相似三角形的性质(2)
相似三角形的性质2
例1:如图，
（1）矩形DEFC是Rt△ABC的内接矩形， 已知DE＝18，BC＝48，AD＝6，求EF的长.
（2）若四边形DEFC是正方形，
BC=48，AC=16，求正方形边长。
A
E
D
B
F
C
例2： 如图，矩形DEFG是△ABC的内接矩 形，AH是△ABC的高， AH与GF交于点K，已 知GF＝18，BC＝48，EF＝10，求AK的长.
S1
s1 ( DE )2 1 s1 s2 FG 4
S2
s1
( DE )2 1
S3
s1 s2 s3 BC 9
例6 如图， △ABC 中，DE ∥ BC， S△ADE=2, S△ABC =9, AD=x, S△BDE= y, 试将ｙ表示为 ｘ的函数.
AD AD
求证： AD BE
AD BE
例4： 在△ABC中，DE∥BC，DE和AB相交于点D，和
AC相交于E （1）DE＝2，BC＝5，S四边形DBCE＝20, 求 S△ADE
（2）BD＝4，S△ADE∶S四边形DECB＝2∶3，求AD.源自52 x20
x
2
2
x 20 5
x BC=48 GF=18 EF=10
解 设：AK=x，∵四边形DEFG是矩形 ∴ GF∥BC
∴ △AGF∽△ABC，又∵AK⊥GF，AH⊥BC ∴ AK GF
AH BC
∵四边形DEFG是矩形 ，AH⊥BC
∴ KH=EF=10，AH=10+x，又∵GF=18，BC=48
x 18 x 10 48
相似三角形的性质(2)
3.4.2相似三角形的性质(2)一、教学目标1．理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2．运用相似三角形的判定定理和性质定理解决问题。
3．进一步培养学生类比的教学思想。
二、教学重点及难点重点：相似三角开性质定理的应用。
难点：相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用。
三、教学过程：一、复习导入提问：相似三角形的性质有哪些性质？二、新知探索如图，已知△ABC ∽△C B A '''，相似比为k ，则S △ABC ∶S △C B A '''的值是多少呢？学生相互讨论合作完成。
分别作BC,C B ''边上的高AD ，D A ''，则K D A AD =''因此，K K K D A AD C B BC D A C B AD BC C B A S ABC S 22121=∙=''∙''=∙'∙''∙='''∆∆ 由此得到:相似三角形的面积比等于相似比的平方.例11:如图，在△ABC 中， EF ∥BC ，21=EB AE ,S 四边形BCFE= 8， 求S △ABC 。
解：∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC.又21=EB AE ，∴31=AB AE , ∴91,91)31(2=+∆∆==∆∆BCFE S AEF S AEF S ABC S AEF S 四边形即, ∵S 四边形BCFE= 8，∴AEF S ∆=1∴S △ABC=9例12:已知△ABC 与△C B A '''的相似比为 32,且S △ABC+S △C B A '''= 91，求△C B A '''的面积.解：∵△ABC 与△C B A '''的相似比为 32， C B A S ABC S C B A S ABC S '''∆=∆=='''∆∆9494)32(2，即。
24.3.3相似三角形的性质(2)
A
E
C
新知讲解
2.设AD、A′D′是对应高， 由三角形面积计算公式，得
S ABC S A ' B ' C '
于是得到
1 BC AD 2 1 B ' C 'A ' D ' 2
BC AD B 'C ' A ' D '
【定理2】 相似三角形周长的比等于相似比 【定理3】 相似三角形面积的比等于相似比的平方
例题讲解
【例１】 已知⊿ABC∽⊿A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm, 且AB=15cm, B′C′=24cm, 求BC, AC, A′B′, A′C′.
提示：已知两相似三角形的周长和边应用定理2即可解 决问题 答案：BC=20cm,AC=25cm , A′B′=18cm , A′C′=30cm
拓展应用
如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E,
S矩
=40cm2,
S ABE ∶ S DBA
=1∶5. A E B C D
求：AE的长.
