精品解析：宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试数学(理)试题(解析版)
五原中学2020—2021学年度第一学期高三年级
期末考试数学试卷（理）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项，只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂到答题卡相应的位置上.
1. 已知集合{
}2
1,A a =，{}1,0,1B =-，若A B B ?=，则A 中元素的和为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 1-
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知条件可得B A ?，进而可得出关于a 的等式，求出a 的值，即可求得A 中元素的和. 【详解】
A B B =，A B ∴?，20a ∴=，则0a =，{}1,0A ∴=，
因此，集合A 中元素的和为011+=. 故选：B.
2. 已知z 的共轭复数为10
23i i
-+（其中i 为虚数单位），则z =（ ）
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
由复数的运算法则化复数z 为一般形式，然后由模的定义计算模． 【详解】根据题意()()()
()10310310
2223333310i i z i i i i i i i --=
-=-=-=-++-，
则33z i =+，于是z ==故选：B
【点睛】本题以复数的简单运算为素材，目的是考查考生对复数运算法则的掌握情况和复数模的计算，本题计算量小，属于基础题．
3. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”
根据上题的已知条件，可求得该女子第2天所织布的尺数为（ ） A.
2031
B.
531
C.
1031
D.
4031
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据题意，得到该女子每天所织布的长度构成等比数列，根据题意求出首项和公比，即可求出结果. 【详解】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为q ， 由题意知1q ≠，
首项为1a ，前n 项和为n S ，
由题意可得5152(1)51q a q S q =??-?==?-?
，解得12531q a =??
?=??，
所以第二天织的布为2110
31
a a q ==. 故选：C.
【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型. 4. 等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S =（ ） A. 153 B. 182
C. 242
D. 273
【答案】D 【解析】
试题分析：根据等差数列的前n 项和的性质：数列23243,,,,
m m m m m m m S S S S S S S ---依然成等差数列可
知1020103020,,S S S S S --即3031,91,122S -成等差数列，所以3091231122S ?=+-，解得30273S =，选D.
考点：等差数列前n 项和的性质.
5. 如图是一个几何体的正（ 主） 视图和侧（ 左） 视图, 其俯视图是面积为
的矩形， 则该几何体的表面积是 （ ）
A. 16
B. 2 4+82
C. 8
D. 2 0+82 【答案】D 【解析】 【分析】
根据俯视图是矩形，可得到几何体是一个三棱柱，然后画出几何体并根据相应数据计算表面积. 【详解】由题意可知，该几何体如图所示：
则：2,22AC BC AB ===1182AB B A S =四边形14AA =， 所以()2224228220822S ???
=?+??+=+ ???
表面积. 故选D.
【点睛】本题考查利用三视图求几何体的表面积，难度较易.对于只给出三视图中的一部分视图，可通过条件将完整的三视图画出，然后再求解表面积或体积.
6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为5
y x =，且与椭圆221123x y +
=有公共焦点.则C 的方程为（ ）
A. 22
1810x y -=
B. 22145
x y -=
C. 22154x y -=
D. 22143
x y -=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知可得
b a =
，双曲线焦距26c =，结合,,a b c 的关系，即可求出结论.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为2
y x =
，则2b a =
.① 又因为椭圆22
1123
x y +=与双曲线有公共焦点，
双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②
由①②解得a ＝2，b
C 的
方程为22
145
x y -=.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题.
7. 已知点A ()1,0-，B (1,3)，向量a ＝()21,2k -，若AB ⊥a ，则实数k 的值为( ) A. 2- B. 1-
C. 1
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出AB 的坐标，再利用0AB a ?=求出k 的值.
【详解】由题得(2,3)AB =，因为AB ⊥a ，所以4260, 1.AB a k k ?=-+=∴=- 故答案为B
【点睛】（1）本题主要考查向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示，考查数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则12120a b x x y y ⊥?+=. 8. 已知ABC 的内角A ，B ，C 成等差数列，若()3
sin sin 5
B αα+=+，则()sin 300α+?=（ ） A.
3
5
B. 45-
C.
