随机数产生与模拟
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本章目录 20
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
其想法是：如果X的密度p( x) 难于抽样，而X关于Y的 条件密度 p(x| y)以及Y的密度函数g( y) 均易于抽样， 则X的随机数可如下产生：
由Y的密度g( y)抽取y 由条件密度 p(x| y)抽取x 则X服从 p(x)
本章目录 21
(b d
a)u) c
c]
,
S0
(b
a)(d
c)
.
本章目录 35
随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
(2) 平均值估计法
平均值估计法的计算步骤：
① 产生[0,1]区间的均匀随机数 r1,r2,,rN
② 计算 f (ri ) (i1,2,..N.)
换,即可化成[0,1]上的定积分。设 f (x) 在[a,b] 上有界: c f (x) d ,
为了化一般区间上的积分为[0,1]区间上的积分,且被积函数值
在[0,1]之间,令 x (b a)u a ,则有：
b
1
a
f (x)dx S0
(u)du c(b a)
0
其中 (u)
[
f
(a
初值x 0
n1,2,...
本章目录 7
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生：
当 c 0，上式称为混合同余发生器，当 c0 时，称为乘同余发生器，此时当模为素数 时，称它为素数模乘同余发生器。
本章目录 8
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
两个常用的混合式发生器：
xn
第三章 随机数的产生与模拟目录
随机数的产生与模拟
§3.1均匀随机数的产生
3.1.1线性同余法（LCG）的递推公式
3.1.2反馈位移寄存器法（FSR）
3.1.3组合发生器
§3.2非均匀随机数的产生
§3.3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
3.3.1计算定积分
3.3.1.1随机投点法
2 用第二个LCG产生一个随机整数 j ,要求 1 j k ;
3 令xn t j ，然后再用第一个LCG产生一个随机数 y , 令 t j y ；置 nn1 ;
4 重复2~3，得随机数列 xn ，即为组合同余发生器产生 的数列。若第一个LCG的模为 M ，令 rn xn M ，则 rn 为 均匀随机数
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
当
g(
y)
为离散形式时，即
p(x)
,其中 n
i1
ipi(x)
i
0,
n
i1
i 1
pi (x) 是密度函数，其抽样过程如下：
1 产生一个正的随机整数J，使得P{Jj}pj，j1,2,...n,
2 产生分布为 p j ( x) 的随机数。
本章目录 22
本章目录 33
随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
（1）随机投点法
① 赋初值:试验次数n=0,成功次数m=0;规定投点试
验的总次数N;
② 产生两个相互独立的均匀随机数 ,~U(0,1)
置n=n+1;
③ 判断n≤N是否成立,若成立转④,否则停止试验,
本章目录 19
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
其SAS程序为（产生100个服从柯西分布的随机数）： data ex1;
seed=678; do I=1 to 100; r=ranuni(seed); x=tan(3.14159*(r-0.5)); output; end; run;
③
令 2=
1 N
N i1 f (ri )
,则
2
为积分值
I
的近似解.
本章目录 36
随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
(3)重要抽样法
重要抽样法的计算步骤为：
① 产生均匀随机数 r i (i1,2,..N.)
② 用直接抽样法产生 g(x)随机数,即由 r i 计算 x i
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
例2
试设用0合成a法1产时生梯其形随分机布数的。密度函数为，p(x)a0, 2(1a)x,x 其 [0,1他 ]
本章目录 23
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
解：首先将p(x) 进行分解,即 p (x ) a1 (x p ) (1 a )p 2 (x )， 其中
n1,2,...
