合肥一中高一下学期期中考试数学试题及答案
合肥一中高中高一下学期期初中中考试数学试卷试题及含答案
合肥一中高中高一下学期期初中中考试数学试卷试题及含答案1 / 6合肥一中 2012-2013 学年第二学期期中考试高 一 年 级 数 学 试 卷（考试时间： 120 分钟满分： 100 分）一、选择题（此题共 10 小题，每题4 分，共 40 分）1．以下不等式正确的选项是 ( )A ．若 a b ，则 a c b cB ．若 a b ，则 a c 2 b c 2C. 若 ab ，则1 1D. 若 a c 2b c 2 则 a ba b2. 在 ABC 中， A ＝60 ， B ＝75 ， a10,则 c 边的长度为（）A ． 5 2B ． 10 210 6D ． 5 6C.33. 若 1 x4,3 y6, 则x）的取值范围是 .（yA ． [ 1, 2]B ． [ 1 , 4]C.[ 1 , 4] D ． [ 2 , 4] .3 3 6 33 33 34.在△ ABC 中，∠ A=60 ° ,a= 6 ,b= 7 知足条件的△ ABC （）A. 不可以确立B. 无解C. 有一解D. 有两解 5．数列 a n 的通项公式 a n1 ，则该数列的前（）项之和等于 9 。
nn 1A ． 98B ． 99C ． 96D ． 97 6.在数列 { a n } 中， a 1 2 ， a n 1 a nln(11) ，则 a n（）nA ． 2 ln nB ． 2 (n 1)ln nC ． 2 n ln nD ． 1 n ln n7. 以下不等式必定建立的是A. x 21x( x 0)B. sin x 1 2( x k , k Z)4sin xC. x 21 2 x (x R)D.1 1( x R)x218. 在ABC 中， a, b,c 分别为角 A, B, C 所对的边。
若 b 2a cosC ， 则 ABC 的形状必定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D．等腰或直角三角形9. 等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，且 S mx ， S 2m y ， S 3mz ，则 ()A ． x y zB ． y 2x zC ． x 2y 2xy xz D ． 2 y x z合肥一中高中高一下学期期初中中考试数学试卷试题及含答案2 / 610. 一个凸多边形的内角成等差数列，此中最小的内角为120°,公差为 5°，那么这个多边形的边数 n 等于（）A.12B.16C.9D.16 或 9二、填空题（此题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）11. 不等式x 3＜ 0 的解集为 ____________x 212. 在 ABC 中， a=15,b=10,A=60 °，则 cosB =_________13. 两个等差数列 a 和b 的前 n 项和分别为 S n 和 T n ，若S nn 3 ，则 a6nnT n2n 1b 614. 若正实数 x 、 y, 知足 2 x y 6 xy, 则 xy 的最小值是 _________na 1＝ma na n, 当a n 为偶数时，12若 a 6＝ 1，则 m 全部可能15．已知数列 a 知足：（ m 为正整数），3a n 1,当a n 为奇数时。
安徽省合肥市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）
安徽省合肥市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分．）1．已知＝2+i，则复数z＝（ ）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1﹣3i D．1+3i2．下列说法正确的是（ ）A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台B．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D．球面上四个不同的点一定不在同一个平面内3．已知平面向量，满足||＝2，||＝1，⊥（+4），则向量，的夹角为（ ）A．B．C．D．4．梯形A1B1C1D1（如图）是一水平放置的平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝C1D1＝4，A1D1＝2，则平面图形ABCD的面积是（ ）A．20B．10C．D．5．在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，则此三角形的解的情况是（ ）A．有两解B．有一解C．有无数个解D．无解6．设是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）A．且B．C．D．7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A．B．C．D．8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，其中bc＝2且满足，则△ABC面积为（ ）A．B．C．D．9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．10．一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（ ）A．B．C．D．11．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）A．12B．10C．9D．812．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a：b＝ln2：ln4，且，则．．．．．已知非零向量与满足且，若，则△．已知向量，，．（Ⅱ）若，求19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S△ABC，满足a2+b2﹣c2＝．（1）求∠C；（2）若c＝，求2a﹣4sin B的取值范围．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB1＝4，E为棱A1C1的中点，F为棱A1B1的中点，BC1∩B1C＝O．（Ⅰ）若M为线段BC上一动点，证明：A1M∥平面EFO；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣OEF的体积．21．为了美校园环境，某中学欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝6百米，AD＝2百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈（，π）．（1）当cosθ＝﹣时，求小路AC的长度；（2）试求小路BD的长度．使得草坪ABCD的面积最大．22．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P﹣ABCD．点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：（1）试在棱PC上确定一点G，使得EF∥平面ABG；（2）过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值．答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知＝2+i，则复数z＝（ ）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1﹣3i D．1+3i解：＝2+i，∴z＝（1+i）（2+i）＝2﹣1+（2+1）i＝1+3i，则复数z＝1+3i．故选：D．2．下列说法正确的是（ ）A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台B．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D．球面上四个不同的点一定不在同一个平面内解：对于A：当用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故A错误；对于B：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故B错误；对于C：通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故C正确；对于D：球面上四个不同的点不一定不在同一个平面内，故D错误．故选：C．3．已知平面向量，满足||＝2，||＝1，⊥（+4），则向量，的夹角为（ ）A．B．C．D．解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴．故选：C．4．梯形A1B1C1D1（如图）是一水平放置的平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝C1D1＝4，A1D1＝2，则平面图形ABCD的面积是（ ）A．20B．10C．D．解：梯形A1B1C1D1中，A1B1＝C1D1＝4，所以C1D1＝6，A1D1＝2，所以梯形面积为S′＝×（4+6）×2×sin45°＝5，所以原平面图形ABCD的面积是5×2＝20．故选：A．5．在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，则此三角形的解的情况是（ ）A．有两解B．有一解C．有无数个解D．无解解：在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，∴根据正弦定理，，∴sin A＝2sin32°，∵，∴sin A＞1，∴△ABC不存在，即此三角形无解．故选：D．6．设是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）A．且B．C．D．解：A．若||＝||且∥，则，两个向量为相等向量或相反向量，当＝﹣时，＝不成立，所以A不是充分条件．B．当＝﹣时，＝不成立，所以B不是充分条件．C．当∥时，且，两个向量方向相反时，＝不成立，所以C不是充分条件．D．当＝4时，满足，同向共线，满足＝，所以D是充分条件．故选：D．7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A．B．C．D．解：取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝BC1＝，MC1＝BN＝，∴梯形的高为，∴梯形的面积为（）×＝，故选：C．8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，其中bc＝2且满足，则△ABC面积为（ ）A．B．C．D．解：因为＝＝所以2c cos A＝b cos A+a cos B，由正弦定理得2sin C cos A＝sin B cos A+sin A cos B＝sin（A+B）＝sin C，由C为三角形内角得sin C＞0，所以cos A＝，由A为三角形内角得A＝，则△ABC的面积S＝bc sin A＝＝．故选：B．9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，4），N（0，1，3），C（0，1，0），M（1，0，2），＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣1，2），设异面直线A1N与CM所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线A1N与CM所成角的余弦值为．故选：B．10．一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（ ）A．B．C．D．解：棱长为4的正四面体放入一个棱长为的正方体中，则外接球的直径为，故外接球的半径为，棱长为4的正四面体的高h＝，所以过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则顶点到截面的距离为，则球心到截面的距离为，所以截面圆的半径＝，则截面圆的面积是＝．故选：A．11．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）A．12B．10C．9D．8解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A（﹣4，0），B（﹣3，），C（﹣1，）．圆D的方程为x2+y2＝，可设P（cosα，sinα）所以＝（3，），＝（cosα+3，sinα−）．故＝sinα+cosα+6＝3（sinα+cosα）+6＝3sin（α+）+6≤3+6＝9．故选：C．12．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a：b＝ln2：ln4，且，则k的范围是（ ）A．B．C．D．解：因为a：b＝ln2：ln4＝ln2：2ln2＝1：2，所以b＝2a，因为三角形三边长分别为，a，2a，c，所以a+2a＞c，且a+c＞2a，即3a＞c，且c＞a，于是，所以，因为＝＝＝＝，＝ ．＝＝，故答案为：．．已知非零向量与满足且，若，则△的面积为 ．解：因为，所以∠＝，所以∠•tan30°＝2•，所以＝．故答案为：．均与大球内切，则大球的半径为 ．＝＝，＝．＝，＝26﹣，则，解得＝．＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量，，．（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；（Ⅱ）若，求x，y的值．解：（Ⅰ）若点A、B、C不能构成三角形，则A、B、C三点共线由，，得＝（3，1），＝（2﹣x，1﹣y）∵A、B、C三点共线，得∥∴3（1﹣y）＝2﹣x，即x、y满足的条件为x﹣3y+1＝0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵＝（﹣1﹣x，﹣y）且，∴（2﹣x，1﹣y）＝2（﹣1﹣x，﹣y）可得2﹣x＝﹣2﹣2x，1﹣y＝﹣2y，解之得x＝﹣4，y＝﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知圆锥SO的底面半径R＝6，高H＝8．（1）求圆锥SO的表面积和体积；（2）圆锥SO的内接圆柱OO′的高为h，当h为何值时，圆锥SO的内接圆柱OO′的侧面积最大，并求出最大值．解：（1）∵圆锥SO的底面半径R＝6，高H＝8，∴圆锥SO的母线长L＝＝10，则侧面积S＝πRL＝60π，体积V＝＝96π；（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO＝8，OA＝OB＝6，OK＝h（0＜h＜8）．设圆柱底面半径为r，则，即r＝（8−h）．设圆柱的侧面积为S′＝2πr•h＝2π•（8−h）•h＝（−h2+8h）．∴当h＝4时，S′有最大值为24π．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S△ABC，满足a2+b2﹣c2＝．（1）求∠C；（2）若c＝，求2a﹣4sin B的取值范围．解：（1）因为a2+b2﹣c2＝，所以2ab cos C＝，所以tan C＝，由C为三角形内角得C＝；（2）由正弦定理得＝2，所以a＝2sin A，所以2a﹣4sin B＝4sin A﹣4sin B＝4sin A﹣4sin（）＝4sin A﹣2cos A﹣2sin A＝2sin A﹣2cos A＝4sin（A﹣），由0＜A＜得﹣＜A﹣，所以﹣＜sin（A﹣）＜，﹣24sin（A﹣）．故2a﹣4sin B的取值范围（﹣2）．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB1＝4，E为棱A1C1的中点，F为棱A1B1的中点，BC1∩B1C＝O．（Ⅰ）若M为线段BC上一动点，证明：A1M∥平面EFO；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣OEF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵O为B1C的中点，F为A1B1的中点，∴OF∥A1C，∵OF⊄平面A1CB，A1C⊂平面A1CB，∴OF∥平面A1CB，∵E为A1C1的中点，F为A1B1的中点，∴EF∥B1C1，而BC∥B1C1，∴EF∥BC，∵EF⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴EF∥平面A1CB，又OF∩EF＝F，∴平面OEF∥平面A1CB，∵M为线段BC上一动点，∴A1M⊂平面A1CB，则A1M∥平面EFO；（Ⅱ）解：取B1C1的中点为D，连接OD，则OD∥BB1，由直三棱柱可得BB1⊥平面A1B1C1，则OD⊥平面A1B1C1，且OD＝BB1＝2，由△A1B1C1是边长为2的等边三角形，可得，而E为A1C1的中点，F为A1B1的中点，∴，∴×OD＝．21．为了美校园环境，某中学欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝6百米，AD＝2百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈（，π）．（1）当cosθ＝﹣时，求小路AC的长度；（2）试求小路BD的长度．使得草坪ABCD的面积最大．解：（1）△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD cosθ＝36+20﹣2××＝80，所以BD＝4，由题意得sinθ＝，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝，因为△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，，CD＝BD＝4，所以cos∠ADC＝﹣sin∠ADB＝﹣，△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2+DC2﹣2AD•CD cos∠ADC＝+（4）2﹣2××（﹣）＝2；（2）由（1）得BD2＝56﹣24cosθ，因为ABCD的面积S＝S△ABD+S△＝6×sinθ+＝6sinθ﹣12cosθ+28＝28+30sin（θ﹣φ），BCD其中sinφ＝，cosφ＝，φ∈（0，），当θ﹣φ＝，即θ＝φ+时，S取得最大值，此时BD2＝56﹣24cosθ＝104，所以BD＝2．22．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P﹣ABCD．点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：（1）试在棱PC上确定一点G，使得EF∥平面ABG；（2）过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值．解：（1）当PG＝3GC时，EF∥平面ABG．理由：设PB＝PC＝3t，因为，，可得PE＝2t，EB＝t，PF＝FC＝t，因为PG＝3GC，可得PG＝t，可得＝＝，所以EF∥BG，而EF⊄平面ABG，BG⊂平面ABG，则EF∥平面ABG；（2）延长FE，与延长CB交于M，连接MA，并延长与CD的延长线交于N，连接FN，交PD于H，由（1）可得FG＝GC＝，即G为CF的中点，由EF∥BC，可得B为MC的中点，由AD∥BC，可得D为CN的中点，在等腰三角形PCD中，F为PC的中点，取CD的中点K，连接FK，则PD＝2KF，DH＝FK，所以PD＝3DH，即＝．。
2023-2024学年合肥市一中高一数学(下)期中考试卷附答案解析
2023-2024学年合肥市一中高一数学（下）期中考试卷（考试时间：150分钟满分：120分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足()2i i z -=（i 是虚数单位），则在复平面内z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =（）A ．23-B ．14-C ．13-D ．143．非零向量a ，b 满足2a b a b +=- ，若a b = ，则a ，b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（）A ．B ．4πC ．D ．8π5．圆台上底面半径为2cm ，下底面半径为4cm ，母线8cm AB =，A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B 点，则绳子最短距离为（）cm A ．10B ．12C ．16D ．206．安徽省肥西县紫蓬山风景秀丽，紫蓬山山顶有座塔.某同学为了测量塔高，他在地面C 处时测得塔底B 在东偏北45︒的方向上，向正东方向行走50米后到达D 处，测得塔底B 在东偏北75︒的方向上，此时测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔顶A 离地面的高度AB 为（）A ．米B ．50米C ．25+米D ．50米7．已知直角ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点，若(),AP AB AC λμλμ=+∈R，则λμ+的取值范围为（）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．17,212⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,112⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭8．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知1AB =，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（）A B ．该半正多面体过A ，B ，C 三点的截面面积为334C ．该半正多面体外接球的表面积为8πD ．该半正多面体的表面积为6+二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．如图，A B C ''' 是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，2O B ''=.则以下正确的有（）A ．4OA =B ．ABC 是等腰直角三角形C ．4OB =D ．ABC 的面积为810．已知平面向量()2,3a =-r，()2,1b = ，则（）A ．()2a b b⊥-B ．a 与b可作为一组基底向量C ．a 与bD ．a 在b方向上的投影向量的坐标为21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，其中正确的命题有（）A ．已知60A ∠=︒，4b =，2c =，则ABC 有两解B ．若90A ∠=︒，3b =，4c =，ABC 内有一点P 使得PA ，PB ，PC两两夹角为120︒，则22230PA PB PC ++= C ．若90A ∠=︒，1b =，c =ABC 内有一点P 使得PA 与PB 夹角为90︒，PA 与PC夹角为120︒，则3tan 4PAC ∠=D ．已知60A ∠=︒，4b =，设a t =，若ABC 是钝角三角形，则t 的取值范围是()()4+∞ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r 的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r =.13．甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自B 岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60︒的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是小时.14．如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域ABCD 市民健身用地，为提高安全性，拟在点A 处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45︒（其中P ，Q 分别在边BC ，CD 上），则AP AQ ⋅的取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图所示，底面边长为P ABCD -被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥1111P A B C D -.(1)求棱台1111A B C D ABCD -的体积；(2)求棱台1111A B C D ABCD -的表面积.16．如图，在ABC 中，已知2,4,60AB AC BAC ==∠=︒，M 是BC 的中点，N 是AC 上的点，且,,AN xAC AM BN=uuu r uuu r 相交于点P ．设,AB a AC b ==.(1)若13x =，试用向量,a b表示,AM PN uuu r uuu r ;(2)若AM PN ⊥，求实数x 的值．17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin C C a =，b =(1)求角B ；(2)若2a c +=，求边AC 上的角平分线BD 长；(3)求边AC 上的中线BE 的取值范围.18．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+.(1)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的周长的取值范围；(2)若2b ac =，且外接圆半径为2，圆心为O ，P 为圆O 上的一动点，试求PA PB ⋅的取值范围.19．现定义“n 维形态复数n z ”：cos isin n z n n θθ=+，其中i 为虚数单位，*n ∈N ，0θ≠.(1)当π4θ=时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(3)若正整数m ，()1,2n m n >>，满足1m z z =，2n m z z =，证明：存在有理数q ，使得12m q n q =⋅+-.1．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ,求出复数z 在复平面内对应的点的坐标即可．【详解】由()2i i z -=,得()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55z +===-+--+,∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限．故选:B ．2．B【分析】根据正弦定理及余弦定理求解.【详解】由正弦定理可知，::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，则22222213161cos 2124a b c k k C ab k +--===-.故选：B 3．B【分析】由题意利用求向量的模的方法，求得22a b b ⋅= ，从而利用向量的夹角公式求解即可.【详解】∵非零向量a ，b满足2a b a b +=- ，且a b = ，设a ，b的夹角为θ，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，且22a b = ，所以22a b b ⋅= .∴22112cos 2b a b a b bθ⋅===⋅ .∵[]0,πθ∈，∴π3θ=.故选:B ．4．C【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥,根据圆锥的侧面积公式求解．【详解】如图，正三角形ABC 绕AB 所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥，底面半径3r =母线长2l =,由圆锥的侧面积公式可得该几何体的侧面积为2π3243π⨯=.故选:C.5．D【分析】由题意需先画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，再求出最短的距离．【详解】画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O ,由图得：所求的最短距离是MB '，设OA R =，圆心角是α，则由题意知，4πR α=①，()8π8R α=+②，由①②解得，π,82R α==，∴12,16OM OB '==，则22121620cm MB '=+=．则则绳子最短距离为20cm ．故选:D ．6．A【分析】设塔高为h 米，利用仰角的正切表示出BD h =，在BCD △中利用正弦定理列方程求得h 的值.【详解】设雷锋塔AB 的高度为h 米,在地面C 处时测得塔顶A 在东偏北45︒的方向上，45BCD ∠=︒,测得塔顶A 在东偏北75︒的方向上,仰角为45︒，在Rt △ABD 中，45ADB ∠=︒，tan 45hBD h ==︒，在BCD △中,754530CBD ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得，sin 30sin 45CD BD=︒︒，即5012=h =.故选：A.7．C【分析】由题意得AB AC ⊥，以A 为坐标原点，,AB AC 所在的直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，利用等面积法先求出I 的位置，设(),P x y ，根据AP AI IP =+ ，可得1134IP AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,34x yλμ==，34x y λμ+=+，根据线性规划即可求解.【详解】因为3AB =，4AC =，5BC =，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥.如图建立平面直角坐标系：设内切圆的半径为r ，则()()()0,0,3,0,0,4A B C ．∵ABC ABI BCI ACI S S S S =++V V V V ,∴2222AB AC AB r BC r AC r⋅⋅⋅⋅=++,即3434562222r r r r ⨯=++=,解得1r =，所以()1,1I ，∴1134AI AB AC =+ .∴1134AP AI IP AB AC IP =+=++ ，即1134AB AC AB AC IP λμ+=++ ，可得1134IP AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设(),P x y ，则()()()()111,13,00,431,4134x y λμλμ⎛⎫⎛⎫--=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3,4x y λμ==，即,34x yλμ==，∴34x y λμ+=+.∵()()3,0,0,4B C ，∴直线BC 的方程为134x y+=.设34x y z λμ=+=+，表示与134x y+=平行的直线，平移34x y z =+，当34x y z =+经过点I 时，1173412z =+=；当34x y z =+与134x y +=重合时，134x y z =+=.因为P 是IBC 内部（不含边界）的动点，所以7,112z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即7,112λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.故答案为:7,112⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：设(),P x y ，求出34x yλμ+=+，根据线性规划求解λμ+的范围.8．D【分析】先将该半正多面体补形为正方体，利用正方体与棱锥的体积公式判断A ，利用该半正多面体的对称性，得到截面为正六边形与外接球的球心位置，从而判断BC ，利用正三角形与正方体的面积公式判断D.【详解】A ：如图，因为1AB =，的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该半正多面体的体积为：2311832223V ⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故A 错误；B ：根据该半正多面体的对称性可知，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，又1AB =，所以正六边形面积为261S ==，故B 错误；C ：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，即正六边形ABCFED 的中心，故半径为1AB =，所以该半正多面体外接球的表面积为224π4π14πS R ==⨯=，故C 错误；D ：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1，所以其表面积为2281616+⨯=+，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键有二，一是将该半正多面体补形为正方体，二是充分利用该半正多面体的对称性，从而得解.9．ABC【分析】根据直观图画出原图，进而判断出正确答案.【详解】画出原图如下图所示，根据斜二测画法的知识可知：4OC OA OB ===，三角形ABC 是等腰直角三角形，面积为()1444162⨯+⨯=.所以ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC10．BC【分析】对A ：计算()2a b b -⋅即可得；对B ：借助基底向量的定义即可得；对C ：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D ：借助投影向量定义计算即可得.【详解】对A ：()22,5a b -=--，则()()222519a b b +⋅-=-⨯-⨯=- ，故A 错误；对B ：易得a 与b 为不共线的向量，故a 与b可作为一组基底向量，故B 正确；对C ：cos ,a b a b a b ====⋅C 正确；对D：121,555a bb b bb⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭ ，故D 错误.故选：BC.11．CD【分析】对A ：由余弦定理可计算出a 有唯一解；对B ：借助余弦定理与等面积法计算即可得；对C ：设PAC θ∠=，由余弦定理可得sin sin AP ACACP APC=∠∠，代入数据计算即可得解；对D ：分B ∠为钝角及C ∠为钝角，结合直角的临界状态计算即可得.【详解】对A：a ==ABC 有唯一解，故A 错误；对B ：在PBC 、PAC △、PAB 中，分别有2222342cos120PB PC PB PC +=+-⋅︒，即2225PB PC PB PC =++⋅，22232cos120PA PC PA PC =+-⋅︒，即229PA PC PA PC =++⋅，22242cos120PA PB PA PB =+-⋅︒，即2216PA PB PA PB =++⋅，即有()222259162PA PB PC PA PB PB PC PA PC ++=+++⋅+⋅+⋅，即()222502PA PB PB PC PA PC PA PB PC -⋅+⋅+⋅++=，又13462ABC PBC PAC PAB S S S S =++=⨯⨯= ，即()1sin12062PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅︒=，即PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=，即有22225PA PB PC ++=-，故B错误；对C ：设PAC θ∠=，则在直角三角形PAB 中，APB θ∠=，PA θ=，在PAC △中，有sin sin AP ACACP APC=∠∠1sin120=︒，313222=4sin θθ=，即3tan 4θ=，故C 正确；对D ：若B ∠为钝角，如图，作CD AB ⊥于点D ，有CD BC AC <<，即sin b A a b ⋅<<，即234t <<，若C ∠为钝角，如图，作CD AC ⊥于点C ，有BC CD >，即tan a b A >⋅，即43t >综上所述，t 的取值范围是()()23,43,∞⋃+，故D 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于分B ∠为钝角及C ∠为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围.12．