专题4第2讲数列求和问题2021届山东省高考数学大二轮专题复习讲义(新高考)
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几项,可求和.常用于数列anan+1的求和,其中数列{an}是各项不为 0 的 等差数列,c 为常数.
=42,③aan+n 1
Leabharlann Baidu
n+1 = n ,S7=56 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,
并加以解答.
设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}为等比数列,________,b1 =a1,b2=a12a2.求数列S1n+bn的前 n 项和 Tn.
解 选①,
当 n=1 时,a1=S1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n,又 n=1 满足 an=2n,所以 an=2n. 设{bn}的公比为 q,因为 a1=2,a2=4,由 b1=a1,b2=a12a2,得 b1=2, q=2,所以 bn=2n. 由数列{bn}的前 n 项和为2-1-2n2+1=2n+1-2,又可知S1n=n2+1 n=nn+1 1
(5)并项求和法:当一个数列为摆动数列,形如 06 _(_-__1_)_na_n__的形式, 通常分 07 _奇__、__偶__,观察相邻两项是否构成新数列.
2
PART TWO
热点考向探究
考向 1 分组转化法求和
例 1 (2020·山东省泰安市模拟)在①Sn=n2+n,②a3+a5=16,S3+S5
(1)公式法:适合求等差数列或等比数列的前 n 项和.对等比数列利用 公式法求和时,一定要注意 01 _公__比__q_是__否__取__1__.
(2)错位相减法:主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和,其中{an},{bn}分 别是 02 _等__差__数__列__和__等__比__数__列___.
所以 an=2n,Sn=n2+n. 下同选①.
选③,
由aan+n 1=n+n 1,得na+n+11 =ann,所以ann=a11,即 an=a1n,S7=7a4=28a1=
56,所以 a1=2,所以 an=2n,Sn=n2+n.
下同选①.
解
若一个数列是由两个或多个等差、等比数列的和差形式组成,或这个 数列可以分解成两个或多个等差、等比数列的和差形式,则可以根据数列 的结构对原数列求和式的各部分重新组合,进而使用等差、等比数列的求 和公式进行求和.解题的关键是观察结构、巧分组.
得q3++64+d-d=2q1=0,3+2d, 解得dq==22,, 所以 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.
解
(2)由 a1=3,an=2n+1,得 Sn=n(n+2).
则 cn=nn+2 2,n为奇数, 2n-1,n为偶数,
即 cn=n1-n+1 2,n为奇数, 2n-1,n为偶数,
T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n) =1-13+31-15+…+2n1-1-2n1+1+(2+23+…+22n-1) =1-2n1+1+211--44n=2n2+n 1+23(4n-1).
解
考向 2 裂项相消法求和 例 2 (2020·山东省潍坊市模拟)在①a2,a3,a4-4 成等差数列,②S1, S2+2,S3 成等差数列中任选一个,补充在下面的问题中,并解答. 在公比为 2 的等比数列{an}中,________. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=(n+1)log2an,求数列4nb+2n 2的前 n 项和 Tn.
等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}是等比数列,满足 a1=3,b1 =1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn=S2n,n为奇数, 设数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 T2n.
bn,n为偶数,
解 (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q,则由 a1=3,b1= 1 及ba25+-S22b=2=10a,3,
第二编 讲专题
专题四 数列 第2讲 数列求和问题
「考情研析」 1.从具体内容上,高考对数列求和的考查主要以解答题 的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和, 体现转化与化归的思想. 2.从高考特点上,难度稍大,一般以解答题为主.
1
PART ONE
核心知识回顾
常见的求和方法
(3)裂项相消法:把数列和式中的各项分别裂项后,消去一部分从而计 1
算和的方法,适用于求通项为 03 _a_n_a_n+_1_的数列的前 n 项和.
(4)分组求和法:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这 个数列 04 _适__当__拆__开__,05 _重__新__组__合__,就会变成几个可以求和的部分,分别 求和,然后再合并.
4n+2 记 cn= b2n ,则 cn=4nb+2n 2=n24nn+ +212=2n12-n+112,
∴Tn=c1+c2+…+cn
=2112-212+2212-312+…+2n12-n+1 12
=2112-212+212-312+…+n12-n+1 12
=2112-n+1 12=2-n+2 12.
=1n-n+1 1,
数列S1n的前 n 项和为 1-12+12-13+…+n1-n+1 1=1-n+1 1,
故 Tn=2n+1-2+1-n+1 1=2n+1-n+1 1-1.
解
选②,
设等差数列{an}的公差为 d,由 a3+a5=16,S3+S5=42,
得28aa11++61d3=d=1642,, 解得ad1==22,,
解
方案二:选条件②, (1)由题意,得 S1=a1,S2+2=3a1+2,S3=7a1, ∵S1,S2+2,S3 成等差数列, ∴2(S2+2)=S1+S3,即 2(3a1+2)=a1+7a1,解得 a1=2, ∴an=2·2n-1=2n,n∈N*. (2)同方案一第(2)问解答过程.
解
裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限 c
解 方案一:选条件①, (1)由题意,得 a2=2a1,a3=4a1,a4-4=8a1-4, ∵a2,a3,a4-4 成等差数列, ∴2a3=a2+a4-4,即 8a1=2a1+8a1-4, 解得 a1=2, ∴an=2·2n-1=2n,n∈N*.