45
D. 35
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差中项的性质求出B ，再由辅助角公式得到()3
cos 305
α?+=
，最后再由诱导公式计算可得； 【详解】解：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B A C =+，又180A B C ++=?，∴60B =?，由
()3
sin 60sin 5
αα
?+=+得，
13sin 25
αα-=，∴
()3
cos 305
α?+=
，则
()()()3
sin 300sin 27030cos 305
ααα+?=?+?+=-?+=-，
故选：D ．
9. 已知函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图像与直线2y =交于,A B 两点，若AB 的最小值为
π，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）
A. 3
x π
=
B. 4
x π
=
C. 6
x π
=
D. 12
x π
=
【答案】D 【解析】 【分析】
化简得()2sin 3f x x πω??
=+ ??
?
，由题可得周期为π，即可求出2ω=，令2,3
2
π
π
π+
=
+∈x k k Z 求出对
称轴即可得出答案.
【详解】
()sin 2sin 3f x x x x πωωω?
?=+=+ ??
?，
()f x 直线2y =交于,A B 两点，且AB 的最小值为π，
T π=，则22T π
ω=
=，即()2sin 23f x x π??=+ ??
?，
令2,3
2
π
π
π+
=
+∈x k k Z ，则,12
2
k x k Z π
π
=
+
∈， ()f x ∴的对称轴为,12
2
k x k Z π
π
=
+
∈， 当0k =时，12
x π
=
.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦型函数的对称轴问题，解题的关键是利用辅助角公式化简函数得出周期，求出解析式，即可解决.
10. 在平面直角坐标系中，双曲线C 的标准方程为22
21(0)4x y t t t
-=>+，
则双曲线的离心率取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2y x =± B. 3y x =±
C. 12
y x =±
D. 1
3
y x =±
【答案】C 【解析】 【分析】
依题意可得c e a ==利用基本不等式求出离心率的最大值，即可求出t ，从而求出双曲线方程，
即可求出渐近线；
【详解】解：因为0t >，依题意可得双曲线22
21(0)4x y t t t
-=>+的离心
率
c e a ====≤=
当且仅当4
t t
=
即2t =时，等号成立，此时离心率最大， 故双曲线的标准方程为2
2182
y x -=，
所以双曲线的渐近线方程为y x =，即12y x =±
故选：C
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
11. 曲线2
y x
=与直线1y x =-及1x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 2ln 2- B. 12ln 22
- C. 2ln2+ D. 1
2ln 22+
【答案】B 【解析】
由曲线
2 y
x =
与直线1
y x
=-联立，解得1
x=-，2
x=，
故所求图形的面积为
2
22
1
1
211
12ln|2ln2
22
S x dx x x x
x
????
=-+=-+=-
? ?
????
?，
故选B.
12. 已知曲线
1
C：()x
f x xe
=在0
x=处的切线与曲线2C：()()
ln
a x
g x a
x
=∈R在1
x=处的切线平行，令()()()
h x f x g x
=，则()
h x在()
0,∞
+上（）
A. 有唯一零点
B. 有两个零点
C. 没有零点
D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
先对函数()x
f x xe
=和()ln
a x
g x
x
=求导，根据两曲线在1
x=处的切线平行，由导数的几何意义求出a，得到函数()()()ln x
h x f x g x e x
==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()
0,∞
+上的最值，即可确定函数零点个数.
【详解】∵()x
f x xe
=，∴()()
1x
f x x e
'=+，
又()
ln
a x
g x
x
=，∴()2ln
a a x
g x
x
-
'=，
由题设知，()()
01
f g
'='，即()0
2
ln1
10
1
a a
e
-
+=，∴1
a=，
则()()()
ln
ln
x x
x
h x f x g x xe e x
x
==?=，
∴()
()
ln1
ln
x
x
x
x x e
e
h x e x
x x
+
==
'+，0
x>，
令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，
当10,e x ??∈ ???
时，()0m x '
<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减；
当1,x e ??∈+∞ ???
时，()0m x '
>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；
∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e ??
=-> ?
??
， ∴()0m x >，则()0h x '>， ∴()
h x ()0,∞+上单调递增，且()10h =.
()h x 在()0,∞+上有唯一零点，
故选：A ．
【点睛】思路点睛：
利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应位置上.
13. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2
6f x x =-，则()4f =_____．
【答案】10- 【解析】 【分析】
根据函数()f x 为奇函数，得()4(4)f f =--，代入解析式计算即可.
【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()2
4(4)4610f f ??=--=---=-??
. 故答案为：10-.
14. 已知圆22
40x y x a +-+=截直线0x -=所得的弦长为a 的值为_____.
【答案】0 【解析】 【分析】
将圆化为标准方程，得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理列式求解.
【详解】圆2240x y x a +-+=化为标准方程为()2
224x y a -+=-，所以圆心坐标为(2,0)，半径为r .
由题意圆心到直线的距离为2
12
d ==
，则2414a -=+=，则0a =. 故答案为：0
15. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.
【答案】 【解析】
【
分析】
根据正方体的表面积，可得正方体边长a ，然后计算外接球的半径2
R a =，利用球的体积的公式，可得结果.
【详解】设正方体边长a ，正方体外接球的半径为R ， 由正方体的表面积为24，所以2624a =，
则2a =，又R =
，所以R ， 所以外接球的体积为：3
3
4433
R ππ
==.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求多面体的外接球的表面积和体积问题关键是要求出外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
16. 若对(,1]x ∈-∞-时，不等式2
1
()2()12
x
x
m m --<恒成立，则实数m 的取值范围是____________..
【答案】()2,3- 【解析】 【分析】
运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.
【详解】不等式(
)
2
1212x
x
m m ??--< ???
转化为2
214x x
m m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令1
2
x t =
,
又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[
)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6
f t f ==，
所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<. 故答案
：()2,3-
【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.
三．解答题：本大题共6小题，共70分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
（2）若数列{}n b 满足12n n n b s s +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）21n a n =-，2
n s n =；（2）21
n n
T n =
+. 【解析】 【分析】
（1）根据条件列出式子求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出通项公式和前n 项和； （2）可得112+1n b n n ??=-
???
，利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
则3171+25
76
7+492a a d S a d ==????==??
，解得1a 1,d 2， ()1+1221n a n n ∴=-?=-，
()21+212
n n n S n -==；
（2
）()2112+1+1n b n n n n ??
=
==- ???
， 111
11221223
11
n n
T n n n ??∴=-+-+
+
-=
?++??. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +??????
结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111
111n n n n a a d a a ++??
=- ???，利用裂项相消法求和.
18. 已知函数()2cos
sin 222x x x f x
?
=-??
． （1）求()f x
的最小正周期和单调递增区间；
（2）在ABC 中，1AB =，()1=f C ，且ABC sin sin A B +的值． 【答案】（1）2T π=，单调递增区间为()511
2,2,66k k k z ππππ?
?++
∈???
?；（2）1+. 【解析】 【分析】
（1）化简解析式即可得
()2cos 6f x x π?
?
=+ ??
?
（2）由(
)1=f C
，求出6
C π
=
，再利用面积公式以及余弦定理代入求解出,a b ，利用正弦定理求出
sin sin
A B +.
【详解】（1）()2
2sin cos sin 2cos 2226x x x f x x x x π?
?=-=-+=+ ??
?2T π=，由()222,6π
ππππ+≤+≤+∈k x k k z ，得单调递增区间为()5112,2,66k k k z ππππ?
?++∈???
?
（2）由()31=+f C ，∴2cos 3316π??
+
+=+ ??
?C ，∴1cos 62π?
?+= ??
?C ， ∵()0,C π∈，∴7,666πππ?
???
+
∈ ????
???
C ，∴63C ππ+=，即6C π
=. 由ABC 的面积为
3，∴31sin 26π=ab ，∴23=ab ．
由余弦定理可得：2
2
12cos
2
π
=+-a b ab ，可得：227a b +=，
联立解得：2,3a b ==；或2,3==b a ． ∴23+=+a b ．
∴
sin sin sin 1
2
===A B C a b c ． ∴()
13
sin sin 12+=
+=+A B a b ． 【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ω?的形式. 19. 如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，
1
22
AB AD CD ===，点M 在线段EC 上．
（1）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ； （2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为6
6
M 在线段EC 上的位置． 【答案】（1）证明见解析；（2）点M 为EC 中点.
