第9讲一次函数与方程不等式综合

一次函数与方程、不等式综合
一、知识要点
（一）一次函数与一元一次方程的关系
1.从函数的观点来看一元一次方程b 0(0)kx k +=≠，可以认为：当自变量取什么值时，一次函数y b k 0kx =+≠（）的函数值为值0。

所以，直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

2.求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b
k
=-
，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b
k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

（二）一次函数与一元一次不等式的关系
任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

（三）一次函数与二元一次方程（组）的关系
1.一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

2.求一个二元一次方程组的解就是求构成这个方程组的两个二元一次方程对应的一次函数图象的交点的坐标。

二、例题精讲
（一）一次函数与一元一次方程综合
【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．0
【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，
，则a b +=______． 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3
kx b +=的解是x =______．
（二）一次函数与一元一次不等式综合
【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当3
2
x =时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <
【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．
【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）
A ．5x >
B ．1
2
x <
C ．6x <-
D ．6x >-
【例7】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?
（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?
【例8】 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，
则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．
【例9】 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线
32y x =-上相应点的上方．
【例10】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，
，()12B --，两点，则不等式1
22
x kx b >+>-的解集为______．
【例11】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求： （1）当2x =时，y 的值；（2）x 为何值时，0y <？
（3）当21x -≤≤时，y 的值范围；（4）当21y -<<时，x 的值范围．
（三）一次函数与二元一次方程（组）综合 【例12】
已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30
220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．
【例13】
已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为2
3x y =-⎧⎨
=⎩
，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为______．
【例14】 已知24x y =⎧⎨=⎩，是方程组732
28x y x y -=⎧⎨+=⎩
的解，那么一次函数y = 和y =
的交点是________．
【例15】 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；
③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例16】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A
（2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．
【例17】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，
，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0
【例18】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，
，则0y >时，x 的取值范围是（ ） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <
【例19】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：
（1）x 轴下方；
（2）y 轴左侧； （3）第一象限．
【例20】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）
A ．0x >
B ．0x <
C ．2x >
D ．2x <
【例21】 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ）
A ．20y -<<
B ．40y -<<
C ．2y <-
D ．4y <-
【例22】 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b y
mx n y +=⎧⎨+=⎩
的解
关于原点对称的点的坐标是________．
【例23】 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）
的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（ ） A ．2x >-
B ．0x >
C ．2x <-
D ．0x <
【例24】 如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0
ax b +<的解集是________．
【例25】 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平
行，则此方程组（ ） A.无解
B.有唯一解
C.有无数个解
D.以上都有可能
【例26】 b 取什么整数值时，直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？
三、小试牛刀
1. （2010湖北孝感，7，3分）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮
船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用的时间为t （小时）,航行的路程为s （千米）,则s 与t 的函数图象大致是（ ）
2. （2011广东广州市，9，3分）当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y=4x+1中y 的取值范围是（ ）． A ．y ≥－7
B ．y ≥9
C ．y ＞9
D ．y ≤9
3. （2011山东烟台，11,4分）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比
y=kx+b
2
-2
O
y x
-1B A 2
O y x
2
乙
甲乙甲
81510
5 1.5
1
0.5
O
时
y/千米
乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4个
4. （2011浙江杭州，7，3）一个矩形被直线分成面积为x ，y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可能是
5．（2011浙江衢州，9,3分）小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图）.若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为
123
v v v 、、，且
123
v v v <<，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s 与所用时间t 的
函数关系图像可能是（ ）
6. （2011山东枣庄，10，3分）如图所示，函数x y =
1和
34
312+=x
y 的图象 相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜－1 B ．—1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ． x ＜－1或x ＞2
7. （2011江苏盐城，8，3分）小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是（ ） A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min
8.某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压， 生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量为y ， •生产时间为t ，那么y 与t 的大致图象只能是（ ）
9．如图，向高为H 的圆柱形空水杯里注水，表示注水量y 与水深x 的关系的图象是（ ）
10．一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，•过了一段时间，汽车到了下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情
学校
小亮家
s
t
s
t
s
t
t
s
（－1，
1
y
（2，2） 2y
x
y
O
（第7题图）
况的是（）
11．星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（•米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）．
A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，一直散步（没有停），然后回家了
C．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，
然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了， 18分钟后才开始返回
12．甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所
示，•那么可以知道：①这是一次___ _ _米赛路；
②甲、乙两人先到达终点的是______ ___；•
③在这次赛跑中甲的速度为___ _____，
乙的速度为____ __．
13．如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x（千克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_________千克，•就可以免费托运．
14.俊宇某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的
距离与时间的变化情况如图所示：
①图象表示了哪两个变量的关系？
②10•时和13时，他分别离家有多远？
③他可能在什么时间内休息，并吃午餐？。