“截长补短法”在解题中的巧用方法
“截长补短法”在解题中的巧用方法
在⊿ ADC和⊿CEB中,
﹛∠ADC= ∠CEB ∠2=∠3
AC=BC
2 1 3
∴ ⊿ADC≌⊿CEB ∴ AD=CE,CD=BE ∵ DE=CE+CD ∴ DE=AD+BE
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43;CD
A
解 在AC上取CF=CD，连OF
F
E O
C
B
得△COD≌△COF，∠AOC=120°
D
∠AOE=∠DOC=60°=∠FOC
证△AEO≌△AFO
练习
如图，AD∥BC，AE, BE分别平分 ∠DAB,∠CBA， CD经过点E， 求证：AB＝AD+BC
例 1.在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分∠BAC.
题 求证：AB+BD=AC
A
讲 证明：在AC上截取A E=AB，连结D E 12 ∵ AD平分∠BAC
3
E
解
∴ ∠1＝∠2,
在△ABD和 △AED中
4
B
D
C
﹛A B=AE ∠1＝∠2 A D=AD
截长法和补短法的例题和解析
截长法和补短法的例题和解析说到截长法和补短法，很多人一听就觉得这又是个数学难题，哎呀，我可不想脑袋里塞满公式。
不过，今天咱们就轻松聊聊这两种方法，保准让你豁然开朗，甚至能在朋友面前抖个机灵，炫耀一下你的数学“绝技”。
先来聊聊截长法。
想象一下你在剪头发，朋友想要个“帅气”的短发，可是发量又不够，怎么办？这时候就得用截长法了！简单说，就是把长的部分“截”掉，然后用剩下的长度来拼凑出一个好的造型。
哎，你看，就像我之前跟我朋友一起去理发，剪了个“爆炸头”，结果出来的时候，我朋友的发型竟然比我还好！这就是截长法的魅力所在，把多余的剪掉，剩下的部分更显得精致。
再来说补短法。
这法子就像是给缺口的地方加点东西。
想象你在做一件手工活，刚好少了一块布，没关系，拿出一块颜色相近的布，补上去，不就成了吗？有一次我和朋友做DIY，差点没把东西做成四不像，结果我灵机一动，拿出一张彩纸，补了一下，嘿，瞬间变得生动有趣，朋友们都夸我有创意！补短法就是用好东西把不足的地方填上，让整体看起来更完美。
这两种方法其实在生活中无处不在。
比如你在做一道数学题，题目给了个长长的公式，哦，真是头疼。
可是如果你能截掉一些冗余的部分，简化一下，不就简单多了吗？或者遇到短缺的条件，你就得用补短法，想办法把缺的部分找回来，搞定问题。
数学就像生活，时不时需要用点创意。
那说到例题，咱们来试试吧！假设你有一根长度为10米的绳子，你想要做一个正方形的花坛。
你会发现，这绳子不够用，咋整？这就是截长法的好时机。
把花坛的边长从2米调整成1.5米，嘿，这一下绳子就够用了，花坛不但可以做出来，视觉效果也不错，真是一举两得。
再说补短法。
假设你在搞一个团体活动，每个人都要出一份稿子，结果发现有一个人写得特别少，怎么办？用补短法，大家一起帮他补充点内容，齐心协力，让整份稿子看起来完整，真是众人拾柴火焰高嘛。
这种方法特别适合团队合作，大家各展所长，凑成一份完美的作品。
哦，对了，还得提到一个小技巧。
线段和差处理技巧截长补短法
线段和差处理技巧截长补短法线段的和差处理技巧是数学中非常重要的一个概念。
在数学中，线段和差处理可以通过截长补短法来实现。
所谓截长补短，就是在两个线段之间找到一个公共的部分，然后通过截取和补足的方式实现线段的和差处理。
以下是线段和差处理技巧截长补短法的详细介绍。
在讨论线段和差处理之前，我们先来了解一下什么是线段。
线段是数学中的一个基本概念，是一个有两个端点的连续部分。
线段一般用两个点表示，比如用A和B表示一个线段AB。
线段的长度等于两个端点之间的距离。
线段的和差处理是指在给定的线段AB和线段CD的情况下，通过截长补短的方法计算出线段AB和线段CD的和或差。
具体来说，截长补短法可以分为两种情况：一种是线段AB和线段CD的起点和终点相同，另一种是线段AB和线段CD的起点和终点不同。
第一种情况下，如果线段AB和线段CD的起点和终点相同，那么它们可以看作是同一个线段。
在这种情况下，线段AB和线段CD的和差就是线段AB（或CD）的两倍。
更具体地说，如果我们要计算线段AB和线段CD的和，那么和的长度等于线段AB的长度加上线段CD的长度；如果我们要计算线段AB和线段CD的差，那么差的长度等于线段AB的长度减去线段CD的长度。
第二种情况下，如果线段AB和线段CD的起点和终点不同，那么它们不可以看作是同一个线段。
在这种情况下，我们需要找到线段AB和线段CD的一个公共部分，并将其截取下来。
具体来说，我们可以通过以下步骤实现线段和差的处理：1.先找到线段AB和线段CD的一个公共的端点。
这个公共端点可以是线段AB的起点或终点，也可以是线段CD的起点或终点。
2.从线段AB的起点开始，沿着线段AB的方向，截取和线段CD长度相等的一段线段。
这段线段的长度等于线段CD的长度。
3.将截取下来的线段与线段CD的起点相连。
这样我们就得到了一条新的线段EF，其中E是线段AB的起点，F是线段CD的起点。
4.线段EF就是线段AB和线段CD的和。
“截长补短法”在一类几何证明题中的运用
“截长补短法”在一类几何证明题中的运用探究线段的和、差、倍、分是平面几何中常见的问题，“截长补短法”是解决这一类问题的一种常用的特殊方法，“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
例1 已知：△ABC是⊙O的内接等边三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC。
分析：直接证明PA=PB+PC，困难较大。
可用截长法：在PA上截取PD=PB，再证明PC=DA即可（或用补短法：在BP或CP上各补上与CP或BP相等的线段，再证明PA与这条线段相等）。
证明（截长法）：在PA上截取PD=PB，连接BD，∵△ABC是圆O的内接等边三角形，∴ BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°。
∵∠BPA=∠BCA，∴∠BPA=60°。
∴△BPD是等边三角形。
∴ BD=BP，∠DBP=60°。
∴∠ABD=∠CBP。
∴△ABD≌△CBP。
∴ PC=DA。
又∵ PA=PD+DA，∴ PA=PB+PC。
证明（补短法）：延长BP到D使PD=PC，连接CD，∵△ABC是圆内接等边三角形，∴ AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°。
∵∠BPA=∠BCA，∠ABC=∠APC，∴∠BPA=60°=∠APC。
∴∠CPD=60°。
∴△CPD是等边三角形。
∴ CD=CP ∠DCP=60°。
∴∠ACP=∠BCD。
∴△ACP≌△BCD。
∴ PA=BA。
又∵ BD=PD+BP，∴ PA=PB+PC。
例2 已知：四边形ABCD是☉O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+■PB。
分析一：要证明PA=PC+■PB，我们可以在PA上取AD=PC，连接BD，再想办法证明PD=■PB，问题可以解决。
证明：在AP上截取AE=PC，连接BE。