【解析】 【分析】
（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明； （2）设()01EM EC λλ=≤≤，求出平面BDM 和平面ABF 的法向量，根据题意建立关系即可求出λ，得出结果.
【详解】（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,2)E ，所以(0,2,1)M . ∴(2,0,1)BM =-
又(0,4,0)DC =是平面ADEF 的一个法向量. ∵0BM DC ?=即BM DC ⊥，
BM ?平面ADEF ，
∴BM ∥平面ADEF ；
（2）设(,,)M x y z ，则(,,2)EM x y z =-， 又(0,4,2)EC =-，
设()01EM EC λλ=≤≤，则0,4,22x y z λλ===-，即(0,4,22)M λλ-. 设111(,,)n x y z =是平面BDM 的一个法向量，
则11112204(22)0
DB n x y DM n y z λλ??=+=???=+-=??， 取11x =得11y =-，此时显然1λ=时不符合，则121z λ
λ
=-， 即2(1,1,
)1n λ
λ
=--， 又由题设，(2,0,0)DA =是平面ABF 的一个法向量，
∴
cos ,22DA n DA n DA n
?=
=
=
?，解得1
2
λ=，
即点M 为EC 中点.
【点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
20. 已知椭圆2
2
:24C x y += （1）求椭圆C 的标准方程和离心率；
（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线
l 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）22142x y
+=，
e =
；（2）存在，7x
＝0或7x ﹣＝0 【解析】 【分析】
（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a ，b ，c ，由离心率公式可得所求值；
（2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程，消去x 可得y 的二次方程，运用韦达定理和判别式大于
0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．
【详解】（1）由22
142x y
+=，得2,a b ==
c ==，2
c e a ==
； （2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =， 可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，
可得（2+m 2）y 2﹣6m 2y +9m 2﹣4＝0，△＝36m 4﹣4（2+m 2）（9m 2﹣4）＞0，即m 2＜
4
7
， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝2262m m +，y 1y 2＝22
94
2m m
-+，① 由2PB PA =，可得（x 2，y 2﹣3）＝2（x 1，y 1﹣3），即y 2﹣3＝2（y 1﹣3），即y 2＝2y 1﹣3，②
将②代入①可得3y 1﹣3＝2262m m +，y 1（2y 1﹣3）＝22
94
2m m -+，
消去y 1，可得22232m m ++?22322m m -+＝22942m m -+，解得m 2＝2747<
，所以7
m =±， 故存在这样的直线l ，且方程为7x
＝0或7x
﹣
＝0．
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
21. 已知函数()e ln x
b f x a x x
=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =. （1）求a ，b 的值；
（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-. 【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；
（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2
()2,121
h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证．
【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，2
()
()x x a b xe e f x x x -'=-，
则f '（1）a =，f （1）be =-，
故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=， 又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，
2a ∴=，1b =；
（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则2
2()x x
x xe e f x x -+'=，
令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减， 又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<， 故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，
且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<， 故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，
且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0 故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即0 002,(1,2)1 x x e x x = ∈-， 则0000002()221 x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2 ()2,121 h x lnx x x =- <<-，则2 22()0(1)h x x x '=+>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增， 由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即002 22221 lnx ln x -<--， 0()222f x ln ∴<-． 【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题． 选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. [选修44-：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系 xOy 中，直线l 过点(0,2)P ，倾斜角为2παα? ? ≠ ?? ? .以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：2 cos 2sin 0ρθθ-=. （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，M 为AB 中点，且满足||,||,||PA PM PB 成等比数列，求直线l 的斜率. 【答案】（1）l 的参数方程为cos 2sin x t y t α α=??=+? (t 为参数)，C 的直角坐标方程为：22x y =；（2）斜率为2±. 【解析】 【分析】 （1）根据直线过点P ，及倾斜角α，代入公式，即可求得l 的参数方程，将曲线C 左右同乘ρ，利用 cos ,sin x y ρθρθ==即可求得曲线C 的直角坐标方程； （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，根据t 的几何意义及题 干条件，可得2 12122t t t t +??= ??? ，即可求得答案. 