精品解析：宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试数学(理)试题(解析版)

五原中学2020—2021学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷（理）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项，只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂到答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}21,A a =，{}1,0,1B =-，若A B B ⋃=，则A 中元素的和为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可得B A ⊆，进而可得出关于a 的等式，求出a 的值，即可求得A 中元素的和. 【详解】A B B =，A B ∴⊆，20a ∴=，则0a =，{}1,0A ∴=，因此，集合A 中元素的和为011+=. 故选：B.2. 已知z 的共轭复数为1023i i-+（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算法则化复数z 为一般形式，然后由模的定义计算模． 【详解】根据题意()()()()103103102223333310i i z i i i i i i i --=-=-=-=-++-，则33z i =+，于是z ==故选：B【点睛】本题以复数的简单运算为素材，目的是考查考生对复数运算法则的掌握情况和复数模的计算，本题计算量小，属于基础题．3. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第2天所织布的尺数为（ ） A.2031B.531C.1031D.4031【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意，得到该女子每天所织布的长度构成等比数列，根据题意求出首项和公比，即可求出结果. 【详解】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为q ， 由题意知1q ≠，首项为1a ，前n 项和为n S ，由题意可得5152(1)51q a q S q =⎧⎪-⎨==⎪-⎩，解得12531q a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以第二天织的布为211031a a q ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型. 4. 等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S =（ ） A. 153 B. 182C. 242D. 273【答案】D 【解析】试题分析：根据等差数列的前n 项和的性质：数列23243,,,,m m m m m m m S S S S S S S ---依然成等差数列可知1020103020,,S S S S S --即3031,91,122S -成等差数列，所以3091231122S ⨯=+-，解得30273S =，选D.考点：等差数列前n 项和的性质.5. 如图是一个几何体的正（ 主） 视图和侧（ 左） 视图, 其俯视图是面积为的矩形， 则该几何体的表面积是 （ ）A. 16B. 2 4+82C. 8D. 2 0+82 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是矩形，可得到几何体是一个三棱柱，然后画出几何体并根据相应数据计算表面积. 【详解】由题意可知，该几何体如图所示：则：2,22AC BC AB ===1182AB B A S =四边形14AA =， 所以()2224228220822S ⨯⎛⎫=⨯+⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭表面积. 故选D.【点睛】本题考查利用三视图求几何体的表面积，难度较易.对于只给出三视图中的一部分视图，可通过条件将完整的三视图画出，然后再求解表面积或体积.6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得b a =，双曲线焦距26c =，结合,,a b c 的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则2b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②由①②解得a ＝2，bC 的方程为22145x y -=.故选：B.【点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题.7. 已知点A ()1,0-，B (1,3)，向量a ＝()21,2k -，若AB ⊥a ，则实数k 的值为( ) A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先求出AB 的坐标，再利用0AB a ⋅=求出k 的值.【详解】由题得(2,3)AB =，因为AB ⊥a ，所以4260, 1.AB a k k ⋅=-+=∴=- 故答案为B【点睛】（1）本题主要考查向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示，考查数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=. 8. 已知ABC 的内角A ，B ，C 成等差数列，若()3sin sin 5B αα+=+，则()sin 300α+︒=（ ） A.35B. 45-C.45D. 35【答案】D 【解析】 【分析】由等差中项的性质求出B ，再由辅助角公式得到()3cos 305α︒+=，最后再由诱导公式计算可得； 【详解】解：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B A C =+，又180A B C ++=︒，∴60B =︒，由()3sin 60sin 5αα︒+=+得，13sin 25αα-=，∴()3cos 305α︒+=，则()()()3sin 300sin 27030cos 305ααα+︒=︒+︒+=-︒+=-，故选：D ．9. 已知函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图像与直线2y =交于,A B 两点，若AB 的最小值为π，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）A. 3x π=B. 4x π=C. 6x π=D. 12x π=【答案】D 【解析】 【分析】化简得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题可得周期为π，即可求出2ω=，令2,32πππ+=+∈x k k Z 求出对称轴即可得出答案.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()f x 直线2y =交于,A B 两点，且AB 的最小值为π，T π=，则22T πω==，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，则,122k x k Z ππ=+∈， ()f x ∴的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，12x π=.故选：D.【点睛】本题考查正弦型函数的对称轴问题，解题的关键是利用辅助角公式化简函数得出周期，求出解析式，即可解决.10. 在平面直角坐标系中，双曲线C 的标准方程为2221(0)4x y t t t-=>+，则双曲线的离心率取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2y x =± B. 3y x =±C. 12y x =±D. 13y x =±【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得c e a ==利用基本不等式求出离心率的最大值，即可求出t ，从而求出双曲线方程，即可求出渐近线；【详解】解：因为0t >，依题意可得双曲线2221(0)4x y t t t-=>+的离心率c e a ====≤=当且仅当4t t=即2t =时，等号成立，此时离心率最大， 故双曲线的标准方程为22182y x -=，所以双曲线的渐近线方程为y x =，即12y x =±故选：C【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11. 曲线2y x=与直线1y x =-及1x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 2ln 2- B. 12ln 22- C. 2ln2+ D. 12ln 22+【答案】B 【解析】由曲线2 yx =与直线1y x=-联立，解得1x=-，2x=，故所求图形的面积为2221121112ln|2ln222S x dx x x xx⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，故选B.12. 