∵四边形ABCD是圆内接正方形，∴ AB=CB，∠BPA=45°。
中考数学压轴题作辅助线的技巧之一：截长补短
中考数学压轴题作辅助线的技巧之一：截长补短【方法说明】遇到求证线段和差及倍半关系时，可以尝试截长补短的方法．截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论．【方法归纳】1．如图，若要求证AB＋BD＝AC，可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可；或延长AB至点C′使得AC′＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可．2．如图，若要求证AB＋CD＝BC，可以在BC上截取线段BF＝AB，再证明CD＝CF即可；或延长BA至点F，使得BF＝BC，再证明AF＝CD即可．图（1）图（2）3．在一个对角互补的四边形中，有一组邻边（AB＝AD）相等，可以使用补短的方法延长另外两边的一条，构建全等三角形．【典型例题】（2009广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．（1）若AG＝AE，证明：AF＝AH；（2）若∠FAH＝45°，证明：AG＋AE＝FH；（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．【思路点拨】（1）证明AF＝AH，因此先连接AH、AF．证明线段相等可考虑三角形全等的方法，观察发现只要证明Rt△ADH≌Rt△ABF（或Rt△AGH≌Rt△AEF）即可；（2）证明AG＋AE＝FH这种线段和的问题，可以考虑截长补短，发现在FH上截取的方法不好证明，可以考虑补短的方法．本题可以考虑把AG＋AE转化为DH＋BF，延长延长CB至点M，使得BM＝DH，然后证明MF＝FH即可；（3）由于矩形EPHD的边长并不知道，可以采用设未知数的方式，本题可以设ED＝x，DH＝y，则S矩形EPHD＝xy，根据Rt△GBF的周长为1，即可找到x与y的关系并求出面积．【解题过程】解：（1）连接AH、AF．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°．∵ADHG与ABFE都是矩形，∴DH＝AG，AE＝BF，又∵AG＝AE，∴DH＝BF．在Rt△ADH与Rt△ABF中，∵AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，DH＝BF，∴Rt△ADH≌Rt△ABF，∴AF＝AH．（2）【方法一】延长CB至点M，使得BM＝DH，并连接AM，FH．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°．∴∠D＝∠ABM＝90°，∴△ABM≌△ADH，∴AM＝AH，∠MAB＝∠DAH．∵∠FAH＝45°，∴∠MAF ＝∠BAF＋∠MAB＝∠BAF＋∠DAH＝90°－45°＝45°＝∠FAH又∵AF＝AF，∴△AMF≌△AHF．∴MF＝HF．∵MF＝MB＋BF＝HD＋BF＝AG＋AE，∴AG＋AE＝FH．【方法二】将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置．在△AMF与△AHF中，∵AM＝AH，AF＝AF，∠MAF＝∠MAH－∠FAH＝90°－45°＝45°＝∠FAH，∴△AMF≌△AHF．∴MF＝HF．∵MF＝MB＋BF＝HD＋BF＝AG＋AE，∴AG＋AE＝FH．（3）设ED＝x，DH＝y，则GB＝AB－AG＝1－y，BF＝BC－BF ＝1－x，∴在Rt△GBF中，GF2＝GB2＋BF2＝（1－y）2＋（1－x）2，∵Rt△GBF的周长为1，∴GF＝1－GB－BF＝1－（1－x）－（1－y）＝x＋y－1，∴（x＋y－1）2＝（1－y）2＋（1－x）2得xy＝1/2，∴矩形EPHD的面积S＝ED·DH＝ xy＝1/2．。
几何证明的好方法——截长补短
几何证明的好方法——截长补短几何证明是数学中一种非常重要的方法，常用于证明几何定理和推导几何性质。
在证明过程中，使用截长补短的方法可以帮助我们更加简化和明确证明的步骤。
截长补短是一种证明方法，即通过添加或截取一些辅助线或辅助点，从而改变原有图形的形状和性质，并且使得证明更加直观和明了。
下面以几何证明中常见的一些问题为例，介绍截长补短的应用方法。
一、证明两线段相等当我们需要证明两条线段相等时，可以考虑添加一条辅助线段，从而将问题转化为两个三角形的相等性质。
具体步骤如下：1.观察题目中给出的线段，设需要证明的线段为AB和CD。
2.根据题目的条件，找到一个与我们需要证明的线段相关的线段，设为EF。
3.添加辅助线段，连接AE和CF，构建出两个三角形，如△AEB和△CFD。
4.利用已知的几何定理或条件，证明两个三角形的相等性质，如SSS （边-边-边）相等性质或SAS（边-角-边）相等性质。
5.根据三角形的相等性质，得出AB=CD的结论。
通过添加辅助线段，将原来需要证明的问题转化为证明两个三角形的相等性质，更加直观和易于操作。
二、证明两角相等当我们需要证明两个角相等时，可以考虑添加一条辅助线段或辅助点，从而改变原有角的性质，并且使得证明更加明确和简洁。
具体步骤如下：1.观察题目中给出的角度，设需要证明的两个角为∠ABC和∠DEF。
2.根据题目的条件，找到一个与我们需要证明的两个角相关的角，设为∠GHI。
3.添加辅助线段或辅助点，改变原有角的性质。
如我们可以添加辅助线段IJ，使得∠GHI=∠ABC。
4.利用已知的几何定理或条件，证明新构建的几何形状的一些性质。
如垂直角、平行线、共线等。
5.根据已知的性质和构建的几何形状，得出∠ABC=∠DEF的结论。
通过添加辅助线段或辅助点，改变原有角的性质，并利用已知的几何定理和条件，可以更加明确和简洁地证明两个角的相等性质。
三、证明两图形全等当我们需要证明两个图形相等时，可以考虑添加一些辅助线段或辅助点，从而改变原有图形的形状和性质，并且将问题转化为相似三角形或平行四边形的性质。
“截长补短法”的运用
线两旁的两条边 AB、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
（二）、角平分线截长法：
例题 2，如图 2-1，在四边形 ABCD 中，BC＞AB，AD=DC，BD 平分∠ABC.
A D
求证：∠BAD+∠BCD=180°.
B
分析：因为平角等于 180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为 平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截 长补短法”来实现.
证明：在 CD 上截取 CF=BC，如图 3-2
在△FCE 与△BCE 中，
CF CB FCE BCE
∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.
CE CE
43
F
E2
1
C B 图 3-2
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.