收获体会（小结）
学生进行课堂小结
1．理解相似三角形的性质定理2、3，并会用于解 决问题 2．在先猜想再证明的教学过程中，学生领会从特殊到一 般的转化，培养学生的合情推理能力和初步的演绎推理 能力 3．能综合运用相似三角形的性质定理解决较复杂的 问题，建立必要的自信心
情境导入
【问题】 （1）已知等边⊿ABC与等边⊿A′B′C′相似，且相 似比为2，求它们的周长的比和面积的比? （2）求相似比等于k的两等腰直角三角形的周长比和 面积比? （3）根据上面两题的结果，猜想：两相似三角形的 周长比与面积比与相似比的关系
4.5相似三角形的性质及其应用(2)
练习
4、三角形的中位线截得的三角形与原 三角形的面积之比是多少？S△ADE与S四边 形DBCE的比呢？
A
D
B
E C
例4：如图，在△ABC中，作DE∥BC,分别 交AB、AC于点D、E,若要使△ADE与四边 形DBCE的面积相等，则AD与AB的比应取 多少？ A D B E C
练习
4、在△ABC中，DE∥BC，E、D分别在AC、 AB上，EC=2AE，则S△ADE：S四边形DBCE的比为 ______ 5、如图，△ABC中， DE∥FG∥BC，AD=DF=FB， 则Ｓ△ADE:Ｓ四边形DFGE:Ｓ四 边形FBCG=_________
回顾：
相似三角形的性质： 1.相似三角形的对应角相等， 对应边成比例 2.相似三角形对应边上的中线、对应边 上的高、对应角的角平分线之比都等 于 相似比 。
ΔABC与ΔA’B’C’有什 么关系？为什么？
A
B C
ΔABC与ΔA’B’C’的相似比 是多少？ A’ ΔABC与ΔA’B’C’的周长比 是多少? 面积比是多少？
F
C
B
P
拓展
如图DE∥BC,FG∥AB,MN∥AC, 且DE、FG、 MN交于点P。若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3，SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间 是否也有类似结论？猜想并加以验证。
显然△MDP∽△ABC 则由面积比等于相似比的平方知 √S1：√S=DP：BC , 同时，因为DP=BG，所以,有 √S1：√S=BG：BC ……① 同理，可得 √S2：√S=NC：BC ……② √S3：√S=GN：BC ……③ ①、②、③三式相加可得 （√S1+√S2+√S3）：√S=1 即：√S=√S1+√S2+√S3
相似三角形的性质2
B
D
kx· ky=
1 2
1 2
k2xy
A’
S△A'B'C'= C’
x· y
B’
D'
S△ABC =k2 S△A'B'C'
你能得出什么结 论呢？
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 反之，相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根
我来试一试：
• 1.相似三角形对应边的比为3∶5 ,那么相 似比为___________,对应角的角平分线的 比为 ______, 周长的比为 _____, 面积的比 为_____。
例5:如图在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD：BC=2:5 对角线AC、BD相交于点O，则 S△AOD： S△BOC： S△AOB等于（ D ） A、2:5:2 B、4:25:2 C、2:25:4 D、4:25:10
B A O D
C
练习：如图，线段AB、CD相交于点O， AD∥OP∥CB，AO:OB=1:2, S△AOD=1,则S△AOP等于 A、2 C、 2 √ 3 B、4 D、4 3
D O A P
B
C
例6：如图，正方形ABCD的边长为15cm，点F是 BC边上的一点，（与点B、C不重合）。EF⊥AF 交CD于点E，令BF=x，CE=y，试求y与x之间的函 数关系式，并求出自变量x的取值范围。
解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠C=∠B=90°，AB=BC=15cm 3 ∴∠2+∠3=90°， ∵ EF⊥AF， ∴∠AEF=90° E 2 ∴∠2+∠1=90° 1 C B F ∴∠1=∠3 ∴△CEF∽△BFA ∴ CE CF ,即 y 15 x ∵点F在BC边上，且异于B、C BF BA x 15 ∴x的取值范围是0<x<15
3.4.2相似三角形的性质(2)
2、相似三角形对应边的比值为0.4，那么相似比为 对应边中线长的比为
,
如图，已知△ABC∽△A ′ B ′ C′,相似比为K，则 SABC ：SA'B'C ' 的值是多少？
A
A′
B
D
C B′
D′
分沉重的工作。
——列夫· 托尔斯泰
A E
F
∴
S AEF
S ABC
1 1 = 9 3
2
C B
∵ S四边形BCFE 8
S AEF =1
∴ S ABC =′C ′的面积
2 ′的相似比为 , 且S ABC S ABC 91, 3
解：∵△ABC与△A′B ′C ′的相似比为2/3，
, ∴ S ABC S ABC 91
又
4 ∴ S ABC S ABC 91, 9
S ABC 2 4 S ABC 3 9
2
∴ S ABC 63
1、证明：相似三角形的周长比等于相似比。
2、已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm， 且AB=15cmB′C′=24cm,求BC,AC,A ′B ′,A ′ C ′的长。
A D E
B
C
6、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm, 高AD＝80mm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上 ，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多 少？
A P N
B
H
DG C
1、这节课学习了什么知识？
相似三角形的性质 2
相似三角形定义
（1）三个对应的角分别相等 （2）三条对应的边成比例。
相似三角形对应边的比叫做 相似三角形的相似比。
相似三角形性质1
对应角相等
对应边成比例，比例
叫相识比
相似三角形性质2
高线
A E N F
角平分线
A E N F
中线
A E N F
B
C M
B
C M
B
C M
BC AC FG EG
又BD和FH分别是它们的中线
1 1 ∴ CD AC ，GH 2 EG 2
BC DC FG HG
∴
即△BDC ∽ △FHG
C△BDC BC 1 C△FHG FG 2
S△ BDC 1 1 S△ FHG 2 4
解：设菜地实际的高为Xm
DE 1 即 2 BC
2
AB 2AD DB AB AD
DE AD 1 BC AB 2
AD：DB 1：（ 2 1 ）
2 1 AD
即至少需要 78cm长的材料.
解： 3 由题意有
矩形彩纸的面积是：
（12×3 ） ×（14×3）=1512 （cm2） ∴从四个角剪下来的废弃不用的彩色纸的面积是： 1512－756=756（cm2）
S小 1 S大 9
S 756cm
2
(1)由AD：DB=1：1知 解：
AD：AB=1：2
相似多边形的周长比等于相似比 相似多边形的面积比等于相似比 的平方
√ ×
解： AC 4 A B 2
1 1
1 1
2 B1C1 2 10
相似三角形的性质(2)
18 cm； （2）若△ABC的面积为32 cm2 ，则△A′B′C′的面积 为 18 cm2。
←→
G
C
D
H
A
B
E
F
四边形ABCD~四边形EFGH，
相似比为K.
讨论：它们的周长比会是多少？
是△ABC、 △A′B′C′对应边 BC、 B′C′上的高，求证：
S ABC k 2 S ABC
A
归证纳明：， 相∵ 似△A三BC角∽△形A′的B′C′，
．
B
D
C面积比，∴等于AA相DD 似 k比B的BCC平 方k 。
A’
B’
D’ C’
∴
SABC S ABC
1 AD BC 2 1 AD BC
=K²
从上面可以看出当相似比＝k时，周长比＝____k__
猜想：相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积
有什么关系呢？
右图（1）（2）（3）分别是边 长为1、2、3的等边三角形，它 们都相似．
（2）与（1）的相似比＝___2__:_1__________， （2）与（1）的面积比＝___4__:_1__________;
五四制鲁教版八年级下册
9 相似三角形的性质 （2）
复习导入
边：对应边成比例。 角：对应角相等。 高：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。
中线：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。
角平分线：相似三角形对应角的角平分线之比等于
相似比。
相似三角形的 周长和面积与 相似比有什么 关系呢？
相似三角形的周长
22.3相似三角形的性质(2)
相似三角形的性质
问题： 两个相似三角形的周长比 会等于相似比吗？
A
D C
B
A'
D'
B'
ΔABC~ΔA`B`C`,
相似比为K。
C'
ΔABC和ΔA`B`C`周长比是多少？ ∵ ΔABC~ΔA`B`C`
∴ AB = =K = A’B’ B’C’ A’C’ AB+BC+AC A’B’+B’C’+A’C’ =K BC AC
∴
定理2：相似三角形的周长比等于相似比
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
A
A′
B 证明： D 分别过A、A′，
C
B′ D′
C′
作A' D' B' C ' 于D'
作AD⊥BC于D，
1 AD BC S AD BC 2 1 ∴ S A’ B’ C’ A' D'B' C ' A' D' B' C ' 2
当堂训练
3.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来 25 的__________ 倍。 （2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原 10 来的__________ 倍。 3，两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘 米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分 100cm、40cm 。 别是________________ （2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形 50cm2、8cm2 。 的面积分别是______________
4.7 相似三角形的性质(2)
关系？两个相似多边形呢？
A1 A B C
B1
C1
讲授新课
一 相似三角形对应周长的比等于相似比
问题：求证三角形对应周长的比等于相似比 分析：△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
AB BC CA k, A1 B1 B1C1 C1 A1
A
A1 C1ห้องสมุดไป่ตู้
B C B1 AB kA 1B 1 , BC kB 1C 1 kCA kC1 A 1,
S△ABC S△A BC 1 BC AD BC AD 2 k k k12 . 1 BC AD BC AD 2
由此可得： 相似三角形面积比等于相似比的平方.
