数学建模方法及其应用教学片ppt课件
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数学建模培训精品课件ppt
提高解决问题的能力
学员们认为，通过案例分析和实践操作，他们能够更好地解决实 际问题，提高了工作效率。
结识优秀的同行
学员们结识了很多优秀的同行，通过互相学习和交流，彼此的能 力都得到了提升。
未来发展趋势预测
数学建模与大数据结合
随着大数据时代的到来，数学建模将会与大数据更加紧密 结合，利用数据挖掘和分析技术，更好地解决实际问题。
数学建模培训精品课 件
汇报人：可编辑 2023-12-22
目 录
• 数学建模概述 • 数学建模基础知识 • 数学建模方法与技巧 • 数学建模应用领域 • 数学建模实践项目 • 数学建模培训总结与展望
01
数学建模概述
定义与特点
定义
数学建模是指用数学语言描述实 际现象、解释自然规律、解决实 际问题的过程。
Python
一款开源的编程语言，具有丰富的数 学库和工具包，适用于各种数学建模 任务。
03
数学建模方法与技巧
建模方法分类
初等模型
利用初等数学知识建立 模型，如代数方程、不
等式、几何图形等。
微分方程模型
利用微积分知识，通过 建立微分方程来描述实
际问题。
概率统计模型
利用概率论和统计学知 识，通过随机变量和随 机过程来描述实际问题
求解与分析
指导学生运用数学软件或编程语言对模型 进行求解和分析，得出结论。
建立模型
指导学生根据问题特点，选择合适的数学 方法和工具，建立数学模型。
项目成果展示与评价
成果展示
组织学生进行项目成果展示， 包括项目报告、论文、PPT演示
等。
评价标准
制定评价标准，包括问题的难 度、模型的合理性、求解的准 确性、论文的规范性等方面。
学员们认为，通过案例分析和实践操作，他们能够更好地解决实 际问题，提高了工作效率。
结识优秀的同行
学员们结识了很多优秀的同行，通过互相学习和交流，彼此的能 力都得到了提升。
未来发展趋势预测
数学建模与大数据结合
随着大数据时代的到来，数学建模将会与大数据更加紧密 结合，利用数据挖掘和分析技术，更好地解决实际问题。
数学建模培训精品课 件
汇报人：可编辑 2023-12-22
目 录
• 数学建模概述 • 数学建模基础知识 • 数学建模方法与技巧 • 数学建模应用领域 • 数学建模实践项目 • 数学建模培训总结与展望
01
数学建模概述
定义与特点
定义
数学建模是指用数学语言描述实 际现象、解释自然规律、解决实 际问题的过程。
Python
一款开源的编程语言，具有丰富的数 学库和工具包，适用于各种数学建模 任务。
03
数学建模方法与技巧
建模方法分类
初等模型
利用初等数学知识建立 模型，如代数方程、不
等式、几何图形等。
微分方程模型
利用微积分知识，通过 建立微分方程来描述实
际问题。
概率统计模型
利用概率论和统计学知 识，通过随机变量和随 机过程来描述实际问题
求解与分析
指导学生运用数学软件或编程语言对模型 进行求解和分析，得出结论。
建立模型
指导学生根据问题特点，选择合适的数学 方法和工具，建立数学模型。
项目成果展示与评价
成果展示
组织学生进行项目成果展示， 包括项目报告、论文、PPT演示
等。
评价标准
制定评价标准，包括问题的难 度、模型的合理性、求解的准 确性、论文的规范性等方面。
《数学建模培训》PPT课件
数学建模案例解析
04
经济学案例：供需平衡模型
供需平衡理论
通过数学语言描述市场需求与供给之间的平衡关 系，涉及价格、数量等关键变量。
建模过程
收集相关数据，建立需求函数和供给函数，通过 求解方程组找到均衡价格和均衡数量。
模型应用
预测市场趋势，分析政策对市场的影响，为企业 决策提供支持。
物理学案例：热传导模型
Lingo在数学建模中的应 用案例
展示Lingo在数学建模中的实 际应用，如线性规划、整数规 划、非线性规划等优化问题的 求解。
其他数学建模相关软件与工具简介
Mathematica软件
简要介绍Mathematica的特点和功能，以及其 在数学建模中的应用。
SAS软件
简要介绍SAS的特点和功能，以及其在数学建模 中的应用。
数据预处理
包括数据清洗、缺失值处 理、异常值检测等，保证 数据质量。
数据可视化
利用图表、图像等手段展 示数据，便于理解和分析 。
数据分析方法
如回归分析、时间序列分 析、聚类分析等，用于挖 掘数据中的信息和规律。
数学建模常用方法
03
回归分析
线性回归
通过最小二乘法拟合自变量和因 变量之间的线性关系，得到最佳
模型应用
预测舆论走向，分析社会热点问题，为政府和企业提供决策支持。
数学建模软件与工
05
具介绍
MATLAB软件介绍及使用技巧
MATLAB概述
简要介绍MATLAB的历史、功能和应用领域 。
MATLAB常用函数
列举并解释MATLAB中常用的数学函数、绘 图函数、数据处理函数等。
MATLAB基础操作
详细讲解MATLAB的安装、启动、界面介绍 、基本语法和数据类型等。
数学建模算法及应用教学课件
第一章 线性规划重要性：在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划。
自从提出单纯性方法，利用该算法，可利用计算机的超级计算能力解决大型线性规划问题，我们的数学建模中有很多问题都是有关于线性规划或者可转化为线性规划的问题，所以学习线性规划问题的解决办法很有必要。
1.1.1 线性规划的实例与定义例1.1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用A 、B 机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A 、B 、C 三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润z 最大，则目标函数：12max 43z x x =+约束条件：12122122108..7,0x x x x s t x x x +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 由于是在一组约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题，故称为线性规划问题。