-4-
BP BP
E
A
N
P
-21 2
B
DC
图 4-2
∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE 即 DC=BE-AB=AE. 在 Rt△APE 与 Rt△CPD 中,
PE PD PEA PDC AE DC
∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD
又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180° 例题 5 已知：如图 5-1，在△ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
在△ABD 与△AED 中,
2024中考数学综合复习模型篇专题08 倍长中线法和截长补短法综合应用(解析版)
专题08倍长中线法和截长补短法综合应用倍长中线类型一：直接倍长中线△ABC 中AD 是BC 边中线方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE类型二：间接倍长中线作CF ⊥AD 于F ，作BE⊥AD 的延长线于E 连接BE 。
延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN截长补短常见类型及常规解题思路：①a b c ±=可采取直接截长或补短，绕后进行证明。
或者化为类型②证明。
②a b kc±=可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30 的直角三角形等。
截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法常规辅助线：（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起类型一：倍长中线法【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝b，在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即a﹣b＜2AD＜a+b，∴＜c＜．【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF ＞EF．【解答】证明：如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，∴△BDE≌△CDM（SAS），∴BE＝CM，∵DE＝DM，DF⊥EM，∴FE＝FM，∵CM+CF＞FM，∴BE+CF＞EF．【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为 ．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠E＝90°，∴AE＝＝＝4，∴AD＝DE＝2，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝2，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝5+3+2＝8+2．故答案为：8+2．【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 ．【解答】解：延长DE至H，使EH＝DE，连接AH，∵AF＝BD，BD＝3，AC＝5，∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，在△BED和△AEH中，，∴△BED≌△AEH（SAS），∴AH＝BD，∠D＝∠H，∵AF＝BD，∴AH＝AF，∴∠AFH＝∠H，∴∠CFD＝∠D，∴CD＝CF＝2，故答案为：2．【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为 ．【解答】解：如图，延长FD到G使GD＝DF，连接GE，BG，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF＝，∠GBD＝∠C，∴BG∥CA，∴∠EBG＝∠A＝90°，∵BE＝2，∴EG＝＝＝，∵DF⊥DE，DF＝DG，∴EF＝EG＝，故答案为：．【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF 与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AD于M，交ED于O，则FM＝AB＝8，∵BF＝2FC，BC＝9，∴BF＝AM＝6，FC＝MD＝3，∴AF＝＝＝10，∵OM∥AE，∴，∵点E为AB的中点，∴OM ＝，∴OF ＝FM ﹣OM ＝8﹣＝，∵AE ∥FO ，∴△AGE ∽△FGO ，∴＝，∴AG ＝＝，∴GH=10-4-415=49【变式5】如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E ，F 分别为BC ，AB 上的点，且点F 为AB 的中点，连接DF ，DE ．（1）如图①，若DF 平分∠ADE ，求证：AD +BE ＝DE ；（2）如图②，若四边形ABCD 是边长为4的正方形，当ED 平分∠FDC 时，求EC 的长．【解答】（1）证明：延长DF ，CB 交于G ，如图：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥CB ，∴∠ADG ＝∠G ，∵DF 平分∠ADE ，∴∠ADG＝∠EDG，∴∠G＝∠EDG，∴DE＝GE＝GB+BE，∵F是AB中点，∴AF＝BF，在△ADF和△BGF中，，∴△ADF≌△BGF（AAS），∴AD＝GB，∴DE＝AD+BE；（2）解：延长AB，DE交于H，如图：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，点F为AB的中点，∴DF＝＝＝2，AB∥CD，∴∠CDE＝∠H，∵ED平分∠FDC，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠FDE＝∠H，∴FH＝DF＝2，∴BH＝FH﹣BF＝2﹣2，∵∠C＝90°＝∠HBE，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE∽△HBE，∴＝，即＝，解得CE＝2﹣2．∴EC的长为2﹣2．【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．下而是部分证明过程：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，…任务一：请将上述过程补充完整；任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．（1）求证：MN⊥DE；（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．【解答】解：任务一：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CGF，∴CF＝FD，同理BF＝FG，∴BF＝CF，∴点F为BC的中点；任务二：（1）证明：延长CM到F使MF＝CM，∵AM＝MB，∴ACBF是平行四边形，∴AF＝BC＝CE，AF∥BC，∴∠CAF+∠ACB＝180°，∠DCE+∠ACB＝180°，∴∠CAF＝∠DCE，∵DC＝AC，∴△DCE≌△CAF（SAS），∴∠D＝∠ACF，∵∠ACF+∠DCN＝90°，∴∠D+∠DCN＝90°，∴∠DNC＝90°，∴MN⊥DE；（2）解：作CG⊥AB于G，∵∠CAB＝30，AC＝4，∴CG＝2，AG＝2，∵AM＝AB＝3，∴GM＝，∵CM2＝CG2+GM2，∴CM2＝22+（）2，∴CM＝，∵△DCE≌△CAF，∴DE＝CF＝2．类型二：截长补短【典例4】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合右边的证明结论．求证：AB+BD＝AC．请结合右边的【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】【解答】证明：【截长法】在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC．证明：【补短法】延长AB到F，使BF＝BD，连接DF，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABC＝∠F+∠BDF＝2∠F，且∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠F，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△ADF≌△ADC（AAS）∴AC＝AF，∴AC＝AF＝AB+BF＝AB+BD．【变式1】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．【解答】证明：在DA上截取DE＝DB，连接BE，如下图所示，∵∠ADB＝60°，DE＝DB，∴△ABD为等边三角形，∴∠EBD＝60°，BE＝BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∴∠EBD﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∴AD＝AE+ED＝CD+BD．【变式2】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE．【解答】证明：在AF上截取FG＝DF，连接CG，则DG＝2DF，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠ACF＝90°，又∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠DCF＝∠CAF，∵AD平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF，∵DF＝FG，CF⊥DG，∴CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD，∵∠DGC＝∠GAC+∠ACG，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠ACG，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBE（ASA），∴AG＝CE，∴AD＝AG+DG＝CE+2DF．【变式3】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一条弦，且＝，过点A作AP⊥CD，分别交CD，⊙O于点E，P，连接BP，若CD＝6，△ABP的周长为13，求AE的长．【解答】解：在AE上截取AF＝BP，连接CF，PC，∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBP，∴△CAF≌△CBP，CF＝CP，∵CD⊥PA，∴EF＝PE，∴AE＝AF+FE＝PB+PE，∵AC＝BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB＝CD＝6，∵△ABP的周长是13，∴AP+PB＝7，∵AE＝PE+PB，∴2AE＝AP+PB，∴AE＝．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点A作AE⊥DC于点E．