已知曲线1C：()xf x xe=在0x=处的切线与曲线2C：()()lna xg x ax=∈R在1x=处的切线平行，令()()()h x f x g x=，则()h x在()0,∞+上（）A. 有唯一零点B. 有两个零点C. 没有零点D. 不确定【答案】A【解析】【分析】先对函数()xf x xe=和()lna xg xx=求导，根据两曲线在1x=处的切线平行，由导数的几何意义求出a，得到函数()()()ln xh x f x g x e x==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数.【详解】∵()xf x xe=，∴()()1xf x x e'=+，又()lna xg xx=，∴()2lna a xg xx-'=，由题设知，()()01f g'='，即()02ln1101a ae-+=，∴1a=，则()()()lnlnx xxh x f x g x xe e xx==⋅=，∴()()ln1lnxxxx x eeh x e xx x+=='+，0x>，令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()0m x >，则()0h x '>， ∴()h x ()0,∞+上单调递增，且()10h =.()h x 在()0,∞+上有唯一零点，故选：A ．【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应位置上.13. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则()4f =_____．【答案】10- 【解析】 【分析】根据函数()f x 为奇函数，得()4(4)f f =--，代入解析式计算即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()24(4)4610f f ⎡⎤=--=---=-⎣⎦. 故答案为：10-.14. 已知圆2240x y x a +-+=截直线0x -=所得的弦长为a 的值为_____.【答案】0 【解析】 【分析】将圆化为标准方程，得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理列式求解.【详解】圆2240x y x a +-+=化为标准方程为()2224x y a -+=-，所以圆心坐标为(2,0)，半径为r .由题意圆心到直线的距离为212d ==，则2414a -=+=，则0a =. 故答案为：015. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.【答案】 【解析】【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长a ，然后计算外接球的半径2R a =，利用球的体积的公式，可得结果.【详解】设正方体边长a ，正方体外接球的半径为R ， 由正方体的表面积为24，所以2624a =，则2a =，又R =，所以R ， 所以外接球的体积为：334433R ππ==.故答案为：.【点睛】方法点睛：求多面体的外接球的表面积和体积问题关键是要求出外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.16. 若对(,1]x ∈-∞-时，不等式21()2()12xxm m --<恒成立，则实数m 的取值范围是____________..【答案】()2,3- 【解析】 【分析】运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.【详解】不等式()21212xxm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x xm m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令12x t =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<. 故答案：()2,3-【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.三．解答题：本大题共6小题，共70分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足12n n n b s s +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-，2n s n =；（2）21n nT n =+. 【解析】 【分析】（1）根据条件列出式子求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出通项公式和前n 项和； （2）可得112+1n b n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则3171+25767+492a a d S a d ==⎧⎪⎨⨯==⎪⎩，解得1a 1,d 2， ()1+1221n a n n ∴=-⨯=-，()21+212n n n S n -==；（2）()2112+1+1n b n n n n ⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 1111122122311n n T n n n ⎛⎫∴=-+-++-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.18. 已知函数()2cos sin 222x x x f x⎫=-⎪⎭． （1）求()f x的最小正周期和单调递增区间；（2）在ABC 中，1AB =，()1=f C ，且ABC sin sin A B +的值． 【答案】（1）2T π=，单调递增区间为()5112,2,66k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1+. 【解析】【分析】（1）化简解析式即可得()2cos 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）由()1=f C，求出6C π=，再利用面积公式以及余弦定理代入求解出,a b ，利用正弦定理求出sin sinA B +.【详解】（1）()22sin cos sin 2cos 2226x x x f x x x x π⎛⎫=-=-+=+ ⎪⎝⎭2T π=，由()222,6πππππ+≤+≤+∈k x k k z ，得单调递增区间为()5112,2,66k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由()31=+f C ，∴2cos 3316π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭C ，∴1cos 62π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ， ∵()0,C π∈，∴7,666πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C ，∴63C ππ+=，即6C π=. 由ABC 的面积为3，∴31sin 26π=ab ，∴23=ab ． 由余弦定理可得：2212cos 2π=+-a b ab ，可得：227a b +=，联立解得：2,3a b ==；或2,3==b a ．∴23+=+a b ．∴sin sin sin 12===A B C a b c ． ∴()13sin sin 12+=+=+A B a b ． 【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式. 19. 如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上．（1）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ；（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66M 在线段EC 上的位置． 【答案】（1）证明见解析；（2）点M 为EC 中点.【解析】【分析】（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明；（2）设()01EM EC λλ=≤≤，求出平面BDM 和平面ABF 的法向量，根据题意建立关系即可求出λ，得出结果.【详解】（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,2)E ，所以(0,2,1)M .∴(2,0,1)BM =-又(0,4,0)DC =是平面ADEF 的一个法向量.∵0BM DC ⋅=即BM DC ⊥，BM ⊄平面ADEF ，∴BM ∥平面ADEF ；（2）设(,,)M x y z ，则(,,2)EM x y z =-，又(0,4,2)EC =-，设()01EM EC λλ=≤≤，则0,4,22x y z λλ===-，即(0,4,22)M λλ-.