23【分析】设圆锥的底面圆的半径为R ，高为h ，则母线长为r 且2R r =，根据勾股定理求得32h r =，结合圆锥的体积公式计算即可求解.【详解】由题意知，设圆锥的底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的母线长为r ，且12π2π2R r =⨯，得2R r =，所以2232h r R r -=，又圆锥的体积为3π，所以211π33V Sh R h ==，即2133ππ()322r r =⨯，解得23r =.故答案为：13．514【分析】设经过x 小时距离最近,分别表示出甲乙距离B 岛的距离,由余弦定理表示出两船的距离,根据二次函数求最值的方法得到答案.【详解】设经过x 小时两船之间的距离为s 千米,甲船由A 点到达C 点，乙船由B 点到达D 点，则4,104,6AC x BC x BD x ==-=，11820060CBD ∠︒=︒-.由余弦定理可得()()()2222110462104628201002s x x x x x x ⎛⎫=-+--⋅⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当205 2.522814x ==<⨯时，2s 最小,则两船之间的距离最小,此时它们航行的时间为514小时.故答案为:514.14．8,4⎡⎤⎣⎦【分析】设,tan PAB t θθ∠==，可得2tan 2BP t θ==,()[]21,0,11t DQ t t-=∈+，以点A 为坐标原点,,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系,然后求出,AP AQ 的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解.【详解】设,tan PAB t θθ∠==,则2tan 2BP t θ==，()()[]21tan 21π2tan ,0,141tan 1t DQ t t θθθ--⎛⎫=-=∈ ⎪++⎝⎭.以点A 为坐标原点,,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系,则()()()210,0,2,2,,21t A P t Q t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，()()212,2,,21t AP t AQ t ⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,所以()412441211t AP AQ t t t t -⎛⎫⋅=+=++- ⎪++⎝⎭ .令1u t =+，[]1,2u ∈，则242AP AQ u u ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭ ，[]1,2u ∈.由对勾函数的性质可得()2f u u u =+在(上单调递减，在)2上单调递增，所以()min f u f ==又()()13,23f f ==，所以()2f u u u =+在[]1,2u ∈上的值域为⎡⎤⎣⎦，所以2428,4AP AQ u u ⎛⎫⎡⎤⋅=+-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭ .故答案为:8,4⎡⎤⎣⎦.15．(1)2243(2)112【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得；（2）求出棱台各个面的面积后相加即可得.【详解】（1）过点P 作PO ⊥底面ABCD 于点O ，PO 交平面1111D C B A 于点1O ，由正四棱锥及棱台的性质可知，O 为底面ABCD 的中心，则111114O O PO PO PO PO PO =--==，即棱台1111A B C D ABCD -的高4h =，(1111111113A B C D ABCD ABCD A B C D V S S h-=⨯+⨯((22112244564333⎡=⨯+⨯=⨯⨯=⎢⎣，（2）连接OA，则22422AO AB ==，则112AA AP ===作1A M AB ⊥于点M ，则1A M =故1111114ABCD A B C DA ABB S S S S=++表正方形正方形梯形(((22142=++⨯⨯32872112=++=.16．(1)1122AM a b =+ ，11412PN a b =-+uuu r r r (2)25【分析】（1）根据向量的加法运算即可求得AM ；设()PN tBN t AN AB ==-uuu r uuu r uuu r uu u r ，利用向量的线性运算结合图形关系可得1(1)3AP t b ta =-+uu u r r r ，再由向量共线的性质得到14t =，最后表示出所求向量即可；（2）利用向量垂直的性质和数量积的定义式计算可得.【详解】（1）111()222AM AB AC a b =+=+uuu r uu u r uuu r r r ，设()PN tBN t AN AB ==-uuu r uuu r uuu r uu u r ，因为13AN AC = ，所以1()(1)(1)3AP AN NP AN t AN AB t AN t AB t AC t AB =+=--=-+=-+uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r，即1(1)3AP t b ta =-+uu u r r r ，由,AP AM uu u r uuu r 共线得：1(1)3t t -=，解得：14t =，所以1111()124124PN t BN t AN AB AC AB b a ==-=-=-uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r r r ，所以1111,22412AM a b PN a b =+=-+ .（2）BN BA AN AB x AC a xb =+=-+=-+uuu r uu r uuu r uu u r uuu r r r ，因为AM PN ⊥，由于,BN PN uuu r uuu r 共线，故AM BN ⊥ ，所以1111()28402222AM BN a b a xb x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，解25x =．17．(1)π3(2)6(3)33,22⎤⎥⎝⎦【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）依据余弦定理及已知得13ac =，然后利用面积分割法列方程求解即可；（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得()1324BE ca =+ ，利用正弦定理得π2sin 216ac A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【详解】（1）因为sin C C a +=，根据正弦定理sin sin sin b A C C B=，即()sin sin cos sin B C B C b A B C =+,即sin sin sin B C B C =，又sin 0C ≠，所以tan B =，因为()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由π3B =及余弦定理得22π32cos 3c a ac =+-，即()22233c a ac a c ac =+-=+-，又因为2a c +=，所以13ac =，所以111sin sin sin 22222ABC ABD BCD B B S S S c BD a BD ac B =+=⋅⋅+⋅⋅= ，所以()ππsin sin 63BD a c ac ⋅+⋅=，即132122BD =⨯（3）因为E 是AC 的中点，所以()12BE BA BC =+ ，则()()2222211322444ca BE BA BA BC BC c a ac +=+⋅+=++= ，由正弦定理得，2sin 4sin sin 4sin sin πsin sin 3b b ac A C A C A A B B ⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭即2πcos 2sin sin 2cos 212sin 216ac A A A A A A ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，因为()()20,π,π0,π3A C A ∈=-∈，所以20,π3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π172π,π666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162A ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]π2sin 210,36ac A ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，所以23239,444ca BE +⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，所以322BE ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，即边AC 上的中线BE 的取值范围为3322⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.18．(1)(3++;(2)[]2,6-.【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求出角B ,利用正弦定理将周长转化为关于角A 的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；（2）易得ABC 为等边三角形，取AB 中点M ，可得2223PA PB PM MA PM ⋅=-=- ，由P 为圆O 上的一动点，可得[]1,3PM ∈，进而可求PA PB ⋅ 的取值范围.【详解】（1）因为sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+，所以由正弦定理可得22cos cos a ac B bc A b ac ++=+，由余弦定理可得2222222222a c b b c a a b ac +-+-++=+，即222a c b ac +=+，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为0πB <<，所以π3B =；由ABC 为锐角三角形，π3B =，所以π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,可得ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由正弦定理sin sin sin a bcA B C ==,得22πsin sin 32cA A ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2π2sin 31sin A b c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭====则ABC的周长为22cos cos 12333sin 2sin cos tan 222AA a b c A A A A +++==+=+.由ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,2124A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为2π2tanππ12tan tan 2π6121tan 12⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭-整理得2ππtan 101212+-=，解得πtan 212=πtan 212=-（舍），所以()tan 22A ∈，所以(33tan 2A ++，即ABC的周长的取值范围为(3+.（2）由正弦定理2sin bR B =（R 为ABC的外接圆半径），则212b ac b ===.由222a c b ac +=+，可得2224a c +=，则a c ==ABC 为等边三角形.取AB 中点M，如图所示：则()()PA PB PM MA PM MB ⋅=+⋅+ ()2PM PM MA MB MA MB =+⋅++⋅ 2223PM MA PM =--= .由2,1OP OM ==，则[]1,3PM ∈，则[]2,6PA PB ⋅∈- ．19．(1)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)当π4θ=时,ππcos isin 44n z n n =+,)11i z =+,2i z =，由221z z =,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；(2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得cos 2i sin 2cos3i sin 3θθθθ+=+，利用复数相等的条件得到()2πk k θ=∈Z ,即可求πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(3)由1m z z =得cos i sin cos i sin m m θθθθ+=+,利用复数相等的条件得到()112π1k k m θ=∈-Z 和()222π2k k n θ=∈-Z ,则()12122π2π,12k k k k m n =∈--Z ,则()11221,2k m k k n k -=∈-Z ,进一步得()()111122222211,k k k m n n k k k k k =-+=⋅+-∈Z ,即可证明存在有理数12k q k =,使得12m q n q =⋅+-.【详解】（1）当π4θ=时,ππcos isin 44n z n n =+,则)1ππcos isin 1i 44z =++,2ππcos isin 2i 2z +==.因为)()2221211i 12i i i 22z z ⎤=+=++==⎥⎣⎦，故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系.（2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,所以cos 2i sin 2cos3i sin 3θθθθ+=+,因此cos 2cos3sin 2sin 3θθθθ=⎧⎨=⎩，解cos 2cos3θθ=，得()322πk k θθ=+∈Z 或()322πk k θθ+=∈Z ,解sin 2sin 3θθ=，得()322πk k θθ=+∈Z 或()322ππk k θθ+=+∈Z ,由于两个方程同时成立,故只能有()322πk k θθ=+∈Z ,即()2πk k θ=∈Z .所以πππsin sin 2πsin 444k θ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由1m z z =，得cos i sin cos i sin m m θθθθ+=+,由(2)同理可得()112πm k k θθ=+∈Z ,即()()1112πm k k θ-=∈Z .因为1m >,所以()112π1k k m θ=∈-Z .因为221n m z z z ==,由(1)知221z z =,所以2n z z =.由(2)同理可得()2222πn k k θθ=+∈Z ,即()()2222πn k k θ-=∈Z .因为2n >,所以()222π2k k n θ=∈-Z ,所以()12122π2π,12k k k k m n =∈--Z ,又因为0θ≠,所以120k k ≠,所以()11221,2k m k k n k -=∈-Z ,即()()111122222211,kk km n n k k k k k =-+=⋅+-∈Z ，所以存在有理数12kq k =,使得12m q n q=⋅+-.【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解.。
安徽省合肥市2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
分 析 ： 根 据 题 意 将 已 知 条 件 等 价 转 化 为x 1 y
2，故而可得
1
4
1
x 1 y
1
4
，利用基本不等式即可得结果.
x 1
y
2
x
1
y
详解：∵正数
x, y知足x
y
1，∴x
1 y
2，
∴1
4
1x 1 y
1
4
1 1 y 4x
5
9
x 1 y 2
x 1 y
2 x
1 y
2
1
y
4x
2
y
1
D正确
【此题正确选项：D
- 2 -
【点睛】 此题考察三角形解的个数的求解，要点是能够娴熟掌握作圆法，经过b sin A与a、a
与b之间大小关系的比较获得结果.
5.古代数学著作《九章算术》有以下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织
几何?”意思是： “一女子擅长织布，每日织的布都是前一天的
2倍，已知她5天共织布
-10-
【详解】由
an 1
3an
2
得：an
11
3 an
1
数列
n
1
是以a1
1
2020
为首项，
3
为公比的等比数列
a
an
1
2020
3n 1
an
2020
3n 1
1
此题正确结果：20203n 11
【点睛】此题考察依据递推关系式求解数列通项公式的问题，要点是能够将递推关系式配凑
成切合等比数列的形式，依据等比数列通项公式求得结果.
安徽省合肥市2022-2023学年高一下学期期中考试数学含解析
2022~2023学年第二学期期中考试高一年级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）1.复平面内表示复数1ii z -=的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】化简复数可得1i z =--，即可根据复数的几何意义得出答案.【详解】根据复数的除法运算求解()1i i 1i i 11i i i i 1z --+====--⋅-，所以，复平面内表示该复数的点为()1,1--，所以，复平面内表示复数1iiz -=的点位于第三象限.故选：C.2.平面向量a 与b的夹角为π3，若()2,0,1a b == ，则2a b += （）A.B. C.4D.12【答案】B 【解析】【分析】确定2= a ，计算22224412a b a a b b +=+⋅+=，得到答案.【详解】()2,0a =r ，则2= a ，222π2444421cos 4123a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=，故2a b +=故选：B3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（）A.34B.33C.32D.【答案】D 【解析】【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可..【详解】设底面棱长为2(0)a a >，正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则侧面为等边三角形，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为()()2232442a a ⨯=.故选：D4.定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA 级旅游景区．地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局．某同学为测量寺内观音塔的高度MN ，在观音塔的正北方向找到一座建筑物AB ，高约为22.5m ，在地面上点C 处（B ，C ，N 三点共线）测得建筑物顶部A ，观音塔顶部M 30°和45°，在A 处测得观音塔顶部M 的仰角为15°，观音塔的高度约为（）A.32mB.39mC.45mD.55m【答案】C 【解析】【分析】先在Rt ABC △中求出AC 的长度，然后再求出ACM △中CAM ∠，AMC ∠，利用正弦定理求出MC ，最后利用三角函数定义求出MN 的长度.【详解】由题意得，在Rt ABC △中，45sin 30ABAC ==︒，在ACM △中，301545CAM ∠=︒+︒=︒，1804530105ACM ∠=︒-︒-︒=︒，30AMC ∴∠=︒.由正弦定理得，sin sin AC MC AMC CAM =∠∠，得sin 45452sin 30ACMC =⋅︒=︒，在Rt CMN 中，sin 4545MN MC =⋅︒=.故选：C.5.已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为π2，则圆台的高为（）A.23B.15C.4D.32【答案】B 【解析】【分析】首先画出几何体，根据几何关系，求解圆台的高.【详解】如图，将圆台还原为圆锥，上底面圆的半径为r ，下底面圆的半径为3r ，底面圆周长为6πr ，因为圆台的母线长为4，根据上下底面圆的半径为为1：3，所以上圆锥的母线长为2，则圆台所在圆锥的母线长为6，因为圆台展开图所在扇形的圆心角为π2，所以π66π2r ⨯=，得12r =，如图，圆台的高224415h r =-=故选：B6.如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，(,0)AC nAN m n => ，则14m n+的最小值为（）A.2B.3C.92D.5【答案】C 【解析】【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到122m n+=，再利用基本不等式求出最小值.【详解】若,,C D E 三点共线，FC FD FE λμ=+，则1λμ+=，理由如下：因为,,C D E 三点共线，则有CD xDE =，即()FD FC x FE FD -=- ，即()1FC x FD xFE =+-，故1,x x λμ=+=-，故1λμ+=，其中1()2AO AB AC =+ 22m n AM AN =+ ，M 、O 、N 三点共线，∴122m n+=，∴14145259()()2222222m n n m m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当22n m m n=，即423n m ==时，等号成立．故选：C ．7.ABC 中，已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，设D 是BC 边的中点，且ABC ，则()AB DA DB ⋅+等于()A.2 B.4C.-4D.-2【答案】A 【解析】【分析】根据正、余弦定理求出A ；根据三角形面积公式求出bc ；再根据D 是BC 边的中点，将DA，DB 用AB 和AC表示，再根据数量积的定义，即可求出结果．【详解】∵()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，∴()()()sin sin sin b c B a c A C +=+-，∴()()()b c b a c a c +=+-，即222b c a bc +-=-，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，又角A 是ABC 的内角，∴23A π=，又1sin 2ABC bc S A ==122bc =⨯，∴4bc =；又D 是BC 边的中点∴()11=()22AB DA DB AB AB AC CB ⎡⎤⋅+⋅-++⎢⎥⎣⎦111()()cos 42222AB AB AC AB AC AB AC bc A ⎡⎤⎛⎫=⋅-++-=-⋅=-⋅=-⨯-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中档题．8.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc的取值范围为（）A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.23,32⎛⎫⎪⎝⎭C.34,43⎛⎫⎪⎝⎭D.35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得tan2A,进而求得A 的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得b c关于C 的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到022C A ππ<-<<，利用三角函数的性质求得取值范围即可．【详解】解：△ABC 中2222cos a b c bc A =+-，1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，∴sin 2(1cos )A A =-；即22sincos 4sin 222A A A =，∵sin 02A >，∴1tan 22A =，∴21242tan 3112A ⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴43sin ,cos 55A A ==，∴sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A Cc C C C C ++====+，∵△ABC 为锐角三角形，∴2A C π+>,∴022C A ππ<-<<，∴140tan tan tan 23C A C π⎛⎫<=-<= ⎪⎝⎭，∴34344325555tan 5535153C <+<⨯+==,∴35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D ．二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多项符合题目要求）9.下列说法中正确的是（）A.平面向量的一个基底{}12,e e 中，1e ，2e一定都是非零向量.B.在平面向量基本定理中，若0a =，则120λλ==.C.若单位向量1e ､2e 的夹角为23π1e 在2e 方向上的投影向量是212e - .D.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.【答案】ABC 【解析】【分析】由平面向量基本定理，依次判定即可【详解】选项A ：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此1e ，2e一定都是非零向量，故A 正确；选项B ：12000a e e ==⋅+⋅，由在同一基底下向量分解的唯一性，有120λλ==，故B 正确；选项C ：1e 在2e 方向上的投影向量为：1222212||e e e e e ⋅=-，故C 正确；选项D ：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D 错误故选：ABC10.已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（）A.若复数3i z =+，则13i 1010z =-.B.复数z 满足2i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=.C.若复数1z ，2z 满足12z z =，则120z z ≥.D.复数3i 1z =-+的虚部是1.【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，直接利用复数的除法运算求解，对于B ，利用复数的模求解，对于C ，直接复数的乘法运算求解判断，对于D ，利用虚部的定义判断【详解】对于A ，因为3i z =+，所以113i 3i 3i 3i (3i)(3i)101010z --====-++-，所以A 正确，对于B ，因为z 在复平面内对应的点为(),x y ，所以2i (2)i z x y -=+-，因为2i 1z -=，所以()2221x y +-=，所以B 正确，对于C ，令2i(,)z a b a b R =+∈，因为12z z =，所以1i(,)z a b a b R =-∈，所以()()2212i i 0z z a b a b a b =-+=+≥，所以C 正确，对于D ，复数3i 1z =-+的虚部为3-，所以D 错误，故选：ABC11.对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）.A.若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形B.若ABC 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立C.若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D.若AB =1AC =.π6B =，则ABC 的面积为2【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，由正弦值相等，得到22A B =或22πA B +=，故A 错误；B 选项，由锐角三角形和正弦函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性进行求解；C 选项，先由正弦定理得到222a b c +<，再使用余弦定理即可求出C 为钝角；D 选项，先用余弦定理得到BC ，进而利用面积公式进行求解.【详解】在ABC ，πA B C ++=，A 选项，∵sin 2sin 2AB =，∴22A B =或22πA B +=，∴A B =或π2A B +=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形，A 错误，B 选项，∵ABC 是锐角三角形，则ππ022B A <-<<，又()sin f x x =在02π⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增，∴πsin sin()cos 2A B B >-=即sin cos A B >恒成立，B 选项正确，C 选项，∵222sin sin cos 1A B C ++<，∴2222sin sin 1cos sin A B C C +<-=，由正弦定理可得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴C 为钝角，则ABC 为钝角三角形，C 对，D 选项，∵AB =.1AC =.π6B =，设BC x =，由余弦定理可得2221cos6x π=+-⋅，化为2320x x -+=，解得1x =或2，经检验，均符合要求，则11sin 264ABC S π=⨯=或Δ12sin 262ABC S π=⨯=，D 错误，故选：BC.12.棱长为1的正方体1111A B C D ABCD 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱11A D 上一点，且111D Q D A λ=，[]0,1λ∈，N 为线段AQ 的中点，下列命题中正确的是（）A.三棱锥A DMN -的体积与λ的取值无关B.当12λ=时，点Q 到直线AC 的距离是4C.当14λ=时，0AM QM ⋅=D.当13λ=时，过,,A Q M 三点的平面截正方体所得截面的周长为3【答案】ABD 【解析】【分析】根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对选项A ：由A DMN N ADM V V --=，因为N 到平面ABCD 的距离为定值12，且ADM △的面积为定值14，所以三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关，所以A 正确；对选项B ：当12λ=时，Q 是11A D的中点，53,22AQ AC QC =====，59244cos QAC +-∠==，所以QAC ∠为锐角，所以sin QAC ∠==,所以点Q 到直线AC的距离是sin 24AQ QAC ⨯∠==，所以B正确.对选项C ：当14λ=时，134AQ =，可得212AM =，2221192511616AQ AA A Q =+=+=，取11,AD A D 的中点分别为,N E ，连接,EN EM ，则222EM MN EN =+，在直角三角形MEQ 中，222222112112416QM EM EQ ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22222212921616AM QM AQ ⎛+=+=> ⎪⎝⎭，所以0AM QM ⋅= 不成立，所以C 不正确．对选项D ：当13λ=时，取11113D H D C =uuuu r uuuu r ，连接HC ，则11//HQ AC ，又11//AC AC ，所以//HQ AC ，所以,,,,A M C H Q 共面，即过,,A Q M 三点的正方体的截面为ACHQ ，由3AQCH ===，则ACHQ 是等腰梯形，且111233QH AC ==，所以平面截正方体所得截面的周长为2l ==，所以D 正确；故选：ABD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于x '轴，底角为45︒，两腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是__________．【答案】8+8+【解析】【分析】根据斜二测画法规则画出原平面图形，即可求出其面积【详解】由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示：这个平面图形的面积：4(2282⨯++=+故答案为：8+14.已知锐角三角形ABC 内接于单位圆，且BC =ABC 面积的最大值是___________.【答案】12【解析】【分析】由题意可知90BOC ∠=︒，由圆的性质可知45BAC ∠=︒，在ABC 中，使用余弦定理和基本不等式，可得2AB AC ⋅≤+，再根据三角形面积公式1=sin 2ABC S AB AC BAC ⋅∠ ，即可求出结果.【详解】如图，设圆O 的半径为1，因为BC =BOC 是直角三角形，即90BOC ∠=︒，所以角45BAC ∠=︒，由余弦定理可知2222cos 4BC AB AC AB AC π=+-⋅由基本不等式可知(2222cos24AB AC AB AC AB AC π=+-⋅≥-⋅，当且仅当AB AC =时，取等号；所以2AB AC⋅≤=+，又(11=sin=2+=2442ABCS AB AC BAC AC+⋅∠⋅≤⨯.所以ABC的面积的最大值为12.15.根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为4cm，高为10cm，里面注入高为1cm的水，将一个半径为4cm的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______cm．1.26≈）【答案】1.48【解析】【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为2π4116πV=⨯⨯=水，相应圆台的体积为()()()3224π1164ππ44π443333hh h-⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯-=-，所以()34π64π16π33h-=-，解得44421.26 1.48h==-≈-⨯=cm，故答案为：1.4816.已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为1S，2S，体积分别为1V，2V，若1247SS=，则12VV=______．【答案】47【解析】【分析】找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系，用1r ，2r 表示出圆台和球的表面积，由条件求出1r ，2r 之间的关系，结合球的体积公式求12V V .【详解】第一步：找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系设圆台的母线长为l ，高为h ，上、下底面圆心分别为1O ，2O ，半径分别为1r ，()212r r r <，球的球心为O ，半径为R ，作出该组合体的轴截面如图所示，连接12O O ，易知点O 为12O O 的中点，则122O O h R ==．