2011年高考试题(全国卷理科数学)解析版

2011年高考题全国卷II数学试题·理科全解全析科目：数学试卷名称2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理

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【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】选D .

22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=

（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移

3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于

（A ）

13 （B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平

移

3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3

π是此函数周期的整数倍。 【精讲精析】选C . 由题2()3k k Z ππω=⋅∈,解得6k ω=，令1k =，即得min 6ω=. (6)已知直二面角l αβ--，点,A AC l α∈⊥,C 为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于

(A)23 (B)33 (C)63

(D) 1 【思路点拨】本题关键是找出或做出点D 到平面ABC 的距离DE ，根据面面垂直的性质不难证明AC ⊥平面β，进而β⊥平面平面ABC,所以过D 作DE BC ⊥于E ，则DE 就是要求的距离。

【精讲精析】选C .

如图，作DE BC ⊥于E ，由l αβ--为直二面角，

AC l ⊥得AC ⊥平面β，进而AC DE ⊥，又

,BC DE BC AC C ⊥=，于是DE ⊥平面ABC ，

故DE 为D 到平面ABC 的距离。

在Rt BCD ∆中，利用等面积法得12633BD DC DE BC ⨯⨯=

==. (7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每

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位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。

【精讲精析】选B .分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有144C =种；

取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有246C =种。总的赠送方法有10种。

(8)曲线y=2x e

-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 (A)13 (B)12 (C)23

(D)1 【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x 的交

点问题即可解决。

【精讲精析】选A .202,|2x r y e

y -=''=-=-切线方程是：22y x =-+,在直角坐标系中作出示意图，即得1211233S =

⨯⨯=。

(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=

(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12

【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52

-

转化到区间[0,1]上进行求值。

【精讲精析】选A . 先利用周期性，再利用奇偶性得: 5111()()()2222f f f -=-=-=-

. (10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则

cos AFB ∠=

(A)45

(B)35 (C)35- (D)45- 【思路点拨】方程联立求出A 、B 两点后转化为解三角形问题。

【精讲精析】选D .

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联立2424

y x y x ⎧=⎨=-⎩，消y 得2540x x -+=，解得1,4x x ==.

不妨设A 在x 轴上方，于是A ，B 的坐标分别为(4,4),(1,-2),

可求35,5,2AB AF BF ===，利用余弦定理

2224cos 25

AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯.

(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成0

60二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π

【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。

【精讲精析】选B .

作示意图如，由圆M 的面积为4π，易得222,23MA OM OA MA ==-=，

Rt OMN ∆中，30OMN ∠=。

故2

cos303,39.MN OM S ππ=⨯==⨯=. (12)设向量,,a b c 满足1||||1,,,602

a b a b a c b c ==⋅=-<-->=，则||c 的最大值等于

(A)2 (B)3 (c)2 (D)1

【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图

形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，||c 最大.

【精讲精析】选A .如图，构造 ,,,120,60,AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=，

所以A 、B 、C 、D 四点共圆，分析可知当线段AC 为直径时，||c 最大，最大值为2.