设111(,,)n x y z =是平面BDM 的一个法向量，则11112204(22)0DB n x y DM n y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩， 取11x =得11y =-，此时显然1λ=时不符合，则121z λλ=-， 即2(1,1,)1n λλ=--， 又由题设，(2,0,0)DA =是平面ABF 的一个法向量，∴cos ,22DA n DA n DA n ⋅===⋅，解得12λ=， 即点M 为EC 中点.【点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆22:24C x y +=（1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）22142x y+=，e =；（2）存在，7x＝0或7x ﹣＝0 【解析】【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a ，b ，c ，由离心率公式可得所求值；（2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程，消去x 可得y 的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．【详解】（1）由22142x y+=，得2,a b ==c ==，2c e a ==； （2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+m 2）y 2﹣6m 2y +9m 2﹣4＝0，△＝36m 4﹣4（2+m 2）（9m 2﹣4）＞0，即m 2＜47， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝2262m m +，y 1y 2＝22942m m-+，① 由2PB PA =，可得（x 2，y 2﹣3）＝2（x 1，y 1﹣3），即y 2﹣3＝2（y 1﹣3），即y 2＝2y 1﹣3，②将②代入①可得3y 1﹣3＝2262m m +，y 1（2y 1﹣3）＝22942m m -+， 消去y 1，可得22232m m ++•22322m m -+＝22942m m -+，解得m 2＝2747<，所以7m =±， 故存在这样的直线l ，且方程为7x＝0或7x﹣＝0．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21. 已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =. （1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-.【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2()2,121h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证．【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x -'=-， 则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=，又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x -+'=， 令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1x x e x x =∈-， 则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增，由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--， 0()222f x ln ∴<-． 【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修44-：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 过点(0,2)P ，倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭.以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：2cos 2sin 0ρθθ-=.（1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，M 为AB 中点，且满足||,||,||PA PM PB 成等比数列，求直线l 的斜率.【答案】（1）l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)，C 的直角坐标方程为：22x y =；（2）斜率为2±. 【解析】【分析】（1）根据直线过点P ，及倾斜角α，代入公式，即可求得l 的参数方程，将曲线C 左右同乘ρ，利用cos ,sin x y ρθρθ==即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，根据t 的几何意义及题干条件，可得212122t t t t +⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求得答案.【详解】（1）因为直线l 过点(0,2)P ，倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭， 所以直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)， 因为2cos 2sin ρθθ=，所以22cos 2sin ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为：22x y =； （2）将直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)代入22x y =可得：22cos 2sin 40--=t t αα， 设A,B 所对应的参数为12,t t ，所以1212222sin 4,cos cos t t t t ααα-+=⋅=， 因为||,||,||PA PM PB 成等比数列， 所以212122t t t t +⎛⎫= ⎪⎝⎭，即242sin cos os 4c ααα=， 解得2tan 4α=，tan 2α=±，故直线l 的斜率为2±.【点睛】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t 的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题. [选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈.（1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（2）51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤,分别讨论12x ≤,112x <<和1≥x ,去掉绝对值,即可求得答案; （2）因为()21f x x ≤+的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()21f x x ≤+恒成立,结合已知,即可求得答案.【详解】（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤ 上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩,或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩,或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩,102x ∴≤≤或112x <<或413x ≤≤, ∴原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）()21f x x ≤+的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, ∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()21f x x ≤+恒成立, 即在2121x a x x -++≤+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, 2121x a x x ∴-+-≤+,即2x a -≤,22x a ∴-≤-≤,22x a x ∴-≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, ()()max min 22x a x ∴≤-≤-,512a ∴-≤≤, a ∴的取值范围为51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及绝对值三角不等式的应用,其中解答中熟记含绝对值不等式的解法,以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.。