难和幸福分置天平两端，苦难体积庞大，幸福可能只是一块小小的矿石。但指针一定要向幸福这一侧倾斜，因为它有生命的黄金。 幸福有梯形的切面， 它可以扩大也可以缩小，就看你是否珍惜。 我们要提高对于幸福的警惕，当它到来的时刻，激情地享受每一分钟。据科学家研究，有意注意的结果比无意要好得多。 当春天来临的时候，我们要对自己说，这是春天啦！心里就会泛起茸茸的绿意。 幸福的时候，我们要对自 己说，请记住这一刻！幸福就会长久地伴随我们。那我们岂不是拥有了更多的幸福！ 所以，丰收的季节，先不要去想可能的灾年，我们还有漫长的冬季来得及考虑这件事。我们要和朋友们跳舞唱歌，渲染喜悦。既然种子已经回报了汗水，我们就有权沉浸幸福。不要管以后的风霜雨 雪，让我们先把麦子磨成面粉，烘一个香喷喷的面包。 所以，当我们从天涯海角相聚在一起的时候，请不要踌躇片刻后的别离。在今后漫长的岁月里，有无数孤寂的夜晚可以独自品尝愁绪。现在的每一分钟，都让它像纯净的酒精，燃烧成幸福的淡蓝色火焰，不留一丝渣滓。让我们 一起举杯，说：我们幸福。 所以，当我们守候在年迈的父母膝下时，哪怕他们鬓发苍苍，哪怕他们垂垂老矣，你都要有勇气对自己说：我很幸福。因为天地无常，总有一天你会失去他们，会无限追悔此刻的时光。 幸福并不与财富地位声望婚姻同步，这只是你心灵的感觉。 所以，当我们一无所有的时候，我们也能够说：我很幸福。因为我们还有健康的身体。当我们不再享有健康的时候，那些最勇敢的人可以依然微笑着说：我很幸福。因为我还有一颗健康的心。甚至当我们连心也不再存在的时候，那些人类最优秀的分子仍旧可以对宇宙大声说：我很幸福。 因为我曾经生活过。 常常提醒自己注意幸福，就像在寒冷的日子里经常看看太阳，心就不知不觉暖洋洋亮光光。 造心 蜜蜂会造蜂巢。蚂蚁会造蚁穴。人会造房屋，机器，造美丽的艺术品和动听的歌。但是，对于我们最重要最宝贵的东西──自己的心，谁是它的建造者？ 孔 雀绚丽的羽毛，是大自然物竞天择造出。白杨笔直刺向碧宇，是密集的群体和高远的阳光造出。清香的花草和缤纷的落英，是植物吸引异性繁衍后代的本能造出。卓尔不群坚韧顽强的性格，是秉赋的优异和生活的历练造出。 我们的心，是长久地不知不觉地以自己的双手，塑造而成。 造心先得有材料。有的心是用钢铁造的，沉黑无比。有的心是用冰雪造的，高洁酷寒。有的心是用丝绸造的，柔滑飘逸。有的心是用玻璃造的，晶莹脆薄。有的心是用竹子造的，锋利多刺。有的心是用木头造的，安稳麻木。有的心是用红土造的，粗糙朴素。有的心是用黄连造的，苦楚不 堪。有的心是用垃圾造的，面目可憎。有的心是用谎言造的，百孔千疮。有的心是用尸骸造的，腐恶熏天。有的心是用眼镜蛇唾液造的，剧毒凶残。 造心要有手艺。一只灵巧的心，缝制得如同金丝荷包。一罐古朴的心，淳厚得好似百年老酒。一枚机敏的心，感应快捷电光石火。一 颗潦草的心，门可罗雀疏可走马。一滩胡乱堆就的心，乏善可陈杂乱无章。一片编织荆棘的心，暗设机关处处陷井。一道半是细腻半是马虎的心，好似白蚁蛀咬的断堤。一朵绣花枕头内里虚空的心，是假冒伪劣心界的水货。 造心需要时间。少则一分一秒，多则一世一生。片刻而成 的大智大勇之心，未必就不玲珑。久拖不绝的谨小慎微之心，未必就很精致。有的人，小小年纪，就竣工一颗完整坚实之心。有的人，须发皆白，还在心的地基挖土打桩。有的人，半途而废不了了之，把半成品的心扔在荒野。有的人，成百里半九十，丢下不曾结尾的工程。有的人，精雕 细刻一辈子，临终还在打磨心的剔透。有的人，粗制滥造一辈子，人未远行，心已灶冷坑灰。 心的边疆，可以造的很大很大。像延展性最好的金箔，铺设整个宇宙，把日月包涵。没有一片乌云，可以覆盖心灵辽阔的疆域。没有哪次地震火山，可以彻底颠覆心灵的宏伟建筑。没有任 何风暴，可以冻结心灵深处喷涌的温泉。没有某种天灾人祸，可以在秋天，让心的田野颗粒无收。 心的规模，也可能缩得很小很小，只能容纳一个家，一个人，一粒芝麻，一滴病毒。一丝雨，就把它淹没了。一缕风，就把它粉碎了。一句流言，就让它痛不欲生。一个阴谋，就置它 万劫不复。 心可以很硬，超过人世间已知的任何一款金属。心可以很软，如泣如诉如绢如帛。心可以很韧，千百次的折损委屈，依旧平整如初。心可以很脆，一个不小心，顿时香消玉碎。 造心的时候，可以有很多讲究和设计。 比如预埋下一处心灵的生长点，像一株植物， 具有自动修复，自我养护的神奇功能。心受了创伤，它会挺身而出，引导心的休养生息，在最短的时间内，使心整旧如新。 比如高高竖起心灵的避雷针，以便在危急时刻，将毁灭性的灾难导入地下，耐心等待雨过天晴。 比如添加防震防爆的性能，在心灵遭受短时间高强度的残 酷打击下，举重若轻，镇定地维持蓬勃稳定。 比如…… 优等的心，不必华丽，但必须坚固。因为人生有太多的压榨和当头一击，会与独行的心灵，在暗夜狭路相逢。如果没有精心的特别设计，简陋的心，很易横遭伤害一蹶不振，也许从此破罐破摔，再无生机。没有自我康复本 领的心灵，是不设防的大门。一汪小伤，便漏尽全身膏血。一星火药，烧毁绵延的城堡。 心为血之海，那里汇聚着每个人的品格智慧精力情操，心的质量就是人的质量。有一颗仁慈之心，会爱世界爱人爱生活，爱自身也爱大家。有一颗自强之心，会勤学苦练百折不挠，宠辱不惊大 智若愚。有一颗尊严之心，会珍惜自然善待万物。有一颗流量充沛羽翼丰满的心，会乘上幻想的航天飞机，抚摸月亮的肩膀。 造心是一项艰难漫长的工程，工期也许耗时一生。通常是母亲的手，在最初心灵的模型上，留下永不消退的指纹。所以普天下为人父母者，要珍视这一份特 别庄重的义务与责任。 当以我手塑我心的时候，一定要找好样板，郑重设计，万不可草率行事。造心当然免不了失败，也很可能会推倒重来。不必气馁，但也不可过于大意。因为心灵的本质，是一种缓慢而精细的物体，太多的揉搓，会破坏它的灵性与感动。 造好的心，如同造 好的船。当它下水远航时，蓝天在头上飘荡，海鸥在前面飞翔，那是一个神圣的时刻。会有台风，会有巨涛。但一颗美好的心，即使巨轮沉没，它的颗粒也会在海浪中，无畏而快乐地燃烧。 读书使人优美 优美在字典上的意思是：美好。 ? 做一个美好的人，我相信是绝大多数人的心愿。 谁不愿意美好啊？除了心灵的美好，外表也需美好。