a4 630360016
本章目录 11
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
反馈位移寄存器法（FSR） ： k (c pk p c p 1k p 1 c 1k 1 )(m 2 ) od
对寄存器中的二进制数码 k 作递推运算，其中 p是给定的正整数，
cp 1 ,c i 0 o1 (ir 1 ,2 ,.p . .1 ) , 为给定的常数。
则 xi ~ g(x)
本章目录 5
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生： 主要有线性同余法（LCG），组合同余 法，反馈位移寄存器方法等
本章目录 6
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生： 线性同余法（LCG）的递推公式为：
xn (axn1 c)(modM)
rn xn M
本章目录 26
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
假设我们要从 p(x) 抽样，如果可将 p(x) 表示成 p (x)ch (x)g(x)，其中 h() 是一个密度函数
且易于抽样，而 0g(x)1，c 1 是常数，
本章目录 27
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
3 筛选抽样法 ：
其SAS程序如下： data ex3;
seed=789; do I=1 to 100;
r1=ranuni(seed);r2=ranuni(seed); if r1<=r2**3 then do; x=r2; output; end; end; run;
本章目录 32
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
解：因为：p(x)41x3 ，即：c4,h(x)1,g(x)x3 则抽样框图如下：
本章目录 30
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
独立产生 r1,r2~U(0,1)
N
r1 r23
Y
令 x r2
本章目录 31
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
均匀分布随机数：
定理：设F(x)是连续且严格单调上升的分布函 数，它的反函数存在，且记为F1(x) ， 1、 若随机变量 的分布函数为F(x) ， 则F()~U(0,1) ; 2、若随机变量R~U(0,1) ,则F1(R)的分布函数为F(x)
本章目录 4
随机数的产生与模拟
均匀分布随机数：
该定理说明了任意分布的随机数均可由均 匀分布 U(0,1) 的随机数变换得到。常简称 U (0,1) 的随机数为均匀分布随机数。
(51
x5 n1
1)(mod235)
rn xn 235
x0 235
n1,2,...
xn
(31415x9n126495380)6(m 242o35d1) rn xn231 x0 231
本章目录 9
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
常用的素数模乘同余发生器 ：
xn
3125xn1(mod235 31) rn xn (235 31)
本章目录 15
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
由均匀分布随机数产生非均匀分布随机 数的主要方法有：逆变换法，合成法和 筛选法。
本章目录 16
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
对任意分布函数 F (x) ,要产生服从该分布 的随机数，由定理知其抽样步骤为： （1）由U(0,1) 抽取 R ; （2） 计算F1(R)
本章目录 17
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
例1 已知 ~p(x)(1 1x2) (柯西分布)， 试给出其抽样方法。
本章目录 18
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
解：设 R~U(0,1),则 ta (n R 1 2)~p (x ) ,因此
其抽样步骤如下： （1）由U(0,1) 抽取 R ; （2）计算 tan(R12)
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器 ：
Maclaren 和 Marsaglia在1965年提出 的著名的组合发生器是组合同余发生 器,该算法的具体步骤如下：
本章目录 14
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器
1用第一个LCG产生
：
k个随机数，一般取
k
128。这
k
个
随机数被顺序地存放在矢量T(t1,t2, ,tk)中。置 n 1 ;
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
其SAS抽样程序如下（假若产生100个随机数,）： data ex2;
seed=789;a=0.3; do I=1 to 100; r=ranuni(seed); r3=ranuni(seed); if r1<=a then do; u=ranuni(seed); x=u; end; else do; u=ranuni(seed); v=ranuni(seed); x=max(u,v);end; output; end; run;
组合发生器 ： 先用一个随机数发生器产生的随机数列为
基础，再用另一个发生器对随机数列进行重新 排列得到的新数列作为实际使用的随机数。这 种把多个独立的发生器以某种方式组合在一起 作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个 单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更 优的随机数，即组合发生器。
本章目录 13
X的抽样可如下进行：
1由 U(0,1) 抽取 R，由h( y)抽取 y 2如果Rg(y) ，则 xy ;否则，转1
则X的密度函数为 p(x)
本章目录 28
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ： 例3
设 p(x)4x3 ，0x1 试用筛选法抽取其随机数。
本章目录 29
随机数的产生与模拟
3.3.1.2平均值估计法
3.3.1.3重要抽样法
3.3.1.4分层抽样法
3.3.2 计算多重积分
3.3.2.1 随机投点法
3.3.2.2 平均值估计法
3.3.3应用实例
§3.4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用
§3.5 随机模拟方法在理论研究中的应用
作业 思考题
返回 1
随机数的产生与模拟
转⑤;
④ 判断条件 f() 是否成立,若成立置m=m+1,然
后转②,否则转②;
⑤ 计算m/N,则 1 m/N
本章目录 34
随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
（1）随机投点法
对一般区间[a,b]上定积分
I
=
b
a
f
(
x)dx
的计算,只需做线性变
1, x[0,1] p1(x) 0 其他
2x,x[0,1] p2(x) 0, 其他
其抽样框图为
本章目录 24
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
产生 R~U(0,1)
产生 U,V~U(0,1)
N
Ra
Y
产生 U~U(0,1)
令 maU x,V()
令 U
输出
本章目录 25
随机数的产生与模拟
取数列 n 中连续的 L位构成一个 L 位二进制整数，一直下去，
一般地有
x n ((n 1 )L 1 ,(n 1 )L 2 , , n)L 2 n1,2,...
令 rn xn 2L n1,2,... 则rn 即为FSR方法产生的均匀随机数列。
本章目录 12
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
x0 235 31
n1,2,...
本章目录 10
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数Fra Baidu bibliotek产生
常用的素数模乘同余发生器 ：
xn
ai xn1 (mod231 1) rn xn (231 1)
x0 231 1
(i1,2,3,4)
a1 16807
a2 397204094
a3 764261123
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
蒙特卡罗（Monte Carlo）方法（即随机模拟方法） 求解实际问题的基本步骤包括： 1 建模：对所求的问题构造一个简单而又便于实现的概 率统计模型，使所求的解恰好是所建模型的参数或有 关的特征量。 2 改进模型：根据概率统计模型的特点和计算实践的需 要，尽量改进模型，以便减少误差和降低成本，提高 计算效率。 3 模拟试验 4 求解：对模拟结果进行统计处理，给出所求问题的近 似解。
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
其想法是：如果X的密度p( x) 难于抽样，而X关于Y的 条件密度 p(x| y)以及Y的密度函数g( y) 均易于抽样， 则X的随机数可如下产生：
由Y的密度g( y)抽取y 由条件密度 p(x| y)抽取x 则X服从 p(x)
本章目录 21
(b d
a)u) c
c]
,
S0
(b
a)(d
c)
.
本章目录 35
随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
(2) 平均值估计法
平均值估计法的计算步骤：
① 产生[0,1]区间的均匀随机数 r1,r2,,rN
② 计算 f (ri ) (i1,2,..N.)
换,即可化成[0,1]上的定积分。设 f (x) 在[a,b] 上有界: c f (x) d ,
为了化一般区间上的积分为[0,1]区间上的积分,且被积函数值
在[0,1]之间,令 x (b a)u a ,则有：
b
1
a
f (x)dx S0
(u)du c(b a)
0
其中 (u)
[
f
(a
初值x 0
n1,2,...
本章目录 7
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生：
当 c 0，上式称为混合同余发生器，当 c0 时，称为乘同余发生器，此时当模为素数 时，称它为素数模乘同余发生器。
本章目录 8
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
两个常用的混合式发生器：
xn
第三章 随机数的产生与模拟目录
随机数的产生与模拟
§3.1均匀随机数的产生
3.1.1线性同余法（LCG）的递推公式
3.1.2反馈位移寄存器法（FSR）
3.1.3组合发生器
§3.2非均匀随机数的产生
§3.3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
3.3.1计算定积分
3.3.1.1随机投点法
2 用第二个LCG产生一个随机整数 j ,要求 1 j k ;
3 令xn t j ，然后再用第一个LCG产生一个随机数 y , 令 t j y ；置 nn1 ;
4 重复2~3，得随机数列 xn ，即为组合同余发生器产生 的数列。若第一个LCG的模为 M ，令 rn xn M ，则 rn 为 均匀随机数
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
当
g(
y)
为离散形式时，即
p(x)
,其中 n
i1
ipi(x)
i
0,
n
i1
i 1
pi (x) 是密度函数，其抽样过程如下：
1 产生一个正的随机整数J，使得P{Jj}pj，j1,2,...n,
2 产生分布为 p j ( x) 的随机数。
本章目录 22
本章目录 33
随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
（1）随机投点法
① 赋初值:试验次数n=0,成功次数m=0;规定投点试
验的总次数N;
② 产生两个相互独立的均匀随机数 ,~U(0,1)
置n=n+1;
③ 判断n≤N是否成立,若成立转④,否则停止试验,
本章目录 19
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
其SAS程序为（产生100个服从柯西分布的随机数）： data ex1;
seed=678; do I=1 to 100; r=ranuni(seed); x=tan(3.14159*(r-0.5)); output; end; run;
③
令 2=
1 N
N i1 f (ri )
,则
2
为积分值
I
的近似解.
本章目录 36
随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
(3)重要抽样法
重要抽样法的计算步骤为：
① 产生均匀随机数 r i (i1,2,..N.)
② 用直接抽样法产生 g(x)随机数,即由 r i 计算 x i
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
例2
试设用0合成a法1产时生梯其形随分机布数的。密度函数为，p(x)a0, 2(1a)x,x 其 [0,1他 ]
本章目录 23
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
解：首先将p(x) 进行分解,即 p (x ) a1 (x p ) (1 a )p 2 (x )， 其中
n1,2,...
a4 630360016
本章目录 11
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
反馈位移寄存器法（FSR） ： k (c pk p c p 1k p 1 c 1k 1 )(m 2 ) od
对寄存器中的二进制数码 k 作递推运算，其中 p是给定的正整数，
cp 1 ,c i 0 o1 (ir 1 ,2 ,.p . .1 ) , 为给定的常数。
则 xi ~ g(x)
本章目录 5
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生： 主要有线性同余法（LCG），组合同余 法，反馈位移寄存器方法等
本章目录 6
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生： 线性同余法（LCG）的递推公式为：
xn (axn1 c)(modM)
rn xn M
本章目录 26
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
假设我们要从 p(x) 抽样，如果可将 p(x) 表示成 p (x)ch (x)g(x)，其中 h() 是一个密度函数
且易于抽样，而 0g(x)1，c 1 是常数，
本章目录 27
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
3 筛选抽样法 ：
其SAS程序如下： data ex3;
seed=789; do I=1 to 100;
r1=ranuni(seed);r2=ranuni(seed); if r1<=r2**3 then do; x=r2; output; end; end; run;
本章目录 32
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
解：因为：p(x)41x3 ，即：c4,h(x)1,g(x)x3 则抽样框图如下：
本章目录 30
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
独立产生 r1,r2~U(0,1)
N
r1 r23
Y
令 x r2
本章目录 31
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
均匀分布随机数：
定理：设F(x)是连续且严格单调上升的分布函 数，它的反函数存在，且记为F1(x) ， 1、 若随机变量 的分布函数为F(x) ， 则F()~U(0,1) ; 2、若随机变量R~U(0,1) ,则F1(R)的分布函数为F(x)
本章目录 4
随机数的产生与模拟
均匀分布随机数：
该定理说明了任意分布的随机数均可由均 匀分布 U(0,1) 的随机数变换得到。常简称 U (0,1) 的随机数为均匀分布随机数。
(51
x5 n1
1)(mod235)
rn xn 235
x0 235
n1,2,...
xn
(31415x9n126495380)6(m 242o35d1) rn xn231 x0 231
本章目录 9
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
常用的素数模乘同余发生器 ：
xn
3125xn1(mod235 31) rn xn (235 31)
本章目录 15
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
由均匀分布随机数产生非均匀分布随机 数的主要方法有：逆变换法，合成法和 筛选法。
本章目录 16
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
对任意分布函数 F (x) ,要产生服从该分布 的随机数，由定理知其抽样步骤为： （1）由U(0,1) 抽取 R ; （2） 计算F1(R)
本章目录 17
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
例1 已知 ~p(x)(1 1x2) (柯西分布)， 试给出其抽样方法。
本章目录 18
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
解：设 R~U(0,1),则 ta (n R 1 2)~p (x ) ,因此
其抽样步骤如下： （1）由U(0,1) 抽取 R ; （2）计算 tan(R12)
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器 ：
Maclaren 和 Marsaglia在1965年提出 的著名的组合发生器是组合同余发生 器,该算法的具体步骤如下：
本章目录 14
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器
1用第一个LCG产生
：
k个随机数，一般取
k
128。这
k
个
随机数被顺序地存放在矢量T(t1,t2, ,tk)中。置 n 1 ;
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
其SAS抽样程序如下（假若产生100个随机数,）： data ex2;
seed=789;a=0.3; do I=1 to 100; r=ranuni(seed); r3=ranuni(seed); if r1<=a then do; u=ranuni(seed); x=u; end; else do; u=ranuni(seed); v=ranuni(seed); x=max(u,v);end; output; end; run;
组合发生器 ： 先用一个随机数发生器产生的随机数列为
基础，再用另一个发生器对随机数列进行重新 排列得到的新数列作为实际使用的随机数。这 种把多个独立的发生器以某种方式组合在一起 作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个 单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更 优的随机数，即组合发生器。
本章目录 13
X的抽样可如下进行：
1由 U(0,1) 抽取 R，由h( y)抽取 y 2如果Rg(y) ，则 xy ;否则，转1
则X的密度函数为 p(x)
本章目录 28
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ： 例3
设 p(x)4x3 ，0x1 试用筛选法抽取其随机数。
本章目录 29
随机数的产生与模拟
3.3.1.2平均值估计法
3.3.1.3重要抽样法
3.3.1.4分层抽样法
3.3.2 计算多重积分
3.3.2.1 随机投点法
3.3.2.2 平均值估计法
3.3.3应用实例
§3.4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用
§3.5 随机模拟方法在理论研究中的应用
作业 思考题
返回 1
随机数的产生与模拟
转⑤;
④ 判断条件 f() 是否成立,若成立置m=m+1,然
后转②,否则转②;
⑤ 计算m/N,则 1 m/N
本章目录 34
随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
（1）随机投点法
对一般区间[a,b]上定积分
I
=
b
a
f
(
x)dx
的计算,只需做线性变
1, x[0,1] p1(x) 0 其他
2x,x[0,1] p2(x) 0, 其他
其抽样框图为
本章目录 24
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
产生 R~U(0,1)
产生 U,V~U(0,1)
N
Ra
Y
产生 U~U(0,1)
令 maU x,V()
令 U
输出
本章目录 25
随机数的产生与模拟
取数列 n 中连续的 L位构成一个 L 位二进制整数，一直下去，
一般地有
x n ((n 1 )L 1 ,(n 1 )L 2 , , n)L 2 n1,2,...
令 rn xn 2L n1,2,... 则rn 即为FSR方法产生的均匀随机数列。
本章目录 12
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
x0 235 31
n1,2,...
本章目录 10
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数Fra Baidu bibliotek产生
常用的素数模乘同余发生器 ：
xn
ai xn1 (mod231 1) rn xn (231 1)
x0 231 1
(i1,2,3,4)
a1 16807
a2 397204094
a3 764261123
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
蒙特卡罗（Monte Carlo）方法（即随机模拟方法） 求解实际问题的基本步骤包括： 1 建模：对所求的问题构造一个简单而又便于实现的概 率统计模型，使所求的解恰好是所建模型的参数或有 关的特征量。 2 改进模型：根据概率统计模型的特点和计算实践的需 要，尽量改进模型，以便减少误差和降低成本，提高 计算效率。 3 模拟试验 4 求解：对模拟结果进行统计处理，给出所求问题的近 似解。