【详解】（1）因为直线l 过点(0,2)P ，倾斜角为2παα? ? ≠ ?? ? ， 所以直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t α α=?? =+? (t 为参数)， 因为2 cos 2sin ρθθ=，所以2 2 cos 2sin ρθρθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程为：2 2x y =； （2）将直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t α α =?? =+?(t 为参数)代入22x y =可得：22cos 2sin 40--=t t αα， 设A,B 所对应的参数为12,t t ，所以1212 222sin 4 ,cos cos t t t t ααα -+=?=， 因为||,||,||PA PM PB 成等比数列， 所以2 12122t t t t +??= ??? ，即242 sin cos os 4c ααα=， 解得2tan 4α=，tan 2α=±，故直线l 的斜率为2±. 【点睛】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t 的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题. [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈. （1）当1a =时,求()2f x ≤的解集; （2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12?? ???? ,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）403x x ??≤≤ ????（2）51,2?? -???? 【解析】 【分析】 （1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤,分别讨论 12x ≤ ,1 12 x <<和1≥x ,去掉绝对值,即可求得答案; （2）因为()21f x x ≤+的解集包含1,12?????? ,当1,12x ?? ∈????时,不等式()21f x x ≤+恒成立,结合已知,即可 求得答案. 【详解】（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-, 当()2f x ≤,即1212x x -+-≤ 上述不等式可化为121122x x x ?≤???-+-≤?,或1 1 21212 x x x ?< -+-≤?,102x ∴≤≤或112x <<或4 13 x ≤≤, ∴原不等式的解集为403x x ? ?≤≤ ??? ? . （2） ()21f x x ≤+的解集包含1,12?? ???? , ∴当1,12x ??∈???? 时,不等式()21f x x ≤+恒成立, 即在2121x a x x -++≤+1,12x ?? ∈???? 上恒成立, 2121x a x x ∴-+-≤+,即2x a -≤, 22x a ∴-≤-≤, 22x a x ∴-≤≤+在1,12x ?? ∈???? 上恒成立, ()()max min 22x a x ∴≤-≤-, 512 a ∴-≤≤ , a ∴的取值范围为51,2??-??? ? . 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及绝对值三角不等式的应用,其中解答中熟记含绝对值不 等式的解法,以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题. 2020．1 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{} 223021=A x x x B x x x Z A B =--≤=-≤<∈?，且，则A.{}21--， B.{}10-， C.{}20-， D.{} 11-，2．设()11i a bi +=+(i 是虚数单位)，其中,a b 是实数，则a bi += A ．1 B.2 C.3 D.2 3．已知随机变量ξ服从正态分布()21N σ ，，若()40.9P ξ<=，则()21P ξ-<<=A ．0.2 B.0.3C ．0.4D ．0.6 4．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，计算其 体积V 的近似公式2136V L h ≈ ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．若圆锥体积的近似公式为2275V L h ≈，则π应近似取为A.22 7 B.25 8 C.157 50 D.355 113 5．函数()()y f x y g x ==与的图象如右图所 示，则的部分图象可能是 本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 试题（数学）高三数学 山东省潍坊市2020届高三期末 数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ） 1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷) 一. 填空题（每小题2分, 共10分） 1. 设?????<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________. 2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________. 3. 已知),(cos 4422x o bx ax e x x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos 2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________. 二. (9分) 求极限 21 0)sin (cos lim x x x x x +→. 三. (9分) 求不定积分?+dx e x x x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值. 五. (8分) 判断2 12arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dx y d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(1 22?--∞+x x dx (2) .1)2(1 0?--x x dx 八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受 到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形) 九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解. 十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f x a +=+?)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线 )(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,6 7π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(1 21 =?xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使 .1)(='ξf 数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 【必考题】高三数学上期末试题(含答案) 一、选择题 1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S B ．5S C ．6S D ．7S 2．已知数列{}n a 的前n 项和2 n S n =，()1n n n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足 （ ） A ．()1n n T n =-? B ．n T n = C ．n T n =- D ．,2,. n n n T n n ?=? -?为偶数， 为奇数 3．在ABC ?中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角 三角形 4．