为了这份美好，人们使出了万千手段。比如刀兵相见的整容，比如涂脂抹粉的化妆。为了抚平脸上的皱纹，竟然发明了用肉毒杆菌的毒素在眉眼间注射，让面部微小神经麻痹，换来皮肤的暂时平滑……让我这个曾经当过医生的人胆战心 惊。 其实，有一个最简单的美容之法，却被人们忽视，那就是读书！ 读书的时候，人是专注的。因为你在聆听一些高贵的灵魂自言自语，就会不由自主地谦逊和聚精会神。即使是读闲书，看到妙处，也会忍不住拍案叫绝……长久的读书可以使人养成恭敬的习惯，知道这个世界上可以 为师的人太多了，在生活中也会沿袭洗耳倾听的姿态。而倾听，是让人神采倍添的绝好方式。所有的人都渴望被重视，而每一个生命也都不应被忽视。你重视了他人，魅力就降临在你双眸。 ? 读书的时候，常常会会心一笑。那些智慧和精彩，那些英明与穿透，让我们在惊叹的同时拈页 展颜。微笑是最好的敷粉和装点，微笑可以传达比所有语言更丰富的善意与温暖。有
最大值与最小值的定义及求解方法
最大值与最小值的定义及求解方法在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念。
了解它们的定义和求解方法，有助于我们更好地理解和应用数学知识。
一、最大值和最小值的定义最大值指的是一组数中的最大值，也就是这些数中最大的那个数。
例如，1、2、3、4中的最大值为4。
最小值则是这组数中最小的那个数，例如，1、2、3、4的最小值为1。
在函数中，最大值和最小值的定义稍有不同。
对于一个函数f(x)而言，最大值指的是函数在定义域中最大的函数值，也就是在这个函数中，y的取值最大的那个点。
同样的，最小值则是函数在定义域中最小的函数值，也就是在这个函数中，y的取值最小的那个点。
二、求解方法求解最大值和最小值的方法有很多种，以下是几种比较常见的方法。
1.导数法通过求函数的导数，可以判断函数在哪些点处达到最大值或最小值。
具体来说，如果函数在某个点处的导数为0，那么这个点就是函数的极值点。
如果导数为正，那么这个点就是函数的最小值点；如果导数为负，那么这个点就是函数的最大值点。
2.描点法描点法，也称为“列表法”，是一种通过列出函数在特定点处的函数值来确定函数最大值或最小值的方法。
具体来说，我们可以先选取一些数作为自变量，计算函数在这些点处的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的最大值或最小值。
3.函数图像法函数图像法，就是通过观察函数的图像来判断函数的最大值或最小值。
具体来说，我们可以画出函数的图像，然后找到其中的极值点，并判断这些点是最大值点还是最小值点。
三、总结最大值和最小值的概念在数学中非常重要，而求解最大值和最小值的方法也有很多种。
通过学习这些方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，同时也可以更好地解决和处理实际问题。
九年级数学最大值、最小值问题
计算 f (3) 23; f (2) 34;
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
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材的多样化，非要把闲情雅致、风花雪月从散文主题上驱逐出去不可，而是指一个“比例”问题。我和散文家刘烨园先生在谈话中，他提出一个“比例”说，问题点得很到位：评价一种事物和现象，关键看它所包含的各项的比例。纠正一个偏颇，其实即对一种比例作调整，而非彻底颠覆或灭杀 什么。现在的情况是：散文中赋闲成分太大，精神比例过小。对我们这样一个远不轻松的时代更是如此。除了过去所赋予散文的那些品质以外，散文应融入更多的思想和良知的品质，除了生命美学和感性元素，更应融入理性揭批功能，应在问题上更贴近当代生存，应放扩关怀力，让更多更严峻 的事物进入视野……尤其眼下是这样一个“问题”和“隐患”威胁到人类生存的时代，散文应适度地选择承担，选择发言，而非冷漠与旁观。 过去有一句话：“民族的，就是世界的。”套用一下，也可以说：“当代的，就是永恒的”，如果对当代最重大和最急峻的现实命题都回避，如果连 当代生活都不感兴趣的话，那所谓“藏之名山”的想法无疑是可笑的，一种虚妄的幻觉与自欺罢了。其实，西方的优秀作家和作品，本质上无时无刻不是在为当代人而作，也是为未来而作——因为未来者对先人生存历史和精神困境的了解，无不是通过这些作品实现的。 当代叙事的不足，也 表现在所谓的“文化大散文”上，它们更多地扮演了一种“棕子”，一种“裹脚”的叙事角色，更多的停滞在对史事片段的重复叙述和揣摩上（我一点不否定它的价值，只是觉得它应该而且能够承担更多的东西）。文化不应只是“过去时”的，更应有“现在时”和“进行时”，应把精神触角延 伸至当下的国民生态，应在时间过渡的表面下，找到“根”和“枝叶”的血脉递承与母子关系，否则，文化散文就成了彻头彻尾的“历史散文”。说到底，这取决于作者的内里和品格，尤其在中国，这甚至不是才华、能力和技术问题，而是一个写作信仰问题，是对作家生命关怀力的考验，对其 精神诉求和承担能力的考验！ 所以我觉得，其实有一个比“写得好坏”更重大的问题我们没解决好：“为什么写作？”在这样一个职业选择日益多样化的时代，是什么样的绝对理由和终极信仰使一个人选择了孤独的写作生涯而没有去干别的？这个问题在西方作家身上可以说是一个永恒的终 身命题，从他开始写作的那天起，就要面对，就要选择，就要确立一种生存立场和写作姿势，就要为自己一生的作品命名，一直到死。但在很多中国作家这儿，你很可能找不到这样一个“基因”，或者未曾遇到，或者根本不当回事。也就是说，我们的文学深处，很有可能缺乏一个结实的“奠 基”，缺乏一种“根”。 最后，我还想说明的一点是：当前散文的“热闹”很大程度上是由杂文、思想或文化随笔——由作者队伍的结构和角色改变所带来的，散文从业人员的成分复杂和丰富了，它不再是传统文学作者的专利，诗人、人文学者、自然科学家、批评型知识分子、小说家的 “另类散文”都给人耳目一新的感觉。