参数方程教案

教学过程 一、复习预习

1.直线的参数方程

(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是

⎩⎨

⎧+=+=a

t y y a

t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=a

b

的直线的参数方程是

⎩

⎨

⎧+=+=bt y y at

x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2

+b 2

=1,②即为标准式，此

时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2

≠1，则动点P 到定点P 0的距离是

22b a +｜t ｜.

直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是

⎩⎨

⎧+=+=a

t y y a

t x x sin cos 00 （t 为参数）

若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是

(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;

(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=

2

2

1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2

2

1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则

t 1+t 2=0.

2.圆锥曲线的参数方程

(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨

⎧+=+=ϕ

ϕ

sin cos r b y r a x (φ是参数)

φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)

(2)椭圆 椭圆122

22=+b

y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是

⎩⎨

⎧==ϕϕ

sin cos b y a x (φ为参数)

椭圆 122

22=+b

y a y (a ＞b ＞0)的参数方程是

⎩⎨

⎧==ϕ

ϕ

sin cos a y b x (φ为参数)

二、知识讲解

考点1. 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化。

(1)标准式 过点Po(x

0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是

⎩

⎨

⎧+=+=a t y y a

t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=

a

b

的直线的参数方程是 ⎩

⎨

⎧+=+=bt y y at

x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2

+b 2

=1,②即为标准式，此

时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2

≠1，则动点P 到定点P 0的距离是

22b a +｜t ｜.

考点2极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化

(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨

⎧+=+=ϕ

ϕ

sin cos r b y r a x (φ是参数)

φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)

(2)椭圆 椭圆122

22=+b

y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是

⎩⎨

⎧==ϕϕ

sin cos b y a x (φ为参数)

三、

例题精析

【例题1】

【题干】在圆x 2

+y 2

-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.

【答案】 将圆的方程化为参数方程：

⎩⎨

⎧+=+=θ

θ

sin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=

2

2

3

430

sin 15cos 120+++θθ

故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2). 【解析】曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化

【例题2】

【题干】极坐标方程ρ=θ

θcos sin 321

++所确定的图形是（ ） A.直线

B.椭圆

C.双曲

D.抛物线

【答案】ρ=

)

6

sin(12

11)]cos 2

1

23(

1[21

π

θθ++⋅=

++

【解析】极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化

四、课堂运用

【基础】 1. 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩

⎨

⎧Φ+-=Φ

+=y x （ ）

A. (-3，5) ， (-3，-3)

B. (3，3) ， (3，-5)

C. (1，1) ， (-7，1)

D. (7，-1) ， (-1，-1)

答案：化为普通方程得

125

)1(9)3(2

2=++-y x ∴a 2

=25,b 2

=9,得c 2

＝１６,c=4.

∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)

∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.

解析：极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化