已知函数223log ,0(){1,0 x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1- B ．[]2,4- C ．(](),20,4-∞-? D ．(][] ,20,4-∞-? 5．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140 B ．280 C ．168 D ．56 6．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S < B ．45S S = C ．65S S < D ．65S S = 7．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若2 29m n a a a =，则 212m n +的最小值等于（ ） A ．1 B ． 12 C ． 34 D ． 32 8．已知数列{}n a 满足112,0,2 121,1, 2n n n n n a a a a a +? ≤ 一．选择题：每题5分，共60分 1．已知集合{}2,1,0,1,2--=A ，()(){}021|<+-=x x x B ，则=B A （ ） A ．{}0,1- B ．{}1,0 C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,0 2．若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a （ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 3．已知命题p ：对任意R x ∈，总有02>x ；q ：“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是（ ） A ．q p ∧ B ．q p ?∧? C ．q p ∧? D ．q p ?∧ 4．等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a a （ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 5．设函数()()???≥<-+=-1 ,21,2log 112x x x x f x ，则()()= +-12log 22f f （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6．某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．372cm B ．390cm C ．3108cm D ．3138cm 7．若圆1C ：122=+y x 与圆2C ：08622=+--+m y x y x 外切，则=m （ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．11- 8．执行如图所示的程序框图，如果输入3=n ，则输出的=S （ ） A ．76 B ． 73C ．98 D ．9 4 9．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ． 332πB ．π4C ．π2D ．3 4π 10．在同一直角坐标系中，函数()()0≥=x x x f a ，()x x g a log =的图像可能是（ ） 11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ?为等腰三角形，且顶角为 120，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2 C ．3D ．2 12．设函数()x f '是奇函数()x f ()R x ∈的导函数，()01=-f ，当0>x 时，()()0<-'x f x f x ，则使得()0>x f 成立的x 的取值范围是（ ） A ． ()()1,01, -∞-B ．()()+∞-,10,1 C ．()()0,11,--∞- D ．()()+∞,11,0 第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选做题，考生根据要求做答． 二．填空题：每题5分，共20分 13．设向量a ，b 不平行，向量b a +λ与b a 2+平行，则实数=λ． 14．若x ，y 满足约束条件?? ? ??≤-+≤-≥+-022020 1y x y x y x ，则y x z +=的最大值为． 数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷） 一、叙述题（每题5分，共10分） 1.上确界； 2.区间套的定义。 二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是. 2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为. 3.)1ln()(2 x x f +=,已知5 6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]1 21 11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim x x x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e lim x x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导； （6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导； （7）求???==; cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0 →是否存在，说明原因。2.设000)()(=≠?????-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且 1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续. 2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得 )()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= . 3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>?b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1 ξξξf f b f a f b a b a '-=-. （一）数学系一年级《数学分析》期末考试题 学号 姓名 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（ ） A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ? ???>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、' 'f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; C. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)(' =ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)(' ≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)(' x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； 数学试题 (满分160分，考试时间120分钟) 参考公式： 锥体的体积公式V ＝1 3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2 ＝ 1n (x i －x －)2，其中x －＝ 1n x i . 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． (第3题) 1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2 ＞0}，则A ∩B ＝________． 2. 若复数z 满足z ·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________． 3. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________． 4. 函数y ＝2x －1的定义域是________． 5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________． 6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________． 7. 已知函数f(x)＝? ????1 x －1 ，x ≤0，－x 2 3，x ＞0， 则f(f(8))＝________． 8. 函数y ＝3sin(2x ＋π 3)，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________． 9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________． 10. 已知cos （π 2 －α） cos α ＝2，则tan 2α＝________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B.若OB ＝2a ，则C 的离心率为________． 第4页 共4页 第一学期期末考试试卷 高 三 数 学 （考试时间120分钟，满分150分） 注意：在本试卷纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 一、填空题（每小题5分，共60分） 1、已知函数x x f -=11)(的定义域为M ，)1lg()(x x g +=的定义域为N ，则=?N M . 2、数列{}n a 满足 21 =+n n a a )(*∈N n ，且32=a ，则=n a . 3、已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4 3tan(π α+等于 . 4、关于x 、y 的二元一次方程组? ??=++=+m my x m y mx 21 无解，则=m . 5、已知圆锥的母线长cm l 15=，高cm h 12=，则这个圆锥的侧面积等于 cm 2. 6、设等差数列{}n a 的首项21=a ，公差2=d ，前n 项的和为n S ，则=-∞→n n n S n a 2 2lim . 7、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人， 则选出的火炬手的编号能组成以2为公比的等比数列的概率为 . 8、阅读右图的程序框图，若输入4=m ，6=n ， 则输出=a ，=i . （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”，n 整 除a ，即a 为n 的倍数） 9、设常数4 21,0???? ? ?+>x ax a 的展开式中3 x 的系数为23， 则)(lim 2n n a a a +?++∞ →= . 10、集合??? ???<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=，若“a ＝1” 是“φ≠?B A ”的充分条件， 则b 的取值范围是 . 11、（文科）不等式)61(log 2++x x ≤3的解集为 . （理科）在2x y =上取动点(]5,0),,(2∈a a a A ，在y 轴上取点 )4 1 ,0(2++a a M ，OAM ?面积的最大值等于 . 12、已知函数1)4(22)(2+--=x m mx x f ，mx x g =)(，若对于任一实数x ，)(x f 与)(x g 至少有 一个为正数，则实数m 的取值范围是 . 中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 2018届潍坊高三期末考试 数学（理） 2018. 1 本试卷分第I 卷和第H 卷两部分，共 6页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后， 将本试卷和答题 卡一并交回. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡 和试卷 规定的位置上. 2 ?第I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效. 3. 第H 卷必须用 0. 5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂 改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第I 卷（共60分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合 A —X -1 ：： x ：： 1 ?, B —xlog z x ：： 1,则 A B 二 2. 下列函数中，图象是轴对称图形且在区间 0, * 上单调 递减的是 1 A . y B. y = -x 2 1 C . y = 2x D . y = log 2 x x x - y 2 乞 0 3 .若x, y 满足约束条件 x ? y - 4亠0,则z = 2x - y 的最大值为 [y 兰4 5 .已知双曲线笃 =1 a T.b 0的焦点到渐近线的距离为 a b 6 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A . 4 2 3 -.3，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为 A . 1 B. 、3 C. 2 A . -1,1 B. (0, 1) C. (-1, 2) D . (0, 2) A . -4 B. -1 C. 0 D . 4 4 .若角〉终边过点A 2,1 , sin 3 二 2 2罷 A. 5 C V D . 2 2 2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷 一、填空题： 1.设集合???? ??∈==Z n n x x M ,3sin π，则满足条件M P =?? ? ???????-23,23Y 的集合P 的个数是 ___个 2. 若 cos 2π2sin 4αα=- ? ?- ? ? ?，则cos sin αα+= 3．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组?? ? ??≥-≤+-≤-+010220 2534x y x y x ，则POQ ∠cos 的 最小值为__________ 4.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为 10x y -+=，则直线PB 的方程是_____________________ 5.已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则x f x f x 2) 1()1(lim 0-+→=___________ 6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下 列三个函数：()1sin cos ,f x x x =+ ( )2f x x =，()3sin f x x =则___________________为“同形”函数 7.椭圆12 2 =+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜 率为 b a 则,23=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数)(| |1)(R x x x x f ∈+= ，三位同学甲、乙、丙在研究此 函数时分别给出命题： 甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； 丙：若规定| |1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意* ∈N n 恒成 立. 你认为上述三个命题中正确的个数有__________个 9.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422 a b +的最小值为 10.若直线2y a =与函数|1|(0x y a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围 是 11.