（1）当α＝90°时，①求证：AE＝DE；②若BD＝AE＝2，请求出△ABC的面积；（2）当α≠90°时，求证：BD+DE＝EC．【解答】（1）①证明：过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵AE⊥CD，∴∠DEF＝90°，又∵∠BDE＝90°，∴四边形BDEF为矩形，∴DE＝BF，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠EAC＝90°，又∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠BFA＝90°，AB＝AC，∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE，∴DE＝AE；②解：∵四边形BDEF为矩形，BD＝AE＝2，∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝AE＝，∴AF＝AE+EF＝+2，∴BA2＝BF2+AF2＝＝8+4，∴S＝＝；△ABC（2）证明：过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，连接AD，设CD与AB交于点O，∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO＝∠DOB，即∠ABF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠AFB＝90°，AC＝AB，∴△ACE≌△ABF（AAS），∴AE＝AF，BF＝CE，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴DE＝DF，∴CE＝BF＝BD+DF＝BD+DE．【变式5】【问题背景】如图①，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与正方形ABCD的外角∠DCG的平分线交于点F．李老师指出，当点E为线段BC 的中点时，AE＝EF．【初步探索】（1）如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立；【问题解决】（2）当点E在线段BC上时，设BE＝x，△ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【拓展延伸】（3）如图③，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，求此时点E的坐标．【解答】解：【问题背景】如图1，取AB的中点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵E是BC的中点，∴BH＝BE＝AH＝CE，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【初步探索】（1）仍然成立，理由如下：如图2，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【问题解决】（2）如图3，在BA上截取BH＝BE，连接HE，同理得：△AHE≌△ECF，∴y＝S＝AH•BE＝x（1﹣x）＝﹣x2+x（0≤x≤1）；△AHE【拓展延伸】（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．【典例5】如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF ＝∠B，∠A＝45°．（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系．【解答】解：（1）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠A＝45°，∴∠C＝45°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝45°，∴△FHC为等腰直角三角形，∴FC＝FH，∴FC＝BE；（2）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠C＝60°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝60°，∴sin60°＝，∴FC＝FH，∴FC＝BE．【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DE＝CD，连接DF，若AF＝4，DF＝2，则BF的长为 ．【解答】解：如图，在BF上截取HF＝AF，连接AH，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BDE＝90°，∴∠AHF＝∠HAF＝45°，∴AH＝AF，∴∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝135°，∠AEF＝∠BED，∠AFE＝∠BDE＝90°，∴△AFE∽△BDE，∴＝，∵∠AEB＝∠FED，∴△AEB∽△FED，∴∠EAB＝∠EFD＝45°，∴∠AFD＝∠AFH+∠EFD＝90°+45°＝135°，∴∠AHB＝∠AFD，∴△AHB∽△AFD，∴＝＝，∴BH＝DF，∴BF＝BH+HF＝DF+AF＝2+4．故答案为：2+4．【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，BD，若AB＝AC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系．【解答】解：作AE⊥AD交BD于E，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵BD＝DE+BE，∴BD＝AD+CD．【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE+AD＝2CH．【解答】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，∵∠FCA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB，∴∠FCA＝∠DCB，∵∠ACB＝120°，∠ACB+∠ADE＝180°，∴∠EDB＝120°，∠EDA＝60°，∵∠FAC＝120°+∠B，∠CED＝120°+∠B，∴∠FAC＝∠CED，在△AFC和△EDC中，，∴△AFC≌△EDC（ASA），∴AF＝DE，FC＝CD，∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，∴DH＝CH，∵AD+DE＝AD+AF＝FD＝2DH＝2CH，∴AD+DE＝2CH．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．①求证：∠OAF＝∠OCD；②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，∵OE⊥OD，∴∠AOC＝∠EOD＝90°，∴∠AOF＝∠COD，∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，∴∠OAM＝∠MCD，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴∠OAF＝∠OCD；②解：∵△OAF≌△OCD，∴AF＝CD＝1，∵DF＝2，∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，∵AC＝AB，∴BC＝AC＝＝2；（2）解：AD+CD＝OD．理由：过点O作OE⊥OD，交DA的延长线于点E，∵∠DOE＝∠AOC＝90°，∴∠AOE＝∠COD，∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，∴∠ODC＝∠OEA，又∵OA＝OC，∴△OCD≌△OAE（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∴DE＝OD，∴AD+AE＝AD+CD＝OD．【变式5】【问题探究】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．（1）如图①，当∠CAB＝60°时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；（2）如图②，当∠CAB＝120°时，探究是否为定值，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，在四边形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD＝3，求CD的长．【解答】解：（1）BD，CD，AD之间的数量关系为：BD＝CD+AD，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，如图①所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD；（2）是定值，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，过点A作AF⊥BD于F，如图②所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∵DE＝BD﹣BE＝BD﹣CD，∴BD﹣CD＝AD，∴＝，∴是定值；（3）在CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，设AB交CD于H，过点A作AF⊥CD于F，如图③所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHC＝∠BHD，∴∠ACE＝∠ABD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∴CD＝CE+DE＝BD+AD＝3+×2＝3+2．。
中考数学复习指导：截长补短法的应用