虽然表面上看，涉及社会民生、历史文化、自然生态的文本如今比任何一个时期显得都多，但实际质量不容乐观，除了刚才提到的“文化散文”的缺陷外，还要警惕一点：在给散文松绑、融入理性品质的同时，要防止文学美质和艺术性的流失！我注意到很 多理性散文和思想性随笔在文本上的机械、粗糙与僵硬，其美学含量是严重不足的——不仅仅反映在语言表层，更多还体现于思维、思路的粗糙和欠精准上。 总之，散文现在面临的不再是它能承载什么——允许什么进入的问题？而关键看我们能够赋予散文什么？散文应从传统的那种松垮、 慵散、懈怠的过于休闲状态中解脱出来，应该更多针承担人文精神与良知功能，应该有更多对社会和当代的思考……在生命诚实、精神关怀力社会良知和道义承担上下工夫！应该端正身子，以直视生命的态度写散文，而非懒洋洋地画散文，描散文。 散文不该沦为文学的剩饭、闲饭、馊饭。 而文学，更不应被稀释成一个时代的胃酸和呕吐物。 向一个人的死因致敬 王开岭 一 一个人精神毁容了，被自己或别人的硫酸，如何是好，如何是好…… 面皮移植？铸一铁面具？归隐山泉与雀兽为伴？ 卢武铉先是对观众说了声对不起，然后散步，迎着日出，迎着故里的崖。 山脚下的小村子 很美，无论地理还是气质，卢武铉回忆得也很美，说那是个“连乌鸦都会因找不到食物哭着飞走”的地方，他的话深情而充满感恩。在乌鸦身上，他用了个哭字。 想当年，他就是因找不到食物而哭着飞走的。去了大田，去了汉城，去了青瓦台。 每次出发，他都空空荡荡，除了一个贫民之子的 誓言、一个清卷书生的豪气，别无行李。 坑坑洼洼的故乡，那些含辛茹苦、蓬蓬勃勃的野草，似乎给了他最生动的精神注脚，也预支了最有力的人格担保。 怎么看，此人的变节风险都是最小的。他有着淳朴的起点和奋斗史。 坎坷身世、卑微学历、民权斗士、草根总统……卢武铉像一个童话。 全世界，包括我这个外国人都对这个童话喜爱不已，也觉得和自己隐隐有关。 这世界需要童话，需要一次童话的胜利，就像需要一场雪。 最近一场雪是奥巴马带来的，他的肤色照亮了星条旗，也鼓舞了地球仪。只是他离得远了点，不如卢武铉这般近，像亲戚。 有时，我觉得卢武铉酷似中国史 书上的那些前辈，很儒家，很士林。你看他说过的—— 大选获胜后，他用噙泪的语调承诺：“我知道大家对我的期望是什么，那是一个没有腐败、没有特权、没有违规的社会，一个用自己双手生活的诚实的社会。” 面对反腐的重重险碍，他说：“没有一个农民，会因土地贫瘠而放弃劳作。” 住青瓦台后，他与友人私下谈心，称执政关键有三：一将改革进行到底，二让总统府远离金钱，三管好自己亲属。 凡此种种，都让我想起先人那句话：“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。” 做好这几条，孟子说，你就是大丈夫了。其实，也就是最好的公仆。 还有啊，论面相，卢武铉的 东方脸孔上有一种让人特放心的东西，温绵、敦厚、亲蔼，处处散发着安全感，完全符合中国人推崇的“方正”。 然而，童话终究是童话。事实明，贫穷和廉洁并无直接关系，监督权力和坐拥权力是截然不同的两份差事。 当他和故乡不再为食物发愁的时候，其家人被怀疑偷拿了别人的东西。 终于，一名英勇的律师站在了审判席上，一位历史的原告变成了现实的被告。某种意义上，卢武铉成了自己信仰的敌人。至少客观上，他互换了位置。 二 为什么会这样，怎么会这样呢？ 对此我不感兴趣，我只留意到了那天，他最后一次攀登。 他选择了故乡的崖。崖，本身就意味着高度，是 尊严的象征，是清高者的去处。 可以想象，这曾是他少年立志和理想出发的地方。 清晨的草木，带露水，很干净。 一个人在做自由落体前，心真的会安宁吗？ 世间很美，他远远看见山脚下活动的人影。同胞的生活又开始了，接下来，将是忙碌而幸福的一天。 对他来说，今天只意味着一个早 晨。 这一天，卢武铉将成为全世界的新闻头条。他料到了，但他已从看客中划掉了自己。 这是个脸皮薄的男人。性情如铅笔，直、细、脆，又爱哭鼻子。有人说，流泪是孱弱的表现，他不具职业政治家应有的坚韧。何谓坚韧呢？我不太懂。稍后，似乎也懂了，就是脸皮厚实且富弹性吧。 不错， 论政治体格，此人是弱了点，可谓弱不禁风。和城府深沉、世故圆滑的同行相比，他似乎太嫩，像书生，不像政客，甚至还有孩子的茸毛。 “我已丧失了再讲民主、进步与正义的资格……各位不能和我一起陷入这个泥淖，请大家舍弃我卢武铉吧。” 他没有狡辩，他说他无颜家乡父老，无颜全 体国民。其歉意之巨大，甚至连肇事的家人，他都表示了歉意。他觉得是自己，让最爱的人不幸沾染了权力，是自己的事业把亲属带到了危险地带。 非得纵身一跳？别无选择吗？ 世间那么多毁容者，不都活得好好的？ 这大概和一个人的精神体质有关。该体质决定了一个人的生命意义和存在依 据，决定了他遇事妥协的程度、忍受之底限。比如逆境之下的抉择，“好死不如赖活着”是一种，“留得青山在”是一种，“宁玉碎不瓦全”是一种，“万念俱灰唯死一途”是一种…… 卢武铉属哪种呢？我说不太清。 但有一点能确认：他死于面子，死于廉耻和羞愧，死于精神毁容后的照镜子。 “我现在没有脸正对你们的眼睛……我现在完全可以被抛弃了，现在我完全不足代表任何道德进步。” 这是个爱照镜子的政治家，是一个道德自尊心极强、自珍甚至自恋的人。他并非死于惊恐和畏惧，而是死于意境的破灭，死于内心的狂风，死于肖像的被毁，死于一个理想主义者和完美主义者 的失败感。还有，就是对清静、安宁和独处的渴望。 这种死因，包括死法，确不像现代政客所为。对许许多多政客来说，精神毁容、身败名裂，不过是轻若稻草的一件事，审判席上，磕头捣蒜乞饶求生者多如蝼蚁，贪生即怕死。但于一个自我器重惯了、把尊严和仪容视若性命之人，这事故就如 泰山压顶，漆黑一片。 所以，当有人说他死于一根道德稻草时，我不同意，我说他死于泰山。 不是说他死得重于泰山。 三 这种死因，多少让我想起了古人，想起了士林之风。我觉得精神气质上，卢武铉很有点前辈风度，像从竹林里走出来的，士大夫的腰板，昂首挺胸，纤尘不染。 古人是把 “知耻”当头等大事的，礼义廉耻被看作国之四维。 “无羞恶之心，非人也”“羞耻之心，义之端也”“五刑不如一耻”“士皆知有耻，则国家无耻矣”。 如果说古代士子是吃“素”的，一日三省谋求肺腑洁净，衣冠楚楚力图众口皆碑；那现代政客则少然，他们更崇尚丛林法则和蔽人耳目， 内心多“荤腥”之物。逻辑和尺度变了，精神体质也就变了，政治品格也就变了。丑事当前，拼命遮挡；铁如山，又死乞白赖。 古人惜名，今人惜命。古人自责，今人诿责。 谁脸上没个疮？在今人看来，卢武铉在道德反应上显然过度了，但古时候，这绝对算一个正常的“均值”，算一个合理 的脸皮厚度。 由此我涌生敬意。我向一个人的死因致敬。向他骨子里的那份“古意”致敬。 古意，让生命葱茏如竹。 我还想起了另一位自杀者，一个小得不能再小的小人物。三年前，南方一家小煤矿爆出档新闻，纸媒标题是，《倔犟矿工打赌嫖娼后服毒自杀“谢罪”》。事情大致如此：端午 节，矿上发了点酒，歇工后，矿友们围一起打牙祭，不能喝酒的张某很快有了醉意，后和人打起了赌，对方说如果你敢去“耍小姐”