1.1.2 线性规划问题的解的概念一般线性规划问题的（数学）标准型为:目标函数：1max nj j j z c x ==∑约束条件：1,1,2,,,..0,1,2,,.nij j j ja xb i m s t x j n =⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑其中：0,1,2,,.ib i m ≥=例： 12min 56z x x =+121221231028..4,0x x x x s t x x x +≥⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 将该线性规划问题转化为标准型。
可行解：满足约束条件的解[]12,,Tx x x =，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数达到最大值的可行解为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R 。
最新整理《数学建模方法及其应用》教学片.ppt
（5） G 是树当且仅当 G 中无圈，且对任一边 e E(G),G e 恰有一个圈。
10
2020年7月11日
二、树的概念和算法
2、 应用实例：修路选线问题
假设要修建连接若干个城市的公路网，已知 i 城与 j
城之间路的造价为 Cij ，请设计一条线路使总的造价最低
（如下图）。
v3 5
v5
v3
v5
W
(
P(v0
,
v))
minW P
(
P).
即从 v0 到 v 的所有轨道长中寻求最小的一个。W (P)
是轨道 P 上各边长之和。
6
2020年7月11日
一、图 的 概 念 与 算 法
2、应用实例：最短路问题
注意：若u,v V (G) ，
v1
v0
V2
当 u,v 不 相 邻 时 ， 则 v2
w(u,v) 。
Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(V (G) 2 ) 。
8
2020年7月11日
二、树的概念和算法
1、 树的基本概念
无圈的连通图称为树，记为T ；其一次顶点称为叶；
显然有边的树至少有两个叶。
若图 G 满足V (G) V (T ), E(T ) E(G) ，则称T 是图 G 的生成树。图 G 为连通的充要条件是 G 有生成树。
6
v1
1
7
5
4
33
v0 v1
1
4
5
4
3
v0
v2 2
v4
v2
2
v4
11
2020年7月11日
二、树的概念和算法
2、 应用实例：修路选线问题
这类问题的数学模型就是在连通的加权图上
10
2020年7月11日
二、树的概念和算法
2、 应用实例：修路选线问题
假设要修建连接若干个城市的公路网，已知 i 城与 j
城之间路的造价为 Cij ，请设计一条线路使总的造价最低
（如下图）。
v3 5
v5
v3
v5
W
(
P(v0
,
v))
minW P
(
P).
即从 v0 到 v 的所有轨道长中寻求最小的一个。W (P)
是轨道 P 上各边长之和。
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2020年7月11日
一、图 的 概 念 与 算 法
2、应用实例：最短路问题
注意：若u,v V (G) ，
v1
v0
V2
当 u,v 不 相 邻 时 ， 则 v2
w(u,v) 。
Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(V (G) 2 ) 。
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2020年7月11日
二、树的概念和算法
1、 树的基本概念
无圈的连通图称为树，记为T ；其一次顶点称为叶；
显然有边的树至少有两个叶。
若图 G 满足V (G) V (T ), E(T ) E(G) ，则称T 是图 G 的生成树。图 G 为连通的充要条件是 G 有生成树。
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v0 v1
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2020年7月11日
二、树的概念和算法
2、 应用实例：修路选线问题
这类问题的数学模型就是在连通的加权图上
《数学建模》PPT课件
( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得，一般首先考虑使用三次插值
法，因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较
优化模型
（2）多项式近似法 该法用于目标函数比较复杂的情 况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数，并用 近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近 似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：
mq() a2 b c
其中步长极值为：
b
2a
完整版课件ppt
求解单变量最优化问题的方法有很多种，根据目标函 数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。 直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用 到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法 常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种： （1）消去法 该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区 间，直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型 的消去法为黄金分割法(Golden Section Search）。黄金 分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区 间分为三段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定 是删去最左段还是最右段，或同时删去左右两段保留中 间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在 区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分 割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单，效率较高，稳定性好5 。