截长补短法的应用在证明几条线段间的数量关系时，截长补短法是一种常用的添加辅助线的方法，也是化难为易的基本方法．一、截长法1、要证明一段长线段等于两个小线段的和，用截长法在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等．例1 如图1所示，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB，∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD．分析根据题意，可在AB上截取AF＝AC，再证FB＝DB，就有AB＝AF＋FB：AC ＋BD．证明如图1，在AB上截取AF＝AC，连结EF．在△ACE和△AEF中，∵AC＝AF，∠CAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△ACE △AEF，∠C＝∠EFA．又∵AC∥BD，∴∠C＋∠D＝180°，而∠EFA＋∠EFB＝1800，∴∠EFB＝∠D(等角的补角相等)．在△FBE和△DBE中，∵∠DBE＝∠FBE，BE＝BE，∠D＝∠EFB，∴△FBE≌△DBF．∴FB＝DB，∴AB＝AC＋BD．2、要证明边长和或差的数量关系，有时直接证明会很难，甚至无从着手，只要我们认真分析，通过截长法，把相关的线段转移到一个三角形中，思维会豁然开朗，问题会迎刃而解．例2 如图2所示，△ABC中，D是∠A平分线上的点，AB>AC，求证：AB－AC>BD －CD．分析本题直接证明有些难，因为AB－AC和BD－CD之间没有直接的线段可利用，这就需要找个中间线段作过渡，不妨在AB边上截取AE＝AC，那么AB－AC＝BE．若ED＝CD，那么BD－CD<BE．通过已知条件和所作辅助线可知△AED≌△ACD．证明如图2，在AB边上截取AE＝AC，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD．在△AED和△ACD中，∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△AED≌△ACD．ED＝CD．在△BED中，∵BD－ED<BE．∴AB－AC＝AB－AE＝BE> BD－ED＝BD－CD，∴AB－AC>BD－CD．二、补短法就是将一个已知的较短线段，延长至与另一个已知的较短线段的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．对于具体问题，有时通过截长补短法，可构成某种特定的三角形来求解．1、中线倍长，构造全等三角形中线倍长就是把三角形的中线延长，使延长的线段等于原中线的长，想法构造全等三角形，使原来不在一个三角形的线段集中到一个三角形中，再根据题目已知条件进行求解．例3 如图3，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围．分析欲求AD的取值范围，联想到三角形三边的关系，必须设法把AB、AC、AD 转移到同一个三角形中，故可以延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，若能证△BDE≌△CDA，则有BE＝AC．而AE＝2AD，在△ABE中不难求出AE的取值范围．解延长AD到E，使DE＝AD，连结BE．∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD．在△BDE和△CDA中，∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，DE＝DA，∴△BDE≌△CDA，∴BE＝AC＝8．在△ABE中，AB－BE<AE<AB＋BE，12－8<2AD<12＋8，∴2<AD<10．评注本题中，把三角形一边的中线延长，构造全等三角形，把分散的条件集中到一个三角形中，这是解决中线问题的常用方法．2、利用补短法构造等腰三角形这是几何证明常用的方法，它是把较短的线段延长，再根据角的关系，找出等腰三角形，通过腰相等进行转换，把两条线段转移到一条线段上来，最后利用三角形全等，使问题的结论水落石出．例4如图4，已知AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC．分析欲证AB＋BD＝AC，可以延长AB到E，使BE＝BD，然后再证△AED≌△ACD．得出AE＝AC．证明如图4，延长AB到E，使BE＝BD，连结DE，∴∠E＝∠BDE．∵∠ABC＝2∠C，∠ABC＝∠E＋∠BDE，∴2∠E＝2∠C．∠E＝∠C．又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD．在△AED和△ACD中，∵∠BAD＝∠CAD，∠E＝∠C，AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∴AB＋BE＝AC．即AB＋BD＝AC．另证本题还可以在AC边上截取AF(如图5)，使AF＝AB，这样△ABD≌△AFD，再证△DFC为等腰三角形，从而有BD＝DF＝FC，则AB＋BD＝AF＋FC＝AC．。
截长补短模型专题解读
截长补短模型专题解读【专题说明】“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“a＋b ＝c”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。
【方法技巧】常见类型及常规解题思路：① a b c ±= 可采取直接截长或补短，绕后进行证明。
或者化为类型②证明。
② a b kc ±= 可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30o 的直角三角形等。
截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法常规辅助线：（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起【典例分析】【典例1】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠B ＝2∠C ，求证：AB +BD ＝AC ． 截长法：在AC 上截取AE ＝AB ，连接DE ，证明CE ＝BD 即可．补短法：延长AB 至点F ，使AF ＝AC ，连接DF ，证明BF ＝BD 即可．请结合右边的证明结论．求证：AB +BD ＝AC ．请结合右边的【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】【解答】证明：【截长法】在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC．证明：【补短法】延长AB到F，使BF＝BD，连接DF，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABC＝∠F+∠BDF＝2∠F，且∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠F，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△ADF≌△ADC（AAS）∴AC＝AF，∴AC＝AF＝AB+BF＝AB+BD．【变式1】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE．【解答】证明：在AF上截取FG＝DF，连接CG，则DG＝2DF，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠ACF＝90°，又∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠DCF＝∠CAF，∵AD平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF，∵DF＝FG，CF⊥DG，∴CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD，∵∠DGC＝∠GAC+∠ACG，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠ACG，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBE（ASA），∴AG＝CE，∴AD＝AG+DG＝CE+2DF．【变式2】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB ＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．【解答】证明：在DA上截取DE＝DB，连接BE，如下图所示，∵∠ADB＝60°，DE＝DB，∴△ABD为等边三角形，∴∠EBD＝60°，BE＝BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∴∠EBD﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∴AD＝AE+ED＝CD+BD．【变式3】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一条弦，且＝，过点A 作AP⊥CD，分别交CD，⊙O于点E，P，连接BP，若CD＝6，△ABP的周长为13，求AE的长．【解答】解：在AE上截取AF＝BP，连接CF，PC，∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBP，∴△CAF≌△CBP，CF＝CP，∵CD⊥P A，∴EF＝PE，∴AE＝AF+FE＝PB+PE，∵AC＝BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB＝CD＝6，∵△ABP的周长是13，∴AP+PB＝7，∵AE＝PE+PB，∴2AE＝AP+PB，∴AE＝．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点A作AE ⊥DC于点E．（1）当α＝90°时，①求证：AE＝DE；②若BD＝AE＝2，请求出△ABC的面积；（2）当α≠90°时，求证：BD+DE＝EC．【解答】（1）①证明：过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵AE⊥CD，∴∠DEF＝90°，又∵∠BDE＝90°，∴四边形BDEF为矩形，∴DE＝BF，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠EAC＝90°，又∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠BF A＝90°，AB＝AC，∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE，∴DE＝AE；②解：∵四边形BDEF为矩形，BD＝AE＝2，∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝AE＝，∴AF＝AE+EF＝+2，∴BA2＝BF2+AF2＝＝8+4，∴S△ABC＝＝；（2）证明：过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，连接AD，设CD与AB交于点O，∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO＝∠DOB，即∠ABF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠AFB＝90°，AC＝AB，∴△ACE≌△ABF（AAS），∴AE＝AF，BF＝CE，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴DE＝DF，∴CE＝BF＝BD+DF＝BD+DE．【变式5】【问题背景】如图①，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与正方形ABCD的外角∠DCG的平分线交于点F．李老师指出，当点E为线段BC的中点时，AE＝EF．【初步探索】（1）如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立；【问题解决】（2）当点E在线段BC上时，设BE＝x，△ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【拓展延伸】（3）如图③，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，求此时点E 的坐标．【解答】解：【问题背景】如图1，取AB的中点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵E是BC的中点，∴BH＝BE＝AH＝CE，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【初步探索】（1）仍然成立，理由如下：如图2，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【问题解决】（2）如图3，在BA上截取BH＝BE，连接HE，同理得：△AHE≌△ECF，∴y＝S△AHE＝AH•BE＝x（1﹣x）＝﹣x2+x（0≤x≤1）；【拓展延伸】（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．