参数方程教案
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教学过程 一、复习预习
1.直线的参数方程
(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
⎩⎨
⎧+=+=a
t y y a
t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=a
b
的直线的参数方程是
⎩
⎨
⎧+=+=bt y y at
x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2
+b 2
=1,②即为标准式，此
时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2
≠1，则动点P 到定点P 0的距离是
22b a +｜t ｜.
直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是
⎩⎨
⎧+=+=a
t y y a
t x x sin cos 00 （t 为参数）
若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是
(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;
(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=
2
2
1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2
2
1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则
t 1+t 2=0.
2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨
⎧+=+=ϕ
ϕ
sin cos r b y r a x (φ是参数)
φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
(2)椭圆 椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是
⎩⎨
⎧==ϕϕ
sin cos b y a x (φ为参数)
椭圆 122
22=+b
y a y (a ＞b ＞0)的参数方程是
⎩⎨
⎧==ϕ
ϕ
sin cos a y b x (φ为参数)
二、知识讲解
考点1. 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化。
(1)标准式 过点Po(x
0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
⎩
⎨
⎧+=+=a t y y a
t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=
a
b
的直线的参数方程是 ⎩
⎨
⎧+=+=bt y y at
x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2
+b 2
=1,②即为标准式，此
时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2
≠1，则动点P 到定点P 0的距离是
22b a +｜t ｜.
考点2极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨
⎧+=+=ϕ
ϕ
sin cos r b y r a x (φ是参数)
φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
(2)椭圆 椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是
⎩⎨
⎧==ϕϕ
sin cos b y a x (φ为参数)
三、
例题精析
【例题1】
【题干】在圆x 2
+y 2
-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
【答案】 将圆的方程化为参数方程：
⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=
2
2
3
430
sin 15cos 120+++θθ
故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2). 【解析】曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
【例题2】
【题干】极坐标方程ρ=θ
θcos sin 321
++所确定的图形是（ ） A.直线
B.椭圆
C.双曲
D.抛物线
【答案】ρ=
)
6
sin(12
11)]cos 2
1
23(
1[21
π
θθ++⋅=
++
【解析】极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
四、课堂运用
【基础】 1. 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩
⎨
⎧Φ+-=Φ
+=y x （ ）
A. (-3，5) ， (-3，-3)
B. (3，3) ， (3，-5)
C. (1，1) ， (-7，1)
D. (7，-1) ， (-1，-1)
答案：化为普通方程得
125
)1(9)3(2
2=++-y x ∴a 2
=25,b 2
=9,得c 2
＝１６,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.
解析：极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化