整理《数学建模方法及其应用》教学片课件
2 . 模型的分析
1. 引例：股票的组合投资问题
3 . 模型的建立
1. 引例：股票的组合投资问题
3 . 模型的建立
问题（２）：希望在标准差最大不超过12%的情 况下，获得最大的收益．
1. 引例：股票的组合投资问题
(1) 问题的提出
(１)希望将投资组合中的股票收益的标 准差降到最小，以降低投资风险，并希望五 年后的期望收益率不少于65%．
(２)希望在标准差最大 不超过12%的情况下， 获得最大的收益．
1. 引例：股票的组合投资问题
2 . 模型的分析
. 引例：股票的组合投资问题
数学建模教学片
1
第十二章 非线性规划方法
非线性规划主的要一般内模容型；
无约束线性规划的求解方法； 带约束非线性规划的求解方法； 非线性规划的软件求解方法； 非线性规划的应用案例分析。
一、非线性规划的一般模型
1. 引例：股票的组合投资问题
1. 引例：股票的组合投资问题
(1) 问题的提出
试从两个方面分别给出三支股票的 投资比例：
1. 引例：股票的组合投资问题
3 . 模型的建立
1. 引例：股票的组合投资问题
3 . 模型的建立
问题（２）：希望在标准差最大不超过12%的情 况下，获得最大的收益．
1. 引例：股票的组合投资问题
(1) 问题的提出
(１)希望将投资组合中的股票收益的标 准差降到最小，以降低投资风险，并希望五 年后的期望收益率不少于65%．
(２)希望在标准差最大 不超过12%的情况下， 获得最大的收益．
1. 引例：股票的组合投资问题
2 . 模型的分析
. 引例：股票的组合投资问题
数学建模教学片
1
第十二章 非线性规划方法
非线性规划主的要一般内模容型；
无约束线性规划的求解方法； 带约束非线性规划的求解方法； 非线性规划的软件求解方法； 非线性规划的应用案例分析。
一、非线性规划的一般模型
1. 引例：股票的组合投资问题
1. 引例：股票的组合投资问题
(1) 问题的提出
试从两个方面分别给出三支股票的 投资比例：
数学建模讲座PPT课件
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2, sk=(xk , yk)~过程的状态 S ~ 允许状态集合
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20公里）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
3
法 允许状态S ~ 10个 点
允许决策D ~ 移动1或2格; 2
k奇,左下移; k偶,右上移.
d1, d11给出安全渡河方案
1 d11
s1
d1
评注和思考
0sn+1 1
2
3x
规格化方法, 易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况
习题
• 模仿这一案例，作下面一题： 人带着猫、鸡、米过河，船除需要
人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之 一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃 米。试设计一安全过河方案，并使渡河 次数尽量地少。
越来越受到人们的重视。
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题 椅子能在不平的地面上放稳吗？
模 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一人点，四
型 假
数学建模常用方法介绍ppt课件
遗传算法一般步骤
1. 完成了预先给定的进 化代数 2. 种群中的最优个体在 连续若干代后没有改进 3. 平均适应度在连续若 干代后基本没有改进
竞赛中的群体思维方法
✓平等地位、相互尊重、充分交流 ✓杜绝武断评价 ✓不要回避责任 ✓不要对交流失去信心
竞赛中的发散性思维方法
➢ 借助于一系列问题来展开思路
与模糊数学相关的问题（二）
模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造 模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来 确定其分类关系
模糊层次分析法—两两比较指标的确定
模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素 制约的事物或对象作出一个总的评价，如产 品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植 适应性的评价等，都属于综合评判问题。由 于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性 和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评 判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效 果
3. 合并距离最近的两类为一个新类 4. 计算新类与当前各类的距离（新类与当
前类的距离等于当前类与组合类中包含 的类的距离最小值），若类的个数等于 1，转5，否则转3 5. 画聚类图 6. 决定类的个数和类。
统计方法（判别分析）
➢ 判别分析—在已知研究对象分成若干类型，并已取 得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础 上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样 品进行判别分类。
这个问题与什么问题相似？ 如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？ 极限情形（或理想状态）如何？ 综合问题的条件可得到什么结果？ 要实现问题的目标需要什么条件？
➢ 借助于下意识的联想（灵感）来展开思路
抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想 综合所得到的联想和猜想，得到一些结论 进一步思考找出新思路和方法
数学建模课程教学ppt
2 •• • •
以行星为坐标原点建立活动架标， 以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向 量分别是
er = cosθ i + sinθ j , eθ = − sinθ • i + cosθ j • 由于2r w+ r w = 0 •• 因此得出
a = ( r − rw )er
2
再将椭圆方程 两边微分两次， 两边微分两次，得
p = r(1− e cosθ )
p 1 2 2 ( r − rw ) + 3 ( r w ) = 0 r r
2 ••
b2 2πab 2 和焦参数 p = 将前面得到的结果 r w = a T •• 4π 2a3 1 2 代入， • 2 代入，即得 r − rw = − 2 T r
也就是说行星的加速度为
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通 人口模型、 范畴 流模型、经 济模型、 基因模型等 流模型、 济模型、
§1.4 数学建模与能力的培养 仅最近几年里， 仅最近几年里，我校
学生都在只参加了半 年左右的学习和实践 锻炼， ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 后，就在国际性的竞 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 调查研究阶段， 要用到观察能力、分析能力和 观察能力 赛（美国大学生数学 能力等 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 建模竞赛） 建模竞赛）中交出了 能力。 能力。 综合素质， 生的综合素质 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 非常出色的研究论文， 非常出色的研究论文， 题的本领。 题的本领。 在真正开始自己的研究之前， ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 夺得了特等奖兼 前人或别人的工作， 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 INFORMS奖 INFORMS奖2项（1999 继续而不是别人工作的重复， 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 2003年各一项 年各一项）、 年、2003年各一项）、 果用作你的假设，去探索新的奥秘。 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 22项一等奖 18项二 项一等奖、 22项一等奖、18项二 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 查到并学会我想应用的知识的本领。 我想应用的知识的本领 等奖的好成绩。 等奖的好成绩。 创新的能力。 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
以行星为坐标原点建立活动架标， 以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向 量分别是
er = cosθ i + sinθ j , eθ = − sinθ • i + cosθ j • 由于2r w+ r w = 0 •• 因此得出
a = ( r − rw )er
2
再将椭圆方程 两边微分两次， 两边微分两次，得
p = r(1− e cosθ )
p 1 2 2 ( r − rw ) + 3 ( r w ) = 0 r r
2 ••
b2 2πab 2 和焦参数 p = 将前面得到的结果 r w = a T •• 4π 2a3 1 2 代入， • 2 代入，即得 r − rw = − 2 T r
也就是说行星的加速度为
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通 人口模型、 范畴 流模型、经 济模型、 基因模型等 流模型、 济模型、
§1.4 数学建模与能力的培养 仅最近几年里， 仅最近几年里，我校
学生都在只参加了半 年左右的学习和实践 锻炼， ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 后，就在国际性的竞 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 调查研究阶段， 要用到观察能力、分析能力和 观察能力 赛（美国大学生数学 能力等 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 建模竞赛） 建模竞赛）中交出了 能力。 能力。 综合素质， 生的综合素质 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 非常出色的研究论文， 非常出色的研究论文， 题的本领。 题的本领。 在真正开始自己的研究之前， ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 夺得了特等奖兼 前人或别人的工作， 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 INFORMS奖 INFORMS奖2项（1999 继续而不是别人工作的重复， 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 2003年各一项 年各一项）、 年、2003年各一项）、 果用作你的假设，去探索新的奥秘。 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 22项一等奖 18项二 项一等奖、 22项一等奖、18项二 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 查到并学会我想应用的知识的本领。 我想应用的知识的本领 等奖的好成绩。 等奖的好成绩。 创新的能力。 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
