材料力学简单的超静定问题

§6-3 扭转超静定问题
第六章 简单的超静定问题
第六章 简单的超静定问题
第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
目录
§6-1 超静定问题及其解法
一. 静定与超静定的概念 静定问题：若未知力（外力或内力）的个数 等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡 方程即可解出全部未知力，这类问题称为静 定问题.相应的结构称静定结构。
、几何方程
ΔL1 ΔL2
( L3)cos1
A1
L1
L2
A
装配应力：
N3
N1 N2
A1
L3 A1
L1
L2
A
、物理方程及补充方程：
N 1L1N2L2(N 3L3)co s
EAEA EA
、解平衡方程和补充方程，得:
N1N2L 312cEo3 cAso2 Es/AEA N3L 3122cEo3A csoE3sA /EA
1Δ2l3cos
②
(3)代入物理关系，建立补充方程
1
N11 E1 A1
N1
E1 A1 cos
③
3
N3 E3 A3
13
2
A
2
1
3
A
§6-2 拉压超静定问题
(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结， 画A节点位移图,列出变形相容条件。要 1 注意所设的变形性质必须和受力分析所 中设定的力的性质一致。由对称性知
§6-2 拉压超静定问题
例2. 结构如图，1、2杆抗拉刚度为
E1A1,3杆E 为 3A3, 在F力作用下，
求各杆内力。
解:为一次超静定。
(1) 画A结点受力图，建立平衡方程
Fx0:N1N2
①
F y 0 :2 N 1co N s3 F
13
2
A F
N1
N3
N2
A
F
§6-2 拉压超静定问题
(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结， 画A节点位移图,列出变形相容条件。要 注意所设的变形性质必须和受力分析所 中设定的力的性质一致。由对称性知
§6-3 扭转超静定问题 例5：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受 外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。
解：
静力平衡方程为：mAmBm
变形协调条件为： AB AC CB 0
解：
AB AC CB 0m GAIap G mBIbp 0
联立解出： m A
a
b
b
m
mB
a
a
b
m
（3）物理方程。
BFACEF1A11()
BB AB RB(E 11 A 1E 2A 22) ()
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
RB B
E F 1A 11lRB(E1 l1A1El22A2) ——补充方程
§6-2 拉压超静定问题
RA A
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
（4）联立求解。
EF1A 11l RB(E1l1A1El22A2)
未知力个数与独立平衡方程数之差，也等于多 余约束数。由于超静定结构能有效降低结构的内力 及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
二、求解超静定问题的基本方法
1.静定与超静定的辩证关系 多余约束的两种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束 前者使问题变为不可解；后者使问题变为可解。
2.超静定的处理方法 ▪平衡方程 ▪变形协调方程 相结合，进行求解 （几何方程） 物理方程(体现为力与变形关系。)
3
2
1Δ2l3cos
(3)代入物理关系，建立补充方程
E1AN 1c1LosE N33A L3cos
②
A
2
1
3
A ④
§6-2 拉压超静定问题
(4)联立①、④求解：
N1
N2
2 cos
F
E 3 A3
E1 A1 cos 2
N3
1 2
F E1 A1
cos 3
E 3 A3
§6-2 拉压超静定问题
解超静定问题的步骤： 1）用约束反力代替多余约束，得到静定结构。 2）利用虎克定律建立力与变形之间的关系
（物理关系） 3）利用变形协调关系建立补充方程
（几何关系） 4）利用平衡方程，解出全部的未知反力
（平衡关系）。
II. 温度应力和装配应力
温度应力 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。
装配应力： 超静定结构中由于加工误差，装配产生的应力。 1、静定问题无装配应力。 2、超静定问题存在装配应力。
§6-2 拉压超静定问题
I. 拉压超静定问题的解法： 1. 比较变形法
把超静定问题转化为静定问题解， 但必须满足原结构的变形约束条件。
§6-2 拉压超静定问题
§6-2 拉压超静定问题
A
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
B
例1. 杆上段为铜，下段为钢杆，
上段 1,截 长面 A1,弹 积性E模 1 量 下段 2,截 长面 A2,弹 积性E模 2 量
超静定问题：若未知力（外力或内力）的个 数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平 衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称 为超静定问题或静不定问题.相应的结构称超 静定结构或静不定结构。
§6-1 超静定问题及其解法
§6-1 超静定问题及其解法
多余约束：
在静定结构上加上的一个或几个约束，对于维 持平衡来说是不必要的约束（但对于特定的工程要 求是必要的）称为多余约束。对应的约束反力称为 多余未知力。 超静定次数：
杆的两端为固支,求两段的轴力。
§6-2 拉压超静定问题
§6-2 拉压超静定问题
A
A
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
B
RB B
解：（1）选取基本静定系（或相当系统如图），
解除B端多余约束，代之以约束反力 R B
§6-2 拉压超静定问题
（2）建立变形协调方程。
A
AB BF BB 0
RARBF0
RB B
R A E 2 A E 2 1 1 A 1 E 2 F 1 A 1 2,R B E 1 A 1 E 2 2 A 2 E 1 2 F A 2 1 )
§6-2 拉压超静定问题
2. 几何分析法
解超静定问题的关键是找出求解所有未知约 束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间 必须象原来一样完整、连续、满足约束条件---即满足变形相容条件。
温度应力
N1
a
a
a
a
a
a
N2
（a）
（b）
装配应力：
B 1
3
D
C 2
A1
A
B
C
12 A
例4：如图，3号杆的尺寸误差为，
求各杆的装配内力。
装配应力：B 13来自DC 2A1 A
N3
N1 N2
L3 A1
解：、平衡方程:
X N 1 si n N 2 si n 0
Y N 1 co N 2 c s o N 3 s 0