例：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC 的面积为100cm2 ，且
AE AD 3 求四边形BCDE的面积. AC AB 5
AE AD 3 , 解：∵∠BAD=∠DAE，且 AC AB 5 ∴△ABC ∽△ADE .
∴它们的相似比为5：3， 面积比为25：9. 又∵△ABC的面积为100 cm2 ， B
A
E
D
C
∴△ADE的面积为36 cm2 .
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
应高的比是多少？面积比是多少？ A
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′
的高AD和A′D′. ∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形， 并且∠B=∠B′，
B D A′
C
∴△ABD∽△A′B′D′.
AD AB . A D A B
B′ D′
C′
∵△ABC∽△A′B′C′. AD AB BC k. . A D A B BC （相似三角形对应高的比等于相似比）.
6.5 相似三角形的性质(2)
点D、D’分别在BC、B‘C’上，且
么
AD ＝? 为什么？ A'D'
A A'
BD B'D' ＝ ，那 BC BC
B
D
C
B'
D'
C'
相似三角形中对应线段的比都等于相似比．
6.5 相似三角形的性质（2）
例：如图，D，E分别在AC，AB上， ∠ADE＝∠B，AF⊥BC，AG⊥DE，垂足分 别为F、G．若AD＝3，AB＝5，求：
B D
A
C
∵ AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线， 1 1 ∴ ∠BAD＝ ∠BAC ，∠B'A'D'＝ ∠B'A'C'． 2 2 A' ∴ ∠BAD＝∠B'A'D'． ∴ △ABD∽△A'B'D'． ∴
AD AB k AD AB
B'
D'
C'
归纳
相似三角形对应中线的比等于相似比． 相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 一般地，如果△ABC∽△ A‘B’C‘，相似比为k，
B
D
C
∵ AD和A'D'分别是△ABC∽△A'B'C'的中线，A' 1 1 ∴ BD＝ BC ，B'D'＝ B'C'． 2 2 BD BC ∴ ＝ ＝k． D' B' B'D' BC
AB BD ∴ ＝ ＝k． A'B' B'D' ∴ △ABD∽△A'B'D'，
27.2.3相似三角形的性质(2)
x 5 x 60 37
4 x 4 1.714
5h 3 4 h 12 5
12 5
x
12 5
1.622
(1)
(2)
•不经历风雨，怎么见彩虹 •没有人能随随便便成功!
C A B F E
形乙为 △DEF，且△DEF的最大 边为DE，最短边为EF ∵ △DEF∽△ABC
D
∴ DE:EF=6:3
即 10:EF=6:3 ∴ EF=5cm
2.如果整张报纸与半张报纸相似，则整张报纸长与 宽的比是（ ） 3: 2 A 2 : 1 B 4：1 C 2：1 D
2x
X
y x
X
y 2x y
相 似 三 角 形 的 证 明
一、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的 比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
二.相似三角形的判定方法
推论1 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线), 所截得的三角形与原三角形相似;
A D
B
C
6.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在 腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
A
解: ∵ △ABC ∽△BDC AC BC ∴ = BC DC
D B C
即 18 = 6 6 DC
∴ DC=2cm
7．如图，∠APD＝900，AP＝PB＝BC＝CD， 则下列结论成立的是（ ） C A ΔPAB∽ΔPCA B ΔPAB∽ΔPDA C ΔABC ∽ ΔDBA D ΔABC∽ΔDCA
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相似三角形的性质（2）
一填空题
1.若两个三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形对应角平分线的比为____；周长比为____；面积比为____
2.两个相似三角形对应中线之比为2∶3，它们面积之差等于9cm2，则这两个三角形的面积分别是_______
3.△ABC∽△A′B′C′，周长比为2∶2，BC边上的中线长是52，则B′C′边上的中线长是____
4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE是斜边AB的中线，若CD=4，AD=2，则CE=____，DE=_______
5.CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，BC=15，BD=9，则AB=____，AD=____，CD=____
6.一个三角形各边的比为2∶5∶4，和它相似的三角形的周长为132 cm，则这个三角形的各边长分别为_______
7.四边形ABCD，AD∥BC，AC、BD相交于点O，AD／BC=0.5，则△BOC周长是△AOD周长的___倍，S△BOC=___S△AOD
8.如图，EF∥BC，若△AEF与△ABC的面积比是1∶2，则AE／AB=____，△AEF与△ABC的周长比是_______
9.如图，边长为10cm的等边三角形ABC，内接正方形DEFG，则正方形DEFG的边长等于_______
10.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E， BE∶ED=1∶3，AB=5cm，则AC=_______
11.如图，△ABC中，DE∥BC，高AM交DE于N，若S△ADE∶S四边形BDEC=4∶5，AM=12 cm，则AN=_______cm.