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
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材的多样化，非要把闲情雅致、风花雪月从散文主题上驱逐出去不可，而是指一个“比例”问题。我和散文家刘烨园先生在谈话中，他提出一个“比例”说，问题点得很到位：评价一种事物和现象，关键看它所包含的各项的比例。纠正一个偏颇，其实即对一种比例作调整，而非彻底颠覆或灭杀 什么。现在的情况是：散文中赋闲成分太大，精神比例过小。对我们这样一个远不轻松的时代更是如此。除了过去所赋予散文的那些品质以外，散文应融入更多的思想和良知的品质，除了生命美学和感性元素，更应融入理性揭批功能，应在问题上更贴近当代生存，应放扩关怀力，让更多更严峻 的事物进入视野……尤其眼下是这样一个“问题”和“隐患”威胁到人类生存的时代，散文应适度地选择承担，选择发言，而非冷漠与旁观。 过去有一句话：“民族的，就是世界的。”套用一下，也可以说：“当代的，就是永恒的”，如果对当代最重大和最急峻的现实命题都回避，如果连 当代生活都不感兴趣的话，那所谓“藏之名山”的想法无疑是可笑的，一种虚妄的幻觉与自欺罢了。其实，西方的优秀作家和作品，本质上无时无刻不是在为当代人而作，也是为未来而作——因为未来者对先人生存历史和精神困境的了解，无不是通过这些作品实现的。 当代叙事的不足，也 表现在所谓的“文化大散文”上，它们更多地扮演了一种“棕子”，一种“裹脚”的叙事角色，更多的停滞在对史事片段的重复叙述和揣摩上（我一点不否定它的价值，只是觉得它应该而且能够承担更多的东西）。文化不应只是“过去时”的，更应有“现在时”和“进行时”，应把精神触角延 伸至当下的国民生态，应在时间过渡的表面下，找到“根”和“枝叶”的血脉递承与母子关系，否则，文化散文就成了彻头彻尾的“历史散文”。说到底，这取决于作者的内里和品格，尤其在中国，这甚至不是才华、能力和技术问题，而是一个写作信仰问题，是对作家生命关怀力的考验，对其 精神诉求和承担能力的考验！ 所以我觉得，其实有一个比“写得好坏”更重大的问题我们没解决好：“为什么写作？”在这样一个职业选择日益多样化的时代，是什么样的绝对理由和终极信仰使一个人选择了孤独的写作生涯而没有去干别的？这个问题在西方作家身上可以说是一个永恒的终 身命题，从他开始写作的那天起，就要面对，就要选择，就要确立一种生存立场和写作姿势，就要为自己一生的作品命名，一直到死。但在很多中国作家这儿，你很可能找不到这样一个“基因”，或者未曾遇到，或者根本不当回事。也就是说，我们的文学深处，很有可能缺乏一个结实的“奠 基”，缺乏一种“根”。 最后，我还想说明的一点是：当前散文的“热闹”很大程度上是由杂文、思想或文化随笔——由作者队伍的结构和角色改变所带来的，散文从业人员的成分复杂和丰富了，它不再是传统文学作者的专利，诗人、人文学者、自然科学家、批评型知识分子、小说家的 “另类散文”都给人耳目一新的感觉。虽然表面上看，涉及社会民生、历史文化、自然生态的文本如今比任何一个时期显得都多，但实际质量不容乐观，除了刚才提到的“文化散文”的缺陷外，还要警惕一点：在给散文松绑、融入理性品质的同时，要防止文学美质和艺术性的流失！我注意到很 多理性散文和思想性随笔在文本上的机械、粗糙与僵硬，其美学含量是严重不足的——不仅仅反映在语言表层，更多还体现于思维、思路的粗糙和欠精准上。 总之，散文现在面临的不再是它能承载什么——允许什么进入的问题？而关键看我们能够赋予散文什么？散文应从传统的那种松垮、 慵散、懈怠的过于休闲状态中解脱出来，应该更多针承担人文精神与良知功能，应该有更多对社会和当代的思考……在生命诚实、精神关怀力社会良知和道义承担上下工夫！应该端正身子，以直视生命的态度写散文，而非懒洋洋地画散文，描散文。 散文不该沦为文学的剩饭、闲饭、馊饭。 而文学，更不应被稀释成一个时代的胃酸和呕吐物。 向一个人的死因致敬 王开岭 一 一个人精神毁容了，被自己或别人的硫酸，如何是好，如何是好…… 面皮移植？铸一铁面具？归隐山泉与雀兽为伴？ 卢武铉先是对观众说了声对不起，然后散步，迎着日出，迎着故里的崖。 山脚下的小村子 很美，无论地理还是气质，卢武铉回忆得也很美，说那是个“连乌鸦都会因找不到食物哭着飞走”的地方，他的话深情而充满感恩。在乌鸦身上，他用了个哭字。 想当年，他就是因找不到食物而哭着飞走的。去了大田，去了汉城，去了青瓦台。 每次出发，他都空空荡荡，除了一个贫民之子的 誓言、一个清卷书生的豪气，别无行李。 坑坑洼洼的故乡，那些含辛茹苦、蓬蓬勃勃的野草，似乎给了他最生动的精神注脚，也预支了最有力的人格担保。 怎么看，此人的变节风险都是最小的。他有着淳朴的起点和奋斗史。 坎坷身世、卑微学历、民权斗士、草根总统……卢武铉像一个童话。 全世界，包括我这个外国人都对这个童话喜爱不已，也觉得和自己隐隐有关。 这世界需要童话，需要一次童话的胜利，就像需要一场雪。 最近一场雪是奥巴马带来的，他的肤色照亮了星条旗，也鼓舞了地球仪。只是他离得远了点，不如卢武铉这般近，像亲戚。 有时，我觉得卢武铉酷似中国史 书上的那些前辈，很儒家，很士林。