第9讲一次函数与方程不等式综合

一次函数与方程、不等式综合

一、知识要点

（一）一次函数与一元一次方程的关系

1.从函数的观点来看一元一次方程b 0(0)kx k +=≠，可以认为：当自变量取什么值时，一次函数y b k 0kx =+≠（）的函数值为值0。所以，直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

2.求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b

k

=-

，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b

k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

（二）一次函数与一元一次不等式的关系

任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 （三）一次函数与二元一次方程（组）的关系

1.一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

2.求一个二元一次方程组的解就是求构成这个方程组的两个二元一次方程对应的一次函数图象的交点的坐标。

二、例题精讲

（一）一次函数与一元一次方程综合

【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）

A ．2-

B ．2

C ．1-

D ．0

【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，

，则a b +=______． 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3

kx b +=的解是x =______．

（二）一次函数与一元一次不等式综合

【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当3

2

x =时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <

【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．

【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）

A ．5x >

B ．1

2

x <

C ．6x <-

D ．6x >-

【例7】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?

（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?

【例8】 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，

则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．

【例9】 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线

32y x =-上相应点的上方．

【例10】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，

，()12B --，两点，则不等式1

22

x kx b >+>-的解集为______．

【例11】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求： （1）当2x =时，y 的值；（2）x 为何值时，0y <？

（3）当21x -≤≤时，y 的值范围；（4）当21y -<<时，x 的值范围．

（三）一次函数与二元一次方程（组）综合 【例12】

已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30

220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．

【例13】

已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为2

3x y =-⎧⎨

=⎩

，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为______．

【例14】 已知24x y =⎧⎨=⎩，是方程组732

28x y x y -=⎧⎨+=⎩

的解，那么一次函数y = 和y =

的交点是________．

【例15】 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；

③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【例16】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A

（2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．

【例17】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，

，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0

【例18】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，

，则0y >时，x 的取值范围是（ ） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <

【例19】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：

（1）x 轴下方；

（2）y 轴左侧； （3）第一象限．

【例20】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）

A ．0x >

B ．0x <

C ．2x >

D ．2x <

【例21】 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ）