随机数产生与模拟

(b d
a)u) c
c]
,
S0
(b
a)(d
c)
.
本章目录 35
随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
(2) 平均值估计法
平均值估计法的计算步骤：
① 产生[0,1]区间的均匀随机数 r1,r2,,rN
② 计算 f (ri ) (i1,2,..N.)
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
当
g(
y)
为离散形式时，即
p(x)
,其中 n
i1
ipi(x)
i
0,
n
i1
i 1
pi (x) 是密度函数，其抽样过程如下：
1 产生一个正的随机整数J，使得P{Jj}pj，j1,2,...n,
2 产生分布为 p j ( x) 的随机数。
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3 筛选抽样法 ：
其SAS程序如下： data ex3;
seed=789; do I=1 to 100;
r1=ranuni(seed);r2=ranuni(seed); if r1<=r2**3 then do; x=r2; output; end; end; run;
本章目录 32
随机数的产生与模拟
本章目录 15
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
由均匀分布随机数产生非均匀分布随机 数的主要方法有：逆变换法，合成法和 筛选法。
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随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
对任意分布函数 F (x) ,要产生服从该分布 的随机数，由定理知其抽样步骤为： （1）由U(0,1) 抽取 R ; （2） 计算F1(R)
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
其SAS抽样程序如下（假若产生100个随机数,）： data ex2;
seed=789;a=0.3; do I=1 to 100; r=ranuni(seed); r3=ranuni(seed); if r1<=a then do; u=ranuni(seed); x=u; end; else do; u=ranuni(seed); v=ranuni(seed); x=max(u,v);end; output; end; run;
X的抽样可如下进行：
1由 U(0,1) 抽取 R，由h( y)抽取 y 2如果Rg(y) ，则 xy ;否则，转1
则X的密度函数为 p(x)
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随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ： 例3
设 p(x)4x3 ，0x1 试用筛选法抽取其随机数。
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随机数的产生与模拟
本章目录 26
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
假设我们要从 p(x) 抽样，如果可将 p(x) 表示成 p (x)ch (x)g(x)，其中 h() 是一个密度函数
且易于抽样，而 0g(x)1，c 1 是常数，
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随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
2 用第二个LCG产生一个随机整数 j ,要求 1 j k ;
3 令xn t j ，然后再用第一个LCG产生一个随机数 y , 令 t j y ；置 nn1 ;
4 重复2~3，得随机数列 xn ，即为组合同余发生器产生 的数列。若第一个LCG的模为 M ，令 rn xn M ，则 rn 为 均匀随机数
3.3.1.2平均值估计法
3.3.1.3重要抽样法
3.3.1.4分层抽样法
3.3.2 计算多重积分
3.3.2.1 随机投点法
3.3.2.2 平均值估计法
3.3.3应用实例
§3.4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用
§3.5 随机模拟方法在理论研究中的应用
作业 思考题
返回 1
随机数的产生与模拟
初值x 0
n1,2,...
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生：
当 c 0，上式称为混合同余发生器，当 c0 时，称为乘同余发生器，此时当模为素数 时，称它为素数模乘同余发生器。
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
两个常用的混合式发生器：
xn
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
例2
试设用0合成a法1产时生梯其形随分机布数的。密度函数为，p(x)a0, 2(1a)x,x 其 [0,1他 ]
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随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
解：首先将p(x) 进行分解,即 p (x ) a1 (x p ) (1 a )p 2 (x )， 其中
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随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
（1）随机投点法
① 赋初值:试验次数n=0,成功次数m=0;规定投点试
验的总次数N;
② 产生两个相互独立的均匀随机数 ,~U(0,1)
置n=n+1;
③ 判断n≤N是否成立,若成立转④,否则停止试验,
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
解：因为：p(x)41x3 ，即：c4,h(x)1,g(x)x3 则抽样框图如下：
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随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
独立产生 r1,r2~U(0,1)
N
r1 r23
Y
令生与模拟
2非均匀随机数的产生
第三章 随机数的产生与模拟目录
随机数的产生与模拟
§3.1均匀随机数的产生
3.1.1线性同余法（LCG）的递推公式
3.1.2反馈位移寄存器法（FSR）
3.1.3组合发生器
§3.2非均匀随机数的产生
§3.3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
3.3.1计算定积分
3.3.1.1随机投点法
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随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
其想法是：如果X的密度p( x) 难于抽样，而X关于Y的 条件密度 p(x| y)以及Y的密度函数g( y) 均易于抽样， 则X的随机数可如下产生：
由Y的密度g( y)抽取y 由条件密度 p(x| y)抽取x 则X服从 p(x)
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x0 235 31
n1,2,...
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
常用的素数模乘同余发生器 ：
xn
ai xn1 (mod231 1) rn xn (231 1)
x0 231 1
(i1,2,3,4)
a1 16807
a2 397204094
a3 764261123
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
蒙特卡罗（Monte Carlo）方法（即随机模拟方法） 求解实际问题的基本步骤包括： 1 建模：对所求的问题构造一个简单而又便于实现的概 率统计模型，使所求的解恰好是所建模型的参数或有 关的特征量。 2 改进模型：根据概率统计模型的特点和计算实践的需 要，尽量改进模型，以便减少误差和降低成本，提高 计算效率。 3 模拟试验 4 求解：对模拟结果进行统计处理，给出所求问题的近 似解。
(51
x5 n1
1)(mod235)
rn xn 235
x0 235
n1,2,...
xn
(31415x9n126495380)6(m 242o35d1) rn xn231 x0 231
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
常用的素数模乘同余发生器 ：
xn
3125xn1(mod235 31) rn xn (235 31)
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器 ：
Maclaren 和 Marsaglia在1965年提出 的著名的组合发生器是组合同余发生 器,该算法的具体步骤如下：
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器
1用第一个LCG产生
：
k个随机数，一般取
k
128。这
k
个
随机数被顺序地存放在矢量T(t1,t2, ,tk)中。置 n 1 ;
③
令 2=
1 N
N i1 f (ri )
,则
2
为积分值
I
的近似解.
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随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
(3)重要抽样法
重要抽样法的计算步骤为：
① 产生均匀随机数 r i (i1,2,..N.)
② 用直接抽样法产生 g(x)随机数,即由 r i 计算 x i
n1,2,...
a4 630360016
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
反馈位移寄存器法（FSR） ： k (c pk p c p 1k p 1 c 1k 1 )(m 2 ) od
对寄存器中的二进制数码 k 作递推运算，其中 p是给定的正整数，
cp 1 ,c i 0 o1 (ir 1 ,2 ,.p . .1 ) , 为给定的常数。
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