你看他说过的—— 大选获胜后，他用噙泪的语调承诺：“我知道大家对我的期望是什么，那是一个没有腐败、没有特权、没有违规的社会，一个用自己双手生活的诚实的社会。” 面对反腐的重重险碍，他说：“没有一个农民，会因土地贫瘠而放弃劳作。” 住青瓦台后，他与友人私下谈心，称执政关键有三：一将改革进行到底，二让总统府远离金钱，三管好自己亲属。 凡此种种，都让我想起先人那句话：“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。” 做好这几条，孟子说，你就是大丈夫了。其实，也就是最好的公仆。 还有啊，论面相，卢武铉的 东方脸孔上有一种让人特放心的东西，温绵、敦厚、亲蔼，处处散发着安全感，完全符合中国人推崇的“方正”。 然而，童话终究是童话。事实明，贫穷和廉洁并无直接关系，监督权力和坐拥权力是截然不同的两份差事。 当他和故乡不再为食物发愁的时候，其家人被怀疑偷拿了别人的东西。 终于，一名英勇的律师站在了审判席上，一位历史的原告变成了现实的被告。某种意义上，卢武铉成了自己信仰的敌人。至少客观上，他互换了位置。 二 为什么会这样，怎么会这样呢？ 对此我不感兴趣，我只留意到了那天，他最后一次攀登。 他选择了故乡的崖。崖，本身就意味着高度，是 尊严的象征，是清高者的去处。 可以想象，这曾是他少年立志和理想出发的地方。 清晨的草木，带露水，很干净。 一个人在做自由落体前，心真的会安宁吗？ 世间很美，他远远看见山脚下活动的人影。同胞的生活又开始了，接下来，将是忙碌而幸福的一天。 对他来说，今天只意味着一个早 晨。 这一天，卢武铉将成为全世界的新闻头条。他料到了，但他已从看客中划掉了自己。 这是个脸皮薄的男人。性情如铅笔，直、细、脆，又爱哭鼻子。有人说，流泪是孱弱的表现，他不具职业政治家应有的坚韧。何谓坚韧呢？我不太懂。稍后，似乎也懂了，就是脸皮厚实且富弹性吧。 不错， 论政治体格，此人是弱了点，可谓弱不禁风。和城府深沉、世故圆滑的同行相比，他似乎太嫩，像书生，不像政客，甚至还有孩子的茸毛。 “我已丧失了再讲民主、进步与正义的资格……各位不能和我一起陷入这个泥淖，请大家舍弃我卢武铉吧。” 他没有狡辩，他说他无颜家乡父老，无颜全 体国民。其歉意之巨大，甚至连肇事的家人，他都表示了歉意。他觉得是自己，让最爱的人不幸沾染了权力，是自己的事业把亲属带到了危险地带。 非得纵身一跳？别无选择吗？ 世间那么多毁容者，不都活得好好的？ 这大概和一个人的精神体质有关。该体质决定了一个人的生命意义和存在依 据，决定了他遇事妥协的程度、忍受之底限。比如逆境之下的抉择，“好死不如赖活着”是一种，“留得青山在”是一种，“宁玉碎不瓦全”是一种，“万念俱灰唯死一途”是一种…… 卢武铉属哪种呢？我说不太清。 但有一点能确认：他死于面子，死于廉耻和羞愧，死于精神毁容后的照镜子。 “我现在没有脸正对你们的眼睛……我现在完全可以被抛弃了，现在我完全不足代表任何道德进步。” 这是个爱照镜子的政治家，是一个道德自尊心极强、自珍甚至自恋的人。他并非死于惊恐和畏惧，而是死于意境的破灭，死于内心的狂风，死于肖像的被毁，死于一个理想主义者和完美主义者 的失败感。还有，就是对清静、安宁和独处的渴望。 这种死因，包括死法，确不像现代政客所为。对许许多多政客来说，精神毁容、身败名裂，不过是轻若稻草的一件事，审判席上，磕头捣蒜乞饶求生者多如蝼蚁，贪生即怕死。但于一个自我器重惯了、把尊严和仪容视若性命之人，这事故就如 泰山压顶，漆黑一片。 所以，当有人说他死于一根道德稻草时，我不同意，我说他死于泰山。 不是说他死得重于泰山。 三 这种死因，多少让我想起了古人，想起了士林之风。我觉得精神气质上，卢武铉很有点前辈风度，像从竹林里走出来的，士大夫的腰板，昂首挺胸，纤尘不染。 古人是把 “知耻”当头等大事的，礼义廉耻被看作国之四维。 “无羞恶之心，非人也”“羞耻之心，义之端也”“五刑不如一耻”“士皆知有耻，则国家无耻矣”。 如果说古代士子是吃“素”的，一日三省谋求肺腑洁净，衣冠楚楚力图众口皆碑；那现代政客则少然，他们更崇尚丛林法则和蔽人耳目， 内心多“荤腥”之物。逻辑和尺度变了，精神体质也就变了，政治品格也就变了。丑事当前，拼命遮挡；铁如山，又死乞白赖。 古人惜名，今人惜命。古人自责，今人诿责。 谁脸上没个疮？在今人看来，卢武铉在道德反应上显然过度了，但古时候，这绝对算一个正常的“均值”，算一个合理 的脸皮厚度。 由此我涌生敬意。我向一个人的死因致敬。向他骨子里的那份“古意”致敬。 古意，让生命葱茏如竹。 我还想起了另一位自杀者，一个小得不能再小的小人物。三年前，南方一家小煤矿爆出档新闻，纸媒标题是，《倔犟矿工打赌嫖娼后服毒自杀“谢罪”》。事情大致如此：端午 节，矿上发了点酒，歇工后，矿友们围一起打牙祭，不能喝酒的张某很快有了醉意，后和人打起了赌，对方说如果你敢去“耍小姐”
高中数学4.2.2最大值、最小值值问题二 教案 (北师大选修1-1)
4。
2。
2 最大值、最小值值问题教学过程：一、创设情境，铺垫导入1．问题情境:在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm，宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm，体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）(60－2x）x=4(40－x）（30－x)x.2．引出课题：分析函数关系可以看以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活,培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围,在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．通过运用几何画板演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后，引导学生发现，所列函数的最大值是以前学习过三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时,V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．