数学建模方法及其应用教学片ppt课件

2020年5月22日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
（1）最小二乘法
ˆ0 y ˆ1x 此方程称为正规方程组，求解可以得到： ˆ1 lxy lxx
称为 0 , 1 的最小二乘估计，其中
y1 n ni1
yi
，x1 n ni1
xi
n
，lxx (xi
i1
x)2
n
i1
xi2
1 n ni1
若用 ˆ0 , ˆ1 分别表示 0 , 1 的估计值，则称 yˆ ˆ0 ˆ1x 为
y 关于 x 的一元线性回归方程。
2）如何检验回归方程的可信度呢？
你知道最小 二乘法吗？
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2020年5月22日
一、 一元线性回归方法
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
（1）最小二乘法: 估计 0 , 1 的方法，即取 0 , 1 的一组
yi 0 1xi i ,i 1,2, , n i iid ,ie i ~ N (0, 2 )
且 yi ~ N (0 1xi , 2 ) 。
正态分布:
N (0 1x, 2 )
的含义你清楚吗？
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2020年5月22日
2. 一元线性回归模型 （2）对模型的分析 ?? 现在的问题：
1）如何根据 (xi , yi )(i 1,2, , n) 来求 0 , 1 的估计值，
P
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 49 98 147 196 294 391 489 587 685
55
6.39 9.48 12.46 14.38 17.10 21.94 22.64 21.34 22.07 24.53
K
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
xi
2
，
lxy
n
(xi
i1
x)(yi
n
y)
i1
xi
yi
1 n ni1
xi
n i1
yi
。
12 12
2020年5月22日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
(2)ˆ0,ˆ1的 性 质
①ˆ0 ~N0,(1nlxx2x)2;
②ˆ1 ~N1,lx2x;
事实上： E(ˆ0 ) 0 ,
估计值 ˆ0, ˆ1 使其随机误差 i 的平方和达到最小，即使 yi 与
yˆi ˆ0 ˆ1xi 的拟合最佳。
n
若记
Q(0 , 1 ) ( yi 0 1xi )2
i 1
n
则
Q(ˆ0 , ˆ1 )
min
0 ,1
Q(
0
,
1
)
iLeabharlann Baidu1
( yi
ˆ0
ˆ1xi )2
10 10
2020年5月22日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
引例: 农作物的施肥效果分析
土豆:
N
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
生菜:
N
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
（1）最小二乘法
显然 Q( 0 , 1 ) 0 ，且关于 0 , 1 可微，则
Q
0, Q
0 ，
0 ( ˆ0 ,ˆ1 )
1 ( ˆ0 ,ˆ1 )
Q
0
( ˆ0 ,ˆ1 )
0
Q
1
( ˆ0 ,ˆ1 )
0
即
n
i
1 n
( yi
ˆ0
ˆ1xi )
0
i 1
(
yi
ˆ0
ˆ1xi )xi
0
11 11
，其中ha表示公顷，t表示吨。 当一个营养素的施肥量变化时,总将另两个营养
素的施肥量保持在第七个水平上,如对土豆产量关于 N的施肥量做实验时,P与K的施肥量分别取为 196kg/ha与372kg/ha。
试分析施肥量与产量之间的关系，并对所得结果
从应用价值与如何改进等方面做出估价。
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2020年5月22日
2020年5月22日
一、 一元线性回归方法
1. 什么是回归方法
回归方法---用回归分析来研究建模问题的方法， 回归分析---研究随机变量之间的关系的方法。
回归分析的主要内容： （1）从一组数据出发，确定这些变量间的定量关 系； （2）对模型的可信度进行统计检验； （3）从有关的许多变量中，判断变量的显著性； （4）应用结果是对实际问题做出的判断。
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数学建模教学片
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第八章 回归分析方法
什么是回归方主法要；内容
多元线性回归模型； 最小二乘估计方法； 回归方程的显著性检验； 回归方法的拟合性检验； 案例分析：沼气的生成问题。
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2020年5月22日
引例: 农作物的施肥效果分析
某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）,磷 （P）,钾（K）。某作物研究所在该地区对土豆与 生菜作了一定数量的实验，实验数据如下表格所示
0 28 56 84 112 168 224 280 336 392
11.02 12.70 14.56 16.27 17.75 22.59 21.63 19.34 16.12 14.11
P
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 24 49 73 98 147 196 245 294 342
33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73
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2020年5月22日
一、 一元线性回归方法
2.一元线性回归模型 （1）一般形式：
一元回归模型的一般形式： (x) 0 1x 并设观测值为 y :
y 0 1x
（1）
其中 0 , 1 是未知的待定常数，称为回归系数，x 是回归变量。
是随机因素对响应变量 y 所产生的影响—--随机误差，都是随
18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22
K
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
15.75 16.76 16.89 16.24 17.56 19.20 17.97 15.84 20.11 19.40
机变量。总是假设 E( ) 0, D( ) 2 ，亦即 ~ N(0, 2 ) 。
随机变量 y 服从正态分布 N ( 0 1x, 2 ) 。
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2020年5月22日
2. 一元线性回归模型 （2）对模型的分析
假设有一组试验数据 (xi , yi )(i 1,2, , n) ，并且 yi
是相互独立的随机变量，则