第十四章 达朗贝尔原理

FIiz 0 ,
M z (F i(e) ) M z (F Ii ) 0
实际应用时, 同静力学一样可任意选取研究对象, 列平衡 方程求解。
21
例题
达朗贝尔原理
r B
A
例题5
如图所示，滑轮的 半径为r，质量为m均匀分 布在轮缘上，可绕水平轴 转动。轮缘上跨过的软绳 的两端各挂质量为m1和m2 的重物,且m1 >m2 。绳的 重量不计，绳与滑轮之间 无相对滑动，轴承摩擦忽 略不计。求重物的加速度。
主动 力的 合力
质点的 约束力 惯性力 的合力
质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束力和它的惯 性力形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
18
质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束力和它的惯
性力形式上组成平衡力系。—— 质点系 的达朗伯原理。
用方程表示为：
Fi
FNi
FIi
0
M
O
(Fi
Fb 0, F cos mg 0
Fn 0, F sin F* 0
10
例题
达朗贝尔原理
O
θ
l
F
eb
en
et
mg F*
例题1
F cos mg 0 F sin F* 0
解得：
F mg 19.6 N
cos
v Fl sin 2 2.1 m / s
m
11
例题
达朗贝尔原理
FIR Mac
FIR1
FIR2 FIR3
FIR
32
二、定轴转动刚体
向转轴上任一点O简化：
刚体上任一点i的惯性力：
FIni miain miri 2 FIti miait miri
下面分别计算惯性力系对x，y，z轴 的矩，分别以MIx ， MIy， MIz表示 MIx Mx (FIit ) Mx (FIin )
)
M
O
(
FNi
)
M
O
(
FIi
)
0
Fi
F
(e) i
FNi
F (e) i
Fi(i)
F (i) i
FIi
0
M
O
(Fi
(e)
)
M
O
( Fi (i )
)
M
O
(FIi
)
0
注意到 Fi(i) 0 , M O (Fi(i) ) 0 , 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
F (e) i
FIi 0
M O (F i(e) ) M O (F Ii) 0
FIn
aCn
37
讨论：
②转轴过质点C，但0，惯性力偶M IO JC（与反向）
参见动画：刚体惯性力系的简化－讨论2
38
讨论： ③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 FIR 0 , M IC 0
（主矢、主矩均为零）
参见动画：刚体惯性力系的简化－讨论3
39
三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。
26
例题
达朗贝尔原理
例题5
参见动画：达朗贝尔原理－例题5
27
例题
达朗贝尔原理
y FN
r
F1* mg
B A
a m2g
a m1g
F2*
例题5
解：以滑轮与两重物一起组成的质点系为研
究对象。 在系统中每个质点上假想地加上惯性力
后，可以应用达朗贝尔原理。
已知m1>m2，则重物的加速度a方向如图 所示。
35
向O点简化：（转轴）
FI
MaC
M (aCn
aCt )
M IO JO
作用在O点。
向质点C点简化：
FI
MaC
M (aCn
aCt )
M IC JC
作用在C点。
FIn
O
FI
M IO
aCt
C
aCn
O
aCn
C
FI
M IC
a
t C
FIn
36
讨论： ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。 FIn me 2
FIx max mx FIy may my FIz maz mz
FIt mat FIn man
5
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力F ，约束力
质点的加速 度a
为：
FN
作用，
将
ma
F FN ma 移项， 得：
FI
F
ma
FN ma 0
代入上式，得：
质点的达朗伯原理 F FN FI 0
重物的惯性力方向均与加速度a的方向 相反，大小分别为：
F1* m1a F2* m2a
28
例题
达朗贝尔原理
例题5
y
Fi*n Fi*t FN
mi r
F1* mg
B A
a m2g
a m1g
F2*
滑轮边缘上各点的质量为mi ，切向惯性力
的大小为 Fi*t miait ，方向沿轮缘切线，指向
如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，at =a ;
M Ix J xz J yz 2
同理可得惯性力系对于y轴的矩为
M Iy J xz 2 J yz
惯性力系对于z轴的矩为
M Iz M z (FIti ) miri ri ( miri2 ) J z
34
刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点O简化的主矩为 M IO M Ixi M Iy j M Izk
如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心O取 为此平面与转轴的交点，则
J xz mi xi zi 0, J yz mi yi zi 0
惯性力系简化的主矩为
M IO M Iz J z
当刚体质量有对称平面且绕垂直于此对称面的轴作 定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力 和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积， 方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶 的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向 与角加速度的转向相反。
法向惯性力的大小为
Fi*n
mi ain
mi
v2 r
,方向沿
半径背离中心。
应用对转轴的力矩方程 MO（F）=0 ，得
(m1g F1* F2* m2 g)r Fi*t r 0
或(m1g m1a m2a m2 g)r miar 0
29
例题
达朗贝尔原理
例题5
y
Fi*n Fi*t FN
如果在质点上除了作用真实的主动力和约束力外，再
假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。
这就是质点的达朗伯原理
6
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡， 并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决 动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的 解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。
7
例题
3
§14 - 1 惯性力 ·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