“问起于疑,疑源于思",思考题的研究，旨在培养学生的探究意识及创新精神,提高学生分析和解决问题的能力．例题2则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息．教学环节教学内容设计意图本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的具体体现．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续,开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点:求最值问题的优化方法及相关问题,层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性．3．在教学手法上，制作CAI课件辅助教学,使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习,本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想,引导学生主动参与到课堂教学全过程中．。
数的最大值和最小值
数的最大值和最小值数学中，数的最大值和最小值是常用的概念。
在数轴上，数的大小可以通过比较来确定，其中最大值是指一组数中最大的数，而最小值则是指一组数中最小的数。
本文将介绍最大值和最小值的定义，以及计算最大值和最小值的方法。
一、最大值和最小值的定义在一组数中，最大值是指这个数集中的最大的数；最小值则是指这个数集中的最小的数。
最大值和最小值在比较数的大小和做数学运算中具有重要的作用。
二、计算最大值和最小值的方法1. 查找法通过逐个比较每个数，找到其中最大的数和最小的数。
设有一组数a1，a2，a3，...，an，首先假设a1为最大值和最小值，然后依次比较后续的数与当前的最大值和最小值，如果找到更大的数，则更新最大值的值，如果找到更小的数，则更新最小值的值。
最终得到的最大值和最小值即为所求。
2. 排序法先将一组数按照从小到大（或从大到小）的顺序进行排序，在有序数列中，最小值为首个数，最大值为末尾数。
可以使用冒泡排序、插入排序、快速排序等算法进行排序。
3. 数学方法如果给定的数是一个数学公式或问题的解，可以通过求导和求解函数的极值来找到最大值和最小值。
这一方法常被用于求解最优化问题，例如求函数的极大值和极小值。
三、最大值和最小值的应用最大值和最小值的概念在日常生活和各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 统计学在统计学中，最大值和最小值可以用于描述数据集的范围。
例如，在描述一组考试成绩时，最高分为最大值，最低分为最小值，可以帮助我们了解整体成绩水平。
2. 经济学在经济学中，最大值和最小值可以用于描述经济数据的波动范围。
例如，在分析股票市场时，最高点为最大值，最低点为最小值，可以帮助投资者了解股票的波动情况。
3. 工程学在工程学中，最大值和最小值可以用于确定材料的极限状态。
例如，在设计一座桥梁时，通过对应力值的计算，可以确定桥梁材料的最大受力值和最小受力值，从而保证桥梁的安全性。
4. 计算机科学在计算机科学中，最大值和最小值可以用于排序算法、搜索算法等。
2.2 最大值、最小值问题
w=-x3+24x2-45x-10
（2）求w=w（x）的导函数
（x≥0）
w(x) 3x 2 48x 45. 解方程w(x) 0, 得x1 1, x 2 15.
根据x1,x2列表分析导函数的符号得到函数的单 调性与极值点.
x w′(x) w(x)
(0，1) －
1 0 极小值
回顾本节课你有什么收获？
1.函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值. (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最 大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
2.会利用导数解决生活中的最值问题.
每一个成功者都有一个开始。勇
于开始，才能找到成功。
（2）区间（0,24）上任意点的函数值都不超过
f(8),因此x=8是函数的最大值点.此时
V=f(8)=8 192(cm3)
即当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的 容器容积最大，最大容积为8 192 cm3.
例6
产量与利润
对于企业来说，生产成本、销售收
入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产 企业的研究表明，该企业的生产成本y(单位：万元)和 生产收入z(单位：万元)都是产量x（单位：t）的函数，
a x1 o
X2 X3
b
x
探究点2
求函数f(x)在区间[a，b]的最值
问题1: f(x)=x+1在以下区间上 的最小值与最大值： ①x∈ [-2，0] f（-2），f(0) ②x∈ [2，4]
f(2),f(4)
③x∈ [-2，4] f(-2),f(4)
问题2
f(x)=x2-2x-3在以下区间上的
(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
2.2函数的最大值、最小值
在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的 边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长 x （单位：cm） 为多少时，箱子容积 V(单位： cm3 )最大？最大容积是多少？
解：由长方体的宽为 xcm， 可知其高为（
60 −x 2
）cm (0≤x ≤60).
