格子Boltzmann方法理论及其应用

为松弛时间，满足： υ
2 = cs (τ
− 0.5)∆t； ω = τ
−1
cs: Sound Speed, depending on Model
基本理论: 宏观量与局部平衡态
•
宏观量 ρ = ∑ fi
i
ρu =
∑
i
cei f i
1 eρ = 2 1 2
∑
i
(cei − u) 2 f i
• 守恒律
eq i
• 孤立子（波）：一类稳定的、能量有限的不
弥散解，即它能始终保持其波形和速度不变。
求解非线性物理方程的难点
� 非线性的影响 � 间断性的处理 � 大计算量应对
非线性与复杂流动
� 不同之处 • 物理背景不同 • 方程形式略有区别 � 共同之处 • 非线性偏微分方程 • 计算量的应对
类似的计算方法？？
非线性数学物理方程
• 对流扩散方程(质量守恒) ∂tφ + ∇⋅ B(φ ) = ∇⋅ (α∇⋅ D(φ )) + S • 反应扩散方程： ∂tφi = ∇⋅ (αi∇⋅ D(φi )) + Ri
斑图动力学，螺旋波，…
• Heat/Poisson/Burgers/sine-Gordon/Schrödinge/KGS /Dirac/Ginzburg-Landau/Zakharov System/KdV/ Buckley-Leveret/ … 等诸多实值和复值方程
应用方面-复杂流动： 2D空腔流 2D空腔流：Re～50000；256×256 网格
• Geometry
u=1, v=0
• Lattice model D2Q9
e6 e2 e5
u=0 v=0
u=0 v=0
e3
e0
e1
u=0, v=0
e7
e4
e8
Simulation Results
• Streamlines: Unsteady and periodic case
Lattice Boltzmann方法
• 来源
– LGA、 Boltzmann方程
• 基本理论
– 演化方程、平衡态和宏观量、外力模型、 边界处理
• 应用领域
来源：LGA
• LGA 格子气自动机
CA
LGA
Stephen Wolfram
来源： Boltzmann方程
• Boltzmann方程
∂t f + ξ ⋅ ∇x f + a ⋅ ∇ξ f = Ω( f ), f = f (x, ξ, t ) 1 ( eq ) • BGK模型 Ω = − ( f − f ) τ
Re=20000
Tstep: 180000182000
50 100 150 200 250
LBM应用领域
� 多相(组分)流；多孔介质流；微重力流；自由 边界；粒子悬浮；对流/反应-扩散；燃烧；斑 图形成；孤立子；磁流体MHD；晶体生长；微 尺度/纳米流体 …… � 典型问题：管道流；空腔流；自然对流；绕 流；后台阶流；突扩流；对流/反应-扩散方 程；非线性物理方程 ……
3.算例与应用
流体描述的介观方法
宏观与微观的桥梁
?
微观分子 模型 统计力学
分子动力 学模拟 (MD)
动理学 理论 CE分析
介观方法 (LBM等 )
统观连续 模型
计算流体 力学 (CFD)
非线性：斑图动力学
• 自然界中广泛存在着各式各样的斑图，例如，动物体 表花纹、流体中的对流斑图、法拉第系统中的表面波 斑图、化学反应系统中的斑图、细菌群体中的竞争与 合作增长行为、非线性光学系统中的斑图以及气体放 电中的斑图等。斑图动力学就是研究此类时空结构的 自组织形成、选择、演化的动力学共性。
基本理论: LBM演化方程(流动)
fi (x + cei ∆ t , t + ∆ t ) = f i (x, t ) + Ωi ( f , f ) + ∆tFi ( x, t )
eq f 其中： i f i 沿方向ei的粒子分布函数和局部平衡态分 布；c = ∆x ∆t 粒子速度； Ω i 碰撞算子，Fi 为外力分布。
fi eq
2 e u e u c i⋅ (c i ⋅ ) u ⋅ u = ρ wi (1 + 2 + − 2) 4 cs 2cs 2cs
LBM：多尺度展开
Chapman-Enskog Expansion:
fi = fi (0) + ε fi (1) + ε 2 fi (2) + ⋯
∂t = ε∂t1 + ε ∂t2 + ⋯, ∇ = ε∇1 , F = ε F
e6 e3 e2 e0 e5 e1