C
人由用牛手顿推第车二力定为律F：，车的F 加 速ma度为a。
F
C
根据作用与反作用定律：
施力物体(人手)也受到一个力 F ':
F' F ma
F '是因为人要改变车的运动状态，由于车
的惯性（小车要保持原来的运动状态）而
F'
引起的对于施力物体(人手)产生的反抗力。
mi r
F1* mg
A
a a m1g
(m1g m1a m2a m2 g)r miar 0
因为
miar ar mi arm
B
解得
m2g
a m1 m2 g
F2*
m1 m2 m
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§16-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将 虚拟的 惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 FIR（主矢）
达朗贝尔原理
O θ l
例题1
如图所示一圆锥摆。质 量m = 0.1 kg的小球系于长l = 0.3 m 的绳上，绳的一端 系在固定点O，并与铅直线 成θ =60º 角。如小球在水平 面内作匀速圆周运动，求小 球的速度v与绳的张力F的大 小。
8
例题
达朗贝尔原理
例题1
参见动画：达朗贝尔原理－例题1
9
此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
FI
M IC
刚体平面运动可分解为
1
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原理。应 用这一原理，就将列动力学方程问题从形式上转化为列静力 学平衡方程问题。这种解答动力学问题的方法，因而也称动 静法。
实质是：用静力学列平衡方程的方法来列动力学方程。 动力学问题没有变。
2
第十四章 达朗贝尔原理 §14–1 惯性力 ·质点的达朗贝尔原理 §14–2 质点系的达朗贝尔原理 §14–3 刚体惯性力系的简化 §14–4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
称为小车的惯性力。
4
质点惯性力定义： 质点受力作用而改变运动状态时，由于 本身的惯性对施力物体的反作用力。
FI ma
Force of Inertia
F ' FI
[注]
ma
1：质点惯性力不是作用在质点 上的真实力，它是质点对施
力体反作用力的合力。
[注] 2： 惯性力的作用点在施力体上。
质点惯性力在坐标轴上的投影：
19
公式表明：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质 点上的惯性力在形式上组成力系。——这是质点系达朗贝尔 原理的又一表述。
可见：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
20
用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
F (e) xi
FIix 0
4、由动静法, 有：
FT a
Fx 0 , mg sin FI cos 0
x
解得 a g tg
13
例题
达朗贝尔原理
例题2
a g tg
角随着加速度
a
的变化而变化，当
a不变时，
角也
不变。只要测出角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
计的原理。
14
例题
达朗贝尔原理
例题3
球磨机是一种破碎机械，在鼓室中装进物料和钢球，如 图所示。当鼓室绕水平轴转动时，钢球被鼓室携带到一定高 度，此后脱离壳壁而沿抛物线轨迹落下，最后与物料碰撞以 达到破碎的目的。如已知鼓室的转速为n r/min，直径为D。设 钢球与壳壁间无滑动，试求最外层钢球的脱离角α 。
F (e) yi
FIiy 0
M O (F i (e) ) M O (FIi ) 0
对于空间任意力系：
F (e) xi
FIix 0 ,
M
x
(
F
i
(e)
)
M
x
(F
Ii
)
0
F (e) yi
FIiy 0 ,
M y (Fi (e) ) M y (FIi ) 0
F (e) zi
达朗贝尔原理
αF ω
FN mg
例题3
求得
FN
mg( D 2
2g
cos
)
显然当钢球脱离壳壁时，FN=0， 由此可求出其脱离角α为
cos D 2 Dπ2n2
2g 2 900g
即脱离角α与鼓室转速n有关。
17
§16-2 质点系的达朗伯原理
设有一质点 系由n个质点组成，对每一个质点，有 Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,.....,.n )
和一个惯性力偶 M IO （主矩）。
FIR MIO
FIi MO
(mai (FIi )
) MaC
ri (miai
)
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 下面讨论刚体作平动、定轴转动和平面运动时惯性力偶（主矩）。
例题2
列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右
作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢
的加速度
a
。
参见动画：达朗贝尔原理－例题2
12
例题
达朗贝尔原理
例题2
FI
M
mg
解：1、研究对象：摆锤 M
23、、受运力动分分析析：：m车g ,作F平Ta 动
惯性力 FI ma 方向如图所示
α
ω
15
例题
达朗贝尔原理
F* α F
ω
FN
mg
例题3
解： 以钢球为研究对象。设钢球的质
量为m。受力如图示。
鼓室以匀角速度ω转动，钢球尚
未脱离壳壁时，其加速度为：
an
D 2,
2
at 0
加惯性力，其大小为
F* m D2
2
应用质点动静法
Fn 0, FN mg cos F * 0
16
例题
miri cosi zi miri 2 sini zi mi xi zi 2 mi yi zi
cos i
xi ri
s in i
yi ri
33
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M x mi xi zi 2 mi yi zi
令：
J yz mi yi zi J xz mi xi zi
称为对z轴的惯性积，它取决于刚 体质量对于坐标轴的分布情况
31
一、刚体作平动
向质心C简化：
FIR
FIi
MIC MC (FIi ) ri (miaC )
(miai ) MaC
( miri ) aC
MrCr
aC
0
rCr 质心相对质心的距离。
刚体平动时惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等
于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。
例题
达朗贝尔原理
O
θ
l
F
eb
en
et
mg F*
例题1
解： 以小球为研究的质点。质点作匀速圆周
运动，只有法向加速度，在质点上除作用有
重力mg和绳拉力F外，再加上法向惯性力F*，
如图所示。
F*
man
m
l
v2 sin
根据达朗贝尔原理，这三力在形式上组成平
衡系，即
F
mg
F*
0
取上式在自然轴上的投影式，有：