第十四章 达朗贝尔原理

FIiz 0 ,
M z (F i(e) ) M z (F Ii ) 0
实际应用时, 同静力学一样可任意选取研究对象, 列平衡 方程求解。
21
例题
达朗贝尔原理
r B
A
例题5
如图所示，滑轮的 半径为r，质量为m均匀分 布在轮缘上，可绕水平轴 转动。轮缘上跨过的软绳 的两端各挂质量为m1和m2 的重物,且m1 >m2 。绳的 重量不计，绳与滑轮之间 无相对滑动，轴承摩擦忽 略不计。求重物的加速度。
α
ω
15
例题
达朗贝尔原理
F* α F
ω
FN
mg
例题3
解： 以钢球为研究对象。设钢球的质
量为m。受力如图示。
鼓室以匀角速度ω转动，钢球尚
未脱离壳壁时，其加速度为：
an
D 2,
2
at 0
加惯性力，其大小为
F* m D2
2
应用质点动静法
Fn 0, FN mg cos F * 0
16
例题
26
例题
达朗贝尔原理
例题5
参见动画：达朗贝尔原理－例题5
27
例题
达朗贝尔原理
y FN
r
F1* mg
B A
a m2g
a m1g
F2*
例题5
解：以滑轮与两重物一起组成的质点系为研
究对象。 在系统中每个质点上假想地加上惯性力
后，可以应用达朗贝尔原理。
已知m1>m2，则重物的加速度a方向如图 所示。
)
M
O
(
FNi
)
M
O
(
FIi
)
0
Fi
F
(e) i
FNi
F (e) i
Fi(i)
F (i) i
FIi
0
M
O
(Fi
(e)
)
M
O
( Fi (i )
)
M
O
(FIi
)
0
注意到 Fi(i) 0 , M O (Fi(i) ) 0 , 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
F (e) i
FIi 0
M O (F i(e) ) M O (F Ii) 0
1
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原理。应 用这一原理，就将列动力学方程问题从形式上转化为列静力 学平衡方程问题。这种解答动力学问题的方法，因而也称动 静法。
实质是：用静力学列平衡方程的方法来列动力学方程。 动力学问题没有变。
2
第十四章 达朗贝尔原理 §14–1 惯性力 ·质点的达朗贝尔原理 §14–2 质点系的达朗贝尔原理 §14–3 刚体惯性力系的简化 §14–4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
4、由动静法, 有：
FT a
Fx 0 , mg sin FI cos 0
x
解得 a g tg
13
例题
达朗贝尔原理
例题2
a g tg
角随着加速度
a
的变化而变化，当
a不变时，
角也
不变。只要测出角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
计的原理。
14
例题
达朗贝尔原理
例题3
球磨机是一种破碎机械，在鼓室中装进物料和钢球，如 图所示。当鼓室绕水平轴转动时，钢球被鼓室携带到一定高 度，此后脱离壳壁而沿抛物线轨迹落下，最后与物料碰撞以 达到破碎的目的。如已知鼓室的转速为n r/min，直径为D。设 钢球与壳壁间无滑动，试求最外层钢球的脱离角α 。
3
§14 - 1 惯性力 ·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
C
人由用牛手顿推第车二力定为律F：，车的F 加 速ma度为a。
F
C
根据作用与反作用定律：
施力物体(人手)也受到一个力 F ':
F' F ma
F '是因为人要改变车的运动状态，由于车
的惯性（小车要保持原来的运动状态）而
F'
引起的对于施力物体(人手)产生的反抗力。
miri cosi zi miri 2 sini zi mi xi zi 2 mi yi zi
cos i
xi ri
s in i
yi ri
33
M x mi xi zi 2 mi yi zi
令：
J yz mi yi zi J xz mi xi zi
称为对z轴的惯性积，它取决于刚 体质量对于坐标轴的分布情况
和一个惯性力偶 M IO （主矩）。
FIR MIO
FIi MO
(mai (FIi )
) MaC
ri (miai
)
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 下面讨论刚体作平动、定轴转动和平面运动时惯性力偶（主矩）。
Fb 0, F cos mg 0
Fn 0, F sin F* 0
10
例题
达朗贝尔原理
O
θ
l
F
eb
en
et
mg F*
例题1
F cos mg 0 F sin F* 0
解得：
F mg 19.6 N
cos
v Fl sin 2 2.1 m / s
m
11
例题
达朗贝尔原理
主动 力的 合力
质点的 约束力 惯性力 的合力
质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束力和它的惯 性力形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
18
质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束力和它的惯
性力形式上组成平衡力系。—— 质点系 的达朗伯原理。
用方程表示为：
Fi
FNi
FIi
0
M
O
(Fi
F (e) yi
FIiy 0
M O (F i (e) ) M O (FIi ) 0
对于空间任意力系：
F (e) xi
FIix 0 ,
M
x
(
F
i
(e)
)
M
x
(F
Ii
)
0
F (e) yi
FIiy 0 ,
M y (Fi (e) ) M y (FIi ) 0
F (e) zi
达朗贝尔原理αF ωF Nhomakorabea mg例题3
求得
FN
mg( D 2
2g
cos
)
显然当钢球脱离壳壁时，FN=0， 由此可求出其脱离角α为
cos D 2 Dπ2n2
2g 2 900g
即脱离角α与鼓室转速n有关。
17
§16-2 质点系的达朗伯原理
设有一质点 系由n个质点组成，对每一个质点，有 Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,.....,.n )
达朗贝尔原理
O θ l
例题1
如图所示一圆锥摆。质 量m = 0.1 kg的小球系于长l = 0.3 m 的绳上，绳的一端 系在固定点O，并与铅直线 成θ =60º 角。如小球在水平 面内作匀速圆周运动，求小 球的速度v与绳的张力F的大 小。
8
例题
达朗贝尔原理
例题1
参见动画：达朗贝尔原理－例题1
9
此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
FI
M IC
刚体平面运动可分解为
法向惯性力的大小为
Fi*n
mi ain
mi
v2 r
,方向沿
半径背离中心。
应用对转轴的力矩方程 MO（F）=0 ，得
(m1g F1* F2* m2 g)r Fi*t r 0
或(m1g m1a m2a m2 g)r miar 0
29
例题
达朗贝尔原理
例题5
y
Fi*n Fi*t FN
mi r
F1* mg
A
a a m1g
(m1g m1a m2a m2 g)r miar 0
因为
miar ar mi arm
B
解得
m2g
a m1 m2 g
F2*
m1 m2 m
30
§16-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将 虚拟的 惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 FIR（主矢）
35
向O点简化：（转轴）
FI
MaC
M (aCn
aCt )
M IO JO
作用在O点。
向质点C点简化：
FI
MaC
M (aCn
aCt )
M IC JC
作用在C点。
FIn
O
FI
M IO
aCt
C
aCn
O
aCn
C
FI
M IC
a
t C
FIn
36
讨论： ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。 FIn me 2
如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心O取 为此平面与转轴的交点，则
J xz mi xi zi 0, J yz mi yi zi 0
惯性力系简化的主矩为
M IO M Iz J z
当刚体质量有对称平面且绕垂直于此对称面的轴作 定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力 和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积， 方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶 的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向 与角加速度的转向相反。
例题2
列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右
作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