所以体积 V 与宽 x 有以下函数关系 V=x （
1 2 2 60 − x 2
）
=− x 3+30x 2
y
观察右列函数在闭区间[a,b]图形,找出 函数的最值的规律.
a x1 O x2 x3 b x
x （1）图 1 中：函数在 x 3 处取得最大值， x 在 x 2 处取得最小值；
（2）图 2 中：函数在 x b 处取得最大值， 在 x a 处取得最小值； （3）图 3 中：函数在 x a 处取得最大值， 在 x x1 处取得最小值.
a
图1
y
O y
连续函数在[a,b]上必有最值； 并且在极值点或端点处取到.
x1 a O x2
x3 b x
图3
a, b
f ( x)
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;
2.最大值一定比最小值大.
（1）函数在一个闭区间上的极大（小）值可能有多个，而最 大（小）值只有唯一的一个;
§2.2 最大值、最小值问题
授课班级：高二11班 授课教师：白治军 2016.12.27
函数的极值
y
极小值点 a
o
b 极大值点
x
y f ( x)
定义域—求导—令y'=0—列表—求极值
最值的概念 如果在函数定义域I内存在x0,使 得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值.
高中数学知识点精讲精析 最大值,最小值问题
2.2 最大值，最小值问题1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,1．求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值和最小值。
【解析】)3)(1(3963)(2-+=+-='x x x x x f令0)(='x f ，得3,121=-=x x ， 由于15)4(,3)2(,22)3(,10)1(-==--==-f f f f所以，)(x f 在在]4,2[-上的最大值是10)1(=-f ，最小值是22)3(-=f 。
2． 已知某商品的需求函数为x Q 1001000-=，从成本函数为Q C 31000+=。
九年级数学最大值、最小值问题
注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
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;
；
又不能治生为商贾，常从人寄食。其母死无以葬，乃行营高燥地，令傍可置万家者。信从下乡南昌亭长食，亭长妻苦之，乃晨炊蓐食。食时信往，不为具食。信亦知其意，自绝去。至城下钓，有一漂母哀之，饭信，意漂数十日。信谓漂母曰“吾必重报母”母怒曰“大丈夫不能自食，吾哀王孙 而进食，岂望报乎”淮阴少年又侮信曰“虽长大，好带刀剑，怯耳”众辱信曰“能死，刺我。不能，出胯下”於是信孰视，俯出跨下。一市皆笑信，以为怯。及项梁度淮，信乃杖剑从之，居戏下，无所知名。梁败，又属项羽，为郎中。信数以策干项羽，羽弗用。汉王之入蜀，信亡楚归汉，未 得知名，为连敖。坐法当斩，其畴十三人皆已斩，至信，信乃仰视，适见滕公，曰“上不欲就天下乎。而斩壮士”滕公奇其言，壮其貌，释弗斩。与语，大说之，言於汉王。汉王以为治粟都尉，上未奇之也。数与萧何语，何奇之。至南郑，诸将道亡者数十人。信度何等已数言上，不我用，即 亡。何闻信亡，不及以闻，自追之。人有言上曰“丞相何亡”上怒，如失左右手。居一二日，何来谒。上且怒且喜，骂何曰“若亡，何也”何曰“臣非敢亡，追亡者耳”上曰“所追者谁也”曰“韩信”上复骂曰“诸将亡者以十数，公无所追。追信，诈也”何曰“诸将易得，至如信，国士无双。 王必欲长王汉中，无所事信。必欲争天下，非信无可与计事者。顾王策安决”王曰“吾亦欲东耳，安能郁郁久居此乎”何曰“王计必东，能用信，信即留。不能用信，信终亡耳”王曰“吾为公以为将”何曰“虽为将，信不留”王曰“以为大将”何曰“幸甚”於是王欲召信拜之。何曰“王素嫚 无礼，今拜大将如召小儿，此乃信所以去也。王必欲拜之，择日斋戒，设坛场具礼，乃可”王许之。诸将皆喜，人人各自以为得大将。至拜，乃韩信也，一军皆惊。信已拜，上坐。王曰“丞相数言将军，将军何以教寡人计策”信谢，
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又不能治生为商贾，常从人寄食。其母死无以葬，乃行营高燥地，令傍可置万家者。信从下乡南昌亭长食，亭长妻苦之，乃晨炊蓐食。食时信往，不为具食。信亦知其意，自绝去。至城下钓，有一漂母哀之，饭信，意漂数十日。信谓漂母曰“吾必重报母”母怒曰“大丈夫不能自食，吾哀王孙 而进食，岂望报乎”淮阴少年又侮信曰“虽长大，好带刀剑，怯耳”众辱信曰“能死，刺我。不能，出胯下”於是信孰视，俯出跨下。一市皆笑信，以为怯。及项梁度淮，信乃杖剑从之，居戏下，无所知名。梁败，又属项羽，为郎中。信数以策干项羽，羽弗用。汉王之入蜀，信亡楚归汉，未 得知名，为连敖。坐法当斩，其畴十三人皆已斩，至信，信乃仰视，适见滕公，曰“上不欲就天下乎。而斩壮士”滕公奇其言，壮其貌，释弗斩。与语，大说之，言於汉王。汉王以为治粟都尉，上未奇之也。数与萧何语，何奇之。至南郑，诸将道亡者数十人。信度何等已数言上，不我用，即 亡。何闻信亡，不及以闻，自追之。人有言上曰“丞相何亡”上怒，如失左右手。居一二日，何来谒。上且怒且喜，骂何曰“若亡，何也”何曰“臣非敢亡，追亡者耳”上曰“所追者谁也”曰“韩信”上复骂曰“诸将亡者以十数，公无所追。追信，诈也”何曰“诸将易得，至如信，国士无双。 王必欲长王汉中，无所事信。必欲争天下，非信无可与计事者。顾王策安决”王曰“吾亦欲东耳，安能郁郁久居此乎”何曰“王计必东，能用信，信即留。不能用信，信终亡耳”王曰“吾为公以为将”何曰“虽为将，信不留”王曰“以为大将”何曰“幸甚”於是王欲召信拜之。何曰“王素嫚 无礼，今拜大将如召小儿，此乃信所以去也。王必欲拜之，择日斋戒，设坛场具礼，乃可”王许之。诸将皆喜，人人各自以为得大将。至拜，乃韩信也，一军皆惊。信已拜，上坐。王曰“丞相数言将军，将军何以教寡人计策”信谢，
2.2最大值、最小值问题
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值；
(2) 将 y=f(x) 的各极值与 f(a )、 f(b)(端点 值)
比较 ; (3) 其中最大的为最大值 ,最小的为最小值.