设D 为球O 与圆台侧面的一个切点，连接OD ，根据切线长定理可得12l r r =+，（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等）所以()()()22221122R r r r r +-=+（勾股定理的应用）所以212R r r =，第二步：用1r ，2r 表示出圆台和球的表面积则21124π4πS R r r ==，()()2222212121122πππ2πS r r l r r r r r r =+++=++，（圆台的表面积公式）第三步：根据1247S S =得到1r ，2r 之间的关系故()1121222222112211224π2472πS r r r r S r r r r r r r r ===++++，第四步：求出12V V 所以()()3311222222221122112211224π2443172π3R V r r R V r r r r R r r r r r r r r h ====++++++．故答案为：47.三､解答题（本大题共5小题，共70分）17.已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，,m n 为实数．（1）若1n =，1z 为纯虚数，求12||z z +的值；（2）若()212z z =，求,m n 的值．【答案】(1)12 z z +=(2)m=0,n=-1【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．【详解】（1）因为12z m i =－为纯虚数，所以0m =．又1n =，所以12z i =-，21z i =-，从而1213z z i +=-．因此12z z +==（2）因为()212z z =，所以()221m i ni -=+，即()2212m i nni -=-+．又m ，n 为实数，所以21,22,m n n ⎧=-⎨-=⎩解得0,1.m n =⎧⎨=-⎩【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18.已知向量()()1,2,4,3a b ==-.（1）若向量//c a，且c = ，求c 的坐标；（2）若向量a kb + 与a kb -互相垂直，求实数k 的值.【答案】（1）()2,4c = 或()2,4c =-- （2）55k =±【解析】【分析】（1）因为//c a r r，所以可以设c a λ= 求出c 坐标，根据模长，可以得到参数λ的方程.（2）由于已知条件()()1,2,4,3a b ==- 可以计算出a kb + 与a kb -坐标（含有参数k ）而两向量垂直，可以得到关于k 的方程，完成本题.【详解】（1）法一:设c a λ=，则222c a λ=，所以()222221λ=+解得2λ=±所以()2,4c =r或()2,4c =--r 法二:设(),c x y =，因为//c a r r ，()1,2a =，所以2x y =，因为c =r，所以2220x y +=解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,4c =r或()2,4c =--r （2）因为向量a kb + 与a kb -互相垂直所以()()0a kb a kb +-= ，即222a k b 0-= 而()1,2a =r ，()4,3b =- ，所以225,25a b == ，因此25250k -=，解得55k =±【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.19.如图，一个圆锥的底面半径3cm R =，高4cm H =，在其内部有一个高为cm x 的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．（1）求圆锥的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．【答案】（1）215cm π（2）当2x =时，圆柱的侧面积最大，最大面积为26πcm 【解析】【分析】(1)由条件求圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解；(2)由圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积的表达式，再根据二次函数性质求其最值.【小问1详解】圆锥的母线长为5cm ===L ，所以圆锥的侧面积为23515cm =⋅⋅=⨯⨯=侧S R L πππ．【小问2详解】设圆柱的底面半径为r ，如图可得-=x R r H R ，即343-=x r，得33(04)4=-<<r x x ．所以圆柱的侧面积()223324=(2)4(04)22S r x x x x x πππ⎡⎤=⋅⋅=⋅-+⋅--+<<⎣⎦．所以当2(0,4)x =∈时，S 取得最大值6π．即当2x =时，圆柱的侧面积最大，最大面积为26πcm ．20.在①cos cos a b c B b C +=-cos )sin c A b a C -=，sinsin 2A Bc A +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且_________．（1）求角C 的大小；（2）若c =，sin sin 4sin sin A B A B +=⋅，求ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）23C π=；（2【解析】【分析】（1）根据所选条件，应用正弦定理边角关系、和角正弦公式、三角形内角性质化简条件得到关于角C 的三角函数值，即可得结果；（2）由已知及正弦定理可得a b ab +=，再由余弦定理有222122a b c ab +-=-，进而求得4ab =，最后应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】选①：由正弦定理得：sin sin sin cos sin cos A B C B B C +=-，而sin sin()A B C =+，所以sin sin cos cos sin sin cos sin cos B B C B C C B B C +-+=，整理得：2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >，可得1cos 2C =-，而0C π<<，则23C π=.cos sin )sin sin C A B A C -=，而sin sin()B A C =+，cos sin cos cos sin )sin sin C A A C A C A C --=，则cos sin sin A C A C =，而sin 0A >，可得tan C =而0C π<<，则23C π=.sin sin sin 2A BA C A +=，而sin 0A >且ABC π+=-，sin()2sin cos 22222C C C C π-==，又022C π<<，所以sin22C =，则23C π=，即23C π=.【小问2详解】由c =，则4sin sin sin a b cA B C ===，故1414,sin sin A a B b==，而sin sin 4sin sin A B A B +=⋅，则11444sin sin A B a b+=+=，可得a b ab +=，又2221cos 22a b c C ab +-==-，整理得22120a b ab ++-=，则22()12()12(4)(3)0a b ab ab ab ab ab +--=--=-+=，可得4ab =，所以ABC的面积为112πsin 4sin 223S ab C ==⨯⨯=.21.如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中,,2AB a B BC π=∠==.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形（AMN ∆和A MN '∆）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M 与点,A B 均不重合，A '落在边BC 上且不与端点,B C 重合，设AMN θ∠=.（1）若3πθ=，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，,AN A N '的长度最短，求此时绿地公共走道MN 的长度.【答案】(1)29a ；(2)23a .【解析】【详解】分析：（1）由题意可得1122BM A M AM ='=，23AM a =，则22329AMN S S a ∆==；（2）由题意可得22aAM A M sin θ='=，由正弦定理有223aAN sin sin πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，记2122362t sin sin sin ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合三角函数的性质可得3πθ=时，t 取最大，AN 最短，则此时23MN AM a ==.详解：（1）由图得：23BMA ππθ∠=-='∴1122BM A M AM ='=，又BM AM a AB +==∴32AM a =∴23AM a =，∴222142223929AMN S S AM sin a a π∆==⋅⋅⋅=⋅=；（2）由图得：()2AM A Mcos AB a πθ-='+=且AM A M ='，∴()212122a a aAM A M cos cos sin πθθθ====+--'，在AMN ∆中，由正弦定理可得:3ANAMsin sin πθπθ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴22233AMsin aAN sin sin sin θππθθθ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记22222333t sin sin sin sin cos cos sin πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121222262cos cos sin sin θπθθθθθ-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴262ππθ-=，∴3πθ=时，t 取最大，AN 最短，则此时23MN AM a ==.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.22.在平面直角坐标系中，已知()23,,8,8,7,0,,,02A t B m m C m t m R t t ⎛⎛⎫---∈≠ ⎪⎭ ⎪⎝⎝⎫⎭．（1）若1,4,t m Р==为x 轴上的一动点，点()1,2'-A ．①当,,A P B '三点共线时，求点P 的坐标；②求PA PB +的最小值﹔（2）若()sin ,0,t θθπ=∈，且CA 与CB 的夹角0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求m 的取值范围．【答案】（1）①5,02⎛⎫⎪⎝⎭；②5；（2）5m <．【解析】【分析】（1）①设(),0P x ，根据题意，可得,A P A B ''坐标，根据,,A P B '三点共线，可得A P ' 与AB '共线，根据向量共线的坐标运算，即可求得答案；②因为()1,2A 关于x 轴的对称点为()1,2'-A ，所以当,,A P B '三点共线时，PA PB '+取得最小值，代入两点间距离公式，即可得答案.（2）根据题意，求得,CA CB 坐标，根据题意可得0CA CB ⋅>恒成立，根据数量积公式，化简整理，可得()2sin 7sin 16,0,3sin m θθθπθ-+<∈-恒成立，令3sin k θ-=，利用换元法，可得2441k k m k k k++<=++，[2,3)k ∈恒成立，结合对勾函数的性质，即可得答案.【详解】解：（1）①设(),0,1,4P x t m ==，则(4,2)B ，所以()()1,2.3,4A P x A B ''=-= ，因为A P ' 与A B ' 共线所以()416x -=，解得52x =，所以当,,A P B '三点共线时，点P 的坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭②因为()1,2A 关于x 轴的对称点为()1,2'-A 所以AP PB PA PB '+=+，所以当,,A P B '三点共线时，PA PB '+取得最小值，最小值即为5A B '== 所以PA PB +取得最小值5.（2）因为()sin ,0,t θθπ=∈，所以2sin ,sin A θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭，第21页/共21页所以23sin 7,,1,8sin 2CA m CB m θθ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为CA 与CB 的夹角0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以0CA CB ⋅> 恒成立，所以32sin 7802sin CA CB m m θθ⎛⎫⋅=+-+-> ⎪⎝⎭，又因为()0,θπ∈，所以sin 0θ>，所以2sin 7sin sin 1630m m θθθ-++->，即()23sin sin 7sin 16m θθθ-<-+恒成立，又因为3sin 0θ->，所以()2sin 7sin 16,0,3sin m θθθπθ-+<∈-恒成立，令3sin k θ-=，则[2,3)k ∈，换元可得2441k k m k k k++<=++，[2,3)k ∈，因为4115k k++≥+=，当且仅当2k =时等号成立，所以当2k =时，41k k ++有最小值5，所以m 的取值范围是：5m <【点睛】解题的关键是熟练掌握向量共线、数量积公式、对勾函数等知识，并灵活应用，易错点为，在应用换元法时，应写出新元的范围，再根据自变量范围，结合对勾函数的性质求解，属中档题。
安徽省合肥市高一下学期5月期中考试 数学含解析
第二学期集中练习2高一数学时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. 设，是两个不共线的平面向量，已知，，若，a b 2m a b =- 3()n a kb k R =+∈ //m n u r r 则（ ）k =A. 2 B. -2C. 6D. -6【答案】D 【解析】【分析】根据可知，再根据，代入求//m n u r r,m n R λλ=∈2m a b =- 3()n a kb k R =+∈解即可.【详解】因为，故，故，因为，//m n u r r,m n R λλ=∈ ()323a kb kb a b a λλλ-==++ a 是两个不共线的平面向量，故，解得. b 132k λλ=⎧⎨-=⎩136k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩故选：D【点睛】本题主要考查了向量平行求参数的问题，若，则，属于基础//m n u r r,m n R λλ=∈ 题.2. 若复数满足 (为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于z ()12i 13i z -+=+i z （） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】【分析】先求，再用复数的乘除运算法则进行计算，从而得到复数在复平面内对13i +z 应的点所在的象限.【详解】1+，故复数在复平面内z ==z对应的点为，位于第三象限. ⎛ ⎝故选：C3. 如图，在中，，是上的一点，若，则ABC ∆13AN NC = P BN 211AP mAB AC =+实数的值为（）mA.B.C.D.911511311211【答案】C 【解析】【分析】平面内三点共线的充要条件为：存在实数，使，,,A B C ,λμOC OA OB λμ=+且.求得，从而可得结果. 1λμ+=811AP mAB AN =+【详解】由，可得，13AN NC = 4AC AN =所以， 211AP mAB AC mAB AN =+=又三点共线，由三点共线定理，可得：， ,,B P N 8111m +=， 311m ∴=故选C.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.4. 一平面四边形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，其中O ′C ′⊥x ′轴，A ′B ′⊥x ′轴，B ′C ′∥y ′轴，则四边形OABC 的面积为（ ）A.C. 3D.32【答案】B 【解析】【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形OABC 的2A B ''=A B C O ''''面积.【详解】设轴与交点为D ，因O ′C ′⊥x ′轴，A ′B ′⊥x ′轴，则，又y 'A B ''O C A B ''''∥B ′C ′∥y ′轴，则四边形为平行四边形，故.又，O DB C '''1DB O C '''==45o x O y '''∠=结合A ′B ′⊥x ′轴，则，故. 1DA O A '''==2A B ''=则四边形面积为，因四边形面积是四边形OABC 的A B C O ''''()1312122⨯+⨯=A B C O ''''倍，则四边形OABC 的面积为故选：B5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题： m n αβ①，，则； m β⊂αβ⊥m α⊥②若，，则； m β⊂//αβ//m α③若，，，则； m α⊥m β⊥n α⊥n β⊥④若，，，则． //m α//m β//n α//n β其中正确命题的序号是（） A. ③④ B. ①②C. ①④D. ②③【答案】D【解析】【分析】举例说明判断AD ；利用面面平行的性质判断B ；利用线面垂直的性质推理判断C 作答.【详解】对于①，因为，当时，满足，此时，①错误； αβ⊥m αβ= m β⊂m α⊂对于②，因为，，则，②正确；m β⊂//αβ//m α对于③，因为，，则，又，因此，③正确；m α⊥m β⊥//αβn α⊥n β⊥对于④，当，时，有，，若，l αβ= //,,m l m m αβ⊄⊄//m α//m β,//n n l β⊂满足，显然不成立，④错误， //n α//n β所以正确命题的序号是②③. 故选：D6. 在中，角的对边分别为，.则的最ABC ∆,,A B C ,,a b c 222a c b ac +=+cos cos A C +大值为A. 1B. 2C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据题干得到B=，原式，根据角A 的范3π1cos sin 26A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭围得到最值即可.【详解】角的对边分别为，，变形为：,,A B C ,,a b c 222a c b ac +=+222a c b ac +-=根据余弦定理，故角B=2221cos 22a cb B ac +-==3π23A C π+=cos cos A +23A π⎛⎫- ⎪⎝⎭1cos sin 26A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为 250,,3666A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故最大值为：1. 故答案为A.【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）2222cos a b c bc A =+-，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角222cos 2b c a A bc+-=函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接30,45,60o o o 应用.7. 三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的体积是A. B.C.D.50π【答案】C 【解析】【详解】由PA 、PB 、PC 两两互相垂直为一个顶点出发的正方体的对角线长为.所以三棱锥P-ABC 外接球的半径为.所以体积为=r =. 343V π==故选：C8. 如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥P ABCD E AD F PC PA 平面时,( ) EBF PFFC=A.B.C.D.23141312【答案】D 【解析】 【分析】连接交于,连接,因为∥平面,平面,平面平面AC BE G FG PA EBF PA ⊂PAC PAC ,可得∥,结合已知条件,即可求得答案.BEF FG =PA FG 【详解】连接交于,连接,AC BE G FG∥平面,平面PA EBF PA ⊂PAC 平面平面,PAC BEF FG =∥,∴PA FG故:① PF AGFC GC=——又∥,为的中点,AD BC E AD ② 12AG AE GC BC =∴=——由①②可得: 12PF FC =故选:D.【点睛】本题考查了根据线面平行求线段比例,解题关键是掌握线面平行判定定理,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 已知向量，，则（）()2,1a = ()3,1b =-A.B. 向量在向量上的投影向量为()//a b a + a b12b - C. 与D. 若，则 aa b -c = a c ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A 选项的正误；设向量在向量上的投影a b向量为，根据题意得出，求出的值，可判断B 选项的正误；利用平面向b λ 2a b b λ⋅= λ量夹角余弦的坐标表示可判断C 选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，，所以，与不共线，A 选()1,2a b +=- 1122-⨯≠⨯ a b + a项错误；对于B 选项，设向量在向量上的投影向量为，a bb λ 则，即，解得， 2a b b λ⋅= ()223110λ⨯-+=12λ=-故向量在向量上的投影向量为，B 选项正确；a b 12b -对于C 选项，，，C 选项正()5,0a b -=()cos ,a a b a a b a a b⋅-<->===⋅-确；对于D 选项，若，则，所以，，c =210a c ⎛⋅=+⨯= ⎝ a c ⊥ D 选项正确. 故选：BCD. 10. 设复数，则下列说法正确的是（） 3i1iz +=+A. 实部为2 B. 虚部为i -C.D. 在复平面内对应点在第四象限【答案】ACD 【解析】【分析】将复数化简整理得，依次验证A 、B 、C 、D 四个选项，可知B 错误.z 2i z =-【详解】， 3i (1i)(3i)2i 1i (1i)(1+i)z +-+===-+-知复数的虚部为，实部为2，所以选项A 正确，选项B 错误； z 1-对于选项C，，所以选项C 正确；||z ==对于选项D ，复数对应的点为在第四象限，所以选项D 正确. z(2,1)-故选：ACD.11. 如图是正方体的平面展开图，则关于这个正方体的说法正确的是A. 与平行B. 与是异面直线 BM ED CN BEC. 与成角D. 与是异面直线CN BM 60︒DM BN 【答案】CD 【解析】 【分析】把平面展开图还原成几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义､异面直线所成角逐一核对四个命题得答案.【详解】把平面展开图还原成几何体，如图：.由正方体的性质可知，与异面且垂直，故错误；A BM ED A .与平行，故错误；B CN BE B .连接，则，为与所成角，连接，可知为正C BE //BE CN EBM ∠CN BM EM BEM ∆三角形，则，故正确；60EBM ∠=︒C .由异面直线的定义可知，与是异面直线，故正确. D DM BN D 故选：.CD 【点睛】本题考查由正方体的展开图还原立体图，直线与直线的位置关系，直线与直线所成角的判断，属于基础题12. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边1111ABCD A B C D -于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有AB （）A. 没有水的部分始终呈棱柱形B. 水面所在四边形的面积为定值EFGH C. 随着容器倾斜度的不同，始终与水面所在平面平行 11A C D. 当容器倾斜如图（3）所示时，为定值 AE AH ⋅【答案】AD 【解析】【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意始终在桌面上），可得结论． AB 【详解】由于始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为AB 底面的棱柱，A 正确；图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错； 图（3）中与水面就不平行，C 错；11A C 图（3）中，水体积不变，因此面积不变，从而为定值，D 正确． AEH △AE AH ⋅故选：AD ．【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 已知，与的夹角是90°，，，与垂直，则1a b == a b 23c a b =+ 4d ka b =- c d 的值为______.k 【答案】 6【解析】【分析】由与垂直，可得，然后将代入化简可得结c d 0c d ⋅= 23,4c a b d ka b =+=-果.【详解】因为，与的夹角为90°，则，||||1a b == a b =0a b ⋅ 因为与垂直，所以，又，，c d 0c d ⋅=23c a b =+4d ka b =-所以，22(23)(4)2(38)122120a b ka b ka k a b b k +⋅-=+-⋅-=-=解得. 6k =故答案为：614. 已知，则的最大值是__________． 2z =|34i |z +-【答案】 7【解析】【分析】根据复数的几何意义即可求解.【详解】设，即，i,,R z x y x y =+∈2=224x y +=则在复平面中的点在以为圆心，为半径的圆周上，z (,)P x y (0,0)2r =，34i (3)(4)i z x y +-=++-，表示与点的距离，|34i |z +-=(,)P x y (3,4)A -如图所示：由图可知，，max527AP r =+=+=即的最大值为7. |34i |z +-故答案为：715. 如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上4m的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处.若该小虫爬行的最短路程为，则P P m 圆锥底面圆的半径等于___________.m【答案】 43【解析】 【分析】把圆锥侧面沿过点的母线展开，画出侧面展开图，根据题中条件，即可求出结果. P 【详解】把圆锥侧面沿过点的母线展开成如图所示的扇形，P由题意，，4OP =PP '=则，所以 ， 1cos 2POP ∠==-'23POP π∠='设底面圆的半径为，则，所以. r 2243r ππ=⨯43r =故答案为：. 4316. 如图，直角梯形中， ，， ，若ABCD AD DC ⊥//AD BC 222BC CD AD ===将直角梯形绕边旋转一周，则所得几何体的表面积为 __________．BC【答案】;(3)π+【解析】【详解】几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，表面积为22121113rl rh r πππππππ++=⨯⨯⨯+⨯=+点睛:空间几何体表面积的求法(1)的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 设向量，满足，．a b 1a b == 3a b -= 求的值；()13a b + 求与夹角的正弦值．()23a b -3a b +【答案】（12 【解析】【分析】利用数量积运算及其性质即可得出；利用向量的夹角公式和数量积的性质()1()2即可得出．【详解】向量，满足，．()1a b 1a b == 3a b -= ，． 22596916a b a b a b ∴=+-⋅=+-⋅ 56a b ∴⋅= 因此， 2225(3)96196156a b a b a b +=++⋅=++⨯=3a b ∴+=设与夹角为， ()23a b -3a b +θ． ()()225203338338363a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=+⨯-=()()33cos 33a b a b a b a b θ-⋅+∴===-+，[]0, θπ∈sinθ∴===与 3a b ∴- 3a b +【点睛】本题考查了数量积的运算及其性质、向量的夹角公式，属于基础题．18. 复数，其中为虚数单位． 22i (1i)1iz =++-i （1）求及；z z （2）若，求实数，的值．223i z az b ++=+a b 【答案】（1），13i z =-+z =（2） 3,7.a b =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；z z （2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实13i z =-+数，的值.a b 【小问1详解】∵， ()()()()222i 1i 2i (1i)12i i 2i i 1i 13i 1i 1i 1i z +=++=+++=++=-+-+-∴z ==【小问2详解】由（1）可知，13i z =-+13i z =--由，得：，223i z az b ++=+2(13i)(13i)23i a b -++--+=+即，∴，解得 (8)(63)i 23i a b a --++--=+82,63 3.a b a --+=⎧⎨--=⎩3,7.a b =-⎧⎨=⎩19. 如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求21111ABCD A B C D -1A ABD -（1）截去的三棱锥的表面积；1A ABD -（2）剩余的几何体的体积.1111A B C D DBC -【答案】（1）；（26+【解析】【分析】（1）三棱锥中是边长为的等边三角形，、、1A ABD -1A BD A 1A AD A 1A AB △都是直角边为的等腰直角三角形，计算四个三角形面积之和即可求解. ABD △2（2）正方体的体积减去三棱锥的体积即得剩余的几何体的体积.1A ABD -1111A B C D DBC -【详解】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为1A ABD -1A BD A 形，、、都是直角边为的等腰直角三角形， 1A AD A 1A AB △ABD △2所以截去的三棱锥的表面积1A ABD -(1112132262A BD A AD A AB ABDS S S S S =+++=+⨯⨯⨯=+A A A A （2）正方体的体积为， 328=三棱锥的体积为， 1A ABD -111142223323ABD S AA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=A 所以剩余的几何体的体积为. 1111A B C D DBC -420833-=20. 在中，角A 、B 、C 所对的边分别为，且 ABC A ,,a b c 2cos 2.c A b =（1）求角C 的大小；（2）若的面积，求的值. ABC A sin A【答案】（1）；（2 6π【解析】【分析】【详解】试题分析：由，得 2cos 2.c A b =，2sin cos 2sin C A B A =即2sinCcosA=2sin （A+C ）sinA ，整理可得，sinA=0，即sinA （=0，又A,C ∈（0，π），∴sinA>0，, ∴ 6C π=（2）由题意得，， 111sin 22222ABC a S ab C a ==⋅⋅⋅==A∴ . a =由余弦定理可得， 2222cos 4842228c a b ab C =+-=+-⨯=∴c =由正弦定理得， sin sin sin a b c A B C===∴sin A ==考点：本题考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数点评：解决本题的关键是灵活应用正、余弦定理21. 在正方体中，S 是的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的1111ABCD A B C D -11B D 中点，求证：（1）平面；//EG 1D AC （2）平面平面.//EGC 11A D F 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连AC ，BD 交于点O ，连SB ，D 1O ，证明，利用线面平行的判定1GE D O ∥定理证明即可；（2）证明都平行于平面，然后利用面面平行的判定定理证明即可.,EG EC 11A D F 【小问1详解】证明：连AC ，BD 交于点O ，连SB ，D 1O ，G ，E 分别是SC ，BC 的中点，，SB ∥又，则四边形为平行四边形，11//,D S BO D S BO =1D SBO ，，1SB D O ∴∥1GE D O ∴∥平面，平面，GE ⊄1D AC 1D O ⊂1D AC 平面；//EG ∴1D AC 【小问2详解】由题连接OF ，A 1F ，OF 是的中位线，，DBC △11OF BC A D AD ∴∥∥∥四点共面，11,,,O F A D ∴由（1）可知，，平面，平面， 1EG D O ∥1D O ⊂11A D F EG ⊄11A D F 则平面//EG 11A D F 又,平面，平面，11EC A D ∥11A D ⊂11A D F EC ⊄11A D F则平面，又，//EC 11A D F EG EC E ⋂=平面,平面,EG ⊂EGC EC ⊂EGC 平面平面.∴//EGC 11A D F22. 已知向量，设． ,cos ),(cos ,cos ),R m x x n x x x ==∈ ()f x m n =⋅ （1）求函数的解析式及单调增区间；()f x （2）在中，分别为内角的对边，且ABC A ,,a b c ABC A ,,A B C 1,2,()1a b c f A =+==，求的面积．ABC A【答案】（1）；（2 ,,Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，整体()1sin(2)62x f x π++=代入求解函数的单调增区间即可；()f x （2）由，可得，结合范围，可得的值，由余弦()1f A =1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭0A π<<A 定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得解．bc【详解】解：（1）211()cos cos 2cos 222f x m n x x x x x =⋅=+=++ 1sin(2)62x π++=由，可得，222,Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈36k x k ππππ-+≤≤+所以函数的单调递增区间为，. ,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2）因为，所以， ()1f A =1sin(2)62A π+=又，则，所以，解得， 0A π<<132666A πππ<+<5266A ππ+=3A π=由余弦定理可得，可得， 2222cos a b c bc A =+-2212cos433b c bc bc π=+-=-解得，所以. 1bc =1sin 2ABC S bc A ==△。
安徽省合肥高一数学下学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年安徽省合肥一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA 2．等差数列{a n}中，a4+a5+a6=36，则a1+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．363．以下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=3x+3﹣xC．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）4．已知变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值是（）A．﹣B．4 C．﹣4 D．﹣85．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A． B．2 C．2D．46．若数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N+），则该数列的前10项的乘积a1•a2•a3…a10等于（）A．3 B．1 C．D．7．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）8．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解10．已知数列{a n} 满足{a n}=，若对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，） D．（，1）11．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定12．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在锐角△ABC中，a=3，b=4，S△ABC=3，则角C= ．14．已知数列{a n}为等比数列，前n项和为S n，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q= ．15．对于任意的实数m∈[0，1]，mx2﹣2x﹣m≥2，则x的取值范围是．16．把正整数排成如图（a）的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形阵，现将图（b）中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{a n}，若a k=2017，则k= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a＜0，解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x﹣1＞0．18．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，己知c﹣b=2bcosA．（1）若a=2，b=3，求c；（2）若C=，求角B．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n．求证：（1）数列{}成等比；（2）S n+1=4a n．21．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．22．已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设c n=a n sin，数列{c n}的前n项和为T n．求证：对任意的n∈N*，T n＜．2015-2016学年安徽省合肥一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA 【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理表示出a，b，sinA及sinB的关系式，变形后即可得到答案C一定正确．【解答】解：根据正弦定理得：=，即asinB=bsinA．故选C2．等差数列{a n}中，a4+a5+a6=36，则a1+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．36【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列{a n}中，当p+q=2m时，a p+a q=2a m，即可算出正确的结论．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4+a5+a6=3a5=36，∴a5=12；∴a1+a9=2a5=24．故选：C．3．以下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=3x+3﹣xC．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式求最值的形式，逐个选项验证“一正，二定，三相等”即可．【解答】解：A中不满足x＞0；B中，y=3x+3﹣x≥2，当且仅当3x=3﹣x即x=0时取等号；C中，因为0＜x＜1，故lgx＜0，不满足条件；D中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；故选：B．4．已知变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值是（）A．﹣B．4 C．﹣4 D．﹣8【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，2），化目标函数z=x﹣3y为，由图可知，当直线过A（﹣2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2﹣3×2=﹣8．故选：D．5．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A． B．2 C．2D．4【考点】基本不等式．【分析】由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．6．若数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N+），则该数列的前10项的乘积a1•a2•a3…a10等于（）A．3 B．1 C．D．【考点】数列递推式．【分析】可判断数列{a n}的周期为4，从而求得．【解答】解：∵a1=，a n+1=，∴a2==3，a3==﹣2，a4=﹣，a5=，故数列{a n}的周期为4，∵a1•a2•a3•a4=1，∴a1•a2•a3…a10=a1•a2=，故选C．7．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）【考点】一元二次不等式的应用．【分析】利用不等式的解集与方程根的关系，求出a，b的值，即可求得不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），∴﹣1，2是ax2+bx+2=0（a＜0）的两根∴∴a=﹣1，b=1∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0为x2+x﹣2＞0，∴x＜﹣2或x＞1故选B．8．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】利用的等差数列的前n项和公式将已知数列的通项化简，利用裂项求和的方法求出数列的前n项和．【解答】解：∵所以数列的前n项和为==故选B9．在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理及已知可求sinB=1，结合B的范围可求B为直角，即可判断此三角形的解的情况．【解答】解：∵在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，∴由正弦定理，得：sinB===1，∴由B∈（0，180°），可得：B=90°，∴C=180°﹣A﹣B=60°，∴此三角形有一解．故选：A．10．已知数列{a n} 满足{a n}=，若对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，） D．（，1）【考点】数列的函数特性．【分析】对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，可知：数列{a n}单调递减，可得0＜a＜1．再分类讨论即可得出．【解答】解：∵对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，∴数列{a n}单调递减，可知0＜a＜1．①当时，n＞8，单调递减，而（n≤8）单调递减，∴，解得，因此．②当时，n＞8，单调递增，应舍去．综上可知：实数a的取值范围是．故选D．11．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定【考点】余弦定理．【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A12．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C．D．【考点】数列的应用．【分析】设{a n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出q，代入a m a n=16a12化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到， +＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在锐角△ABC中，a=3，b=4，S△ABC=3，则角C= ．【考点】正弦定理．【分析】利用三角形面积公式求得sinC，进而求得C．【解答】解：∵S△ABC=a•b•sinC=•3•4•sinC=3，∴sinC=，∵△ABC为锐角三角形，∴C=．故答案为：14．已知数列{a n}为等比数列，前n项和为S n，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q= 3 ．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】已知两式相减结合等比数列的求和公式可得．【解答】解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，∴两式相减可得a6﹣a5=2（S5﹣S4），∴a6﹣a5=2a5，∴a6=3a5，∴公比q==3故答案为：3．15．对于任意的实数m∈[0，1]，mx2﹣2x﹣m≥2，则x的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式mx2﹣2x﹣m≥2化为mx2﹣2x﹣m﹣2≥0，设函数f（x）=mx2﹣2x﹣m﹣2，对于m∈[0，1]时f（x）≥0恒成立，转化为g（m）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2在区间[0，1]上的最小值大于或等于0；讨论一次项系数x2﹣1的取值，求出g（m）的最小值，列出不等式即可求出x的取值范围．【解答】解：不等式mx2﹣2x﹣m≥2可化为mx2﹣2x﹣m﹣2≥0，函数f（x）=mx2﹣2x﹣m﹣2，则f（x）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2对于m∈[0，1]时，f（x）≥0恒成立，即不等式（x2﹣1）m﹣2x﹣2≥0恒成立；令g（m）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2，则函数g（m）在区间[0，1]上的最小值大于或等于0；因为函数g（m）的一次项系数为x2﹣1，当x2﹣1=0时，x=±1，且x=1时，g（m）=﹣4不合题意；x=﹣1时，g（m）=0满足题意；当x2﹣1＞0时，有x＞1或x＜﹣1，函数g（m）在区间[0，1]上单调递增，g（m）的最小值是g（0）=﹣2x﹣2≥0，解得x≤﹣1，应取x＜﹣1；当x2﹣1＜0时，有﹣1＜x＜1，函数g（m）在区间[0，1]上单调递减，g（m）的最小值是g（1）=x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3，此时x不存在；综上，x的取值范围是x≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．16．把正整数排成如图（a）的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形阵，现将图（b）中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{a n}，若a k=2017，则k= 1031 ．【考点】归纳推理．【分析】由题意可以得出，图1中第n行有2n﹣1个数，且每行的最后一个数恰好是行号的平方，由此可以确定出a k=2017在图a中的位置，图b中每行的数字数等于行号，由此可以计算出前n行共有多少个数字，结合图a即可求出2017在图b中的位置，从而得出k 的值．【解答】解：由题意，图a中第n行有2n﹣1个数，前n行有n×=n×n=n2个数，图b知各行数字个数等于行数，故前n行共有n×=，∵图a每行的最后一个数恰好是行号的平方，45×45=2025，故2017是第45行倒数第9个数，由图b知各行数字个数等于行数，故前45行共有45×=1035，由于最后一个数是奇数，按图b规则知，2017是第45行倒数第5个数，故k=1035﹣4=1031，故答案为：1031．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a＜0，解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x﹣1＞0．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】对a分类讨论，先判断其相应方程的解集的情况，再把二次项的系数变为大于0，进而可求出不等式的解集．【解答】解：原不等式可化为（ax+1）（x﹣1）＞0，∵a＜0，∴（x+）（x﹣1）＜0，且不等式对应方程的两个实数根为﹣和1；当﹣1＜a＜0时，﹣＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}；当a=﹣1时，﹣=1，不等式为（x﹣1）2＜0，其解集为∅；当a＜﹣1时，﹣＜1，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}．18．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列的通项和前n项和的关系，可得an的通项，由等比数列的通项可得；（2）由错位相减法，可得数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，n=1时，a1=S1=1，n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，n=1也成立．故a n=2n﹣1，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16，q3==8，解得q=2．则有b n=b2q n﹣2=2n﹣1；（2）前n项和T n=1•1+3•2+5•4+7•8+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2T n=1•2+3•4+5•8+7•16+…+（2n﹣1）•2n，两式相减．得﹣T n=1+2•2+2•4+2•8+2•16+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n，即有﹣T n=1+﹣（2n﹣1）•2n，则有．19．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，己知c﹣b=2bcosA．（1）若a=2，b=3，求c；（2）若C=，求角B．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，整理可得：a2=b2+bc，代入已知即可解得c的值．（2）由题意A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，由正弦定理化简已知等式可得：2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB，即可求B=．【解答】解：（1）∵c﹣b=2bcosA．∴由余弦定理可得：c﹣b=2b×，整理可得：a2=b2+bc，∵a=2，b=3，∴24=9+3c，解得：c=5．（2）∵C=，∴A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，∴c﹣b=2bcosA，由正弦定理可得：sin（A+B）=2sinBcosA+sinB，可得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB，解得：cos2B+sin2B=2sin2B+sinB=1，即：2sin2B+sinB﹣1=0，可得：sinB=或﹣1（舍去）．即B=．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n．求证：（1）数列{}成等比；（2）S n+1=4a n．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）由a n+1=S n，知S n﹣S n﹣1=﹣，从而=，进而，（n≥2），由此能证明{}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知S n=n•2n﹣1，a n=（n+1）•2n﹣2．由此能证明S n+1=（n+1）•2n=4a n．【解答】证明：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n，∴S n=，S n﹣1=，n≥2∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣，即2n×=，∵n≠0，∴=，∴，（n≥2）即： =2，n=1时， ==1，∴{}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）∵{}是首项为1，公比为2的等比数列，∴=2n﹣1，∴S n=n•2n﹣1，∴a n+1=S n==（n+2）•2n﹣1，∴a n=（n+1）•2n﹣2．∴S n+1=（n+1）•2n=4a n．21．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用正弦定理，求AC的长度．（2）求出AD，CD，可得出L关于θ的关系式，化简后求L的最大值．【解答】解：（1）由已知由正弦定理，得，又∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12cm，所以AC==24m．（2）因为∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°﹣θ，在△ADC中，由正弦定理得到，所以L=CD+AD=16 [sin（60°﹣θ）+sinθ]=16 [sin60°cosθ﹣cos60°sinθ+sinθ]=16sin（60°+θ），因0°＜θ＜60°，当θ=30°时，L取到最大值 16m．22．已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设c n=a n sin，数列{c n}的前n项和为T n．求证：对任意的n∈N*，T n＜．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．【分析】（1）根据题意，对进行变形可得，从而证得结论；（2）根据（1）求出数列a n，从而求得b n，利用分组求和法即可求得结果；（3）首先确定出数列{c n}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．【解答】解：（1）∵，∴，又∵，∴数列是首项为3，公比为﹣2的等比数列．（2）依（1）的结论有，即．b n=（3•2n﹣1+1）2=9•4n﹣1+6•2n﹣1+1．．（3）∵，∴．当n≥3时，则＜=．∵T1＜T2＜T3，∴对任意的n∈N*，．。
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）()242iz a a =-+-a A ．2B ．2或C ．D ．2-2-4-【答案】C【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得，()242i z a a =-+-24020a a ⎧-=⎨-≠⎩2a =-所以实数的值为.a 2-故选：C2．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则的形状为ABC 2cos c a B =ABC （ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等()sin sin C A B =+tan tan A B =腰三角形的结论.【详解】，由正弦定理，得，2cos c a B =()sin sin 2sin cos C A B A B=+=即sin cos cos sin 2sin cos ,A B A B A B +=∴，可得，sin cos cos sin A B A B =tan tan A B =又，∴，0π,0πA B <<<<A B =则的形状为等腰三角形.ABC 故选：A.3．某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）120︒A ．BC ．D 【答案】D【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，120︒所以该扇形的弧长为，120π32π180⨯=设圆锥的底面半径为，则，解得：，r 2π2πr =1r =因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为h =该圆锥的体积为.2211ππ133r h =⨯⨯=故选：D4．中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，B 的大ABC π4A =a =b =小为（ ）A ．B ．C ．或D ．或π6π3π65π6π32π3【答案】D【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin sin a B b A B B =⇒==由于,，所以或,()0,πB ∈b a>B =π32π3故选：D5．设点P 为内一点，且，则（ ）ABC ∆220PA PB PC ++=:ABP ABC S S ∆∆=A ．B ．C ．D ．15251413【答案】A【分析】设AB 的中点是点D ，由题得，所以点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，即14PD PC=- 得解.【详解】设AB 的中点是点D ，∵，122PA PB PD PC+==- ∴，14PD PC=- ∴点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，∴的面积为的面积的.ABP ∆ABC ∆15故选：A【点睛】本题主要考查向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．如图，在长方体中，已知，，E 为的中点，则异面直1111ABCD A B C D -2AB BC ==15AA =11B C 线BD 与CE 所成角的余弦值为（）ABCD【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.【详解】取的中点F ，连接EF ，CF ，，易知，所以为异面直线BD11C D 11B D 11EF B D BD∥∥CEF ∠与CE所成的角或其补角.因为1112EF B D ==CE CF ====余弦定理得.222cos 2EF EC CF CEF EF EC +-∠====⋅故选：C7．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相ABCD A B C D -''''等、高为1的“刍童”，其中，“刍童”外接球的表面积为22AB A B ''==2BC B C ''==（ ）A ．B ．CD ．20π20π3【答案】A【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O ，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积．【详解】如图，连接AC 、BD 、、，设AC ∩BD ＝M ，∩＝N ，连接MN ．A C ''B D ''AC ''BD ''∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN 所在直线上，设外接球球心为ABCD A B C D -''''O ，如图当球心在线段MN 延长线上时，易得，MC ＝2，，，4AC ===2A C ''===1NC '=MN ＝1，由得，，即OC OC '=2222NC ON OM MC '+=+，()()2222141141OM MN OM OM OM OM ++=+⇒++=+⇒=故OC ＝OC ==∴外接球表面积为．24π20π⋅=如图当球心在线段MN 上时，由得，，即OC OC '=2222NC ON OM MC '+=+舍去，()()2222141141MN OM OM OM OM OM +-=+⇒+-=+⇒=-故选：A【点睛】关键点睛：利用刍童的几何性确定外接球的球心是解题的关键.8．如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点ABC ∆BC 30C ∠=︒,B C x y 在线段的右上方．设，（），记，，分别考查A BC OA xOB yOC =+ ,x y ∈R M OA OC =⋅N x y =+的所有运算结果，则,MN A ．有最小值，有最大值B ．有最大值，有最小值M N M N C ．有最大值，有最大值D ．有最小值，有最小值M N M N 【答案】B【分析】设，用表示出，根据的取值范围，利用三角函数恒等变换化简，OCB α∠=α,M N α,M N 进而求得最值的情况.,M N 【详解】依题意，所以.设，则30,2,90BCA BC A ∠==∠=1AC AB ==OCB α∠=，所以，，所30,090ABx αα∠=+<<()())30,sin 30Aαα++()()2sin ,0,0,2cos B C αα以，当时，取得最大值()()12cos sin 30sin 2302M OA OC ααα==+=++⋅ 23090,30αα+==M 为.13122+=，所以，所以OA xOB yOC =+ ()sin 302cos x y αα+==时，有最小值为()sin 302cos N x y αα+=+=+ 1=290,45αα==N 故选B.1+【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、多选题9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ）21i z =-A ．z 的虚部为1B ．22iz =C ．z 的共轭复数为D ．1i -+2z =【答案】AB【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解.【详解】,故虚部为1，共轭复数为，()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+1i-=，故AB 正确，CD 错误，()221i 2i z =+=故选：AB10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）ABCDEF A ．B ．AC AE BF -= 32AE AC AD+= C ．D ．在上的投影向量为AF AB CB CD ⋅=⋅ AD AB AB 【答案】BCD【分析】对A ，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B ，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C ，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D ，利用向量的几何意义的知识即可判断．【详解】连接，与交于点，如图所示，,,,,,AE AC AD BF BD CE CE AD H 对于A ：，显然由图可得与为相反向量，故A 错误；AC AE AC EA EC -=+= EC BF对于B ：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法AE AC=AD EAC ∠ACE △则有，与共线且同方向，2AC AE AH += AH AD易知，均为含角的直角三角形，EDH AEH △π6，即，3AH DH = 所以，34AD AH DH DH DH DH =+=+=又因为，故，26AH DH= 232AH AD=故，故B 正确；32AE AC AD+= 对于C ：设正六边形的边长为，ABCDEF a 则，，22π1cos 32AF AB AF AB a⋅=⋅=- 22π1cos 32CB CD CB CD a ⋅=⋅=-所以，故C 正确；AF AB CB CD ⋅=⋅ 对于D ：易知，则在上的投影向量为，故D 正确，π2ABD ∠=AD AB AB故选：BCD ．11．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（ ）AB CD【答案】BCD【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.【详解】如图所示：①若平面，为边长为2的正三角形，，，都是等腰直角三AB ⊥BCD BCD △2AB =ABD △ABC 角形，满足题目条件，故其体积；11222sin 6032V =⨯⨯⨯⨯⨯︒=②若平面，为边长为2的正三角形，,，都是等腰直角三AB ⊥BCD ACD AB =ABD △ABC角形，满足题目条件，故其体积1132V ==③若为边长为2的正三角形，，都是等腰直角三角形，BCD △ABD △ABC，中点，因为，而2AB BC CD AD ====AC =AC E BE AC ⊥，所以，即有平面，故其体积为222DE B D E B +=BE DE ⊥BE ⊥ACD 112232V =⨯⨯=故选：BCD12．如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的O ABCD 2AB =6BC =4AD CD ==是（ ）A ．四边形的面积为B ABCDC ．D ．过作交于点，则4BO CD ⋅=- D DF BC ⊥BC F 10DO DF ⋅=【答案】BCD【分析】A 选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出1cos 7D =-1cos 7B =，利用面积公式进行求解；B 选项，在A 选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；Csin ,sin B D 选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D 选项，结合A 选项和C 选项中的结论，先求出∠DOF 的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A ，连接，在中，，，AC ACD 21616cos 32AC D +-=2436cos 24AC B +-=由于，所以，故，πB D +=cos cos 0B D +=22324003224AC AC--+=解得，22567AC =所以，，所以1cos 7D =-1cos 7B =sin sin B D ===故11sin 2622ABC S AB BC B =⋅=⨯⨯=11sin 4422ADC S AD DC D =⋅=⨯⨯= 故四边形，故A 错误；ABCD =对于B ，设外接圆半径为，则，R 2sin AC R B ===B 正确；对于C ，连接，过点O 作OG ⊥CD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则由垂径定理得：BD ，122CG CD ==由于，所以，即，πA C +=cos cos 0A C +=22416163601648BD BD +-+-+=解得，所以，所以，且，BD =1cos 2C =π3C =1cos 632CE BC C =⋅=⨯=所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，321EF =-= BO CD EG CD 故，故C 正确；4BO CD EG CD ⋅=-⋅=-对于D，由C 选项可知：，故，π3C =sin 604DF CD =⋅︒== 30CDF ∠=︒因为，由对称性可知：DO 为∠ADC 的平分线，故，AD CD =1302ODF ADC ∠=∠-︒由A 选项可知：，显然为锐角，1cos 7ADC ∠=-12ADC ∠故1cos 2ADC ∠==1sin 2ADC ∠==所以1cos cos 302ODF ADC ⎛⎫∠=∠-︒ ⎪⎝⎭11cos cos30sin sin3022ADCADC =∠⋅︒+∠⋅︒=所以，故D 正确.cos 10DO DF DO ODF DF ∠==⋅=⋅ 故选：BCD三、填空题13．已知向量，，若，则________．()2,4a =(),3b m =a b ⊥ m =【答案】6-【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；0a b ⋅=【详解】因为，且，()2,4a =(),3b m =a b ⊥ 所以，解得.2430a b m ⋅=⨯+⨯=6m =-故答案为：6-14．若复数所对应复平面内的点在第二象限，则实数的取值范围为________；()16z m i i=++m 【答案】60m -<<【分析】先化成复数代数形式得点坐标，再根据条件列不等式解得实数的取值范围.m 【详解】因为对应复平面内的点为，又复数所对应复平面()6z m m i=++6m m +，()16z m i i=++内的点在第二象限，所以06060m m m <⎧∴-<<⎨+>⎩【点睛】本题重点考查复数的概念，属于基本题.复数的实部为、虚部为、模为(,)a bi a b R +∈a b 、对应点为、共轭为(,)a b .-a bi15．已知，是边AB 上一定点，满足，且对于AB 上任一点P ，恒有ABC 0P 014P B AB= ．若，，则的面积为________．00PB PC P B P C ⋅≥⋅ π3A =4AC = ABC【答案】【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算公式，结合二次函数的性质、三角形面积公式进行求解即可.【详解】以所在的直线为横轴，以线段的中垂线为纵轴建立如图所示的直角坐标系，AB AB设，，，因为，所以，()40AB t t =>()2,0A t -()2,0B t 014P B AB =()0,0P t 设，，(),C a b ()(),022P x t x t -≤≤，()()()()002,0,,,,0,,PB t x PC a x b P B t P C a t b =-=-==-由，()()()()2200220PB PC P B P C t x a x t a t x x a t at t ⋅≥⋅⇒--≥-⇒-+++≥设，该二次函数的对称轴为：，()()222f x x x a t at =-++22a tx +=当时，即，222a t x t+=<-6a t <-则有，所以无实数解，()()222042203f t t t a t at t a t-≥⇒++++≥⇒≥-当时，即，222a tx t +=>2a t >则有，所以无实数解，()()22204220f t t t a t at t a t≥⇒-+++≥⇒≤当时，即，2222a tt t +-≤≤62t a t -≤≤则有，而，所以，()()2222400a t at t a ∆=-+-+≤⇒≤⎡⎤⎣⎦20a ≥0a =显然此时在纵轴，而，所以该三角形为等边三角形，()0,C b π3A =故的面积为ABC 1442⨯⨯=故答案为：【点睛】关键点睛：建立合适的直角坐标系，利用二次函数对称轴与区间的位置关系关系分类讨论是解题的关键.16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k ．已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体；以A ，B 分别为上M 下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为，平面，且距β//αβ离为h ，若平面截圆柱体N 所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，我们可以α1S αM 2S 求出的比值，进而求出环体体积为________．12S S M 【答案】28π【分析】画出示意图的截面，结合图形可得和的值，进而求出圆柱的体积，乘以，可得环1S 2S 2π体的体积，得到答案.M 【详解】画出示意图，可得，14S ==222ππS r r =-外内其中，，(224r =外(224r =内故，即，21π2πS S ==1212πS S =环体体积为.M 22π2π4π8πV =⨯=柱故答案为：28π四、解答题17．