【典例2】如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，∠A＝45°．（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系．【解答】解：（1）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠A＝45°，∴∠C＝45°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝45°，∴△FHC为等腰直角三角形，∴FC＝FH，∴FC＝BE；（2）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠C＝60°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝60°，∴sin60°＝，∴FC＝FH，∴FC＝BE．【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DE＝CD，连接DF，若AF＝4，DF＝2，则BF的长为．【解答】解：如图，在BF上截取HF＝AF，连接AH，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BDE＝90°，∴∠AHF＝∠HAF＝45°，∴AH＝AF，∴∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝135°，∠AEF＝∠BED，∠AFE＝∠BDE＝90°，∴△AFE∽△BDE，∴＝，∵∠AEB＝∠FED，∴△AEB∽△FED，∴∠EAB＝∠EFD＝45°，∴∠AFD＝∠AFH+∠EFD＝90°+45°＝135°，∴∠AHB＝∠AFD，∴△AHB∽△AFD，∴＝＝，∴BH＝DF，∴BF＝BH+HF＝DF+AF＝2+4．故答案为：2+4．【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE+AD＝2CH．【解答】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，∵∠FCA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB，∴∠FCA＝∠DCB，∵∠ACB＝120°，∠ACB+∠ADE＝180°，∴∠EDB＝120°，∠EDA＝60°，∵∠F AC＝120°+∠B，∠CED＝120°+∠B，∴∠F AC＝∠CED，在△AFC和△EDC中，，∴△AFC≌△EDC（ASA），∴AF＝DE，FC＝CD，∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，∴DH＝CH，∵AD+DE＝AD+AF＝FD＝2DH＝2CH，∴AD+DE＝2CH．【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，BD，若AB＝AC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系．【解答】解：作AE⊥AD交BD于E，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵BD＝DE+BE，∴BD＝AD+CD．【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝AD，点E为CD延长线上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，CF交AD于点H，过点D作DN⊥AE于点N，连接DF．（1）在不添加辅助线的情况下，找出一个与△CDH相似的三角形，并证明；（2）求证：FD＝2DN；（3）求证：CF＝AF+2FD．【解答】（1）解：选择△AFH，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，∴∠AFH＝∠CDH，∵∠AHF＝∠CHD，∴△AFH∽△CDH；（2）证明：连接AC，∵△AFH∽△CDH，∴，∴，∵∠FHD＝∠AHC，∴△FHD∽△AHC，∴∠DFC＝∠DAC，∵AB＝CD＝AD，∴∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠DAC＝60°，∴∠DFN＝30°，∵DN⊥AE，∴∠DNF＝90°，∴FD＝2DN；（3）证明：在线段FC上截取FO，使FO＝AF，连接AO，∵∠AFO＝90°，∴F AO＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠F AD＝∠OAC，∵，∴△F AD∽△OAC，∴，∴OC＝2FD，∴CF＝FO+OC＝AF+2FD，∴CF＝AF+2FD．【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．①求证：∠OAF＝∠OCD；②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，∵OE⊥OD，∴∠AOC＝∠EOD＝90°，∴∠AOF＝∠COD，∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，∴∠OAM＝∠MCD，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴∠OAF＝∠OCD；②解：∵△OAF≌△OCD，∴AF＝CD＝1，∵DF＝2，∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，∵AC＝AB，∴BC＝AC＝＝2；（2）解：AD+CD＝OD．理由：过点O作OE⊥OD，交DA的延长线于点E，∵∠DOE＝∠AOC＝90°，∴∠AOE＝∠COD，∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，∴∠ODC＝∠OEA，又∵OA＝OC，∴△OCD≌△OAE（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∴DE＝OD，∴AD+AE＝AD+CD＝OD．【变式6】【问题探究】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．（1）如图①，当∠CAB＝60°时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；（2）如图②，当∠CAB＝120°时，探究是否为定值，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，在四边形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD ＝3，求CD的长．【解答】解：（1）BD，CD，AD之间的数量关系为：BD＝CD+AD，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，如图①所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD；（2）是定值，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，过点A作AF⊥BD于F，如图②所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∵DE＝BD﹣BE＝BD﹣CD，∴BD﹣CD＝AD，∴＝，∴是定值；（3）在CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，设AB交CD于H，过点A作AF⊥CD 于F，如图③所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHC＝∠BHD，∴∠ACE＝∠ABD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∴CD＝CE+DE＝BD+AD＝3+×2＝3+2．。
初中几何截长补短法的题型解析
初中几何截长补短法的题型解析【知识汇总】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．1、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
2、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【类型一】截长“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM 为平行四边形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF。
全等三角形-截长补短法
全等三角形-截长补短法全等三角形截长补短法在初中数学的几何世界里，全等三角形是一个极其重要的知识点，而解决全等三角形问题的方法众多，其中截长补短法是一种颇为巧妙且实用的技巧。
那什么是截长补短法呢？简单来说，就是当我们在证明两条线段的和等于另一条线段时，可以考虑将较长的线段截成两段，使其中一段等于较短的线段，然后证明剩下的那段等于另一条线段；或者将较短的线段延长，使延长后的线段等于较长的线段，然后证明延长后的整体线段与原较长线段所在的三角形全等。
为了更好地理解这一方法，咱们来看几个具体的例子。
例 1：已知在△ABC 中，∠B ＝ 2∠C，AD 平分∠BAC 交 BC 于点D。
求证：AB ＋ BD ＝ AC咱们来分析一下这道题。
如果直接证明 AB ＋ BD ＝ AC 会比较困难，那我们就尝试用截长补短法。
我们先采用截长的思路。
在 AC 上截取 AE ＝ AB，连接 DE。
因为AD 平分∠BAC，所以∠BAD ＝∠EAD。
又因为 AD 是公共边，所以根据边角边（SAS）全等判定定理，可以得到△ABD ≌△AED。
这样一来，BD ＝ ED，∠B ＝∠AED。
由于∠AED 是△DEC 的外角，所以∠AED ＝∠C ＋∠EDC。
又因为∠B ＝ 2∠C，所以 2∠C ＝∠C ＋∠EDC，从而得出∠C ＝∠EDC，所以 ED ＝ EC。
因此，AC ＝ AE ＋ EC ＝ AB ＋ BD，证明完成。
再来看一个例子。
例 2：在△ABC 中，AB ＞ AC，∠1 ＝∠2，P 为 AD 上任意一点。
求证：AB AC ＞ PB PC这次咱们用补短的方法。
延长 AC 至 E，使 AE ＝ AB，连接 PE。
因为 AB ＝ AE，∠1 ＝∠2，AD 是公共边，所以△ABD ≌△AED。
于是，BD ＝ ED，PB ＝ PE。
在△PEC 中，因为两边之差小于第三边，所以 EC ＞ PC PE。
又因为 EC ＝ AE AC ＝ AB AC，PB ＝ PE，所以 AB AC ＞ PB PC。
初中几何截长补短辅助线的技巧
初中几何截长补短辅助线的技巧几何截长补短辅助线是初中几何学习中的一个重要内容，它在解决各种几何问题中发挥着重要作用。
通过合理的引入辅助线，能够简化问题，加快解题速度，提高解题效率。
本文将从几何截长补短的基本原理、技巧和应用实例等几个方面来探讨这一问题。
一、几何截长补短的基本原理在解决几何问题中，有时候我们会遇到一些棘手的问题，例如如何确定某条线段的中点，如何证明两个线段相等，如何证明一个角是直角等等。