数学建模培训精品课件ppt
Python在数学建模中的应用
开源、跨平台
VS
Python是一种开源的、跨平台的编 程语言，被广泛应用于数学建模领域 。Python具有简洁的语法和丰富的 库，可以方便地进行数值计算和数据 可视化。
Python在数学建模中的应用
科学计算、数据分析
Python拥有许多科学计算和数据分析的库，如 NumPy、Pandas和SciPy等，可以方便地进行矩阵运 算、统计分析等。
MATLAB在数学建模中的应用
功能强大、广泛使用
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的商业数学软件，主要用于算法开发、 数据可视化、数据分析以及数值计算。在数学建模领域，MATLAB因其强大的矩 阵运算和绘图功能被广泛使用。
MATLAB在数学建模中的应用
数值计算、算法开发
MATLAB提供了大量的内置函数，可以方便地进行数值计算，包括线性代数、微积分、常微分方程求解等。同时，它也支持 用户自定义函数，可以方便地进行算法开发。
2023 WORK SUMMARY
数学建模培训精品课 件
汇报人：可编辑
2023-12-26
REPORTING
目录
• 数学建模基础 • 数学建模应用实例 • 数学建模软件介绍 • 数学建模竞赛经验分享 • 数学建模前沿动态 • 数学建模课程建议与展望
PART 01
数学建模基础
数学建模的定义与重要性
方案优化等。
未来数学建模的发展趋势
跨学科融合
大数据与机器学习
随着各学科的交叉融合，数学建模将与其 他领域更加紧密地结合，形成新的研究领 域和应用方向。
随着大数据和机器学习技术的发展，数学 建模将更多地应用于数据分析和预测等领 域。
《数学建模方法及其应用》教学片整理.ppt
展军备的程度小于刺激对方发展军备的程度时，双方的军 备竞赛会一直无限地进行下去，最终会导致战争．
25
2020年5月24日
三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
当 0 ，且 cd ab 时，平衡点 (x*, y* ) (0,0)
是稳定的．即甲乙双方没有厉害冲突和争端，在和平共 处的情况下，都没有发展军备的欲望．
开普勒三大定律：
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
5
2020年5月24日
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
一阶微分方程：
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
（1）
间接方法：首先求出方程的解 x (t) ，然后
利用定义
lim
t
(t)
x0
来判断。
直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性。
16
2020年5月24日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
2. 一阶方程的平衡点及稳定性
方程 dx dt
f (x) 的平衡点 x
x0
的稳定性判断方法：
直接方法：将函数 f (x) 在 x0 点作一阶泰勒展开，即
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
如果引入向量
x
(x1, x2,
, xn )T ,
f
(
f1,
f2,
,
f
n
)T
,
dx dt
dx1 dt
,
dx2 dt
,
25
2020年5月24日
三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
当 0 ，且 cd ab 时，平衡点 (x*, y* ) (0,0)
是稳定的．即甲乙双方没有厉害冲突和争端，在和平共 处的情况下，都没有发展军备的欲望．
开普勒三大定律：
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
5
2020年5月24日
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
一阶微分方程：
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
（1）
间接方法：首先求出方程的解 x (t) ，然后
利用定义
lim
t
(t)
x0
来判断。
直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性。
16
2020年5月24日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
2. 一阶方程的平衡点及稳定性
方程 dx dt
f (x) 的平衡点 x
x0
的稳定性判断方法：
直接方法：将函数 f (x) 在 x0 点作一阶泰勒展开，即
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
如果引入向量
x
(x1, x2,
, xn )T ,
f
(
f1,
f2,
,
f
n
)T
,
dx dt
dx1 dt
,
dx2 dt
,
数学建模培训精品课件ppt
03
数学建模基础知识
代数基础
代数基本概念：定义、性质、 分类等
代数运算：加法、减法、乘法、 除法等
代数方程：一元一次方程、一 元二次方程等
代数不等式：一元一次不等式、 一元二次不等式等
几何基础
空间点、线、 面
方向导数与梯 度
欧几里得距离 公式
曲线和曲面的 切线与法平面
概率统计基础
概率论基本概念：事件、概率、 独立性等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
数学建模是一种将数学语言应用 于实际问题的过程
数学建模是一种将数学模型应用 于实际问题的过程
数学建模的应用领域
工程科学：机械工程、电子 工程、土木工程、化学工程 等
