第三章 几何光学

第三章 几何光学

1．证明反射定律符合费马原理

证明：设界面两边分布着两种均匀介质，折射率为1n 和2n （如图所示）。光线通过第一介质中指定的A 点后到达同一介质中指定的B 点。

（1）反正法：如果反射点为'C ，位于ox 轴与A 和B 点所著称的平面之外，那么在ox 轴线上找到它的垂足点"C 点，.由于'''''',AC AC BC BC >>,故光线'AC B 所对应的光程总是大于光线''AC B 所对应的光程而非极小值，这就违背了费马原理。故入射面和反射面在同一平面内。

(2)在图中建立坐xoy 标系，则指定点A,B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，反射点

C 的坐标为(,0)x 所以ACB 光线所对应的光程为：

1n ∆=

根据费马原理，它应取极小值，所以有

112(sin sin )0d n i i dx ∆==-=

即： 12i i =

2．根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光

线的光程都相等。

证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点S 发出的光束经薄透镜折射后成一个明亮的实象点'S 。设光线SC 为电光源S 发出的任意一条光线，其中球面AC 是由点光源S 所发出光波的一个波面，而球面DB 是会聚于象点'S 的球面波的一个波面，所以有关系式SC SA =，''S D S B =.因为光程

'''

'

SCEFDS SABS SC CE nEF FD DS

SA nAB BS

⎧∆=++++⎪⎨∆=++⎪⎩ 根据费马原理，它们都应该取极值或恒定值，这些连续分布的实际光线，在近轴条件下其光程都取极大值或极小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它们的光程相等。

3．睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d 为30cm 。求物体PQ 的像''P Q 与物体PQ 之间的距离2d 为多少？

解：根据例题3.1的结果

'1(1)PP h n

=-

'1

30(1)101.5

PP cm =⨯-

=

题2图

' 1.5n =

4．玻璃棱镜的折射棱角A 为060，对某一波长的光其折射率n 为1.6。计算：（1）最小偏向角；（2）此时的入射角；（3）能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角。

解：（1）等腰棱镜的折射率可以表示为

0sin 2

sin

2

A

n A θ+=

其中0θ为最小偏向角，可以由上式解出最小偏向角

01

1

00000602sin [sin ]2sin [1.6sin ]60253.136046.2622

A n A θ--=-=⨯-=⨯-=

（2）偏向角为最小时，入射角可以表示为

0'00'0146166053.0822

A

i θ++=

==

从棱镜向外透射的最大入射角为 '

21s i n

i n =, '1021sin 38.681.6

i -== '

000'226038.682119i A i =-=-=

又根据折射定律

12sin 1

sin i i n

= 10'0'1sin (sin 2119)3534i -==所以

5．一种恒偏向棱镜，它相当于两个000306090--棱镜与一个000454590--棱镜按图示方式组合在一起，白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变1θ，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r 。求证：如果1sin 2

π

θ=，

则21θθ=，且光束i 与r 相互垂直。（这就是恒偏向棱镜名字的由来）

证：（1）根据光的折射定律 12sin sin θθ= 其中2i 为光通过第一个界面的折射角

'

22i i =

根据折射定律 22sin sin n i θ=

所以 21θθ=, 由于光线入射的两界面相互垂直和21θθ=，所以光束i 与r 相互垂直。

6．高5cm 的物体距凹面镜顶点12cm ，凹面镜的焦距是10cm,求像的位置及高度，并做光路图。

解：若光线从左向右传播，如图所示

'12,10s cm f =-=-

根据凹透镜的成像公式

'

'111

s s f

+=得： 60cm s -='

由

s

s y y ''-=得：25cm y -=' 7．一个5cm 高的物体放在球面镜前10cm 处成1cm 高的虚象。求（1）此透镜的曲率半径；（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？

解：根据面镜公式 '

'0y y s s

+=得：

'51

010s

+=-， '2s cm = 根据面镜的成像公式

'112s s r +=， 112102r

+=-⇒ 5r c m = 所以此镜是凸面镜

8．某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己的像。他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm ，眼睛距凸面镜的顶点的距离为40cm

'40,

10s cm f cm =-=

根据面镜成像公式

'

'111s s f

+= 由上式可得 '

8s cm =

'()8402422

s s L cm +-+===