这时，引入辅助线就能够起到很好的辅助作用。
通过巧妙地引入辅助线，我们可以改变问题的结构，使得原来复杂的问题变得简单易解。
具体来说，几何截长补短的基本原理可以总结为以下几点：1.切分线段：通过引入一条辅助线，将原来的线段分割，使得问题简化。
2.补充关系：通过引入辅助线，构造出一些平行线、相似三角形等特殊的几何形状，从而得到一些新的等量关系。
3.利用对称性：通过引入辅助线，利用对称性质，进而得到所求的结论。
二、几何截长补短的技巧在实际解题中，我们要学会灵活运用截长补短的技巧，下面是一些常用的技巧：1.求线段的中点：如果要求一条线段的中点，可以通过连接线段的两个端点，然后取连接线的中垂线，这样就能够找到线段的中点。
2.证明三角形全等：如果要证明两个三角形全等，可以通过截长补短的方法，构造出两个共有的辅助线段，利用辅助线段推出其他线段的等长，从而证明三角形全等。
3.证明角的相等：要证明两个角相等，可以通过引入辅助线，构造出一些相似三角形，从而得到两个角相等的结论。
4.求证平行四边形：如果要证明一个四边形是平行四边形，可以通过截长补短的方法，构造出一些平行线或者等腰三角形等特殊形状，从而得到平行四边形的结论。
5.求证直角三角形：如果要证明一个三角形是直角三角形，可以通过引入辅助线，构造出一些直角三角形或者等腰三角形等特殊形状，从而得到直角三角形的结论。
三、“截长补短”技巧的应用实例下面我们通过一些实际例子来说明截长补短的技巧在几何问题中的应用。
截长补短法解题模型与技巧
截长补短法解题模型与技巧一、引言在学习中，我们常常会遇到一些难题，有些问题我们可能已经掌握了其中的大部分知识点，但是还是无法得出正确答案。
这时候我们需要用到截长补短法解题模型与技巧。
二、截长补短法解题模型1.明确问题首先，我们需要明确问题的范围和要求。
这包括了解问题的背景、条件和限制等因素。
只有深入了解问题本身，才能更好地进行分析和解决。
2.分析问题在明确问题后，我们需要对其进行分析。
这包括对问题的结构、性质、特点等方面进行深入研究，并找出其中存在的难点和瓶颈。
3.抽象问题在分析过程中，我们需要将具体情况抽象成为一般性规律或模型。
这样可以更好地理解和归纳问题，并找到解决方案。
4.求解问题在完成前三步之后，我们就可以开始寻找最终的答案。
这个过程中需要利用前面所学习的知识和方法，并灵活运用各种技巧来达到最优化的效果。
5.检验结果最后，在得出答案之后，我们还需要对其进行检验，以确保其正确性和可靠性。
这个过程中需要注意数据的准确性和有效性，并进行反复验证，直到结果无误。
三、截长补短法解题技巧1.利用画图工具在分析问题时，我们可以使用画图工具来帮助我们更好地理解问题的结构和特点。
通过画图，我们可以将抽象的概念变得更加具体化，从而更好地理解问题。
2.利用归纳法在抽象问题时，我们可以利用归纳法来总结出一般性规律或模型。
这样可以大大简化问题的处理过程，并提高解题效率。
3.利用逆向思维在求解问题时，我们可以采用逆向思维的方法。
即从已知结果出发，倒推回去找到解决方案。
这种方法常常会带来意想不到的效果。
4.利用类比法在求解问题时，我们还可以采用类比法。
即将一个已知领域中的经验或方法应用到另一个领域中去。
通过类比法，我们可以快速找到与原问题相似的情况，并借鉴其经验和方法来解决当前难题。
5.利用分步骤法在求解复杂问题时，我们可以采用分步骤法。
即将一个复杂问题分解成多个简单问题，逐一解决，最终达到整体解决的效果。
这种方法可以大大降低问题的难度和复杂度。
全等三角形截长补短法的经典例题
全等三角形截长补短法的经典例题在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念，而截长补短法则是解决全等三角形问题时常用的方法之一。
在今天的文章中，我将围绕这个主题展开讨论，并通过经典例题来深入探讨全等三角形截长补短法的应用。
1. 问题描述假设有两个全等三角形ABC和DEF，其中已知AB=DE，AC=DF，角A=角D。
现在需要证明三角形ABC和DEF全等。
2. 解题思路在这个问题中，根据已知条件，我们可以利用截长补短法来进行证明。
具体来说，我们可以通过构造辅助线来使得两个三角形的对应边相等，从而得出它们全等的结论。
3. 解题过程我们连接AE和BC，得到交点点O。
接下来，我们通过证明三角形AOE和BOC全等，以及三角形AOE和DOF全等，来得出结论。
通过角度和边的对应关系，可以得出角AOE等于角BOC，另外由已知条件可以得出AO=BO。
因此根据全等三角形的性质，三角形AOE 和BOC全等。
同样地，通过对角分别相等和对应边相等可以得出三角形AOE和DOF全等。
结合以上两个全等三角形的结论，可以得出三角形ABC和DEF全等的结论。
4. 结论通过截长补短法的应用，我们成功地证明了两个全等三角形。
这个例题充分展示了截长补短法在解决全等三角形问题中的重要性，并且提供了一个经典的例题来帮助我们更加深入地理解这一方法的应用和意义。
5. 个人观点全等三角形截长补短法在几何学中具有重要的地位，在解决相关问题时，能够帮助我们快速、准确地得出结论。
通过经典例题的学习，我们可以更加深入地理解截长补短法的原理和应用，为今后解决类似问题提供了重要的思路和方法。
总结回顾通过以上的讨论，我们深入探讨了全等三角形截长补短法的经典例题，从而更加全面地理解了这一方法的应用。
通过对例题的分析，我们对截长补短法在解决全等三角形问题中的重要性有了更加深刻的理解，为今后的学习和应用提供了重要的参考。
全等三角形截长补短法是几何学中一个重要且常用的方法，通过不断学习和练习经典例题，我们可以更加熟练地掌握和运用这一方法，从而在解决几何问题时能够更加得心应手。
截长补短法在解题中的应用
截长补短法在解题中的应用引言在解决问题和解题过程中，掌握一些有效的方法和技巧是非常有助于提高解题效率和质量的。
截长补短法（Trim and Fill method）是一种常用的数据分析方法，它在解决问题时能够帮助我们发现问题中的不足之处，并尝试通过补充缺失的信息或完善已有的信息来解决问题。
概述截长补短法最早由Duval和Tweedie于2000年提出，并在之后得到广泛应用。
它主要是一种在填补数据空缺和处理缺失信息的方法，常用于统计学领域。
但实际上，这种方法在解题中的应用是十分广泛的，不仅仅局限于统计学领域。
截长补短法的基本原理截长补短法的基本原理是通过观察问题中已有的信息和数据，判断是否有缺失或不完整的部分，并基于已有信息进行合理的补充或矫正。
在解题中，我们可以将已有的问题抽象化为一种数据形式，然后通过截长补短法来填补缺失的数据或完善已有的数据。
案例分析为了更好地理解截长补短法在解题中的应用，我们来看一个简单的案例。
问题：设有一堆小石子，共有N个，其中包含M个红色石子和(N-M)个蓝色石子。
现在需要从这堆石子中随机选取一个石子，并判断其颜色。
但是，我们只能通过观察已经选取的石子颜色来统计，并不能直接看到每个石子的颜色。
请问，如何用截长补短法解决此问题？解法： 1. 我们首先从这堆石子中随机选取一个石子，假设它是红色。
2. 根据已有的观察，得到选择的石子颜色数据。
3. 如果已观察到的红色石子数大于M，说明我们之前的判断可能是错误的，那么我们可以推测之前选取的红色石子中存在一个或多个蓝色石子。
因此，我们需要进行补偿操作，并将之前选取的红色石子中的一个或多个替换成蓝色石子。
4. 反之，如果已观察到的红色石子数小于M，说明我们之前的判断可能是正确的，那么我们可以确认之前选取的红色石子中都是红色，不需要进行补偿操作。
通过以上步骤，我们可以逐渐地修正我们对石子颜色的判断，直到最终得到一个准确的答案。
截长补短法是一种在解决问题中非常有用的方法。
数学的截长补短法
数学的截长补短法在数学的广阔领域中，解题策略多种多样，其中“截长补短法”以其灵活性和实用性在数学解题中占据了一席之地。
本文将详细阐述这一方法的基本原理、应用场景以及解题步骤，旨在帮助读者更深入地理解并掌握这一数学工具。
一、截长补短法的基本原理截长补短法，顾名思义，包含两个基本动作：“截”和“补”。
“截”指的是在复杂的数学问题中，通过截取一部分来简化问题，使之变得更容易处理；“补”则是在截取后，为了保持问题的完整性，对剩余部分进行适当的补充。
这两个动作相互配合，共同构成了截长补短法的基本框架。
在具体应用中，“截”和“补”的操作并非随意进行，而是需要遵循一定的原则。
首先，“截”的部分应该是问题中相对独立且易于处理的部分，这样才能确保截取后的问题能够得到有效的简化。
其次，“补”的部分应该与截取部分相互关联，且补充后的问题应该与原问题在本质上保持一致，这样才能确保解题的正确性。
二、截长补短法的应用场景截长补短法作为一种解题策略，可以广泛应用于数学的各个领域。
以下是一些典型的应用场景：1. 几何问题：在几何问题中，截长补短法常常用于处理复杂的图形。
例如，在面对一个复杂的几何图形时，我们可以通过截取其中的一部分来简化问题，然后再通过补充适当的辅助线或图形来恢复问题的完整性。
2. 代数问题：在代数问题中，截长补短法可以用于简化复杂的代数式。
例如，在面对一个包含多个项的代数式时，我们可以通过截取其中的一部分项来简化问题，然后再通过补充适当的项来保持等式的平衡。
3. 概率问题：在概率问题中，截长补短法可以用于处理复杂的概率事件。
例如，在面对一个包含多个独立事件的复杂概率问题时，我们可以通过截取其中的一部分事件来简化问题，然后再通过补充适当的事件来保持问题的完整性。
三、截长补短法的解题步骤虽然截长补短法在具体应用时需要根据问题的具体情况进行灵活调整，但其基本步骤可以归纳为以下几点：1. 分析问题：首先，我们需要对问题进行深入的分析，明确问题的主要难点和关键点。
截长补短法口诀技巧
截长补短法口诀技巧截长补短法是一种常用的口诀技巧，用于解决数学题中的计算问题。
它的核心思想是将一个较难计算的数拆分成两个相对容易计算的数，然后再进行计算，最后将结果合并得到最终答案。
以下将详细介绍截长补短法的步骤和应用场景。
截长补短法的步骤如下：1. 首先，观察题目中的计算式或问题，确定需要进行截长补短的数。
一般来说，这些数会比较复杂或者难以直接计算。
2. 然后，将这个数拆分成两个较为简单的数，使得拆分后的两个数之和等于原数。
拆分的方法可以灵活选择，可以根据具体情况采用合适的方式。
比如，可以拆分成一个整数和一个小数，或者拆分成两个整数之和。
3. 接下来，分别计算拆分后的两个数。
这两个数相对于原数来说，计算起来应该更加容易。
可以使用各种计算方法，如加减乘除、平方、开方等。
4. 最后，将计算得到的结果合并起来，得到最终的答案。
根据题目要求，可能需要对结果进行进一步处理，比如舍入、取整等。
截长补短法适用于各种数学题型，尤其是那些需要进行复杂计算的题目。
通过拆分数的方式，可以将原本复杂的计算化简为更简单的计算步骤，从而提高解题效率和准确性。
举个例子来说明截长补短法的具体应用。
假设有一个问题要求计算1234乘以5678的结果。
这个乘法运算比较繁琐，直接计算起来比较困难。
我们可以采用截长补短法来简化计算过程。
观察乘法运算，我们可以将1234拆分成1200和34，将5678拆分成5000和678。
这样，乘法运算可以拆分为两个步骤：1200乘以5000，和34乘以678。
接下来，分别计算拆分后的两个乘法运算。
1200乘以5000的结果是6000000，34乘以678的结果是23052。
将计算结果合并起来，6000000加上23052等于6023052。
所以，1234乘以5678的结果是6023052。
通过截长补短法，我们将原本复杂的乘法运算化简为两个相对简单的乘法运算，大大减少了计算的难度和错误的可能性。
除了乘法，截长补短法还可以用于其他运算，比如加法、减法、除法等。
(完整版)经典截长补短法巧解