12.如图，在△ABC中，EF∥BC，四边形EBCF的面积比△AEF的面积大91cm2，EF=6 cm，BC=10 cm，则梯形BCFE 的面积是______
二选择题
1.△ABC三边长为3:4:5，与它相似的△DEF最短边为6，则△DEF的周长是（）A.12 B.18 C.24 D.36
2.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC∶BC=1∶2，则AD∶DB=（）A.1∶2 B.1∶2 C.1∶5 D.1∶4
3.△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=2∶3，则S△ADE：S四边形DECB为（）A.2∶3 B.4∶15 C.4∶21 D.4∶17
4.地图上1cm2面积表示实际面积400m2，该地图比例尺是（）A.1∶400 B.1∶4000 C.1∶200 D.1∶2000
5.△ABC的三条中位线长分别为3cm，4cm，5cm，则△ABC面积为（）A.144cm2 B.48cm2 C.24cm2 D.12cm2
6.已知△ABC∽△A′B′C′，AB∶A′B′=2∶3，且S△ABC+S△A′B′C′=91 cm2，则△ABC的面积为（）
A.28 cm2
B.273／5 cm2
C. 182／5 cm2
D.63 cm2
7.如图，DE∥FG∥BC，AD=DF=FB，则S1∶S2∶S3等于（）A.1∶1∶1 B.1∶3∶5 C.1∶2∶3 D.1∶4∶9
8.如图，△ABC中，DE∥BC，且S△ADE∶S△ABC=1∶2，则AD∶BD是（）
A.1∶2
B.1∶2
C. 2∶(2－1)
D.(2+2)∶1
9.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE∶EB=1∶2，DE与AC交于点F，S△AEF=6 cm2，则S△CDF是（）
A.12 cm2
B.24 cm2
C.54 cm2
D.15 cm2
10.如图，EF是梯形ABCD的中位线，且S△ABD∶S△BCD=2∶3，则S四边形AEFD∶S四边形BCFE等于（）
A.2∶3
B.4∶9
C.9∶11
D.5∶9
11.如图，DE∥FG∥BC，DE，FG把△ABC的面积三等分，DE=2 cm ，则BC的长为（）
A.18cm
B.6cm
C.23cm
D.32cm
12.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，BM⊥CE于M，则S△BMC是S正方形ABCD的（）
A.1／3
B. 1／4
C. 1／5
D. 1／6
三解答题
1.如图，△ABC中，DE∥BC，AD=10，AD∶AB=1∶2，AB=5BC／4，求DE的长
2.如图，四边形DEFG是正方形，DE=2cm，AM⊥BM，垂足为M，AM=5cm，求△ABC的面积
3.如图， AD是Rt△ABC斜边BC上的高，若BD=16cm，CD=9cm，求AB，AC和AD的长
4.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若S四边形DBCE=2S△ADE，求DE∶BC
5.如图，已知，在△ABC的AB，AC边上各取一点D，E，使3AD=BD，3AE=EC，设BE，CD的交点为P，求证：S△PBC= 16S△PDE
6.如图，ABCD中四边形，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB＝1:9，求S△DOC:S△BOC
7.如图，□ABCD中，E为AB的中点，△BEF的面积为1cm2，求□ABCD的面积
8.如图，正方形ABCD中，AB＝1，G为DC中点，E为BC上任一点，（E点与点B、点C不重合）设BE＝x，过E 作GA平行线交AB于F，设AFEC面积为y，写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。