自然科学：物理学、化学、 生物学、地球科学等
社会科学：经济学、社会学、 政治学、历史学等
医学与健康：生物医学、临 床医学、预防医学等
数学建模培训精品 课件ppt
单击此处添加副标题
汇报人：XXX
目录
添加目录项标题 数学建模基础知识 数学建模案例分析 数学建模培训总结与展望
数学建模概述 数学建模方法与技巧 数学建模实践项目
01
添加章节标题
02
数学建模概述
数学建模的定义
数学建模是一种用数学方法解决 实际问题的手段
数学建模是一种将实际问题抽象 为数学模型的过程
统计推断方法：参数估计和假设 检验
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
随机变量及其分布：离散型和连 续型随机变量
回归分析：线性回归和非线性回 归模型
微积分基础
导数与微分
积分
微积分的应用
微积分与数学 建模的联系
数学建模培训精品课件ppt
03
跨学科的数学建模需要加强交流与合作，打破学科壁垒，促进知识的融合和应用。
总结
数学建模是利用数学语言描述现实世界的过程，它在科学、工程、经济、金融等领域有着广泛的应用。
重要性
数学建模能够将实际问题抽象化，通过数学分析和计算得出结论，为决策提供科学依据。
应用领域
数学建模在物理、化学、生物、环境科学、医学、社会科学等领域都有应用，是解决复杂问题的重要工具。
数学建模竞赛经验分享
数学建模竞赛需要学生运用所学知识解决实际问题，有助于培养他们的创新思维和解决问题的能力。
培养创新思维
参加数学建模竞赛可以提高学生的数学素养、编程能力、团队协作和沟通能力等，有助于提升学生的综合素质。
提高综合素质
在数学建模竞赛中取得优异成绩，可以为学生未来的学术和职业发展提供有力支持，增强他们的竞争力。
随着实际问题越来越复杂，数学建模面临诸多挑战，如模型建立、数据获取和处理、计算效率等。
挑战
随着科技的发展，数学建模在大数据分析、人工智能、机器学习等领域的应用越来越广泛，为数学建模提供了新的机遇。
技术创新
随着计算技术和算法的发展，数学建模将更加高效和精确，能够处理更大规模和更复杂的数据。
应用拓展
LINGO是一款由Lindo Systems公司开发的商业优化软件，主要用于解决线性规划、整数规划、非线性规划等问题。
LINGO内置了多种求解器，可以快速求解大规模的优化问题，支持多种目标函数和约束条件。
LINGO提供了友好的用户界面和强大的建模功能，支持多种优化模型，包括线性规划、整数规划、二次规划等。
Python的语法简单易懂，易于上手，适合初学者快速入门。
Python的可视化库也非常丰富，如Matplotlib、Seaborn等，可以方便地绘制各种统计图形和数据可视化。
跨学科的数学建模需要加强交流与合作，打破学科壁垒，促进知识的融合和应用。
总结
数学建模是利用数学语言描述现实世界的过程，它在科学、工程、经济、金融等领域有着广泛的应用。
重要性
数学建模能够将实际问题抽象化，通过数学分析和计算得出结论，为决策提供科学依据。
应用领域
数学建模在物理、化学、生物、环境科学、医学、社会科学等领域都有应用，是解决复杂问题的重要工具。
数学建模竞赛经验分享
数学建模竞赛需要学生运用所学知识解决实际问题，有助于培养他们的创新思维和解决问题的能力。
培养创新思维
参加数学建模竞赛可以提高学生的数学素养、编程能力、团队协作和沟通能力等，有助于提升学生的综合素质。
提高综合素质
在数学建模竞赛中取得优异成绩，可以为学生未来的学术和职业发展提供有力支持，增强他们的竞争力。
随着实际问题越来越复杂，数学建模面临诸多挑战，如模型建立、数据获取和处理、计算效率等。
挑战
随着科技的发展，数学建模在大数据分析、人工智能、机器学习等领域的应用越来越广泛，为数学建模提供了新的机遇。
技术创新
随着计算技术和算法的发展，数学建模将更加高效和精确，能够处理更大规模和更复杂的数据。
应用拓展
LINGO是一款由Lindo Systems公司开发的商业优化软件，主要用于解决线性规划、整数规划、非线性规划等问题。
LINGO内置了多种求解器，可以快速求解大规模的优化问题，支持多种目标函数和约束条件。
LINGO提供了友好的用户界面和强大的建模功能，支持多种优化模型，包括线性规划、整数规划、二次规划等。
Python的语法简单易懂，易于上手，适合初学者快速入门。
Python的可视化库也非常丰富，如Matplotlib、Seaborn等，可以方便地绘制各种统计图形和数据可视化。
数学建模方法ppt课件
微
了很大作用。
分
方
应用实例：
程 模
单种群模型(Malthus Logistic )
型
两种群模型
传染病模型（SI SIS SIR）
作战模型
商品销售模型
回归分析是研究变量间统计规律的方法，属于”黑 箱“建模中常用的方法，根据自变量的数值和变化， 估计和预测因变量的相应数值和变化。有线性回归和 非线性回归。
点击添加文本
)点b2击添加文本
ax1m,1x点x21 ,击添a,m加x2nx文2本0 amnxn (, )bn
点击添加文本
建模步骤：
1.建立模型：找出目标函数及相应的限定条件
2.模型的求解：可利用Lin点go击软添件加进文行本求解模型。
3.结果分析
4.灵敏度分析：改变个别相关系数观察最优解是否会
min{D( p, k), D(q, k)}
点击添加文本
点击添加文本
步骤4：重复步骤2和步骤3，直至满足聚类为止。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性与模 糊不确定性两类。模糊数学就是研究属于不确定性， 而又具有模糊性量的变化规律的一种数学方法。
模
点击添加文本
糊
数 学
原理关键词： 模糊集 隶属函数 模糊关系 模糊矩阵
yi 0 1xi1 2 xi2 p xip , i 1,2,, n
其中， i 是随机误差，相互独立且满足E(i ) 0, var(i ) 2
一般非线性模型的形式： 其中， f 是一般的非线性函数， 是 p维参数向量， 是一随机 误差变量，E( ) 0, var( ) 2
，把 Gp 和 Gq 合并
步骤3：计算新类与其他类的距离 点击添加文本
D(r, k) min{d (r, k) r Gr , k Gk , k r} min{d ( j, k) j Gp Gq , k Gk , k j}
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若用 ˆ0 , ˆ1 分别表示 0 , 1 的估计值，则称 yˆ ˆ0 ˆ1x 为