截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法.通常来证明几条线段的数量关系。
截长补短法有多种方法。
截长法:（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
……补短法（1）延长短边。
(2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……例:B A在正方形ABCD中,DE=DF，DG⊥CE,交CA 于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）B A方法二（好证不好想)MB A例题不详解.（第2页题目答案见第3、4页）FE（1）正方形ABCD中,点E在CD上，点F在BC 上，∠EAF=45o.求证：EF=DE+BF(1）变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系? (1）变形b正方形ABCD中,点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45o.请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1)变形cD正三角形ABC中,E在AB上，F在AC上∠EDF=45o。
DB=DC，∠BDC=120o。
请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？（1）变形dFE正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC 上,∠EAD=15o，∠FAB=30o。
AD=3求∆AEF的面积(完整版)经典截长补短法巧解（1)解：（简单思路）FE延长CD到点G，使得DG=BF,连接AG.由四边形ABCD是正方形得∠ADG=∠ABF=90oAD=AB又DG=BF所以∆ADG≅∆ABF（SAS）∠GAD=∠FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得∠DAB=90o=∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠GAD=∠GAF所以∠GAE=∠GAF-∠EAF=90o-45o=45o∠GAE=∠FAE=45o又AG=AFAE=AE所以∆EAG≅∆EAF（SAS)EF=GE=GD+DE=BF+DE变形a解：（简单思路)EF= BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF,连接AG。
全等三角形截长补短法的经典例题
全等三角形截长补短法的经典例题全等三角形截长补短法的经典例题引言：三角形是几何学中最基本的图形之一，而全等三角形则是一种特殊的三角形，意味着两个三角形的所有对应边和角度都完全相等。
在求解几何问题时，有时我们需要利用这一特性，来简化问题的分析和解决过程。
本文将以全等三角形截长补短法为主题，介绍该方法的基本原理，并通过一个经典例题来说明其应用。
全等三角形截长补短法的基本原理：全等三角形截长补短法是利用全等三角形的性质，将一个三角形切分成多个全等三角形，并在原三角形或其他平行线上补充等长的线段，以便求解或证明相关的几何问题。
这一方法在解决几何问题时十分常用，其核心原理在于通过构造全等三角形，将原问题转化为易于解决的几何关系。
经典例题：证明三平分线交于一点让我们来看一个经典例题：证明三平分线交于一点。
三平分线是指从三角形的一个顶点分别连接到对边中点的线段，我们需要证明它们的交点存在且唯一。
解题步骤如下：1. 我们考虑三角形的一个顶点A和它的对边BC，其中BC为底边。
将BC的中点记为M，连接AM。
2. 根据全等三角形的定义，我们可以发现三角形AMB与三角形AMC 全等。
这是因为AM为公共边，且AB=AC（三边对应相等），∠ABM=∠ACM（平分线与底边的夹角相等）。
3. 由全等三角形的性质可知，∠MAB=∠MAC，即MA是∠BAC的平分线。
4. 同理，我们可以构造三角形的另外两个顶点的平分线，构成全等三角形，从而证明三平分线交于一点。
简要总结：通过全等三角形截长补短法，我们成功证明了三平分线交于一点。
这是因为利用了全等三角形的性质和平分线的定义，将原问题转化为易于解决的几何关系。
这一方法的应用不仅限于证明，而且在求解其它几何问题时也非常实用。
只需找到合适的截长补短点，构造全等三角形，就能简化问题的求解过程。
个人观点与理解：全等三角形截长补短法是一种十分精巧的几何分析方法。
它通过找到适当的截长补短点，将复杂的几何问题转化为易于处理的全等三角形关系。
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月10 日星期 四上午 2时57 分51秒0 2:57:51 20.12.1 0
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 2时57 分20.12. 1002:5 7December 10, 2020
在⊿ ADC和⊿CEB中,
﹛∠ADC= ∠CEB ∠2=∠3
AC=BC
2 1 3
∴ ⊿ADC≌⊿CEB ∴ AD=CE,CD=BE ∵ DE=CE+CD ∴ DE=AD+BE
例 1.在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分∠BAC.
题 求证：AB+BD=AC
A
讲 证明：在AC上截取A E=AB，连结D E 12 ∵ AD平分∠BAC
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月10日 星期四 2时57 分51秒0 2:57:51 10 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 2时57 分51秒 上午2时 57分02 :57:512 0.12.10
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/10/
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Thursday, December 10, 202
010-Dec-2020.12.10
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1002:57:5110 December 202002:57
A
D
E
B
C
思考题
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上 分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且 ∠MDN=60°, ∠BDC=120°, BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时， BM、NC、MN之间的数量关系.
如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时， BM、NC、MN之间的数量关系是
A
写出你的猜想并加以证明；
M
N
B
C
D
N
如图3，点M、N分别在边 AB、CA的延长线上时， 猜想（I）的结论还成立吗 ?
若不成立，又有怎样的 数量关系？写出你的猜
A 想并加以证明.
B
C
M D
著名的数学家，莫斯科大学教授雅 洁卡提出：“解题就是把要解的题 转化为已经解过的题”。许多题目 我们都解过，怎样转化呢？加油吧！
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1020. 12.10Thursday, December 10, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。02:5 7:5102: 57:5102 :5712/ 10/2020 2:57:51 AM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 002:57: 5102:5 7Dec-20 10-Dec-20
“截长补短法” 在解题中的应用
在△ ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C， 且AD⊥MN于D，BE∠ACB=90° ， ∴ ∠1+∠2=90°. ∵BE⊥MN， ∴ ∠1+∠3=90°. ∴ ∠2=∠3. ∵AD⊥MN, ∴ ∠ADC= ∠CEB=90°.
2020 2:57:51 AM02:57:512020/12/10
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/10/
谢 谢 大 家 2020 2:57 AM12/10/2020 2:57 AM20.12.1020.12.10
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。10-Dec-2010 December 202020.12.10
例 2.如图，在△ ABC中，∠ABC=60°,AD、CE
题 分别平分∠BAC、 ∠ACB,
讲 求证：AC=AE+CD
A
解 在AC上取CF=CD，连OF
F
E O
C
B
得△COD≌△COF，∠AOC=120°
D
∠AOE=∠DOC=60°=∠FOC
证△AEO≌△AFO
练习
如图，AD∥BC，AE, BE分别平分 ∠DAB,∠CBA， CD经过点E， 求证：AB＝AD+BC
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 02:57:5 102:57: 5102:5 7Thursday, December 10, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 020.12. 1002:5 7:5102: 57:51D ecembe r 10, 2020
A
M B
N C
D
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上 分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且 ∠MDN=60°, ∠BDC=120°, BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时， BM、NC、MN之间的数量关系.
如图2，点M、N边AB、AC上，且 当DM≠DN时，猜想（I）的结论还成立吗 ?
∴ AB+BD=AC
例 １．在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分BAC.
题 求证：AB+BD=AC
A
讲 证明：在AB的延长线截取B E=BD， 连结D E.
解
B
D
C
E
在射线 AB截取B E=BD， 连结D E.
补短法
截长法与补短法，具体做法是在某条 线段上截取一条线段与特定线段相等，或 是将某条线段延长使之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质加以说明． 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、 分等类的题目．
3
E
解
∴ ∠1＝∠2,
在△ABD和 △AED中
4
B
D
C
﹛A B=AE ∠1＝∠2 A D=AD
∵ ∠3= ∠4+ ∠C ∴ 2∠C = ∠4+ ∠C ∴ ∠ C ＝∠4
∴ △ABD≌ △AED
∴DE=CE
∴BD=DE, ∠B＝∠3 截长法
∵ ∠B＝2∠C
∴BD=CE ∵AE+EC=AC
∴ ∠3=2∠C