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得 m n S S =，则0m n S +=。”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列， 12. Rt △ABC 中,斜边AB=1,E 为AB 的中点,CD ⊥AB,则))((??的最大值为_________. 《数学分析》考试题 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ， （ ） A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则 （ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有 （ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ； { } { } 2 B. a ≤ 2 D. π a 8. 若向量 a = (1,2), b = (1,-1), 则 2 a + b 等于（ ） 1 2 A. 1 2017-2018 高三上学期期末数学试卷 班级 姓名 分数 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 设集合 A = x x - 2 < 1 ， B = x ( x + 1)(x - 4) < 0 ，则 A B = （ ） A. φ B . R C.（-1,4） D.（1,3） 2. 函数 f ( x ) = ln( x 2 - 1) 的定义域是（ ） A.（0，+ ∞ ） B.（- ∞ ，-1） （1，+ ∞ ） C.（- ∞ ，-1） D.（1，+ ∞ ） 3. 设 f ( x ) = (2a - 1) x + b 在 R 上是减函数，则有（ ） A. a ≥ 1 1 2 C. a > - 1 2 D. a < 1 2 4. 设 a = 20.5 , b = 0, c = log 0.5, 则（ ） 2 A. a > b > c B. a > c > b C. b > a > c D. c > b > a 5. 在 ?ABC 中，“ sin A = sin B ”是“ A = B ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数 y = 2sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是（ ） A. 4π B. 2π C. π 7. 等比数列 { }中，若 a a = 25 ，则 a a = （ n 3 6 1 8 ） A. 25 B. 10 C. 15 D. 35 → → → → A.（3,3） B.（3，-3） C.（-3,3） D.（-3，-3） 9. 已知直线 l : 3x - y + 1 = 0 ，直线 l : ax + y + 1 = 0 ，且 l // l ，则 a 的值为（ 1 2 ） 3 B. - 1 3 C. 3 D. -3 数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。 一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。 普宁市华侨中学2017届高三级上学期·期末考 文科数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。 2.用2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卷的整洁。 第I 卷 选择题（每题5分，共60分） 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。 1.已知集合 A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x ＜﹣1}，则集合A∩B=（ ） A ．{x|﹣2≤x＜4} B ．{x|x≤3或x≥4} C ．{x|﹣2≤x＜﹣1} D ．{x|﹣1≤x≤3} 2.已知i 为虚数单位，复数11z i =+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3. 若a ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4.已知4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 5.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，有以下四个命题： A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若,m ααβ⊥⊥，则//m β C ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥ D ．若,//m ααβ⊥，则m β⊥ 6.某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函 数关系 2 464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7.已知ABC ?中，内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若3 A π = ，且2cos b a B =， 1c =，则ABC ?的面积等于（ ） A . 34 B .32 C .36 D .38 8.如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ） A ．k=7 B ．k≤6 C ．k ＜6 D ．k ＞6 9.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是( ) A ．21111122222n n +++???+=- B ．2111 12222 n +++???++???< C ． 2111 1222n ++???+= D ． 2111 1222 n ++???++???< 10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（ ） A ． B ．4π C ．2π D ． 11.函数f （x ）=sinx ?l n|x|的部分图象为（ ） 20XX年复习资料 大 学 复 习 资 料 专业： 班级： 科目老师： 日期： 一、填空题（每题4分，共20XX 分） 1. 设 ABC L 是从 (1,0) A 到 (0,1) B -再到 (1,0) C -连成的折线，则曲线积分 d d |||| ABC L x y x y +=+? . 2. 设向量场222(1)(1)(1)A x x z i y x z j z x z k =++-+-，则向量场在点012 1M -（，，）处的旋度A =rot . 3. 若x y xe -=和sin y x =为某四阶常系数齐次线性微分方程的两个解，则该方程是 . 4. 函数(),(),(,)x x f x y ?ψ皆可微，设()(),()z f x y xy ?ψ=+，则 z z x y ??-=?? . 5. 锥面 22 z x y +被圆柱面 222,(0) x y ax a +=>截下的曲面的面积 为 . 二、单项选择题（每题4分，共20XXXX 分） 本题分数 20XX 得 分 本题分数 20XXXX 得 分 （多选不得分） 6．若 ()() 0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则(,)f x y 在()00,x y （ ） （A ）极限存在但不一定连续 （B ）极限存在且连续 （C ）沿任意方向的方向导数存在 （D ）极限不一定存在，也不一定连续 7. 12,L L 是含原点的两条同向封闭曲线，若已知122 d d L y x x y K x y -+=+?(常数)， 则222d d L y x x y I x y -+= +?的值 （ ） （A ）一定等于 K （B ）一定等于K - （C ） 与2L 的形状有关 （D ）因为 Q P x y ??=??，所以0I = 8．∑为球面2222x y z a ++=外侧，Ω为球体2222x y z a ++≤，则有 （ ） （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。山东省潍坊市2020届高三期末试题(数学)
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