y 关于 x 的一元线性回归方程。
2）如何检验回归方程的可信度呢？
你知道最小 二乘法吗？
99
2020年5月22日
一、 一元线性回归方法
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
（1）最小二乘法: 估计 0 , 1 的方法，即取 0 , 1 的一组
yi 0 1xi i ,i 1,2, , n i iid ,ie i ~ N (0, 2 )
且 yi ~ N (0 1xi , 2 ) 。
正态分布:
N (0 1x, 2 )
的含义你清楚吗？
88
2020年5月22日
2. 一元线性回归模型 （2）对模型的分析 ?? 现在的问题：
1）如何根据 (xi , yi )(i 1,2, , n) 来求 0 , 1 的估计值，
2020年5月22日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
（1）最小二乘法
ˆ0 y ˆ1x 此方程称为正规方程组，求解可以得到： ˆ1 lxy lxx
称为 0 , 1 的最小二乘估计，其中
y1 n ni1
yi
，x1 n ni1
xi
n
，lxx (xi
i1
x)2
n
i1
xi2
1 n ni1
1
数学建模教学片
2
第八章 回归分析方法
什么是回归方主法要；内容
多元线性回归模型； 最小二乘估计方法； 回归方程的显著性检验； 回归方法的拟合性检验； 案例分析：沼气的生成问题。
33
2020年5月22日
引例: 农作物的施肥效果分析
某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）,磷 （P）,钾（K）。某作物研究所在该地区对土豆与 生菜作了一定数量的实验，实验数据如下表格所示
，其中ha表示公顷，t表示吨。 当一个营养素的施肥量变化时,总将另两个营养
素的施肥量保持在第七个水平上,如对土豆产量关于 N的施肥量做实验时,P与K的施肥量分别取为 196kg/ha与372kg/ha。
试分析施肥量与产量之间的关系，并对所得结果
从应用价值与如何改进等方面做出估价。
44
2020年5月22日
引例: 农作物的施肥效果分析
土豆:
N
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
生菜:
N
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22
K
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
15.75 16.76 16.89 16.24 17.56 19.20 17.97 15.84 20.11 19.40
66
2020年5月22日
一、 一元线性回归方法
2.一元线性回归模型 （1）一般形式：
一元回归模型的一般形式： (x) 0 1x 并设观测值为 y :
y 0 1x
（1）
其中 0 , 1 是未知的待定常数，称为回归系数，x 是回归变量。
是随机因素对响应变量 y 所产生的影响—--随机误差，都是随
2020年5月22日
一、 一元线性回归方法
1. 什么是回归方法
回归方法---用回归分析来研究建模问题的方法， 回归分析---研究随机变量之间的关系的方法。
回归分析的主要内容： （1）从一组数据出发，确定这些变量间的定量关 系； （2）对模型的可信度进行统计检验； （3）从有关的许多变量中，判断变量的显著性； （4）应用结果是对实际问题做出的判断。
机变量。总是假设 E( ) 0, D( ) 2 ，亦即 ~ N(0, 2 ) 。
随机变量 y 服从正态分布 N ( 0 1x, 2 ) 。
77
2020年5月22日
2. 一元线性回归模型 （2）对模型的分析
假设有一组试验数据 (xi , yi )(i 1,2, , n) ，并且 yi
是相互独立的随机变量，则
（1）最小二乘法
显然 Q( 0 , 1 ) 0 ，且关于 0 , 1 可微，则
Q
0, Q
0 ，
0 ( ˆ0 ,ˆ1 )
1 ( ˆ0 ,ˆ1 )
Q
0
( ˆ0 ,ˆ1 )
0
Q
1
( ˆ0 ,ˆ1 )
0
即
n
i
1 n
( yi
ˆ0
ˆ1xi )
0
i 1
(
yi
ˆ0
ˆ1xi )xi
0
11 11
0 28 56 84 112 168 224 280 336 392
11.02 12.70 14.56 16.27 17.75 22.59 21.63 19.34 16.12 14.11
P
施肥量
Байду номын сангаас
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 24 49 73 98 147 196 245 294 342
33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73
P
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 49 98 147 196 294 391 489 587 685
55
6.39 9.48 12.46 14.38 17.10 21.94 22.64 21.34 22.07 24.53
K
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
估计值 ˆ0, ˆ1 使其随机误差 i 的平方和达到最小，即使 yi 与
yˆi ˆ0 ˆ1xi 的拟合最佳。
n
若记
Q(0 , 1 ) ( yi 0 1xi )2
i 1
n
则
Q(ˆ0 , ˆ1 )
min
0 ,1
Q(
0
,
1
)
i 1
( yi
ˆ0
ˆ1xi )2
10 10
2020年5月22日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
xi
2
，
lxy
n
(xi
i1
x)(yi
n
y)
i1
xi
yi
1 n ni1
xi
n i1
yi
。
12 12
2020年5月22日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
(2)ˆ0,ˆ1的 性 质
①ˆ0 ~N0,(1nlxx2x)2;
②ˆ1 ~N1,lx2x;