如图所示，在中D 、F 分别是BC 、AC 的中点，，，．ABC 23AE AD =AB a =AC b = (1)用，表示向量，；a bAD BF (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【答案】(1)，()12AD a b =+ 12BF b a=-(2)证明见解析【分析】（1）由向量的线性运算法则求解；（2）用，表示向量、，证明它们共线即可得证．a bBF BE 【详解】（1）∵，，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AB a =AC b = ∴，()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB a b=+=+=+-=+ ，12BF AF AB b a=-=- （2）由（1），，∴1233BE b a =- 12BF b a=-1312322332BF b a b a BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴与共线，又∵与有公共点B ，BF BE BF BE故B ，E ，F 三点共线．18．在中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且．ABC222a b c +=+(1)求C ；(2)若，求A ．tan 2tan B a cC c -=【答案】(1)45C =︒(2)75A =︒【分析】（1）由余弦定理即可求解，（2）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得，进而可求解.60B =︒【详解】（1）∵，∴，∴，222a b c +=+2222a b c ab +-=cos C =由于C 是三角形内角，∴．45C =︒（2）由正弦定理可得，tan 22sin sin tan sin B a c A CC c C --==∴sin cos 2sin sin cos sin sin B C A CB C C -=∴，∴，sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=∴，∴．()sin 2sin cos B C A B+=sin(π)sin 2sin cos A A A B ==-∵，∴，sin 0A ≠1cos 2B =由于B 是三角形内角 ，∴，则．60B =︒180456075A ︒-︒-︒==︒19．如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面,x y O θx y 21,e e 向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，OP(),x y 12OP xe ye =+ 我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.(),x y P xOy xOy(1)若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；90,OP θ=OP 1e 120 P(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值.45θ=P (OP 1e【答案】(1)1,2⎛- ⎝【分析】（1）时，坐标系为平面直角坐标系，设点利用求出，再90θ= xOy (),P x y 112⋅=- OP e x 利用模长公式计算可得答案；（2）根据向量的模长公式计算可得答案.，12==OP e e 1⋅OP e【详解】（1）当时，坐标系为平面直角坐标系，90θ=xOy 设点，则有，而，(),P x y (),OP x y =()111,0,e OP e x=⋅=又，所以，又因，111cos1202OP e OP e ⋅=⋅⋅=- 12x =-1OP ==解得的坐标是；y =P 1,2⎛- ⎝（2）依题意夹角为，21,e e 12121245,cos45⋅=⋅==e e e e OP e e12OP e e ∴====，()2111121121cos ,2OP e OP e OP e e e e e e e αα⋅=⋅⋅=⋅=+⋅=+⋅=2,cos αα==20．如图所示，在四棱锥中，平面，，E 是的中点．P ABCD -//BC PAD 12BC AD =PD（1）求证：；//BC AD （2）若M 是线段上一动点，则线段上是否存在点N ，使平面？说明理由．CE AD //MN PAB 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）取中点N ，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．AD CN EN 【详解】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，P ABCD -//BC PAD BC ⊂ABCD 平面平面，ABCD ⋂PAD AD =∴，//BC AD （2）线段存在点N ，使得平面，理由如下：AD //MN PAB取中点N ，连接，，AD CN EN ∵E ，N 分别为，的中点，PD AD ∴，//EN PA ∵平面，平面，EN ⊄PAB PA ⊂PAB ∴平面，//EN PAB 取AP 中点F,连结EF,BF ，，且，//EF AN =EF AN 因为，，//BC AD 12BC AD =所以，且，//BC EF =BC EF 所以四边形BCEF 为平行四边形，所以.//CE BF 又面PAB ，面PAB ，所以平面；CE ⊄BF ⊂//CE PAB 又，CE EN E = ∴平面平面，//CEN PAB ∵M 是上的动点，平面，CE MN ⊂CEN ∴平面PAB ，//MN ∴线段存在点N ，使得MN ∥平面．AD PAB 21．合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位于图中的三个顶点，已知,ABCAB AC ==．为了解决三个苗圃的灌溉问题，现要在区域内（不包括边界）且与B ,C 等距的40m BC =ABC 一点O 处建立一个蓄水池，并铺设管道OA 、OB 、OC．(1)设，记铺设的管道总长度为，请将y 表示为的函数；OBC θ∠=m y θ(2)当管道总长取最小值时，求的值．θ【答案】(1)()202sin π200cos 4y θθθ-⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)π6θ=【分析】（1）根据锐角三角函数即可表示，，进而可求解，20cos BO θ=20sin cos OD θθ=（2）利用，结合三角函数的最值可得.2sin cos k θθ-=k 【详解】（1）由于,在的垂直平分线 上，AB AC ==,OB OC O =∴BC AD 若设，则, ∴OBC θ∠=20cos BO θ=20sin cos OD θθ=20sin 20cos OA θθ=-则；()202sin 202020tan 2200cos cos 4y θπθθθθ-⎛⎫=-+⨯=+<< ⎪⎝⎭（2）令得2sin cos k θθ-=2cos sin k θθ=+≤故，又，故23k≥0k >k ≥min2020y =+此时：得2sin cos θθ-=πsin 2sin 23θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πsin 13θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又，故,故π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ32θ+=π6θ=22．数学史上著名的波尔约-格维也纳定理：任意两个面积相等的多边形，它们可以通过相互拼接得到．它由法卡斯·波尔约（FarksBolyai ）和保罗·格维也纳（PaulGerwien ）两位数学家分别在1833年和1835年给出证明．现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分），其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个14缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【答案】(1)柱锥V V>(2)答案见解析【分析】（1）根据题中的操作过程，结合棱锥、棱锥的体积进行求解比较即可；（2）根据题中操作过程，结合三角形内心的性质、直三棱柱的定义进行操作即可.【详解】（1）依上面剪拼方法，有．柱锥V V >推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正如图所示：在正四面体中，高，DO ===在图2一顶处的四边形中，如图所示：直三棱柱高，()π11tan tan 21622PN PMN MN =∠⋅=⨯⨯-==，13V V h h ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭柱锥柱锥0=>∴．柱锥V V >（2）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．。
合肥第二学期期中考试高一数学试卷
合肥第二学期期中考试高一数学试卷第二学期期中考试高一数学试题是查字典数学网为您整理的考试资讯，请您详细阅读!一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、数列2，5，8，11，，则23是那个数列的( )A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项2、已知△ABC中，a=4，b=43，A=30，则B等于( ).A、60 B.60或120 C.30 D.30或1503、等差数列中，已知前15项的和，则等于( ).A. B.12C. D.64、在△ABC中，若则的值为( )A、B、C、D、5、已知数列{an}首项为1，且满足，那么an等于()A、B、C、D、6、已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若asi nAsinB+bcos2A=2a，则ba的值为()A.23B.22C.3D.27、等差数列{an}中a10，S5=S8，则当Sn取最大值时n的值是()A.6B.7C.6或7D.不存在8、如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )A.100米B. 米C. 米D. 米9、定义：称np1+p2++pn为n个正数p1，p2，，pn的均倒数，若数列{a n}的前n项的均倒数为12n-1，则数列{an}的通项公式为()A.2n-1B.4n-3C. 4n-1D.4n-510、已知数列，，它们的前项和分别为，，记( )，则数列的前10项和为( )A、B、C、D、二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11、2-1与2+1的等比中项是________.12、在△ABC中，若，C=150，BC=1，则AB=______.13、已知是数列的前项和，若，则的值为14、三角形一边长为14，它对的角为60，另两边之比为8：5，则此三角形面积为_ ___.15、等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，同时满足条件a1 1，a99a100-10，a99-1a100-10.给出下列结论：①0三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、(本小题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边长，已知a2-c2=b2-bc，求：(1)角A的大小; (2)若，求的大小.17、(本题共12分)已知是等差数列的前项和，满足; 是数列的前项和，满足：。
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中检测数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}14A x x =-≤≤(){}2ln 4B x y x==-A B ⋃=A ．B ．[)1,2-[]1,4-C ．D ．(]2,4-(][),12,-∞-⋃+∞【答案】C【分析】先化简集合B ，再去求即可解决.A B ⋃【详解】因为,(){}{}2ln 422B x y x x x ==-=-<<则，{}{}{}142224A B x x x x x x ⋃==-≤≤⋃-<<=-<≤故选：C2．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【分析】根据圆锥的结构特征即可判断A 选项；根据棱台的定义即可判断选项B;结合圆柱、圆锥、圆台的旋转特征，举出反例即可判断选项C ；由棱柱的定义即可判断选项D.【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．【点睛】解决空间几何体结构特征问题的3个策略(1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力．(2)构建几何模型、变换模型中的线面关系．(3)通过反例对结构特征进行辨析．3．在边长为2的正方形ABCD 中，（ ）()AB AD CD -⋅=A ．-4B ．-2C ．2D ．4【答案】A【分析】作出图形，利用向量的三角形法则与数量积运算即可求得结果.【详解】根据题意，如图可知，，2DC = =45BDC ∠=︒．()AB AD CD DB CD DB DC -⋅=⋅=-⋅cos 2cos 454DB DC BDC =-⋅∠=-︒=-故选：A ．【点睛】4．在中，，，．则ABC π3B =8AB =5BC =外接圆的面积为（ ）ABC A ．B ．C ．D ．49π316π47π315π【答案】A【分析】设外接圆的半径为，由余弦定理可得，再由正弦定理得可得答案.ABC R AC R 【详解】设外接圆的半径为，ABC R 由余弦定理可得，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⨯即，所以，216425285492=+-⨯⨯⨯=AC 7AC =由正弦定理得，所以2sin ===AC RB R =则外接圆的面积为.ABC 249ππ3=R 故选：A.5．刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC 的边长为r ，设，过P 点作平面OP h =PQRS 平行于平面OABC ．，由勾股定理有PQRS 面OS OQ r ==PS PQ ==积是．如果将图一的几何体放在棱长为r 的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等22r h -高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h ，不难发现2h 对于任何高度h ，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）2h 注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等．A ．B ．C ．D ．383r 38π3r 3163r 316π3r 【答案】C【分析】计算出正方体的体积，四棱锥的体积，根据祖暅原理可得图一中几何体体积，从而得结论．【详解】棱锥，V 23111333Sh r r r ==⨯⨯=由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于棱锥V 313r =所以图1中几何体体积为，3331233V r r r =-=所以牟合方盖体积为．31683V r =故选：C ．6．已知函数，若函数在有且仅有两个零()()π12sin sin cos 2032f x x x x ωωωω⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭()f x []0,π点，则实数的取值范围是（ ）ωA ．B ．1117,66⎛⎫ ⎪⎝⎭1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．D ．1117,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】由三角恒等变换化简函数解析式为，由可计算出的()πsin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0πx ≤≤π26x ω+取值范围，再根据已知条件可得出关于的不等式，解之即可.ω【详解】因为()112sin sin cos 222f x x x x x ωωωω⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭211cos 21cos sin cos 22cos 2222x x x x x x x ωωωωωωω-=++-=++-，1π2cos 2sin 226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当时，，0πx ≤≤πππ22π666x ωω≤+≤+因为函数函数在有且仅有两个零点，则，解得.()f x []0,ππ2π2π3π6ω≤+<11171212ω≤<故选：D.7．已知O 为的外心，，则的值为（ ）ABC 3450++=OA OB OC cos ABC ∠A B C D 【答案】A【分析】设的外接圆的半径为R ，将平方后求出，找到ABC 3450++= OA OB OC 3cos 5AOC ∠=-，利用二倍角公式求出2AOC ABC =∠∠cos ABC∠【详解】设的外接圆的半径为R ，ABC ∵，3450++=OA OB OC ∴，且圆心在三角形内部，354OA OC OB +=-∴()()22354OA OCOB+=- ∴，()()()2229253016OA OCOA OC OB++⋅= ∴222292530cos 16R R R AOC R++∠=3cos 5AOC ∴∠=-根据圆心角等于同弧对应的圆周角的两倍得： 2AOC ABC =∠∠∴232cos 1cos 5ABC AOC ∠-=∠=-解得cos ABC ∠故选：A【点睛】方法点睛：（1)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算；（2）求向量夹角通常用，还要注意角的范围.cos ,||||a ba b a b ⋅=⨯8．若函数的定义域为，是偶函数，且．则下列说法正确的()f x R ()21f x +()()226f x f x -++=个数为（ ）①的一个周期为2；()f x ②；()223f =③的一条对称轴为；()f x 5x =④．()()()121957f f f +++= A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得，，由(2)()f x f x -=(2)(2)0f x f x -+++=此推理计算即可判断各命题作答.【详解】对于①：是偶函数，设，得，()21f x +2t x =()()11f t f t +=-+因，所以，故，()()226f x f x -++=()()46f x f x +-=()()136f t f t ++-=故，即，故，()()136f t f t -++-=()()26f x f x ++=()()246f x f x +++=所以，所以的一个周期为4，故①错误.()()4f x f x =+()f x 对于②：由于，令，得.()()226f x f x -++=0x =()23f =.故②正确.()()()2245223f f f =⨯+==对于③：由知函数的一条对称轴为，因为的一个周期为4，所以也(2)()f x f x -=1x =()f x 5x =是函数的一条对称轴，故③正确.()f x 对于④：因，得，即.()23f =(2)()f x f x -=()03f =()43f =因，所以，()()226f x f x -++=()()136f f +=，故④正确()()()()()()()()()12195123420512457f f f f f f f f f +++=+++-=⨯-=⎡⎤⎣⎦ 故选：C.二、多选题9．设向量，，则（ ）(2,0)a = (1,1)b = A ．B ．与的夹角是=a ba b 4πC ．D ．与同向的单位向量是()a b b-⊥ b 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由条件算出，，即可判断A ，算出的值可判断B ，算出的值可判断abcos ,a b()a b b -⋅C ，与同向的单位向量是，可判断D.b 【详解】因为，，(2,0)a = (1,1)b =所以A 错误2a =因为，所以与的夹角是，故B 正确cos ,a b a b a b ⋅===⋅a b4π因为，所以，故C正确()()()1,11,1110a b b -⋅=-⋅=-=()a b b -⊥ 与同向的单位向量是，故D 错误b故选：BC10．已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）z =z z A ．B ．z ||1z =C ．为纯虚数D ．在复平面上对应的点在第四象限．3z z 【答案】BD【分析】先利用复数的除法得到，再利用复数的虚部概念判定选项A错误，利用模长12z =公式判定选项B 正确，利用复数的乘方运算得到，再利用复数的分类判定选项C 错误，利用共3z 轭复数的概念、复数的几何意义判定选项D 正确.【详解】因为，12z ====则A 错误；z，即选项B 正确；||1z ==因为，所以12z =3323119(i 288z ==+，即为实数，19188=-=-3z 即选项C 错误；因为，所以，12z =12z =则在复平面上对应的点 在第四象限，z 1(,2即选项D 正确.故选：BD.11．已知函数，下列说法正确的是（ ）()()sin cos sin cos f x x x x x=+⋅-A ．的最正周期为()f x 2πB ．若，则()()122f x f x +=()12πZ 2k x x k +=∈C ．在区间上是增函数()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．的对称轴是()y f x =()ππZ 4x k k =+∈【答案】ABD【分析】把函数化成分段函数，作出函数图象，根据图象判断AC ，由余弦函数的性质判断()f xC ，再结合图象利用函数对称性的性质判断D.【详解】依题意，，函数部分图象如图，3ππcos 2,2π2π44()(Z)π5πcos 2,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-+<<+⎪⎪=∈⎨⎪-+≤≤+⎪⎩()fx 由图象知函数是周期函数，周期为，故A 正确；()f x 2π因且，则当时，且，()11f x ≤()21f x ≤()()122f x f x +=1|cos 2|1x =2|cos 2|1x =则且，，因此，，，B 正确；11π2k x =22π2k x =12,Z k k ∈1212()ππ22k k k x x ++==12Z k k k +=∈观察图象知，在区间上不单调，所以在区间上不是增函数，故C 不正确；()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦观察图象知，，是函数图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，π4x =3π4x =-()y f x =事实上，即图象关于ππππ()[sin()cos()]|sin()cos()|()22222f x x x x x f x π-=-+-⋅---=()y f x =对称，π4x =同理有图象关于对称，而函数的周期是，所以函数图象对称轴()y f x =3π4x =-()f x 2π()y f x =，D 正确.ππ,Z4x k k =+∈故选：ABD 12．在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）ABC 3B π=B BD ACD 2BD =A ．若，则B ．若，则的外接圆半径是BD BC =ABC BD BC =ABC C ．若，则D ．BD BC =AD DCAB BC +【答案】ACD【分析】A 、B 、C 选项由已知结合正弦定理和差角公式及同角的基本关系进行变形即可判断，D 选项用角表示出结合三角恒等变换以及均值不等式即可判断.θAB BC +【详解】因为，角的平分线交于，所以，，所3B π=B BD ACD 6ABD CBD π∠=∠=2BD BC ==以，，56212C BDC πππ-∠=∠==51234A ∠=--=ππππ由正弦定理得，sin sinBC ABA C ==所以，5sin cos cos sin 112646464AB ⎛⎫⎫==+=+= ⎪⎪⎝⎭⎭πππππππ所以A 正确；)11sin 1222ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯+⨯= 因为，所以，设的外接圆半径是，由正弦定理，，所以BD BC =4A π=ABCR 2sin BCR A ==B 错误；R =因为，由正弦定理，因为和互补，所BD BC =,sin sin sinsin 66ADAB CD BCADB BDC==∠∠ππADB∠BDC ∠以，所以C 正确；si n si n ADB BDC ∠=∠AD AB DC BC ==设，则，A θ∠=2,36C BDC ∠=-∠=+ππθθ因为，,sin sin sinsin BD AB BD BCA ADBC BDC ==∠∠所以2sin 2sin 662sin sin 3AB BC ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+=⎛⎫- ⎪⎝⎭ππθθπθθ若，则，90θ=AB BC +==若，则()()0,9090,180∈ θ，，1tanAB BC +=θ1tan =tθ()0,t ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭)1AB BC t t +===+时，≥)1+=t =t =则或或（舍去），tan θ=tan θ=3πθ=56πθ=综上：当为等边三角形时，D 正确.ABC AB BC +故选：ACD.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.三、填空题13．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则______.ABC A B C a b c sin cos c A C C =【答案】/3π60︒【分析】根据正弦定理，结合同角三角函数的关系求解即可【详解】由正弦定理可得，，又，故，又显然sin sin cos C A A C =sin 0A ≠sin C C =，故，故cos 0C ≠tan C =()0,C π∈3C π=故答案为：3π14．设为复数，若为实数（为虚数单位），则的最小值为___________.z (1i)z +i |2|z +【分析】设，根据为实数（为虚数单位），得到，再利用复数的模()i ,z a b a b R =+∈(1i)z +i =-b a 求解.【详解】解：设，()i ,z a b a b R =+∈则，()()(1i ,)i +=-++∈a z a b b b a R 因为为实数（为虚数单位），(1i)z +i 所以，即，0a b +==-b a所以|2|+z当时，1a =-min |2|+=z15．半径为的球的球面上有四点，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥4,,,A B C D ABC体积的最大值为________.D ABC -【答案】【分析】根据题意，设的中心为，三棱锥外接球的球心为，进而得当体积最ABC O 'D ABC -O 大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，再结合几何关系计算即可求解.D O 'O ABC 【详解】设的中心为，三棱锥外接球的球心为，ABC O 'D ABC -O 则当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，如图，D 'O OABC 因为为等边三角形且其面积为的边长，故，所以ABCABCx 2x =6x =，，故，'AO =4DO AO =='2OO===故三棱锥的高，所以6DO DO OO ''=+=163V =⨯=故答案为：16．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值a b c 1a = 2b = 2aa b =⋅ 22c b c =⋅ 22c a c b -+- 为________.【答案】72【分析】令，，，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，与OA a = OB b = OC c = a的夹角为，由题意，计算C 的轨迹为以OD 为直径的圆，利用向b θπ3θ=量基底表示，将转化为，然后转()()222222+=+-- c b BCa AC c ()222243-+-=+ c b CE c a化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解最小值.()222+-- c a bc 【详解】令，，，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，OA a = OB b = OC c =与的夹角为，连接CA 、CB 、CD 、CO 、EF .a bθ由，，，得，，1a = 2b = 2a a b =⋅ 112cos θ=⨯⨯1cos 2θ=因为，所以，在[]0,πθ∈π3θ=OAB 又由，得，即，22c b c =⋅ 02⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭b c c ()0OC OC OD OC DC ⋅-=⋅= 所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆.因为()()222222+=+-- c b BC a AC c 2222112422EC AB EC AB CE AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，22211434343722CE EF ⎫⎛⎫=+≥-+≥+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当点C 、E 、F 共线，且点C 在点E 、F 之间时，等号成立.所以的最小值为22c a c b-+-72故答案为：72【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.四、解答题17．已知向量，．1,2m ⎛= ⎝ (),cos sin x n x = (1)若∥，求的值；m ntan x (2)若且，求的值．13m n ⋅= π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos x 【答案】(1)【分析】（1）由两向量平行可得，即可得的值；1sin 2x x =tan x （2）由可得，进而可得求13m n ⋅=π1cos()33x +=πsin(3x +=ππcos cos[(]33x x =+-解即可.【详解】（1）解：因为∥，所以，m n 1sin 2x x= 即，sin x x =所以；tan x =（2）解：因为，13m n ⋅=即，所以，11cos 23x x =π1cos(33x +=又因为，所以，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,336x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以πsin(3x +=所以ππππππcos cos[(]cos()cos sin()sin 333333x x x x =+-=+++=18．如图所示，现有一张边长为的正三角形纸片ABC ，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三10cm 个全等的四边形，，（剪去的四边形均有一组对角为直角），然后把三个矩11ADA F 11BD B E 11CE C F 形，，折起，构成一个以为底面的无盖正三棱柱．111A B D D111B C E E 111A C FF 111A B C(1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；(2)求所折成的正三棱柱的表面积为【答案】m(2)12 3cm【分析】（1）设出,表达出,利用正三棱柱的底面边长与高之比求出的长，即为该三棱1A D 11A B 1A D 柱的高；（2）设出,表达出,表达出所折成的正三棱柱的表面积，求出的长，进而求出该三棱柱1A D 11A B 1A D 的体积.【详解】（1）由题意及几何知识得，设, 则，.1A D x=AD=1110A B =-因为，1113A B A D ==所以x =∴.m（2）由题意，（1）及几何知识得，正三棱柱的表面积为设, 则，，1A D x=AD =1110A B=-∴表面积())221111331010S A D DDA B x =⋅=⋅--=解得：x =∴，，1A D =3AD ==11104A B =-=∴该三棱柱的体积为：22111412V A B A D =⋅==3cm 19．已知为三角形的一个内角，复数，且满足．θcos isin z θθ=+11z +=(1)求；21z z ++(2)设z ，，在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求的面积．2z -21z z ++ABC 【答案】(1)0【分析】（1）由求出，得出，再由复数的四则运算求；11z +=cos θz 21z z ++（2）求出复数对应复平面上点的坐标，计算三角形的边长，利用三角形面积公式求解.【详解】（1）且，1(cos 1)isin z θθ+=++ 11z +=，22(cos 1)sin 22cos 1θθθ∴++=+=且，1cos 2θ∴=-(0,π)θ∈1sin 2z θ∴==-，2131442z ∴=-=-.21111022z z ∴++=--=（2）复数，，，12z =-122(12z -=--=210z z ++=在复平面上对应的点分别为，1((0,0)2A B C -，，1CA ∴=2CB =AB =由余弦定理可得，2221431cos 2222CA CB AB ACB CA CB +-+-∠===⋅⨯且，(0,π)ACB ∠∈sin ACB ∴∠=.11sin 1222ABC S CA CB ACB ∴=⋅⋅∠=⨯⨯=△20．已知函数（，且）.()x xk f x a ka -=+Z k ∈0a >1a ≠(1)若，求的值；11()32f =1(2)f (2)若为定义在上的奇函数，且，是否存在实数，使得()k f x R 01a <<m 0对任意的恒成立，若存在，请写出实数的取值范围；若不()21(5)k k f mx mx f m --+->[1,3]x ∈m 存在，请说明理由.【答案】(1)47；(2)存在，.6(,)7-∞【分析】(1)，由此计算即可计算的值.3=1a a +1(2)f (2)由给定条件求出，再探求函数的单调性，然后脱去函数对应法则，分离参数并求出函数k ()k f x 最值作答.【详解】（1）依题意，，由，两边平方得，解1()xxf x a a -=+11(32f =3=129a a ++=得，17a a +=所以.22211(2)()247f a a a a -=+=+-=（2）因为定义在上的奇函数，则，，即，()k f x R R x ∀∈()()0k k f x f x -+=0x x x xa ka a ka --+++=则，而，解得，因此，，(01)()x x k a a -++=0x x a a -+>1k =-()1x x f x a a --=-因，则在上单调递减，在上单调递增，从而得在上单调递减，01a <<x a R xa -R ()1x xf x a a --=-R ()()()()()2211111150155f mx mx f m f mx mx f m f m -------+->⇔-->--=-，而，则，2215(1)6mx mx m x x m --<-⇔-+<⇔22131()024x x x -+=-+>261m x x <-+依题意，，成立，显然在上单调递增，在上单调[1,3]x ∀∈261m x x <-+21x x -+[1,3]261x x -+[1,3]递减，则当时，，于是得，3x =min 2166()7x x =-+67m <所以存在实数满足条件，的取值范围是.m m 6(,7-∞21．已知满足．ABC ()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B -=-(1)试问：角是否可能为直角？请说明理由；B (2)若为锐角三角形，求的取值范围．ABC sin sin CA 【答案】(1)角不可能为直角，理由见解析B (2)15,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）使用反证法，假设角为直角，根据题目条件证明假设不成立，得到角不可能为直B B 角；（2）将的取值范围转化为的取值范围，通过为锐角三角形，列出关sin sin CA sin (0)sin C c t t A a ==>ABC 于的不等式，进而求得结果.t 【详解】（1）假设角为直角，则，B π2A C +=所以，sin cos ,sin cos A C C A ==因为，()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B-=-所以，2cos cos 2sin cos 1A A A A =-所以，所以，1cos2sin21A A +=-πsin 24A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭显然，所以矛盾，故假设不成立，πsin 214A ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭所以角不可能为直角．B （2）因为，()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B-=-所以，22sin sin cos 2sin cos sin 2sin sin sin C B A C B A A C B -=-由正弦定理，得，22cos 2cos 2bc A ac B ac b -=-由余弦定理化简，得，22322b ac a =+因为为锐角三角形，ABC 所以π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩222222222cos 00cos 00,cos 00A b c a B a c b C a b c ⎧⎧>+->⎪⎪⇒>⇒+->⎨⎨⎪⎪>+->⎩⎩令，则有，sin (0)sin C c t t A a ==>222321032103250t t t t t t ⎧+->⎪-+>⇒⎨⎪-++>⎩113R 513t t t t ⎧><-⎪⎪∈⎨⎪⎪-<<⎩或1533t ⇒<<所以的取值范围为．sin sin CA 15,33⎛⎫ ⎪⎝⎭22．如图所示的两边，，设是的重心，边上的高为，过的ABC 1BC =2AC =G ABC BC AH G 直线与，分别交于，，已知，；AB AC E F AE AB λ= AF AC μ=(1)求的值；11λμ+(2)若，，，求的值；1cos 4C =920AEFABCS S =△△λμ>()()EH AF HF EA+⋅+(3)若的最大值为，求边的长.BF CE ⋅ 518-AB 【答案】(1)3(2)321100-(3)2【分析】（1）利用重心的性质以及三点共线的充要条件即可求解（2）先解出与，λμ再利用解三角形的知识求出和，最后将化简即可求解（3）以和EF AH ()()EH AF HF EA+⋅+AB 为基底表示，引入参数，通过分类讨论求解ACBF CE ⋅ 1,22t λη⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1），1AE AB AB AEλλ=⇒= 1AF AC AC AB μμ=⇒= 如图所示，连接并延长交于点，则为中点AG BC D D BC 因为为重心G ABC 所以()22111113323333AG AD AB AC AB AC AE AFλμ⎡⎤==+=+=+⎢⎥⎣⎦ 因为，，起点相同，终点共线AG AEAF 所以，所以11133λμ+=113λμ+=（2）设角，，所对的边分别为，，，，A B C a b c ∴1a =2b =22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=2c ∴=()11sin sin 22AEF S AE AF EAF AB AC EAF λμ=⨯⨯∠=⨯⨯∠△1sin 2ABC S AB AC BAC =⨯⨯∠△所以,920AEF ABCS S λμ∆==△由解之得113920λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3435λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩33362,24255AE AF ∴=⨯==⨯=在中ABC 2227cos 28b c a A bc +-==在，,AEF △222272cos 50EF AE AF AE AF A =+-⨯⨯=在，中Rt AHC sin AH AC C =⨯=EH AF AH AE AF AH EF+=-+=+HF EA AF AH AE EF AH+=--=- ==()()()()22EH AF HF EA EF AH EF AH EF AH∴+⋅+=+⋅-=- 2715504-321100-（3）()()()221cos BF CE AC AB AB AC bc A c b μλλμλμ⋅=-⋅-=+--==2231432c c λμλμ++⎛⎫+⋅-- ⎪⎝⎭22235321266c c c λμ⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭=222353211112663c c c λμλη⎛⎫⎛⎫+--=-++⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222532115121818c c c λμμλ⎡⎤--⎢⎥=+-+⎢⎥⎣⎦令， 1,22t λη⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦BF CE ∴⋅=()()2221511532121818c c t c t ⎡⎤+--+-⎢⎥⎣⎦①，3c ≤<1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得：()2max15218c BFCE⋅=+185=-42452924480c c -+=解得：2c =②若1c <2>==，()222max 15121253218182c cBF CE c ⎡⎤-⋅=+-+-⎢⎥⎣⎦ 219436c -518-解得：（舍去）2199c =综上可得：2c =。
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期4月期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，()()2,4,1,3AB AC == ，则AD = （）A ．()1,1--B ．()1,1C ．()2,4D ．()3,7【答案】A【分析】根据平行四边形的性质结合向量的坐标运算，即可得答案.【详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，故()()()1,32,41,1A AC AB D BC ==----==,故选：A2．若向量a ，b 满足：1a = ，2b = ，且()0a a b ⋅+= ，则a 与b 的夹角是A ．30 B ．60C ．90D ．120【答案】D【分析】根据题目条件直接利用平面向量数量积公式即可求解.【详解】设向量a 与b的夹角是θ，22()||||||cos 0a a b a ab a a b θ+=+=+=，因为1a = ，2= b ，所以1cos 2θ=-，又0180θ≤≤ 所以120θ︒=.故选：D ．3．在ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =（）A ．23-B ．13-C ．14-D ．14【答案】C【分析】根据正弦定理得到三边长的比值，再利用余弦定理即可求得答案.【详解】在ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则::2:3:4a b c =，设()2,3,40a k b k c k k ===≠，则222222249161cos 2124a b c k k k C ab k +-+-===-.故选：C4．如图是我国古代米斗，它是随着粮食生产而发展出来的用具，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.若将某个米斗近似看作一个正四棱台，其中两个底面的边长分别为30cm 、60cm ，且米斗的容积为3420002cm ，则该米斗的侧棱长为（）A ．202cmB ．252cmC ．20cmD ．25cm【答案】B【分析】由台体体积公式可求台体的高，进而可求侧棱长．【详解】解：设正四棱台的高为h ，依题意，()1420002900360030603h =⨯++⨯⋅，解得202h =，故侧棱长为22(152)(202)252cm +=，故选：B.5．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若30,2,6A a b === ，则B =（）A ．30B ．60C ．30 或150D ．60 或120【答案】D【分析】利用正弦定理以及大边对大角即可求解．【详解】因为30,2,6A a b =︒==，则由正弦定理可得：16sin 32sin 22b A B a⨯===，又a b <，且30180B ︒<<︒，所以60B =︒或120︒．故选：D ．6．已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S ，体积为V ，则当VS取得最大值时，圆锥的底面半径为（）A ．22B ．1C ．2D ．2【答案】C【分析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，结合圆锥的侧面积和体积公式求得VS的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】设圆锥底面半径为r ，高为h ，由题意知母线长为2l =则222π2π24S rl r h r r ===-=-，，所以222221π41141342π6623r V r r r r r r S -+-==-≤⋅=，当且仅当24r r =-，即2r =时，取得等号，故选：C7．在ABC 中，设O 是ABC 的外心，且1133AO AB AC =+，则BAC ∠=（）A ．30B ．60C ．90D ．120【答案】B【分析】由题意得||||||OA OB OC ==，由此利用向量的线性运算，结合向量模以及数量积的运算律可推出212AB AC AB ⋅= ，212AB AC AC ⋅= ，从而||||AB AC =，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意O 是ABC 的外心，故||||||OA OB OC ==，又,1133OB OA AB AO AB AC =+=+ ，所以2222||2OB OB OA AB OA AB=+=+⋅()2223OA AB AB AC AB=+-+⋅ 221233OA AB AB AC =+-⋅ ，则212033AB AB AC -⋅=，所以212AB AC AB ⋅= ，同理可得212AB AC AC ⋅= ，故||||AB AC =，所以1cos 2||||AB AC BAC AB AC ⋅∠==，由于BAC ∠为ABC 内角，故60BAC ∠= ，故选：B8．如图，矩形ABCD 中，2AB =，23AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE BC ⋅=（）．A ．3B ．3C ．6D ．9【答案】B【分析】把BC 用,AB AO表示后再由数量积的定义计算．【详解】2BC AC AB AO AB =-=-，()22AE BC AE AO AB AE AO AE AB⋅=⋅-=⋅-⋅ 2cos cos AE AO OAE AE AB BAE =⨯⨯∠-⋅⋅∠ 222AE AE=- 222222332(23)AE ⎛⎫⨯⎪=== ⎪+⎝⎭．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是用,AB AO 表示BC，然后根据向量数量积定义计算．二、多选题9．已知复数z 满足()31i 2z -=，则（）A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．1i z =+D ．22z =【答案】BC【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z ，然后逐一分析四个选项得答案．【详解】由()31i 2z -=，得()1i 2z +=，则()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，z ∴的虚部为1-，故A 错误；22||1(1)2z =+-=，故B 正确；1i z =+，故C 正确；()221i 2i z =-=-，故D 错误．故选：BC ．10．设向量()110,1,,22a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则（）A ．a b∥B ．()a b b +⊥r r r C ．||||a b b -=D ．a 在b 上的投影向量为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】根据向量平行的坐标表示可判断A ；根据向量垂直的向量表示判断B ；求出向量a b -的坐标，可求得其模，求出||b，判断C ；根据投影向量的定义可判断D.【详解】由题意向量()110,1,,22a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()111010222⎛⎫⨯--⨯-=-≠ ⎪⎝⎭，故,a b不平行，A 错误；因为()221111120,1,,||()()222222a b b ⎛⎫⋅=-⋅-=-=-+= ⎪⎝⎭，故211(02)2a b b a b b +⋅=⋅+=-+= ，即()a b b +⊥ ，B 正确；因为()11130,1,(,)2222a b ⎛⎫-=---=- ⎪⎝⎭ ，则221310||()()222a b -=+-= ，故||||a b b -≠，C 错误；a 在b 上的投影向量为211,22111||||2,22222a b b b b -⎛⎫⋅⎪⎛=⎫- ⋅=- ⎪⎝⎭⋅⎝⎭ ，D 正确，故选：BD11．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列命题为真命题的是（）A ．若AB >，则sin sin A B>B ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC 是钝角三角形C ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形D ．若8,10,45a c A === ，则符合条件的ABC 有两个【答案】ABD【分析】利用A B >则a b >，进而利用正弦定理即可判断选项A ；利用正弦定理角化边得222a b c +<，利用余弦定理得cos 0C <，即可判断B ；利用正弦定理边化角整理得sin2sin2A B =，可得A B =或22πA B +=，即可得出结论判断C ；正弦定理求得sin C ，可判断D.【详解】对于A ，当A B >时，a b >，根据正弦定理得2sin 2sin R A R B >，整理得sin sin A B >，故A 正确；对于B ，因为222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab+-=<，因为0πC <<，所以ππ2C <<，即C 为钝角，所以ABC 是钝角三角形，故B 正确；对于C ，由cos cos a A b B =，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =，所以A B =或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=，所以ABC 是直角三角形或等腰三角形，故C 错误；对于D ，由正弦定理得210sin 522sin 88c AC a⨯⋅===，即2sin 12C <<，因为c a >，所以C A >，A 为锐角，所以存在满足条件的ABC 有两个，D 正确.故选：ABD12．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,2AB AC a ⋅==，则（）A ．cos 2bc A =B ．228b c +=C ．角A 的最大值为π3D ．ABC 面积的最小值为3【答案】ABC【分析】由平面向量的数量积计算可得A ，由余弦定理可得B ，由基本不等式及余弦定理可判断C ，结合条件可得tan ABC S A = ，由C 项判定A 的范围即可.【详解】由2cos 2AB AC AB AC bc A =⋅=⇒⋅=，故A 正确；由余弦定理结合A 项可得222222cos 48a b c bc A b c =+-=⇒+=，故B 正确；由上结合基本不等式及余弦定理有22222282,cos 2b c a b c bc A bc bc+-+=≥==故214,2bc bc ≤≥，而()0,πA ∈，cos y A =单调递减，所以由1πcos 23A A ≥⇒≤，当且仅当b c =时取得最大值，故C 正确；由上可得21sin tan cos 2ABC bc S bc A A A =⇒== ，又π3A ≤，所以tan 3A ≤，故D 错误.三、填空题13．已知正ABC 外接圆的半径为3，则正ABC 的周长为.【答案】9【分析】根据正弦定理求得正三角形边长，即得答案.【详解】由题意可设正ABC 的边长为a ，则23sin a A =，故π23sin 33==a ，故正ABC 的周长为9，故答案为：914．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为32，则这个球的表面积为.【答案】32π【分析】由题意求出底面正方形边长，进而根据正四棱柱的体对角线长即为其外接球的直径，求出球的半径，即可得答案.【详解】由题意知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为32，故正四棱柱的底面积为8，则底面正方形边长为22，又因为正四棱柱的体对角线长即为其外接球的直径，故外接球半径为222(22)(22)4222r ++==，故这个球的表面积为24π32πr =，故答案为：32π15．设12,e e 是不共线的两个向量，121212,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-.若,,A B D 三点共线，则k的值为.【答案】4-【分析】根据三点共线可得向量共线，由此利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案.【详解】因为,,A B D 三点共线，故AB∥BD ,则R λ∃∈，使得AB BD λ=，又12121223()4BD CD CB e e e e e e ==-+=---，故1212()4e ke e e λ+-=，则14kλλ=⎧⎨-=⎩，解得4k =-，16．滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量膝王阁的高度，在膝王阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为12m ，在它们的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A ，滕王阁顶部C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得滕王阁顶部C 的仰角为30°，由此估算滕王阁的高度为m .（精确到1m,3 1.73≈）.【答案】57【分析】解直角ABM ，求得AM ，继而解ACM △，由正弦定理求出CM ，最后解直角CDM V ，即得答案.【详解】在ABM 中，126122sin15ABAM ︒==+，（232162sin15sin(4530)22224-=-=⨯-⨯=）在ACM △中，301545CAM ︒︒︒∠=+=，1806015105,30AMC ACM ︒︒︒︒︒∠=--=∴∠=，故sin 30sin 45AM CM ︒︒=，即()sin 45(126122)22431sin 30AM CM ︒︒==+⋅=+，所以()()3sin 6024311233572CD CM ︒=⋅=+⨯=+≈（米），故答案为：57四、解答题17．已知R,i m ∈是虚数单位，复数()2221i z m m m =+-+-.(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.【答案】(1)2-(2)(2,1)--【分析】（1）根据复数的类型列出相应的不等式组，即可求得答案；（2）根据复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，列出相应的不等式组，求得答案.【详解】（1）因为复数()2221i z m m m =+-+-是纯虚数，故222010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得2m =-；（2）由于复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，故222010m m m ⎧+-<⎨->⎩，解得21m -<<-，即m 的取值范围是(2,1)--.18．已知向量,a b满足()()111,,42a ab a b a b =⋅=+⋅-= .(1)求b 及a b +的值；(2)求向量b 与a b +夹角的余弦值.【答案】(1)22；2(2)34【分析】（1）根据数量积的运算律可求得||b ，根据向量模的计算即可求得a b +；（2）求出()b a b ⋅+的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）因为()()111,,42a ab a b a b =⋅=+⋅-= ，所以2212a b -= ，即2121,||22b b -=∴= ；2221121222a b a b a b a b +=+=++⋅=++=；（2）由题意得2113()424b a b b a b ⋅+=⋅+=+=，故()()()334cos ,4222b a b b a b ba b⋅++===+⨯19．设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,sin sin 2B Ca b c b a B +=.(1)求A ；(2)若3,sin 2sin a B C ==，求ABC 的周长.【答案】(1)π3(2)33+【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式，化简可得1sin22A =，再求出A ；（2）根据sin 2sinBC =，利用正弦定理边化角可得2b c =，再利用余弦定理求出,b c ，最后求出周长即可.【详解】（1）在ABC 中，sin sin 2B Cb a B +=，由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=，因为(0,π),sin 0B B ∈∴≠，则sin sin 2B CA +=，即πsin 2sin cos 222A A A -=，即cos 2sin cos 222A A A=，而π0(),22A ∈，即cos 02A ≠，所以1sin 22A =，故ππ,263A A =∴=；（2）因为sin 2sinBC =，所以2b c =，又3a =，所以2222cos a b c bc A =+-，即222342c c c =+-，所以1,2c b ==，所以ABC 的周长为33a b c ++=+.20．如图，在ABC 中，点M 、N 满足AM mAB = ，()0,0AN nAC m n =>>，点D 满足13BD BC = ，E 为AD 的中点，且M 、N 、E 三点共线.(1)用AB、AC 表示AE ；(2)求112m n+的值.【答案】(1)1136AE AB AC =+(2)1132m n+=【分析】（1）由13BD BC = 结合平面向量的减法化简可得出AD 关于AB 、AC 的表达式，再由12AE AD = 可得出AE 关于AB 、AC 的表达式；（2）由M 、N 、E 三点共线知，存在R λ∈，使得ME MN λ= ，进而可得出()()11AE AM AN mAB nAC λλλλ=-+=-+ ，利用平面向量的基本定理可求得112m n +的值.【详解】（1）解：因为13BD BC = ，则()13-=- AD AB AC AB ，所以，2133AD AB AC =+ ，因为E 为AD 的中点，故112111223336AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ .（2）解：因为M 、E 、N 三点共线，则//ME MN ，所以，存在R λ∈，使得ME MN λ= ，即()AE AM AN AM λ-=- ，所以，()()11AE AM AN mAB nAC λλλλ=-+=-+ ，又因为1136AE AB AC =+ ，且AB 、AC 不共线，所以，()11316m n λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，()111136m n λλ+=-+=，故1132m n+=.21．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，PA 是圆柱的母线，3,22PA AD AB ===，120,BAD C ∠= 是 BD上的动点.(1)求圆柱的侧面积S ；(2)求四棱锥P ABCD -的体积V 的最大值.【答案】(1)221π(2)934【分析】（1）利用余弦定理求出BD ，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r ，进而求出结果；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出7BC CD ⋅≤，再利用体积公式求出结果.【详解】（1）如图：连接BD ，在ABD △中，1AB =，2AD =，120BAD ∠=︒，由余弦定理，得2222cos 7BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，所以7BD =，设圆柱底面半径为r ，由正弦定理，得72212sin sin1203BD r BAD ===∠︒，所以213r =，故圆柱的侧面积221π2π3221π3S rPA ==⨯=；（2）由（1）知，ABD △中，7BD =，18060BCD BAD ∠=︒-∠=︒，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD BCD=+-⋅∠222BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD =+-⋅≥⋅-⋅=⋅，即7BC CD ⋅≤，当且仅当7BC CD ==时，等号成立，所以1173sin 7sin 60224BCD S BC CD BCD =⋅∠≤⨯︒=△，因为113sin 12sin120222ABD S AB AD BAD =⋅∠=⨯⨯︒=△，又3PA =，所以四棱锥P ABCD -的体积，()111373933333244P ABCD ABCD ABD BCD V S PA S S PA -⎛⎫=⋅=+⋅≤⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△△，故四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -的最大值为934.22．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos c a b A +=.(1)证明：2B A =；(2)若ABC 是锐角三角形，1a =，求b 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(2,3)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和差公式，得到sin sin()A B A =-，即可得证；（2）利用正弦定理及题设条件，求得2cos b A =，结合ABC 为锐角三角形，求得A 的范围，即可求解.【详解】（1）证明：由正弦定理及2cos c a b A +=，可得sin sin 2sin cos C A B A +=，因为πA B C ++=，可得sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin sin cos sin cos sin()A B A A B B A =-=-,所以A B A =-或πA B A +-=，因为,(0,π)A B ∈，所以A B A =-，即2B A =.（2）解：由正弦定理sin sin a b A B=且1a =，2B A =，可得2cos b A =，因为ABC 为锐角三角形，所以π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得ππ64A <<，所以23cos (,)22A ∈，所以b 的取值范围是(2,3).。
安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学含答案
合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期中联考高一数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面上表示复数1i --的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若(1,),(1,3),(1,7)A m B m C m +-三点共线，则m =（）A.5- B.5C.0或5- D.0或53.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8B. C.16D.4.已知复数()227636i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m 的值为（）A.6± B.1或6C.6- D.15.在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（）A.16a b -B.16a b -C.16a b +D.16a b--6.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++= .若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m=A.2B.3C.4D.57.已知ABC 的面积为2，2AC =，60BAC ∠= ，则ACB =∠（）A .30B.60C.90D.150 8.在锐角ABC 中，2BC =，sin sin 3sin B C A +=，点D 是BC 边的中点，则AD 的长度的取值范围是（）A.[)8,9B.)⎡⎣ C.738,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3⎡⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台B.②是圆台C.③是四面体D.④是棱柱10.已知复数12z z ，，则下列结论中一定正确的是（）A.111z z z ⋅=B.若120z z =，则10z =或20z =C.1212z z z z ⋅=⋅ D.若12z z =，则2212z z =11.在ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，下列叙述正确的是（）A .若45,A a b =︒==ABC 有两解B.若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形C.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>D.若O 是ABC 所在平面内一点，且0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 为ABC 的内心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1,1a =，()2,1b =- ，则b 在a 上的投影向量的坐标为______.13.如图，为了测量山高BC ，分别选择山下平地的A 处和另一座山的山顶M 处为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角45NAM ∠=︒，C 点的仰角30BAC ∠=︒以及75MAC ∠=︒，从M 点测得45AMC ∠=︒，已知山高MN =米，则sin ACM ∠=________，山高BC =________米.14.在边长为2的正方形，ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ⋅的最小值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(3,2)a = ，(,1)b x =-.（1）当()2a b b -⊥时，求x 的值；（2）当(8,1)c =-- ，//()a b c + ，求向量a 与b的夹角α.16.如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，4AB =，5BC =，若将该图形中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.17.已知复数z 满足()1i 2i z +=.（1）求z ；（2）若z 是方程()20,x ax b a b ++=∈∈R R 的一个根，求a b +的值.18.在ABC 中，已知545cos 7AB AC B ===，，.（1）求sin A 的值；（2）若AD 是BAC ∠的角平分线，求AD 的长．19.已知12a a，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O 作11OA a =，22OA a =，以O 为原点，分别以射线12OA OA 、为x y 、轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底12a a，确定的坐标系xOy 称为基底{}12a a ，坐标系xOy ．当向量12a a ，不垂直时，坐标系xOy 就是平面斜坐标系，简记为{}12;O a a，．对平面内任一点P ，连结OP ，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对()x y ，，使得12OP xa ya =+，则称实数对()x y ，为点P 在斜坐标系{}12O a a ；，中的坐标．今有斜坐标系{}12O e e ；，（长度单位为米，如右图），且12121120e e e e ===︒ ，，，设()12OP =，（1）计算OP的大小；（2）质点甲在Ox 上距O 点4米的点A 处，质点乙在Oy 上距O 点1米的点B 处，现在甲沿xO的方向，乙沿Oy的方向同时以3米/小时的速度移动．①若过2小时后质点甲到达C 点，质点乙到达D 点，请用12e e ，，表示CD；②若t 时刻，质点甲到达M 点，质点乙到达N 点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期中联考高一数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面上表示复数1i --的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】由复数的几何意义即可求解.【详解】复平面上复数1i --对应的点的坐标是(1,1)--，在第三象限.故选：C2.若(1,),(1,3),(1,7)A m B m C m +-三点共线，则m =（）A.5-B.5C.0或5- D.0或5【答案】D 【解析】【分析】由题意可得//AB BC，再利用向量共线求解即可.【详解】因为(,3),(2,4)AB m m BC m =-=-，若(1,),(1,3),(1,7)A m B m C m +-三点共线，则//AB BC，所以42(3)m m m =--，解得0m =或5．故选：D .3.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8B.C.16D.【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=，还原回原图形后，2OA O A =''=，2OB O B =''=，所以6AB ==，所以原图形的周长为2(26)16⨯+=．故选：C.4.已知复数()227636i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m 的值为（）A.6± B.1或6C.6- D.1【答案】D 【解析】【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.【详解】由题意可得：2760m m -+=且2360m -≠，则1m =.故选：D.5.在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（）A.16a b -B.16a b- C.16a b+ D.16a b-- 【答案】B 【解析】【分析】根据向量的加减法运算结合平面向量基本定理求解即可.【详解】因为平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，所以211,322AN AD BM BC AD === ，因为AB a =，AD b =，所以NM NA AB BM=++ 12AN AB AD=-++ 2132AD AB AD=-++16AB AD=- 16a b=- 故选：B6.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++= .若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m=A.2 B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【详解】试题分析：因为△ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=，所以0,33,MA MA AC MA AB AB AC MA AM ++++=+=-= 又AB AC mAM +=，故m=3，选B ．考点：本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量唯一分解式．点评：简单题，利用平面向量在同一基底下分解式唯一，通过向量的线性运算，从0MA MB MC ++=出发，确定AB AC +．7.已知ABC 的面积为2，2AC =，60BAC ∠= ，则ACB =∠（）A.30B.60C.90D.150【答案】A【解析】【分析】根据面积公式求出AB ，再根据余弦定理求出BC ，最后根据正弦定理即可求解.【详解】根据三角形面积公式，11sin 22222ABC S AB AC BAC AB =⋅∠=⋅⋅⋅=，∴AB =1，又根据余弦定理：2222cos BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅⋅∠11421232=+-⨯⨯⨯=∴BC 根据正弦定理得：sin sin AB BCACB BAC =∠∠，12sin 32ACB∴==∠，1sin 302ACB ACB ∴∠=∴∠=︒，或150︒∵三角形内角和为180°，∠BAC =60°∴排除∠ACB =150°∴∠ACB =30°故选：A8.在锐角ABC 中，2BC =，sin sin 3sin B C A +=，点D 是BC 边的中点，则AD 的长度的取值范围是（）A.[)8,9B.)⎡⎣ C.738,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3⎡⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意由正弦定理可得6b c +=，结合锐角三角形解得81033b <<，再根据()12AD AB AC =+ 结合向量的运算律、余弦定理整理得()2238AD b =-+uuu r ，根据二次函数的性质运算求解即可.【详解】设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则2a BC ==，∵sin sin 3sin B C A +=，由正弦定理可得36b c a +==，即6c b =-，若ABC 为锐角三角形，则()()()222222222222222640460460b c a b b a c b b b a b c b b ⎧+-=+-->⎪⎪+-=+-->⎨⎪+-=+-->⎪⎩，解得81033b <<，又∵点D 是BC 边的中点，则()12AD AB AC =+，可得()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AB AC AC b c bc A =+=+⋅+=++uuu r uu u r uuu ruu u r uu u r uuu r uuu r ()()222222222211122222644244b c a b c bc b c a b b bc ⎛⎫+-⎡⎤=++⨯=+-=+-- ⎪⎣⎦⎝⎭()2261738b b b =-+=-+，注意到()()238f b b =-+开口向上，对称轴3b =，且()8107338,339f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2738,9AD ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭uuu r ，即AD的长度的取值范围是3⎡⎢⎣⎭.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台B.②是圆台C.③是四面体D.④是棱柱【答案】CD 【解析】【分析】由棱台、圆台、四面体、棱柱的定义进行判断即可.【详解】图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是四面体；图④上下两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选：CD.10.已知复数12z z ，，则下列结论中一定正确的是（）A.111z z z ⋅=B.若120z z =，则10z =或20z =C.1212z z z z ⋅=⋅ D.若12z z =，则2212z z =【答案】BC 【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,a b c d ∈R .求出共轭复数，代入化简整理，结合模的运算，即可判断各项.【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,a b c d ∈R .对于A 项，因为1i z a b =-，所以()()222111i i z z a b a b a b z ⋅=+-=+=，故A 项错误；对于B 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++.因为，120z z =，所以00ac bd ad bc -=⎧⎨+=⎩，则()()2200ac bd ad bc ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，所以()()220ac bd ad bc -++=，展开有，22222222220a c b d abcd a d b c abcd +-+++=，整理可得，()()22220a bcd ++=，所以220a b +=或220c d +=，所以，10z =或20z =，所以，10z =或20z =，故B 项正确；对于C 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，又()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，所以1212z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D 项，取12z =，21z =+，显然122z z ==.214z =，()2222112z z ==-+≠，故D 项错误.故选：BC.11.在ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，下列叙述正确的是（）A.若45,A a b =︒==，则ABC 有两解B.若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形C.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>D.若O 是ABC 所在平面内一点，且0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 为ABC 的内心【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由正弦定可得B 有两个值，即可判断；对于B ，由正弦定理可得sin 2sin 2A B =，进而得A B =或90A B +=︒，即可判断；对于C ，由ABC 为锐角三角形，可得π2B A >-，再由余弦函数的单调性得sin cos A B >，即可判断；对于D ，由0||||AC AB OA AC AB ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，,AC AB AC AB表示单位向量，且AC AB AC AB + 与AC AB AC AB-相互垂直，则得OA 与AC AB AC AB+ 共线，进而得OA 在A ∠的角平分线上，同理可得OB在B ∠的角平分线上，得O 是三角形ABC 的内心，即可判断.【详解】对于A，若45,A a b =︒==sin sin a bA B=，可得sin 2sin 2b AB a===，所以60B =︒或120B =︒，此时ABC 有两解，故A 正确；对于B ，若cos cos a b B A=，则由正弦定理可得sin sin cos cos A BB A =，所以sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =，所以有22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，则ABC 为等腰或直角三角形，故B 不正确；对于C ，若ABC 为锐角三角形，则π2A B +>，π2B A >-，因为cos y x =在()0,π为减函数，所以πcos cos sin 2B A A ⎛⎫<-=⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，AC ACuuu r uuur 表示AC方向的单位向量，AB AB表示AB方向的单位向量，根据向量加法和减法的运算法则可知，AC AB ACAB + 与AC AB AC AB- 相互垂直，由于0AC AB OA AC AB ⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎝⎭ ，所以OA 与AC AB AC AB - 垂直，所以OA与AC AB AC AB+ 共线，而AC AB AC AB + 表示以,AC ABAC AB为邻边的菱形的对角线，所以OA 在A ∠的角平分线上，同理可得OB在B ∠的角平分线上，所以O 是三角形ABC 的内心，故D 选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1,1a =，()2,1b =- ，则b 在a 上的投影向量的坐标为______.【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义求b在a上的投影向量坐标即可.【详解】由b 在a 上的投影向量为2111(1,1)(,)222||||a b a a a ⋅-+⋅=⋅=-- .故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭13.如图，为了测量山高BC ，分别选择山下平地的A 处和另一座山的山顶M 处为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角45NAM ∠=︒，C 点的仰角30BAC ∠=︒以及75MAC ∠=︒，从M 点测得45AMC ∠=︒，已知山高MN =米，则sin ACM ∠=________，山高BC =________米.【答案】①.2②.【解析】【分析】在AMC 中，由75MAC ∠=︒，45AMC ∠=︒可求出ACM ∠，从而可求出sin ACM ∠，在Rt AMN 中，由已知条件求出AM ，再在AMC 中由正弦定理可求出AC ，然后在Rt ABC △中求出BC .【详解】因为在AMC 中，由75MAC ∠=︒，45AMC ∠=︒，所以180180754560ACM MAC AMC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，所以3sin sin 602ACM ∠=︒=，在Rt AMN 中，45NAM ∠=︒，506MN =，90ANM ∠=︒，则由sin MN NAM AM∠=，得5061003sin 22MN AM NAM ===∠，在AMC 中，由正弦定理得sin sin AC AM AMC ACM =∠∠，即1003sin 45sin 60AC =︒︒，32100322AC =⨯，得1002AC =，在Rt ABC △，1002AC =，30BAC ∠=︒90ABC ∠=︒，则15022BC AC ==,故答案为：32，50214.在边长为2的正方形，ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ⋅的最小值是________．【答案】)821【解析】【分析】由题意，以点A 为原点，建立的平面直角坐标系，设点(2,),(,2)M m N n ，其中,0m n >，则向量(2,),(,2)AM m AN n == 求得22AM AN m n ⋅=+，再由BM DN MN +=，整理得2()40m n mn ++-=，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，以点A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点(2,),(,2)M m N n ，其中,0m n >，则向量(2,),(,2)AM m AN n ==，所以(2,)(,2)22AD AN m n m n⋅=⋅=+又由BM DN MN +=，则22(2)(2)m n m n +=-+-，整理得2()40m n mn ++-=，又由22()42()42m n m n mn m n +⎛⎫++-≤++- ⎪⎝⎭，设0t m n =+>，整理得28160t t +-≥，解得442t ≥-+，所以22882AM AN m n ⋅=+≥-+ ，所以AM AN ⋅的最小值为828-.故答案为：828-【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(3,2)a = ，(,1)b x =-.（1）当()2a b b -⊥时，求x 的值；（2）当(8,1)c =-- ，//()a b c + ，求向量a 与b的夹角α.【答案】（1）1x =或5x =（2）π4α=【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解；（2）根据向量平行的坐标关系可求5x =，进而根据向量夹角公式即可求解.【小问1详解】向量(3,2)a = ，(,1)b x =-，则()26,5a b x -=- ，由()2a b b -⊥，可得()20a b b -⋅= ，即()6510x x --⨯=，即2650x x -+=，解得1x =或5x =.【小问2详解】由(8,1),(,1)c b x =--=-，(3,2)a = ，则(8,2)b c x +=-- ，由//()a b c +，可得3(2)2(8)0x ⨯--⨯-=，解得5x =，所以|||a b == ，352(1)13a b ⋅=⨯+⨯-=，cos 2||||a b a b α⋅===⋅ ，又[]0,πα∈，所以π4α=.16.如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，4AB =，5BC =，若将该图形中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.【答案】68S =π表，140π3.【解析】【分析】首先得到的旋转体是圆台挖去一个半球，利用圆台和球的表面积和体积公式即可.【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面、侧面和一半球面组成.在直角梯形ABCD 中，过D 点作DE ⊥BC ，垂足为E，在Rt △DEC中，5CD ==，所以214π28π2S =⨯⨯=半球，()152π22π535π2S =⨯⨯⨯+⨯=圆台侧，25πS =圆台下底，∴8352568S =π+π+π=π表.因为圆台的体积()221π2π5452π3V =⨯+⨯⨯=，半球的体积311416π2π233V =⨯⨯⨯=，所以所求几何体的体积为1140π3V V -=.17.已知复数z 满足()1i 2i z +=.（1）求z ；（2）若z 是方程()20,x ax b a b ++=∈∈R R 的一个根，求a b +的值.【答案】（1）1i z =-（2）0a b +=【解析】【分析】（1）根据复数的除法得1i z =+，再利用共轭复数概念即可；（2）根据复数根的共轭关系结合韦达定理即可解出,a b ，则得到a b +的值.【小问1详解】由()1i 2i z +=得：()()()()2i 1i 2ii 1i 1i 1i 1i 1i z -===-=+++-，则1i z =-.【小问2详解】由（1）知：1i z =-，显然z 是方程的另一根，()()21i 1i 2z z a z z b +=-=⎧∴⎨⋅==+-=⎩，解得：22a b =-⎧⎨=⎩，0a b ∴+=.18.在ABC 中，已知545cos 7AB AC B ===，，.（1）求sin A 的值；（2）若AD 是BAC ∠的角平分线，求AD 的长．【答案】（1）5（2）9【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求出边BC 的长，再利用正弦定理求出sin A （2）利用三角形的面积公式及面积关系ABC ABD ACD S S S =+ ，建立关于AD 边的关系式求解即可得到答案【小问1详解】在ABC 中，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅整理得2740630BC BC --=解得7BC =或97BC =-由于0BC >，所以7BC =因为(0,)B π∈，所以sin 0B >，所以sin 7B ==由正弦定理得：sin sin AC BC B A=，故267sin 7sin 55BC B A AC ´×===【小问2详解】设BAD θ∠=，AD x=由ABC ABD ACD S S S =+ 及三角形的面积公式可得：11145sin 24sin +5sin 222x x q q q �创创创整理得20sin 240cos 9sin 9x q qq ==在ABC 中，由余弦定理2221625491cos 2405AB AC BC A AB AC +-+-===-×由2cos cos 22cos 1A q q ==-得10cos 5θ=则8109AD x ==19.已知12a a，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O 作11OA a =，22OA a =，以O 为原点，分别以射线12OA OA 、为x y 、轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底12a a，确定的坐标系xOy 称为基底{}12a a ，坐标系xOy ．当向量12a a ，不垂直时，坐标系xOy 就是平面斜坐标系，简记为{}12;O a a，．对平面内任一点P ，连结OP ，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对()x y ，，使得12OP xa ya =+，则称实数对()x y ，为点P 在斜坐标系{}12O a a ；，中的坐标．今有斜坐标系{}12O e e ；，（长度单位为米，如右图），且12121120e e e e ===︒ ，，，设()12OP =，（1）计算OP的大小；（2）质点甲在Ox 上距O 点4米的点A 处，质点乙在Oy 上距O 点1米的点B 处，现在甲沿xO的方向，乙沿Oy的方向同时以3米/小时的速度移动．①若过2小时后质点甲到达C 点，质点乙到达D 点，请用12e e ，，表示CD；②若t 时刻，质点甲到达M 点，质点乙到达N 点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．【答案】（1（2）①1227e e + ；②12小时后，两质点相距最短，最短距离为2米【解析】【分析】（1）通过OP =展开计算即可；（2）①通过12OC e =- 以及27OD e =计算可得CD；②通过,OM ON 求得()()211343MN t e t e =+-- ，再通过MN = .【小问1详解】因为12121,120e e e e ==⋅=︒ ，所以，12121cos1202e e e e ⋅=︒=- ，又()1,2OP = ，所以122e e OP =+ ．所以OP ==即OP【小问2详解】①如图所示：依题意，过2小时后质点甲到达C 点（在点O 左边），且有12OC e =-，质点乙到达D 点，且有27OD e = ，故1227CD OD OC e e =-=+ ②t 时刻时，质点甲到达M 点，质点乙到达N 点，如图所示：()()1243,13OM t e ON t e =-=+，则()()211343MN ON OM t e t e =-=+-- ，所以两质点间的距离()()()()()()22221134313134343MN t e t e t t t t ⎡⎤=+--+++-+-⎣⎦ 221759921924t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭因为0t ≥，所以当12t =时．MN 75342=，所以12小时后，两质点相距最短，最短距离为53。
安徽省合肥市第一中学肥东分校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
安徽省合肥市第一中学肥东分校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在复平面内,复数(2)i i -对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）AB ．C ．8D ．3．正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB AD +=u u u r u u u r （ ）A．1 B ．3 C D4．已知向量a r ，b r 都是单位向量，且1a b -=r r ，则a b +=r r （ ）A ．1 BC ．2D 5．如图，四边形OADB 是以向量OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r 为边的平行四边形.又13BM BC =，13CN CD =，则用a v ，b v 表示MN =u u u u r （ ）A ．1566a b +r r B ．()23a b +r r C ．1126a b -r r D ．1126a b +r r6．若向量)a =r ，()2,0b =-r ，则b r 在a r 上的投影为（ ）A ．1-B ．C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭7．在ABC V 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则sin A =A ．310BC D8．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为表面积为（ ）A ．B ．(8π+C ．D ．(10π+二、多选题9．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题为（ ） A ．22i z =B ．2z =C ．z 的虚部为-1D ．z 的共轭复数为1i +10．,,A B C 表示不同的点，,n l 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，下列说法错误的是（ ）A ．若,,,AB l A B α∈∉，则//l αB ．若,//,//l n n αβαβ⋂=，则//n lC ．若,,,,,A B A B C l αβαβ∈∈⋂=，则C l ∈D ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n11．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，以下能独立说明ABC V 为等腰三角形的是（ ）A ．sin sin AB =B ．sin 2sin 2A B =C ．cos cos a b A B =D ．sin sin a b A B=三、填空题12．已知两点()()2153A B -,,,，则与向量AB u u u v 同向的单位向量是． 13．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P ABCD -是阳马，PA ⊥平面ABCD ，5PA =，4AB =，3AD =，则该阳马的外接球的表面积为.14．设复数z 满足2i 2i 4z z ++-=，则1i z --的取值范围是.四、解答题15．已知211i 1z m m =++，21(23)i 2z m =-+，m R ∈，i 为虚数单位．且12z z +是纯虚数． (1)求实数m 的值；(2)求12z z ⋅的值．16．已知向量(2,1),(1,)a b x =-=r r ．（Ⅰ）若()a a b ⊥+r r r ，求||b r 的值；（Ⅱ）若2(4,7)a b +=-r r ，求向量a r 与b r 夹角的大小．17．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，其中AD AB ⊥，//AD BC ，若将图中阴影部分绕AB 旋转一周.（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.18．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 2sin c A =且c b <.(1)求角C 的大小；(2)若4b =，延长AB 至D ，使BC BD =，且5AD =，求ACD V 的面积.19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AA ==，AB cos ACB ∠=P 为线段1BC 上的动点．(1)当P 为线段1BC 上的中点时，求三棱锥B PAC -的体积；(2)当P 在线段1BC 上移动时，求AP CP +的最小值．。
安徽省合肥市2022-2023学年高一年级下册学期4月期中考试数学试题【含答案】
2023年春季学期高一年级期中考试数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知四边形ABCD 是平行四边形，()()2,4,1,3AB AC == ，则AD =（）A ．()1,1--B ．()1,1C ．()2,4D ．()3,72．若向量a ，b 满足：1a = ，2b = ，且()0a a b ⋅+=，则a 与b 的夹角是A ．30B ．60C ．90D ．1203．在ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =（）A ．23-B ．13-C ．14-D ．144．如图是我国古代米斗，它是随着粮食生产而发展出来的用具，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.若将某个米斗近似看作一个正四棱台，其中两个底面的边长分别为30cm 、60cm ，且米斗的容积为3420002cm ，则该米斗的侧棱长为（）A ．202cmB ．252cmC ．20cmD ．25cm5．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若30,2,6A a b === ，则B =（）A ．30B ．60C ．30 或150D ．60 或1206．已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S ，体积为V ，则当VS取得最大值时，圆锥的底面半径为（）A ．22B ．1C ．2D ．27．在ABC 中，设O 是ABC 的外心，且1133AO AB AC =+，则BAC ∠=（）A ．30B ．60C ．90D ．1208．如图，矩形ABCD 中，2AB =，23AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE BC ⋅=（）．A ．3B ．3C ．6D ．9二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数z 满足()31i 2z -=，则（）A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．1iz =+D ．22z =10．设向量()110,1,,22a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则（）A ．a b∥B ．()a b b +⊥r r r C ．||||a b b -= D ．a 在b 上的投影向量为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列命题为真命题的是（）A ．若AB >，则sin sin A B>B ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC 是钝角三角形C ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形D ．若8,10,45a c A === ，则符合条件的ABC 有两个12．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,2AB AC a ⋅==，则（）A ．cos 2bc A =B ．228b c +=C ．角A 的最大值为π3D ．ABC 面积的最小值为3三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知正ABC 外接圆的半径为3，则正ABC 的周长为__________.14．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为32，则这个球的表面积为__________.15．设12,e e 是不共线的两个向量，121212,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-.若,,A B D 三点共线，则k 的值为__________.16．滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量膝王阁的高度，在膝王阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为12m ，在它们的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A ，滕王阁顶部C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得滕王阁顶部C 的仰角为30°，由此估算滕王阁的高度为__________m .（精确到1m,3 1.73≈）.四､解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知R,i m ∈是虚数单位，复数()2221i z m m m =+-+-.(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.18．已知向量,a b满足()()111,,42a ab a b a b =⋅=+⋅-= .(1)求b 及a b + 的值；(2)求向量b 与a b +夹角的余弦值.19．设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,sin sin 2B Ca b c b a B +=.(1)求A ；(2)若3,sin 2sin a B C ==，求ABC 的周长.20．如图，在ABC 中，点M 、N 满足AM mAB = ，()0,0AN nAC m n =>> ，点D 满足13BD BC =，E 为AD 的中点，且M 、N 、E 三点共线.(1)用AB、AC 表示AE ；(2)求112m n+的值.21．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，PA 是圆柱的母线，3,22PA AD AB ===，120,BAD C ∠= 是 BD上的动点.(1)求圆柱的侧面积S ；(2)求四棱锥P ABCD -的体积V 的最大值.22．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos c a b A +=.(1)证明：2B A =；(2)若ABC 是锐角三角形，1a =，求b 的取值范围.1．A【分析】根据平行四边形的性质结合向量的坐标运算，即可得答案.【详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，故()()()1,32,41,1A AC AB D BC ==----==,故选：A 2．D【分析】根据题目条件直接利用平面向量数量积公式即可求解.【详解】设向量a 与b的夹角是θ，22()||||||cos 0a a b a ab a a b θ+=+=+=，因为1a = ，2= b ，所以1cos 2θ=-，又0180θ≤≤ 所以120θ︒=.故选：D ．3．C【分析】根据正弦定理得到三边长的比值，再利用余弦定理即可求得答案.【详解】在ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则::2:3:4a b c =，设()2,3,40a k b k c k k ===≠，则222222249161cos 2124a b c k k k C ab k +-+-===-.故选：C 4．B【分析】由台体体积公式可求台体的高，进而可求侧棱长．【详解】解：设正四棱台的高为h ，依题意，()1420002900360030603h =⨯++⨯⋅，解得202h =，故侧棱长为22(152)(202)252cm +=，故选：B.5．D【分析】利用正弦定理以及大边对大角即可求解．【详解】因为30,2,6A a b =︒==，则由正弦定理可得：16sin 32sin 22b A B a⨯===，又a b <，且30180B ︒<<︒，所以60B =︒或120︒．故选：D ．6．C【分析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，结合圆锥的侧面积和体积公式求得VS的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】设圆锥底面半径为r ，高为h ，由题意知母线长为2l =则222π2π24S rl r h r r ===-=-，，所以222221π41141342π6623r V r r r r r r S -+-==-≤⋅=，当且仅当24r r =-，即2r =时，取得等号，故选：C 7．B【分析】由题意得||||||OA OB OC ==，由此利用向量的线性运算，结合向量模以及数量积的运算律可推出212AB AC AB ⋅= ，212AB AC AC ⋅= ，从而||||AB AC = ，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意O 是ABC 的外心，故||||||OA OB OC ==，又,1133OB OA AB AO AB AC =+=+ ，所以2222||2OB OB OA AB OA AB=+=+⋅()2223OA AB AB AC AB=+-+⋅ 221233OA AB AB AC =+-⋅ ，则212033AB AB AC -⋅=，所以212AB AC AB ⋅= ，同理可得212AB AC AC ⋅= ，故||||AB AC =，所以1cos 2||||AB AC BAC AB AC ⋅∠==，由于BAC ∠为ABC 内角，故60BAC ∠= ，故选：B 8．B【分析】把BC 用,AB AO表示后再由数量积的定义计算．【详解】2BC AC AB AO AB =-=-，()22AE BC AE AO AB AE AO AE AB⋅=⋅-=⋅-⋅ 2cos cos AE AO OAE AE AB BAE =⨯⨯∠-⋅⋅∠ 222AE AE =- 222222332(23)AE ⎛⎫⨯⎪=== ⎪+⎝⎭．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是用,AB AO 表示BC，然后根据向量数量积定义计算．9．BC【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z ，然后逐一分析四个选项得答案．【详解】由()31i 2z -=，得()1i 2z +=，则()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，z ∴的虚部为1-，故A 错误；22||1(1)2z =+-=，故B 正确；1i z =+，故C 正确；()221i 2i z =-=-，故D 错误．故选：BC ．10．BD【分析】根据向量平行的坐标表示可判断A ；根据向量垂直的向量表示判断B ；求出向量a b- 的坐标，可求得其模，求出||b，判断C ；根据投影向量的定义可判断D.【详解】由题意向量()110,1,,22a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()111010222⎛⎫⨯--⨯-=-≠ ⎪⎝⎭，故,a b不平行，A 错误；因为()221111120,1,,||()()222222a b b ⎛⎫⋅=-⋅-=-=-+= ⎪⎝⎭，故211(02)2a b b a b b +⋅=⋅+=-+= ，即()a b b +⊥ ，B 正确；因为()11130,1,(,)2222a b ⎛⎫-=---=- ⎪⎝⎭ ，则221310||()()222a b -=+-= ，故||||a b b -≠，C 错误；a 在b 上的投影向量为211,22111||||2,22222a b b b b -⎛⎫⋅⎪⎛=⎫- ⋅=- ⎪⎝⎭⋅⎝⎭ ，D 正确，故选：BD 11．ABD【分析】利用A B >则a b >，进而利用正弦定理即可判断选项A ；利用正弦定理角化边得222a b c +<，利用余弦定理得cos 0C <，即可判断B ；利用正弦定理边化角整理得sin2sin2A B =，可得A B =或22πA B +=，即可得出结论判断C ；正弦定理求得sin C ，可判断D.【详解】对于A ，当A B >时，a b >，根据正弦定理得2sin 2sin R A R B >，整理得sin sin A B >，故A 正确；对于B ，因为222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab+-=<，因为0πC <<，所以ππ2C <<，即C 为钝角，所以ABC 是钝角三角形，故B 正确；对于C ，由cos cos a A b B =，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =，所以A B =或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=，所以ABC 是直角三角形或等腰三角形，故C 错误；对于D ，由正弦定理得210sin 522sin 88c AC a⨯⋅===，即2sin 12C <<，因为c a >，所以C A >，A 为锐角，所以存在满足条件的ABC 有两个，D 正确.故选：ABD 12．ABC【分析】由平面向量的数量积计算可得A ，由余弦定理可得B ，由基本不等式及余弦定理可判断C ，结合条件可得tan ABC S A = ，由C 项判定A 的范围即可.【详解】由2cos 2AB AC AB AC bc A =⋅=⇒⋅=，故A 正确；由余弦定理结合A 项可得222222cos 48a b c bc A b c =+-=⇒+=，故B 正确；由上结合基本不等式及余弦定理有22222282,cos 2b c a b c bc A bc bc+-+=≥==故214,2bc bc ≤≥，而()0,πA ∈，cos y A =单调递减，所以由1πcos 23A A ≥⇒≤，当且仅当b c =时取得最大值，故C 正确；由上可得21sin tan cos 2ABC bc S bc A A A =⇒== ，又π3A ≤，所以tan 3A ≤，故D 错误.故选：ABC 13．9【分析】根据正弦定理求得正三角形边长，即得答案.【详解】由题意可设正ABC 的边长为a ，则23sin a A =，故π23sin 33==a ，故正ABC 的周长为9，故答案为：914．32π【分析】由题意求出底面正方形边长，进而根据正四棱柱的体对角线长即为其外接球的直径，求出球的半径，即可得答案.【详解】由题意知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为32，故正四棱柱的底面积为8，则底面正方形边长为22，又因为正四棱柱的体对角线长即为其外接球的直径，故外接球半径为222(22)(22)4222r ++==，故这个球的表面积为24π32πr =，故答案为：32π15．4-【分析】根据三点共线可得向量共线，由此利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案.【详解】因为,,A B D 三点共线，故AB∥BD ,则R λ∃∈，使得AB BD λ=，又12121223()4BD CD CB e e e e e e ==-+=--- ，故1212()4e ke e e λ+-=，则14k λλ=⎧⎨-=⎩，解得4k =-，故答案为：4-16．57【分析】解直角ABM ，求得AM ，继而解ACM △，由正弦定理求出CM ，最后解直角CDM V ，即得答案.【详解】在ABM 中，126122sin15ABAM ︒==+，（232162sin15sin(4530)22224-=-=⨯-⨯=）在ACM △中，301545CAM ︒︒︒∠=+=，1806015105,30AMC ACM ︒︒︒︒︒∠=--=∴∠=，故sin 30sin 45AM CM ︒︒=，即()sin 45(126122)22431sin 30AM CM ︒︒==+⋅=+，所以()()3sin 6024311233572CD CM ︒=⋅=+⨯=+≈（米），故答案为：5717．(1)2-(2)(2,1)--【分析】（1）根据复数的类型列出相应的不等式组，即可求得答案；（2）根据复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，列出相应的不等式组，求得答案.【详解】（1）因为复数()2221i z m m m =+-+-是纯虚数，故222010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得2m =-；（2）由于复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，故222010m m m ⎧+-<⎨->⎩，解得21m -<<-，即m 的取值范围是(2,1)--.18．(1)22；2(2)34【分析】（1）根据数量积的运算律可求得||b ，根据向量模的计算即可求得a b + ；（2）求出()b a b ⋅+的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）因为()()111,,42a ab a b a b =⋅=+⋅-= ，所以2212a b -= ，即2121,||22b b -=∴= ；2221121222a b a b a b a b +=+=++⋅=++= ；（2）由题意得2113()424b a b b a b ⋅+=⋅+=+= ，故()()()334cos ,4222b a b b a b b a b ⋅++===+⨯ 19．(1)π3(2)33+【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式，化简可得1sin 22A =，再求出A ；（2）根据sin 2sinBC =，利用正弦定理边化角可得2b c =，再利用余弦定理求出,b c ，最后求出周长即可.【详解】（1）在ABC 中，sinsin 2B C b a B +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2B C B A B +=，因为(0,π),sin 0B B ∈∴≠，则sinsin 2B C A +=，即πsin 2sin cos 222A A A -=，即cos 2sin cos 222A A A =，而π0(),22A ∈，即cos 02A ≠，所以1sin 22A =，故ππ,263A A =∴=；（2）因为sin 2sinBC =，所以2b c =，又3a =，所以2222cos a b c bc A =+-，即222342c c c =+-，所以1,2c b ==，所以ABC 的周长为33a b c ++=+.20．(1)1136AE AB AC =+ (2)1132m n+=【分析】（1）由13BD BC = 结合平面向量的减法化简可得出AD 关于AB 、AC 的表达式，再由12AE AD = 可得出AE 关于AB 、AC 的表达式；（2）由M 、N 、E 三点共线知，存在R λ∈，使得ME MN λ= ，进而可得出()()11AE AM AN mAB nAC λλλλ=-+=-+ ，利用平面向量的基本定理可求得112m n+的值.【详解】（1）解：因为13BD BC = ，则()13-=- AD AB AC AB ，所以，2133AD AB AC =+ ，因为E 为AD 的中点，故112111223336AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ .（2）解：因为M 、E 、N 三点共线，则//ME MN ，所以，存在R λ∈，使得ME MN λ= ，即()AE AM AN AM λ-=- ，所以，()()11AE AM AN mAB nAC λλλλ=-+=-+ ，又因为1136AE AB AC =+ ，且AB 、AC 不共线，所以，()11316m n λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，()111136m nλλ+=-+=，故1132m n +=.21．(1)221π(2)934【分析】（1）利用余弦定理求出BD ，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r ，进而求出结果；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出7BC CD ⋅≤，再利用体积公式求出结果.【详解】（1）如图：连接BD ，在ABD △中，1AB =，2AD =，120BAD ∠=︒，由余弦定理，得2222cos 7BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，所以7BD =，设圆柱底面半径为r ，由正弦定理，得72212sin sin1203BD r BAD ===∠︒，所以213r =，故圆柱的侧面积221π2π3221π3S rPA ==⨯=；（2）由（1）知，ABD △中，7BD =，18060BCD BAD ∠=︒-∠=︒，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD BCD=+-⋅∠222BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD =+-⋅≥⋅-⋅=⋅，即7BC CD ⋅≤，当且仅当7BC CD ==时，等号成立，所以1173sin 7sin 60224BCD S BC CD BCD =⋅∠≤⨯︒=△，因为113sin 12sin120222ABD S AB AD BAD =⋅∠=⨯⨯︒=△，又3PA =，所以四棱锥P ABCD -的体积，()111373933333244P ABCD ABCD ABD BCD V S PA S S PA -⎛⎫=⋅=+⋅≤⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△△，故四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -的最大值为934.22．(1)证明见解析(2)(2,3)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和差公式，得到sin sin()A B A =-，即可得证；（2）利用正弦定理及题设条件，求得2cos b A =，结合ABC 为锐角三角形，求得A 的范围，即可求解.【详解】（1）证明：由正弦定理及2cos c a b A +=，可得sin sin 2sin cos C A B A +=，因为πA B C ++=，可得sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin sin cos sin cos sin()A B A A B B A =-=-,所以A B A =-或πA B A +-=，因为,(0,π)A B ∈，所以A B A =-，即2B A =.（2）解：由正弦定理sin sin a b A B=且1a =，2B A =，可得2cos b A =，因为ABC 为锐角三角形，所以π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得ππ64A <<，所以23cos (,)22A ∈，所以b 的取值范围是(2,3).。
合肥一中2019-2020学年第二学期高一期中考试数学试卷(含答案)
合肥一中2019-2020学年第二学期高一期中考试数学试卷（含答案）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知等差数列{n a }满足1a =1，n n a a -+1=3，则11a 等于（ ） A ．40 B ．31C ．21D ．152.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．43B ．23 C. 3D.323.已知向量a ，b 满足||1=a，||=b a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a bA ．12B ．32-C ．12-D ．324.已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()λ+⊥a b c ，则实数λ=A ．12-B ．12C ．2-D ．25.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则角C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π66.，则5a 等于A ．16B ．10C ．6D ．87.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还。
”其意思为:有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天所走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地,请问第二天走了( )A. 192里B. 96里C. 48里D. 24里8.在矩形ABCD 中，4AB ,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1{}1,,()n n n A B C a OC a OA n a OB -=+-1已知三点共线，数列满足a =0,9.在△ABC 中，a =x ，b=2，B=45°，若这样的△ABC 有两个，则实数x 的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（2，2）D ．（，2） 10.在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22 B ．－ 2 C. 2 D ．－ 2 或 2 11.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos2B+cosB+cos （A ﹣C ）=1，则（ ）A ．a ，b ，c 成等差数列B ．a ，b ，c 成等比数列C ．a ，c ，b 成等差数列D ．a ，c ，b 成等比数列 12.数列{a n }中，a 1=2，且112(2)n n n n na a n a a --+=+≥-，则数列{1(a n −1)2}前2019项和为（ ） A ．40362019B ．40392020C ．40372019D ．20191010二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知等比数列{n a }的首项为1，若41a ，22a ，3a 成等差数列，则数列{na 1}的前3项和为 .14.已知向量()2,λ=a ,向量()5,5-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ．15．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则sin sin B C = .16.已知a ，b 是两个单位向量，与a ，b 共面的向量c 满2()0c a b c a b -+⋅+⋅=，则c 的最大值为 .三、解答题（共70分）17.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2，，且，求：（I ）角C ； （II ）△ABC 的周长.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=．（I ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b +的前n 项和n Q ．19.已知数列{n a }的首项是2，且 ，S n 是其前n 项和。
安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷
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(2)当管道总长取最小值时，求q 的值． 22．数学史上著名的波尔约-格维也纳定理：任意两个面积相等的多边形，它们可以通 过相互拼接得到．它由法卡斯·波尔约（FarksBolyai）和保罗·格维也纳 （PaulGerwien）两位数学家分别在 1833 年和 1835 年给出证明．现在我们来尝试用平 面图形拼接空间图形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：（1）给出两块相 同的正三角形纸片（如图 1、图 2），其中图 1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼 得一个正三棱锥；图 2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分），其 较长的一组邻边边长为三角形边长的 1 ，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，
(2)若
tan B tan C
=
2a c
c
，求
A．
19．如图，数轴 x, y 的交点为 O ，夹角为q ，与 x 轴､ y 轴正向同向的单位向量分别是
ur e1,
uur e2
.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量
uuur OP
，存在唯一的有序实数对
(
x,
y
)
，
使得
uuur OP
=
ur xe1
+
uur ye2
试卷第41 页，共33 页
四、解答题
17．如图所示，在
VABC
中
D、F
分别是
BC、AC
的中点，
uuur AE
=
2 3
uuur AD
，
uuur AB
=
ar
，
合肥一中 2017-2018 高一下学期期中数学试题及答案
3
33
3 2
sin
A
+
3
1
，
2 3 a+b 2 32 c 3
即
a
+ c
b
的取值范围为
1,
2 3
3
21. （1） 第一次释放有害气体 am3 ，
第二次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体 (a + ar%) m3 ，
第三次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体,
实数 x 均成立，则 − 的值是（ ）
A. − 3
B. − 2 3
C. − 4 3
D. − 2 或 − 4
3
3
二、填空题
13. ABC 中， A = 120 ，b = 2, S ABC = 2 3 , 则 a 等于
.
14.己知数列 an 满足 2a1 + 22 a2 + 23 a3 + + 2n an =4n -1 ，则an 的通项公式
22
22
A. 3
B. − 3
C. 3 D. 3 3
9.已知函数
f
(x)
=
(3 − a) x
a
x
−6
,
x
− 3, x 7
7
，若数列an 满足 a = f (n)(n N) ，且an 是递增数
列，则实数 a 的取值范围是（
A.
9 4
,
3
B.
9 4
为
.
( ) 15.在 ABC 中， A, B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 a2 sin B + a2 + b2 − c2 sin A = 0 ,则 C
安徽省合肥一中09-10学年高一(下)期中试题(数学)word(含答案)
合肥一中数学必修（五）结业及段二考试答题卷命题人：刁海宝 审题人：田国标第Ⅰ卷一、选择题（每题5分，共50分）1、已知等差数列｛a n ｝的通项公式,4,554==a a ,则a 9等于 A 、1 B 、 2 C 、 0 D 、32、不等式0)1)(3(≤-+x x 的解集为（ ）A 、}13|{-≤≥x x x 或B 、}31|{≤≤-x xC 、}13|{≤≤-x xD 、}13|{≥-≤x x x 或 3、在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于A 、030 B 、060 C 、0120 D 、0150 4、在AB C ∆中，已知a=1、b=2，C=120°,则c= A 、 3 B 、 4 C 、7 D 、 35、已知等差数列{a n }满足56a a +=28，则其前10项之和为A 、140B 、280C 、168D 、56 6、若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是A 、18B 、6C 、23D 、243 7、在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,则a ∶b ∶c 等于A 、1∶2∶3B 、3∶2∶1C 、2∶3∶1D 、1∶3∶2 8、等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2—11x +9=0的两个根，则a 6= A 、3 B 、611C 、± 3D 、以上皆非 9、已知函数1)(2--=mx mx x f ，对一切实数0)(,<x f x 恒成立，则m 的范围为 A 、)0,4(-B 、]0,4(-C 、),0()4,(+∞⋃--∞D 、),0[)4,(+∞⋃--∞10、在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2010时对应的指头是 A 、大拇指 B 、食指 C 、中指 D 、无名指二、填空题（每题5分，共20分）11、在△ABC 中，已知B a A b cos cos =，则△ABC 的形状为12、数列1，3，6，10，15……的一个通项公式为13、若21<<-a ，12<<-b ，则a －b 的取值范围是14、若y x ,满足42600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数=z y x -的最大值是三、解答题（第15、16题各15分，共30分）15、已知不等式02>++c bx x 的解集为}12|{<>x x x 或 （1)求b 和c 的值； (2)求不等式012≤++bx cx 的解集.16、等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n nS 均在函数r y x+=2且r 为常数)的图像上.（I ）求r 的值；（II ）记n n a n b )1(+=求数列{}n b 的前n 项和n T合肥一中数学必修（五）结业及段二考试数学答题卷命题人：刁海宝 审题人：田国标第Ⅰ卷一、选择题（每题5分，共50分） 二、填空题（每题5分，共20分）11、 12、13、 14、三、解答题（请同学们在第二页答题）20、若不等式)1(42+≤-x k x 的解集为区间],[b a ，且1=-a b ，则=k 五、解答题（第21、22题各10分，第23题14分，共34分）21、△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B ＝60o ，∠ADC ＝150o ，求AC 的长及△ABC 的面积．22、某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)的每平方米的平均建筑费用与楼层有关，若该楼建成x 层时，每平方米的平均建筑费用用f (x )表示，且f (n )=f (m )(1+20mn -)(其中n ＞m ,n ∈N)，又知建成五层楼房时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把该楼建成几层?23、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记*4()1nn na b n N a +=∈-.（I ）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由（III ）记*221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有32n T <。
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合肥一中2012-2013学年第二学期期中考试高 一 年 级 数 学 试 卷（考试时间：120分钟 满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列不等式正确的是( )A ．若a b >，则a c b c ⋅>⋅B ．若a b >，则22a cbc ⋅>⋅C. 若a b >，则11a b< D. 若22a c b c ⋅>⋅则a b > 2. 607510,ABC A B a =在中，＝，＝，则c 边的长度为（ ）A ．52B ．102C.106D ．563. 若14,36,x y ≤≤≤≤ 则yx的取值范围是.（ ） A ．12[,]33B ．14[,]63C. 14[,]33 D ．24[,]33.4.在△ABC 中，∠A =60°,a =6,b =7满足条件的△ABC （ ）A. 不能确定B. 无解C. 有一解D. 有两解 5．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9。
A ．98 B ．99C ．96D ．976.在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a = （ ） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 7. 下列不等式一定成立的是A. )0(412>>+x x x B. ),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C. )(212R x x x ∈≥+ D. )(1112R x x ∈>+8.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边。
若2cos b a C =， 则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且m S x =，2m S y =，3m S z =，则( ) A ．x y z += B ．2y x z =⋅ C ．22x y xy xz +=+ D ．2y x z =+10. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°,公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于（ ）A.12B.16C.9D.16或9二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式32x x -+＜0的解集为____________ 12. 在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =_________ 13. 两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则66a b = 14.若正实数,26,x y x y xy xy ++=、满足则的最小值是_________15．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。
若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__________。
三、解答题（第16、17、18题各7分，19、20、21题各8分，共45分）16.设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩求目标函数z=2x+y 的最大值及此时的最优解17.已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项;（Ⅱ）求证：122311111n n a a a a a a ++++< 18.在△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足222()4S a c b =+-。
（Ⅰ）求角B 的大小；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。
19.各项均为正数的数列{}n a 中， n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈,有2221n n n S a a =+-.（Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ） 记2n n n b a =⋅求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 某兴趣小组测量渡江战役纪念馆前的胜利之塔的高度Ｈ（单位:m ）如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=2m,仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
（Ⅰ）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.21，tan β=1.17，请据此算出H 的值； （Ⅱ）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到胜利之塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。
若胜利之塔的实际高度为60m ，试问d 为多少时，α-β最大？21. 设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若12,23p q ==-，求3b ； （Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（III ）是否存在p 和q ，使得41()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如不存在，说明理由.高 一 年 级 期 中 考 试 数 学 答 题 卷1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题 （每题3分，共计15分）11.__________________ 12.____________________ 13._______________ 14.__________________ 15.____________________ 三、解答题（共45分） 16.（本题7分）参考答案 1-5DCBDB 6-10ACCCC {}23x x -<< 12.6 13. 1423 14. 18 11.15.4、5、3216.最优解为（2，1），z 取得最大值5 17.（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +1812dd++，＝解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n .ＡＥＣＤＢαβ 班级 准考证号----封----------------线---------------内--------------不------------准---------答---------题--------------------------------------座位号作图区（II ）122311111111111223(1)1n n a a a a a a n n n +++=++=-<⨯⨯++18.（I ）B=3π(II)23sin sin sin 4B AC == 19. （I ）令11,1(n a ==得另一负值舍）2123021()213242(1)2(1) 2 223242(1)2(2)(1)(2)22(222)(1)22n n nn n nnn II T n T n n T n --=⨯+⨯+⨯+++=⨯+⨯+⨯+++-=⨯++++-+=n 得：－T20.（1）tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan H AB α=，tan h BD β=。
AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H hβαβ-=，解得：tan 2 1.2160.5()tan tan 1.21 1.17h H m ααβ⨯===--。
因此，算出的胜利塔的高度H 是60.5m 。
（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H hd AD DB d αβ-====， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+ ()2()H H h d H H h d-+≥-（当且仅当()60582870d H H h -=⨯=时取得“＝”时，取等号） 故当2870d =时，tan()αβ-最大。
因为02πβα<<<，则02παβ<-<，故所求的d 是2870d =m 。
21.（Ⅰ）由题意，得1223n a n =-，解12323n -≥，得223n ≥. ∴12323n -≥成立的所有n 中的最小整数为8，即38b =. （Ⅱ）由题意，得21n a n =-，对于正整数，由n a m ≥，得12m n +≥. 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈；当2m k =时，()*1m b k k N =+∈. ∴()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. ∵41()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有441m qm m p-<≤+，即()41p q p m q --≤-<-对任意的正整数m 都成立. 当410p ->（或410p -<）时，得41q m p <--（或41p qm p +≤--）， 这与上述结论矛盾！ 当410p -=，即14p =时，得104q q --≤<-，解得104q -≤<.∴ 存在p 和q ，使得41()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是14p =，104q -≤<.。