北京市昌平区第一中学2020—2021学年度高二年级第一学期期中考试数学试卷
北京市昌平区第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷
B．
（3，4，1）
→
D．− 2 − 2 +
）
C．（﹣4，﹣1，0）
D．
（2，5，6）
9．“m＝2”是“直线 mx﹣（m+2）y+3＝0 和直线 mx+y+1＝0 垂直”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．已知点 A（2，﹣3）
，B（﹣3，﹣2），直线 l：mx+y﹣m﹣1＝0 与线段 AB 相交，则实数
m 的取值范围是（
A．m≤﹣4 或 m≥
）
3
3
B．m≤ − 或 m≥4
4
4
C．﹣4≤m≤
3
4
3
4
D．− ≤m≤4
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
11．若直线（1+a）x+y+1＝0 与直线 2x+ay+1＝0 平行，则 a 的值为
在平行六面体abcda1b1c1d1中m为a1c1与b1d1交点若????????????????????????????????1????则向量????????可表示为a
2021-2022 学年北京市昌平一中高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题列出的四个选项中，选出符
12．以点 A（0，4）
，B（4，6）为直径的两个端点的圆的标准方程是
．
．
→
13．平面 α 的一个法向量是 =（﹣2，﹣2，1）
，点 A（﹣1，3，0）在平面 α 内，则点 P
立体几何与空间向量小题分类练习(四)综合应用-北京市2021-2022学年高二上学期期中数学备考
高二专题分类-立体几何与空间向量（四）空间向量与立体几何的综合应用一．选择题1．（2021·北京八中高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，AC 和1A D 所成角的大小是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．752．（2021·北京市朝阳区北京教育学院朝阳分院高二期中）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ）A ．2aB ．212aC ．214aD 2 3．（2021·北京昌平区·昌平一中高二月考）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，点E 是SB 的中点，则直线AE ，SD 所成角的余弦值为（ ）A ．3B C D ．134．（2021·北京西城·）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．25B ．35C ．13D ．235．（2020·北京和平街第一中学高二月考）已知向量()2,0,1n =为平面α的法向量，点()1,2,1A -在α内，点()1,2,2P -在α外，则点P 到平面α的距离为（ ）A B C ．D6．（2021·北京八中高二期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为1DD 的中点，点P 为BDE 内部一动点，P 点到平面1111D C B A 的正射影为点Q ，则Q 到点A 的距离的最小值为（ ）AB C D ．17．（2021·北京师范大学昌平附属学校）正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1BB 中点，平面1A EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为（ ）A B C D 8．（2021·北京高二期末）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)A B C D ，则直线AD 与BC 所成角的大小是___．二．填空题9．（2020·北京市广渠门中学）已知平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点()1,3,0A --在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为_________.10．（2021·北京朝阳·高二期末）如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1.则A 1C 与平面C 1BD _______（填“垂直”或“不垂直”）；A 1C 的长为_______.11．（2021·北京昌平区·昌平一中高二月考）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角最大值为___________.12．（2021·北京昌平区·昌平一中高二月考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为1BB 的中点，则异面直线1BC 与1D E 所成的角为___________.13．（2021·北京人大附中高二期末）如图，若正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，对角线1B C 的长为10，点D 为AC 的中点，则点1B 到平面1C BD 的距离为_____，直线1AB 与直线BD 所成角的余弦值为________．14．（2021·北京高二期末）如图，在四面体ABCD 中，其棱长均为1，M ，N 分别为BC ，AD 的中点.若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +zAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x y z ++=________；直线MN 和CD 的夹角为________.15．（2020·北京市第十二中学高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，11AA =，点P 在底面1111D C B A 上．（1）若点P 与点1A 重合，则点P 到平面11BDD B 的距离是__________． （2）若点P 到直线AD 和11C D 的距离相等，则1PC 的最小值是__________．参考答案1．C 【分析】连接1B C ，即可得到11//A D B C ，则1B CA ∠（或补角）即为异面直线AC 和1A D 所成角，再根据正方体的性质计算可得； 【详解】解：如图连接1B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，因为11//A B CD ，且11=A B CD ，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//A D B C ， 所以1B CA ∠（或补角）即为异面直线AC 和1A D 所成角， 显然1AB C 为等边三角形，所以160B CA ∠=. 故选：C.2．C 【分析】由题意可知，空间四边形ABCD 相邻两边的夹角都为60︒，所以把,,AB AC AD 看成空间向量的基底，将,AE AF 用基底表示化简可得答案 【详解】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ 22211(cos60cos60)44a a a ︒︒=+= 故选：C3．C 【分析】由题意画出图形，连接AC ，BD ，交于O ，连接,EO SO ，可得//EO SD ，则AEO ∠为直线AE 与直线SD 所成的角，证明AC ⊥平面SBD ，AC OE ⊥，则求解直角三角形得答案．【详解】解：如图，连接AC ，BD ，交于O ，连接,EO SO ，则SO ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以SO AC ⊥， 因为正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，则AC BD ⊥， 又BD SO O ⋂=，所以AC ⊥平面SBD ， 又OE ⊂平面SBD ，所以AC OE ⊥，在SBD 中，O 为BD 的中点，点E 是SB 的中点，所以//EO SD ，则直线AE 与直线SD 所成的角为AEO ∠或其补角， 设正四棱锥S ABCD -的棱长为2，则AO =AE =在Rt AOE 中，1EO ．cosEO AEO AE ∴∠==即直线AE ，SD 故选：C ．4．D 【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线1A E 与BC 所成的角即可． 【详解】解：设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系， 则1(2A ，0，2)，(0E ，1，0)，(0C ，2，0)，(2B ，2，0)， 则1(2,1,2),(2,0,0)A E BC =--=- 所以111cos ,||||A E BC A EBC A E BC ⋅<>=42323==⨯， 所以异面直线1A E 与直线BC 所成角的余弦值为23，故选：D ．5．A 【分析】利用点到平面距离公式的向量求法即可求解. 【详解】因为()1,2,1A -，()1,2,2P -， 所以()2,0,3PA =-，因为平面α的法向量为()2,0,1n =，所以点P 到平面α的距离为242PA n d n⋅-==， 故选：A.6．B 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求AQ 的距离，再由表达式研究最小值即可 【详解】由题可知，Q 点在线段11B D 上运动，且Q 不与11,B D 重合，如图以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则易知(1,0,0)A ，又11B D 为1111D C B A 的对角线，故可设(,,1),(01)Q a a a <<，则AQ =令2222t a a =-+，则易知12a =时，2222t a a =-+所以AQ 故选：B 7．C 【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面1A EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值. 【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()12,0,2A 、()2,2,1E 、()0,2,0C ，所以，()10,2,1EA =-，()2,0,1CE =， 设平面1A CE 的法向量为(),,m x y z =，则12020m EA y z m CE x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，可得()1,1,2m =--，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，所以，cos ,6m n m n m n⋅<>===⨯⋅，易知，平面1A EC 与平面ABCD 故选：C. 8．60︒ 【分析】利用空间向量求夹角公式直接求解. 【详解】(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)A B C D(0,2,2),(1,0,1)BC AD ∴=-=-21cos ,20AD BC AD BC AD BC⋅∴===⋅又空间中两直线夹角范围为(0,90⎤⎦，故,60AD BC = 所以直线AD 与BC 所成角的大小是60︒ 故答案为：60︒9．23【分析】由题意算出()1,4,4AP =-，根据向量()2,2,1n =--是平面α的一个法向量，算出向量AP 在n 上的投影的绝对值，即可得到P 到α的距离.【详解】解：根据题意，可得()()1,3,0,1,4,2A P ---，()1,4,4AP =-， 又平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点A 在α内，()2,1,4P ∴-到α的距离等于向量AP 在n 上的投影的绝对值，()()1242412P n A -⨯-+⨯-∴⨯=-=+ 即(232AP n d n===- 故答案为:23【点睛】本题给出平面的法向量和平面上的一点，求平面外一点到平面的距离；着重考查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识，属于中档题.10．垂直【分析】设CB a =，CD b =，1CC c =，可得出1CA a b c =++，计算得出1110CA BD CA BC ⋅=⋅=，可得出1CA BD ⊥，11CA BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立，求1CA 的平方即可求A 1C 的长.【详解】设CB a =，CD b =，1CC c =，由题意可得1CA a b c =++，则()()()2211CA BD CA CD CB a b c b a b a c b c a ⋅=⋅-=++⋅-=-+⋅-⋅cos60cos600c b c a =⋅-⋅=，1CA BD ∴⊥，同理可证11CA BC ⊥，1BD BC B ⋂=，故1CA ⊥平面1C BD ．∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1，11CD CB CC ∴===,222221111()2()1112()6222CA a b c a b c a b b c a c ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=+++++=1CA →∴=即A 1C .11．60【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间坐标系，设点M (x ，0，z )，其中01,1)0(x z ≤≤≤≤，根据空间向量的数量积运算得x z =，再根据空间向量的夹角运算和二次函数的性质可得答案.【详解】解：以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间坐标系，如图所示：∠M 是左侧面ADD 1A 上的一个动点，设点M (x ，0，z )，其中01,1)0(x z ≤≤≤≤， 1(1,1,0),(0,1,1),B C =，1(1,0,1),(1,1,)BC BM x z ∴=-=--，111BC BM x z ∴⋅=-+=，即x z =，又1||2,||(BC BM x ===设1BC 与BM 的夹角为θ，1cos 2θ∴== 设2()1f x x x =-+，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以13(0)1,()24f f ==，3()14f x ≤≤，所以1cos 2θ≤≤1BC 与BM 的夹角最大值为60.故答案为：60.12．4π. 【分析】连接1BC ，证明11//BC AD ，则1AD E ∠或其补角即为异面直线1BC 与1D E 所成的角，从而可的答案.【详解】解：连接1BC ，由正方体的性质可知，11//AB C D ，且11AB C D =，所以11ABC D 是平行四边形，所以11//BC AD ，所以1AD E ∠或其补角即为异面直线1BC 与1D E 所成的角，在1AD E △中，113,D E AD AE ==则22211111cos 2AD D E AE AD E AD D E +-∠===⋅ 即异面直线1BC 与1D E又因异面直线1BC 与1D E 所成的角的范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 所以异面直线1BC 与1D E 所成的角为4π. 故答案为：4π.13 【分析】设1B C 与1BC 交于点O ，连接1AC ，可证得1//AB 平面1C BD ，求点1B 到平面1C BD 的距离可以转化为求点A 到平面1C BD 的距离，然后利用11A BC D C ABD V V --=进行计算求解；由于1//AB DO ，直线1AB 与直线BD 所成的角为ODB ∠，利用余弦定理进行计算求解即可.【详解】设1B C 与1BC 交于点O ，连接1AC ，在正三棱柱111ABC A B C -中，显然点O 为1B C 的中点，又点D 为AC 的中点， 所以1//AB DO ，又DO ⊂平面1C BD ，1AB ⊄平面1C BD ，所以1//AB 平面1C BD ，所以求点1B 到平面1C BD 的距离可以转化为求点A 到平面1C BD 的距离，因为8BD =，16CC ==，1C D所以有22211BD C D BC +=，所以1BD C D ⊥，所以112BC D S =⨯△易得BD AC ⊥，所以142ABD S =⨯=△ 设点A 到平面1C BD 的距离为h ，由11A BC D C ABD V V --=，即111133BC D ABD S h S C C ⨯⨯=⨯⨯△△，所以有11633h ⨯=⨯，解得：h = 因为1//AB DO ，所以直线1AB 与直线BD 所成的角为ODB ∠，因为1BD C D ⊥，O 为1B C 的中点，所以1152DO BC ==，而BD =所以22222255cos2OD BD OB ODB OD BD+-+-∠===⨯..【点睛】关键点点睛：求线面距离通常可以转化为求三棱锥的高，而求三棱锥的高通常利用等体积法进行求解.14．12-． 4π 【分析】利用空间向量的线性运算把MN 用,,AB AC AD 表示即可得,,x y z ，再由向量的数量积得向量夹角，从而得异面直线所成的角．【详解】由已知得MN 1122MB BA AN CB AB AD =++=-+11111()22222AB AC AB AD AB AC AD =--+=--+，又MN xAB y AC z AD =++且,,AB AC AD 不共面，∠12x y ==-，12z =，∠12x y z ++=-， ABCD 是棱长为1的正四面体，∠111cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=，同理12AB AD AC AD ⋅=⋅=，2222111111444222MN MN AB AC ADAB AC AB AD AC AD ==+++⋅-⋅-⋅44444== CD AD AC =-，111()()222MN CD AB AC AD AD AC ⋅=--+⋅-22111111222222AB AD AB AC AC AD AC AD AD AC =-⋅+⋅-⋅++-⋅11111114442242=-+-++-=， ∠12cos ,2MN CD MN CD MN CD ⋅<>===，∠,4MN CD π<>=， ∠异面直线MN 和CD 所成的角为4π． 【点睛】 关键点点睛：本题考查空间向量基本定理，考查用向量法求异面直线所成的角．在空间任意不共面的三个向量可作为空间的一个基底，空间所有向量都可用基底表示，且表示方法唯一，因此在用同一个基底用两种不同方法表示出同一向量时，两种表示法中对应的系数相等．由此结合向量的运算法则可表示得结论．同样用向量法求异面直线所成的角，可以直接计算，不需要作图与证明．15． 3【分析】（1）若点P 与点1A 重合，在平面1111D C B A 内，过P 作11PE B D ⊥，证明PE ⊥平面11BDD B ，则PE 为点P 到平面11BDD B 的距离，利用等面积法求解； （2）以1D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设()(),,00,0P x y x y >≤，得()2210,0x y x y +=>≤，再由两点间的距离公式写出1PC ，利用配方法求最小值．【详解】解：（1）如图，若点P 与点1A 重合，在平面1111D C B A 内，过1A 作111A E B D ⊥， ∠平面1111A B C D ⊥平面11BB D D ，平面1111A B C D 平面1111BB D D B D =，∠1A E ⊥平面11BDD B ，则1A E 为点P 到平面11BDD B = （2）以1D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设()(),,00,0P x y x y >≤y ，即()2210,0x y x y +=>≤，P 的轨迹为双曲线的部分， ()14,0,0C ，则1PC = ∠当2x =时，1PC 的最小值是3．故答案为：3．。
2020-2021学年北京市昌平区新学道临川学校高二(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京市昌平区新学道临川学校高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在△ABC中，A=30°，B=60°，a=10，则b等于()A. 20B. 10√3C. 10√63D. 5√32.在△ABC中，a=9，b=2√3，C=150°，则c=()A. √39B. 7√3C. 10√2D. 8√33.若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为()A. √3B. −√3C. √33D. −√334.过两点A(4,y)，B(2,−3)的直线的倾斜角为45°，则y=()A. −√32B. √32C. −1D. 15.直线l经过点P(2,−3)，且倾斜角α=45°，则直线的点斜式方程是()A. y+3=x−2B. y−3=x+2C. y+2=x−3D. y−2=x+36.过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y+1=0D. x−y−1=07.直线2x+3y+8=0与直线x−y−1=0的交点坐标是()A. (−2,−1)B. (1,2)C. (−1,−2)D. (2,1)8.已知点M(m,−1)，N(5,m)，且|MN|=2√5，则实数m等于()A. 1B. 3C. 1或3D. −1或39.原点到直线x+2y−5=0的距离为()A. 1B. √3C. 2D. √510.已知点M(1,4)到直线l：mx+y−1=0的距离等于1，则实数m等于()A. 34B. −34C. −43D. 4311.已知点A(1,−1)，B(−1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A. x2+y2=2B. x2+y2=√2C. x2+y2=1D. x2+y2=412.已知点A(0,2)，B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为．14.已知P(−2,m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x+y+1=0，则m=______．15.在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=______．16.设等比数列{a n}满足a1+a2=−1，a1−a3=−3，则a4=______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.求倾斜角为直线y=−x+1的倾斜角的1，且分别满足下列条件的直线方程：3(1)经过点(−4,1)；(2)在y轴上的截距为−10．18.(1)求直线l：3x−4y−5=0被圆x2+y2=5所截得的弦长；(2)若圆x2+y2−2x+4y−20=0截直线5x−12y+c=0所得的弦长为8，求c的值．19.(1)判断圆C1：(x+2)2+(y−2)2=1与圆C2：(x−2)2+(y−5)2=16的位置关系，并说明；(2)求圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y−6=0的公共弦长．20.已知圆C：x2+y2−2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，直线l：3x−4y−15=0．(1)求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；(2)当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l．21.已知A(3,5)，B(−1,3)，C(−3,1)为△ABC的三个顶点，P、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△PMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．22.已知坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5．(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C，线段AB，点A为C上一点，点B(11,13)，求AB的中点P的轨迹方程．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，A=30°，B=60°，a=10，∴由正弦定理可得bsinB =asinA，即bsin60°=10sin30°，∴b=10×√3 212=10√3故选：B由正弦定理可得bsin60°=10sin30°，变形可得．本题考查正弦定理，属基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．由余弦定理得到c2=a2+b2−2abcosC，将a，b及cosC的值代入，即可求出c的值．【解析】解：∵a=9，b=2√3，C=150°，∴由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，得：c2=81+12−36√3×(−√32)=147，则c=7√3，故选B．3.【答案】A【解析】解：因为直线的斜率k和倾斜角θ的关系是：k=tanθ∴倾斜角为60°时，对应的斜率k=tan60°=√3故选：A．直接根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论．本题主要考查直线的倾斜角和斜率之间的关系以及计算能力，属于基础题目．做这一类型题目的关键是熟悉公式．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得y的值．【解答】解：经过两点A(4,y)，B(2,−3)的直线的斜率为k=y+32，又直线的倾斜角为45°，∴y+32=tan45°=1，即y=−1．故选C．5.【答案】A【解析】解：由题意得直线的斜率k=1，所以直线的点斜式方程为y+3=x−2．故选：A．先求直线的斜率，然后根据直线的点斜式方程即可求解．本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系及直线的点斜式方程，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意可得直线的两点式方程为：y−23−2=x−34−3，化为一般式可得：x−y−1=0故选：D．写出直线的两点式方程，化为一般式即可．本题考查直线的两点式方程，属基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查求两直线交点，属于基础题．根据两直线有交点，判断两方程有公共解，然后建立方程组，求解即可．【解答】解：直线2x +3y +8=0与直线x −y −1=0有交点，所以两方程有公共解， 则{2x +3y +8=0…①x −y −1=0…②， ①+②×3得：5x =−5，∴x =−1，把它代入②得：y =−2，∴两直线的交点坐标为(−1,−2)．故选：C ．8.【答案】C【解析】解：因为点M(m,−1)，N(5,m)，且|MN|=2√5，所以|MN|=√(m −5)2+(m +1)2=2√5，即m 2−4m +3=0，解得m =1或m =3．故选：C ．直接利用两点间距离公式列式求解即可．本题考查了两点间距离公式的理解与应用，考查了运算能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式的应用，属于基础题．用点到直线的距离公式直接求解．【解答】解：d =√1+22=√5．故选D ．10.【答案】C【解析】解：∵点M(1,4)到直线l：mx十y−1=0的距离等于1，∴|m+4−1|√m2+1=1，解得m=−43．故选：C．利用点到直线的距离公式求解．本题考查直线中参数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．11.【答案】A【解析】解：∵点A(1,−1)，B(−1,1)，∴以线段AB为直径的圆，圆心为AB中点(0,0)半径r=12|AB|=12×√(1+1)2+(−1−1)2=√2因此，所求圆的方程为x2+y2=2故选：A由线段的中点坐标公式和两点间的距离公式，分别算出圆的圆心和半径，即可得出所求圆的方程．本题给出A、B的坐标，求以AB为直径的圆方程．着重考查了线段中点坐标公式、两点间的距离公式和圆的方程等知识，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：设C(a,a2)，由已知得直线AB的方程为x2+y2=1，即：x+y−2=0点C到直线AB的距离为：d=|a+a2−2|√2，有三角形ABC 的面积为2可得：S △ABC =12|AB|d =12× 2√2×|a +a 2−2|√2=|a +a 2−2|=2 得：a 2+a =0或a 2+a −4=0，显然方程共有四个根，可知函数y =x 2的图象上存在四个点(如上面图中四个点C 1，C 2，C 3，C 4)使得△ABC 的面积为2(即图中的三角形△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3，△ABC 4). 故应选：A本题可以设出点C 的坐标(a,a 2)，求出C 到直线AB 的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a 的方程，转化为求解方程根的个数(不必解出这个根)，从而得到点C 的个数．本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想13.【答案】(x −1)2+y 2=1【解析】【分析】本题考查了圆的方程的求法，是中档题．方法一：根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程．方法二：设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程．【解答】解：方法一：根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆，其圆心为(1,0)，半径为1，则该圆的方程为(x −1)2+y 2=1．方法二：设该圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则{F =04+2D +F =02+D +E +F =0，解得D=−2，E=F=0；∴所求圆的方程为x2+y2−2x=0，即(x−1)2+y2=1．故答案为：(x−1)2+y2=1．14.【答案】1【解析】解：∵P(−2,m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x+y+1=0，=1，则m=1，∴直线PQ的斜率为m−4−2−m故答案为：1．由题意利用直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求得m的值．本题主要考查直线的斜率公式，两直线垂直的性质，属于基础题．15.【答案】0【解析】解：在等差数列{a n}中，由a2=4，a4=2，且a2+a6=2a4，∴a6=2a4−a2=2×2−4=0．故答案为：0．由已知结合等差数列的性质列式计算．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础的计算题．16.【答案】−8【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．设等比数列{a n}的公比为q，可得：a1(1+q)=−1，a1(1−q2)=−3，求解即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=−1，a1−a3=−3，∴a1(1+q)=−1，a1(1−q2)=−3，解得a1=1，q=−2，则a4=1×(−2)3=−8．故答案为−8．17.【答案】解：由于直线y=−x+1的斜率为−1，所以其倾斜角为135°，由题意知所求直线的倾斜角为45°，所求直线的斜率k=1．(1)由于直线过点(−4,1)，由直线的点斜式方程得y−1=x+4，即x−y+5=0；(2)由于直线在y轴上的截距为−10，由直线的斜截式方程得y=x−10，即x−y−10= 0．【解析】求得已知直线的斜率和倾斜角，可得所求直线的倾斜角和斜率，分别运用点斜式方程和斜截式方程，可得(1)、(2)的直线方程．本题考查直线的方程的求法，注意运用直线的点斜式方程和斜截式方程，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意得弦心距d=1，半径r=√5，所以弦长为2√r2−d2=4．(2)由题意得圆心C(1,−2)，半径r=5，，圆心C到直线5x−12y+c=0的距离d=|29+c|13+16，又r2=d2+42，所以25=(29+c)2132解得c=10或c=−68．【解析】(1)利用勾股定理可得弦长；(2)利用点线距公式求出圆心C到直线5x−12y+c=0的距离，由勾股定理求出c的值．本题主要考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．19.【答案】解：(1)由题意可知，圆C1的圆心是C1(−2,2)，半径r=1，圆C2的圆心C2(2,5)，半径R=4，则圆心距|C1C2|=√(2+2)2+(5−2)2=5=r+R，所以两圆外切；(2)已知圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y−6=0，将两圆的方程作差，可得公共弦所在的直线方程为y=1，圆x2+y2=4的半径为R=2，圆心(0,0)到直线y=1的距离d=1，所以公共弦长为l =2√R 2−d 2=2√3．【解析】(1)先确定两圆的圆心和半径，由两点间距离公式求出圆心距，判断与两圆半径之间的关系，即可得到答案；(2)先将两圆的方程作差，求出两圆公共弦所在的直线方程，求出圆x 2+y 2=4的圆心到公共弦的距离，由勾股定理求解公共弦长即可．本题考查了圆与圆位置关系的判断，两圆公共弦方程的求解，两圆公共弦长的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为圆C 1：x 2+y 2=25的圆心坐标为O(0,0)，半径为5；…(2分) 则圆心O(0,0)到直线l ：3x −4y −15=0的距离为d =155=3，…(3分)所以直线l 被圆C 1：x 2+y 2=25截得的弦长为2√52−32=8；…(4分)(2)圆C 与圆C 1的公共弦直线为2x −4my −4m 2−25=0，…(5分)因为该弦平行于直线l ：3x −4y −15=0，所以23=−4m −4≠−4m 2−25−15，…(7分) 得m =23，经检验符合题意，所以m 的值为23.…(8分)【解析】(1)根据圆心到直线的距离和半径与弦长的一半构成直角三角形，利用勾股定理求出弦长；(2)利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，利用直线平行列方程求得m 的值． 本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，是基础题．21.【答案】解：∵点P 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A(3,5)，B(−1,3)，C (−3,1)， ∴P(1,4)，M(−2,2)，N(0,3)．∵所求圆经过点P 、M 、N ，∴设△PMN 外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，把点P 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得{1+42+D +4E +F =0−22+22−2D +2E +F =00+32+3E +F =0，解得 {D =7E =−15F =36，∴△PMN 外接圆的方程为x 2+y 2+7x −15y +36=0，化为(x +72)2+(y −152)2=652．∴圆心为(−72,152)，半径r =12√130．【解析】由已知结合A ，B ，C 点的坐标即可求出P ，M ，N 点的坐标，然后设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标求出D ，E ，F ，则圆的方程可求．本题考查了圆的方程的求法，是中档题．22.【答案】解：(1)由题意坐标平面上点M(x,y)与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)的距离之比等于5，得∣M 1M ∣∣MM 2∣=5．√(x−26)2+(y−1)2√(x−2)2+(y−1)2=5，化简得x 2+y 2−2x −2y −23=0．即(x −1)2+(y −1)2=25．∴点M 的轨迹方程是(x −1)2+(y −1)2=25，所求轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)设P(x,y)，A(x 0,,y 0)，根据题意有{x =x 0+112y =y 0+132，所{x 0=2x −11y 0=2y −13， 点A 在圆C 上，所以有(x 0−1)2+(y 0−1)2=25，所以(2x −12)2+(2y −14)2=25，所以(x −6)2+(y −7)2=254，所以AB 的中点P 的轨迹方程为(x −6)2+(y −7)2=254．【解析】(1)直接利用距离的比，列出方程即可求点M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．。
2019-2020学年北京昌平一中高二(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年北京昌平一中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1.“x<1”是“x<2”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A. (1,+∞)B. (1,2)C. (12,1) D. (0,1)3.已知a<b<0，则下列不等式中成立的是()A. ca <cbB. |a|<|b|C. 1a>1bD. ac>bc4.已知M(−2,0)，N(2,0)，|PM|−|PN|=4，则动点P的轨迹是()A. 一条射线B. 双曲线C. 双曲线左支D. 双曲线右支5.函数y=log2(x+1x−1+5)，(x>1)的最小值为()A. −3B. 3C. 4D. −46.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A. x29+y216=1 B. x225+y216=1C. x225+y216=1或x216+y225=1 D. 以上都不对7.把数列{2n+1}(n∈N∗)依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，…循环分别为(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，(45,47)…，则第104个括号内各数之和为()A. 2036B. 2048C. 2060D. 20728.设f(n)=2+24+27+210+⋯+23n+1(n∈N)，则f(n)等于()A. 27(8n−1) B. 27(8n+1) C. 27(8n+1−1) D. 27(8n+1+1)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：______．10.已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为______ ．11.a>0，b>0，若√3是3a与3b的等比中项，则a+b=______，1a +1b的最小值为______．12.若曲线x24+k +y21−k=1表示双曲线，则k的取值范围是．13.已知{a n}是公比为2的等比数列，若a3−a1=6，则a1=______；1a12+1a22+⋯+1a n2=______．14.已知动点P与双曲线x2−y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为−13，则动点P的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共96.0分）15.解关于x的不等式：x2−(a+1)x+a<0．16.已知椭圆的焦点为F1(−1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．(Ⅰ)求椭圆的方程、长轴长、短轴长、离心率；(Ⅱ)若双曲线x2−y2=2m与该椭圆有相同的焦点，求m的值．17.设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n+b n}的前n项和S n．18. 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用w 与其航行速度x 的平方成正比(即：w =kx 2，其中k 为比例系数)；当航行速度为30海里/小时时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时． (1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/小时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？19. 已知数列{a n }满足：a 1=14，a 2=34，a n+1=2a n −a n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，数列{b n }满足b 1<0，3b n −b n−1=n(n ≥2,n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ． (1)求数列{a n }的通项a n ．(2)求证：数列{b n −a n }为等比数列．20. 已知某椭圆的焦点是F 1(−4,0)、F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．(Ⅰ)求该椭圆的方程；(Ⅱ)求弦AC中点的横坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：当x<1时，x<2成立，当x<2时，x<1不一定成立，故x<1是x<2的充分不必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义进行判断即可．本题考查充分不要条件的判断，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由x2+ky2=2，得x 22+y22k=1，∵方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，∴2k>2，解得0<k<1．∴实数k的取值范围是(0,1)．故选：D．化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得2k>2，求解此不等式可得k的取值范围．本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的标准方程，是基础题．3.【答案】C【解析】解：取c=0，则ca =cb，ac=bc，即A和D均错误；取a=−2，b=−1，则|a|>|b|，即选项B错误；对于选项C，1a −1b=b−aab，因为a<b<0，所以b−a>0，ab>0，故1a −1b>0，所以1a>1b，即C正确．故选：C．由特殊值法，取c=0可判断A和D，取a=−2，b=−1可判断B，再由作差法可判断C．本题考查不等式的基本性质，考查推理论证能力和运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的定义的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．用排除法做：如果是双曲线，那么a=2，c=2，与在双曲线中c>a矛盾，所以把三个关于双曲线的答案全部排除【解答】解：如果是双曲线，那么|PM|−|PN|=4=2a，a=2，而两个定点M(−2,0)，N(2,0)为双曲线的焦点，c=2，而在双曲线中c>a，所以把后三个关于双曲线的答案全部排除．故选A．5.【答案】B+5)【解析】解：函数y=log2(x+1x−1+6)≥log2(2+6)=3，=log2(x−1+1x−1+5)，(x>1)的最小值为3∴函数y=log2(x+1x−1故选B．+5进行配凑，再利用基本不等式求出它的范围，最后利用对数函数的先将式子x+1x−1单调性求出最小值．本题考查利用基本不等式求代数式的范围、考查利用函数单调性求函数的最值．关键是对式子的配凑后方便利用基本不等式．6.【答案】C【解析】解：设椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，则2(a+b)=18，即a+b=9①，由焦距为6，得到c=3，则a2−b2=c2=9②，由①得到a=9−b③，把③代入②得：(9−b)2−b2=9，化简得：81−18b=9，解得b=4，把b=4代入①，解得a=5，所以椭圆的方程为：x225+y216=1或x216+y225=1．故选：C．设出椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，根据长轴与短轴的和为18列出关于a与b的方程记作①，由焦距等于6求出c的值，根据椭圆的基本性质a2−b2=c2，把c的值代入即可得到关于a与b的另一关系式记作②，将①②联立即可求出a和b的值，然后利用a与b的值写出椭圆的方程即可．此题考查学生掌握椭圆的基本性质，会根据椭圆的长半轴与短半轴写出椭圆的标准方程，是一道综合题．学生做题时应注意焦点在x轴和y轴上两种情况．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查判断数列中的项，属于中档题．括号中的数字个数，依次为1、2、3、4，每四个循环一次，具有周期性，第一百零四个括号是一个周期的最后一个，括号中有四个数，这是第二十六次循环，最后一个数是2×260+1，得出结论．【解答】解：由题意知1044=26，∴第104个括号中有4个数，每4个括号共有10个数，104个括号包含26个循环，则最后一个数字是2×260+1，∴2×257+1+2×258+1+2×259+1+2×260+1=2072，故选D．8.【答案】C【解析】解：f(n)=2+24+27+210+⋯+23n+1=2(8n+1−1)8−1=27(8n+1−1)．故选：C．利用等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等比数列的前n项和公式，属于基础题．9.【答案】∃x∈R，x2<0【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2<0．故答案为：∃x∈R，x2<0．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．10.【答案】12【解析】解：由题可知：2a=2⋅2c，即a=2c，∴e=ca =12，故答案为：12．根据离心率的公式直接计算即可．本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题．11.【答案】14【解析】解：∵√3是3a与3b的等比中项，∴(√3)2=3a⋅3b，即3a+b=3，∴a+b=1，∴1a +1b=(a+b)(1a+1b)=2+ab+ba≥4，当且仅当ab=ba，即a=b=12时等号成立．故答案为：1；4．根据题意可得∴(√3)2=3a⋅3b，即3a+b=3，从而可得a+b=1，进一步根据1a +1b=(a+b)(1a +1b)=2+ab+ba即可运用基本不等式进行求解．本题考查等比中项，涉及基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．12.【答案】(−∞,−4)∪(1,+∞)【解析】【分析】根据双曲线的性质知，(4+k)(1−k)<0，进而求得k的范围．本题主要考查了双曲线的定义和标准方程．属基础题．【解答】解：要使方程为双曲线方程需(4+k)(1−k)<0，即(k−1)(k+4)>0，解得k>1或k<−4故答案为(−∞,−4)∪(1,+∞)13.【答案】213(1−4−n)【解析】解：由题意知，a3−a1=6，则a1q2−a1=6，把q=2代入解得，a1=2，∴a n=2n，∴1a n2=14n，则1a12+1a22+⋯+1a n2=14+142+⋯+14n=14(1−14n)1−14=13(1−4−n)，故答案为：2，13(1−4−n)．由题意和等比数列的通项公式求出a1，再求出a n代入1a n2化简，代入1a12+1a22+⋯+1a n2，由等比数列的前n项和公式求解．本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前n项和公式得应用，考查了计算能力．14.【答案】x23+y2=1【解析】解：(1)∵x2−y2=1，∴c=√2.设|PF1|+|PF2|=2a(常数a>0)，2a>2c= 2√2，∴a>√2由余弦定理有cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=2a2−4|PF1||PF2|−1∵|PF1||PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2=a2，∴当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2．此时cos∠F1PF2取得最小值为2a2−4a2−1，由题意2a2−4a2−1=−13，解得a2=3，∴b2=a2−c2=3−2=1∴P点的轨迹方程为x23+y2=1．故答案为：x23+y2=1根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，再结合余弦定理、基本不等式，即可求出椭圆中的a，b的值．本题考查了求轨迹方程，考查余弦定理、基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．15.【答案】解：不等式x2−(a+1)x+a<0可化为：(x−1)(x−a)<0，且不等式对应方程的实数根为1和a；①当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}；②当a=1时，不等式可化为(x−1)2<0，解集为⌀；③当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}．【解析】对a进行分类讨论，从而求出不等式的解集．本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题的关键是对字母系数正确分类讨论．16.【答案】解：(Ⅰ)∵F1(−1，0)、F2(1,0)，∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，a=2，c=1，∴b2=3，∴椭圆的方程是x24+y23=1，(Ⅱ)∵双曲线x2−y2=2m与椭圆：x24+y23=1，有相同的焦点，∴a2+b2=2m+2m=1，∴m=14．【解析】(Ⅰ)根据椭圆和数列的基本性质以及题中已知条件便可求出a和b值，进而求得椭圆方程．(Ⅱ)依题意a2+b2=2m+2m=1，解得m即可．本题考查了利用椭圆的定义求解椭圆的坐标方程，以及双曲线方程，属于基础题．17.【答案】解：(1)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是各项都为正数，公比为q的等比数列，则a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，即为1+2d+q4=21，1+4d+q2=13，解得d=q=2，可得a n=a1+(n−1)d=2n−1；b n=b1q n−1=2n−1；(2)a n+b n=(2n−1)+2n−1，前n项和为S n=(1+3+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+2n−1)=12n(1+2n−1)+1−2n1−2=n2+2n−1．【解析】(1)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是各项都为正数，公比为q的等比数列，运用等比数列和等差数列的通项公式，解方程可得d和q，进而得到所求通项公式；(2)a n+b n=(2n−1)+2n−1，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意，每小时的燃料费用为w=kx2，当x=30时，900k=450，解得k=0.5…(2分)从甲地到乙地所用的时间为300x 小时，则从甲地到乙地的运输成本： y =0.5x 2⋅300x +800⋅300x (0<x ≤50)，…(5分) =150(x +1600x)． 故所求的函数为y =f(x)=150(x +1600x ).…(6分) (2)法一：f′(x)=150(1−1600x 2)，…(8分)令f′(x)=0，解得x =40，0<x <40时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；40<x ≤50时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．因此当x =40时，y 取得极小值，也是最小值．…(11分)故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．…(12分)法二：由(1)得：y =150(x +1600x )≥150×2√x ⋅1600x =12000，…(9分) 当且仅当x =1600x ，即x =40时取等号．…(11分)故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．…(12分)【解析】(1)由题意，每小时的燃料费用为w =kx 2，当x =30时，900k =450，解得k.从甲地到乙地所用的时间为300x 小时，可得从甲地到乙地的运输成本：y =0.5x 2⋅300x +800⋅300x (0<x ≤50)．(2)法一：f′(x)=150(1−1600x 2)，利用导数研究函数的单调性极值与最值；法二：由(1)得：y =150(x +1600x)，利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了函数的应用、利用导数研究函数的单调性极值与最值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明∵2a n =a n+1+a n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，∴a n+1−a n =a n −a n−1∴{a n }是等差数列．又∵a 1=14，a 2=34，∴a n =14+(n −1)⋅12=2n−14， (2)证明：∵b n =13b n−1+n 3(n ≥2,n ∈N ∗)，∴b n+1−a n+1=13b n +n+13−2n+14=13b n −2n−112 =13(b n −2n−14)=13(b n −a n ).又∵b 1−a 1=b 1−14≠0，∴{b n −a n }是以b 1−14为首项，以13为公比的等比数列．【解析】(1)2a n =a n+1+a n−1，根据等差数列的定义可知∴{a n }是等差数列．根据a 1和a 2，求得公差，则数列{a n }的通项a n 可得．(2)把a n 和b n 代入b n+1−a n+1进而化简整理b n+1−a n+1=13(b n −a n )，进而可判断∴{b n −a n }是以b 1−14为首项，以13为公比的等比数列．本题主要考查了等差数列的通项公式和等比关系的确定．考查了学生综合把握数列基础知识．20.【答案】解：(1)由椭圆定义及条件，可得2a =|F 1B|+|F 2B|=10，得a =5．又∵c =4，∴b =√a 2−c 2=3．因此可得该椭圆方程为x 225+y 29=1．(2)∵点B(4,y B )在椭圆上，∴将x =4，代入椭圆方程求得y B =95，可得|F 2B|=|y B |=95．∵椭圆右准线方程为x =a 2c ，即x =254，离心率e =c a =45． 根据圆锥曲线统一定义，得|F 2A|=45(254−x 1)，|F 2C|=45(254−x 2).由|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列，得2|F 2B|=|F 2A|+|F 2C|即45(254−x 1)+45(254−x 2)=2×95，由此解得x 1+x 2=8．设弦AC 的中点为P(x 0,y 0)，可得中点横坐标为则x 0=12(x 1+x 2)=4．【解析】(1)根据椭圆定义结合已知条件，得|F1B|+|F2B|=10=2a可得a=5.由c=4算出b=3，即可得出该椭圆的方程；.再根据圆锥曲线统一定义，算出(2)由点B(4,y B)在椭圆上，利用椭圆方程算出y B=95|F2A|、|F2C|关于它们的横坐标x1、x2的式子，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列建立关系式算出x1+x2=8，最后利用中点坐标公式，即可算出弦AC中点的横坐标．本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并依此求AC的中点横坐标，着重考查了椭圆的定义与标准方程、圆锥曲线的统一定义和等差数列的性质等知识，属于中档题．。
北京市昌平区第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
直线方程，属于基础题． 4．C
【分析】设平面
ABC
的法向量为
r n
=
(
x，y,
z
)
，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案.
【详解】解：设平面
ABC
的法向量为
r n
=
(
x，y,
z
)
，因为向量
uuur AB
=
(0,
2,1)
，
uuur AC
=
(
-1,1,
-2)
，
所以
ìíîuuAAuuBCuuvv××nvnv
行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中
“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马 P - ABCD 中，侧
为（ ） A．－4 C．0
B．20 D．24
6．已知正方体
ABCD-A1B1C1D1
的棱长等于
a，则
uuur AC1
×
uuur BC1
的值为（
）
试卷第11 页，共33 页
A．a2
B．2a2
C．3a2
D． 6 a2
7．设 a Î R ，则“ a = 1”是“直线 l1 ： ax + 2y - 4 = 0 与直线 l2 ： x + (a +1) y + 2 = 0 平
，则
A
正确，B
错；
由
r a
2021-2022学年北京市昌平区前锋学校高二(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年北京市昌平区前锋学校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．在直角坐标系中，直线x﹣2y+3＝0经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限2．直线x﹣2y+3＝0的在x轴上的截距为（）A．3B．﹣3C．D．3．直线x﹣3y+1＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．经过M（3，2）与N（6，2）两点的直线的方程为（）A．x＝2B．y＝2C．x＝3D．x＝65．已知向量＝（1，2，3），＝（﹣1，0，1），则+2＝（）A．（﹣1，2，5）B．（﹣1，4，5）C．（1，2，5）D．（1，4，5）6．在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，﹣3，2），＝（2，0，4），则点B的坐标是（）A．（3，3，2）B．（﹣3，﹣3，﹣2）C．（1，﹣3，6）D．（﹣1，3，﹣6）7．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简＝（）A．B．C．D．8．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为（）A．B．C．﹣2D．29．若图中的直线L1、L2、L3的斜率分别为K1、K2、K3则（）A．K1＜K2＜K3B．K2＜K1＜K3C．K3＜K2＜K1D．K1＜K3＜K2 10．如图，设E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（）A．直线D1B1与A1D所成的角为90°B．异面直线D1B1与EF所成的角为60°C．D1B1⊥平面B1EFD．三棱锥D1﹣B1EF的体积为定值二、填空题：每小题5分，两空的前3后2.共30分11．若直线过点（1，2），（4，2+），则此直线的倾斜角是．12．斜率为2的直线经过（3，5），（a，7）二点，则a＝．13．点P（x，﹣2）在A（﹣1，1），B（1，7）两点所连的直线上，则x＝．14．若，，则的值为．15．已知向量，，若，则实数m的值是.若，则实数m的值是．16．若直线l的方向向量为＝（1，0，2），平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），则直线l与平面的位置关系是．三、解答题（共5个小题，共70分）17．已知向量，．求：（1），；（2）；（3）求与的夹角θ．18．根据下列条件，求直线的方程：（1）经过两点A（0，﹣1），B（﹣1，1）的直线；（2）经过点C（2，﹣5），倾斜角是135°．19．（1）如果直线过点P（1，﹣4），且直线的方向向量是＝（3，9），求直线的方程；（2）如果直线过点D（6，﹣1），且直线的法向量是＝（4，﹣3），求直线的方程．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点．（Ⅰ）求直线BC1与D1E所成的角；（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC＝2，E，F分别是AB，PB的中点．（Ⅰ）求二面角F﹣EC﹣B的余弦值；（Ⅱ）求点A到平面FEC的距离．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．在直角坐标系中，直线x﹣2y+3＝0经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限【分析】将直线的一般式化为斜截式，由直线的斜率以及纵截距的正负即可得到答案．解：直线x﹣2y+3＝0可变形为，故直线的斜率为，纵截距为，所以直线x﹣2y+3＝0经过第一、二、三象限．故选：A．2．直线x﹣2y+3＝0的在x轴上的截距为（）A．3B．﹣3C．D．【分析】把直线的方程化为截距式，可得结论．解：直线x﹣2y+3＝0，即+＝1，故它在x轴上的截距为﹣3，故选：B．3．直线x﹣3y+1＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．解：由题意，直线的斜率为即直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于0°且小于180°，故直线的倾斜角为30°，故选：A．4．经过M（3，2）与N（6，2）两点的直线的方程为（）A．x＝2B．y＝2C．x＝3D．x＝6【分析】利用直线的两点式即可求解．解：经过M（3，2）与N（6，2）两点的直线的方程为＝，即y＝2．故选：B．5．已知向量＝（1，2，3），＝（﹣1，0，1），则+2＝（）A．（﹣1，2，5）B．（﹣1，4，5）C．（1，2，5）D．（1，4，5）【分析】直接利用空间向量的坐标运算法则求解即可．解：向量＝（1，2，3），＝（﹣1，0，1），则+2＝（1，2，3）+2（﹣1，0，1）＝（﹣1，2，5）．故选：A．6．在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，﹣3，2），＝（2，0，4），则点B的坐标是（）A．（3，3，2）B．（﹣3，﹣3，﹣2）C．（1，﹣3，6）D．（﹣1，3，﹣6）【分析】利用向量坐标运算性质即可得出．解：设B（x，y，z），∵A（﹣1，﹣3，2），＝（2，0，4），∴（x+1，y+3，z﹣2）＝（2，0，4），∴x+1＝2，y+3＝0，z﹣2＝4，解得：x＝1，y＝﹣3，z＝6．则点B的坐标是（1，﹣3，6），故选：C．7．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简＝（）A．B．C．D．【分析】利用空间向量的线性运算法则求解．解：∵底面ABCD是一个平行四边形，∴＝，又∵，∴＝+＝，故选：C．8．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，据三点共线得两个向量共线，利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程求出m解：，，∵三点共线，∴共线，∴5（m﹣3）＝﹣，解得m＝．故选：A．9．若图中的直线L1、L2、L3的斜率分别为K1、K2、K3则（）A．K1＜K2＜K3B．K2＜K1＜K3C．K3＜K2＜K1D．K1＜K3＜K2【分析】由于直线L2、L3的倾斜角都是锐角，且直线L3的倾斜角大于直线L2的倾斜角，可得K3＞K2＞0．由于直线L1、的倾斜角为钝角，K3＜0，由此可得结论．解：由于直线L2、L3的倾斜角都是锐角，且直线L3的倾斜角大于直线L2的倾斜角，故直线L3的斜率大于直线L2的斜率，即K3＞K2＞0．由于直线L1、的倾斜角为钝角，故L3的斜率小于零，即K3＜0，故选：A．10．如图，设E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（）A．直线D1B1与A1D所成的角为90°B．异面直线D1B1与EF所成的角为60°C．D1B1⊥平面B1EFD．三棱锥D1﹣B1EF的体积为定值【分析】由正方体内逐一分析线面角、体积、线面位置关系即可．解：对于A，D1B1不垂直A1D，故A错，对于B，EF∥D1C1，D1B1和D1C1所成的角是45°，异面直线D1B1所成的角45°，故B 错误，对于C，D1B1于EF不垂直，由此可知D1B1于平面B1EF不垂直，故C错，对于D，三棱锥D1﹣B1EF的体积为V＝S•B1C1＝××2×2×1＝，为定值，故D对，故选：D．二、填空题：每小题5分，两空的前3后2.共30分11．若直线过点（1，2），（4，2+），则此直线的倾斜角是．【分析】利用倾斜角、斜率的计算公式即可得出．解：设直线的倾斜角为α，则tanα＝＝，又∵α∈[0，π]，∴．故答案为．12．斜率为2的直线经过（3，5），（a，7）二点，则a＝4．【分析】接利用直线的点斜式方程求解即可．解：经过点（3，5），斜率为2的直线的点斜式方程：y﹣5＝2（x﹣3），将（a，7）代入y﹣5＝2（x﹣3），解得：a＝4，故答案为：4．13．点P（x，﹣2）在A（﹣1，1），B（1，7）两点所连的直线上，则x＝﹣2．【分析】根据题意，分析可得K PB＝K AB，即＝，解可得x的值，即可得答案．解：根据题意，点P（x，﹣2）在A（﹣1，1），B（1，7）两点所连的直线上，则有K PB＝K AB，即＝，解可得x＝﹣2；故答案为：﹣2．14．若，，则的值为5．【分析】根据已知条件，结合向量的运算法则，以及向量模公式，即可求解．解：∵，，∴，∴＝．故答案为：5．15．已知向量，，若，则实数m的值是6.若，则实数m的值是﹣．【分析】利用向量平行、向量垂直的性质直接求解．解：∵向量，，，∴＝＝，解得m＝6．∵向量，，，∴＝﹣2﹣3m﹣8＝0，解得m＝﹣．故答案为：6，﹣．16．若直线l的方向向量为＝（1，0，2），平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），则直线l与平面的位置关系是l⊥α．【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出．解：∵＝﹣2，∴，因此l⊥α．故答案为：l⊥α．三、解答题（共5个小题，共70分）17．已知向量，．求：（1），；（2）；（3）求与的夹角θ．【分析】由向量的模，数量积，及夹角公式即可解决．解：（1）||＝＝，||＝，（2），（3）cos＜＞＝，∵＜＞∈[0，π]，因此＜＞＝．18．根据下列条件，求直线的方程：（1）经过两点A（0，﹣1），B（﹣1，1）的直线；（2）经过点C（2，﹣5），倾斜角是135°．【分析】（1）根据题意利用两点式，求出直线的方程．（2）先求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程．解：（1）经过两点A（0，﹣1），B（﹣1，1）的直线的方程为＝，即2x+y+1＝0．（2）经过点C（2，﹣5），倾斜角是135°的直线的斜率为tan135°＝﹣1，故它的方程为y+5＝﹣1×（x﹣2），即x+y+3＝0．19．（1）如果直线过点P（1，﹣4），且直线的方向向量是＝（3，9），求直线的方程；（2）如果直线过点D（6，﹣1），且直线的法向量是＝（4，﹣3），求直线的方程．【分析】由题意根据直线的法向量，求出直线的点法式方程，再化为一般式．解：（1）∵直线过点P（1，﹣4），且直线的方向向量是＝（3，9），故它的一个法向量为（﹣3，1），故直线的方程为﹣3（x﹣1）+1×（y+4）＝0，即3x﹣y﹣7＝0．（2）如果直线过点D（6，﹣1），且直线的法向量是＝（4，﹣3），故要求的直线的方程为4（x﹣6）﹣3（y+1）＝0，即4x﹣3y﹣27＝0．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点．（Ⅰ）求直线BC1与D1E所成的角；（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与D1E所成的角．（Ⅱ）求出平面AD1E的法向量，利用向量法，求出直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．解：（Ⅰ）以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则B（0，2，0），C1（2，2，2），D1（2，0，2），E（0，2，1），＝（2，0，2），＝（﹣2，2，﹣1），设直线BC1与D1E所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝45°，∴直线BC1与D1E所成的角为45°．（Ⅱ）A（0，0，0），A1（0，0，2），＝（0，0，2），＝（2，0，2），＝（0，2，1），设平面AD1E的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（2，1，﹣2），设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，则直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值sinθ＝＝＝．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC＝2，E，F分别是AB，PB的中点．（Ⅰ）求二面角F﹣EC﹣B的余弦值；（Ⅱ）求点A到平面FEC的距离．【分析】（Ⅰ）用向量数量积计算二面角的余弦值；（Ⅱ）用向量数量积计算点到平面距离．解：（Ⅰ）因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，所以DA、DC、DP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，E（2，1，0），F（1，1，1），C（0，2，0），A（2，0，0），＝（﹣1，0，1，），＝（﹣2，1，0），＝（0，﹣1，0），设平面EFC的法向量为＝（x，y，z），，x＝1，＝（1，2，1），平面ECF的法向量为＝（0，0，1），因为二面角F﹣EC﹣B为钝角，所以二面角F﹣EC﹣B的余弦值为﹣＝﹣＝﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝（0，﹣1，0），平面EFC的法向量为，＝（1，2，1），所以点A到平面FEC的距离为＝＝．。
2020-2021学年北京市某校高二(上)期中数学试卷 (1)
2020-2021学年北京市某校高二（上）期中数学试卷一．选择题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项。
1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ={1, 2, 4}，B ={1, 3, 5}，则(∁U A)∩B =( ) A.{1}B.{3, 5}C.{1, 6}D.{1, 3, 5, 6}【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】进行交集、补集的运算即可． 【解答】解：∁U A ={3, 5, 6}； ∴ (∁U A)∩B ={3, 5}． 故选B .2. 已知复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，则（ ） A.z +1是实数B.z +1是纯虚数C.z +i 是实数D.z +i 是纯虚数【答案】 C【考点】复数的代数表示法及其几何意义 复数的基本概念【解析】复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，可得z =1−i ，分别计算z +1，z +i ．即可判断出结论． 【解答】解：复数z 在复平面上对应的点为(1,−1)， 则z =1−i ，∴ z +1=2−i ，z +i =1. 因此只有C 正确． 故选C .3. 已知向量a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, 1)，且a →⊥b →，那么|b →|等于（ ） A.√10B.2√3C.√11D.5【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量且a →⊥b →，求出x ，然后利用向量的模长公式求|b →|的长度． 【解答】解：因为a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, 1)，且a →⊥b →，所以−1×3+2x +1×1=0，即x =1，所以b →=(3, 1, 1)， 所以|b →|=√32+12+12=√11， 故选C ．4. 设a =213，b =log 32，c =cos 100∘，则（ ） A.c >b >aB.a >c >bC.c >a >bD.a >b >c【答案】 D【考点】对数值大小的比较 【解析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解． 【解答】解：∵ a =213>20=1，0=log 31<b =log 32<log 33=1， c =cos 100∘<0， ∴ a >b >c ． 故选：D ．5. 下列函数中，在定义域内满足f(−x)+f(x)=0的是（ ） A.f(x)＝√x B.f(x)=ln |x|C.f(x)=x cos xD.f(x)＝1x−1【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】由题意，函数f(x)为奇函数，再利用函数的奇偶性的定义以及判断方法，得出结论． 【解答】f(−x)+f(x)=0，即f(−x)=−f(x)，故函数f(x)为奇函数．由于f(x)=√x 的定义域为[0, +∞)，不关于原点对称，故f(x)不是奇函数，故排除A ； 由于f(x)=ln |x|是偶函数，故排除B ；由于f(x)=x cos x 的定义域为R ，且满足f(−x)=−x cos (−x)=−x cos x =−f(x)，故函数为奇函数，故C 满足条件；由于f(x)=1x−1的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称，不是奇函数，故排除D ，6. 在下列四个命题中，正确的是（ ）A.平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角和斜率B.四条直线中斜率最大的直线是l 3C.直线x +2y −3＝0的斜率是2D.经过(5, m)和(m, 8)的直线的斜率是1，则m =132【答案】 D【考点】 直线的斜率 【解析】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线没有斜率；对于B ，四条直线中斜率最大的直线是l 4；对于C ，直线x +2y −3＝0的斜率是−12；对于D ，利用直线的斜率计算公式求解． 【解答】对于A ，平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角，但当直线与x 轴垂直时，直线没有斜率，故A 错误；对于B ，如图，四条直线中斜率最大的直线是l 4，故B 错误； 对于C ，直线x +2y −3＝0的斜率是−12，故C 错误； 对于D ，∵ 过(5, m)和(m, 8)的直线的斜率是1， ∴ 8−mm−5=1，解得m =132，故D 正确．7. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AD =AA 1=1，AB =2，则BD 1→⋅AD →等于（ ）A.1B.2C.3D.√63【答案】 A【考点】空间向量的数量积运算 【解析】由向量的运算法则把向量用AB →，AD →，AA 1→表示，结合垂直关系和数量关系可得． 【解答】解：由题意可得BD 1→⋅AD →=(AD 1→−AB →)⋅AD → =(AD →+AA 1→−AB →)⋅AD →=AD →2+AA 1→⋅AD →−AB →⋅AD →由垂直关系可得AA 1→⋅AD →=AB →⋅AD →=0 故原式=12+0−0=1 故选A8. 如图，在三棱锥A −BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB =DC =2，点E 为BC 的中点，若直线AE 与底面BCD 所成的角为45∘，则三棱锥A −BCD 的体积等于（ ）A.23B.43C.2D.2√23【答案】D【考点】直线与平面所成的角柱体、锥体、台体的体积计算【解析】确定∠AED 为直线AE 与底面BCD 所成的角，求出DE ，可得AD ，再利用三棱锥A −BCD 的体积公式，即可得到结论． 【解答】解：∵ DB =DC =2，点E 为BC 的中点，∴ DE ⊥BC ，DE =√2 ∵ DA ，DB ，DC 两两垂直，∴ AD ⊥平面DBC ， ∴ ∠AED 为直线AE 与底面BCD 所成的角∵ 直线AE 与底面BCD 所成的角为45∘，∴ ∠AED =45∘， ∴ AD =DE =√2∴ 三棱锥A −BCD 的体积等于13×12×2×2×√2=2√23故选D ．9. 已知复数z 的共轭复数z ¯=2−i1+2i ，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A.1 B.−1 C.i D.−i【答案】 A【考点】 复数的运算 【解析】先根据复数的运算法则求出z ¯，再根据共轭复数求出z ，可得z 的虚部． 【解答】z ¯=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i ，则z =i ，则复数z 的虚部是1，10. 在空间中，已知直线a 的方向向量为v →，平面α的法向量为n →，则“直线a 与平面α相交”是“v →⋅n →≠0”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分必要条件的定义以及直线和平面的位置关系判断即可． 【解答】若“直线a 与平面α相交”，则“v →⋅n →≠0”，是充分条件， 若v →⋅n →=0时，则直线a 和平面α平行或直线a ⊂平面α， 若v →⋅n →≠0，则直线a 与平面α相交，是必要条件； 故“直线a 与平面α相交”是“v →⋅n →≠0”的充要条件，11. 如图，棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，点P 在侧面ABB 1A 1内，若D 1P 垂直于CM ，则△PBC 的面积的最小值为（ ）A.2√55B.√55C.45D.1【答案】 A【考点】棱柱的结构特征 【解析】建立坐标系，求出P 的轨迹，得出P 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积． 【解答】以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则M(0, 0, 1)，C(2, 2, 0)，D 1(0, 2, 2)，设P(a, 0, b)，则D 1P →=(a, −2, b −2)，CM →=(−2, −2, 1)， ∵ D 1P ⊥CM ，∴ D 1P →=−2a +4+b −2＝0，即b ＝2a −(2) 取AB 的中点N ，连结B 1N ，则P 点轨迹为线段B 1N ， 过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ =√5=2√55． 又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ， ∴ S △PBC 的最小值为S △QBC =12×2×2√55=2√55． 故选：A ．12. 设空间直角坐标系中有四A ，B ，C ，D 个点，其坐标分别为A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，C(2, 1, 4)，D(−1, −2, 8)，下列说法正确的是（ ）A.存在唯一的一个不过点A 、B 的平面α，使得点A 和点B 到平面α的距离相等B.存在唯一的一个过点C 的平面β，使得AB // β，CD ⊥βC.存在唯一的一个不过A 、B 、C 、D 的平面γ，使得AB // γ，CD // γD.存在唯一的一个过C 、D 点的平面α使得直线AB 与α的夹角正弦值为1235【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由 AB // 平面 α 或平面 α 过线段 AB 的中点可判断 A 选项的正误； 推导出 AB ⊥CD 以及 A 、B 、C 、D 四点不共面，利用点 C 且与 CD 垂直的平面 β 有且只有一个以及 AB // β 可判断 B 选项的正误； 在 AB 、CD 的公垂线 MN 上的点作 MN 的垂面满足题意，可判断 C 选项的正误； 设平面 α 的法向量为 n →＝(1,y,z)，根据题意可得出关于 y 、z 的方程组，判断方程组解的个数，进而可判断 D 选项的正误． 【解答】对于 A 选项，当 AB // 平面 α 或平面 α 过线段 AB 的中点时，点 A 和点 B 到平面 α 的距离相等， A 选项错误； 对于 B 选项，AB →＝(−1,1,0)，CD →＝(−3,−3,4)，∴ AB →∗CD →＝−1×(−3)+1×(−3)＝0，∴ AB ⊥CD ，∵ AC →＝(1,1,4)，AD →＝(−2,−2,8)，设 AD →＝xAB →+yAC →，则 {−x +y ＝−2x +y ＝−24y ＝8，该方程组无解，所以，A 、B 、C 、D 四点不共面， 则 AB 与 CD 异面，而过点 C 且与 CD 垂直的平面 β 有且只有一个，若 AB ⊂β，由于 CD ⊂β，则 AB 与 CD 共面，矛盾，所以，AB // β， B 选项正确； 对于 C 选项，由于 AB 、CD 异面，设 MN 为 AB 、CD 的公垂线段，且 M ∈AB ，N ∈CD ，在直线 MN （异于 M 、N ） 的任意一点作平面 γ，使得 γ⊥MN ，则 AB // γ，CD // γ，这样的平面 γ 有无数个， C 选项错误； 对于 D 选项，设平面 α 的一个法向量为 n →＝(1,y,z)，AB →＝(−1,1,0)，CD →＝(−3,−3,4)， 由题意可得 n →∗CD →＝−3−3y +4z ＝0， |cos ⟨AB →，n →⟩|＝|AB →∗n →||AB →|∗|n →|＝√2×√y 2+z 2+1＝1235，所以，{3y −4z ＝−3,|y−1|√y 2+z 2+1＝12√235， 整理得775y 2−2774y +775=0，△=27742−4×7752=27742−15502>0，即方程 775y 2−2774y +775=0 有两个不等的实数解，所以，存在两个过 C 、D 点的平面 α 使得直线 AB 与 α 的夹角正弦值为 1235，D 选项错误．13. 如图1，矩形ABCD 中，AD =√3．点E 在AB 边上，CE ⊥DE 且AE ＝1．如图2，△ADE 沿直线DE 向上折起成△A 1DE ．记二面角A −DE −A 1的平面角为θ，当θ∈(0∘, 180∘)时，①存在某个位置，使CE ⊥DA 1； ②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③任意两个位置，直线DE 和直线A 1C 所成的角都不相等． 以上三个结论中正确的序号是（ ）A.①B.①②C.①③D.②③C【考点】棱锥的结构特征【解析】在①中，当二面角A−DE−A1的平面角θ＝90∘时，CE⊥DA1；在②中，A1D⊥A1E，CE⊥DE，从而∠DEA一定是锐角，从而不存在某个位置，使DE⊥A1C；在③中，DE 是定直线，A1C是动直线，从而任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等．【解答】在①中，当二面角A−DE−A1的平面角θ＝90∘时，CE⊥DA1，故①正确；在②中，∵如图1，矩形ABCD中，AD=√3．点E在AB边上，CE⊥DE且AE＝1，如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A−DE−A1的平面角为θ∴A1D⊥A1E，CE⊥DE，∴∠DEA一定是锐角，∴当存在某个位置，使DE⊥A1C时，DE⊥平面A1EC，则∠DEA＝90∘，与∠DEA一定是锐角矛盾，故不存在某个位置，使DE⊥A1C，故②错误；在③中，DE是定直线，当二面角A−DE−A1的平面角θ变化时，A1C是动直线，∴任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等，故③正确．二、填空题直线y＝−x−2的倾斜角是________，在y轴上的截距为________．【答案】3π,−24【考点】直线的斜截式方程直线的倾斜角【解析】由题意利用直线的斜率，求出它的倾斜角，再根据直线的方程，求出直线在y轴上的截距．【解答】，在y轴上的截距为−2，直线y＝−x−2的斜率为−1，它的倾斜角是3π4已知直线l经过点P(1, 2)，且直线l的方向向量为a→=(2, 4)，则直线l的斜率为________，直线l的方程为________．【答案】2,2x−y=0【考点】直线的斜率直线的点斜式方程【解析】先求出直线的斜率，再用点斜式求直线l的方程．∵ 直线l 经过点P(1, 2)，且直线l 的方向向量为a →=(2, 4)，则直线l 的斜率为42=2，∴ 直线l 的方程为 y −2=2(x −1)，即 2x −y =0，已知向量a →=(13, tan α)，b →=(cos α, 1)，α∈(π2,π)，且a →∥b →，则sin α＝________，cos 2α＝________． 【答案】13,79【考点】二倍角的三角函数平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，求得结果． 【解答】∵ 向量a →=(13, tan α)，b →=(cos α, 1)，α∈(π2,π)，且a →∥b →，则13×1−tan α⋅cos α＝0，求得 sin α=13，故cos 2α＝1−2sin 2α=79，已知平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，且平面α经过点A(1, 2, 0)．若P(x, y, z)是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是________． 【答案】x +y −z −3=0 【考点】空间向量运算的坐标表示 【解析】求出向量AP →，利用平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，通过向量的数量积为0，求解即可． 【解答】解：由题意可知AP →=(x,y,z)−(1,2,0)=(x −1, y −2, z)； 平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，所以AP →⋅n →=0， 即：(x −1, y −2, z)(1, 1, −1)=0；x −1+y −2−z =0，即x +y −z −3=0， 所求点P 的坐标满足的方程是x +y −z −3=0． 故答案为：x +y −z −3=0．函数f(x)=sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列函数g(x)的结论：①一条对称轴方程为x ＝7π6；②点(5π6，0)时对称中心； ③在区间(0,π3)上为单调增函数；④函数g(x)在区间[π2，π]上的最小值为−12．其中所有正确的结论为________. 【答案】 ②③④ 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 命题的真假判断与应用【解析】首先利用函数的图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，进一步利用函数的性质函数的定义域和值域的关系，函数的单调区间，函数的对称性的应用判定①②③④的结论． 【解答】函数f(x)=sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)=sin (x +π6)的图象， 对于①：当x ＝7π6时，g(7π6)＝sin (7π6+π6)＝sin 4π3＝−√32，故①错误； ②当x =5π6时，g(5π6)=sin π=0故函数关于(5π6，0)对称，故②正确；③当x ∈(0,π3)，时，x +π6∈(π6,π2)，故函数在区间(0,π3)上为单调增函数，故③正确； ④当x ∈[π2，π]时，x +π6∈[2π3，7π6]，所以sin (x +π6)∈[−12,√32]故函数的最小值为−12，故④正确．已知f(x)={1−|x +1|,x <0x 2−2x,x ≥0 ．（1）f(−1)＝________；（2）若实数m ∈[−2, 0]，则|f(x)−f(−1)|在区间[m, m +2]上的最大值的取值范围是________． 【答案】 1 [1, 2] 【考点】函数的最值及其几何意义 分段函数的应用【解析】（1）直接把x ＝−1代入已知函数解析式求得f(−1)的值；（2）令g(x)＝f(x)−f(−1)，根据题设条件求出g(x)的表达式，画出其图象，再对m 进行讨论，求出|g(x)|的最大值的表达式，进而求得结论． 【解答】∵ f(x)={1−|x +1|,x <0x 2−2x,x ≥0 ，∴ f(−1)＝1−|−1+1|＝1；f(x)−f(−1)＝f(x)−1={x +1,x ≤−1−x −1,−1<x <0x 2−2x −1,x ≥0 ，令g(x)＝f(x)−f(−1)={x +1,x ≤−1−x −1,−1<x <0x 2−2x −1,x ≥0 ，其图象如下图所示：①当m ＝−2时，g(x)={x +1,x ∈[−2,−1]−x −1,x ∈(−1,0]，此时|g(x)|max ＝1；②当m ∈(−2, −1)时，|g(x)|max ＝−g(m +2)＝−[(m +2)2−2(m +2)−1]＝−m 2−2m +1∈(1, 2)；③当m ＝−1时，g(x)={−x −1,x ∈[−1,0]x 2−2x −1,x ∈(0,1] ，此时|g(x)|max ＝2，④当m ∈(−1, 0)时，|g(x)|max ＝−g(m +2)＝−[(m +2)2−2(m +2)−1] ＝−m 2−2m +1∈(1, 2)；⑤当m ＝0时，g(x)＝x 2−2x −1，x ∈[0, 2]，此时|g(x)|max ＝1．综上，若实数m ∈[−2, 0]，则|f(x)−f(−1)|在区间[m, m +2]上的最大值的取值范围是[1, 2]．三、解答题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2√2，b ＝5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin (2A +π4)的值． 【答案】（1）由余弦定理以及a ＝2√2，b ＝5，c =√13，则cos C =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵ C ∈(0, π)， ∴ C =π4；（2）由正弦定理，以及C =π4，a ＝2√2，c =√13，可得sin A =a sin C c=2√2×√2213=2√1313； (Ⅲ) 由a <c ，及sin A =2√1313，可得cos A =√1−sin 2A =3√1313， 则sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×2√1313×3√1313=1213，∴ cos 2A ＝2cos 2A −1=513， ∴ sin (2A +π4)=√22(sin 2A +cos 2A)=√22(1213+513)=17√226． 【考点】 余弦定理 正弦定理 解三角形【解析】(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小， (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值，(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出． 【解答】（1）由余弦定理以及a ＝2√2，b ＝5，c =√13， 则cos C =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵ C ∈(0, π)， ∴ C =π4；（2）由正弦定理，以及C =π4，a ＝2√2，c =√13，可得sin A =a sin C c=2√2×√22√13=2√1313； (Ⅲ) 由a <c ，及sin A =2√1313，可得cos A =√1−sin 2A =3√1313， 则sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×2√1313×3√1313=1213，∴ cos 2A ＝2cos 2A −1=513，∴ sin (2A +π4)=√22(sin 2A +cos 2A)=√22(1213+513)=17√226．已知函数f(x)=(sin x +cos x)2+cos 2x ． (1)求f(π4)值；(2)求f(x)的最小值正周期；(3)求f(x)的单调递增区间．【答案】解：(I)f(π4)=(√22+√22)2+cosπ2=2．(II)因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x，所以，f(x)=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π|ϖ|=2π2=π．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，所以f(x)的单调递增区间为(kπ−3π8，kπ+π8)，k∈Z．【考点】三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用【解析】(I)根据函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos2x，直接求得f(π4)值．(II)化简f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x为√2sin(2x+π4)+1，从而求得f(x)的最小正周期．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，求得x的范围，可得f(x)的单调递增区间．【解答】解：(I)f(π4)=(√22+√22)2+cosπ2=2．(II)因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x，所以，f(x)=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π|ϖ|=2π2=π．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，所以f(x)的单调递增区间为(kπ−3π8，kπ+π8)，k∈Z．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2．（1）求证：A 1C ⊥BC ；（2）求直线AC 1和A 1B 1所成角的大小；（3）求直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小． 【答案】证明：∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC ⊥CC 1，∵ AC ⊥BC ，AC ∩CC 1=C ， ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1，∵ AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴ A 1C ⊥BC ．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2, 0, 0)，C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AC 1→=(−2, 0, 2)，A 1B 1→=(−2, 2, 0)， 设直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为θ， 则cos θ=|AC 1→|⋅|A 1B 1→|˙=√8⋅√8=12， ∴ 直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为60∘．AC 1→=(−2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AB →=(−2, 2, 0)，AA 1→=(0, 0, 2)， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=(x, y, z)，则{AA 1→⋅n →＝2z ＝0˙，取x =1，得n →=(1, 1, 0)， 设直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为θ， 则sin θ=|AC 1→|⋅|n →|˙=8⋅2=12，θ=30∘．∴ 直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为30∘． 【考点】直线与平面所成的角 异面直线及其所成的角【解析】（1）由BC ⊥CC 1，AC ⊥BC ，得BC ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明A 1C ⊥BC ．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，由此直线AC 1和A 1B 1所成角的大小．（3）求出AC 1→=(−2, 0, 2)和平面ABB 1A 1的法向量，由此能求出直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小． 【解答】证明：∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC ⊥CC 1，∵ AC ⊥BC ，AC ∩CC 1=C ， ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1，∵ AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴ A 1C ⊥BC ．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2, 0, 0)，C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AC 1→=(−2, 0, 2)，A 1B 1→=(−2, 2, 0)， 设直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为θ，则cos θ=|AC 1→|⋅|A 1B 1→|˙=√8⋅√8=12， ∴ 直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为60∘．AC 1→=(−2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AB →=(−2, 2, 0)，AA 1→=(0, 0, 2)， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=(x, y, z)，则{AA 1→⋅n →＝2z ＝0˙，取x =1，得n →=(1, 1, 0)，设直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为θ， 则sin θ=|AC 1→|⋅|n →|˙=√8⋅√2=12，θ=30∘．∴ 直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为30∘．如图，三棱柱ABC −DEF 的侧面BEFC 是边长为1的正方形，面BEFC ⊥面ADEB ，AB =4，∠DEB =60∘，G 是DE 的中点．（1）求证：CE // 平面AGF ；（2）求点D 到平面AGF 的距离；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，若存在，求BP 的长；若不存在，说明理由．【答案】证明：连接CD 交AF 于H ，连接HG ，∵ 三棱柱ABC −DEF ，∴ AD // CF ，AD =CF ， ∴ 四边形ADFC 是平行四边形，∴ H 是CD 的中点，又G 是DE 的中点，∴ HG // CE ，又HG ⊂平面AGF ，CE ⊄平面AGF ， ∴ CE // 平面AGF ．∵ 四边形BEFC 是正方形，∴ BC ⊥BE ，∵ 平面BEFC ⊥平面ABED ，平面BEFC ∩平面ABED =BE ，BC ⊂平面BEFC ，BC ⊥BE ，∴ BC ⊥平面ABED ，∵ ∠BED =60∘，BE =1，GE =12DE =12AB =2，∴ BG =√BE 2+GE 2−2⋅BE ⋅GE ⋅cos ∠BED =√3， ∴ BE 2+BG 2=GE 2，∴ BG ⊥BE ，以B 为原点，以BG ，BE ，BC 为坐标轴建立空间直角坐标系B −xyz ，如图所示， 则G(√3, 0, 0)，A(2√3, −2, 0)，F(0, 1, 1)，D(2√3, −1, 0)， ∴ AG →=(−√3, 2, 0)，GF →=(−√3, 1, 1)，DG →=(−√3, 1, 0)， 设平面AGF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GF →＝0˙，即{√3x ＝0−√3x +y +z ＝0，令y =1可得n →=(0, 1, −1)，设D 到平面AGF 的距离为d ，则d =|n →|˙=√2=√22． 假设线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，设P(0, 0, ℎ)， 则GP →=(−√3, 0, ℎ)，EP →=(0, −1, ℎ)，设平面PGE 的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，则{m →⋅EP →＝0˙，即{−√3x 1+ℎz 1＝0−y 1+ℎz 1＝0，令z 1=1可得m →=(√3 ℎ, 1)，∵ BC ⊥平面ABED ，∴ BC →=(0, 0, 1)是平面BGE 的一个法向量， ∴ cos <BC →，m →>=|BC →||m →|˙=√4ℎ3+1×1=√4ℎ3+1=√22， 解得ℎ=√32， 线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，此时BP =√32． 【考点】二面角的平面角及求法 点、线、面间的距离计算 直线与平面平行【解析】（1）连接CD 交AF 于H ，连接HG ，根据中位线定理可得HG // CE ，于是CE // 平面AGF ；（2）建立空间坐标系，求出平面AGF 的法向量n →，利用距离公式求出D 到平面AGF 的距离；（3）假设存在符合条件的P 点，设BP =ℎ，求出平面PGE 的法向量m →，令|cos <m →，BC →>|=√22计算ℎ，根据ℎ的值做出判断．【解答】证明：连接CD 交AF 于H ，连接HG ，∵ 三棱柱ABC −DEF ，∴ AD // CF ，AD =CF ， ∴ 四边形ADFC 是平行四边形，∴ H 是CD 的中点，又G 是DE 的中点，∴ HG // CE ，又HG ⊂平面AGF ，CE ⊄平面AGF ， ∴ CE // 平面AGF ．∵ 四边形BEFC 是正方形，∴ BC ⊥BE ，∵ 平面BEFC ⊥平面ABED ，平面BEFC ∩平面ABED =BE ，BC ⊂平面BEFC ，BC ⊥BE ，∴ BC ⊥平面ABED ，∵ ∠BED =60∘，BE =1，GE =12DE =12AB =2，∴ BG =√BE 2+GE 2−2⋅BE ⋅GE ⋅cos ∠BED =√3， ∴ BE 2+BG 2=GE 2，∴ BG ⊥BE ，以B 为原点，以BG ，BE ，BC 为坐标轴建立空间直角坐标系B −xyz ，如图所示， 则G(√3, 0, 0)，A(2√3, −2, 0)，F(0, 1, 1)，D(2√3, −1, 0)， ∴ AG →=(−√3, 2, 0)，GF →=(−√3, 1, 1)，DG →=(−√3, 1, 0)， 设平面AGF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GF →＝0˙，即{√3x ＝0−√3x +y +z ＝0，令y =1可得n →=(0, 1, −1)，设D 到平面AGF 的距离为d ，则d =|n →|˙=√2=√22． 假设线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，设P(0, 0, ℎ)， 则GP →=(−√3, 0, ℎ)，EP →=(0, −1, ℎ)， 设平面PGE 的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，则{m →⋅EP →＝0˙，即{−√3x 1+ℎz 1＝0−y 1+ℎz 1＝0，令z 1=1可得m →=(√3 ℎ, 1)，∵ BC ⊥平面ABED ，∴ BC →=(0, 0, 1)是平面BGE 的一个法向量， ∴ cos <BC →，m →>=|BC →||m →|˙=√4ℎ23+1×1=√4ℎ23+1=√22， 解得ℎ=√32， 线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，此时BP =√32．已知n ∈N ∗，n ≥2，给定n ×n 个整点(x, y)，其中1≤x ，y ≤n ，x ，y ∈N ∗．(Ⅰ)当n ＝2时，从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，求x1+x2的所有可能值；(Ⅱ)从上面n×n个整点中任取m个不同的整点，m≥5n2−1．(ⅰ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ⅱ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+ x1′＝x2+x2′，y1≠y2．【答案】（1）当n＝2时，4个整点分别为(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；(2)(i)假设不存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n−1+n＝2n−1，而2n−1<52n−1，与已知m≥52−1矛盾，故存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ii)设直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1<x2< ...<x n，由x1+x2<x1+x3<x2+x3<x2+x4<x3+x4<x ai−1+x ai，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n−3个，而∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3，可知存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+x1′＝x2+ x2′，y1≠y2．【考点】归纳推理【解析】(Ⅰ)取n＝2时可表示出整点即可算出可能值；(Ⅱ)(i)用反证法可推出矛盾；(ii)利用不等关系可得∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3即可【解答】（1）当n＝2时，4个整点分别为(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；(2)(i)假设不存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n−1+n＝2n−1，而2n−1<52n−1，与已知m≥52−1矛盾，故存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ii)设直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1<x2< ...<x n，由x1+x2<x1+x3<x2+x3<x2+x4<x3+x4<x ai−1+x ai，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n−3个，而∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3，可知存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+x1′＝x2+ x2′，y1≠y2．试卷第21页，总21页。
北京市昌平区第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
【分析】
把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.
【详解】直线 化成斜截式为 ，
因为 ，所以 .
故选B.
【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.
3.已知 ， ，则 的值为（）
A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得 ，再利用空间向量模的公式计算.
【详解】∵ ， ， , ,
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出 以及平面 的法向量后可证明 平面 .
（2）求出平面 的法向量后可求二面角 的余弦值.
（3）可证明 始终不为零，从而可证 与 都不垂直.
【详解】因为 底面 ，而 底面 ， 底面 ，
故 ， ，
又底面 是矩形，故 .
依题意满足条件的最小正方形是各边以 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，使得曲线 在此正方形区域内（含边界），故③不正确.
故答案为：①②
【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.
三、解答题共5题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】解：直线 的一般方程为 ,
圆 的圆心为 ，半径为 .
直线与圆相切， , .
故选:D.
6.圆 和圆 的位置关系是（）
A.相交B.内切C.外切D.相离
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关系
2021北京昌平一中高二(上)期中数学(教师版)
2021北京昌平一中高二（上）期中数 学考生须知：1.本试卷满分150分。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。
3.试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题须用2B 铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．（5分）在空间直角坐标系中，点(1P ，2，3)-关于坐标平面xOy 的对称点为( ) A ．(1-，2-，3)B ．(1-，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1，2，3)2．（5分）已知(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，则y 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．73．（5分）方程2240x y x +-=表示的圆的圆心和半径分别为( ) A ．(2,0)-，2B ．(2,0)-，4C ．(2,0)，2D ．(2,0)，44．（5分）如果直线l 与直线10x y -+=关于x 轴对称，那么直线l 的方程为( ) A ．10x y ++=B ．10x y +-=C ．0x y -=D ．0x y +=5．（5分）直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为( ) A ．30x y --= B ．20x y +=或30x y --= C ．20x y +=D ．20x y +=或10x y +-=6．（5分）点(0,1)到直线(1)y k x =+的最大值为( )AB ．1CD 7．（5分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则向量BM 可表示为( ) A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++C ．1122a b c -+D ．1122a b c --+8．（5分）已知点(1M ，2，3)，(2N ，3，4)，(1P -，2，3)，若3PQ MN =，则Q 的坐标是( ) A ．(3-，2-，5)- B ．(3，4，1)C ．(4-，1-，0)D ．(2，5，6)9．（5分）“2m =”是“直线(2)30mx m y -++=和直线10mx y ++=垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（5分）已知点(2,3)A -，(3,2)B --，直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( ) A ．4m -或34mB ．34m -或4m C ．344m- D ．344m -二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．（5分）若直线(1)10a x y +++=与直线210x ay ++=平行，则a 的值为 ． 12．（5分）以点(0,4)A ，(4,6)B 为直径的两个端点的圆的标准方程是 ．13．（5分）平面α的一个法向量是(2n =-，2-，1)，点(1A -，3，0)在平面α内，则点(2P -，1，4)到平面α的距离为 ．14．（5分）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，体对角线1AC 与1BD 交于点O ，则1CD AC ⋅= ，直线CD 与直线1AC 所成角的余弦值为 ．15．（5分）正四面体ABCD 的棱长为2，点E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅的值为 ． 16．（5分）对于平面直角坐标系内的任意两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，定义它们之间的一种“距离”为2121||||||||PQ x x y y =-+-．已知不同三点A ，B ，C 满足||||||||||||AC CB AB +=，给出下列四个结论：①A ，B ，C 三点可能共线；②A ，B ，C 三点可能构成锐角三角形； ③A ，B ，C 三点可能构成直角三角形； ④A ，B ，C 三点可能构成钝角三角形． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共5小题，共70分.17．（14分）如图，在四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，BC ⊥平面PAB ，PA AB ⊥，2PA =． （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅰ）求平面PAD 与平面PBC 所成角的余弦值．18．（14分）已知直线:340l x y m -+=，圆C 通过点(0,0)O ，(8,0)A ，(1,1)B -．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅰ）分别求直线l与圆C相交、相切、相离时，实数m的取值范围．19．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，AB BC =，12AC AA ==． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ； （Ⅰ）求二面角1B CD C --的余弦值； （Ⅰ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．20．（14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0)M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在直线上．（Ⅰ）求AD 边所在直线的方程及点A 坐标； （Ⅰ）求CD 边所在直线的方程； （Ⅰ）求矩形ABCD 外接圆的方程．21．（14分）已知有限集X ，Y ，定义集合{|X Y x x X -=∈，且}x Y ∉，||X 表示集合X 中的元素个数． （Ⅰ）若{1X =，2，3，4}，{3Y =，4，5}，求集合X Y -和Y X -，以及|()()|X Y Y X --的值；（Ⅰ）给定正整数n ，集合{1S =，2，，}n ．对于实数集的非空有限子集A ，B ，定义集合{|C x x a b ==+，a A ∈，}b B ∈．①求证：||||||1A S B S S C -+-+-； ②求|()()||()()||()()|A S S A B S S B C S S C --+--+--的最小值．2021北京昌平一中高二（上）期中数学参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．【分析】点(a ，b ，)c 关于坐标平面xOy 的对称点为(a ，b ，)c -． 【解答】解：在空间直角坐标系中，点(1P ，2，3)-关于坐标平面xOy 的对称点为(1，2，3)． 故选：D ．【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用． 2．【分析】由题意可得//AB AC ，再利用两个向量共线的性质，求得y 的值． 【解答】解：(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，∴(2,4)AB =--，(1,8)AC y =--，//AB AC ， ∴1824y --=--，求得6y =， 故选：C ．【点评】本题主要考查三点共线问题，两个向量共线的性质，属于基础题． 3．【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径． 【解答】解：把圆2240x y x +-=的方程化为标准方程得：22(2)4x y -+=， 所以圆心坐标为(2,0)，半径为2， 故选：C ．【点评】此题比较简单，要求学生会把圆的一般方程化为标准方程． 4．【分析】根据直线关于x 轴对称的规律求解即可．【解答】解：设(,)P x y 是l 关于x 轴对称的直线上的任意一点， 则P 关于x 轴的对称点(,)Q x y -在直线10x y -+=上， 故()10x y --+=，即10x y ++=即为所求． 故选：A ．【点评】本题考查直线间、点之间的对称问题，属于基础题． 5．【分析】对直线是否经过原点分类讨论，结合截距式即可得出．【解答】解：直线l 经过原点时，可得直线l 的方程为：12y x =-，化为：20x y +=．直线l 不经过原点时，可得直线l 的截距为：x y a -=，把(2,1)P -代入可得：2(1)a --=，即3a =． 方程为：30x y --=．综上可得：20x y +=，或30x y --=． 故选：B ．【点评】本题考查了分类讨论方法、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．【分析】根据题意，分析直线经过的定点，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)-，设(1,0)M -，(0,1)N ，而||MN =则点(0,1)到直线(1)y k x =+的最大值为||MN 故选：C ．【点评】本题考查直线过定点问题，涉及点到直线的距离公式，属于基础题． 7．【分析】利用向量的加法的三角形法则，结合平行六面体的性质分析求解即可． 【解答】解：平行四边形1111A B C D 中，对角线11A C 、11B D 相交于点M ，∴向量111111111()22B M B D A D A B ==-， 平行四边形11AA B B 中，11A B AB a ==；平行四边形11AA D D 中，11A D AD b ==，∴11()2B M b a =-， 又11BB AA c ==，∴11111()222BM BB B M c b a a b c =+=+-=-++． 故选：A ．【点评】本题考查了平行四边形与平行六面体的性质、向量的加法法则等知识，属于基础题．8．【分析】设(Q a ，b ，)c ，则(1PQ a =+，2b -，3)c -，(1MN =，1，1)，由3PQ MN =，列方程组，能求出Q 的坐标．【解答】解：点(1M ，2，3)，(2N ，3，4)，(1P -，2，3)， 设(Q a ，b ，)c ，则(1PQ a =+，2b -，3)c -，(1MN =，1，1)， 3PQ MN =，(1a ∴+，2b -，3)(3c -=，3，3)，∴132333a b c +=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得2a =，5b =，6c =． Q ∴的坐标是(2，5，6)．故选：D ．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查向量相等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．【分析】先判断充分性，若2m =，可判断直线(2)30mx m y -++=和直线10mx y ++=垂直，再判断必要性，由垂直得(2)0m m m ⋅-+=，解之即可． 【解答】解：若2m =，(2)30mx m y -++=可化为2430x y -+=， 10mx y ++=可化为210x y ++=， 22410⨯-⨯=，∴直线(2)30mx m y -++=和直线10mx y ++=垂直，若直线(2)30mx m y -++=和直线10mx y ++=垂直， 则(2)0m m m ⋅-+=， 则2m =或1m =-；故“2m =”是“直线(2)30mx m y -++=和直线10mx y ++=垂直”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】本题考查了充分、必要条件的应用，属于基础题．10．【分析】根据题意，直线:10l mx y m +--=恒过定点(1,1)且直线斜率k m =-，然后结合直线的斜率公式及直线倾斜角与斜率变化关系可求．【解答】解：直线:10l mx y m +--=过定点(1,1)P ， 如图，31421PA k --==--，213314PB k --==--， ∴直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是34k或4k -． 故34m-或4m --． 解得34m-或4m ．故选：B ．【点评】本题考查两直线相交于斜率的关系，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．【分析】根据两直线平行时方程的系数关系，列出方程求出a 的值． 【解答】解：直线(1)10a x y +++=与直线210x ay ++=互相平行， (1)20a a ∴+-=，即220a a +-=； 解得1a =或2a =-；当1a =时，210x y ++=，210x y ++=重合，不符合题意， 2a =-时，10x y -++=，2210x y -+=，平行，符合题意，所以实数2a =-， 故答案为：2-．【点评】本题考查了两直线平行时直线方程系数关系的应用问题，是基础题目． 12．【分析】求出AB 的中点的坐标，即是圆心的坐标，再求半径||2AB r =的值，代入圆的标准方程． 【解答】解：点(0,4)A ，(4,6)B 的中点坐标为04(2+，46)2+， 即圆心的坐标(2,5)，半径||2AB r ===所以(0,4)A ，(4,6)B 为直径的两个端点的圆的方程为：22(2)(5)5x y -+-=； 故答案为：22(2)(5)5x y -+-=．【点评】本题考查求圆的方程的方法，属于基础题．13．【分析】由题意算出(1AP =-，2-，4)，根据向量(2n =-，2-，1)是平面α的一个法向量，算出向量PA 在n上的投影的绝对值，即可得到P 到α的距离，由此可得本题答案． 【解答】解：根据题意，可得(1A -，3，0)，(2P -，1，4)，∴(1AP =-，2-，4)，又平面α的一个法向量(2n =-，2-，1)，点A 在α内， (2P ∴-，1，4)到α的距离等于向量PA 在n 上的投影的绝对值，∴1(2)(2)(2)4110PA n ⋅=-⨯-+-⨯-+⨯=，即||10||3PA n d n ⋅==，故答案为：103． 【点评】本题给出平面的法向量和平面上的一点，求平面外一点到平面的距离．着重考查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识，属于中档题．14．【分析】以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出1,CD AC 的坐标，即可求得1CD AC ⋅，再由两向量夹角的余弦值可得直线CD 与直线1AC 所成角的余弦值．【解答】解：以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则(0D ，0，0)，(0C ，1，0)，(1A ，0，0)，1(0C ，1，1)， (0,1,0)CD =-，1(1,1,1)AC =-，10(1)11011CD AC ⋅=⨯--⨯+⨯=-；111cos ,||||1CDAC CD AC CD AC ⋅-<>===⋅⨯， 则直线CD 与直线1AC ． 故答案为：1-． 【点评】本题考查了空间向量的计算，训练了利用空间向量求异面直线所成角的余弦值，是基础题． 15．【分析】根据题意画出图形，结合图形即可求出结果． 【解答】解：取BD 的中点M ，连接AM 、CM ，如图所示， 四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ，F ，G 分别是 棱AB ，AD ，DC 的中点， 所以112GF AC ==， AM BD ⊥，CM BD ⊥，AMCM M =，所以BM ⊥平面AMC ， 又AC ⊂面ACM ，所以BD AC ⊥， 又//EF BD ， 所以EF AC ⊥， 又//AC FG ， 所以FG EF ⊥，所以2()1GE GF GF FE GF GF FE GF ⋅=+⋅=+⋅=； 故答案为：1【点评】本题考查了空间向量的数量积运算问题，也考查了空间中的位置关系的应用，属于基础题．16．【分析】不妨设(0,0)C ，(1,0)A ，B 1(x ，1)y ，则||||1AC =，11||||||||CB x y =+，11|||||1|||AB x y =-+，讨论1x ，1y 的值即可判定．【解答】解：不妨设(0,0)C ，(1,0)A ，B 1(x ，1)y ，则||||1AC =，11||||||||CB x y =+，11|||||1|||AB x y =-+， 当10y =，11x >时，此时A ，B ，C 三点共线，1||||||||1||||AC CB x AB +=+=成立，故①正确； 由||||||||||||AC CB AB +=，可知111|||1|x x +=-，当10x =，10y ≠时111|||1|x x +=-成立，此时ABC ∆为直径三角形，故③正确； 当10x >时，无解，故②错；当10x <时，此时BCA ∠为钝角，且111|||1|x x +=-成立，故④正确． 故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了以命题的真假为载体，考查新定义，解题的关键是理解新的定义，同时考查了学生的推理能力．三、解答题：本题共5小题，共70分.17．【分析】（Ⅰ）只须证明PA 垂直于平面ABCD 内两相交直线AB 与BC 即可；（Ⅰ）寻找二面角的平面角，转化为解直角三角形问题．【解答】（Ⅰ）证明：因为BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以PA BC ⊥，因为PA AB ⊥，ABBC B =，又因为AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD．（Ⅰ）解：过P作//PQ BC，则平面PAD⋂平面PBC PQ=，因为BC⊥平面PAB，所以PQ⊥平面PAB，因为PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PQ PA⊥，PQ PB⊥，所以平面PAD与平面PBC所成角的平面角为BPA∠，由（Ⅰ）知PA AB⊥，所以cosPABPAPB∠===，所以平面PAD与平面PBC．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．18．【分析】()I设圆C的方程为222()()x a y b r-+-=，将点(0,0)O，(8,0)A，(1,1)B-分别代入该方程，列出方程组，即可求解．()II根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．【解答】解：()I设圆C的方程为222()()x a y b r-+-=，圆C通过点(0,0)O，(8,0)A，(1,1)B-，∴222222222(8)(1)(1)a b ra b ra b r⎧+=⎪-+=⎨⎪-++=⎩，解得4a=，3b=，5r=，故圆C的方程为22(4)(3)25x y-+-=．()II设直线l与圆C的距离为d，由（1）可知，圆心(4,3)C，当直线l 与圆C 相切时，d r =||55m ==，解得25m =±， 当直线l 与圆C 相交时，d r <，即||55m <，解得2525m -<<， 当直线l 与圆C 相离时，d r >，即||55m >，解得25m >或25m <-， 综上所述，当直线l 与圆C 相交时，m 的取值范围为(25,25)-， 当直线l 与圆C 相切时，m 的取值范围为25-或25，当直线l 与圆C 相离时，m 的取值范围为(-∞，25)(25-⋃，)+∞．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于中档题． 19．【分析】()I 证明AC BE ⊥，AC EF ⊥即可得出AC ⊥平面BEF ；()II 建立坐标系，求出平面BCD 的法向量n ，通过计算n 与EB 的夹角得出二面角的大小； ()III 计算FG 与n 的数量积即可得出结论．【解答】()I 证明：E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，1//EF CC ∴，1CC ⊥平面ABC ，EF ∴⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，EF AC ∴⊥， AB BC =，E 是AC 的中点， BE AC ∴⊥，又BE EF E =，BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，AC ∴⊥平面BEF ．()II 解：以E 为原点，以EB ，EC ，EF 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则(2B ，0，0)，(0C ，1，0)，(0D ，1-，1)，∴(2BC =-，1，0)，(0CD =，2-，1)，设平面BCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则00n BC n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令2y =可得(1n =，2，4)，又EB ⊥平面11ACC A ，∴(2EB =，0，0)为平面1CD C -的一个法向量，cos n ∴<，||||21n EBEB n EB >===． 由图形可知二面角1B CD C --为钝二面角，∴二面角1B CD C --的余弦值为． ()III 证明：(0F ，0，2)，(2G ，0，1)，∴(2FG =，0，1)-，∴20420FG n =+-=-≠， ∴FG 与n 不垂直，FG ∴与平面BCD 不平行，又FG ⊂/平面BCD ， FG ∴与平面BCD 相交．【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）由矩形ABCD 可得AD 与AB 垂直可得直线AD 的斜率，又过T 点，代入点斜式方程可得AD 的方程，联立直线AD ，AB 的方程可得A 的坐标；（Ⅰ）由M 为AC 的中点，可得C 的坐标，再由//CD AB ，可得直线CD 的斜率，代入点斜式方程可得直线CD 的方程；（Ⅰ）矩形ABCD 的外接圆即是以线段AC 的直径的圆的方程，求出||AC 的值，代入圆的标准方程中求出圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）由四边形ABCD 为矩形，可得AD AB ⊥， 因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，斜率为：13，所以可得直线AD 的斜率为：3-，所以过T 的直线AD 的方程为：13(1)y x -=-+，即320x y ++=； 因为A 为直线AD ，AB 的交点， 所以360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩，所以点(0,2)A -；（Ⅰ）因为M 为对角线的交点，所以M 为AC 的中点，所以022C x +=，202Cy -+=， 所以可得C 的坐标(4,2)，又因为//CD AB ，所以设CD 的方程为：30x y c -+=，将C 的坐标代入可得：460c -+=， 解得：2c =，所以直线CD 的方程为：320x y -+=；（Ⅰ）矩形ABCD 的外接圆以M 为圆心，以||AC 为直径的圆，||AC =所以矩形ABCD 外接圆的方程为：22(2)8x y -+=．【点评】本题考查直线的平行和垂直时的斜率的关系及外接圆的方程的求法，属于基础题． 21．【分析】（Ⅰ）根据题意直接可以得出答案； （Ⅰ）①分AB 中含有一个不在S 中的元素及A S ⊆，且B S ⊆两种情形讨论求证；②结合①知，|()()||()()||()()|||||||1A S S A B S S B C S S C S A S B C S --+--+---+-+-+，讨论若A S =∅，或BS =∅，得||||S A S B n -+-，若A S ≠∅，且B S ≠∅，可证得|()()||()()||()()|A S S A B S S B C S S C --+--+--的最小值是1n +．【解答】解：（Ⅰ）{1X Y -=，2}，{5}Y X -=，|()()}3X Y Y X --=；（Ⅰ）①证明：显然||0X ， 若AB 中含有一个不在S 中的元素，则||||1A S B S -+-，即||||||1A S B S SC -+-+-，；若A S ⊆，且B S ⊆，则||||0A S B S -=-=，此时A 中最小的元素1a ，B 中最小的元素1b ， C ∴中最小的元素2a b +，1C ∴∉，{1S =，2，⋯⋯，}n ，||1S C ∴-，即||||||1A S B S S C -+-+-，综上，||||||1A S B S S C -+-+-； ②由①知，||||||1A S B S S C -+-+-，|()()||()()||()()|||||||||||||A S S A B S S B C S S C A S S A B S S B C S S C ∴--+--+--=-+-+-+-+-+-||||||1S A S B C S -+-+-+，若A S =∅，或B S =∅，则||||S A S B n -+-， 若AS ≠∅，且BS ≠∅，设1{AS a =，2a ，⋯⋯，}s a ，1{BS b =，2b ，⋯⋯，}l b ，且121s a a a n <<⋯⋯<，121l b b b n <<⋯⋯<，则||S A n s -=-，||S B n l -=-，若s l n +，则||||2S A S B n s l n -+-=--， 若s l n +>，因为11222s l a b a b a b +<+<⋯⋯<+，11a b ∴+，12a b +，⋯⋯，1l a b +，2l a b +，3l a b +，⋯⋯，s l a a +这1s l +-个数一定在集合C 中，且均不等于1，||1(1)C S s l n s l n ∴-+---=+-，||||||2()S A S B C S n s l s l n n ∴-+-+---++-=，|()()||()()||()()|||||||11A S S A B S S B C S S C S A S B C S n ∴--+--+---+-+-++；当A B S ==，{2C =，3，⋯⋯，2}n 时，|()()||()()||()()|1A S S A B S S B C S S C n --+--+--=+，|()()||()()||()()|A S S A B S S B C S S C ∴--+--+--的最小值是1n +．【点评】本题考查集合中的新定义问题，考查知识迁移能力，逻辑推理能力，对学生的综合数学素养要求较高，属于难题．。
2021北京昌平一中高三(上)期中数学(教师版)
2021北京昌平一中高三（上）期中数 学考生须知：1.本试卷满分100分。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。
3.试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题须用2B 铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．（4分）已知集合{|1}A x x =，{1B =-，0，1，2}，则(AB = )A ．{2}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{|1}x x -2．（4分）如图，在复平面内，复数Z 对应的点为P ，则复数Z 的虚部为( )A ．1-B ．2iC ．2D ．i -3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．3y x =B ．21y x =-+C ．2log y x =D ．||2x y =4．（4分）在ABC ∆中，2a =，6A π=，则“3B π=”是“b =的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（4分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±6．（4分）向量a ，b ，c 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e 为与c 同方向的单位向量，则()(a b e +⋅= )A ．1.5B ．2C ． 4.5-D ．3-7．（4分）已知直线1:(3)453l a x y a ++=-，2:2(5)8l x a y ++=．若121//l 平行，则a 的值为( ) A ．7-B ．1-C ．7-或1-D ．2-或48．（4分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知15a =-，31a =-．记(1nn nS b n a ==，2，)⋯，则数列{}n b 的( ) A ．最小项为3bB ．最大项为3bC ．最小项为4bD ．最大项为4b9．（4分）已知直线:30l ax by +-=经过点(,2)a b -，则原点到点(,)P a b 的距离可以是( ) A ．4B ．2CD ．1210．（4分）已知函数22,()||,x ax x af x x a x a ⎧-+=⎨+<⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数二、填空题（本大题共5小題，每小题5分，共25分） 11．（5分）函数()f x lnx =+的定义域是 ．12．（5分）双曲线22184x y -=的离心率为 ．13．（5分）已知圆22:4440C x y x y +-++=与直线:10l kx y k ---=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值是 ． 14．（5分）已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(B m ，0)(0)m >，则cos OA <，OB >= ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m = ．15．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，13AA AB ==，1BC =，P 点在侧面11A ABB 上，且点P 到直线1A A 和CD的距离相等；①点P 到直线1A A 和CD 的距离为2时，1A P 值为 ； ②1A P 的最小值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（13分）已知函数2()sin()sin 2f x x x x π++．（Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅰ）求函数的()f x 最小值及相应的x 值；（Ⅰ）若(,)33x ππ∈-，求函数()f x 的增区间（直接写出结论）．17．（14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点． （Ⅰ）求证：1//BD 平面ACE ；（Ⅰ）设M 是棱1BB 上一点，当二面角M AC E --的余弦值为时，求1BM BB 的值．18．（13分）在锐角ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求B ∠；（Ⅰ）若8a =，______．求c ． 从①7b =，②4C π∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．19．（15分）已知函数2()x f x e ax =-，a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程； （Ⅰ）若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅰ）当1a =-时，试写出方程()1f x =根的个数．（只需写出结论）20．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设点A 是椭圆C 的左顶点，直线AP ，AQ 分别与直线4x =相交于点M ，N ．求证：以MN 为直径的圆恒过点F ．21．（15分）在数列{}n a 中，若*n a N ∈，且1,(123,nn n n n a a a n a a +⎧⎪==⎨⎪+⎩是偶数是奇数，2，3，)⋯，则称{}n a 为“J 数列”．设{}n a 为“J 数列”，记{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）若110a =，求3S ，6S ，9S 的值； （Ⅰ）若317S =，求1a 的值；（Ⅰ）证明：{}n a 中总有一项为1或3．2021北京昌平一中高三（上）期中数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．【分析】根据题意，由集合交集的定义，分析两个集合的公共元素可得答案． 【解答】解：根据题意，集合{|1}A x x =，{1B =-，0，1，2}， 则{1AB =，2}，故选：B ．【点评】本题考查集合交集的计算，注意集合交集的定义，属于基础题． 2．【分析】直接由已知的复数在复平面内对应点的坐标得复数Z ，进而可得答案． 【解答】解：由题意得，12Z i =-+， 所以复数Z 的虚部为2． 故选：C ．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【分析】根据幂函数、对数函数、以及二次函数的单调性规律和奇偶性的定义判断即可． 【解答】解：①若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称，所以C 错； ②由偶函数的定义：333()x x x -=-≠，故A 错； ③21y x =-+在(0,)+∞上递减，故B 错；④显然||||22x x -=，故该函数是偶函数，当0x >时，2x y =是增函数，故D 对． 故选：D ．【点评】本题考查奇偶性、单调性的定义与性质，注意转化思想在解题中的应用．属于基础题． 4．【分析】利用正弦定理，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：①当3B π=时，由正弦定理得sin sin a b A B =，sin sin a Bb A∴==，∴充分性成立，②当b =sin sin a bA B=，sin sin b A B a ∴==， (0,)B π∈，3B π∴=或23B π=，∴必要性不成立，综上，3B π=是b =故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键．5．【分析】根据题意，由双曲线的离心率2e =可得2c a =，由双曲线的几何性质可得b =，由此求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：根据题意，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，其焦点在y 轴上，其渐近线方程为by x a=±，又由其离心率2ce a==，则2c a =，则b，即ba，则其渐近线方程y =； 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，是中档题．6．【分析】利用已知条件表示a b +，然后求解向量的数量积即可． 【解答】解：建立坐标系如图，(1,1)a =-，(2,1)b =--，()(12a b e +⋅=--，11)(1-⋅，0)3=-．故选：D ．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题． 7．【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得a 的值．【解答】解：知直线1:(3)453l a x y a ++=-，2:2(5)8l x a y ++=， 若121//l 平行，则3435258a a a +-=≠+-，求得7a =-， 故选：A ．【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．8．【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求n b ，然后结合数列的单调性及数列的函数特性可求． 【解答】解：等差数列{}n a 中，15a =-，31a =-， 所以2d =，52(1)27n a n n =-+-=-，2(1)5262n n n S n n n -=-+⨯=-， 则(6)27n n n S n n b a n -==-，令26()27x xf x x -=-，0x >，则222(721)()0(27)x x f x x -+'=>-， 故()f x 在7(0,)2，7(,)2+∞上单调递增，没有最大值，因为11b =，39b =，48b =-，结合数列的函数特性易得，当4n =时，n b 取得最小值． 故选：C ．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，还考查了利用数列的单调性定义求解数列的最值项，函数思想的应用是求解问题的关键．9．【分析】根据题意，将(,2)a b -代入直线l 可得2(2)30a b b +--=，变形可得22(1)4a b +-=，分析可得点(,)a b 在以(0,1)为圆心，半径为2的圆上，由点与圆的位置关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线:30l ax by +-=经过点(,2)a b -，则2(2)30a b b +--=， 变形可得22(1)4a b +-=，则点(,)a b 在以(0,1)为圆心，半径为2的圆上， 点O 在圆22(1)4x y +-=内部， 则1||3OP ， 故选：B ．【点评】本题考查圆的方程的应用，涉及两点间距离公式的应用，属于基础题． 10．【分析】分情况讨论，并作出大致图象，由图象结合题意分析即可得解． 【解答】解：函数||y x a =+的图象形状大致如下，①当0a >时，要使()f x k =有两个不相等的实数根，即()f x 的图象与直线y k =有两个交点，如图，当22y x ax =-+的对称轴2a x =在x a =的左边，且两段在a 处相交时，可满足题意，此时2022||a a a a a a a ⎧<<⎪⎨⎪-⋅+=+⎩，解得1a =；②当0a <时，如图，要满足条件，需在x a =处相接，且22y x ax =-+在2a x =处的函数值为0，则2222||2042a a a a a a a ⎧-⋅+=+⎪⎨-+=⎪⎩，无解；③当0a =时，22,0()||,0x x f x x x ⎧+=⎨<⎩，显然不合题意；综上，满足条件的a 有1个． 故选：B ．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题． 二、填空题（本大题共5小題，每小题5分，共25分）11．【分析】根据函数()f x 的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出()f x 的定义域． 【解答】解：函数()f x lnx =， ∴010x x >⎧⎨-⎩，解得01x <；∴函数()f x 的定义域为{|01}x x <．故答案为：{|01}x x <．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出定义域，是基础题．12．【分析】由双曲线的标准方程易知a 、b ，然后通过其性质222c a b =+求得c ，最后由其离心率ce a=得出答案． 【解答】解：由题意知28a =，24b =， 所以22212c a b =+=，则a =，c =所以该双曲线的离心率c e a =． 【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用好双曲线的标准形式是解题的突破口．13．【分析】根据题意，分析圆C 的圆心与半径，将直线l 的方程变形为1(1)y k x +=-，恒过定点(1,1)M -，分析可得M 在圆C 内部，分析可得：当直线l 与CM 垂直时，弦||AB 最小，求出此时||CM 的值，由勾股定理分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆22:4440C x y x y +-++=即22(2)(2)4x y -++=， 圆心C 的坐标为(2,2)-，半径2r =，直线:10l kx y k ---=，即1(1)y k x +=-，恒过定点(1,1)M -， 又由圆C 的方程为22(2)(2)4x y -++=，则点M 在圆内， 分析可得：当直线l 与CM 垂直时，弦||AB 最小，此时||CM =则||AB 的最小值为故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过定点，属于中档题．14．【分析】对于第一空：求出OA 、OB 的坐标，计算可得OA 、OB 的模以及OA OB ⋅的值，由向量夹角公式计算可得答案，对于第二空：分析可得AB OA ⊥，求出AB 的坐标，由向量数量积的计算公式可得(1)2(2)0AB OA m ⋅=-+⨯-=，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)B m ， 则(1,2)OA =，(,0)OB m =，则||5OA =，||OB m =， OA OB m ⋅=，故cos OA <，55||||OA OB OB OA OB ⋅>==， 若B 是以OA 为边的矩形的顶点，而OA 与OB 不垂直，则必有AB OA ⊥， 又由(1,2)AB m =--，则有(1)2(2)0AB OA m ⋅=-+⨯-=，解可得5m =，5． 【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．15．【分析】如图在面11A ABB 建立P 面直角坐标系，设(,)P x y ．(03,03)x y 可得点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，x 221x y =+，对于①可得2211x y =+=，解得1x =，0y =，所以可求得1A P 的长．对于②1112222A P =． 【解答】解：如图在面11A ABB 建立P 面直角坐标系，设(,)P x y ．(03,03)x y点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，x 221x y =+． 对于①可得2211x y =+=，解得1x =，0y =，所以(1,0)P ，所以1A P ==1112222A P ∴．∴当P ，3)2时，1A P ．． 【点评】本题考查考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得()sin(2)3f x x π=++（Ⅰ）令2232x k πππ+=-，k Z ∈，即可得解．（Ⅰ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为2()sin()sin 2f x x x x π++1cos21sin 2sin(2)223x x x π+=+=+，所以()sin(2)663f πππ=⨯+（Ⅰ）令2232x k πππ+=-，k Z ∈，解得512x k ππ=-，k Z ∈，即512x k ππ=-，k Z ∈时函数()f x 1-．（Ⅰ）令222232k x k πππππ-++，k Z ∈，解得51212k x k ππππ-+，k Z ∈，又(,)33x ππ∈-， 则函数()f x 的增区间为(3π-，)12π．【点评】本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，考查了转化思想，属于基础题． 17．【分析】（Ⅰ）利用中位线定理证明1//OE BD ，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅰ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，设1BM k BB =，(01)k ，求出点M 的坐标，然后利用待定系数法求出平面ACE 和MAC 的法向量，由向量的夹角公式列式求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，在正方形ABCD 中，OB OD =，又E 为1DD 的中点， 则1//OE BD ，因为1BD ⊂/平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， 故1//BD 平面ACE ；（Ⅰ）解：不妨设正方体的棱长为2，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则(0A ，0，0)，(0E ，2，1)，(2B ，0，0)，1(2B ，0，2)，(2C ，2，0)，所以(2,2,0),(0,2,1)AC AE ==， 设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =， 则22020n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令2z =，则1y =-，1x =， 故(1,1,2)n =-，设1BM k BB =，(01)k ， 则(0,0,2)BM k =， 故(2M ，0，2)k ，则(2,2,0),(2,0,2)AC AM k ==， 设平面MAC 的法向量为(,,)m a b c =， 则220220m AC a b m AM a kc ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令a k =-，则1c =，b k =， 故(,,1)m k k =-，因为二面角M AC E --的余弦值为所以|cos ,|1m n <>==+， 解得12k =， 所以1BM BB 的值为12．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，二面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题． 18．【分析】（1）由正弦定理得sin sin b A a B =，结合sin cos()6b A a B π=-，求出B ；(II)若选①7b =，由余弦定理可得28150c c -+=，然后求出c 的值；若选②，利用两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，由正弦定理，即可解得c 的值． 【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin b A a B =， 又sin cos(?)6b A a B π=，所以sin cos(?)6a B a B π=，即1sin cos(?)cos cos sin sin sin 6662B B B B B B πππ==++，所以tan B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=；（Ⅰ）选①，7b =，8a =，由（Ⅰ）知3B π=，由余弦定理，得222264491cos 2282a cbc B ac c +-+-===⨯，整理得28150c c -+=，解得3c =或5； 选②，8a =，3B π=，4C π=，故53412A ππππ=--=，所以sin sin()sin cos cos sin 3434A B C ππππ=+=+=，将8a =代入，得1)c =．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）当1a =时，2()x f x e x =-，求其导函数，得到(0)f '，再求出(0)f ，利用直线方程斜截式得答案； （Ⅰ）()2x f x e ax '=-，若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则20x e ax -在(0,)+∞上恒成立，分离参数a ，再利用导数求函数()2xe g x x=的最小值即可求得a 的范围；（Ⅰ）当1a =-时，2()x f x e x =+，()1f x =即21x e x +=，作出两个函数1x y e =-与2y x =-的图象，由图可得方程()1f x =根的个数．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-， 则(0)1f '=，又(0)1f =，∴曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程为1y x =+；（Ⅰ）()2x f x e ax '=-，若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则20x e ax -在(0,)+∞上恒成立，即2x e a x 在(0,)+∞上恒成立，令()2x e g x x =，222()4x xxe e g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ()g x ∴的最小值为g （1）2e=，2e a∴； （Ⅰ）当1a =-时，2()x f x e x =+，()1f x =即21x e x +=， 也就是21x e x -=-，作出两个函数1x y e =-与2y x =-的图象如图：由图可知，方程()1f x =有2个根．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．20．【分析】（Ⅰ）求得c ，a ，b ，可得椭圆方程；（Ⅰ）直线l 的方程为(1)y k x =-，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合直径所对的圆周角为直角，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由焦距和长半轴长都为2，可得1c =，2a =，b ，则椭圆方程为22143x y +=；（Ⅰ）证明：(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-， 联立椭圆方程可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，直线l 过椭圆的焦点，显然直线l 与椭圆相交．设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++， 可令4x =，得1162M y y x =+，即116(4,)2y M x +， 同理可得226(4,)2y N x +，所以116(3,)2y FM x =+，226(3,)2y FN x =+， 又1212369(2)(2)y y FM FN x x =+++22222221212122212121222412836(1)36(1)(1)36[()1]343499941216(2)(2)2()443434k k k k x x k x x x x k k k k x x x x x x k k --+---++++=+=+=+-+++++++++22229363499903634k k k k -+=+=-=+． 所以以MN 为直径的圆恒过点F ．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．21．【分析】（Ⅰ） 根据递推公式列出数列{}n a 中的项，找规律，发现周期性即可得到答案； （Ⅰ） 根据题意分情况进行求解即可得到答案；（Ⅰ）首先证明：一定存在某个i a ，使得6i a 成立，再进行检验即可得到答案． 【解答】（Ⅰ） 解：当110a =时，{}n a 中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，，即数列{}n a 从第四项开始每三项是一个周期，所以312323S a a a =++=，634564217S S a a a -=++=++=， 967894217S S a a a -=++=++=，，33(1)7n n S S --=，所以3237(1)716n S n n =+-=+．（Ⅰ） 解：①若1a 是奇数，则213a a =+是偶数，213322a a a +==， 由317S =，得1113(3)172a a a ++++=，解得15a =，适合题意． ②若1a 是偶数，不妨设*12()a k k N =∈，则122a a k ==． 若k 是偶数，则2322a ka ==，由317S =， 得2172kk k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则33a k =+，由317S =， 得2317k k k +++=，此方程无整数解． 综上，15a =．（Ⅰ）证明：首先证明：一定存在某个i a ，使得6i a 成立． 否则，对每一个*i N ∈，都有6i a >， 则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i aa a +=<．因此，若对每一个*i N ∈，都有6i a >，则1a ，3a ，5a ，单调递减，注意到*n a N ∈，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个i a ，使得6i a 成立．经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1； 当6i a =时，{}n a 中出现3， 综上，{}n a 中总有一项为1或3．【点评】本题主要考查数列中的新定义问题，数列的递推关系及其应用等知识，属于中等题．。
2023-2024学年北京市昌平一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市昌平一中高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．直线√3x −y +2=0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．圆C 1：x 2+y 2﹣6x ＝0与圆C 2：x 2+（y +4）2＝16的位置关系是（ ） A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离3．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →．点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c → B ．−23a →+12b →+12c → C ．12a →+12b →−23c →D ．12a →+23b →−12c →4．若直线x ﹣y +k ＝0与圆x 2+y 2＝1相切，则k 的值为（ ） A ．√2B ．±√2C ．−√2D ．±15．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ．下列结论中正确的是（ ） A ．若直线m ⊥平面α，则m ∥β B ．若平面γ⊥平面α，则γ∥βC ．若直线m ⊥直线l ，则m ⊥βD ．若平面γ⊥直线l ，则γ⊥β6．设“m ＝2”是“直线l 1：2x +（m +1）y +4＝0与直线l 2：mx +3y ﹣6＝0平行”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知直线l ：2x ﹣my +m ﹣4＝0，则下述论断正确的是（ ） A ．直线l 不可能经过坐标原点 B ．直线l 的斜率可能为0C ．直线l 的倾斜角不可能是π2D ．直线l 恒过定点（2，1）8．在正三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝3，P A ＝2，则直线P A 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°9．若圆O ：x 2+y 2＝2上存在点P ，直线l ：y ＝k （x +2）上存在点Q ，使得OP →=QO →，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[﹣2，2]B ．[−√3，√3]C ．[﹣1，1]D ．[−√33，√33]10．棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点P 为线段A 1B 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ）A ．平面A 1D 1P ⊥平面AA 1PB ．四面体D 1﹣B 1CP 的体积是定值C ．△APD 1可能是钝角三角形D ．直线D 1P 与AB 所成的角可能为π6二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市昌平区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含答案解析
北京市昌平区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题(共18 分)1直线√3x−y+2=0的倾斜角为（）A30°B60°C120°D150°【答案】B【分析】先由直线方程求出斜率再由斜率求出直线的倾斜角【详解】解：设直线的倾斜角为α由直线√3x−y+2=0可知其斜率为√3所以tanα=√3因为α∈[0°,180°)所以α=60°故选：B【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角属于基础题2圆C1:x2+y2−6x=0与圆C2:x2+(y+4)2=16的位置关系是（）A相交B内切C外切D相离【答案】A【分析】根据给定条件求出两圆圆心、半径及圆心距再判断两圆位置即可【详解】圆C1:(x−3)2+y2=9的圆心C1(3,0)半径r1=3圆C2:x2+(y+4)2=16的圆心C2(0,−4)半径r2=4显然|C1C2|=√32+42=5∈(r2−r1,r2+r1)所以圆C 1与圆C 2相交故选：A3如图所示空间四边形OABC 中OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =a,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c 点M 在OA 上且OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ N 为BC 中点则MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 等于A 12a −23b +12cB −23a +12b +12cC 12a +12b −23cD 23a +23b −12c【答案】B【详解】 MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ －OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝12 (OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋OC ⃑⃑⃑⃑⃑ )－23 OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝12 (b ＋c)－23a ＝－23a ＋12b ＋12c 4若直线x −y +m =0与圆 x²+y²=1相切则实数m 的值为（ ）A ±√22B ±1C ±√2D ±√3【答案】C【分析】直线与圆相切则有圆心到直线距离等于半径列方程求实数m 的值【详解】圆 x²+y²=1圆心坐标为(0,0)半径为1直线x −y +m =0与圆 x²+y²=1相切则有圆心到直线距离等于半径即d =√12+(−1)2=1解得m =±√2故选：C5已知平面α⊥平面βα∩β=l ．下列结论中正确的是（ ）A 若直线m ⊥平面α则m // βB 若平面γ⊥平面α则γ // βC 若直线m ⊥直线l 则m ⊥βD 若平面γ⊥直线l 则γ⊥ β【答案】D【分析】A利用线面平行的判定定理；B面面垂直没有传递性；C利用面面垂直的性质定理；D利用面面垂直的判定定理；【详解】A若m⊥αα⊥β则m//β或m⊂β故A错误；B若γ⊥αα⊥β则γ//β或γ与β相交故B错误；C若m⊥lα⊥βα∩β=l必须m⊂α利用面面垂直的性质定理可知m⊥β故C错误；D若l⊥γα∩β=l即l⊂β利用面面垂直的判定定理知γ⊥ β故D正确；故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线平面直线的位置关系的判断熟练掌握平行和垂直位置关系的判定和性质是解题的关键属于基础题6“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y−2=0平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项【详解】当m=−1时两直线不平行；当m≠−1时由两直线平行可得−2m+1=−m3且−4m+1≠23解得m=2或m=−3∴“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y−2=0平行”的充分不必要条件故选：A二、多选题(共3 分)7已知直线l:2x−my+m−4=0则下述论断正确的是（）A直线l不可能经过坐标原点B直线l的斜率可能为0C直线l的倾斜角不可能是π2D直线l恒过定点(2,1)【答案】AD 【分析】当m=4时l:y=12x经过坐标原点；若m≠0由斜率k=2m判断B；当m=0斜率不存在从而判断C；将点(2,1)代入直线方程判断D【详解】当m=4时l:y=12x经过坐标原点故A正确；若m≠0直线l的斜率存在且斜率k=2m不可能为0故B错误；若m=0则直线l:x=2的斜率不存在此时直线l的倾斜角是π2故C错误；将点(2,1)代入直线方程得：l:4−m+m−4=0即直线l恒过定点(2,1)故D正确；故选：AD三、单选题(共9 分)8在正三棱锥P−ABC中AB=3PA=2则直线PA与平面ABC所成角的大小为（）A30∘B45∘C60∘D75∘【答案】A【分析】根据正三棱锥的特点可知点P在底面的投影为底面的中心O所以PA与AO的夹角即为PA与平面ABC的夹角然后通过题目所给的棱长解三角形求解即可【详解】如图过点P作PO⊥平面ABC则点O为正三角形ABC的中心连接AO并延长交BC于点D则点D为BC的中点根据直线与平面夹角的概念可知PA与平面ABC的夹角的平面角为∠PAO因为AB=3则AD=√32AB=3√32所以AO=23AD=√3又因为PA=2所以cos∠PAO=AOAP =√32故角∠PAO=30∘故选：A【点睛】利用定义法求解直线与平面间的夹角问题时要注意找到斜线在面内的投影斜线与斜线在平面内投影的夹角即为线面夹角9若圆O:x 2+y 2=2上存在点P 直线l:y =k (x +2)上存在点Q 使得 OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =QO⃑⃑⃑⃑⃑⃑ , 则实数k 的取值范围为（ ）A [−2,2]B [−√3,√3]C [−1,1]D [−√33,√33] 【答案】C【分析】由OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =QO⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 判断出直线和圆有公共点利用圆心到直线的距离小于或等于半径列不等式解不等式求得k 的取值范围【详解】由于OP⃑⃑⃑⃑⃑ =QO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 即PQ 是圆O 的直径因此直线l 和圆O 有公共点 于是圆心O (0,0)到直线kx −y +2k =0的距离√1+k 2≤√2解得−1≤k ≤1所以实数k 的取值范围为[−1,1]故选：C10棱长为1的正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中若点P为线段A₁B上的动点(不含端点)则下列结论错误的是（）A平面A₁D₁P⊥平面AA₁P B四面体D₁−B₁CP的体积是定值C△APD1可能是钝角三角形D直线D₁P与AB所成的角可能为π6【答案】D【分析】通过线面垂直证明面面垂直判断选项A；利用等体积法由底面积和高都为定值得四面体体积为定值判断选项B；利用余弦定理得到∠D1PA可能为钝角判断选项C；利用线线角的范围判断选项D 【详解】在正方体ABCD−A1B1C1D1中P为线段A1B上的动点（不含端点）D1A1⊥A1B1D1A1⊥A1AA1B1∩A1A=A1A1B1A1A⊂平面AA1P∴D1A1⊥平面AA1P∵D1A1⊂平面A1D1P∴平面A1D1P⊥平面AA1P故A正确；连接CD1,B1D1,B1P,B1C,PC因为BP//CD1BP⊂平面B1D1CCD1⊂平面B1D1C所以BP//平面B1D1C因此四面体P−B1D1C的底面是确定的高也是定值其体积为定值所以四面体D₁−B₁CP的体积是定值故B正确；因为正方体的棱长为1所以AD1=A1B=√2若P 是A 1B 上靠近A 1的一个四等分点则A 1P =14A 1B =√24 所以D 1P 2=A 1D 12+A 1P 2=1+(√24)2=98 此时AP 2=AA 12+A 1P 2−2AA 1⋅A 1P ×cos45°=12+(√24)2−2×1×√24×√22=58 因为D 1P 2+AP 2<AD 12此时∠D 1PA 为钝角△APD 1是钝角三角形故C 正确；过P 点作PQ//AB 交A 1A 于Q正方体中AB ⊥平面ADD 1A 1则PQ ⊥平面ADD 1A 1D 1Q ⊂平面ADD 1A 1PQ ⊥D 1Q 直线D₁P 与AB 所成的角为∠D 1PQ设PQ =x 则0<x <1有A 1Q =xD 1Q =√x 2+1Rt △D 1PQ 中tan∠D 1PQ =D 1Q PQ =√x 2+1x =√1+1x 2>√2 而tan π6=√33<√2故D 错误故选：D四、填空题(共 18 分)11设平面α，β的法向量分别为 m ⃑⃑ =(1,−2,3),n ⃑ =(−3,y,z ).若 α∥β,则 y +z =________【答案】−3【分析】由面面平行得到法向量共线再利用向量的共线定理即可解决【详解】因为α∥β,所以m ⃑⃑ //n ⃑ 可得m ⃑⃑ =λn ⃑又m ⃑⃑ =(1,−2,3),n ⃑ =(−3,y,z ).{1=−3λ−2=λy 3=λz 可得{λ=−13y =6z =−9则y +z =−3故答案为：−312在空间直角坐标系Oxyz 中已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),D(0,0,1)则直线AD 与BC 所成角的大小是___．【答案】60°【分析】利用空间向量求夹角公式直接求解【详解】∵A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2), D(0,0,1)∴ BC⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−2,2), AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0,1) ∴cos⟨AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |AD ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√02+(−2)2+22⋅√02+(−1)2+12=22√2⋅√2=12 又空间中两直线夹角范围为(0∘,90∘]故⟨AD⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=60∘ 所以直线AD 与BC 所成角的大小是60°故答案为：60°13设直线l 过点(−4,0)其倾斜角的余弦值为45则直线l 的方程为________________【答案】3x −4y +12=0【分析】根据三角函数同角的三角函数关系求得直线的斜率根据直线过的点可得直线点斜式方程化为一般式即得答案【详解】设直线l 的倾斜角为θ,θ∈[0,π)则cosθ=45,∴sinθ=35,tanθ=34即直线的斜率为34由直线l 过点(−4,0)得直线方程为y −0=34(x +4)即3x −4y +12=0故答案为：3x −4y +12=014在空间直角坐标系Oxyz 中若点A (−1,3,1),B (−1,3,4),D (1,1,1)且AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |的值为__________【答案】2√3【分析】先利用空间向量的线性运算求出点P 的坐标然后利用向量模的计算公式即可求出结果【详解】设点P (x,y,z )因为AP⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ A (−1,3,1),B (−1,3,4) 所以(x +1,y −3,z −1)=2(−1−x,3−y,4−z )则{x +1=2(−1−x )y −3=2(3−y )z −1=2(4−z )解得{x =−1y =3z =3 即P (−1,3,3)又D (1,1,1)所以PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−2,−2)所以|PD⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√3 故答案为：2√315在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中所有棱长均为1且∠BAA 1=∠DAA 1=60°, AB ⊥AD 则线段 AC 1的长度为____________【答案】√5【分析】利用AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 然后平方转化为向量的数量积计算；【详解】AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5 ∴AC 1=|AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5故答案为：√516数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线曲线G ：(|x |−1)2+(|y |−1)2=2就是其中之一．给出下列四个结论：①曲线G 有且仅有四条对称轴；②曲线G 上任意两点之间的距离的最大值为6；③曲线G 恰好经过9个整点(即横坐标、纵坐标均为整数的点)；④曲线G 所围成的区域的面积为8+4π．其中所有正确结论的序号是_____________．【答案】∴∴∴【分析】先根据题意画出曲线G根据圆的性质可得曲线G有且仅有x轴y轴直线y=x直线y=−x四条对称轴进而即可判断∴；由图象可知当曲线G上的两点在直线y=x直线y=−x上时其之间的距离的最大值进而即可可判断∴；分别令x=0x=±1x=±2可得到9个整点的坐标再进而说明当|x|≥3时不存在这样的点即可判断∴；根据图象可得曲线G由四个半径为√2的半圆所围成的区域再根据S=S正方形+4×S半圆即可判断∴正确．【详解】由(|x|−1)2+(|y|−1)2=2当x≥0y≥0时(x−1)2+(y−1)2=2则其图象为以(1,1)为圆心√2为半径在第一象限的半圆弧及点(0,0)(0,2)(2,0)；当x<0y≥0时(x+1)2+(y−1)2=2则其图象为以(−1,1)为圆心√2为半径在第二象限的半圆弧及点(−2,0)；当x<0y<0时(x+1)2+(y+1)2=2则其图象为以(−1,−1)为圆心√2为半径在第三象限的半圆弧；当x≥0y<0时(x−1)2+(y+1)2=2则其图象为以(1,−1)为圆心√2为半径在第四象限的半圆弧及点(0,−2)；则曲线G如下图对于∴根据圆的性质可得曲线G有且仅有x轴y轴直线y=x直线y=−x四条对称轴故∴正确；对于∴由图象可知当曲线G上的两点在直线y=x直线y=−x上时其之间的距离的最大值且最大值为2d=4√2故∴错误；对于∴令x=0则(|y|−1)2=1解得y=0或y=±2可得点(0,0)(0,−2)(0,2)；令x=±1则(|y|−1)2=2显然y无整数解；令x=±2则(|y|−1)2=1解得y=0或y=±2可得点(−2,0)(2,0)(−2,−2)(−2,2)(2,−2)(2,2)；令|x|≥3(|x|−1)2+(|y|−1)2≥4>2显然不成立所以曲线G恰好经过9个整点故∴正确；对于∴根据图象可得曲线G由四个半径为√2的半圆所围成的区域所以其面积为S=S正方形+4×S半圆=(2√2)2+π×(√2)2÷2×4=8+4π故∴正确．故答案为：∴∴∴．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将曲线G：(|x|−1)2+(|y|−1)2=2分四种情况：∴x≥0y≥0；∴x<0y≥0；∴x<0y<0；∴x≥0y<0再画出图象即可求解．五、解答题(共6 分)已知△ABC的三个顶点分别是A(1,3),B(3,1),C(−1,0)17 求边AB所在直线的方程以及这条边上的高所在直线的方程；18 求△ABC的面积【答案】17 x+y−4=0x−y+1=0；18 5【分析】（1）求出直线AB的斜率然后利用点斜式方程可得出直线AB及边AB上的高所在直线的方程（2）求出|AB|并利用点到直线的距离公式求出点C到直线AB的距离然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积【17题详解】依题意直线AB的斜率为k AB=3−11−3=−1所以边AB所在直线的方程为y−3=−(x−1)即x+y−4=0边AB上的高CD所在直线的斜率为1方程为y−0=x+1即x−y+1=0【18题详解】由两点间的距离公式得|AB|=√(1−3)2+(3−1)2=2√2点C到直线AB的距离|CD|=√12+12=5√22所以△ABC的面积为S△ABC=12|AB|⋅|CD|=12×2√2×5√22=5六、其它(共3 分)19如图在三棱柱ABC−A1B1C1中四边形AA1C1C是边长为4的正方形AB=3再从条件∴､条件②､条件∴中选择两个能解决下面问题的条件作为已知并作答（1）求证：AB⊥平面AA1C1C；（2）求直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值条件∴：BC=5；条件∴：AB⊥AA1；条件∴：平面ABC⊥平面AA1C1C【答案】条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）1225【分析】选择∴∴：（1）根据勾股定理可得AB⊥AC再由AB⊥AA1利用线面垂直的判定定理可得AB⊥平面AA1C1C；选择∴∴：（1）根据勾股定理可得AB⊥AC再由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面AA 1C 1C（2）以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz 求出平面A 1BC 1的一个法向量根据sinθ=|cos <BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >| 【详解】 解：选择∴∴：（1）因为AC =4AB =3BC =5 所以AB ⊥AC又因为AB ⊥AA 1AC ∩AA 1=A 所以AB ⊥平面AA 1C 1C选择∴∴：（1）因为AC =4AB =3BC =5 所以AB ⊥AC又因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C 平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC 所以AB ⊥平面AA 1C 1C（2）由（1）知AB ⊥ACAB ⊥AA 1 因为四边形AA 1C 1C 是正方形所以AC ⊥AA 1 如图以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz 则A(0,0,0)B(3,0,0)C(0,0,4)A 1(0,4,0)C 1(0,4,4)A 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,−4,0)A 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,4)BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−3,0,4)设平面A 1BC 1的一个法向量为n ⃑ =(x,y,z) 则{n ⃑ ⋅A 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,n ⃑ ⋅A 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0, 即{3x −4y =0,4z =0.令y =3则x =4z =0所以n ⃑ =(4,3,0) 设直线BC 与平面A 1BC 1所成角为θ则sinθ=|cos <BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⋅n ⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ||n ⃑ |=1225所以直线BC 与平面A 1BC 1所成角的正弦值为1225 【点睛】 思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法具体步骤为：（1）建坐标系建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标注意坐标不能出错 （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量 （4）利用法向量求距离、线面角或二面角 七、解答题(共 27 分)已知圆 C:(x −1)2+y 2=9内有一点P (2,2)过点P 作直线l 交圆C 于A,B 两点 20 当直线l 经过圆心时求直线l 的方程； 21 当点P 平分弦AB 时求直线l 的方程； 22 当弦长|AB |=4√2时求直线l 的方程 【答案】20 2x −y −2=0 21 x +2y −6=0 22 x −2=0或3x −4y +2=0 【分析】（1）求出圆的圆心代入直线方程求出直线的斜率即可求直线l 的方程； （2）当弦AB 被点P 平分时求出直线的斜率即可写出直线l 的方程；（3）根据题意先利用弦长和半径求出圆心到直线的距离再对斜率进行分类假设直线方程求圆心到直线的距离从而得直线方程 【20题详解】圆心C(1,0)则直线l 的斜率为2−02−1=2所以直线l 的方程为y −0=2(x −1)即2x −y −2=0 【21题详解】当弦AB 被点P 平分时l ⊥PC 则直线l 的斜率为−12所以直线l的方程为y−2=−12(x−2)即x+2y−6=0．【22题详解】圆C的半径r=3设圆心到l的距离d则弦长|AB|=2√r2−d2=4√2解得d=√r2−8=1当直线l斜率不存在时则直线l的方程为x−2=0d=1满足条件当直线l斜率存在时设斜率为k则直线l的方程为y−2=k(x−2)整理得kx−y−2k+2=0d=√k2+1=√k2+1=1整理得k2+1=(−k+2)2解得k=34故直线l的方程为y−2=34(x−2)即3x−4y+2=0综上所述直线l的方程为x−2=0或3x−4y+2=0如图AE⊥平面ABCD,AE//CF,AD//BC,AD⊥AB,AB=AD=1AE=BC=223求证:BF//平面ADE;24求二面角E−BD−C的余弦值;25若点E到平面BDF的距离为3√22,求三棱锥C−BDF的体积【答案】23 详见解析；24 −13 25 16 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到BC//平面ADE CF//平面ADE 再利用面面平行的判定定理和性质定理证明；（2）建立空间直角坐标系求得平面BDE 的一个法向量为m ⃑⃑ =(x 1,y 1,z 1)易知平面BDC 的一个法向量为n ⃑ =(0,0,1)由cos ⟨m ⃑⃑ ,n ⃑ ⟩=m⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |m ⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |求解； （3）设F (1,2,ℎ)求得平面BDF 的一个法向量为t=(x 2,y 2,z 2)由点E 平面BDF 的距离为d =|m ⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ||t|=3√22求得h 再由等体积法求解【23题详解】证明：因为AD//BC,BC ⊄平面ADE AD ⊂平面ADE 所以BC//平面ADE 同理可证CF//平面ADE又BC ∩CF =C 所以平面BCF//平面ADE 又BF ⊂平面BCF 所以BF//平面ADE ； 【24题详解】建立如图所示空间直角坐标系：则B (1,0,0),D (0,1,0),E (0,0,2)所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1,0),BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0,2)设平面BDE 的一个法向量为m ⃑⃑ =(x 1,y 1,z 1)则{m ⃑⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0m ⃑⃑ ⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 即{−x 1+y 1=0−x 1+2z 1=0令x 1=1则y 1=1,z 1=12所以m ⃑⃑ =(1,1,12)易知平面BDC 的一个法向量为n ⃑ =(0,0,1) 则cos ⟨m ⃑⃑ ,n ⃑ ⟩=m⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |m ⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=12√1+1+(12)2=13易知二面角E −BD −C 的平面角为钝角所以二面角E −BD −C 的余弦值为−13 【25题详解】设F (1,2,ℎ)则BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,ℎ)设平面BDF 的一个法向量为t =(x 2,y 2,z 2) 则{t ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0t ⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 即{−x 2+y 2=02y 2+ℎz 2=0 令x 2=1则y 2=1,z 2=−2ℎ所以t=(1,1,−2ℎ) 则点E 到平面BDF 的距离为d =|BE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅t ||t|=|−1−4ℎ|√1+1+(−2ℎ)2=3√22即 4ℎ2−4ℎ+1=0解得 ℎ=12所以V C−BDF =V F−BDC =13×12×BC ×AB ×CF =13×12×2×1×12=16在平面直角坐标系xOy 中定义A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)两点间的“直角距离”为 ρ(A,B )=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|26 填空：(直接写出结论)①若A (1,−1),B (2,3) 则 ρ(A,B )= ；②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ；③记到M (-10)N (10)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G 则曲线G 所围成的封闭图形的面积的值为 ；27 设点A (10) 点B 是直线 l:x −√2y +2=0上的动点求ρ(AB )的最小值及取得最小值时点B 的坐标；28 对平面上给定的两个不同的点A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)是否存在点C (xy ) 同时满足下列两个条件： ①ρ(A,C )+ρ(C,B )=ρ(A,B )； ②ρ(A,C )=ρ(C,B ).若存在求出所有符合条件的点的集合；若不存在请说明理由 【答案】26 5；|x |+|y |=1；6 27 最小值为3√22点B 的坐标为(1,3√22) 28 {(x,y )|x +y =12(x 1+x 2+y 1+y 2),x 1≤x ≤x 2,y 1≤y ≤y 2}∪ {(x,y )|x −y =12(x 1+x 2−y 1−y 2),x 1≤x ≤x 2,y 1≤y ≤y 2}∪ {(x 1,y 1+y 22),(x 1+x 22,y 1)}【分析】（1）①代入定义即可得出答案；②设P (x,y )是轨迹上任意一点根据定义列出式子化简即可得出答案；③根据定义化简得出|x +1|+|x −1|+2|y |=4分情况去绝对值作出函数的图象进而得出答案；（2）设B(x0,y0)则x0−√2y0+2=0得出ρ(A,B)=|√2y0−3|+|y0|然后分情况讨论去掉绝对值得出表达式进而逐段求解即可得出最小值；（3）分当x1=x2y1≠y2时当x1≠x2y1=y2时当x1≠x2y1=y2时等情况分别讨论得出满足条件的点C即可得出答案【26题详解】①根据定义可得ρ(A,B)=|1−2|+|−1−3|=5；②设P(x,y)是轨迹上任意一点由已知可得ρ(P,O)=1根据定义可得|x|+|y|=1所以到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是|x|+|y|=1；③设Q(x,y)曲线G上任意一点由已知可得ρ(Q,M)+ρ(Q,N)=4所以有|x+1|+|y−0|+|x−1|+|y−0|=4整理可得|x+1|+|x−1|+2|y|=4（∴）当x<−1时该式可化为−(x+1)+−(x−1)+2|y|=4即x−|y|+2=0当x<−1且y<0时为x+y+2=0；当x<−1且y≥0时为x−y+2=0；（∴）当−1≤x≤1时该式可化为x+1−(x−1)+2|y|=4整理可得|y|=1即y=±1；（∴）当x>1时该式可化为x+1+x−1+2|y|=4整理可得x+|y|−2=0当x>1且y<0时为x−y−2=0；当x>1且y≥0时为x+y−2=0；作出曲线G满足的图象所以曲线G 所围成的封闭图形的面积的值为12×2×1+2×2+12×2×1=6 故答案为：5；|x |+|y |=1；6 【27题详解】设B (x 0,y 0)则x 0−√2y 0+2=0所以x 0=√2y 0−2 所以ρ(A,B )=|x 0−1|+|y 0−0|=|√2y 0−3|+|y 0| 当y 0<0时有ρ(A,B )=3−√2y 0−y 0>3； 当0≤y 0<3√22时有ρ(A,B )=3−√2y 0+y 0=3−(√2−1)y 0 >3−(√2−1)×3√22=3√22； 当y 0≥3√22时有ρ(A,B )=√2y 0+y 0−3≥(√2+1)×3√22−3=3√22综上所述当y 0=3√22时ρ(A,B )有最小值3√22此时x 0=√2×3√22−2=1所以ρ(A,B )的最小值为3√22取得最小值时点B 的坐标为(1,3√22) 【28题详解】（∴）当x 1=x 2y 1≠y 2时由条件②可得|x −x 1|+|y −y 1|=|x 2−x |+|y 2−y | 即有|y −y 1|=|y 2−y | 因为y 1≠y 2所以y =y 1+y 22由条件①可得|x −x 1|+|y −y 1|+|x 2−x |+|y 2−y |=|x 1−x 2|+|y 1−y 2| 所以有2|x −x 1|+2|y −y 1|=|y 1−y 2| 又|y −y 1|=|y 1−y 22|所以有|x −x 1|=0所以x =x 1 因此所求的点C 为(x 1,y 1+y 22)；（ⅱ）当x1≠x2y1=y2时由（∴）同理可得所求的点C为(x1+x22,y1)；（∴）当x1≠x2y1=y2时不妨设x1<x2①若y1<y2ρ(A,C)=|x−x1|+|y−y1|ρ(A,B)=|x2−x1|+|y2−y1|ρ(C,B)=|x2−x|+|y2−y|所以ρ(A,C)+ρ(C,B)=|x−x1|+|y−y1|+|x2−x|+|y2−y|=(|x−x1|+|x2−x|)+ (|y−y1|+|y2−y|)≥|(x−x1)+(x2−x)|+|(y−y1)+(y2−y)|=|x2−x1|+|y2−y1|=ρ(A,B)当且仅当(x−x1)⋅(x2−x)≥0与(y−y1)⋅(y2−y)≥0同时成立所以有x1≤x≤x2且y1≤y≤y2从而由条件②可得x+y=12(x1+x2+y1+y2)此时所求的点C的全体为{(x,y)|x+y=12(x1+x2+y1+y2),x1≤x≤x2,y1≤y≤y2}；②若y1>y2由条件①可得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2从而由条件②可得x−y=12(x1+x2−y1−y2)此时所求的点C的全体为{(x,y)|x−y=12(x1+x2−y1−y2),x1≤x≤x2,y1≤y≤y2}综上所述所有符合条件的点的集合为{(x,y)|x+y=12(x1+x2+y1+y2),x1≤x≤x2,y1≤y≤y2}∪{(x,y)|x−y=12(x1+x2−y1−y2),x1≤x≤x2,y1≤y≤y2}∪{(x1,y1+y22),(x1+x22,y1)}【点睛】关键点点睛：根据定义得出关系式后根据未知量的范围分类讨论去掉绝对值化简求解。
2021-2022学年北京市昌平一中高二(上)月考数学试卷(9月份)(附答案详解)
2021-2022学年北京市昌平一中高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1. 下列命题正确的是( )A. 若a ⃗ =(1,−2,−1)，b ⃗ =(−2,4,2)，则a ⃗ //b ⃗B. 若a ⃗ =(1,−2,−1)，b ⃗ =(−2,4,2)，则a ⃗ ⊥b ⃗C. 若a ⃗ =(1,−2,2)，b ⃗ =(2,−4,1)，则a ⃗ //b ⃗D. 若a ⃗ =(1,−2,2)，b ⃗ =(2,−4,1)，则a ⃗ ⊥b ⃗ 2. 已知A(1,1,1)，B(−3,1,5)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( ) A. 4 B. 4√2 C. 5 D. 5√23. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2)，则平面ABC 的一个法向量可以是( ) A. (3,−1,−2) B. (−4,2,2) C. (5,1,−2) D. (5,−2,1)4. 在空间直角坐标系中，O(0,0,0)，A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,5)，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( )A. 0B. 1C. 2D. 35. 若a ⃗ =(1,λ,2)，b ⃗ =(2,−1,2)，c ⃗ =(1,4,4)，且a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 共面，则λ=( ) A. 1 B. −1 C. 1或2 D. ±16. 已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A 到直线BC 的距离为( )A. 2√23B. 1C. √2D. 2√27. 如图，空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，点M 是OA 的中点，点N 在BC 上，且CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ +z c ⃗ ，则x ，y ，z 的值为( )A. 12 , 13, 23 B. 12 , 23, 13 C. −12 , 23, 13 D. −12 , 13, 238. 若向量a ⃗ =(1,λ,2)，b ⃗ =(2,−1,2)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角余弦值为89，则λ等于( ) A. 2 B. −2C. −2或255D. 2或−2559. 己知正四棱锥S −ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成角的余弦值为( )A. √23B. √23C. √33D. 2310. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AB ，BB 1的中点，点P 在对角线CA 1上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是( )A. 线段CA 1的三等分点，且靠近点A 1B. 线段CA 1的中点C. 线段CA 1的三等分点，且靠近点CD. 线段CA 1的四等分点，且靠近点C二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知a ⃗ =(2,−1,3)，b ⃗ =(−3,y,4)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则y =______． 12. a ⃗ =(1,−3,1)，b ⃗ =(−1,1,−3)，则|a ⃗ −b ⃗ |=_________． 13. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为BB 1的中点，则异面直线BC 1与D 1E 所成的角为______．14. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，AB =2，AD =1，AA 1=√3，在所有的面对角线所在直线中，与平面ABB 1A 1所成的角为π6的面对角线可以是直线______． 15. 直线l 与平面α所成的角为π6，且AB 是直线l 上两点，线段AB 在平面α内的射影长为3，则AB =______．16. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 是左侧面ADD 1A 1上的一个动点，满足BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共70.0分）17.已知向量a⃗=(1,2,−2)，b⃗ =(−2,−4,4)，c⃗=(2,x,−4)．(1)若a⃗//c⃗，求|c⃗|；(2)若b⃗ ⊥c⃗，求c⃗在a⃗方向上的投影的数量．18.如图，四边形ABCD为正方形，MA//PB，MA⊥BC，AB⊥PB，MA=1，AB=PB=2．(Ⅰ)求证：PB⊥平面ABCD；(Ⅱ)求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．19.在四棱锥P−ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD//BC，AD=CD=2BC=2，O，F分别为棱AD，PB的中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求平面ACF与平面PAD所成锐二面角的大小．20.设n为正整数，集合A={α|α=(t1,t2,…t n)，t k∈{0,1}，k=1，2，…，n}，对于[(x1+集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…y n)，记M(α,β)=12 y1−|x1−y1|)+(x2+y2−|x2−y2|)+⋯+(x n+y n−|x n−y n|)]．(Ⅰ)当n=3时，若α=(1,1,0)，β=(0,1,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M(α,β)是奇数；当α，β不同时，M(α,β)是偶数．求集合B中元素个数的最大值；(Ⅲ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M(α,β)=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：若a ⃗ =(1,−2,−1)，b ⃗ =(−2,4,2)，由b ⃗ =−2a ⃗ ，可得a ⃗ //b ⃗ ，故A 正确、而B 不正确；若a ⃗ =(1,−2,2)，b ⃗ =(2,−4,1)，由12=−2−4≠21，可得a ⃗ 与b ⃗ 不平行，故C 错误； 由a ⃗ ⋅b ⃗ =2+8+2=12≠0，可得a ⃗ 与 b ⃗ 不垂直，故D 错误， 故选：A ．由题意利用两个向量平行垂直、垂直的性质，两个向量的的数量积公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查两个向量平行垂直、垂直的性质，两个向量的的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：A(1,1,1)，B(−3,1,5)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−3−1)2+(1−1)2+(5−1)2=4√2． 故选：B ．利用两点间距离公式直接求解．本题考查两点间距离的求法，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查平面的法向量的求法，是基础题，解题时要认真审，注意法向量的性质的合理运用．设平面ABC 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，由向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2)，列出方程组，能求出结果． 【解答】解：设平面ABC 的一个法向量n⃗ =(x,y,z)， ∵向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2)， ∴{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2y +z =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−x +y −2z =0，取y =1，得n⃗ =(5,1,−2)． 故选C ．4.【答案】D【解析】解：因为O(0,0,0)，A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,5)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−4,5)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×1+3×(−4)+3×5=3． 故选：D ．由空间向量的坐标运算及数量积运算即可求解．本题主要考查空间向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】 【试题解析】 【分析】本题考查了空间向量的共面定理，属于基础题．向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 共面，存在实数m ，n 使得c ⃗ =m a ⃗ +n b ⃗ ，即可得出． 【解答】解：向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 共面，又a ⃗ 与b ⃗ 不共线， ∴存在实数m ，n 使得c ⃗ =m a ⃗ +n b ⃗ ， ∴{1=m +2n4=λm −n 4=2m +2n ，解得λ=1． 故选A ．6.【答案】A【解析】解：∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)， AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−2)， ∴点A 到直线BC 的距离为：d =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |√1−(cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >)2 =1×√1−(−11×3)2=2√23． 故选：A ．推导出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−2)，点A 到直线BC 的距离为：d =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |√1−(cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >)2，由此能求出结果．本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．7.【答案】C【解析】解：MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：C ．利用向量的加法，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用中点公式代入． 考查向量的加法原理，向量共线等，基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意向量a ⃗ =(1,λ,2)，b ⃗ =(2,−1,2)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角余弦值为89， 故有cos <a ⃗ ，b ⃗ >=a⋅b|a||b|=3√λ2+5=89， 解得：λ=−2或255． 故应选C ．用向量的内积公式建立方程，本题中知道了夹角的余弦值为89，故应用内积公式的变形来建立关于参数λ的方程求λ．本题考查向量的数量积公式，属于基本知识应用题，难度一般较低．9.【答案】C【解析】解：由于正四棱锥S−ABCD的侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a．取SC的中点F，连接EF，则EF//BC，EF=12BC，取AD的中点H连接HF则可得EF//HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE//HF．再取DC中点G，连接HG，则FG//SD，所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角．∵HF=AE=√32a，FG=12a，HG=√DH2+DG2=√22a，∴cos∠HFG=HF2+FG2−HG22HF⋅FG =√33>0．即AE、SD所成的角的余弦值为√33．故选C．根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF//HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE//DF，又根据中点的性质可得FG//SD 从而将异面直线转化为了相交直线，即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．本题主要考查了异面直线所成的角．解题的关键是要紧紧抓住利用平行的传递性(通常利用平行四边形的性质或中位线定理)将异面直线转化为相交直线然后在三角形中利用余弦定理求解(要注意的是利用于余弦值的正负判断是这个角还是这个角的补角)．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查点的位置判断，考查空间中两点之间的距离，考查运算求解能力，是中档题．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出△PMN的面积取得最小值时，P为CA1的中点．【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P 为A 1C 上的动点， 设P(λ,λ,1−λ)，其中0≤λ≤1，M(12,0,0)，N(1,0,12)， |PM|=√(λ−12)2+λ2+(1−λ)2=√3λ2−3λ+54，|PN|=√(λ−1)2+λ2+(1−λ−12)2=√3λ2−3λ+54， ∴|PM|=|PN|，△PMN 为等腰三角形，底边|MN|=√22，设底边MN 上的高为ℎ，则有ℎ=√|PM|2−(|MN|2)2=√|PM|2−18．∵3λ2−3λ+54=3(λ−12)2+12，∴λ=12时△PMN 的面积取得最小值， 此时P 为CA 1的中点． 故选：B ．11.【答案】6【解析】解：∵a ⃗ =(2,−1,3)，b ⃗ =(−3,y,4)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−6−y +12=6−y =0， 解得y =6． 故答案为：6．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】6【解析】【分析】本题考查了空间向量的坐标运算与求模长的应用问题，是基础题目．根据空间向量的坐标运算，求出a⃗−b⃗ ，再求它的模长．解：∵a⃗=(1,−3,1)，b⃗ =(−1,1,−3)，∴a⃗−b⃗ =(2,−4,4)，∴|a⃗−b⃗ |=√22+(−4)2+42=6．故答案为：6．13.【答案】45°【解析】解：如图，连接AD1，AE，由AB//D1C1，AB=D1C1，得四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1//BC1，则∠AD1E为异面直线BC1与D1E所成的角，∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为BB1的中点，∴AD1=2√2，AE=√5，D1E=√(2√2)2+12=3，则cos∠AD1E=2×2√2×3=√22，则∠AD1E=45°．∴异面直线BC1与D1E所成的角为45°．故答案为：45°．证明AD1//BC1，得∠AD1E为异面直线BC1与D1E所成的角，再由已知求解三角形得答案．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】A1D或AD1或BC1或B1C.【解析】解：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,AA1=√3，∴如上图，面对角线A1D=AD1=BC1=B1C=2，则有∠DA1A=∠D1AA1=∠CB1B=∠C1BB1=π6，∴A1D，AD1，BC1，B1C与面ABB1A1所成的角为π6．故答案为：A1D或AD1或BC1或B1C.利用长方体的性质，结合已知线段的长度可得面对角线A1D=AD1=BC1=B1C=2，即它们与面ABB1A1的夹角均为π6，可确定符合要求的直线．本题主要考查线面角及其计算，开放性问题的处理等知识，属于中等题．15.【答案】2√3【解析】解：如图所示，过点B作BC⊥面α于点C，则AB=ACcosπ6=3√32=2√3，故答案为：2√3．根据线面角的定义作出线面角，然后进行计算即可确定其距离．本题主要考查线面角的定义及其应用，属于基础题．16.【答案】60°【解析】解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵M 是左侧面ADD 1A 1上的一个动点， ∴设点M(x,0,z)，其中0≤x ≤1，0≤z ≤1， ∴B(1,1,0)，C 1(0,1,1)，∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,−1,z)， ∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−x +z =1，即x =z ， 设BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cosθ=BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√(x−1)2+1+z2=2√x 2−x+1，设f(x)=x 2−x +1，∴f(x)在[0,12]上单调递减，在(12,1]上单调递增， ∴f(x)max =f(0)=1，f(x)min =f(12)=34， ∴12≤cosθ≤√33， ∴θ的最大值为60°． 故答案为：60°．以D 为原点建立空间直角坐标系，设点M(x,0,z)，由BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，知x =z ，再结合空间向量数量积的运算表示出cosθ，然后根据二次函数的图象与性质，得解．本题考查利用向量法求异面直线所成角的余弦值，考查空间立体感、运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a ⃗ //c ⃗ ，所以存在使得a ⃗ =λc ⃗ ， 即(1,2,−2)=λ(2,x,−4)，所以{1=2λ2=xλ−2=−4λ，解得x =4，λ=12，则c⃗ =(2,4,−4)，所以|c ⃗ |=√4+16+16=6；(2)因为b ⃗ ⊥c ⃗ ，所以b ⃗ ⋅c ⃗ =0，即−4−4x −16=0，解得x =−5， 所以c⃗ =(2,−5,−4)， 则c⃗ 在a ⃗ 方向上的投影的数量为|c ⃗ |cos <a ⃗ ,c ⃗ >=a ⃗ ⋅c ⃗ |a ⃗ |=2−10+83=0．【解析】(1)利用空间向量共线定理，列式求解c⃗ ，然后利用模的定义求解即可； (2)利用向量垂直的充要条件，求出c ⃗ ，然后由向量投影的定义求解即可．本题考查了空间向量的坐标运算，主要考查了空间向量共线的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、向量投影的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．18.【答案】证明：(Ⅰ)因为MA ⊥BC ，MA//PB ，所以PB ⊥BC ， 因为AB ⊥PB ，AB ∩BC =B ， 所以PB ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)解：因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB ⊥AB ，PB ⊥AD ．因为四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ． 如图建立空间直角坐标系B −xyz ， 则P(0,0,2)，M(2,0,1)，C(0,2,0)，D(2,2,0)， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1)． 设平面PDM 的法向量为μ⃗ =(x,y,z)， 则{μ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0μ⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +2y −2z =0,2x −z =0.令z =2，则x =1，y =−1.于是u =(1,1,2)． 平面PDM 的法向量为μ⃗ =(1,1,2)． 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以sinθ=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅μ⃗⃗ ||PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|μ⃗⃗ |=√36． 所以直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为√36．【解析】(Ⅰ)推导出PB ⊥BC ，AB ⊥PB ，由此能证明PB ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)推导出PB ⊥AB ，PB ⊥AD.AB ⊥BC.建立空间直角坐标系B −xyz ，利用向量法能求出直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)证明：∵△PAD为等边三角形，O为棱AD的中点，∴OP⊥AD，∵CD⊥平面PAD，OP⊂平面PAD，∴CD⊥OP，又AD∩CD=D，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD；(2)如图，连接OB交AC于点E，取OP中点M，连接MF，EF，∵AD=2BC，O为AD中点，AD//BC，∴OA−//BC，则△AOE∽△CBE，∴OEBE =OABC=AECE=1，又M，F分别为OP，PB中点，∴MF−//12OB，则MF−//OE，∴四边形OMFE为平行四边形，则OM−//EF，且由(1)知，EF⊥平面ABCD，又O，E分别为AD，AC中点，∴OE//CD，∴OE⊥平面PAD，∴MF⊥平面PAD，设平面ACF与平面PAD所成锐二面角为θ，则cosθ=S△ADMS△ACF =12×AD×OM12×AC×EF=ADAC=√22，∴θ=π4，即平面ACF与平面PAD所成锐二面角的大小为π4．【解析】(1)由OP⊥AD及CD⊥OP，结合线面垂直的判定定理容易得证；(2)连接OB交AC于点E，取OP中点M，连接MF，EF，容易证明MF⊥平面PAD，然后利用射影法求解即可．本题考查线面垂直的判定以及二面角的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意，当n=3时，若α=(1,1,0)，β=(0,1,1)，则M(α,α)=1+1+0=2，M(α,β)=0+1+0=1．(Ⅱ)考虑数对(x k,y k)只有四种情况：(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)，相应的x k+y k−|x k−y k|分2别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素)：(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)，(0,1,1,1)、(1,0,1,1)、(1,1,0,1)、(1,1,1,0)，对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M(α,β)是偶数，所以四元集合B={(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)}满足题意，假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M(α,β)=1不合题意，故B中元素个数的最大值为4．(Ⅲ)B={(0,0,0,…0)，(1,0,0…,0)，(0,1,0,…0)，(0,0,1…0)…，(0,0,0,…,1)}，此时B中有n+1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M(α,β)=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B有多于n+1个元素，由于α=(0,0,0,…,0)与任意元素β都有M(α,β)=0，所以除(0,0,0,…,0)外至少有n+1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i=y i=1，此时M(α,β)≥1不满足题意，故B中最多有n+1个元素．【解析】本题考查集合的新定义问题，集合之间的关系，综合性较强，难度较大．(Ⅰ)由定义直接列出即可；(Ⅱ)确定B中元素都含有1，即可列出符合条件的元素；(Ⅲ)根据题意，进行求解即可．。
2020-2021学年昌平一中高二年级数学试卷
2020-2021学年一中高二年级第一学期第一章学情调研数学2021.09本试卷共150分，考试时长90分钟.考生务必按要求将答案写到指定位置，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 下列命题正确的是（）A．若()b=-，则a b2,4,2a=--，()1,2,1B．若()b=-，则a b2,4,21,2,1a=--，()⊥C．若()b=-，则a b2,4,1a=-，()1,2,2D．若()1,2,22,4,1b=-，则a ba=-，()⊥2. 已知()3,1,5B-，则AB的值为（）A，()1,1,1A．4B．C．5D．3. 若向量()AC=--，则平面ABC的一个法向量可以1,1,2AB=，()0,2,1是（）A．（3，-1，-2）B．（-4,2,2）C．（5,1,-2）D．（5，-2,1）4.在空间直角坐标系中，O（0,0,0），A（2，-5,1），B（2,-2,4），C（1，-4，5），则AB OC⋅的值时（）A．0B．1C．2D．35. 若()a b c共面，则λ=（）c=，且,,1,,21,4,4b=-，()=，()2,1,2aλA．1B．-1C．1或2D．1±6. 已知()0,2,0C，则点A到直线BC的距离为（）B，()1,0,20,0,2A，()A．3B ．1 CD．7. 如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 是 OA 的 中点，点N 在BC 上，且2CN NB =，设MN xa yb zc =++，则x ，y ，z 的值为（ ） A ．112,,233B ．121,,233C ．112,,233-D ．121,,233-8. 若向量()1,,2a λ=，()2,1,2b =-，且a 与b 的夹角余弦为89，则λ等于（ ） A ．2B ．-2C ．2255-或D ．2或255-9. 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，点E 时SB 的中点，则直线AE ，SD 所成角的余弦值为（ ） A．3B．3C．3D ．1310. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）ABCO1DE A．线段1CA的三等分点，而且靠近点1AB．线段1CA的中点C．线段1CA的三等分点，而且靠近点CD．线段1CA的四等分点，而且靠近点C请将选择题答案填涂到下面表格中.第二部分（非选择题共100分）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11. 已知()2,1,3a=-，()3,,4b y=-，若a b⊥，则y=_____.12. 已知()1,3,1a=-，()1,1,3b=--，则a b -=_____13. 如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，E为1BB的中点，则异面直线1BC与1D E所成的角为______.14. 已知长方体1111ABCD A B C D-，AB=2，AD=1，1AA=面对角线所在直线中，与平面11ABB A所成的角为6π的面对角线可以是直线_________.（写出符合题意的一条直线即可.）15. 直线l与平面α所成的角为6π，且AB是直线l上两点，线段AB在平面α内的射影常为3，则AB=__________.16. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，点M是左侧面11ADD A上的一个懂点，满足11BC BM⋅=，则1BC与BM的夹角最大值为_______.三、解答题：本题共4小题，共70分.1B1BN1A17. （本小题满分15分）已知向量()1,2,2a =-，()2,4,4b =--，()2,,4c x =-. （1）若a c ，求c（2）若b c ⊥，求c 在a 方向上的投影的数量.18. （本小题满分15分）如图，四边形ABCD 为正方形，MA ∥PB ，MA ⊥BC ，AB ⊥PB ，MA=1，AB=PB=2. （1）求证：PB ⊥平面ABCD（2）求直线PC 与 平面PDM 所成角的正弦值.19. （ 本小题满分20分）在 四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，△PAD 为等边三角形，AD ∥BC ，AD=CD=2BC=2，O ，F 分别为棱AD ，PB 的中点.（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）求平面ACF 与平面PAD 所成锐二面角的大小；DBC。
昌平区高二数学上学期期中试题理(2021学年)
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201７—20１8学年上学期期中考试高二数学理科试卷时间:12０分钟 满分：15０分一、选择题（每题5分，共6０分)１.一个单位有职工8０0人，其中具有高级职称的为160人，具有中级职称的为320人，具有初级职称的为200人,其余人员1２0人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )Ａ.12,24，15,9 ﻩﻩ B.9,12,12，7C ．8,15,12,5 ﻩﻩﻩﻩ D.8,16,10,６2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件）。
若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为A 。
3，5 B. 5,5 C 。
3，7 D. 5,7３.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有１次中靶 ﻩﻩB ．2次都中靶C ．2次都不中靶 ﻩ Ｄ.只有1次中靶４.在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则｜x |≤1的概率为 A.21ﻩB ．101ﻩ C ．203ﻩﻩ D.错误! 5。
为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位： ｋｇ)分别为x １,ｘ2，…,x n ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A .x 1,x 2,…,ｘｎ的平均数ﻩB .x 1,x 2,…,x n 的标准差C .x 1,x 2,…,ｘｎ的最大值ﻩD .x 1,x 2，…，ｘn 的中位数6。
2020年北京昌平区第一中学高二数学文模拟试卷含解析
2020年北京昌平区第一中学高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于A. B.C. D.参考答案：D略2. 点是等腰三角形所在平面外一点，中，底边的距离为（）A． B． C． D．参考答案：C略3. 已知X～N（0，σ2）且P（﹣2≤X＜0）=0.4，则P（x＞2）为（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4参考答案：A略4. 若,则一定成立的不等式是( )A. B. C. D.参考答案：B5. 椭圆的一个焦点坐标为，那么的值为（）A B CD参考答案：C6. 点关于直线对称的点是 ( )A． B． C．D．参考答案：C7. 用数字1、2、3、4、5可组成没有重复数字的三位数共有：A．10个B．15个C．60个D．125个参考答案：C8. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意知c==，点（1，2）在y=x上，由此能求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），∴由题意知c==，∴a2+b2=5，①又点（1，2）在y=x上，∴，②由①②解得a=1，b=2，∴双曲线的方程为=1．故选：C．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．9. 已知椭圆的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的离心率是（）A． B． C．.D．参考答案：D10. 在中，角所对的边分别为，若,且，则下列关系一定不成立的是（A）（B）（C）（D）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定积分__________．参考答案：【分析】根据定积分的几何意义求出，再由微积分基本定理求出，进而可得出结果.【详解】因为表示圆面积的，所以；又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查求定积分的问题，熟记定积分的几何意义，以及微积分基本定理即可，属于常考题型.12. 设某几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积是参考答案：3213. 若命题“?x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．参考答案：[﹣1，3]【考点】特称命题；命题的否定．【专题】规律型．【分析】根据特称命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围．【解答】解：∵命题“?x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，∴命题“?x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题，即对应的判别式△=（a﹣1）2﹣4≤0，即（a﹣1）2≤4，∴﹣2≤a﹣1≤2，即﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，3]．【点评】本题主要考查含有量词的命题的应用，以及不等式恒成立问题，比较基础．14. 关于x的方程有一个实数解，则实数m的取值范围是______.参考答案：．【分析】由题意可得，函数y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，对函数y的m分类，分别画出y的图象，可求出实数m的取值范围．【详解】∵关于x的方程x+1有一个实数解，故直线y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点．在同一坐标系中分别画出函数y＝x+1的图象和函数y的图象．由于函数y，当m=0时，y和直线y＝x+1的图象如图：满足有一个交点；当m>0时，y y2﹣x2＝m(y>0)此双曲线y2﹣x2＝m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，双曲线y2﹣x2＝m的顶点坐标为（0，），如图：只要m>0，均满足函数y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，当m<0时，y x2﹣y2＝﹣m(y>0)，此双曲线x2﹣y2＝﹣m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，而双曲线x2﹣y2＝﹣m的顶点坐标为（，0），如图：当时，满足函数y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，即当时符合题意；综上：，故答案为：．【点睛】本题考查的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，是解答本题的关键，考查了数形结合思想，属于中档题．15. 若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝_____.参考答案：16. 将“函数y=2x+5的图像是一条直线”用三段论表示为：大前提：小前提：结论：参考答案：大前提：一次函数的图像是直线小前提：函数y=2x+5是一次函数结论：函数y=2x+5的图像是一条直线略17. 下列4个命题中假命题的是（写上对应的程序号）①若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则q为假命题②命题“如果=2，则（x+1）（x﹣5）=0”的否命题是真命题③“方程x2+x+m=0有实数根”是“m＜”的必要不充分条件④命题p：?x∈R，x+＜2的否定为￢p：?x?R，x+≥2．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则q、p有一个为假命题，一个为真；②，≠2时，（x+1）（x﹣5）=0可能成立；③，方程x2+x+m=0有实数根?△=1﹣4m≥0?是m≤；④，命题的否定只否定结论，不否定条件，【解答】解：对于①，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则q、p有一个为假命题，一个为真，故错；对于②，≠2时，（x+1）（x﹣5）=0可能成立，故错；对于③，方程x2+x+m=0有实数根?△=1﹣4m≥0?是m≤故正确；对于，④命题p：?x∈R，x+＜2的否定为￢p：?x∈R，x+≥2，故错．故答案为：①②④三、解答题：本大题共5小题，共72分。
高中数学 2023-2024学年北京市昌平高二(上)期中数学试卷
2023-2024学年北京市昌平一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）A ．[-3，+∞）B ．[-3，2）∪（2，+∞）C ．（-3，2）∪（2，+∞）D ．（-∞，2）∪（2，+∞）1．（5分）函数y =x +3x −2的定义域是（ ）√A ．f （x ）=-3x -1B ．f （x ）=3x -1C ．f （x ）=-3-x +1D ．f （x ）=3-x +12．（5分）若函数y =f （x ）的图象与函数g （x ）=3x +1的图象关于y 轴对称，则函数f （x ）的表达式为（ ）A ．90°B ．30°C ．45°D ．60°3．（5分）如图，正方体AC 1中，直线A 1B 与B 1C 所成的角的大小是（ ）A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位4．（5分）要得到y =3sin （2x +π4）的图象只需将y =3sin 2x 的图象（ ）A ．C 244C 166B ．C 246C 164C ．C 248C 162D ．C 247C 1635．（5分）某班由24名男生和16名女生组成，现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务，则志愿者服务人员组成的方法总数为（ ）A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．1：16．（5分）已知O 为△ABC 内一点，且OA +OC +2OB =0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是（ ）→→→→A ．5.2m B ．5m C ．4.8m D ．4.6m7．（5分）制作一个面积为1m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是（ ）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）三、解答题（共6小题，满分80分）A ．f 1（x ）∈M ，f 2（x ）∈MB ．f 1（x ）∉M ，f 2（x ）∉MC ．f 1（x ）∉M ，f 2（x ）∈MD ．f 1（x ）∈M ，f 2（x ）∉M 8．（5分）集合M 由满足以下条件的函数f （x ）组成：对任意x 1，x 2∈[-1，1]时，都有|f （x 1）-f （x 2）|≤4|x 1-x 2|．对于两个函数f 1(x )=x 2−2x +5， f 2(x )=|x |，以下关系成立的是（ ）√9．（5分）已知一个球的内接正方体的棱长是2，则这个球的表面积是 ．10．（5分）设点P （x ,y ）在不等式组V Y Y W Y Y X x −2≤0， y −1≤0， x +2y −2≥0所表示的平面区域上运动，则z =x +y 的最小值是 ．11．（5分）在△ABC 中，已知a 、b 分别为角A 、B 的对边，a =3，A =45°，B =60°，则b = ．12．（5分）（2x -1x ）6展开式中常数项为 （用数字作答）．√13．（5分）如图，已知F 1、F 2是椭圆C ：x2a 2+y2b 2=1（a >b >0）的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则PF 1•PF 2= ；椭圆C 的离心率为 ．→→14．（5分）把形如M =m n （m ,n ∈N *）的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列前m 项的和，称作“对M 的m 项分划”．例如，把9表示成9=32=1+3+5，称作“对9的3项分划”，把64表示成64=43=13+15+17+19，称作“对64的4项分划”．据此，对25的5项分划中最大的数是 ；625的5项分划中第2项是 ．15．（13分）已知tan (x −π4)=34（π4<x <π2）．（Ⅰ）求cosx 的值；（Ⅱ）求sin 2x −2sin 2x cos 2x 的值．16．（13分）三棱锥P -ABC 中，PC 、AC 、BC 两两垂直，BC =PC =1，AC =2，E 、F 、G 分别是AB 、AC 、AP 的中点．（Ⅰ）求证：平面GFE ∥平面PCB ；（Ⅱ）求GB 与平面ABC 所成角的正切值；（Ⅲ）求二面角A -PB -C 的大小．17．（13分）甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2．（Ⅰ）若m=10，求甲袋中红球的个数；（Ⅱ）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P2的值；（Ⅲ）设P2=15，从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次，求摸出的3个球中恰有2个红球的概率．18．（13分）已知点（n,a n）（n∈N*）在函数f（x）=-6x-2的图象上，数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）设c n=a n+8n+3，数列{d n}满足d1=c1，d n+1=c d n（n∈N*）．求数列{d n}的通项公式；（Ⅲ）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x1、x2，恒有g（x1x2）=x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（2）=a（a为常数，且a≠0），记b n=g(d n+12)d n+1，试判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由．19．（14分）已知函数f(x)=43x3+ax-1（a∈R），其中f'（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（x））处的切线与直线2x-y+1=0平行，求a的值；（Ⅱ）设g（x）=f'（x）-ax-4，若对一切|a|≤1，都有g（x）<0恒成立，求x的取值范围．20．（14分）已知动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x=1的距离之比为2．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点P的轨迹为曲线C，过点F作互相垂直的两条直线l1、l2，l1交曲线C于A、B两点，l2交曲线C于M、N两点．求证：1 FA•FB +1FM•FN为定值．√→→→→。
北京市昌平区第一中学2024届高三上学期期中考试数学试题
(1)从 2022 年元旦及前后共 7 天中任取 1 天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为 “拥堵”的概率； (2)从 2023 年元旦及前后共 7 天中任取 3 天，将这 3 天中交通高峰期城市道路 TPI 比 2022
年同日 TPI 高的天数记为 X，求 X 的分布列及数学期望 E X ；
(1)已知数列 A：1，0，1， B ：0，1，1，直接写出 S A*A 和 S A*B 的值； (2)若数列 A， B 均为 n 项 0-1 数列，证明： S A* B* A S B ；
(3)对于任意给定的正整数 n ，是否存在 n 项 0-1 数列 A， B ， C ，使得
S A* B S A*C S B *C 2n ，并说明理由
c7
.请直接写出
ci
c
取得最大值时 i 的值.
20．已知 f x ex ax 1 x2 ，其中 a 1 .
2
(1)当 a 0 时，求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
(2)当 a 1 时，求函数 f x 的极值； (3)若 f x 1 x2 x b 对于 x R 恒成立，求 b a 的最大值.
2
(1)证明： BM ∥平面 PAD ； (2)若 PC 5 ， AB 1，
试卷第 3页，共 5页
（i）求二面角 P DM B 的余弦值； （ii）在线段 PA 上是否存在点 Q ，使得点 Q 到平面 BDM 的距离是 2 6 ？若存在，求出
9 PQ PA 的值；若不存在，说明理由. 19．交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，用 TPI 表示，TPI 越大代
2
试卷第 4页，共 5页
21．已知 n 为正整数，数列 X ： x1, x2 ,, xn ，记 S X x1 x2 xn ．对于数列 X ， 总有 xk 0,1 ， k 1,2,,n ，则称数列 X 为 n 项 0-1 数列．若数列 A： a1,a2,,an ， B ：
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17.(本小题 14 分) 已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过点 A(1, 0) ， B(1, 2) ．
(I) 求线段 AB 的垂直平分线方程； (II) 求圆 C 的标准方程；
(III) 已知直线 l : y kx 1 与圆 C 相交于 M 、N 两点，且| MN | 2 2 ，求直线 l 的方程．
椭圆交于点 M,N，则 MNF2 的周长是
。
13. 已 知 双 曲 线 C : x2 y2 1 , 则 双 曲 线 C 的 渐 近 线 方 程 是 ________, 离 心 率 4
e = ________.
14.已知直线 l : y k (x 2) 与圆 x2 y2 1相切，则 k 的值是
18.(本小题 14 分)如图，四边形 ABCD 为正方形，MA‖ PB ，MA BC ，AB PB ，MA 1 ， AB PB 2 . （Ⅰ）求证： PB 平面 ABCD ； （Ⅱ）求直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值.
19.（本小题
14
分）已b2
2020—2021 学年度昌平一中高二年级第一学期期中考试
数学试卷
2020.11.17
本试卷共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试
卷上作答无效。
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1. A. C.
正方体的边长等于 1，那么该塔形中正方体的个数是（ ）
A.8
B.7
C.6
D.4
二、填空题共 6 题，每题 5 分，共 30 分。
11. 已知抛物线 C : y2 4x 上，则抛物线 C 的准线方程为
.
12.
已知椭圆 C :
x2 4
y2
1 的两个焦点分别为 F1, F2 ，过点 F1 且与坐标轴不平行的直线与
(II) 求四边形 ABCD 的最小覆盖圆的方程； (III) 求曲线W 的最小覆盖圆的方程.
（）
A.-1 或 3
B.-3 或 1
C.-1
D.3
9. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，则点 B 到平面 AB1C 的距离是
3
A.
3
23
B.
3
C. 2
D. 3
（）
10.有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个
顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为 8，如果改形塔的最上层
A.4
B. 4 2
C. 5
C.
3
D. 5 2
（）
D.
6
（）
4. 已知双曲线 x 2 y 2 1 的一个焦点坐标是（2，0），那么 k 的值为 k
A. 1
B. 3
C. 3
D. 5
（）
5. 已知直线 y x b 与圆 x2 y2 2 相切，那么实数 b 的值是
A. 2 2
B. 2
C. 1
（）
P
M
D A
C B
21.（本小题 14 分）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平 面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：
（1）线段 AB 的最小覆盖圆就是以 AB 为直径的圆； （2）锐角 ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线W ： x2 y4 4 ， A(0,t) ， B(2,0) ，C(0, 2) ， D(2,0) 为曲线W 上不同的四 点. （I）求实数 t 的值及 ABC 的最小覆盖圆的方程；
D. 2
6. 圆 x2 y2 2 y 0 和圆 (x 2)2 ( y 1)2 1 的位置关系是
A.相交
B.内切
C.外切
D.相离
（）
7.已知椭圆的短轴长是焦距的 2 倍，则椭圆的离心率为
A． 1 2
B． 2 2
C． 1 5
D． 5 5
（）
8. 已 知 直 线 l1 : x m y 6 0, l2 : (m 2) x 3 y 2 m 0 平 行 ， 则 实 数 m 的 值 是
ea下 列((11各,,11组,,0向)2,)量f,b中(不0．(,2平0,．,2行0,．)的4)是
B. c D. g
(1,0,0), d (2, 3, 5),
(3,0,0) h (2,3,5)
（）
2. 直线 3x y 1 0 的倾斜角是
A.
3
B.
6
3. 已知 A(1,1,1) ，B(3,1,5) ，则 AB 的值为
1 (a
b 0) 的左焦点为 F (1, 0) ，且经过点
(0, 3) 。
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，若 AB 15 ，求直线 l 的方程。
4
20.(本小题 14 分) 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，PD 底面 ABCD ，底面 ABCD 是 矩形， PD CD 2 ， AD 1， M 是线段 PC 的中点 . （Ⅰ）求证： PA // 平面 BDM ； （Ⅱ）求二面角 M BD C 的余弦值； （Ⅲ）求证：对于线段 BD 上的任意一点 N ， MN 与 PA 都不垂直.
．
15. 若直线 l : y x a 将圆 C : x2 y2 1 的圆周分成长度之比为1: 3 的两段弧，则实数 a 的 值是____________.
16. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 C : (x2 y2 )3 4x2 y2 被称为“四叶玫瑰线”（如图 所示）.给出下列三个结论： ① 曲线 C 关于直线 y x 对称； ② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过1； ③ 存在一个以原点为中心、边长为 2 的正方形， 使得曲线 C 在此正方形区域内（含边界）． 其中，正确结论的序号是________．