解
(2)由(1)知,bn=(n+1)log2an=(n+1)log22n=n(n+1),
=42,③aan+n 1
Leabharlann Baidu
n+1 = n ,S7=56 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,
并加以解答.
设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}为等比数列,________,b1 =a1,b2=a12a2.求数列S1n+bn的前 n 项和 Tn.
解 选①,
当 n=1 时,a1=S1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n,又 n=1 满足 an=2n,所以 an=2n. 设{bn}的公比为 q,因为 a1=2,a2=4,由 b1=a1,b2=a12a2,得 b1=2, q=2,所以 bn=2n. 由数列{bn}的前 n 项和为2-1-2n2+1=2n+1-2,又可知S1n=n2+1 n=nn+1 1
(5)并项求和法:当一个数列为摆动数列,形如 06 _(_-__1_)_na_n__的形式, 通常分 07 _奇__、__偶__,观察相邻两项是否构成新数列.
2
PART TWO
热点考向探究
考向 1 分组转化法求和
例 1 (2020·山东省泰安市模拟)在①Sn=n2+n,②a3+a5=16,S3+S5
(1)公式法:适合求等差数列或等比数列的前 n 项和.对等比数列利用 公式法求和时,一定要注意 01 _公__比__q_是__否__取__1__.
(2)错位相减法:主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和,其中{an},{bn}分 别是 02 _等__差__数__列__和__等__比__数__列___.
所以 an=2n,Sn=n2+n. 下同选①.
选③,
由aan+n 1=n+n 1,得na+n+11 =ann,所以ann=a11,即 an=a1n,S7=7a4=28a1=
56,所以 a1=2,所以 an=2n,Sn=n2+n.
下同选①.
解
若一个数列是由两个或多个等差、等比数列的和差形式组成,或这个 数列可以分解成两个或多个等差、等比数列的和差形式,则可以根据数列 的结构对原数列求和式的各部分重新组合,进而使用等差、等比数列的求 和公式进行求和.解题的关键是观察结构、巧分组.
得q3++64+d-d=2q1=0,3+2d, 解得dq==22,, 所以 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.
解
(2)由 a1=3,an=2n+1,得 Sn=n(n+2).
则 cn=nn+2 2,n为奇数, 2n-1,n为偶数,
即 cn=n1-n+1 2,n为奇数, 2n-1,n为偶数,
T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n) =1-13+31-15+…+2n1-1-2n1+1+(2+23+…+22n-1) =1-2n1+1+211--44n=2n2+n 1+23(4n-1).
解
考向 2 裂项相消法求和 例 2 (2020·山东省潍坊市模拟)在①a2,a3,a4-4 成等差数列,②S1, S2+2,S3 成等差数列中任选一个,补充在下面的问题中,并解答. 在公比为 2 的等比数列{an}中,________. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=(n+1)log2an,求数列4nb+2n 2的前 n 项和 Tn.
等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}是等比数列,满足 a1=3,b1 =1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn=S2n,n为奇数, 设数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 T2n.
bn,n为偶数,
解 (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q,则由 a1=3,b1= 1 及ba25+-S22b=2=10a,3,
第二编 讲专题
专题四 数列 第2讲 数列求和问题
「考情研析」 1.从具体内容上,高考对数列求和的考查主要以解答题 的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和, 体现转化与化归的思想. 2.从高考特点上,难度稍大,一般以解答题为主.
1
PART ONE
核心知识回顾
常见的求和方法
(3)裂项相消法:把数列和式中的各项分别裂项后,消去一部分从而计 1
算和的方法,适用于求通项为 03 _a_n_a_n+_1_的数列的前 n 项和.
(4)分组求和法:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这 个数列 04 _适__当__拆__开__,05 _重__新__组__合__,就会变成几个可以求和的部分,分别 求和,然后再合并.
4n+2 记 cn= b2n ,则 cn=4nb+2n 2=n24nn+ +212=2n12-n+112,
∴Tn=c1+c2+…+cn
=2112-212+2212-312+…+2n12-n+1 12
=2112-212+212-312+…+n12-n+1 12
=2112-n+1 12=2-n+2 12.
=1n-n+1 1,
数列S1n的前 n 项和为 1-12+12-13+…+n1-n+1 1=1-n+1 1,
故 Tn=2n+1-2+1-n+1 1=2n+1-n+1 1-1.
解
选②,
设等差数列{an}的公差为 d,由 a3+a5=16,S3+S5=42,
得28aa11++61d3=d=1642,, 解得ad1==22,,
解
方案二:选条件②, (1)由题意,得 S1=a1,S2+2=3a1+2,S3=7a1, ∵S1,S2+2,S3 成等差数列, ∴2(S2+2)=S1+S3,即 2(3a1+2)=a1+7a1,解得 a1=2, ∴an=2·2n-1=2n,n∈N*. (2)同方案一第(2)问解答过程.
解
裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限 c
解 方案一:选条件①, (1)由题意,得 a2=2a1,a3=4a1,a4-4=8a1-4, ∵a2,a3,a4-4 成等差数列, ∴2a3=a2+a4-4,即 8a1=2a1+8a1-4, 解得 a1=2, ∴an=2·2n-1=2n,n∈N*.
解
(2)由(1)知,bn=(n+1)log2an=(n+1)log22n=n(n+1),