事实上： E(ˆ0 ) 0 ,
y 关于 x 的一元线性回归方程。
2）如何检验回归方程的可信度呢？
你知道最小 二乘法吗？
99
2020年5月22日
一、 一元线性回归方法
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
（1）最小二乘法: 估计 0 , 1 的方法，即取 0 , 1 的一组
yi 0 1xi i ,i 1,2, , n i iid ,ie i ~ N (0, 2 )
且 yi ~ N (0 1xi , 2 ) 。
正态分布:
N (0 1x, 2 )
的含义你清楚吗？
88
2020年5月22日
2. 一元线性回归模型 （2）对模型的分析 ?? 现在的问题：
1）如何根据 (xi , yi )(i 1,2, , n) 来求 0 , 1 的估计值，
2020年5月22日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
（1）最小二乘法
ˆ0 y ˆ1x 此方程称为正规方程组，求解可以得到： ˆ1 lxy lxx
称为 0 , 1 的最小二乘估计，其中
y1 n ni1
yi
，x1 n ni1
xi
n
，lxx (xi
i1
x)2
n
i1
xi2
1 n ni1
1
数学建模教学片
2
第八章 回归分析方法
什么是回归方主法要；内容
多元线性回归模型； 最小二乘估计方法； 回归方程的显著性检验； 回归方法的拟合性检验； 案例分析：沼气的生成问题。
33
2020年5月22日
引例: 农作物的施肥效果分析
某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）,磷 （P）,钾（K）。某作物研究所在该地区对土豆与 生菜作了一定数量的实验，实验数据如下表格所示
，其中ha表示公顷，t表示吨。 当一个营养素的施肥量变化时,总将另两个营养
素的施肥量保持在第七个水平上,如对土豆产量关于 N的施肥量做实验时,P与K的施肥量分别取为 196kg/ha与372kg/ha。
试分析施肥量与产量之间的关系，并对所得结果
从应用价值与如何改进等方面做出估价。
44
2020年5月22日
引例: 农作物的施肥效果分析
土豆:
N
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
生菜:
N
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22
K
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
15.75 16.76 16.89 16.24 17.56 19.20 17.97 15.84 20.11 19.40
66
2020年5月22日
一、 一元线性回归方法
2.一元线性回归模型 （1）一般形式：
一元回归模型的一般形式： (x) 0 1x 并设观测值为 y :
y 0 1x
（1）
其中 0 , 1 是未知的待定常数，称为回归系数，x 是回归变量。
是随机因素对响应变量 y 所产生的影响—--随机误差，都是随
2020年5月22日
一、 一元线性回归方法
1. 什么是回归方法
回归方法---用回归分析来研究建模问题的方法， 回归分析---研究随机变量之间的关系的方法。
回归分析的主要内容： （1）从一组数据出发，确定这些变量间的定量关 系； （2）对模型的可信度进行统计检验； （3）从有关的许多变量中，判断变量的显著性； （4）应用结果是对实际问题做出的判断。
机变量。总是假设 E( ) 0, D( ) 2 ，亦即 ~ N(0, 2 ) 。
随机变量 y 服从正态分布 N ( 0 1x, 2 ) 。
77
2020年5月22日
2. 一元线性回归模型 （2）对模型的分析
假设有一组试验数据 (xi , yi )(i 1,2, , n) ，并且 yi
是相互独立的随机变量，则
（1）最小二乘法
显然 Q( 0 , 1 ) 0 ，且关于 0 , 1 可微，则
Q
0, Q
0 ，
0 ( ˆ0 ,ˆ1 )
1 ( ˆ0 ,ˆ1 )
Q
0
( ˆ0 ,ˆ1 )
0
Q
1
( ˆ0 ,ˆ1 )
0
即
n
i
1 n
( yi
ˆ0
ˆ1xi )
0
i 1
(
yi
ˆ0
ˆ1xi )xi
0
11 11
0 28 56 84 112 168 224 280 336 392
11.02 12.70 14.56 16.27 17.75 22.59 21.63 19.34 16.12 14.11
P
施肥量
Байду номын сангаас
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 24 49 73 98 147 196 245 294 342
33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73
P
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 49 98 147 196 294 391 489 587 685
55
6.39 9.48 12.46 14.38 17.10 21.94 22.64 21.34 22.07 24.53
K
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
估计值 ˆ0, ˆ1 使其随机误差 i 的平方和达到最小，即使 yi 与
yˆi ˆ0 ˆ1xi 的拟合最佳。
n
若记
Q(0 , 1 ) ( yi 0 1xi )2
i 1
n
则
Q(ˆ0 , ˆ1 )
min
0 ,1
Q(
0
,
1
)
i 1
( yi
ˆ0
ˆ1xi )2
10 10
2020年5月22日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
xi
2
，
lxy
n
(xi
i1
x)(yi
n
y)
i1
xi
yi
1 n ni1
xi
n i1
yi
。
12 12
2020年5月22日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
(2)ˆ0,ˆ1的 性 质
①ˆ0 ~N0,(1nlxx2x)2;
②ˆ1 ~N1,lx2x;
事实上： E(ˆ0 ) 0 ,