cs2 = c 2 / 3, w0 = 4/ 9, w1 = 1/ 9, w5 = 1/ 36
e7
e4
e8
∑ wi = 1
i
i
2 c c w = c ∑ i i i sI
i
4 c c c c w = c ∑ i i i i i s∆
离散速度方向：
DdQq格子模型
D3Q15
2
(1)
� 利用多尺度展开，在 下，可得N-S方程：
Ma << 1
的条件
∂ t ρ + ∇ ⋅ ρu = 0
∂ t ρu + ∇ρuu = −∇p + ∇ ⋅ [νρ (∇u + (∇u)T )] + ρ F 2 cs (τ − 1/ 2)∆t = ν
离散速度方向：
DdQq格子模型
D2Q9
⎛ 0 1 0 −1 0 1 −1 −1 1 ⎞ {ci , i = 0:8} = c ⎜ ⎟ 0 0 1 0 − 1 1 1 − 1 − 1 ⎝ ⎠
• 局部平衡态：Maxwell分布
f
( eq )
ρ (ξ − u) = exp(− ) D/2 (2π RT ) 2 RT
2
• 离散速度Boltzmann方程
∂t f j + ξ j ⋅∇x f j + a ⋅∇ξ j f j = Ω( f j ), f j (x, t ) = f (x, ξ j , t )
格子Boltzmann方法理论及其应用
报告人：郑林
2013年01月16日
目录
� 研究背景
� 格子Boltzmann 方法(LBM) � 算例与应用 � 结束语
1. 研究背景
� 复杂流动与非线性
多相流、微流动、渗流、孤立子 、斑图、螺旋波， ……
� 科学计算：第三种科学方法
验证与发现；科学（高性能）计算：算法＋计算机
流动问题： 2D，3D空腔流、圆(方)柱绕流、自然对流、 微尺度流动、多相(组分)流、颗粒悬浮流、血 液流、MHD等等 非线性物理方程求解： 1D，2D NLSE、CGLE、BurgersE、 Burgers-FisherE、Sine-GordonE、Heat E、 Buckley-Leveret E； 1D DiracE、KGSE、GZS、 (m)KdV，……
257 257 257 193 129 193 193
Re=15000
T=1.9560 (2000 time steps)
1 65 129 193 257
129
129
65 1 1 65 129 193 257
65
65
1
1
65
129
193
257
1
Tstep: 155000157000
257
257
257
满足： ∑ Fi = 0, ∑ cei Fi = ρF , ∑ c 2 ei ei Fi = ρ ( Fu + uF )
i i i
δt ρu = ∑ cei f i + ρF 速度修正为： 2 i
基本理论: 边界处理
反弹格式
fluid solid
基本理论: 边界处理
反弹格式
fluid solid
∑
i
i
Ωi = 0
∑
i
cei Ωi = 0
∑
i
(cei − u) 2 Ωi = 0
eq e ∑ ( fi − fi ) = 0 ∑ c i ( f i − f i ) = 0
2 eq ( c e − u ) ( f − f ∑ i i i )=0
i
• LBGK与DdQq模型(Y. Qian): 等温情形
e6 e2 e5
eq
1 LBGK模型：Ωi = − ( fi (x, t ) − fi eq (x, t )) τ
eq
e3
e0
e1
fi (x + cei ∆ t , t + ∆ t ) = (1 − ω) fi (x, t ) + ω fi (x, t ) + ∆tFi (x, t )
e7
e4
e8
τ
非线性：螺旋波
• 螺旋波是系统远离平衡态时由于系统自组织形成的一 类特殊斑图，在心肌、铂表面的CO氧化以及化学反 应等系统中都能观测到螺旋波的存在．涉及的领域包 括数学 、物理 、力学、天文 、化学 、生物、医学等 学科！螺旋波有时是有害的，例如在心肌中，螺旋波 的存在会导致心动过速，在一些参数下，螺旋波会自 发失稳而进入时空湍流态 ，它的存在被认为是心室 失颤的一种机制 ，而心室失颤会引发心脏猝死，这 在疾病死亡中占有很高的比率．因此，需要发展低振 幅地、快速地控制和消除螺旋波与时空混沌的方法！
高性能计算
匹 配？
高效算法
？
胜任？
高效 率？ 复杂流动与非线性
2. 格子Boltzmann方法（LBM）