探 究三
y
图1
结合图像和极值特点，
你能说出极值与最值 的区别和联系吗？
y
a x1O y x2 x3 b
x
图2
图3
a
O
x1 x1 x2
2 a 2
小结：
求函数最值的一般方法
一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数
f '( x) 3x 2ax 4
2
（Ⅱ）若 f ( 1) 0 ，求 f ( x ) 在[-2，2]上的 最大值和最小值； （Ⅲ）若 f ( x ) 在（ - ∞， -2] 和 [2 ，+∞）上 都是递增的，求a的取值范围。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 9 4 50 a f max f (1) , f min f ( ) 2 2 3 27 f '( x) 3x2 2ax 4 0两个根在[ 2, 2]
1 m, 1 m,内是 答:（1）斜率为1; (2) f x 在 ，
1 m,1 m内是增函数. 减函数，在
f x 极大 2 3 1 m m2 3 3
f x 极小
2 3 1 2 m m ; 3 3
（04浙江文21）（本题满分12分） 2 f ( x ) ( x 4)( x a) 已知a为实数， （Ⅰ）求导数 f ( x ) ；
bx
a
O
x2
x3 b
x
探 究四 思考1 如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上 只有一个极值点，那么这个极值点一定是 最值点？试用图像表示！ 思考2 如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上 有两个极值点，那么极值点一定是最值点？ 试用图像表示！
(2) 将 y=f(x) 的各极值与 f(a )、 f(b)(端点 值)
比较 ; (3) 其中最大的为最大值 ,最小的为最小值.
探 究三
y
图1
结合图像和极值特点，
你能说出极值与最值 的区别和联系吗？
y
a x1O y x2 x3 b
x
图2
图3
a
O
x1 x1 x2
2 a 2
小结：
求函数最值的一般方法
一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数
f '( x) 3x 2ax 4
2
（Ⅱ）若 f ( 1) 0 ，求 f ( x ) 在[-2，2]上的 最大值和最小值； （Ⅲ）若 f ( x ) 在（ - ∞， -2] 和 [2 ，+∞）上 都是递增的，求a的取值范围。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 9 4 50 a f max f (1) , f min f ( ) 2 2 3 27 f '( x) 3x2 2ax 4 0两个根在[ 2, 2]
1 m, 1 m,内是 答:（1）斜率为1; (2) f x 在 ，
1 m,1 m内是增函数. 减函数，在
f x 极大 2 3 1 m m2 3 3
f x 极小
2 3 1 2 m m ; 3 3
（04浙江文21）（本题满分12分） 2 f ( x ) ( x 4)( x a) 已知a为实数， （Ⅰ）求导数 f ( x ) ；
bx
a
O
x2
x3 b
x
探 究四 思考1 如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上 只有一个极值点，那么这个极值点一定是 最值点？试用图像表示！ 思考2 如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上 有两个极值点，那么极值点一定是最值点？ 试用图像表示！
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驻点
是极大点，其极大值为
是极小点，其极小值为
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
(1) f (x) “左正右负” ,则 f (x)在 x0 取极大值. (2) f (x) “左负右正” ,则 f (x)在 x0 取极小值 ;
例如
y
f (x) 2x3 9x2 12x 3
2
为极大点 ,
是极大值 1
为极小点 ,
是极小值 o 1 2 x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
lim f (x) 2, 则在点 x 0 处 f (x) ( D ).
x01 cos x
(A) 不可导 ;
(B) 可导, 且 f (0) 0;
(C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 利用极限的保号性 .
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3. 设
y f (x) 是方程 y 2 y 4 y 0 的一个解,
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解:
即
F 5 g , cos sin
[0,
2
]
令 () cos sin
则问题转化为求()的最大值问题 .
F
P
() cos sin
令
解得
而 () 0,
因而 F 取最小值 .
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内容小结
1. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
A 若 f (x0) 0, 且 f (x0) 0, 则 f (x) 在 x0 ( )
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示:
则其最值只能
(2) 最大值
M max
最小值
f (a), f (b)
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特别:
• 当 在 内只有一个极值可疑点时, 若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 .
• 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. • 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的
可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
2) 求驻点
令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 0, x3 1
3) 判别
因 f (0) 6 0, 故
为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0, 故需用第一判别法判别.
y
1
1x
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例如 , 例2中
y
f (x) 24 x (5x2 3), f (1) 0
20
100
C
解: 设 AD x (km), 则 CD 202 x2 , 总运费
y k (
5x 400
x
2(
k
3为),某一y常 数5
k)
400 (400 x
2
)
3 2
令
得
又
所以 x 15为唯一的
极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
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第三节
第三章
函数的极值与
最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法
定义:
在其中当
时,
(1)
则称 为 的极大点 ,
称 为函数的极大值 ;
(2)
则称 为 的极小点 ,
称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 .
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例4. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作
用开始移动, 设摩擦系数
问力
为多少时才可使力 的大小最小?
解: 克服摩擦的水平分力
正压力
F cos (5g F sin)
与水平面夹角
F
P
即
F 5 g , cos sin
[0,
2
]
令
() cos sin
则问题转化为求 () 的最大值问题 .
a
处(
B
).
(A) f (x) 的导数存在 , 且 f (a) 0；
(B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;
(D) f (x)的导数不存在.
提示: 利用极限的保号性 .
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2. 设 f (x) 在 x 0 的某邻域内连续, 且 f (0) 0,
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例3. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
公路, 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货
物从B 运到工厂C 的运费最省, 问 A x D
B
D 点应如何选取?
所以
不是极值点 .
1
1x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如:
f (0) 2为极大值 , 但不满足定理1
~ 定理3 的条件.
机Hale Waihona Puke 目录 上页 下页 返回 结束二、最大值与最小值问题
在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(自证)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求函数
的极值 .
解:
1) 2)
求导数 f (x)
求极值可疑点
2
x3
(x
1)
2 3
x
1 3
5 3
x
2 5
3x
令
f
(x)
0
,
得
x1
2 5
;
令 f (x) , 得 x2 0
3) 列表判别
x (, 0) 0 (0 , 52)
2 5
(52 , )
(2) 第一充分条件
过 由正变负 过 由负变正
为极大值 为极小值
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值
定理3 目录 上页 下页 返回 结束
2. 连续函数的最值
最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
思考与练习
1.
设
lim
xa
f
(x) f (a) (x a)2
1,
则在点
f (x)
0
f (x)
0
0.33
是极大点，其极大值为
是极小点，其极小值为
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定理2 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且 则
在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
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例2. 求函数
的极值 .
解: 1) 求导数
f (x) 6x (x2 1)2, f (x) 6(x2 1)(5x2 1)